José Luis Lizarbe Chira
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA
Índices de Enlaçamento Assintótico para Ações
de Rk em Variedades Riemannianas Compactas
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pós–graduação em Matemática do Departamento de Matemática da PUC–Rio como requisito parcial para obtenção Do tı́tulo de Doutor em Matemática
Orientador: Prof. Paul Schweitzer
Rio de Janeiro
abril de 2005
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José Luis Lizarbe Chira
Índices de Enlaçamento Assintótico para Ações
de Rk em Variedades Riemannianas Compactas
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA
Tese apresentada ao Programa de Pós–graduação em Matemática do Departamento de Matemática do Centro Técnico
Cientı́fico da PUC–Rio como requisito parcial para obtenção Do
tı́tulo de Doutor em Matemática. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Paul Schweitzer
Orientador
Departamento de Matemática — PUC–Rio
Prof. Dethang Zhou
UFF
Prof. Sebastião Marcos Antunes Firmo
UFF
Prof. Rafael Oswaldo Ruggiero Rodriguez
PUC-Rio
Prof. Derek Douglas Jack Hacon
PUC-Rio
Prof. Paulo Henrique Cabido Gusmão
UFF
Prof. José Eugenio Leal
Coordenador Setorial do Centro Técnico Cientı́fico — PUC–Rio
Rio de Janeiro, 04 de abril de 2005
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total
ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do
autor e do orientador.
José Luis Lizarbe Chira
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA
Graduação: Matemática-Universidad Nacional de IngenieriaLima-Perú (1987-1996).
Mestrado: Matemática-Universidade Federal Fluminenense
(1997-1999).
Doutorado: Matemática-Pontificia Universidade Católica do
Rio de Janeiro (2000-2005).
Ficha Catalográfica
Chira, José Luis Lizarbe
Índices de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk
em Variedades Riemannianas Compactas / José Luis Lizarbe
Chira; orientador: Paul Schweitzer. — Rio de Janeiro : PUC–
Rio, Departamento de Matemática, 2005.
v., 88 f: il. ; 29,7 cm
1. Tese (doutorado) - Pontifı́cia Universidade Católica do
Rio de Janeiro, Departamento de Matemática.
Inclui referências bibliográficas.
1. Matemática – Tese. 2. Álgebra Exterior. 3. k-Campos
Vetoriais. 4. Lei de Biot-Savart. 5. Invariante de Hopf. 6.
Ações de Rk . 7. Índice de Enlaçamento assintótico. I. Schweitzer, Paul. II. Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática. III. Tı́tulo.
CDD: 510
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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA
Agradecimentos
Em primeiro lugar a Deus por ter ficado espiritualmente sempre de meu
lado e por ter posto no meu caminho as pessoas certas para que este trabalho
fosse realizado.
A minha amada esposa Patricia pela paciência, amor e comprensão nos
momentos difiı́ceis, por seu companherismo no dia a dia e em especial por estar
presente na minha vida e por ter me dado o melhor presente da minha vida
nosso filho Juan Pablo.
A minha famı́lia peruana, pai, irmaõs e sobrinhos pelo carinho, respeito
e motivacão que sempre me deram.
A meu orientador Paul pela sua ajuda acadêmica, espiritual e por ter
providenciado tudo para que este trabalho desse certo, muito obrigado Paul.
Ao professor Ricardo pela sua ajuda acadêmica nos primeiros perı́odos
do doutorado.
Aos meus amigos Edwin, Rosa, Sumaya e José Barbosa pelo companherismo. A todos os componentes da secretaria do departamento de matemática
pela ajuda prestada e em especial para Kreuza e Orlando.
Ao CNPq e à PUC–Rio, pelos auxı́lios concedidos, sem os quais este
trabalho não poderia ter sido realizado.
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Resumo
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA
Chira, José Luis Lizarbe; Schweitzer, Paul. Índices de
Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em Variedades Riemannianas Compactas. Rio de Janeiro, 2005. 88p. Tese
de Doutorado — Departamento de Matemática, Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
V.I. Arnold no seu trabalho “The asymptotic Hopf Invariant and its
applications” de 1986, considerou sobre um domı́nio Ω compacto de R3
com bordo suave e homologı́a trivial campos X e Y de divergência nula
e tangentes ao bordo de Ω e definiu o ı́ndice de enlaçamento assintótico
lk(X, Y ) e o invariante de Hopf associados a X e Y pela integral I(X, Y ) =
R
α∧dβ, onde dα = iX vol e dβ = iy vol, e mostrou que I(X, Y ) = lk(X, Y ).
Ω
Agora, no presente trabalho estenderemos estas definições de ı́ndices de
enlaçamento assintótico lk(Φ, Ψ) e de invariante de Hopf I(Φ, Ψ), onde Φ e
Ψ são ações de Rk e de Rs , k + s = n − 1, respectivamente de difeomorfismos
que preservam volume em Ωn a bola unitária fechada em Rn e mostraremos
que lk(Φ, Ψ) = I(Φ, Ψ).
Palavras–chave
Álgebra Exterior.
ante de Hopf.
k-Campos Vetoriais.
k
Ações de R .
Lei de Biot-Savart.
Índice de Enlaçamento assintótico.
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Invari-
Abstract
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA
Chira, José Luis Lizarbe; Schweitzer, Paul. Asymptotic Linking
Invariants for Rk -Actions in Compact Riemannian Manifolds. Rio de Janeiro, 2005. 88p. PhD Thesis — Department of
Matemática, Pontifı́cia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
V.I. Arnold, in his paper “The algebraic Hopf invariant and its applications”
published in 1986, considered a compact domain Ω in R3 with a smooth
boundary and trivial homology and two divergence free vector fields X
and Y in Ω tangent to the boundary. He defined an asymptotic linking
invariant lk(X, Y ) and a Hopf invariant associated to X and Y by the
R
integral I(X, Y ) = Ω α ∧ dβ, where dα = iX vol e dβ = iY vol. He showed
that I(X, Y ) = lk(X, Y ). In the present work we extend these definitions of
the asymptotic linking invariant lk(Φ, Ψ) and the Hopf invariant I(Φ, Ψ),
where Φ and Ψ are actions of Rk e Rs , k + s = n − 1, by volume
preserving diffeomorphisms, on the closed unit ball Ωn in Rn , and we show
that lk(Φ, ψ) = I(Φ, Ψ).
Keywords
Exterior Algebra. k-Vector Field.
Asymptotic Linking Invariant.
Law of Biot-Savart.
Rk -Actions.
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Sumário
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1
Introdução
8
2 Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
2.1 Produto Interno Sobre Λ(E)
2.2 Os Produtos · e ×
11
11
16
3
Os Operadores div e rot
3.1
Operadores Associados a K-Campos em M
3.2 Os operadores rot e div sobre E(M )
22
22
26
4 Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
4.1
Ações de Rk em M n
4.2 Teorema Ergódico para Ações de Rk numa Variedade Riemanniana
Compacta
35
35
5
A Generalização da Lei de Biot-Savart
5.1 Distribuições em Rn
5.2 A Lei de Biot-Savart em R3
5.3 A lei de Biot-Savart em Rn
45
45
49
53
6
Fórmulas de Enlaçamento
6.1
Índice de Enlaçamento
6.2 Formas de Enlacamento
6.3 Índice de enlaçamento para ciclos singulares em M
56
56
61
63
Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em Variedades
Riemannianas
7.1
Índice de Enlaçamento Assintótico de uma Ação de Rk e uma subvariedade
7.2
Índice de Enlaçamento Assintótico entre Ações de Rk
41
7
Referências Bibliográficas
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67
67
78
88
1
Introdução
Sejam γ1 e γ2 duas curvas fechadas, disjuntas e orientadas em R3 (ou na
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esfera unitária S 3 em R4 ). Seja N qualquer superfı́cie orientavel, transversal a
γ1 e que tem a γ2 como bordo orientado. O ı́ndice de enlaçamento lk(γ1 , γ2 )
é o inteiro definido como o número algébrico de interseções de γ1 com a
superfı́cie N . Agora, se uma aplicação f : S 3 → S 2 é suave, onde S 2 é a
esfera unitária em R3 , então para cada par de pontos p e q em S 2 podemos
definir If := lk(f −1 (p), f −1 (q)) sempre que as curvas fechadas f −1 (p) e f −1 (q)
em S 3 sejam disjuntas. O inteiro If é chamado de Invariante de Hopf para f
sendo que independe da escolha de p e q. O interessante deste invariante If
R
é que tambem pode ser calculado como um valor integral S 3 d−1 β ∧ β, onde
β é a 2-forma em S 3 pull back f ∗ (θ) de uma 2-forma θ que é um gerador de
H 2 (S 2 , Z) e d−1 β representa uma 1-forma α em S 3 tal que dα = β.
Em (Arn), Arnold define para cada campo X ( fluxo ϕ ) de divergência
nula em S 3 o ı́ndice de enlaçamento assintótico lk(X) a qual é uma extensão
do invariante de Hopf visto como enlaçamento. Para isso, ele define um
sistema Σ de curvas que ele chama de sistema de caminos curtos tal que
para cada p ∈ S 3 e tempo T ≥ 0 existe uma única curva σ(p, T ) em
Σ com ponto inicial p e ponto final ϕT (p). Assim, para cada pedaço de
orbita ϑ(p, T ) = {ϕt (p); t ∈ [0, T ]} ele associa uma única curva fechada
ϑ̃(p, T ) := ϑ(p, T ) ∪ σ(p, T ). Logo, define para cada par de pontos p e q em S 3
1
lk(ϑ̃(p, T ), ϑ̃(q, R)) e mostra, devido à definição
o limite lk(p, q) := lim
T,R→∞ T R
de Σ, que este limite existe para todo (p, q) no complemento de um conjunto
de medida nula em S 3 × S 3 . Assim, define o ı́ndice de enlaçamento assintótico
R
pela integral lk(X) = S 3 ×S 3 lk(p, q)vol × vol, onde dvol é a forma de volume
na métrica usual de S 3 .
Alem disso, sendo α := iX vol uma 2-forma fechada em S 3 ( X sendo de
divergência nula ), define a invariante de Hopf para X como o valor integral
R
I(X) := S 3 d−1 α ∧ α e mostra, como no caso de aplicações suaves de S 3 em
S 2 , que I(X) = lk(X).
No trabalho de Arnold, ele assume a existência dos sistemas dos caminhos
curtos e dá idéias de como construir estes sistemas para campos com zeros
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Capı́tulo 1. Introdução
9
isolados mas não dá um exemplo concreto no caso geral. Vogel em (Vog)
consegue dar exemplos naturais destes sistemas Σ, onde cada curva em Σ
é um pedaço de geodésica em S 3 , mas a sua definição de Σ somente considera
a convergência em L1 (S 3 × S 3 ) da função lk(p, q) e não a convergência q.t.p.
Vogel observa que para este tipo de convergência o ı́ndice lk(X) ainda está
bem definida.
Observemos que, tanto lk(X) como I(X) podem ser estendidas naturalmente
para definir o ı́ndice de enlaçamento assintótico lk(X, Y ) de um par de campos
de divergência nula. Aqui lk(p, q) é o enlaçamento assintótico da órbita de X
que passa por p e da orbita de Y que passa por q, e o invariante de Hopf
R
I(X, Y ) = S 3 d−1 α∧β, onde α = iX dvol e β = iY vol. Ainda temos a igualdade
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I(X, Y ) = lk(X, Y ) . Por outro lado, sabemos que ϕ e ψ os fluxos de X e
Y , respectivamente, são ações de R em S 3 de difeomorfismos que preservam
volume (de divergência nula). Naturalmente, poderı́amos ter definido I(X, Y )
e lk(X, Y ) como I(Φ, Ψ) e lk(Φ, Ψ), respectivamente.
Por outro lado, analogamente como em R3 , podemos definir o ı́ndice de
enlaçamento de duas subvariedades N1k1 e N2k2 de M n , k1 + k2 = n − 1, sempre
que ambas sejam de homologia nula.
O propósito deste trabalho é estender o ı́ndice de enlaçamento assintótico
para ações ϕ de Rk numa variedade riemanniana compacta M n , n > 3, de
difeomorfismos que preservam volume. Isto é, uma ação Φ1 de Rk1 enlaçandose com uma ação Φ2 de Rk2 , k1 +k2 = n−1, ambas agindo em M . Os resultados
desta extensão serão feitas para o caso M = Dn (a bola unitária em Rn ). Para
isto, precisaremos que as ações Φ1 e Φ2 sejam tangentes ao bordo de Dn .
No trabalho de Arnold em R3 a lei de Biot-Savart é crucial para
estabelecer a igualdade lk(X) = I(X). A lei de Biot-Savart afirma que se Ω é
um dominio em R3 com bordo suave e X é um campoZem Ω de divergência nula
(y − x) × X(y)
1
e tangente a ∂Ω então o campo BS(X)(x) :=
vol(y)
4π Ω
ky − xk3
satisfaz rot(BS(X)) = X .
Assim, neste trabalho primeiro estendemos a definição do produto vetorial e do produto interior para k-vetores (Capı́tulo 2) e em seguida damos uma
definição de divergência e rotacional para k-campos (Capı́tulo 3). Também
estendemos a Lei de Biot-Savart para k-campos (Capı́tulo 5). Agora, para a
extensão do ı́ndice de enlaçamento assintótico, seguiremos a idéia de Vogel, isto
é, construiremos um sistema Σki (Teorema 7.9) de k-subvariedades singulares,
tal que para cada ki -retângulo de órbita ϑi de Φi existe σi em Σki que satisfaz
∂ϑi = ∂σi . Deste modo obtemos ki -subvariedades singulares ϑ̃i = ϑi ∪ σi fechadas e sem bordo as quais serão usadas para definir a função limite lk(p, q),
como no caso §3 , e mostraremos que esta função converge em L1 (M × M ) e
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Capı́tulo 1. Introdução
10
independe dos sistemas Σki escolhidos (Proposição 7.10). Também mostrareR
mos que podemos definir invariante de Hopf integral I(ϕ1 , ϕ2 ) = M d−1 α ∧ β
(Capı́tulo 4), onde as formas α e β estão associadas naturalmente às ações ϕk1
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e ϕk2 . E finalmente, mostraremos que lk(ϕ1 , ϕ2 ) = I(ϕ1 , ϕ2 ) (Teorema 7.12) e
daremos algums exemplos no caso k1 = 1, k2 = 2 e n = 4.
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2
Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
Seja R3 o espaço euclidiano tridimensional, chamamos de álgebra exterior
de R3 a álgebra Λ(R3 ) gerada pela base canônica {e1 , e2 , e3 } satisfazendo
ei ∧ ej = −ej ∧ ei ,
∀i, j.
Nesta álgebra define-se o operador linear ∗ que satisfaz:
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∗(1) = ei ∧ ej ∧ ek ; ∗(ei ) = ej ∧ ek ; ∗(ei ∧ ej ) = ek ; ∗(ei ∧ ej ∧ ek ) = 1,
para todo {i, j, k} permutação positiva de {1, 2, 3}.
Sejam × o produto vetorial e · o produto interno canônico em R3 . Não é
dificil mostrar que estes produtos podem ser também expressados fazendo uso
da álgebra exterior e do operador estrela ∗, a saber :
u × v = ∗(u ∧ v) e u · v = ∗(u ∧ ∗v),
∀u, v ∈ R3 .
Neste capı́tulo estenderemos a definição de × e · visto como produtos na
álgebra exterior de qualquer espaço vetorial e veremos algumas propriedades
as quais são parecidas ao caso R3 .
2.1
Produto Interno Sobre Λ(E)
Seja E um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno h , i.
Fixemos β = {u1 , u2 , ..., un } uma base ortonormal de E. Chamamos de álgebra
exterior de E a álgebra Λ(E) gerada por β cujo produto ∧ é anticomutativo
em β ,isto é, para todo i e j em {1, .., n} temos que ui ∧ uj = −uj ∧ ui . O
sub-espaço Λk (E) gerado pelos elementos da forma {ui1 ∧ .. ∧ uik }1≤i1 <..<ik ≤n é
dita a k-álgebra exterior de E. Cada u ∈ Λk (E) é chamado de k-vetor e no caso
de u = v1 ∧ v2 ∧ .. ∧ vk , onde os vi ∈ E, será chamado de k-vetor decomponı́vel.
