Processamento de Sinais
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
Universidade de Brasília (UnB)
Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
Caixa Postal 4386
CEP 70.919-970, Brasília - DF
1
Homepage: http://www.redes.unb.br/lasp
Processamento de sinais de áudio (1)
 O problema da festa do coquetel:
é a matriz de mistura (desconhecida);
é a matriz de símbolos ou de sinais (desconhecida);
é a matriz de dados com amostras (conhecida);
 Deseja-se encontrar , dado apenas .
 Premissas:
 Os sinais seguem uma distribuição não Gaussiana;
 Os sinais são independentes e não correlacionados;

e são misturados linearmente e instantaneamente.
o Observação: Na prática, em aplicações com sinais de áudio, os sinais são
misturados de forma convolutiva e não de forma instantânea.
Processamento de sinais de áudio (2)
 Independência versus Ortogonalidade versus não correlação
 Sejam x e y dois vetores não nulos, então:
 x e y são linearmente independentes se e somente se existir a seguinte
relação não for satisfeita para qualquer constante a
 x e y são ortogonais se e somente se
 x e y são não correlacionados se e somente se
Fonte: J. L. Rodgers, W. A. Nicewander, and L. Toothaker, „Linearly Independent,
Orthogonal, and Uncorrelated Variables“, The American Statistician, Vol. 38, 1984.
Processamento de sinais de áudio (3)
 Os símbolos da i-ésima fonte de sinal são dados por:
 em que tem média zero e variância unitária enquanto que
e variância .
tem média
 Consequentemente a matriz de símbolos é dada por:
 em que
ésima linha são iguais a
and e
é a matriz cujos elementos na i-
.
 Devido à premissa de que os sinais são independentes, então:
Processamento de sinais de áudio (4)
 Preparação dos dados para a Análise de Componentes Independentes (ICA)
 Estimando a média em cada linha da matriz X
em que
é um elemento da matriz X na posição (m,n).
 Estimando a variância para cada linha da matriz X
 Transformação dos elementos das linhas da matriz X em média zero e
variância unitária para m = 1, ..., M
 Obtém-se então a matriz X´
Processamento de sinais de áudio (5)
 Branqueamento da matriz X´
 Cálculo da matriz de covariância das amostras
 Aplicando a Decomposição em Autovalores (EVD)
 A matriz de branqueamento é então definida como sendo
ou
 Aplicando a matriz de branqueamento, obtém-se:
Z corresponde à matriz S´ rotacionada!
Processamento de sinais de áudio (6)
 Maximizando a não Gaussianidade
 Do teorema do limite central: a média aritmética de um número
suficientemente grande de iterações de variáveis aleatórias independentes
com médias e variâncias bem definidas será aproximadamente uma
distribuição normal.
 A fim de separar os sinais misturados, usa-se como critério a maximização da
não-Gaussianidade. Consequentemente, a ICA não pode ser aplicadas se os
sinais originais forem distribuídos de forma Gaussiana!
 Para o sinal Gaussiano real, tem-se que a Curtose,
.
 Logo, pode-se medir a Gaussianidade de uma variável aleatória por meio de
uma função dada pela Curtose:
 Se a variável aleatória s é Gaussiana, então:
 Se a variável s é não Gaussiana e tem variância unitária, então:
Processamento de sinais de áudio (7)
 Maximizando a não Gaussianidade
 Exemplo de função
Processamento de sinais de áudio (8)
 Maximizando a não Gaussianidade
 Cálculo dos filtros por meio do método do gradiente, do inglês gradient
descent, também conhecido como método da descida mais íngreme, do
inglês steepest descent
 Atualização dos filtros iterativamente utilizando uma função custo
 O método do gradiente é definido pela seguinte função como:
em que indica o tamanho do passo para convergência da função, J(n) é a
função custo que pretende ser maximizada ou minimizada e
éa
função filtro que se deseja encontrar.
 Note que se
for muito pequeno a convergência levará mais iterações e se
for maior que o valor ideal, então a função não irá convergir.
 No caso da ICA, a função custo é
Processamento de sinais de áudio (9)
 Maximizando a não Gaussianidade
 Aplicando o método gradiente, tem-se:
em que
negativo,
é 1 se o argumento for positivo e -1 se o argumento for
 Note que z tem média zero e variância unitária e o mesmo é válido para y,
que é a variável de saída do filtro.
Processamento de sinais de áudio (10)
 Exemplo de aplicação da ICA
 d = 3 sinais
 Os sinais originais possuem a seguinte forma.
Processamento de sinais de áudio (11)
 Exemplo de aplicação da ICA
 d = 3 sinais
 Os sinais misturados possuem a seguinte forma.
Processamento de sinais de áudio (12)
 Exemplo de aplicação da ICA
 d = 3 sinais
 Os sinais misturados após preparação e branqueamento possuem a seguinte
forma.
Processamento de sinais de áudio (13)
 Exemplo de aplicação da ICA
 d = 3 sinais
 Os sinais separados após encontrar a convergência da matriz de filtros W.
Processamento de sinais de áudio (14)
 Exemplo de aplicação da ICA
 Aproximação da FDP dos sinais originais por meio dos histogramas.
 Nenhum dos sinais possui uma distribuição Gaussiana. Logo, ICA pode ser
aplicada para separá-los!
Curtose: -1.5000 .: Subgaussiana
(senóide)
0.7692 .: Supergaussiana
-1.2000 .: Subgaussiana
(triangular)
Processamento de sinais de áudio (14)
 Exemplo de aplicação da ICA
 Variação da função baseada na Curtose a cada iteração.
