TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA
COLECÇÃO DE PROBLEMAS
PARTE - III
TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICAS
ENTROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA
TERMODINÂMICA
Luís Lemos Alves, 2004
1- Considere uma arca frigorífica vertical com uma capacidade de 120L, dos
quais 100L são ocupados por ar (gás diatómico ideal). A porta da arca tem
1m de altura e 0,5m de largura, podendo-se considerar hermética. Suponha
que quando se fecha a porta o ar interior está a uma temperatura uniforme
de –23oC e ainda à pressão atmosférica. Posteriormente, o ar interior
arrefece até à temperatura de –28oC, ficando o sistema em equilíbrio.
a) Calcule o número de moles, n, de ar
dentro da arca.
b) Calcule, justificando, os calores
específicos molares do ar a volume
e a pressão constantes. Obtenha o
coeficiente adiabático do ar (γ).
c) Calcule o calor trocado pelo ar, após
se ter fechado a porta e o equilíbrio
ter sido atingido.
d) Calcule a força necessária para
reabrir a porta.
e) Considere que no acto de abrir a porta, devido à dilatação da junta da
arca, o volume do ar aumenta 10L antes que a porta se abra e a pressão
atmosférica seja restabelecida. Nestas condições, admitindo que a
transformação é adiabática reversível, calcule a pressão e a temperatura
do ar imediatamente antes de a porta se abrir.
2- Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de 1cm3 de
água, à temperatura de 100oC.
3- Considere 100g de gelo à temperatura T0 = 0oC, em contacto com o ar
ambiente à temperatura Tamb. Deixa-se fundir o gelo até se obter água
líquida a 0oC.
a) Calcule a variação da entropia do gelo, do ambiente e do conjunto (gelo
+ ambiente = Universo), supondo Tamb=30oC (Verão em Lisboa).
b) Indique como se alterariam os resultados anteriores se fosse Tamb=0oC
(Inverno em Paris).
[Despreze as variações de volume do sistema gelo-água]
4- Um cubo de gelo de massa 1g é colocado dentro de uma caixa hermética e
termicamente isolada onde existem 2 moles de ar (gás diatómico ideal).
Inicialmente o gelo encontra-se a 0oC e o ar encontra-se a 10oC à pressão
atmosférica normal, patm.
a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, os calores
específicos molares a volume e pressão constantes, CV (ar) e Cp (ar), para
o ar dentro da caixa.
b) Admita que o gelo no interior da caixa funde a uma temperatura
constante de 0oC.
Calcule a variação de energia interna ∆Uar e a temperatura final Tf (ar) do
ar dentro da caixa, após este processo de fusão do gelo.
c) Calcule a temperatura final de equilíbrio do sistema, Teq, após a fusão do
gelo.
[Admita que os volumes da água nos estados sólido e líquido são
idênticos.]
d) Calcule a variação da entropia do gelo durante o seu processo de fusão
(a 0oC).
e) Explique detalhadamente porque razão pôde usar no cálculo da alínea
anterior uma expressão que corresponde a um processo reversível, se a
fusão do gelo é um processo irreversível.
f) Ao admitir-se que o gelo funde a uma temperatura constante de 0 0C,
está-se implicitamente a supor que a pressão do ar no interior da
caixa não varia significativamente durante este processo de fusão.
Discuta a veracidade desta aproximação.
5- Numa oficina de metalomecânica aqueceu-se um bloco de cobre com
volume Vcobre = 1L até à sua temperatura de fusão, Tcobre = 1083oC. Para se
arrefecer o bloco de cobre, ele é introduzido num recipiente aberto (de
paredes indeformáveis e termicamente isoladas) contendo um volume Vágua
de água fria, à temperatura Tágua = 20oC.
Admita que, ao mergulhar-se o bloco de cobre na água, se verifica:
A- o aquecimento e vaporização imediata dum volume VA de água (que
abandona o recipiente), com a consequente redução da temperatura do
bloco até TA , cobre = 100oC;
B- o aquecimento do restante volume de água, entre a temperatura inicial
Tágua e uma temperatura final de equilíbrio Teq.