Notemos que Λ(E) pode ser definida pela soma direta
Λ(E) := Λ0 (E) ⊕ Λ1 (E) ⊕ .. ⊕ Λn (E).
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
12
Observemos que a propriedade distributiva de uma álgebra garante a extensão
da propriedade anticomutativa do produto ∧ para cada par de vetores em E,
isto é, para todo u e v em E se satisfaz u ∧ v = −v ∧ u, em particular, para
todo u ∈ E temos que u ∧ u = 0. logo, se {v1 , .., vk } é um subconjunto de E
linearmente dependente então
v1 ∧ v2 ∧ .. ∧ vk = 0.
(2-1)
Notemos também que se {v1 , .., vn } é um subconjunto de E e se para cada i
temos que (vi )β denota as coordenadas de vi na base β então por (2-1) e a
propriedade anticomutativa do produto ∧ temos que
v1 ∧ .. ∧ vn = [(v1 )β , .., (vn )β ]u1 ∧ .. ∧ un ,
onde [(v1 )β , ..(vn )β ] é o determinante da matriz cujas linhas são as coordenadas
(vi )β . Em geral, se γ = {w1 , ., wn } é uma base qualquer de E então
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v1 ∧ .. ∧ vn = [(v1 )γ , .., (vn )γ ]w1 ∧ .. ∧ wn .
(2-2)
Por outro lado, no caso de E ∗ o espaço dual de E podemos usar
definições análogas ao caso de Λ(E) para definir Λ(E ∗ ) a álgebra exterior de
E ∗ sendo os elementos desta álgebra chamados de covetores. A álgebra Λ(E ∗ )
é isomorfo a (Λ(E))∗ . Em particular, Λk (E ∗ ) é isomorfo a (Λk (E))∗ , a saber, se
{ω1 , . . . , ωn } é a base dual de {u1 , . . . , un } então a base {ωi1 ∧..∧ωik }1≤i1 <..<ik ≤n
de Λk (E ∗ ) será identificada como a base dual de {ui1 ∧ .. ∧ uik }1≤i1 <..<ik ≤n em
Λk (E). Notemos que todo k-vetor u pode ser escrito da forma
X
u=
(ωi1 ∧ .. ∧ ωik )(u)ui1 ∧ .. ∧ uik .
(2-3)
1≤i1 <..<ik ≤n
Analogamente, todo k-covetor ω pode ser escrito da forma
X
ω=
ω(ui1 ∧ .. ∧ uik )ωi1 ∧ .. ∧ ωik .
(2-4)
1≤i1 <..<ik ≤n
Notemos também, que se α = α1 ∧ .. ∧ αk é um k-covetor decomponı́vel e
v = v1 ∧ . . . ∧ vr é um r-vetor decomponı́vel então
(
α(v) =
0
se k 6= r;
det[αi (vj )] se k = r,
(2-5)
onde det denotya o determinante de uma matriz quadrada.
Para cada u ∈ Λ(E) chamaremos de produto interior por u à trans-
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
13
formação linear
iu : Λ(E ∗ ) −→ Λ(E ∗ ),
ω 7−→ iu ω, iu ω(υ) = ω(u ∧ υ)
∀ υ ∈ A(E).
Em particular, se u é um 1-vetor, u ∈ E, então iu é uma antiderivação de grau
-1 em Λ(E ∗ ), isto é, iu satisfaz
1. iu (ω) ∈ Λk−1 (E ∗ ),
∀ω ∈ Λk (E).
2. iu (ω ∧ β) = iu (ω) ∧ β + (−1)k ω ∧ iu (β), ∀ω ∈ Λk (E ∗ ) ∀β ∈ Λ(E ∗ ).
Observação 2.1 Observemos que se u1 , u2 , .., uk−1 e uk são elementos de
Λ(E) então
iu1 ∧u2 ∧..∧uk−1 ∧uk = iuk iuk−1 ..iu2 iu1 .
(2-6)
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Para cada k 6= 0 definamos a aplicação bilinear :
h , ik : Λk (E) × Λk (E) −→ R
tal que, para cada par u = u1 ∧ ... ∧ uk e v = v1 ∧ ... ∧ vk de k-vetores
decomponı́veis corresponde o valor :
hu, vik = det[hui , vj i].
(2-7)
Proposição 2.2 h , ik é produto interno sobre Λk (E) .
Prova: Por definição, o produto h , ik é bilinear. Por outro lado, sabendo que
para toda matriz quadrada A e sua transposta At se satisfaz detA = detAt ,
por definição do produto h , ik temos
hu1 ∧ .. ∧ uk , v1 ∧ .. ∧ vk ik = hv1 ∧ .. ∧ vk , u1 ∧ .. ∧ uk ik .
Logo o próduto é simétrico. Agora, seja {u1 , ..., un } base ortonormal de E.
Tomndo u = ur1 ∧...∧urk e v = us1 ∧...∧usk decomponı́veis tais que r1 < ... < rk
e s1 < ... < sk , temos
hu, vik
=
det[huri , usj i]
(
=
det[δsrji ] =
1 se ri = si para todo i.
0 se ri 6= si para algum i.
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
Agora, se u =
X
14
ai1 ...ik ui1 ∧ ... ∧ uik ∈ Λk (E) então
1≤i1 <...<ik ≤n
hu, uik =
=
X
X
ai1 ...ik aj1 ...jk hui1 ∧ ... ∧ uik , uj1 ∧ ... ∧ ujk i
a2i1 ...ik
≥
0,
onde as somas são tomadas sobre todos os k-uplos tais que
1 ≤ i1 < .. < ik ≤ n e
1 ≤ j1 < .. < jk ≤ n.
2
Notemos que a definição do produto h , ik implica que o conjunto {ui1 ∧ .. ∧
uik }1≤i1 <..<ik ≤n é uma base ortonormal de Λk (E).
Definamos o produto interno:
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h , i : Λ(E) × Λ(E) −→ R
tal que se u ∈ Λk (E) e v ∈ Λr (E)
(
hu, vi =
hu, vik se k = r.
0
se k 6= r.
A norma de um vetor u ∈ Λ(E) será definido como kuk :=
Este produto interno induz o isomorfismo
(2-8)
p
hu, ui.
j : Λ(E) −→ Λ(E ∗ )
u 7−→ j(u), j(u)(v) = hu, vi ∀v ∈ Λ(E)
(2-9)
Proposição 2.3 j é um isomorfismo de álgebras, isto é
j(u ∧ v) = j(u) ∧ j(v)
∀u, v ∈ Λ(E).
(2-10)
Prova: Seja u = u1 ∧ .. ∧ uk um k-vetor decomponı́vel. Tomemos um k-vetor
v = v1 ∧ .. ∧ vk decomponı́vel arbitrário. Notemos que
[j(u)](v) = hu, vi
= det[hui , vj i]
= det[j(ui )(vj )]
= [j(u1 ) ∧ ... ∧ j(uk )](v1 ∧ .. ∧ vk )
= [j(u1 ) ∧ ... ∧ j(uk )](v).
ou seja, temos que j(u) = j(u1 ) ∧ ... ∧ j(uk ).
2
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
15
Observação 2.4 O isomorfismo j −1 : Λ(E ∗ ) −→ Λ(E) induz o produto
interno ≺ , Â: Λ(E ∗ ) × Λ(E ∗ ) −→ R, ≺ α, β Â= hj −1 (α), j −1 (β)i
Observemos que se {u1 , ..., un } é qualquer base ortonormal de E e
{ω1 , ..., ωn } é a base dual em E ∗ então para todo i temos que ωi = j(ui ).
Disso e da definição do produto ≺ , Â temos que {ω1 , ..., ωn } é também uma
base ortonormal de E ∗ .
Exemplo 2.5
Sejam E = Rn com o produto interno usual, {e1 , ..., en } base canônica de Rn
e {α1 , ..., αn } a base dual.
1.Seja A := h3e1 ∧ e2 + 4e2 ∧ e3 , 4e1 ∧ e2 + e2 i. Logo:
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A = 12he1 ∧ e2 , e1 ∧ e2 i + 3he1 ∧ e2 , e2 i
+16he2 ∧ e3 , e1 ∧ e2 i + he2 ∧ e3 , e2 i
¯
¯
¯
¯ e ·e e ·e ¯
¯ e ·e e ·e
¯ 1 1 1 2 ¯
¯ 2 1 2 2
= 12 ¯
¯ + 16 ¯
¯ e2 · e1 e2 · e2 ¯
¯ e3 · e1 e3 · e2
= 12.
¯
¯
¯
¯
¯
2. Seja B := ≺ 3α1 ∧ α2 + 4α2 ∧ α3 , 4α1 ∧ α2 + α2 Â. Logo:
B = hj −1 (3α1 ∧ α2 + 4α2 ∧ α3 , j −1 (4α1 ∧ α2 + α2 )i
= hj −1 (3α1 ∧ α2 ) + j −1 (4α2 ∧ α3 ), j −1 (4α1 ∧ α2 ) + j −1 (α2 )i
= h3e1 ∧ e2 + 4e2 ∧ e3 , 4e1 ∧ e2 + e2 i = 12.
2
2.2
Os Produtos · e ×
Sejam E um espaço vetorial de dimensão n e {u1 , .., un } uma base
ortonormal de E. O subespaço Λn (E) é gerado pelo n-vetor u1 ∧ .. ∧ un , logo, a
dimensão de Λn (E) é igual a 1. Assim, Λn (E) − {0} tem duas componentes e
a escolha de uma destas componentes define uma orientação para E. Fixando
uma componente dizemos que E é um espaço vetorial orientado. Denotaremos
esta componente por O. Alem disso, toda base {v1 , .., vn } de E tal que
v1 ∧ .. ∧ vn ∈ O será chamada de uma base positiva de E.
Definição 2.6 Sejam E um espaço vetorial orientado com produto interno
h , i e {u1 , ..., un } uma base ortonormal positiva de E. Chamamos de operador
estrela de Hodge à aplicação linear ∗ : Λ(E) −→ Λ(E) que satisfaz
1. ∗(u1 ∧ u2 ∧ .. ∧ un ) = 1.
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
16
2. ∗(1) = u1 ∧ ... ∧ un .
3. Se {i1 , .., ik , j1 , ..jn−k } é uma permutação positiva de {1, .., n} então
∗(ui1 ∧ ... ∧ uik ) = uj1 ∧ .. ∧ ujn−k , k 6= n.
Observação 2.7 O operador estrela de Hodge ∗ independe da escolha da base
ortonormal positiva {u1 , ..., un }.
Analogamente, podemos definir o operador estrela de Hodge sobre o dual
Λ(E ∗ ) considerando sobre E ∗ o produto interno e a orientação induzida pelo
isomorfismo j. O operador ∗ possui as seguintes propriedades:
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Sejam {i1 , .., ik }, com os il s distintos, e {j1 , .., jr } contidos em {1, .., n}
com interseção não nula. Então
(ui1 ∧ ... ∧ uik ) ∧ ∗ (ui1 ∧ ... ∧ uik ) = u1 ∧ u2 ∧ .. ∧ un .
(2-11)
(ui1 ∧ ... ∧ uik ) ∧ ∗ (uj1 ∧ ... ∧ ujr ) = 0.
(2-12)
O operador ∗ também satisfaz as propriedades
∗ ∗ u = (−1)
| ∗ u| = kuk
k(n−k)
u ∀u ∈ Λk (E).
∀u ∈ Λn (E).
(2-13)
(2-14)
Exemplo 2.8
Sejam E = R5 e {e1 , .., e5 } sua base canônica ortonormal. Suponha que
e1 ∧..∧e5 define a orientação O de R5 . Neste caso sendo {α1 , .., α5 } a base dual
da base canônica e que {1, 3, 4, 2, 5} e {1, 2, 5, 3, 4} são permutações positivas
de {1, 2, 3, 4, 5} temos que
1. ∗ e1 ∧ e3 = e4 ∧ e2 ∧ e5 = − e2 ∧ e4 ∧ e5 .
2. ∗ (e1 ∧ e2 ∧ e5 − e1 ∧ e2 ) = e3 ∧ e4 − e3 ∧ e4 ∧ e5 .
3. ∗ α1 ∧ α3 = − α2 ∧ α4 ∧ α5 .
4. ∗ ∗ α1 ∧ α3 ∧ α5 = α1 ∧ α3 ∧ α5 . 2
M
L
Consideremos Λ(E)=
Λk (E), onde
denota soma direta de suk∈Z
bespaços, Z denota os inteiros e Λk (E) = 0 se k < 0 ou k > n. Definamos os
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
17
seguintes produtos em Λ(E):
· : Λ(E) × Λ(E) −→ Λ(E)
(u, v) 7−→ u · v = ∗ (u ∧ ∗v).
× : Λ(E) × Λ(E) −→ Λ(E)
(u, v) 7−→ u × v = ∗ (u ∧ v).
(2-15)
(2-16)
Note que se u ∈ Λk (E) e v ∈ Λr (E) então u · v ∈ Λr−k (E) e u × v ∈
Λn−(r+k) (E).
Observação 2.9
Sejam E = R3 e {e1 , e2 , e3 } a base canônica tal que e1 ∧ e2 ∧ e3 define a
orientação. Então, pelas propriedades do operador ∗, temos que
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(
ei · ej = ∗(ei ∧ ∗ej ) =
(
ei × ej = ∗(ei ∧ ej ) =
∗(e1 ∧ e2 ∧ e3 ) = 1 se i = j.
0
se i 6= j.
ek se i 6= j.
0 se i = j,
onde {i, j, k} é permutação positiva de {1, 2, 3}. Assim, · e × são respectivamente o produto interno e vetorial usuais em R3 .
2
Usando sómente as definições de × e · podemos mostrar que
u × (v × w) = u · (v ∧ w)
∀u, v, w ∈ Λ(E).
(2-17)
Também, para {v1 , ..vn } conjunto de vetores em E podemos mostrar por
definição de × e · e por (2-2) que os vetores decomponiveis u = v1 ∧ .. ∧ vk1 ,
v = vk1 +1 ∧ .. ∧ vk2 e w = vk2 +1 ∧ .. ∧ vn satisfazem
u × v · w = [(v1 )β , (v2 )β , .., (vn )β ],
(2-18)
onde β é qualquer base ortonormal que define a orientação de E e usamos a
notação de (2-2).
Proposição 2.10 Sejam u, v ∈ Λk (E). Então
u · v = v · u = hu, vi.
(2-19)
Prova: Seja {u1 , ..., un } uma base ortonormal de E. A definição de h , ik
implica que {ui1 ∧ .. ∧ uik }1≤i1 <..<ik ≤n é base ortonormal de Λk (E).
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
18
Por outro lado, por (2-11) e (2-12) temos que
(ui1 ∧ .. ∧ uik ) · (uj1 ∧ .. ∧ ujk ) = ∗((u
( i1 ∧ .. ∧ uik ) ∧ ∗(uj1 ∧ .. ∧ ujk ))
1 , ir = jr ∀ r
=
0 , ir 6= jr para algum r
Logo, os produtos h , ik e · coincidem numa base de Λk (E). Disso e do fato
que ambos produtos são bilineares, temos que
hu, vi = u · v,
∀u, v ∈ Λk (E). 2
Seja {u1 , ..., un } uma base positiva de E. Notemos por definição de norma que
ku1 ∧ ... ∧ un k2 = det[hu1 , uj i], onde det denota determinante.
