Universidade Católica de Goiás - Departamento de Engenharia
Estruturas de Concreto Armado I - Notas de Aula
conteúdo 2
2.1
lajes
Classificação das lajes
Como o cálculo das lajes tem por base a Teoria das Grelhas, para melhor entender sua
classificação, vamos analisar primeiro como se realiza a transferência de cargas para os
apoios, em uma grelha. A figura 2.1 apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo
uma de vãos ℓ1=ℓ2 e a outra com ℓ3=2ℓ2, ambas submetidas a uma carga concentrada “P”
aplicada no cruzamento das vigas (“nó”, cruzamento da “longarina” com a “transversina”).
Figura 2.1 – Grelhas submetidas a ação de uma carga concentrada
Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 1/4 da carga “P” enquanto na grelha da
direita o cálculo nos fornece 1/18 P para as reações do lado maior e 8/18 P para as reações do
lado menor. Enquanto em uma a transferência da carga para os apoios se dá na razão de 50%
em cada direção, na outra aproximadamente 11% se transfere na direção do vão maior e 89%
na direção do vão menor.
À medida que a relação entre os vãos aumenta (ℓ3>>ℓ1) maior será a transferência de carga
para os apoios do vão menor, ou seja, para uma relação de vãos entre 1 e 2 tem-se uma
transferência bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2 tende-se para
uma transferência unidirecional das cargas.
A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidimensionais (as lajes e
placas em geral) enquanto a transferência unidirecional das cargas é típica dos elementos
unidimensionais (as vigas).
Portanto, podemos convencionar que:
> 2  Laje armada em uma direção
Razão
ly
lx
(2.1)
≤
2  Laje armada em duas direções
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Maria das Graças Duarte Oliveira, Acadêmica de Engenharia Civil, [email protected]
(organizadores)
2.1
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Figura 2.2 – Eixos de lajes retangulares
Sendo:
lx  comprimento do eixo na direção do menor vão;
ly  comprimento do eixo na direção do maior vão.
2.2 Dimensões limites para lajes
(NBR6118/2003 – Item 13.2.4) Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites
mínimos para a espessura :
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;
b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, ℓ/42 para lajes de piso biapoiadas e
ℓ/50 para lajes de piso contínuas;
f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.
2.3 Carregamento nas lajes
O primeiro fator a ser considerado quando da execução do projeto estrutural de uma obra são
os carregamentos nela atuantes.
Carregamento: qualquer influência que causa forças ou deformações em uma estrutura.
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2.2
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2.3.1 Carga útil ou sobrecarga
Constituída pelo peso dos móveis, pessoas e objetos que carregam sobre a laje e especificada
pelos regulamentos oficiais de carga.
2.3.2 Peso próprio da laje
É determinado partindo de uma altura estimada aproximadamente para a laje. Esta altura,
deve ser multiplicada pelo peso específico do concreto armado (25 KN/m 3), para se ter o peso
próprio por metro quadrado da laje.
2.3.3 Peso do revestimento
Inclui o peso do piso a ser utilizado na parte superior da laje, do contrapiso e revestimento
inferior.
2.3.4 Peso das paredes
Havendo paredes sobre a laje, devemos calcular o peso por metro corrente dessas paredes, o
que se obtém multiplicando o pé direito pela espessura e pelo peso específico do material. Para
alvenaria de tijolos maciços, o peso específico é de 18KN/m3 e para tijolos furados 13 KN/m3.
Nas lajes armadas em duas direções, a carga das paredes é computada dividindo-se o peso
total das paredes pela área da laje, obtendo-se uma nova parcela para a carga por metro
quadrado.
Por medida de segurança é conveniente não deduzir, no cálculo da área da parede, a parte
vazia ocupada por esquadrias.
Para as lajes armadas numa só direção, devemos distinguir dois casos: paredes paralelas à
direção da armação e paredes normais a esta direção.
No primeiro caso, considera-se a parede como distribuída em uma faixa de largura igual a ½
do vão menor (direção da armação). No segundo caso, a parede deve ser considerada como
concentrada.
2.3.5 Peso de enchimento
Nas lajes rebaixadas destinadas a prever espaço para execução de canalizações, quando for
projetada uma camada de enchimento, deve-se calcular a carga por metro quadrado devida ao
enchimento, multiplicando a espessura pelo peso específico do mesmo.
2.4 Vãos efetivos das lajes
(NBR6118/2003 - Item 14.7.2.2) Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente
rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:
 ef
0
a1
a2
(2.2)
Os valores de a1 e a2, podem ser determinados pelos valores apropriados de ai na figura 2.3:
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2.3
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viga
viga
viga
h= espessura da laje
viga
0
t
Apoio de vão extremo
ai ≤ ½ t
ai ≤ 0,3 h
t
t
Apoio de vão
intermediário
ai ≤ ½ t
Figura 2.3 – Vão efetivo
2.5 Determinação das Condições de Apoio das Lajes
Admitem-se três tipos de apoio para as lajes:
• Bordo livre: quando não há suporte (Ex.: laje em balanço);
Figura 2.4 – Corte de uma laje em balanço
(bordo livre)
• Bordo apoiado: quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem impedir a
rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas);
Figura 2.5 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados)
(bordo livre)
• Bordo engastado: quando há impedimento do deslocamento vertical e rotação da laje
neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez).
Figura 2.6 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados)
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2.5.1 Lajes Isoladas
Para lajes isoladas, admite-se que se utilize:
• Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez;
• Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal;
• Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.
Bordo engastado
Bordo apoiado
Bordo livre
2.6 Painel de Lajes
Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o bordo
poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como mostra a figura
2.6:
Figura 2.7 - Lajes contíguas
Casos Particulares
Figura 2.8 – Lajes em níveis diferentes
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h2
h1
h1>> h2
Figura 2.9 – lajes com inércias muito diferentes
ℓ1
ℓ2
ℓ1>>ℓ2
Figura 2.10 – Lajes com vãos muito
diferentes
ℓmenor ≥
2
ℓmaior 
3
ℓmenor <
2
ℓmaior 
3
Figura 2.11 – Condição de apoio parcial de lajes
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2.7 Reações de apoio das Lajes (Cálculo Plástico)
(NBR6118/2003 – Item 14.7.6.1) Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças
retangulares com carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações:
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou
trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada
com os critérios do item 14.7.4, sendo que essas reações podem ser, de maneira
aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que
lhes servem de apoio;
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por
retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:
45º entre dois apoios do mesmo tipo;
60º a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente
apoiado;
90º a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
Figura 2.12 – Fissuração
Figura 2.13 – Charneiras plásticas
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2.8 Aplicação
Seja a laje retangular de vãos entre eixos lx e ly, determinar as reações de apoio, sendo:
q = carregamento distribuído uniformemente na laje;
A1, A2, A3 e A4 = áreas das figuras formadas pelas charneiras plásticas, conforme figura 2.14.
lx
60º
45º
45º
30º
A1
A2
ly
A3
45º
A4
60º
30º
45º
Figura 2.14 – Figuras formadas pelas charneiras plásticas
Reações:
Rx1
q.A 2
ly
(2.3)
Rx 2
q.A 3
ly
(2.4)
Ry1
q.A 1
lx
(2.5)
Ry 2
q.A 4
lx
(2.6)
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