Despreze as variações de volume do bloco de cobre e o aquecimento do ar
ambiente.
a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, o calor
específico mássico a volume constante do bloco de cobre, CV (cobre).
b) Calcule o calor transferido do bloco de cobre para a água QA, durante a
transformação A.
c) Calcule o volume VA de vapor de água, produzido durante a
transformação A.
d) Calcule a variação de entropia do bloco de cobre durante a
transformação A.
e) Suponha que o volume total de água é Vágua = 5L .Obtenha o valor da
temperatura de equilíbrio Teq, após a transformação B.
Indique, justificando, qual o valor de Teq quando Vágua >> 1.
6- Considere uma mole de hélio à pressão pi = 1bar e temperatura Ti = 300K,
em equilíbrio no interior dum cilindro não isolado cujo pistão
livre, de secção 10cm2, tem massa desprezável. Coloca-se
uma massa M = 20kg sobre o pistão, a qual é responsável
por uma compressão isotérmica do gás até uma nova
situação de equilíbrio. Admita que o hélio é um gás perfeito.
a) Calcule o valor da pressão final de equilíbrio do gás, pf.
b) Calcule o trabalho e o calor recebidos pelo gás no
processo de compressão.
c) Obtenha a variação de entropia do Universo nesta transformação.
Indique se a transformação é reversível ou irreversível.
7- Considere hélio (He) à pressão pi = 6x105Pa e temperatura Ti = 3000K, em
equilíbrio no interior dum êmbolo de paredes isoladas indeformáveis, com
volume inicial Vi = 40L. Liberta-se o pistão do êmbolo, permitindo que o gás
se expanda de forma adiabática até uma temperatura Tf = 2000K. Admita
que o hélio é um gás perfeito.
a) Calcule o número de moles de hélio no interior do êmbolo.
b) Calcule a variação de energia interna ∆U e o trabalho Wgas realizado
pelo gás na expansão.
c) Admita que a expansão se realiza de forma reversível.
c1) Calcule o volume final Vf ocupado pelo gás.
c2) Calcule a pressão final pf do gás.
d) Admita que a expansão se realiza de forma irreversível, contra a
pressão atmosférica exterior.
d1) Calcule o volume final Vfirr ocupado pelo gás.
d2) Calcule a variação da entropia do Universo (sistema + exterior) nesta
transformação.
8- Considere uma mole de N2 que se encontra dentro de um recipiente
isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os
compartimentos A e B estão separados por uma divisória móvel, de massa
m e espessura desprezável, que está a uma altura h relativamente à base
do recipiente. Em B existe vácuo.
Considere o azoto como um gás ideal. Sejam ainda: VA= 1m3; VB = VA; TA =
200K; m = 2,5kg; h = 8,3m.
Num primeiro processo de transformação a divisória é removida
horizontalmente. Para este caso:
a)
Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
b)
Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após a
expansão, para repor a pressão inicial.
c)
Indique se o resultado da alínea a) se manteria, caso o azoto fosse
tratado como um gás real.
Num segundo processo de transformação solta-se a divisória por forma a
que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente. Considerase que toda a energia cinética da divisória é transformada em energia
interna após a barra encostar na parte superior do recipiente. Para este
caso:
d)
Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
e)
Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após a
expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da alínea
b) e comente.
f)
Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os
dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer
calor). Comente a diferença entre os valores calculados.