Corolário 2.11 Sejam {u1 , .., un } uma base positiva de E e {ω1 , .., ωn } a base
dual de E ∗ . Se ḡ = det[hu1 , uj i] = ku1 ∧ .. ∧ un k2 então
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j ∗ (u1 ∧ .. ∧ uk ) =
√
ḡωk+1 ∧ .. ∧ ωn
(−1)k(n−k)
√
∗j −1 (ωk+1 ∧ .. ∧ ωn ) =
u1 ∧ .. ∧ uk
ḡ
(2-20)
(2-21)
Prova: Sendo j∗(u1 ∧..∧uk ) um r-covetor, r = n−k, e {ωl1 ∧..∧ωlr }1≤l1 <..<lr ≤n
a base dual em Λr (E ∗ ) de {ul1 ∧ .. ∧ ulr }1≤l1 <..<lr ≤n então por (2-4), definição
de j, proposição anterior, (2-13), (2-1) e (2-14) temos
j ∗ (u1 ∧ .. ∧ uk ) =
X
[j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk ))(ul1 ∧ .. ∧ ulr )]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr
1≤l1 <..<lr ≤n
=
X
[(ul1 ∧ .. ∧ ulr ) · ∗(u1 ∧ .. ∧ uk )]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr
1≤l1 <..<lr ≤n
=
X
[∗(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ ul1 ∧ .. ∧ ulr )]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr
1≤l1 <..<lr ≤n
= [∗(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uk+1 ∧ .. ∧ un )]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
√
ḡωk+1 ∧ .. ∧ ωn ,
=
mostrando assim (2-20). Usaremos este resultado para mostrar (2-21).
1
1
∗j −1 (ωk+1 ∧ .. ∧ ωn ) = ∗j −1 (j ∗ ( √ u1 ∧ .. ∧ uk )) = (−1)k(n−k) √ u1 ∧ .. ∧ uk . 2
ḡ
ḡ
Sejam {u1 , .., un } base ortonormal positiva de E e {j(u1 ), .., j(un )} sua
base dual em E ∗ . Definamos o n-covetor unitário volE := j(u1 ∧ .. ∧ un ) dual
ao vetor unitário u1 ∧ .. ∧ un .
Proposição 2.12 Seja u ∈ Ek (M ). Então
iu volE = j(∗u).
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(2-22)
Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
19
Prova: Sendo {u1 , ..un } uma base ortonormal temos que {j(u1 ), .., j(un )} é
a base dual em E ∗ . Para cada i denotemos ωi := j(ui ), logo {ui1 ∧ .. ∧
uik }1≤i1 <..<ik ≤n é uma base ortonormal de Λk (E) e {ωi1 ∧ .. ∧ ωik }1≤i1 <..<ik ≤n é
a base ortonormal dual de Λk (E ∗ ). Consideremos o caso u1 ∧ .. ∧ uk . Notemos
que iu1 ∧..∧uk volE ∈ Λn−k (E ∗ ). Por (2-4), definição de iu1 ∧..∧uk volE , (2-1)) e
definição de j temos que
iu1 ∧..∧uk volE =
X
[iu1 ∧..∧uk volE (uj1 ∧ .. ∧ ujn−k )]ωj1 ∧ .. ∧ ωjn−k
1≤j1 <..<jn−k ≤n
=
X
[volE (u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uj1 ∧ .. ∧ ujn−k )]ωj1 ∧ .. ∧ ωjn−k
1≤j1 <..<jn−k ≤n
= [volE (u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uk+1 ∧ .. ∧ un )]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
= [ku1 ∧ .. ∧ un k2 ]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
= ωk+1 ∧ .. ∧ ωn
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= j(uk+1 ∧ .. ∧ un ).
Por outro lado, sendo {u1 , .., un } uma base ortonormal positiva, temos que
∗(u1 ∧ .. ∧ uk ) = uk+1 ∧ .. ∧ un . Logo
j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk )) = j(uk+1 ∧ .. ∧ un ).
Assim j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk )) = iu1 ∧..∧uk volE . No caso de iui1 ∧..∧uik volE , 1 ≤ i1 < .. <
ik ≤ n, podemos considerar uma permutaçào positiva {j1 , ..jn } de {1, .., n} tal
que para todo r ∈ {1, ..k} temos que ir = jr e mostrar como acima que
j(∗(ui1 ∧ .. ∧ uik )) = iui1 ∧..∧uik volE .
2
Proposição 2.13 Sejam u ∈ Λk (E) e v ∈ Λr (E) então
j(u · v) = (−1)(r−k)(n−r) iu j(v).
(2-23)
Prova: Por definição u · v ∈ Λr−k (E) . Seja w ∈ Λr−k (E) arbitrário. Por
definição de j e (2-19) temos que j(u · v)(w) = w · (u · v). Aplicando as
propriedades de ∗ convenientemente temos w·(u·v) = (−1)(r−k)(n−r) (u∧w)·v.
Logo, por (2-19) e definição de iu temos que
j(u · v)(w) = (−1)(r−k)(n−r) hv, u ∧ wi
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
20
= (−1)(r−k)(n−r) j(v)(u ∧ w)
= (−1)(r−k)(n−r) iu j(v)(w). 2
Corolário 2.14 Seja u ∈ E, dim(E) = n. Se v ∈ Λk (E) e w ∈ Λs (E) então
u · (v ∧ w) = (−1)ns (u · v) ∧ w + (−1)(n+1)k v ∧ (u · w).
(2-24)
Prova: Sejam v ∈ Λk (E) e w ∈ Λs (E). Por (2-23), (2-10) e sendo iu
antiderivada temos que
j(u · (v ∧ w)) = (−1)(k+s−1)(n−k−s) iu j(v ∧ w)
= (−1)n(k+s−1) iu (j(v) ∧ j(w))
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= (−1)n(k+s−1) {(iu j(v)) ∧ j(w) + (−1)k j(v) ∧ (iu j(w))}.
Disto, (2-23) e (2-10) temos
j(u · (v ∧ w)) = (−1)ns j((u · v) ∧ w) + (−1)(n+1)k j(v ∧ (u · w)).
Logo pela linearidade de j temos
j(u · (v ∧ w)) = j((−1)ns (u · v) ∧ w + (−1)(n+1)k v ∧ (u · w)).
Finalmente, sendo j um isomorfismo podemos aplicar j −1 à última equação e
obter o resultado.
2
Corolário 2.15 Sejam u, vi , i=1,..,k , vetores em E. Então
u · (v1 ∧ ... ∧ vk ) = (−1)(k−1)n
k
X
(−1)i−1 hu, vi iv1 ∧ ..vbi .. ∧ vk .
(2-25)
i=1
Prova: ( Por indução )
k = 1: u · v1 = hu, v1 i.
Para k + 1 sabendo que se cumpre para k:
Por (2-24) temos que
u·(v1 ∧..∧vk+1 ) = (−1)n (u·(v1 ∧..∧vk ))∧vk+1 +(−1)(n+1)k v1 ∧..∧vk ∧(u·vk+1 ).
Como a formula se cumpre para k, temos que
u · (v1 ∧ .. ∧ vk ) = (−1)(k−1)n
k
X
(−1)i−1 hu, vi iv1 ∧ .. ∧ vbi ∧ .. ∧ vk .
i=1
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Capı́tulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
21
Além disso, como u · vk+1 = hu, vk+1 i ∈ R, podemos escrever
v1 ∧ .. ∧ vk ∧ (u · vk+1 ) = hu, vk+1 iv1 ∧ .. ∧ vk .
Portanto,
kn
u · (v1 ∧ .. ∧ vk+1 ) = (−1)
k+1
X
(−1)i−1 hu, vi iv1 ∧ .. ∧ v̂i ∧ .. ∧ vk ∧ vk+1 .2
i=1
Observação 2.16
Sejam u, v, w ∈ R3 . Então por (2-17) e (2-25) temos que
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u × (v × w) = (u · w) v − (u · v) w.
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3
Os Operadores div e rot
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Em R3 , para todo campo vetorial X a divergência e o rotacional deste
∂ ∂ ∂
campo podem ser calculados fazendo uso do vetor gradiente ( , , ) e
∂x ∂y ∂z
do produto interno · e do produto vetorial ×, respectivamente. No capı́tulo
1 as definições do produto interno · e produto vetorial × em R3 foram
estendidas para qualquer espaço vetorial pelo que neste capı́tulo estenderemos
as definições de divergência e rotacional para k-campos numa variedade M .
3.1
Operadores Associados a K-Campos em M
Seja M n uma variedade riemanniana . Para cada p ∈ M temos que
Tp (M ), o espaço tangente a M no ponto p, é um espaço vetorial. Definamos
[
Tk (M ) :=
Λk (Tp M ) . A variedade M induz naturalmente sobre Tk (M )
p∈M
¡ ¢
uma estrutura diferenciável de dimensão n + nk . A saber, sejam U uma
vizinhança coordenada em M e (x1 , .., xn ) seu
Para
¾
½ sistema de coordenadas.
∂
∂
(p), ..,
(p) de vetores
cada p ∈ U consideremos em Tp (M ) a base
∂x1
∂xn
tangentes coordenados e seja π : Tk (M ) → M a projeção canônica de
[
Tk (M ), isto é, π(v) = p, sev ∈ Λk (Tp M ). Então
Λk (Tp M ) será uma
p∈U
vizinhança coordenada em Tk (M ) com sistema de coordenadas (x1 ◦ π, .., xn ◦
π, a12...k , ..., a(n−k+1)...n ) definidas por
X
1≤i1 <...<ik ≤n
ai1 i2 ..ik
∂
∂
(p)∧ .. ∧
(p) 7→ (x1 (p), ..., xn (p), a12...k , .., a(n−k+1)...n ).
∂xi1
∂xik
A variedade Tk (M ) é chamado de k-fibrado tangente de M . Cada aplicação
suave X : M → Tk (M ) que satisfaz π ◦ X = id é chamado de k-campo vetorial
suave em M . Localmente, no sistema de coordenadas (x1 , ..xn ), escreveremos
um k-campo X como
X(p) =
X
1≤i1 <..<ik ≤n
fi1 ..ik (p)(
∂
∂
∧ .. ∧
)(p).
∂xi1
∂xik
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
23
Denotaremos por Ek (M ) o espaço dos k-campos vetoriais em M . A variedade
M é dita orientável se existe um n-campo suave V tal que V (p) 6= 0, ∀p.
V
Seja N =
o n-campo unitário em En (M ). Observemos que para cada
kV k
p ∈ M a componente de Λn (Tp M ) que contém N (p), define uma orientação
Op para Tp M . Neste sentido, diremos que N define uma orientação para M
ou que M é uma variedade orientada com orientação O. Se M é conexa então
somente existem duas orientações possı́veis. Como N define a orientação, então
para todo p ∈ M temos que ∗N (p) = kN (p)k = 1. Localmente, o sistema
de coordenadas (x1 , .., xn ) será ½
dita coerente com a¾ orientação sempre que os
∂
∂
(p), ..,
(p) forem uma base positiva
vetores tangentes coordenados
∂x1
∂xn
de Tp M .
[
Analogamente, para E k (M ) :=
Λk ((Tp M )∗ ) podemos induzir nap∈ M
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turalmente uma estrutura diferenciável que será chamado de k-fibrado cotangente de M . Chamaremos de k-forma diferenciável a toda aplicação suave da
forma ω : M → T k (M ) tal que ω(p) ∈ Λk ((Tp M )∗ ). Localmente, no sistema
∗
de coordenadas (x1 , .., xn ), sendo Λ½
k ((Tp M ) ) dual a Λ¾
k (Tp M ) e considerando
∂
∂
(p), ..,
(p) escreveremos uma k{dx1 (p), .., dxn (p)} a base dual de
∂x1
∂xn
forma diferenciável ω como
ωp =
X
fi1 ..ik (p)(dxi1 dxi2 ..dxik )p ,
1≤i1 <..<ik ≤n
onde o produto ∧ está implı́cito na igualdade acima, isto é, (dxi1 dxi2 ..dxik )p :=
(dxi1 ∧ dxi2 ∧ .. ∧ dxik )p . O espaço das k-formas diferenciáveis em M será
denotado por E k (M ).
Seja (x1 , .., xn ) qualquer sistema de coordenandas em M . Para cada
f : M → R suave definimos o diferencial de f como a 1-forma df que tem
representação local
n
X
∂f
df =
dxi .
∂x
i
i=1
X
Em geral, para cada k-forma α, localmente α =
fi1 ..ik dxi1 ..dxik ,
1≤i1 <..<ik ≤n
definimos o diferencial de α como a (k + 1)-forma dα que tem representação
local
X
dα =
(dfi1 ..ik )dxi1 ..dxik .
1≤i1 <..<ik ≤n
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
24
Definição 3.1 A aplicação bilinear
∧ : Ei (M ) × Ej (M ) → Ei+j (M )
(X, Y ) 7→ X ∧ Y, (X ∧ Y )(p) = X(p) ∧ Y (p)
é chamado de produto exterior de k-campos. A álgebra dos k-campos vetoriais
para todo k será denotada por E(M ). Analogamente, podemos definir o produto
exterior de k-formas diferenciáveis
Seja g a métrica riemanniana em M . A métrica restrita a Tp M será identificada
por gp . A extensão de gp a Λ(Tp M ) também será denotada por gp . Sejam X
e Y k-campos vetoriais em M . Definiremos a função g(X, Y )
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g(X, Y )(p) = gp (X(p), Y (p)),
∀p ∈ M
(3-1)
Definição 3.2 Seja X ∈ Ek (M ). A k-forma j(X) definida por j(X)(p) =
j(X(p)) será chamada de k-forma associada a X. A (n − k)-forma j(∗X) será
chamada a (n − k)-forma associada a X. Em particular se f ∈ Λ0 (M ) =
C ∞ (M ) então j(f ) = f .
Seja N o n-campo unitário que define a orientação. Chamaremos a j(N )
a forma de volume em M a qual será denotada por vol. Definamos para
cada X ∈ Ek (M ) a (n − k)-forma iX vol tal que para todo p ∈ M temos
(iX vol)p = iX(p) volp e notemos por (2-22) que
iX vol = j(∗X),
∀X ∈ Ek (M ).
(3-2)
Exemplo 3.3 Seja M domı́nio Ω ⊂ R5 . Considere e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 ∧ e5 ∈ ϑ.
Seja X = f12 e1 ∧ e2 + f24 e2 ∧ e4 ∈ E2 (Ω). Então
j(X) = f12 dx1 ∧ dx2 + f24 dx2 ∧ dx4 ∈ E 2 (Ω)
∗X = f12 e3 ∧ e4 ∧ e5 − f24 e1 ∧ e3 ∧ e5 ∈ E 3 (Ω)
j(∗X) = f12 dx3 ∧ dx4 ∧ dx5 + f24 dx1 ∧ dx3 ∧ dx5 ∈ E 3 (Ω)
Proposição 3.4 Sejam M uma variedade orientada, (x1 , .., xn ) um sistema
∂
∂
de coordenadas em M coerentes com a orientação, {
, ..,
} os vetores
∂xi
∂xn
tangentes coordenados e {dx1 , .., dxn } sua base dual. Definamos o valor ḡ :=
∂
∂
∂
∂
k
∧ .. ∧
)k2 = det[g(
,
)]. Então
∂xi
∂xn
∂xi ∂xj
√
∂
∂
∧ .. ∧
=
ḡN
∂x1
∂xn
√
vol =
ḡdx1 dx2 ..dxn
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(3-3)
(3-4)
Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
25
∂
∂
∧ .. ∧
)(p) = f (p)N (p).
∂x1
∂xn
∂
∂
∂
∂
∧ .. ∧
)(p)) = f (p). Sendo {
, ..,
}
Como ∗N = 1 então ∗((
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
∂
∂
base positiva então ∗(
∧ .. ∧
) > 0. Logo, por (2-14) temos que
∂x°n
° ∂x1
° ∂
∂
∂
∂ °
° = √ḡ. Por tanto f = √ḡ, mostrando
∗(
∧ .. ∧
)=°
∧
..
∧
° ∂x1
∂x1
∂xn
∂xn °
assim (3-3).
Por outro lado, sendo volp base de Λn ((Tp M )∗ ) temos que
Prova : Sendo N (p) base de Λn (Tp M ) então (
(dx1 ..dxn )p = h(p)volp .
Como volp é base dual de N (p) e (dx1 ..dxn )p é base dual de
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então
∂
∂
∧ .. ∧
(p)
∂x1
∂xn
h(p) = (dx1 ..dxn )p (N )
1 ∂
∂
= (dx1 ..dxn )p ( √
∧ .. ∧
)
ḡ ∂x1
∂xn
1
= √ .
ḡ
Por tanto, vol =
√
ḡ dx1 .. dxn .
2.