Triangular
Senóide
Processamento de sinais de áudio (15)
 Mistura de sinais sonoros
 A representação matemática é dada por uma mistura convolutiva linear.
Fonte 1
Sinal misturado 1
Fonte 2
Sinal misturado 2
Fonte 3
Sinal misturado 3
Processamento de sinais de áudio (16)
 Mistura de sinais sonoros
Microfone 1
Q Μ 1
x p(n)    hqp,κ sq(n  κ)
q 1 κ 0
Modelo convolutivo
Superposição de Q
fontes
Sistema de mistura H
Microfone P
Processamento de sinais de áudio (17)
 Mistura de sinais sonoros
Microfone 1
P L 1
yq (n)   wpq ,κ x p(n  κ)
p 1 κ 0
Microfone P Sistema de separação W
Processamento de sinais de áudio (18)
 ICA Convolutiva
 ICA instantânea apenas para misturas instantâneas, ou seja, para sinais
banda estreita.
 Os sinais sonoros são sinais com banda extremamente larga, pois estão na
faixa da banda básica. Logo, trata-se de um problema de misturas
convolutivas.
 A transformada de Fourier de tempo curto, do inglês short-time Fourier
transform (STFT), permite transformar o tempo (amostras) em duas
dimensões que são tempo (quadros) e frequência.
 A STFT é uma técnica de Análise Tempo–Frequência, do inglês Time–
Frequency Analysis (TFA).
 Após a STFT, um único sinal sonoro (banda larga) é transformado em F sinais
banda estreita. Logo, após a STFT, F ICA instantâneas podem ser aplicadas
para os F sinais banda estreita.
Processamento de sinais de áudio (19)
 ICA Convolutiva
Passo 1 da STFT:
Segmentação com
superposição (overlap) do
sinal sonoro em quadros
Passo 2 da STFT:
Janelamento de cada quadro
- Produto entre a janela
escolhida e quadro é feito ponto
a ponto no domínio do tempo.
Janela de Hanning
Processamento de sinais de áudio (20)
 ICA Convolutiva
 O janelamento reduz significativamente o vazamento espectral vide exemplo.
Processamento de sinais de áudio (21)
 ICA Convolutiva
 Passo 3 da STFT: Quadros são transformados para o domínio da frequência
aplicando a Transformada Discreta de Fourier em cada quadro.
 A ICA convolutiva então pode ser representada da seguinte forma:
Janelamento e
segmentação
FFT
ICA instantâneo
p/ f = 1
Janelamento e
segmentação
FFT
ICA instantâneo
p/ f = F
Ajuste de
permutação
para os d sinais
nas F
frequências.
IFFT
IFFT
STFT para cada microfone
 Após a IFFT, é feita a transformação inversa ao janelamento e à
segmentação simplesmete superpondo cada quadro em um único vetor.
Processamento de sinais de áudio (22)
 ICA Convolutiva
 Exemplo de histogramas de sinais sonoros, em geral, com distribuições Laplacianas.
Processamento de sinais de áudio (23)
 ICA Convolutiva
 Ambiente de teste com duas fontes sonoras e com um arranjo de microfones.
Processamento de sinais de áudio (24)
 ICA Convolutiva
 Exemplo com 2 sinais misturados
Sinais antes da mistura
Sinais misturados
Sinais após a separação
usando o TRINICON
Processamento de sinais de áudio (25)
 Reconhecimento de Locutor
 Uma vez que os sinais foram separados, o desempenho das técnicas de
reconhecimento de locutor pode melhorado.
 Para o reconhecimento de locutor, utiliza-se usualmente os Coeficientes
Cepstrais nas Frequências de Mel, do inglês Mel Frequency Cepstral
Coefficients (MFCC).
 Note que, após o ajuste de permutação da ICA convolutiva, cada matriz
tempo-frequência do sinal obtido pode ser utilizada no cálculo dos MFCC.
Locutor
Segmentação
e janelamento
Estimar
energia do
espectro
Banco de
filtros
Coeficientes cepstrais
Computar
DCT
Computar
logaritmo
Processamento de sinais de áudio (26)
 Reconhecimento de Locutor
Módulo do quadrado da
amplitude do sinal
 Exemplo de energia do espectro do sinal segmentado
Componente de frequência
Processamento de sinais de áudio (27)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros
Processamento de sinais de áudio (28)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros - exemplo
• Fixar extremos em Hertz e converter para Mels; fs = 16 kHz
• 300 Hz e 8000 Hz  401,25 Mels e 2834,99 Mels
Processamento de sinais de áudio (29)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros - exemplo
• 10 pontos equidistantes
Processamento de sinais de áudio (30)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros - exemplo
• Centralizar triângulos nos pontos internos
Processamento de sinais de áudio (31)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros - exemplo
• Conversão para escala Herz
Processamento de sinais de áudio (32)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros - exemplo
• Conversão para escala Herz
Processamento de sinais de áudio (33)
 Reconhecimento de Locutor
 Banco de filtros - exemplo
Processamento de sinais de áudio (34)
 Reconhecimento de Locutor
 Cálculo do logaritmo
Processamento de sinais de áudio (35)
Falante 3 – Tempo 1
Falante 3 – Tempo 2
Falante 1
Falante 2
Mesmo Cepstrum!
Cepstrum diferente!
 Reconhecimento de Locutor  Cálculo da DCT
37
Processamento de sinais de áudio (36)
 Reconhecimento de Locutor
 Coeficientes Cepstrais
Processamento de sinais de áudio (37)
 Reconhecimento de Locutor
 Busca iterativa para encontrar parâmetros (média, variância e amplitude)
das Gaussiana por meio do algoritmo EM