9- Considere um gás ideal monoatómico, de calor específico molar CV = 3R/2,
o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico vertical cujo pistão,
de área A = 20cm2, possui uma massa desprezável. Inicialmente o gás
encontra-se à temperatura T0 = 300K, em equilíbrio com a pressão
atmosférica exterior p0 =1atm e ocupando um volume V0 =1L.
a) Numa primeira fase, coloca-se uma massa M = 10kg sobre o pistão,
provocando-se a compressão isotérmica do gás.
a1) Calcule a pressão pi de equilíbrio após a compressão.
a2) Calcule o volume Vi de equilíbrio após a compressão.
a3) Calcule o trabalho W realizado sobre o gás e o calor Q trocado com
o exterior, durante a compressão.
b) Numa segunda fase, retira-se a massa M e o gás expande-se, também
isotermicamente, até atingir uma situação final de equilíbrio.
b1) Calcule a pressão e o volume de equilíbrio após a expansão,
respectivamente pf e Vf.
b2) Calcule o trabalho W' realizado sobre o gás e o calor Q' trocado com
o exterior, durante a expansão.
c) Considere, finalmente, a transformação combinada de compressão e
expansão isotérmicas, entre o equilíbrio inicial (T0, p0, V0) e o equilíbrio
final (T0, pf, Vf).
Para essa transformação, calcule as variações de entropia do gás e do
exterior e conclua, justificando, quanto à sua reversibilidade ou
irreversibilidade.
10- Considere um gás ideal, de calor específico molar CV = 3R/2, o qual se
encontra no interior de um êmbolo cilíndrico cujo pistão tem massa
desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura T0 = 300K, em
equilíbrio à pressão p0 = patm, e ocupando um volume V0 = 1dm3. O pistão
está sujeito à pressão atmosférica exterior patm = 1atm.
Realizam-se as seguintes transformações sucessivas sobre o gás.
• Coloca-se o sistema em contacto com uma fonte térmica de
temperatura T1 = 400K, o que provoca a expansão isobárica do gás
até um volume V1.
• Substitui-se a fonte térmica anterior por uma outra de temperatura
T0 = 300K, o que provoca uma compressão isobárica do gás.
a) Calcule a variação de energia interna do gás, devida ao seu
processo de expansão.
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante o seu processo de
expansão.
c) Calcule, para a transformação global de expansão e compressão,
a variação de energia interna do gás, o trabalho total realizado sobre
o gás e o calor total fornecido ao gás.
d) Indique, justificando detalhadamente, se a transformação global
(expansão seguida de compressão) é ou não reversível.
11- O ar no interior dum pneu encontra-se à
pressão pi = 3,5atm e à temperatura Ti =
300K. Admita que o ar se comporta como
um gás perfeito diatómico.
a) Calcule a densidade do ar (em
partículas m-3) no interior do pneu, e
os seus calores específicos molares a
pressão e a volume constantes.
b) Esvazia-se o pneu, abrindo totalmente
a sua válvula. Admita que o ar realiza
uma expansão rápida (adiabática)
entre os volumes Vi(pi, Ti) e Vf(patm,
Tf).
(NOTA: patm = 1 atm é a pressão atmosférica).
b1) Suponha que a expansão realizada pelo ar do pneu era reversível.
Calcule a nova temperatura final do ar, Tfrev, após a expansão.
b2) Suponha agora que o ar do pneu se expande de forma irreversível,
contra a pressão atmosférica exterior (o que é bem mais realista).
Admita que, nestas condições, o ar do pneu realiza um trabalho sobre o
exterior dado por W = patm (Vf - Vi).
Calcule a nova temperatura final do ar, Tfirrev, após a expansão. Será
esta forma de esvaziar o pneu saudável para a vida da válvula?
Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e interprete.
12- Considere dois sólidos, de capacidades caloríficas c1 e c2 e temperaturas
T1 e T2, respectivamente. Colocam-se estes sólidos em contacto, no interior
de um reservatório de paredes adiabáticas onde se fez vácuo, até que
atinjam o equilíbrio térmico à temperatura Tf. Admita c1 e c2 independentes
da temperatura e suponha que se podem desprezar as variações de volume
dos sólidos.
a) Obtenha a expressão de Tf em função de T1 e T2.
b) Obtenha a expressão da variação de entropia, ∆S, do sistema dos dois
sólidos.
c) Mostre que ∆S = ∆SUniverso > 0.
[Sugestão: escreva ∆S como a soma de duas funções de x ≡T/T1, e
analise-as graficamente.]