Para cada função suave f : M → R podemos definir o 1-campo
grad(f ) ∈ E1 (M ) pela igualdade
df (X) = g(X, grad(f )) ∀X ∈ E1 (M ),
onde df é a diferencial de f . Este 1-campo grad(f ) é chamado de gradiente
de f . Obsevemos que g(X, grad(f )) = j(grad(f ))(X). Logo df = j(grad(f ))
Estenderemos esta definição de gradiente para E(M ).
Definição 3.5 O operador gradiente é a aplicação ∇ : Ek (M ) → Ek+1 (M )
tal que cada k-campo X é aplicado no (k+1)-campo
∇X = j −1 dj(X).
(3-5)
Proposição 3.6 Sejam f ∈ Λ0 (M ) = C ∞ (M ), X ∈ Ek (M ) e Y ∈ E(M )
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
26
então
∇(f ) = grad(f )
(3-6)
dj(X) = j(∇X).
(3-7)
∇(X ∧ Y ) = (∇X) ∧ Y + (−1)k X ∧ (∇Y )
(3-8)
Prova: Sendo f uma função temos f ∈ E0 (M ), logo j(f ) = f . Assim
∇f = j −1 (d(f )). Disso e pela definição de j temos para Y ∈ E1 (M )
g(∇(f ), Y ) = g(j −1 d(f ), Y ) = jj −1 d(f )(Y ) = d(f )(Y ),
mostrando assim (3-6). Agora, (3-7) segue da definição
j(∇X) = j(j −1 dj(X)) = dj(X).
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Por outro lado, sendo j e j −1 homomorfismos de álgebras e o diferencial d uma
antiderivação temos
∇(X ∧ Y ) = j −1 (dj(X ∧ Y ))
( definição de ∇ )
= j −1 ( d(j(X) ∧ j(Y )) )
= j −1 ( dj(X) ∧ j(Y ) + (−1)k j(X) ∧ dj(Y ) )
= j −1 (dj(X)) ∧ j −1 (j(Y )) + (−1)k j −1 (j(X)) ∧ j −1 (dj(Y ))
Diante disto e por definição de ∇ temos que
∇(X ∧ Y ) = (∇X) ∧ Y + (−1)k X ∧ (∇Y ). 2
3.2
Os operadores rot e div sobre E(M )
Sejam M n variedade riemanniana orientada, com métrica g.
Definição 3.7 Sejam s e k inteiros positivos tal que s + k + 1 = n. Definamos
os operadores
rot : Ek (Ω)
X
div : Ek (Ω)
X
→
7
→
→
7→
En−k−1 (Ω)
rot(X) = (−1)s(k+1) ∗ (∇X).
Ek−1 (Ω)
div(X) = (−1)s(k+1) ∗ ∇(∗X).
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
27
Os operadores rot e div serão chamados de operador rotacional e operador
divergência, respectivamente. Observemos que as definições destes operadores
implicam
rot(U × V ) = div(U ∧ V ),
∀U ∈ Ek (M ), ∀V ∈ Es (M )
(3-9)
Agora, mostraremos um resultado que relaciona as formas associadas a kcampos com os operadores definidos acima.
Proposição 3.8 Seja X ∈ Ek (M ). Então
dj(∗X) = idiv(X) vol.
(3-10)
dj(X) = irot(X) vol.
(3-11)
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Prova: Por (3-7) e (2-13) temos
d(j(∗X)) = j(∇ ∗ X)
= i(−1)(k+1)(n−k−1) ∗∇(∗X) vol.
Agora, por (2-22) e definiçào de div temos
d(j(∗X)) = (−1)(n−k+1)(k−1) j(∗ ∗ ∇(∗X))vol
= idiv(X) vol,
mostrando assim (3-10). Por outro lado, por (3-7) e (2-13) temos
d(j(X)) = j(∇X)
= j((−1)(k+1)(n−k−1) ∗ (∗(∇X))).
Agora, por (2-22) e definiçào de rot temos
d(j(X)) = i(−1)(k+1)(n−k−1) ∗(∇X) vol
= irot(X) vol.
2
Proposição 3.9 Sejam X um k-campo sobre M e f ∈ C ∞ . Então
div(f X) = f div(X) + (−1)s(k+1) ∇(f ) · X.
(3-12)
Em particular, se k = 1 então
div(f X) = f div(X) + g(∇(f ), X).
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(3-13)
Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
28
Prova: Por definição de div, linearidade de ∗, (3-8) e definição do produto ·
temos que
div(f X) = (−1)s(k+1) ∗ ∇ ∗ (f X)
= (−1)s(k+1) ∗ ∇(f ∗ X)
= (−1)s(k+1) ∗ [∇(f ) ∧ (∗X) + (−1)s(k+1) (∗f ∇ ∗ X)]
= (−1)s(k+1) ∗ (∇(f ) ∧ (∗X)) + f [(−1)s(k+1) ∗ ∇ ∗ X)]
= (−1)s(k+1) ∇(f ) · X + f div(X).
2
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Proposição 3.10 Seja (x1 , x2 , .., xn ) sistema de coordenadas coerentes com a
∂ 2
∂
∂
∂
orientação de M . Definamos ḡ := k
∧ .. ∧
k = det[g(
,
)]. Então
∂x1
∂xn
∂xi ∂xj
√
∂
1 ∂ ḡ
div(
) = √
(3-14)
∂xi
ḡ ∂xi
X
d
∂
∂
∂
∂
∂
∂
div(
∧ .. ∧
) = (−1)k
(−1)j div(
)
∧ ..
.. ∧
∂xi1
∂xik
∂xij ∂xi1
∂xij
∂xik
j
(3-15)
Prova: Lembremos que {dx1 , .., dxn } é a base dual a {
∂
∂
, ..,
} e que
∂x1
∂xn
1
dx1 ∧ .. ∧ dxn = √ vol. Seja N o n-campo unitario que define a orientação de
ḡ
M . Então, por (2-20) e (2-21) temos que
div(
∂
∂
) = ∗∇ ∗
∂x1
∂x1
∂
= ∗j −1 d(j ∗
)
∂x1
√
= ∗j −1 d( ḡdx2 ..dxn )
√
−1 ∂ ḡ
= ∗j (
dx1 dx2 ..dxn )
∂x1
√
−1 1 ∂ ḡ
= ∗j ( √
vol)
ḡ ∂x1
√
√
1 ∂ ḡ
1 ∂ ḡ
∗N = √
.
= √
ḡ ∂x1
ḡ ∂x1
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
29
Também
div(
∂
∂
∂
∂
∧ .. ∧
) = (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ ∇ ∗ (
∧ .. ∧
)
∂x1
∂xk
∂x1
∂xk
∂
∂
= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j −1 d(j ∗ (
∧ .. ∧
))
∂x1
∂xk
√
= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j −1 d( ḡdxk+1 ..dxn )
√
k
X
∂ ḡ
(k+1)(n−k−1)
−1
= (−1)
∗j (
dx1 dxk+1 ..dxn )
∂xi
i=1
√
k
X
d
∂
∂
k−i 1 ∂ ḡ ∂
=
(−1) √
∧ ..
.. ∧
ḡ ∂xi ∂x1
∂x1
∂xk
i=1
k
= (−1)
k
X
(−1)i div(
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i=1
d
∂
∂
∂
∂
)
∧ ..
.. ∧
∂xi ∂x1
∂x1
∂xk
No caso geral, podemos considerar {j1 , j2 , j3 , .., jn } permutação positiva de
{1, 2, .., n} tal que i = j1 no primeiro caso e ir = jr , ∀r ∈ {1, .., k}, no segundo
caso.
2
Exemplo 3.11
Sejam Ω a n-variedade Rn , a base canônica {e1 , .., en } e {dx1 , .., dxn } a base
dual. Suponha que N = e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 ∧ en define a orientação de Ω . Notemos
que
∇ei = j −1 dj(ei ) = j −1 ddxi = j −1 d2 xi = 0, ∀i.
Seja X =
n
X
fi ei então
i=1
a) ∇ X
=
=
n
X
i=1
n
X
∇(fi ei )
∇(fi ) ∧ ei
i=1
n X
n
X
∂fi
ej ] ∧ ei
=
[
∂xj
i=1 j=1
X ∂fj
∂fi
=
[
−
]ei ∧ ej
∂x
∂x
i
j
1≤i<j≤n
b) rot X = (−1)(n−2).2 ∗ (∇X)
X ∂fj
∂fj
= ∗(
{
−
}ei ∧ ej )
∂xi ∂xi
1≤i<j≤n
X
∂fj
∂fj
=
(−1)i+j−1 {
−
}e1 ∧ ..b
ei ..b
ej .. ∧ en
∂x
∂x
i
i
1≤i<j≤n
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
c) div (X) =
n
X
30
div(fi ei )
i=1
n
X
[∇(fi ) · ei + fi div(ei )]
=
i=1
n X
n
X
∂fi
=
[
ej ] · ei
∂xj
i=1 j=1
n
X
∂fi
2
=
∂xi
i=1
Observação 3.12 Se X é um campo vetorial em M então div(X) é a
divergência usual em M . Se M ⊂ R3 então div(X) e rot(X) são a divergência
e o rotacional usual em R3 .
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Sejam U e V campos vetoriais em M . Seja (x1 , .., xn ) um sistema de
n
n
X
X
∂
∂
coordenadas locais de M , onde localmente U =
e V =
.
ui
vi
∂x
∂x
i
i
i=1
i=1
Então localmente podemos escrever o colchete de Lie de U e V como
[U, V ] =
n
X
∂
{g(∇vi , U ) − g(∇ui , V )}
∂xi
i=1
(3-16)
Em particular, se U = f ∂x∂ i e V = h ∂x∂ j , i < j, então
[U, V ] = g(∇h, U )
∂
∂
∂
∂
− g(∇f, V )
= (∇h · U )
− (∇f · V )
∂xj
∂xi
∂xj
∂xi
Teorema 3.13 Sejam U e V campos vetoriais em M . Então
div(U ∧ V ) = −(divU )V + (divV )U − [U, V ]
(3-17)
Prova:
Primeiro, provaremos para U = f ∂x∂ i e V = h ∂x∂ j , i < j. Então por (3-12),
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
31
(3-15), (2-25),(3-8), (3-13) e (3-16) temos que
∂
∂
∧
)
∂xi ∂xj
∂
∂
∂
∂
f hdiv(
∧
) + (−1)(n−3)3 ∇(f h) · (
∧
)
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
∂
∂
∂
∂
−f hdiv(
)
+ f hdiv(
)
)−
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂
∂
∂
∂
)
+ (∇(f h).
)
(∇(f h).
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂
∂
∂
∂
−f div(
)V + hdiv(
)U − (∇f ·
)V − (∇h · U )
∂xi
∂xj
∂xi
∂xj
∂
∂
+(∇f · V )
+ (∇h ·
)U
∂xi
∂xj
∂
∂
∂
∂
−f div(
)V + hdiv(
)U − (∇f ·
)V − (∇h).U
+
∂xi
∂xj
∂xi
∂xj
∂
∂
+(∇f.V )
+ (∇h.
)U
∂xi
∂xj
∂
∂
∂
∂
−(f div
+ ∇f ·
)V + (hdiv
+ ∇h.
)U −
∂xi
∂xi
∂xj
∂xj
∂
∂
−(∇h).U
+ (∇f.V )
∂xj
∂xi
−div(U )V + div(V )U − [U, V ].
div(U ∧ V ) = div(f h
=
=
=
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=
=
=
Agora, provaremos para U =
X
fi
i
div(U ∧ V ) =
X
X
X
X
∂
∂
=
Ui e V =
hj
=
Vj
∂xi
∂x
j
i
j
j
div(Ui ∧ Vj )
i,j
=
X
{−div(Ui )Vj + div(Vj )Ui − [Ui , Vj ]}
i,j
X
X
X
X
X
X
= −div(
Ui )(
Vj ) + div(
Vj )(
Ui ) − [
Ui ,
Vj ]
i
j
j
= −div(U )V + div(V )U − [U, V ].
i
i
j
2
Corolário 3.14 Seja V = V 1 ∧ V 2 ∧ .. ∧ V k tal que V i ∈ E1 (M ), ∀i. Então
k
X
ci .. ∧ V k +
div(V ) = (−1)
(−1)i div(V i ) V 1 ∧ ..V
k
i=1
k
(−1)
X
ci ..Vcj .. ∧ V k . (3-18)
(−1)i+j [V i , V j ] ∧ V 1 ∧ ..V
1≤i<j≤k
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
32
Prova:
Procedendo como na demonstração do teorema anterior. 2
Observação 3.15 Sejam V i , i = 1, .., k campos vetoriais em M tal que
div(V i ) = 0 e [V i , V j ] = 0 para todo i, j. Então, pelo corolário anterior
div(V 1 ∧ .. ∧ V k ) = 0
(3-19)
No caso de M for um domı́nio Ωn ⊂ Rn , com métrica igual ao produto
interno usual h , i, a base canônica {e1 , .., en } podem ser consideradas campos
vetoriais em M ortonormais entre si. Procedendo como no exemplo 3.11
podemos mostrar que
div(ei1 ∧ .. ∧ eik ) = 0, ∀{i1 , .., ik } ∈ {1, .., n}
(3-20)
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Logo a propriedade (3-12) garante que a divergência de um k-campo possa ser
calculado derivando os coeficientes dos k-campos que estão representados como
n
X
combinação linear dos ei1 ∧..∧eik . A saber, seja U =
fi e1 então pelo exemplo
i=1
n
n
X
X
∂fi
∂(f fi )
3.11 temos div(U ) =
, logo div(f U ) =
, onde f é uma função
∂xi
∂xi
i=1
i=1
P
suave de M . Em geral, sejam os campos U i = nj=1 fji ej , i = 1, .., k, em E1 (M )
então por (3-12) e (3-20)
X
div(U 1 ∧ .. ∧ U k ) = div(
i1 , ..ik = 1n fi11 ..fikk ei1 ∧ .. ∧ eik )
=
n
X
(∇(fi11 ..f k ik )) · (ei1 ∧ .. ∧ eik ).
i1 ,..ik =1
Logo, por (3-8), (2-25) e pelo valor da divergência para 1-campos temos
¶
n
n µ
X
X
∂fi11 ..f k ik
div(U ∧ .. ∧ U ) =
ei · (ei1 ∧ .. ∧ eik )
∂x
i
i1 ,..ik =1 i=1
¶
¶
µµ 1 k
n
k
X
X
∂fi1 ..f ik
nk
j
ei · eij ei1 ∧ ..c
eij .. ∧ eik
=
(−1)
(−1)
∂x
i
i1 ,..ik =1
j=1
µ 1 k ¶
k
n
X
X
∂fi1 ..f ik
nk
j
= (−1)
(−1)
ei1 ∧ ..c
eij .. ∧ eik
∂xij
j=1
i ,..i =1
1
k
1
nk
= (−1)
k
X
j
(−1)
j=1
k
n
X
j
k j
div(fi11 ..fc
eij .. ∧ eik .2
ij ..fik V )ei1 ∧ ..c
i1 ,..ibj ..ik =1
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(3-21)
Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
X
Portanto, V (x, y) =
33
fi1 ..ik (x, y)e1 ∧ .. ∧ ek pode ser vista tanto
1≤<i1 <..<ik ≥n
como um k-campo na variável x ou um k-campo na variável y logo podemos
calcular sua divergência tanto na variavel x como na variável y.
Corolário 3.16 Seja domı́nio Ω ⊂ Rn . Seja f ∈ C ∞ (Ω) e 4f = div(∇f ) =
n
n
X
X
Pn
∂2f
i
o
laplaciano
de
f
.
Sejam
V
=
v
e
e
{U
=
uij ej }ki=1 1-campos
i=1 i i
2
∂y
i
i=1
j=1
vetoriais em Ω. Definamos o k-campo vetorial U = U 1 ∧ .. ∧ U k . Então
divx ((∇x f (x − y)) ∧ V (y)) = −(4y f )U −
X
divy (fyi V )ei + (divy (V ))∇y f (x − y)
i
(3-22)
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divx ((∇x f (x − y)) ∧ U (y))) = (−1)k (4y f ) U − (−1)k+n(k−1) ∇y f ∧ divy (U ) + (−1)n+k
¶
µ
k,n,n,..,n
X
∂f 1 c
r
k
r
(−1) divy
u ..ur ..u V
ej ∧ ej1 ∧ ..c
ejr .. ∧ ejk .
∂yj j1 jr jk
r,j,j1 ,..jbr ..,jk
(3-23)
∂ 2 f (x − y)
∂ 2 f (x − y)
=
, ∀i, j. Disso, por (3-17),
∂xi ∂xj
∂yi ∂yj
notando que V independe dos xi , por definiçao de laplaciano e por definição
do colchete de lie temos que
Prova:
Notemos que
divx ((∇x f (x − y)) ∧ V (y)) = −(4x (f ))V − [∇x f, V ]x
¶
n µ
X
∂f
= −(4x (f ))V −
∇x (
) · V ei
∂xi
i=1
¶
n µ
X
∂f
) · V ei
= −(4y (f ))V −
∇(
∂y
i
i=1
Agora por (3-12) temos que
¶
µ
n
X
∂f
∂f
V)−
div(V )}ei
divx ((∇x f (x − y)) ∧ V (y)) = −(4y (f ))V −
{div
∂yi
∂yi
i=1
µ
¶
n
X
∂f
= −(4y (f ))V −
div
V ei + (div(V ))∇y f.
∂yi
i=1
Mostrando assim (3-22). Agora mostraremos (3-23): Seja U = U 1 ∧ .. ∧ U k ∈
ci .. ∧ U k . Por (3-17), definiçao de
Ek (M ) e os (k − 1)-campos Ai = U 1 ∧ ..U
∂ 2 f (x − y)
∂ 2 f (x − y)
laplaciano e notando que U independe dos xi e que
=
∂xi ∂xj
∂yi ∂yj
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Capı́tulo 3. Os Operadores div e rot
34
temos que
divx (∇x (f ) ∧ U ) = (−1)k (4x (f ))U − (−1)k
k
X
(−1)i [∇x f, U i ]x ∧ Ai
i=1
k
X
¶
∂f
i
= (−1) (4x (f ))U − (−1)
(−1) {
∇x (
) · U ej } ∧ Ai
∂xj
i=1
j=1
Ã k
µ
¶ !
n
X
X
∂f
= (−1)k (4y (f ))U + (−1)k
ej ∧
(−1)i−1 ∇y (
) · U i Ai .
∂y
j
j=1
i=1
k
k
i
n µ
X
Agora, por (2-25) e definição de Ai temos que
k
k
n(k−1)
divx (∇x (f ) ∧ U ) = (−1) (4y (f ))U + (−1) (−1)
n
X
ej ∧ ∇y (
j=1
Por (3-12) e por (3-21) temos para A :=
n
X
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j=1
ej ∧ ∇y (
∂f
) · U.
∂yj
∂f
) · U que
∂yj
¶
∂f
∂f
A =
ej ∧ div(
U) −
div(U )
∂yj
∂yj
j=1
µ
¶
n,k
n
X
X
∂f 1 c
nk
r
k
r
div
= (−1)
(−1)
uj1 ..urjr ..ujk V
ej ∧ ej1 ∧ ..c
ejr .. ∧ ejk
∂y
j
j,r=1
n
X
µ
j1 ,..jbr ..,jk
−(∇y f ) ∧ div(U ).
Isto mostra (3-23).
2
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4
Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
No capı́tulo 2 vimos que para cada k-campo em M podemos associar
naturalmente uma k-forma e uma (n − k)-forma. Em particular, para uma
ação Φ de Rk em M podemos associar naturalmente um k-campo X. Assim,
podemos associar a Φ naturalmente formas diferenciais, as quais como veremos
neste capı́tulo darão origem a invariantes integrais associados a Φ.
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4.1
Ações de Rk em M n
Seja M variedade riemanniana de dimensão n, compacta, sem bordo,
orientada , conexa e vol sua forma de volume. Seja X ∈ E1 (M ) um campo
vetorial e Φ, (t, p) 7→ Φt (p), seu fluxo. Como M é compacta sem bordo, o
dominio de Φ é R × M . Suponha que o fluxo Φ preserva a forma de volume
vol, isto é, para cada t ∈ R temos que Φ∗t (vol) = vol. Neste caso, por definição
da derivada de Lie com respeito a X se cumpre que LX vol = 0. Sabendo que
LX vol = diX vol temos por (3-2), definição de div e (2-13) que
LX vol = diX vol = d(j(∗X)) = ∗div(X) = div(X)vol.
Portanto div(X) = 0. Da igualdade anterior podemos afirmar que o recı́proco
também é certo, isto é, se div(X) = 0 então o fluxo Φ preserva volume.
Sejam g := {X ∈ E1 (M ); div(X) = 0}, a álgebra de Lie dos 1-campos
cujos fluxos preservam volume e
gk = {(X 1 , X 2 , .., X k ) ∈ g × .. × g = gk ;
[X i , X j ] = 0 ∀i, j},
onde [X i , X j ] é o colchete de Lie dos campos X i e X j . Para cada X =
(X 1 , X 2 , .., X k ) ∈ gk podemos associar uma ação de Rk em M da seguinte
forma. Para cada i ∈ {1, .., k} denotemos por Φiti o fluxo associado a X i . Para
cada par i e j temos que Φiti ◦ Φjtj = Φjtj ◦ Φiti , já que [X i , X j ] = 0. Definamos
Θ :
Rk × M
→ M
1
(t1 , .., tk , p) 7→ Θ(t1 ,t2 ,..,tk ) (p) = Φktk ◦ Φk−1
tk−1 ◦ .. ◦ Φt1 (p)
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
36
Como para cada ti ∈ R a aplicação Φiti : M → M é um difeomorfismo que
preserva volume então para cada (t1 , t2 , .., tk ) ∈ Rk temos que a aplicação
composta
1
Θ(t1 ,t2 ,..,tk ) = Φktk ◦ Φk−1
tk−1 ◦ .. ◦ Φt1
é um difeomorfismo de M que preserva volume. Observemos também que
Θ(s1 ,..,sk ) (Θ(t1 ,..,tk ) (p)) = (Θ(s1 ,..,sk ) ◦ Θ(t1 ,..,tk ) )(p)
= (Φksk ◦ .. ◦ Φ1s1 ◦ Φktk ◦ .. ◦ Φ1t1 )(p)
= (Φksk ◦ Φktk .. ◦ Φ1s1 ◦ Φ1t1 )(p)
= (Φksk +tk ◦ .. ◦ Φ1s1 +t1 )(p)
= Θ(s1 +t1 ,..,sk +tk ) (p).
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Portanto Θ é uma ação de Rk em M de difeomorfismos que preservam volume.
Definição 4.1 A ação Θ é chamada de ação de Rk em M associada a X ∈ gk
e será denotada por A(X).
Proposição 4.2 Seja Θ : Rk × M → M uma ação de Rk em M cujos fluxos
preservam volume. Então existe X ∈ gk tal que A(X) = Θ .
Prova : Sejam os campos vetoriais X i ∈ E1 (M ) definidos por
X i (p) := (dΘ)(0,p) (ei , 0), ∀p ∈ M,
onde {e1 , .., ek } é a base canônica em Rk . Notemos que Φi (t, p) := Θ(tei , p) é
o fluxo associado a X i . De fato,
∂Φi
∂Θ
(t, p) =
(t ei , p)
∂t
∂t
Θ(t ei + h ei , p) + Θ(t ei , p)
= limh→0
h
Θ(h ei , Θ(t ei , p) ) + Θ(0, Θ(t ei , p) )
= limh→0
h
= (d Θ)Θ(t ei ,p) (ei , 0)
= X i (Θ(t ei , p) )
= X i (Φi (t, p)).
Por outro lado, por definição os Φi comutam e preservam volume, logo para
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
37
todo i e j temos que [X i , X j ] = 0 e div(X i ) = 0. Logo
Φktk ◦ ... ◦ Φ1t1 (p) = Φktk (...(Φ1t1 (p))...)
= Θ(tk ek , Θ(tk−1 ek−1 , ..., Θ(t1 e1 , p)...) )
= Θ(tk ek + tk−1 ek−1 + t1 e1 , p)
= Θ(t1 , t2 , .., tk , p).
2
e = X 1 ∧ .. ∧ X k o k-campo associado a X =
Proposição 4.3 Seja X
e = i vol associada a X
e
(X 1 , .., X k ) ∈ gk . Então a (n − k)-forma j(∗X)
e
X
é fechada.
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Prova:
Como X ∈ gk , temos, para todo i e j, que div(X i ) = 0 e [X i , X j ] = 0. Por
e = div(X 1 ∧ .. ∧ X k ) = 0; logo, por (3-10) temos
(3-19) temos que div(X)
e = i e vol = 0.
dj(∗X)
div(X)
2
No que segue, trabalharemos somente com os X de gk tal que iXe vol é exata,
ou seja, X ∈ gek , onde
e
gk := {X = (X 1 , .., X k ) ∈ gk ; ∃ α ∈ E n−k−1 (M ) tal que dα = iXe vol}.
Observação 4.4 Se H k (M ) = {0} (equivalentemente por dualidade de Poincaré H n−k (M ) = {0}) então e
gk = gk .
Definição 4.5 Sejam X = (X 1 , .., X n ) ∈ e
gk , Y = (Y 1 , .., Y s ) ∈ e
gs e N s
subvariedade fechada sem bordo e de homologia nula em M , k+s=n-1. Sejam
α ∈ E s (M ) e β ∈ E k (M ) tais que dα = iXe vol e dβ = iYe vol respectivamente.
Os ı́ndices
Z
I(X, Y ) =
α ∧ dβ.
(4-1)
M
Z
I(X, N ) =
α.
(4-2)
N
são chamados de invariante de Hopf associados a (X, Y ) e a (X, N ), respectivamente.
A definição de invariante é justificada pela seguinte proposição:
Proposição 4.6 I(X, Y ) e I(X, N ) independem da escolha de α e β.
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
38
Prova: Mostremos o caso I(X, Y ). Sejam θ ∈ E n−k−1 (M ) e γ ∈ E n−s−1 (M )
tais que dθ = iX vol e dγ = iY vol. Então, existem θ1 ∈ E n−k−1 (M ) e
γ1 ∈ E n−s−1 (M ) tais que α = θ + θ1 , β = γ + γ1 , d θ1 = 0 e dγ1 = 0.
Logo
Z
Z
I(X, Y ) =
Z
α∧d β =
M
Z
(θ + θ1 ) ∧ d (γ + γ1 ) =
M
θ∧d γ+
M
θ1 ∧ d γ.
M
Como d(θ1 ∧ γ) = θ1 ∧ dγ, temos
Z
Z
I(X, Y ) =
θ∧d γ+
M
d(θ1 ∧ γ).
M
Finalmente, pelo teorema de Stokes e sendo ∂M = ∅ temos
Z
Z
I(X, Y ) =
Z
θ ∧ dγ +
M
θ1 ∧ γ =
∂M
θ ∧ dγ.
M
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Analogamente, podemos mostrar que I(X, N ) independe da escolha de α. 2
Proposição 4.7 Seja α uma s-forma em M e β uma k-forma em M tal que
dβ = iYe vol. Então
α ∧ dβ = α(Ye )vol.
Em particular, se α satisfaz dα = iXe vol então
Z
I(X, Y ) =
α(Ye )vol.
(4-3)
(4-4)
M
Prova: Por definição de iY 1 ∧..∧Y s α, por (2-6) e pela propriedade de antiderivação de iY i temos
α(Ye )vol = α(Y 1 ∧ .. ∧ Y s )vol = (iY 1 ∧..∧Y s α)vol
= (iY s iY s−1 ..iY 1 α)vol
= iY s (iY s−1 ..iY 1 α ∧ vol) + (−1)s−1 (iY s−1 ..iY 1 α) ∧ iY s vol.
Notemos que (iY s−1 ..iY 1 α)∧vol é uma (n+1)-forma em M n , logo é nula. Então
α(Ye )vol = (−1)s−1 iY s−1 ..iY 1 α ∧ iY s vol.
Procedendo analogamente como acima temos
α(Ye )vol = (−1)s−1 (−1)s−2 ..(−1)2 (−1)1 α ∧ iY 1 ..iY s−1 iY s vol.
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
39
Disso, por (2-6) e pela anticomutatividade do produto exterior ∧ temos
α(Ye )vol = (−1)s−1 (−1)s−2 ..(−1)2 (−1)1 α ∧ iY s ∧..∧Y 2 ∧Y 1 vol
= α ∧ iYe vol,
mostrando assim (4-3). A igualdade (4-4) resulta da definição (4-1) e de
2
(4-3).
Para cada α ∈ E s (M ) definamos o s-campo U = j −1 (α), U (p) =
j −1 (αp ), ∀p ∈ M . Por definição de j temos
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g(U, Ye ) = g(j −1 (α), Ye ) = j(j −1 α)(Ye ) = α(Ye ) ,
∀Ye ∈ Es (M ).
Proposição 4.8 Sejam X = (X 1 , .., X n ) ∈ e
gk , Y = (Y 1 , .., Y s ) ∈ e
gs e
s
1
k
−1
e = X ∧ .. ∧ X . Se U := j (α)
α ∈ E (M ) tal que dα = iXe vol, onde X
e e
então rot(U ) = X
Z
Z
e
I(X, Y ) =
g(U, Y )vol =
U · Ye vol.
(4-5)
M
M
Prova: A igualdade (3-11) afirma que dj(U ) = irot(U ) vol. Notemos que j(U ) =
j(j −1 (α)) = α, logo
irot(U ) vol = dj(U ) = dα = iXe vol.
e = rot(U ). Por outro lado, da igualdade (2-19) temos g(U, Y ) =
Portanto X
U · Y . O resultado (4-5) segue de (4-3).
Proposição 4.9 Se H s (M ) = {0}, então I(X, Y ) independe da escolha de U
tal que rot(U ) = w.
e
Prova :
e Então existe W ∈ Es (M ) tal que
Seja V ∈ Es (M ) tal que rot(V ) = X.
U = V + W e rot(W ) = 0. Note que dj(W ) = irotW vol = 0, isto é,
j(W ) ∈ E s (M ) é fechada. Como H s (M ) = {0} , existe θ ∈ E s−1 (M ) tal
que dθ = j(W ). Logo, por definição de j, temos
W · Ye = g(W, Ye ) = j(W )(Ye ) = dθ(Ye ).
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
40
Então
Z
U · Ye vol
I(X, Y ) =
ZM
(V + W ) · Ye vol
Z
=
V · Ye vol +
W · Ye vol
M
M
Z
Z
=
V · Y vol +
dθ(Ye )vol.
=
ZM
M
M
Agora, por (4-3) temos
Z
Z
V · Ye vol +
I(X, Y ) =
M
M
dθ ∧ iYe vol.
Finalmente, sendo iYe vol fechado e aplicando Stokes temos
Z
Z
V · Ye vol +
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I(X, Y ) =
Z
M
d(θ ∧ iYe vol)
Z
M
|
∂M =∅
V · Ye vol +
=
M
θ ∧ iYe vol .
{z
}
0
Portanto I(X, Y ) =
R
M
V · Ye vol.
2
Observação 4.10
Seja M n uma variedade riemanniana compacta com bordo suave. Se X =
R
(X 1 , .., X k ) ∈ e
gk e Y = (Y 1 , .., Y s ) ∈ e
gs então o invariante I(X, Y ) = M α∧dβ,
onde dα = iXe vol e dβ = iYe , pode ainda ser definido sempre que para todo i e
j os campos X i e Y j sejam tangentes a ∂M e H s (M ) = {0}. De fato, notemos
primeiro que iYe vol restrita a ∂M é nula
iYe vol |∂M = iY 1 ∧..∧Y s vol |∂M
= iY s iY Y −1 ...iY 1 vol |∂M
= 0.