13- Considere dois gases perfeitos diatómicos DIFERENTES, que ocupam os
dois compartimentos (A e B) de um recipiente com paredes rígidas e
adiabáticas. Os compartimentos (de volumes VA e VB) encontram-se
termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A
existem nA moles de gás em equilíbrio à temperatura TA, e no
compartimento B existem nB moles de gás em equilíbrio à temperatura TB.
Retira-se a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases.
a) Obtenha as expressões da temperatura e da pressão de equilíbrio da
mistura.
b) Escreva a expressão da variação de entropia do sistema dos dois
gases.
c) Escreva a expressão obtida em b) para VA = VB e TA = TB.
14- Considere o chamado modelo adiabático da atmosfera, o qual admite que o
ar se comporta como um gás perfeito de massa M = 29g mol-1, em
"equilíbrio adiabático" (reversível). O modelo supõe ainda que a aceleração
da gravidade (g = 9,8ms-2) e o coeficiente adiabático do ar (γ = 1,4) não
variam com a altitude z.
a) Escreva a condição de "equilíbrio adiabático", em função da pressão p
do gás e da sua massa volúmica ρ.
b) Obtenha, em função de p, ρ e g, a equação diferencial que traduz o
equilíbrio mecânico duma secção S horizontal de ar, à altitude z.
c) Obtenha a expressão da variação da pressão com a altitude. Calcule p
para z = 1km, sabendo que p0 = 1atm e T0 = 300K à altitude z = 0.
15- O método de Clément e Desormes, para determinar o coeficiente
adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura.
O recipiente de volume V (grandes dimensões) encontra-se ligado a um
manómetro de mercúrio e a uma válvula. No interior desse recipiente existe
ar, à pressão p e temperatura T, sobre o qual se efectuam as seguintes
transformações:
0) Com a válvula aberta p=patm, T=Tamb e h=0.
(patm é a pressão atmosférica e Tamb a temperatura ambiente).
1) Liga-se uma pequena bomba à válvula, a fim de comprimir
isotermicamente o ar do recipiente, até uma pressão de equilíbrio p=
patm + ρHggh (estado A).
2) Abre-se a válvula, deixando o ar expandir-se adiabaticamente até
regressar à pressão p=patm (estado B).
3) Fecha-se a válvula e deixa-se que o ar recupere a sua temperatura
inicial, T=Tamb, correspondente a uma nova pressão de equilíbrio p= patm
+ ρHggh' (estado C).
Admita que as transformações sofridas pelo ar são reversíveis.
a) Represente num diagrama (p,V) e num
transformações (AB e BC) sofridas pelo ar.
diagrama
(T,S)
as
b) Deduza a expressão de γ em função de h e h', medidos no manómetro.
(Suponha ρHggh, ρHggh' « patm).
c) Calcule γ para h=58 mm e h'=16 mm.
16- (e-Lab) O método de Rüchardt e Rinkel para determinar o coeficiente
adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura
abaixo.
p
g
z
V0, p
O recipiente de volume V0 (grandes dimensões) encontra-se cheio de ar à
pressão p, estando ligado a um tubo de vidro de secção S, no interior do
qual existe uma esfera metálica de massa m. O diâmetro da esfera é
praticamente igual ao diâmetro do tubo, pelo que se pode considerá-la
como um pistão estanque. Se desprezarmos a presença de atritos, verificase que a esfera se encontra submetida à aceleração da gravidade g, e à
diferença de pressões p−p0 (p0 representa a pressão atmosférica).
Deixando cair a esfera de uma determinada altura dentro do tubo, observase que esta realiza um movimento oscilatório vertical em torno de uma
posição de equilíbrio. Se os movimentos da esfera forem suficientemente
rápidos, pode admitir-se que as transformações (supostas reversíveis)
sofridas pelo ar no interior do recipiente são adiabáticas.
a) Obtenha a equação diferencial do movimento da esfera em função de
p−p0.
b) Exprima a diferença de pressões p−p0 em função das variações de
volume ∆V do ar, em consequência do movimento oscilatório da esfera.