Agora mostraremos, como no caso de variedade sem bordo, que I(X, Y )
independe da escolha de α e β. Sejam γ ∈ E s (M ) e θ ∈ E k (M ) tal que
dγ = iX vol e dθ = iY vol. Definamos γ2 := α − γ ∈ E s (M ) e θ2 := β − θ ∈
E k (M ). Então dθ2 = 0 e dγ2 = 0 e sendo H s (M ) = {0} temos que existe γ3
tal que dγ3 = γ2 . Logo, temos que
Z
I(X, Y ) =
α ∧ dβ
M
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
41
Z
=
(γ + γ2 ) ∧ d(θ + θ2 )
Z
γ ∧ dθ +
γ2 ∧ dθ
M
M
Z
Z
γ ∧ dθ +
dγ3 ∧ dθ
M
M
Z
Z
γ ∧ dθ +
d(γ3 ∧ dθ)
M
M
Z
Z
γ ∧ dθ +
γ3 ∧ dθ
ZM
Z∂M
γ ∧ dθ +
γ3 ∧ iY vol
M
∂M
Z
γ ∧ dθ.
2
ZM
=
=
=
=
=
=
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M
Definição 4.11 Seja M n variedade riemanniana compacta sem bordo e orientada. Sejam Φ e Ψ ações de Rk e Rs em M respectivamente, k +s = n−1,
e N uma s-variedade fechada, sem bordo e de homologia nula em M . Suponha
que X ∈ gek e Y ∈ ges , onde A(X) = Φ e A(Y ) = Ψ. Definimos
I(Φ, Ψ) := I(X, Y ),
I(Φ, N ) := I(X, N ),
(4-6)
Os quais serão chamados de ı́ndice de Hopf com respeito ao par de ações e
ı́ndice de Hopf com respeito a Φ e N , respectivamente.
A observação 3.10 garante que o ı́ndice de Hopf para ações esteja bem
definido tanto para variedades com bordo como para variedades sem bordo.
4.2
Teorema Ergódico para Ações de Rk numa Variedade Riemanniana Compacta
Seja M uma variedade riemanniana compacta com forma de volume
vol. Seja Φ uma ação de Rk de difeomorfismos que preservam volume em
M . Denotemos por L1 (M ) o espaço das funções f : M → R tais que
R
|f |vol < ∞. Lembremos que se A ⊂ M então chamamos de função
M
caracteristica de A a função χA tal que χA (x) = 1 se x ∈ A e χA (x) = 0
caso contrário. Agora, uma função f é dita simples se existem A1 , A2 , .., Ak
subconjuntos mensuráveis em M e escalares a1 , a2 , .., ak tal que
f=
k
X
ai χAi .
i+1
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
42
f o subespaço de L1 (M ) definido por
Seja W
f = {h − h ◦ Φ(t ,..,t ) ; h função simples e (t1 , .., tk ) ∈ Rk }.
W
1
k
Denotemos também por W o fecho em L1 (M ) do subespaço linear gerado por
f . Notemos que W
f é denso em W .
W
Seja I o subespaço de L1 (M ) das funções Φ invariantes, isto é, uma
função f pertence a I se existe U ⊂ M tal que seu complemento tem medida
nula em M e f satisfaz
f (x) = f ◦ Φ(t1 ,..,tk ) (x))
∀x ∈ U, ∀(t1 , .., tk ) ∈ Rk .
A demonstração do teorema seguinte pode ser lida em [Tem] no teorema 5.1,
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Teorema 4.12 Cada função f ∈ L1 (M ) tem uma única represenração da
forma
f1 + f2 ,
f1 ∈ I e f2 ∈ W.
Isto é, L1 (M ) = I ⊕ W .
Seja µ a medida de Lebesgue em Rn . Consideremos uma seqüência de
k-retângulos
{Tn = [0, Tn1 ] × .. × [0, Tnk ]}n∈N
tal que para todo i ∈ {1, .., k} temos limn→∞ Tni = 0. Seja f ∈ L1 (M ) e
definamos a seqüência de funções {fn }n∈N ⊂ L1 (M ) tal que para cada p ∈ M
temos
Z
1
fn (p) =
f (Φ~t(p))dµ(~t).
µ(Tn ) ~t∈Tn
Z Tnk Z Tnk−1 Z Tn1
1
=
..
f (Φ(t1 ,..,tk ) (p))dt1 dt2 ..dtk ,
Tn1 Tn2 ..Tnk 0
0
0
onde ~t = (t1 , .., tk ).
Teorema 4.13 A seqüência {fn }n∈N converge para uma função f˜ em L1 (M ),
Z
isto é,
|fn − f˜|vol = 0.
(4-7)
lim
n→∞
M
Alem disso, esta função f˜ independe da escolha da seqüência {Tn }n∈N escolhida
Z
Z
e satisfaz
˜
f vol =
f vol.
(4-8)
M
M
f . Neste caso devemos mostrar que para todo p ∈ M se
Prova: Seja f ∈ W
satisfaz limn→∞ |fn (p)| = 0. Fixemos ~t0 = (t01 , .., t0k ) ∈ Rk . Será suficiente
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
43
mostrar para o caso f (p) = χA (p) − χA (Φ(t01 ,..,t0k ) (p)), onde A é um subconjunto
mensurável em M e χA é a função caracterı́stica de A. Seja
Dp = {(t1 , .., tk ) ∈ Rk ; Φ(t1 ,..,tk ) (p) ∈ A}.
Por ser Φ continua (suave) temos que Dp é um conjunto mensurável em Rk
para todo p em M . Notemos que χA (Φ(t1 ,..,tk ) (p)) = χDp (t1 , ..tk ). Logo
|fn (p)| =
=
=
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=
Z
1
|
f (Φ~t(p))dµ(~t)|
µ(Tn ) ~t∈Tn
Z
1
|
(χDp (~t) − χDp (~t0 + ~t))dµ(~t)|
µ(Tn ) ~t∈Tn
¯
¯
¯ µ(D ∩ T ) − µ((D − ~t0 ) ∩ T ) ¯
¯
p
n
p
n ¯
¯
¯
¯
¯
µ(Tn )
¯
¯
¯ µ(D ∩ T ) − µ(D ∩ (~t0 + T )) ¯
¯
p
n
p
n ¯
¯
¯
¯
¯
µ(Tn )
≤ 2
k
X
(Tn1 + t01 )..(Tni−1 + t0i−1 )t0i (Tni+1 + t0i+1 )..(Tnk + t0 )
k
Tn1 Tn2 ..Tnk
i=1
.
Portanto |fn (p)| → 0. Agora, suponha que f ∈ W . Para cada ² > 0 existe
R
f tal que
f² ∈ W
|f (p) − f² (p)|vol = 0. Logo
M
Z
Z µ
¶
Z
1
|fn (p)|vol(p) ≤
|f (Φ~t(p))| dµ(~t) vol(p)
µ(Tn ) ~t∈Tn
p∈M
M
¶
Z
Z µ
1
|f (Φ~t(p)) − f² (Φ~t(p))| dµ(~t) vol(p) +
≤
µ(Tn ) ~t∈Tn
M
¶
Z
Z µ
1
~
|f² (Φ~t(p))| dµ(t) vol(p)
+
µ(Tn ) ~t∈Tn
M
µZ
¶
Z
1
|f (Φ~t(p)) − f² (Φ~t(p))| vol(p) dµ(~t) +
=
µ(Tn ) ~t∈Tn
M
¶
Z
Z µ
1
+
|f² (Φ~t(p))| dµ(~t) vol(p).
µ(Tn ) ~t∈Tn
M
Logo, para n suficientemente grande temos
arbitrário, temos que
R
p∈M
|fn (p)|vol(p) ≤ 2². Como ² é
Z
lim
n→∞
|fn |vol = 0.
M
Agora, seja f ∈ L1 (M ). O teorema 4.12 garante que existem f˜ ∈ I e h ∈ W
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Capı́tulo 4. Invariante para Ações de Rk e Teorema Ergódico em M n
44
tal que f = f˜ + h. Observemos que
fn (p) =
=
=
=
Z
1
f (Φ~t(p))dµ(~t)
µ(Tn ) Tn
Z
Z
1
1
˜
~
f (Φ~t(p))dµ(t) +
h(Φ~t(p))dµ(~t)
µ(Tn ) Tn
µ(Tn ) Tn
Z
1
f˜(p)dµ(~t) + hn (p)
µ(Tn ) Tn
f˜(p) + hn (p)
para todo p ∈ U , onde U é o conjunto em M no qual a função f˜ ∈ I é invariante
pela ação. Lembremos que U tem complemento em M com medida nula, logo
Z
Z
|fn (p) − f˜(p)|vol(p) =
p∈M
|fn (p) − f˜(p)|vol(p)
Zp∈U
|f˜(p) + hn (p) − f˜(p)|vol(p)
=
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Zp∈U
=
|hn (p)|vol(p)
p∈U
→ 0.
Portanto fn converge a f˜ no espaço L1 (M ) e observamos que f˜ independe da
sequencia {Tn } escolhida, mostrando assim (4-7). Agora, mostraremos (4-8)
lembrando que Φ é uma ação que preserva vol. Assim
Z
µ
¶
Z
1
f (Φ~t(p))dµ(~t) vol(p)
µ(Tn ) ~t∈Tn
p∈M
µZ
¶
Z
1
f (Φ~t(p))vol(p) dµ(~t)
µ(Tn ) ~t∈Tn
p∈M
¶
µZ
Z
1
f (p)vol(p) dµ(~t)
µ(Tn ) ~t∈Tn
p∈M
µZ
¶
Z
1
f (p)vol(p)
dµ(~t)
µ(Tn ) ~t∈Tn
p∈M
Z
f (p)vol(p).
2
(4-9)
Z
fn (p)vol(p) =
p∈M
=
=
=
=
p∈M
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5
A Generalização da Lei de Biot-Savart
Seja Ω um domı́nio compacto em R3 com bordo suave e X um campo
vetorial em Ω de divergência nula e tangente ao bordo de Ω. A Lei de Biot
Savart afirma que o campo vetorial BS(X) em Ω definido pela igualdade
−1
BS(X)(x) :=
4π
Z
Ω
(x − y) × X(y)
vol(y)
ky − xk3
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satisfaz rot(BS(X)) = X. Neste capı́tulo estenderemos este resultado para
um k-campo U em Ω da forma U = U 1 ∧ .. ∧ U k tal que cada U i é um
campo em Ω de divergência nula e tangente ao bordo. Neste caso, definiremos
o (n − k − 1)-campo BS(U ) de Ω pela igualdade
(−1)k
BS(U )(x) :=
an
Z
Ω
(x − y) × U (y)
vol(y),
kx − ykn
onde an é o (n − 1)-volume da esfera unitaria S n−1 em Rn , e mostraremos que
este (n − k − 1)-campo satisfaz rot(BS(U )) = U .
5.1
Distribuições em Rn
Seja C0∞ o espaço das funções suaves em Rn com suporte compacto.
Uma forma linear sobre C0∞ é dita uma distribuição se u[φk ] → 0 para cada
seqüência {φk }k∈N em C0∞ satisfazendo
1. Existe conjunto compacto K tal que para todo i o suporte de φi está
contido em K, isto é, supp φi ⊂ K; e
2. A norma do supremo de qualquer derivada parcial das funções φi converge
para 0 , isto é, para cada n-upla¯ = (i1 , ..., i¯n ) fixa de inteiros não negativos
¯ ∂ r φk ¯
P
¯ → 0.
e r = nj=1 ij temos que sup ¯¯ i
∂xnn ..∂xi11 ¯
No que segue, se u é uma distribuição e f é uma função suave com suporte
compacto em Rn então u[f ] denotará o valor da distribuição aplicado a f . O
espaço das distribuições será denotado por D. Em particular, se f ∈ L1loc (Rn ),
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
46
isto é uma função em Rn tal que |f | é localmente integrável, então esta define
naturalmente uma distribuição, a qual denotaremos pela própria f , fazendo
Z
f [φ] :=
f (y)φ(y)vol.
Rn
Agora, suponha que a função f , que define a distribuição, é suave. Então
∂rf
de f também define uma distribução. Neste
cada derivada parcial
∂xinn ..∂xi11
caso, fazendo integração por partes, temos, para cada φ suave de suporte
compacto, que
Z
∂rf
i1 (y)φ(y)vol
in
Rn ∂yn ..∂y1
Z
∂rφ
r
= (−1)
f (y) i
(y)vol
∂ynn ..∂y1i1
Rn
∂rφ
= (−1)r f [ i
].
∂ynn ..∂y1i1
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∂rf
[φ] =
∂ynin ..∂y1i1
Logo, pela definição de distribuição, podemos definir a distribuição derivada
parcial ∂ α u de uma distribuição u por
∂ru
∂rφ
r
[φ]
:=
(−1)
u[
].
∂ynin ..∂y1i1
∂ynin ..∂y1i1
Em particular, se f é uma função que tem derivada parcial
mente integrável então
∂rf
[φ] =
∂ynin ..∂y1i1
Z
φ(y)
y∈Rn
(5-1)
∂rf
local∂ynin ..∂y1i1
∂rf
(y)vol.
∂ynin ..∂y1i1
(5-2)
Chamamos de operador laplaciano ao operador 4 que age em D e é definida
para cada distribuição u por
4u :=
n
X
∂ 2u
i=1
∂yi2
.
(5-3)
Entre as distribuições que não são definidas por uma função em L1loc (Rn )
existe uma que requer especial atenção, a distribuição delta de Dirac centrada
em x que é denotada por δx e é definida por δx [φ] := φ(x). No caso de δ~0 , onde ~0
é a origem em Rn escreveremos simplesmente δ. Seja fn , n ≥ 3, a distribuição
definida pela função
fn (y) = −
1
1
,
(n − 2)an ky − xkn−2
(5-4)
onde an é o (n−1)-volume da esfera unitária S n−1 ⊂ Rn . Podemos verificar que
∂fn
1 yi
→
−
4fn = 0, y 6= 0 , e que
=
é uma função localmente integrável
∂yi
an kykn
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
em Rn . Alem disso
47
δx = 4fn .
(5-5)
De fato, mostraremos este resultado para o caso x = ~0. Por (5-1) e por definição
do laplaciano de uma função em Rn
n
X
∂ ∂φ
4f [φ] = f [4φ] = f [
(
)].
∂yi ∂yi
i=1
Agora, pela linearidade de uma distribuı́ção e por (5-2) temos
X ∂f ∂φ
X Z ∂f ∂φ
4f [φ] = −
[
]=−
vol.
∂y
∂y
n ∂yi ∂yi
i
i
R
i
i
Pn
∂f ∂φ
= h∇f, ∇φi, onde h , i é o produto interno canônico
∂yi ∂yi
em Rn . Disso, por definição de integral de uma função com singularidades, por
Notemos que
i=1
(3-12), aplicando divergência de Gauss temos que
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Z
h∇f, ∇φi vol
4f [φ] = − lim
ξ→0
Z
kyk≥ξ
Z
kyk≥ξ
Z
kyk≥ξ
div(φ∇f ) − φ4f vol
= − lim
ξ→0
div(φ∇f ).
= − lim
ξ→0
φh∇f, N idS
= − lim
ξ→0
=
=
=
=
=
kyk=ξ
Z
1
y
−y
− lim
φ(y)h
,
idS
ξ→0 an kyk=ξ
kykn kyk
Z
1
1
lim
φ(y) n−1 dS
ξ→0 an kyk=ξ
ξ
Z
1
1
lim
(φ(0) + O(ξ)) n−1 dS
ξ→0 an kyk=ξ
ξ
Z
φ(0)
dS
lim n−1
ξ→0 ξ
an kyk=ξ
φ(0).
2
Consideremos Eo (Rn ), o subconjunto de E(Rn ) formado pelos k-campos
cujas funções coordenadas tem suporte compacto em Rn . Seja Dn o espaço dos
1-campos vetoriais em Rn cujas funções coordenadas são funções em L1loc (Rn )
que serão consideradas distribuições em Rn . Definamos o produto ∧D entre os
espaços Dn e Eo (Rn ) tal que se multiplicamos dois de estes elementos obtemos
n
X
n
fi ei ∈ Dn e
um elemento da algebra exterior de R , a saber, se F =
i=1
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
U=
X
48
ui1 ,..,ik ei1 ∧ .. ∧ eik ∈ Eo (Rn ) então definimos o produto por
i1 ,..,ik
X
F ∧D U :=
fi [ui1 ,..,ik ] ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik ∈ Λ(Rn ),
i,i1 ,..,ik
onde cada fi é considerada distribuição e fi [ui1 ,..,ik ] é o valor de fi aplicado na
função ui1 ,..,ik . Observemos que podemos definir os produtos
F ×D U := ∗(F ∧D U )
X
=
fi [ui1 ,..,ik ] ∗ ( ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik )
i,i1 ,..,ik
X
=
fi [ui1 ,..,ik ] ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik ).
i,i1 ,..,ik
F ·D U := ∗(F ∧D (∗U ))
X
=
fi [ui1 ,..,ik ] ∗ ( ei ∧ ∗(ei1 ∧ .. ∧ eik ))
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i,i1 ,..,ik
X
=
fi [ui1 ,..,ik ] ei · ∗(ei1 ∧ .. ∧ eik ).
i,i1 ,..,ik
Agora, suponha que o k-campo U depede das variaveis x e y. Então podemos
calcular a distribuição com respeito a variavel y e definir divx e rotx como
veremos a seguir
divx (F ×D U ) := divx (
=
X
fi [ui1 ,..,ik ](x) ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik )
i,i1 ,..,ik
X
(∇x fi [ui1 ,..,ik ](x)) · (ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik )).
i,i1 ,..,ik
rotx (F ×D U ) := rotx (
X
fi [ui1 ,..,ik ](x) ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik )
i,i1 ,..,ik
(k+1)s
= (−1)
X
∗(∇x fi [ui1 ,..,ik ](x)) ∧ (ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik ))
i,i1 ,..,ik
= (−1)(k+1)s
X
∗(∇x fi [ui1 ,..,ik ](x)) ∧ ∗(ei ∧ (ei1 ∧ .. ∧ eik )).
i,i1 ,..,ik
= (−1)(k+1)s
X
(∇x fi [ui1 ,..,ik ](x)) · (ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik ).
i,i1 ,..,ik
Exemplo 5.1
y1
y2
y3
, h2 =
, h3 =
3
2
kyk
kyk
kyk3
distribuições em R3 . Definamos F := (f1 , f2 , f3 ) ∈ D3 . Notemos que F = ∇f3 ,
Sejam U = (U1 , U2 , U3 ) ∈ Eo (R3 ) e f, h1 =
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
49
onde f3 satisfaz 4f3 = δ. Logo
h F , U iD = h (h1 , h2 , h3 ) , (U1 , U2 , U3 ) iD
= f1 [U1 ] + f2 [U2 ] + f3 [U3 ] ∈ R
F ×D U = (h1 , h2 , h3 ) ×D (U1 , U2 , U3 )
= (h2 [U3 ] − h3 [U2 ])e1 + (−h1 [U3 ] + h3 [U1 ])e2 + (h1 [U2 ] − h2 [U1 ])e3
µZ
¶
Z
Z
y2 U3 − y3 U2
−y1 U3 + y3 U1
y1 U2 − y2 U1
=
vol,
vol,
vol
kyk3
kyk3
kyk3
3
R3
R3
Z R
F × U vol ∈ R3 .
(5-6)
=
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R3
h F , ∇Ui iD = h∇f3 , ∇Ui iD
∂f3 ∂f3 ∂f3
∂Ui ∂Ui ∂Ui
= h(
,
,
), (
,
,
)i
∂y1 ∂y2 ∂y3
∂y1 ∂y2 ∂y3 D
∂f3 ∂Ui
∂f3 ∂Ui
∂f3 ∂Ui
=
[
]+
[
]+
[
]
∂y1 ∂y1
∂y2 ∂y2
∂y3 ∂y3
∂ 2 f3
∂ 2 f3
∂ 2 f3
= − 2 [Ui ] −
[U
]
−
[Ui ]
i
∂y1
∂y22
∂y32
∂ 2 f3 ∂ 2 f3 ∂ 2 f3
+
)[Ui ]
= −( 2 +
∂y1
∂y22
∂y32
= −4f3 [Ui ]
= −Ui (~0).
(5-7)
5.2
A Lei de Biot-Savart em R3
Agora, fazendo uso do produto ∧D mostraremos a Lei de Biot-Savart. No
que segue consideraremos x = (x1 , .., xn ) e y = (y1 , .., yn ).
Proposição 5.2 (Lei de Biot-Savart) Seja Ω domı́nio limitado em R3 com
bordo suave ∂Ω. Se U é um campo vetorial em Ω tal que div(U ) = 0 e é
tangente a ∂(Ω) então o campo definido por
−1
BS(U )(x) :=
4π
Z
Ω
(x − y)
× U (y)vol(y)
kx − ykn
satisfaz
rot(BS(U ))(x) = U (x)
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
50
Prova: Sejam p ∈ Ω, r = dist(p, ∂Ω) , 0 < 2ζ ¿ r e f : Ω → [0, 1] uma função
suave tal que
(
1 se ky − pk ≤ ζ.
f (y) =
0 se ky − pk ≥ 2ζ.
Em Ω definamos os campos vetoriais U 1 := f U , U 2 = (1 − f )U e
−1
BS1 (U )(x) =
4π
Z
1
Ω
(x − y)
× U 1 (y)vol(y).
3
kx − yk
1
1 y
. Então fazendo uma
)=
4πkyk
4π kyk3
mudança de coordenadas na integral, por (5-4) para o caso x = ~0 e por (5-6)
Notemos que U 1 ∈ Eo (Rn ) e que ∇(−
temos que
Z
−1
(x − y)
BS1 (U )(x) =
× U 1 (y)vol(y)
3
4π R3 kx − yk
Z
y
−1
=
× U 1 (x − y)vol(y)
4π R3 kyk3
= −∇y f3 ×D U 1 (x − y).
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1
Notemos por (3-9) que
rotx (∇y f3 ×D U 1 (x − y)) = divx (∇y f3 ∧D U 1 (x − y)).
Logo, por (3-17), observando que ∇y f3 independe de x e usando a fórmula
(3-16) para o colchete de Lie temos que
rotx (BS1 (U 1 ))(x) = −divx (∇y f3 ∧D U 1 (x − y))
3
X
= −∇y f3 ∧D (divx (U (x − y))) +
h∇y f3 , ∇x Ui1 (x − y)iD ei
1
i=1
3
X
1
= ∇y f3 ∧D (divy (U (x − y))) −
h∇y f3 , ∇y Ui1 (x − y)iD ei .
i=1
Logo, por definição de distribuição, por (5-7) e por (5-5)
−1
rotx (BS1 (U ))(x) =
4π
Z
1
3
X
y
4f3 [Ui1 (x − y)]ei
div(U )(x − y))
vol
+
3
kyk
3
y∈R
i=1
1
Z
3
X
x−y
div(U )(y))
vol
+
δ[Ui1 (x − y)]ei
3
kx
−
yk
3
y∈R
i=1
Z
1
x
−
y
= −
div(U 1 )(y)
vol + U 1 (x).
4π y∈R3
kx − yk3
−1
=
4π
1
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
51
Assim, pela definição do campo U 1 temos que
1
rotx (BS1 (U ))(x) = U (x) −
4π
1
Z
1
div(f U )(y)
ζ≤ky−pk≤2ζ
x−y
vol.
kx − yk3
Por outro lado, seja
−1
BS2 (U )(x) =
4π
Z
2
Ω
(x − y)
× U 2 (y)vol(y).
3
kx − yk
Se Ω0 := {ky − pk ≥ ζ} ∩ Ω temos , pela definição de U 2 , que
−1
BS2 (U )(x) =
4π
Z
2
Ω0
(x − y)
× U 2 (y)vol(y).
3
kx − yk
Neste caso, ∀x ∈ Ω tal que kx − pk < ζ estamos integrando funções suaves.
Logo, podemos derivar dentro da integral. Assim, por (3-9) e por (3-17) temos
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que
1
rotx (BS2 (U ))(x) =
4π
Z
2
=
1
4π
Z
(x − y)
∧ U 2 (y))vol(y)
kx − yk3
divx (
(x − y)
)U 2 (y)vol(y) −
3
kx − yk
Ω0
Ω0
(
X Z
i
Como divx (
divx (
)
(xi − yi )
), U 2 (y)ivol ei .
h∇x (
3
kx
−
yk
Ω0
(x − y)
(xi − yi )
(xi − yi )
) = 0 e ∇x (
) = −∇y (
) temos
3
3
kx − yk
kx − yk
kx − yk3
(
X Z
)
(x
−
y
)
i
i
4π rotx (BS2 (U 2 ))(x) =
h∇y (
), U 2 (y)ivol ei
3
kx
−
yk
Ω
i
(Z 0 µ
¶ )
X
xi − y i 2
xi − y i
=
div(
U )−
divU 2 vol ei .
3
3
kx
−
yk
kx
−
yk
Ω0
i
Por definição de U 2 e teorema de Stokes temos
X Z
xi − yi 2
2
h
{
U , N idS −
4π rotx (BS2 (U ))(x) =
3
∂Ω0 kx − yk
i
Z
xi − yi
−
divU 2 vol}ei .
3
ζ≤ky−pk≤2ζ kx − yk
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
52
Como ∂Ω0 = {ky − pk = ζ} ∪ ∂Ω , U2 |{ky−pk=ζ} = ~0 e U2 |∂Ω = U |∂Ω é tangente
ao bordo, temos que
½Z
¾
1 X
xi − yi
2
rotx (BS2 (U ))(x) = −
divU (y)
vol ei
4π i
kx − yk3
ζ≤ky−pk≤2ζ
Z
1
x−y
= −
div(1 − f (y))U (y)
vol
4π ζ≤ky−pk≤2ζ
kx − yk3
Z
1
x−y
vol.
=
divf (y)U (y)
4π ζ≤ky−pk≤2ζ
kx − yk3
2
Finalmente, rotx (BS(U ))(x) = rotx (BS(U1 ))(x) + rotx (BS(U2 ))(x) = U (x).
2
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Nesta demonstração dividimos U em dois campos com a finalidade
de integrar a singularidade de BS(U ) usando propriedades de distribuição.
Ressaltamos que podemos demonstrar o teorema de Biot-Savart em forma
prática, derivando dentro da integral como se estivessemos trabalhando com
funções suaves. Neste caso podemos usar o teorema de divergência de Gauss,
quando for o caso, e observar se podemos usar a distribuição delta de Dirac. Na
verdade a propria demonstração do teorema sugere este fato, já que as integrais
que faltam na forma prática são as integrais que se anulam ao dividir U em duas
partes na demonstração rigorosa. Apresentaremos agora esta demonstração
prática:
−1
∂ 2f
∂ 2f
Seja f (x, y) =
. Notemos que
=
, ∀i, j. Ob4πky − xk
∂xi ∂xj
∂yi ∂yj
1
servemos que
= ∇x f . Disso, por (2-17), (3-22) e sendo U de di4πkx − yk3
vergência nula temos que
Z
rotx (BS(U ))(x) = −
rotx (∇x f ) × U (y)vol(y)
Z
Ω
= −
divx (∇x (f ) ∧ U (y)) vol(y)
Ω
Z
=
(4y f ) U (y)vol(y) +
Ω
3 µZ
X
i=1
µ
divy
Ω
∂f
U
∂yi
¶
¶
vol ei .
Por outro lado, por (5-4) e (5-5) temos que 4y f = δx . Logo, pela definição
de δx , pelo teorema de divergência de Gauss e sabendo que U é tangente ao
bordo de Ω, temos que
rotx (BS(U ))(x) = δx [U ] +
3 µZ
X
i=1
¿
∂Ω
∂f
U, N
∂yi
À
¶
dS ei
= U (x).
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(5-8)
Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
53
5.3
A lei de Biot-Savart em Rn
Agora, generalizaremos o teorema de Biot-Savart para dimensões maiores. No que resta deste capı́tulo fixemos k e s inteiros positivos tal que k + s =
n − 1. Lembremos que (U 1 , U 2 , .., U k ) é uma n-upla em e
gk (Ω) se cada coordenada U i é um 1-campo vetorial em Ω que satisfazem div(U i ) = [U i , U j ] = 0,
e = U 1 ∧ .. ∧ U k é o k-campo associado a U
para todo i e j, além disso se U
e ) = i e vol, a (n − k)-forma associada a U
e , é exata.
então j(∗U
U
Proposição 5.3 Seja Ω domı́nio limitado em Rn com bordo ∂Ω suave. Sejam
e o k-campo associado a U . Suponha que cada
U = (U 1 , .., U k ) ∈ e
gk (Ω) e U
1-campo U i é tangente ao bordo de Ω. Então o s-campo BS(U ) definido por
Z
(−1)k
(x − y)
e (y)vol(y),
BS(U )(x) :=
×U
(5-9)
n
an
Ω kx − yk
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onde an é o (n − 1)-volume da esfera unitária em Rn , satisfaz
e (x)
rot(BS(U ))(x) = U
(5-10)
Prova: A demonstração será feita na forma prática como no caso do teorema
−1
. Notemos que esta função
de Biot-Savart. Seja f (x, y) =
an (n − 2)ky − xkn−2
∂2f
∂ 2f
x−y
satisfaz
=
,e observemos que
= ∇x f . A observação
∂xi ∂xj
∂yi ∂yj
an kx − ykn
e ) = 0. Suponha que para cada i temos que U i =
2.15 garante que div(U
Pn
i
e
j=1 uj ej , logo, por (3-9), (2-17), (3-22) e sendo U de divergência nula temos
que
Z
rotx (BS(U ))(x) = −
rotx (∇x f ) × U (y)vol(y)
ZΩ
divx (∇x (f ) ∧ U (y)) vol(y)
= −
Ω
µZ
k,n,n,..,n
n+k
= (−1)
X
µ
r
{ (−1)
r,j,j1 ,..jbr ..,jk
.ej ∧ ej1 ∧ ..c
ejr .. ∧ ejk } +
divy
Ω
¶ ¶
∂f 1 c
k
r
r
u ..u ..u U vol .
∂yj j1 jr jk
Z
(4y f ) U (y)vol(y),
Ω
onde os pontinhos nas últimas linhas significa continuação do sumatório.
Agora, o teorema de divergência de Gauss e sabendo que U é tangente ao
bordo garantem que
µ
Z
divy
Ω
¶
∂f 1 c
k
r
r
u ..u ..u U vol = 0.
∂yj j1 jr jk
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
54
Alem disso, por (5-4) e (5-5) temos que 4y f = δx . Assim
e]
rotx (BS(U ))(x) = δx [U
e (x).
= U
2
Agora usaremos o teorema de Biot-Savart generalizado para dar uma
fórmula da invariante de Hopf de duas n-uplas U ∈ e
gk (Ω) e V ∈ e
gs (Ω) a qual
será muito importante para resultados posteriores.
Corolário 5.4 Seja Ω domı́nio limitado em Rn com bordo ∂Ω suave e com
a cohomologia nula em dimensão s, isto é, H s (Ω) = {0}. Sejam U =
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(U 1 , .., U k ) ∈ g
ek (Ω) e V = (V 1 , ..V s ) ∈ ges (Ω). Suponha que os U i e os V j
e e Ve são o k-campo e o s-campo associados
são tangentes ao bordo de Ω. Se U
a U e V , respectivamente, então
ZZ
e · Ve
(−1)k
(y − x) × U
I(U, V ) =
vol(x)vol(y)
(5-11)
an
ky − xkn
Ω×Ω
ZZ
(−1)k
[y − x, U 1 (x), .., U k (x), V 1 (y), .., V s (y)]
=
vol(x)vol(y).
an
ky − xkn
Ω×Ω
(5-12)
Prova:
e )](y) = U
e (y). Disso e do
Pelo Teorema de Biot-Savart generalizado, rot[BS(U
fato que H s (Ω) = {0}, temos pela proposição 3.8 e pela proposição 3.9 que
R
e )(y) · Ve (y)vol(y). Logo por definição do s-campo BS(U
e)
I(U, V ) = Ω BS(U
temos
!
Z ÃZ
e (x)
(−1)k
(y − x) × U
I(U, V ) =
vol(x) · Ve (y)vol(y)
an
ky − xkn
Ω
Ω
ZZ
e (x) · Ve (y)
(−1)k
(y − x) × U
=
vol(x)vol(y)
an
ky − xkn
Ω×Ω
mostrando assim (5-11). Para mostrar (5-12) consideramos a base canônica de
Rn , β = {e1 , .., en }, e o resultado será obtido usando a formula (2-18).