Admita que p−p0 << p0 e ∆V << V0.
c) Utilize os resultados anteriores para mostrar que o período do
movimento oscilatório da esfera é dado pela expressão
(
T = 2π mV0 / p0 S 2 γ
)1 / 2 .
[Recorde a equação diferencial que descreve um movimento oscilatório
2
sem atrito: &x& + (2π / T ) x = 0 .]
d) Calcule γ para m=20 g, V0=10 L, S=2,36 cm2, p0=105 Pa e T=1 s.
DADOS E CONSTANTES
1 atm = 1,013 x 105 Pa
1 cal = 4,186 J
R = 8,314 J K-1 mol-1
g = 9,8 ms-2
ρcobre = 8,9 kg L-1
Mcobre = 63,54 g mol-1
ρágua = 1 kg L-1
Cm,p (água) = 1 cal g-1 oC-1
λfusão (gelo) = 80 cal g-1
λvaporização (água) = 540 cal g-1
Soluções de questões seleccionadas
1a) n = 4,9 mol
b) CV = 20,8 J K-1 mol-1
Cp = 29,1 J K-1 mol-1
γ = 1,4
c) Q = − 509,6 J
d) F = 1013 N
e) p = 0,886x105 Pa
T = 239 K
2-
1,447 cal oC-1
3a) ∆Sgelo = 122,7 J K-1
∆Samb = − 110,5 J K-1
∆Suniverso = 12,2 J K-1
b) ∆Suniverso = 0 J K-1
4b) ∆Uar = − 333,7 J
Tf (ar) = 1,98 oC
c) Teq = 1,8 oC
d) ∆Sgelo = 1,22 J K-1
f) ∆p / patm = − 2,8% << 1 ⇒ Aproximação válida
5-
a) Cm,V (cobre) = 0,39 J K-1 g-1
b) QA = 3,412 MJ
c) VA = 1,32 L
e) ∆SA, cobre = − 4,48 kJ K-1
f) Teq = 34,7 oC
(Vágua = 5 L)
o
Teq → Tágua = 20 C (Vágua >> 1 L)
7a) n = 0,96 mol
b) ∆U = − Wgás = − 12 kJ
c) c1) Vf = 73,5 L
c2) pf = 2,2x105 Pa
d) d1) Vfirr = 158,5 L
d2) ∆SUniverso = 6,1 J K-1
8a) TA’ = TA = 200 K
pA’ = 831 Pa
b) Q = 4155 J
d) TA’’ = 190,2 K
pA’’ = 790 Pa
e) Q = 4358 J
f) ∆S(1) = 5,76 J K-1 ; ∆S(2) = 4,72 J K-1
9a) a1) pi = 1,5 atm
a2) Vi = 0,67 L
a3) W = − Q = 49,6 J
b) b1) pf = p0 = 1 atm ; Vf = V0 = 1 L
b2) W’ = − Q’ = − 33,4 J
c) ∆SUniverso = ∆Sex = 0,054 J K-1
10a) ∆Uexp = 50,65 J
b) Wgás,exp = 33,77 J
c) ∆U = 0 J ; W = 0 J ; Q = 0 J (Qexp = − Qcomp > 0)
11a) N/V = 8,6x1025 m-3
b) b1) Tfrev = 210 K → − 63 oC
b2) Tfirrev = 239 K → − 34 oC
12-
c T + c2T2
a) Tf = 1 1
c1 + c2
b) ∆S = c1 ln(Tf T1 ) + c2 ln(Tf T2 )
13-
n T + nBTB
R(n ATA + nBTB )
a) Teq = A A
; peq =
n A + nB
c) ∆S = (n A + nB ) R ln 2
V A + VB
14-
⎡
c) p( z ) = p0 ⎢1 −
⎣
15b) γ ≈
h
h − h'
16d) γ = 1,42
γ
⎤ γ −1
γ − 1 ρ0
gz
γ p0 ⎥⎦