2
Observação 5.5
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Capı́tulo 5. A Generalização da Lei de Biot-Savart
55
O invariante de Hopf usado por Arnold em [Arn] para um campo X ∈ E1 (M )
de divergência nula satisfaz
Z Z
1
(x − y) × X(x) · X(y)
I(X) := I(X, X) =
vol(x)vol(y),
4π Ω Ω
kx − yk3
Z Z
1
[x − y, X(x), X(y)]
=
vol(x)vol(y)
a2 Ω Ω
kx − yk3
onde × e · são o produto vetorial e interno usual em R3 e [ ] é o produto
mixto, os quais como sabemos coincidem com o produto ×, o produto · e o
determinante no caso R3 e observamos que este resultado de Arnold coincide
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com o resultado do último corolário para o caso k = 1, U = X e V = X.
2
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6
Fórmulas de Enlaçamento
6.1
Índice de Enlaçamento
Seja S1 uma variedade conexa, compacta, orientada e sem bordo de
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dimensão n. Sendo S1 conexa toda função f de S1 em R que satisfaz df = 0
é uma função constante. Logo, por definição temos que H 0 (S1 ) = R, onde
H 0 (S1 ) é a 0-ésima cohomologia de S1 . Logo, a dualidade de Poincaré garante
que H n (S1 ) = R. Por outro lado, o teorema de de Rham afirma que a késima homologia Hk (S1 ) é isomorfo a H k (S1 ) para todo k ∈ {0, 1, .., n}. Em
particular, Hn (S1 ) = R, logo podemos considerar a classe fundamental de S1
como gerador de Hn (S1 ). Logo, se S2 é outra variedade conexa, compacta,
orientada e sem bordo de dimensão n então cada aplicação f : S1 → S2 suave
satisfaz f∗ S1 = mf S2 , onde mf é uma constante. Um resultado importante da
topologı́a assegura que mf é um inteiro chamado de grau de f e denotado por
deg(f ).
Suponha agora que a variedade S1 acima seja de dimensão n − 1 e imersa
em Rn −{~0} sendo f a função que define a imersão. Seja g := π◦f : S1 → S n−1 ,
p
onde π : Rn − {~0} → S n−1 , π(p) =
, é a projeção na esfera unitaria. O
kpk
inteiro deg(g) indica o número de vezes que f (S1 ) roda em torno da origem e
será denotado por If (S1 ). Neste caso, se σ é a forma de volume de S n−1 e an
é o (n − 1)-volume de S n−1 então
deg(g)
deg(g) =
an
Z
1
σ=
an
S n−1
Z
1
σ=
an
deg(g)S n−1
1
Portanto, se τ = π σ então If (S1 ) =
an
Observação 6.1
σ =
τ =
i=1
n
X
i=1
1
σ=
an
(π◦f )∗ S1
Z
(π ◦ f )∗ σ.
S1
Z
f ∗τ .
∗
n
X
Z
S1
b i ..dxn .
(−1)i−1 xi dx1 ..dx
(−1)i−1
xi
b i ..dxn ,
dx1 ..dx
rn
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(6-1)
(6-2)
Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
57
onde r é a norma euclidiana do vetor posição X = (x1 , x2 , .., xn ).
2
Seja M uma variedade riemanniana, conexa e orientada de dimensão n.
Sejam S1 e S2 sub-variedades orientadas imersas em M , ambas compactas,
sem bordo e de dimensões k1 e k2 respectivamente, onde k1 + k2 = n − 1.
Suponha que S1 ∩ S2 = ∅ e ambas sejam de homologia nula em M . Seja Se1
uma (k1 + 1)-cadeia em M tal que
1. ∂ Se1 = S1 , como cadeias
2. Se1 é transversal a S2 .
Define-se o ı́ndice de enlaçamento de S1 e S2 por
X
lk(S1 , S2 ) =
±1,
(6-3)
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e1 ∩S2
S
onde sumamos +1 em cada ponto de trasversalidade positiva e −1 se a
transversalidade for negativa. Notemos que o conjunto Se1 ∩ S2 é finito, já
que S2 é compacto e os pontos de transversalidade são isolados, logo lk(S1 , S2 )
é finito. Na definição deste ı́ndice de enlaçamento poderı́amos tambem ter
usado uma sub-variedade Se2 de M tal que ∂ Se2 = S2 . Afirmamos que este
ı́ndice independe da escolha de Sei , i = 1, 2, já que este ı́ndice também pode
ser definida por uma integral que depende somente de S1 e S2 . Mostraremos
este fato, primeiro para o caso M = Rn . Sendo S1 e S2 compactas, orientadas
e sem bordo a variedade produto S1 × S2 é também uma variedade compacta,
orientada e sem bordo. sejam x = (x1 , .., xn ) e y = (y1 , .., yn ) as imersões de S1
e S2 em Rn , respectivamente. Por ser S1 ∩ S2 = ∅ podemos definir a aplicação
suave
f : S1 × S2 → Rn − {~0}.
(x, y)
7→ y − x.
Então pode-se mostrar que
1
lk(S1 , S2 ) = If (S1 × S2 ) =
an
Z
f ∗ (τ )
(6-4)
S1 ×S2
Esta fórmula mostra a independencia do lk(S1 , S2 ) com respeito a escolha das
Se1 ou Se2 .
Agora, sendo estas sub-variedades orientadas existem o k1 -campo
unitário N1 e e o k2 -campo unitário N2 que definem as orientações de S1 e S2 ,
respectivamente. Para cada p ∈ S1 identificaremos Tp (S1 ), o espaço tangente
de S1 em p, como o subespaço de Rn de vetores tangentes da imersão no ponto
x(p), isto é, estamos considerando Tp (S1 ) ⊂ Rn . Logo, se {u1 , .., uk1 } é uma
base ortonormal positiva de Tp (S1 ) então N1 (p) = u1 ∧ .. ∧ uk1 . Identificações
análogas serão feitas para os espaços tangentes de S2 .
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
58
Proposição 6.2 O ı́ndice de enlaçamento de S1 e S2 pode ser calculado pela
fórmula
(−1)k1
lk(S1 , S2 ) =
an
Z
Z
p∈S1
q∈S2
(q − p) × N1 (p) · N2 (q)
vol(p)vol(q).
ky − xkn
Prova: A fórmula (6-2) afirma que τ =
sendo f (x, y) = y − x temos que
∗
f (τ ) =
n
X
(−1)i−1
i=1
(6-5)
n
X
xi
b i ..dxn . Agora,
(−1)i−1 n dx1 ..dx
r
i=1
yi − xi
(dy1 − dx1 )(dy2 − dx2 )..(dy\
i − dxi )..(dyn − dxn ).
ky − xkn
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Por outro lado, localmente os sistemas de coordenadas (t1 , .., tk1 ) de S1 e
(r1 , .., rk2 ) de S2 originam o sistema de coordenadas (t1 , .., tk1 , r1 , .., rk2 ) de
Pk1 ∂xi
Pk1 ∂yi
S1 × S2 . Notemos que dxi =
dti e dyi =
dri . Seja base
i=1
i=1
∂ti
∂ri
β = {dr1 , .., drk2 , dt1 , ..drk2 } então as coordenadas de dyi − dxi na base β são
(dyi − dxi )β = (
∂yi
∂yi ∂xi
∂xi
, ..,
,
, ..,
).
∂r1
∂r2 ∂t1
∂tk1
Usando a fórmula (2-2) temos que
(
f ∗ (τ ) =
)
n
X
y
−
x
i
i
(−1)i−1
[(dy1 − dx1 )β , (dy2 − dx2 )β ..(dy\
i − dxi )β ..(dyn − dxn )β ] .
n
ky
−
xk
i=1
.dr1 ..drk2 dt1 ..dtk1 ,
onde o pontinho na primeira e segunda linha significa continuação da fórmula.
O cálculo de um determinante pelo método de cofatores com respeito a primeira
linha implica que
f ∗ (τ ) =
[(y1 − x1 , (dy1 − dx1 )β ), .., (yn − xn , (dyn − dxn )β )]
dr1 ..drk2 dt1 ..dtk1 ,
ky − xkn
onde cada (yi − xi , (dyi − dxi )β ) está sendo considerada vetor coluna. Notemos
∂x
∂x
que as k últimas linhas são −
, .., −
. Então
∂t1
∂tk1
f ∗ (τ ) = (−1)k
[(y1 − x1 , (dy1 + dx1 )β ), .., (yn − xn , (dyn + dxn )β )]
dr1 ..drk2 dt1 ..dtk1 ,
ky − xkn
Agora, aplicando a propriedade anticomutativa do determinante com respeito
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
59
as linhas e sabendo que dr1 ..drk2 dt1 ..dtk1 = (−1)k1 k2 dt1 ..dtk1 dr1 ..drk2 temos
f ∗ (τ ) = (−1)k
[(y1 − x1 , (dy1 + dx1 )β 0 ), .., (yn − xn , (dyn + dxn )β 0 )]
dr1 ..drk2 dt1 ..dtk1 ,
ky − xkn
onde β 0 = {dt1 , .., dtk1 , dr1 , .., drk2 }. Escrevendo o determinante por linhas
temos que
∂y
∂x ∂x ∂y
..
, ..,
,
]
∂t1 ∂tk1 ∂r1
∂rk2
dr1 ..drk2 dt1 ..dtk1 .
ky − xkn
[(y1 − x1 , .., yn − xn ),
f ∗ (τ ) = (−1)k
Finalmente usando a fórmula (2-17) obtemos o resultado desejado.
2
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Exemplo 6.3 Sejam Si , i = 1, 2 curvas fechadas e disjuntas em R3 , onde
k1 = k2 = 1. Seja αi : [0, Ti ] → R3 a parametrização de Si . Denotemos por
∂αi
α̇i
α̇i , i = 1, 2, ao vetor tangente
. Logo Ni =
e voli = kα̇i kdti . Então
∂ti
kαi k
−1
lk(S1 , S2 ) =
4π
Z
Z
(q − p) × N1 (p) · N2 (q)
vol(p)vol(q)
kp − qk3
p∈S1 q∈S2
α˙ (t )
α˙ (t )
Z T1 Z T2 (α2 (t2 ) − α1 (t1 )) × 1 1 · 2 2
−1
kα˙1 (t1 )k kα˙2 (t2 )k
=
kα˙1 kkα˙2 kdt1 dt2
4π 0
kα2 (t2 ) − α1 (t1 )k3
0
Z Z
−1 T1 T2 (α1 (t1 ) − α2 (t2 )) × α˙1 (t1 ) · α˙2 (t2 )
=
dt1 dt2
4π 0
kα1 (t1 ) − α2 (t2 )k3
0
Esta é a conhecida formula de Gauss para o ı́ndice de enlaçamento de duas
curvas fechadas.
2
Observação 6.4
Sejam X(t1 , .., tk1 ), (t1 , .., tk1 ) ∈ [0, T 1 ]×..×[0, T k1 ] e Y (r1 , .., rk2 ), (r1 , .., rk2 ) ∈
[0, R1 ] × .. × [0, Rk2 ] parametrizações de S1 e S2 , respectivamente. Por (3-3)
temos que
√
∂X
∂X
∧ .. ∧
= ḡ1 N1 ;
∂t1
∂tk1
√
∂Y
∂Y
∧ .. ∧ k2 = ḡ2 N2 .
1
∂r
∂t
e por (3-4)temos que
dt1 ..dtk1 =
Então
usando
a
√
ḡ1 vol1 ;
fórmula
(2-18)
dr1 ..drk2 =
podemos
√
ḡ2 vol2 .
localmente
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escrever
Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
60
an (−1)k1 lk(S1 , S2 ) como
·
Z
Z
Rk2
R1
Z
..
0
Z
T k1
T1
..
0
0
0
∂X
∂X ∂Y
∂Y
X − Y,
, ..,
,
, ..,
∂t1
∂tk1 ∂r1
∂rk2
n
kX − Y k
onde dµ1 = dt1 ..dtk1 e dµ2 = dr1 ..drk2 .
¸
dµ1 dµ2 , (6-6)
2.
Continuemos agora para o caso de M ser uma variedade riemanniana
R
compacta e sem bordo. Sendo Si sem bordo, a aplicação linear [α] 7→ Si α está
bem definida sobre H k (M ). A dualidade de Poincaré garante que H n−ki (M ) =
(H ki (M ))∗ , logo existe [ηi ] ∈ H n−ki (M ), chamado o dual de Poincaré de Si ,
R
R
tal que toda k-forma fechada α ∈ E k (M ) satisfaz Si α = M α ∧ ηi . Agora,
como existe Sei tal que ∂ Sei = Si , temos
α=
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Z
Z
Z
Si
ei
∂S
α=
ei
S
dα = 0.
Assim, [ηi ] = 0, isto é, ηi é exata. Escolhamos vizinhanças tubulares Wi de Si
tal que W1 ∩ W2 = ∅. Podemos escolher representantes ηi do dual de Poincaré
de Si tal que o suporte de ηi está contido em Wi . Podemos mostrar que se α1
é uma forma diferencial que satisfaz dα1 = η1 então
Z
lk(S1 , S2 ) =
α1 ∧ η2 .
M
De fato, W2 pode ser escolhida sendo um fibrado normal de S2 e o dual de
Poincaré η2 de S2 pode ser escolhida como uma (n − k2 )-forma diferenciável
fechada que representa a classe de Thom de S2 em W2 . Seja U1 um fibrado
normal de Se1 , onde Se1 é qualquer sub-variedade singular tal que ∂ Se1 = S1 ,
então podemos escolher por α1 a classe de Thom de Se1 em U1 . Então o produto
exterior α1 ∧ η2 representa a classe de Thom de Se1 ∩ S2 em U1 ∩ W2 . A classe
R
de Thom θ ∈ E n (M ) de um ponto satisfaz supp(θ) θ = 1 Como Se1 ∩ S2 é um
conjunto finito de pontos temos que
Z
Z
ϕ(Se1 ∩ S2 ) =
α1 ∧ η2 =
M
Vp
X
±1
e1 ∩N2
p∈S
= lk(S1 , S2 )
Outro fato importante é que a escolha da classe de Thom η2 tem integral +1
sobre cada fibra da vizinhanca Wi que é isomorfa a um disco D² . Assim
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
Z
61
Z
Z
α1 ∧ η2 =
M
α1 ∧ η2 =
α1
W2
p∈S2
Z
Portanto
Z
η2 .
D²
Z
α1 ∧ η2 =
α1 .
M
(6-7)
S2
6.2
Formas de Enlacamento
Definição 6.5 Uma forma de enlaçamento em M é uma forma dupla L em
M ×M tal que para duas subvariedades disjuntas e fechadas S1k1 , S1k1 , k1 +k2 =
n − 1 ambas sem bordo e de homologia nula, a seguinte igualdade se satisfaz
Z Z
lk(S1 , S2 ) =
L.
S1
S2
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Por exemplo em Rn , se v11 , v21 , .., vk11 ∈ Tp S1 e v12 , v22 , .., vk22 ∈ Tq S2 Podemos
definir LRn por
L
Rn
(v11 , v21 , .., vk11 , v12 , v22 , .., vk22 )
1 [p − q, v11 , v21 , .., vk11 , v12 , v22 , .., vk22 ]
.
=
an
kp − qkn
No caso de M ser uma variedade riemanniana compacta sem bordo uma forma
de enlaçamento é construı́da como segue:
Pelo teorema de decomposição de Hodge, cada α ∈ E k (M ) pode ser
escrita de forma única como
α = d∂(Gα) + ∂d(Gα) + H(α),
(6-8)
onde d é o operador diferencial, ∂ = ∗d∗ é o operador codiferencial, H é o
operador de projeção na parte harmônica da k-forma e G é o operador de
Green. Nesta formula as componentes são ortogonais entre si na métrica
Z
hα, βi =
α ∧ ∗β.
M
O operador de Green é definida por G(α) = ω − H(ω), onde ω é solução da
equação 4ω = α − H(α). O operador de Green também pode ser escrita como
Z
G(α)(x) =
α ∧ ∗y g(x, y)β
M
= hα, g(x, ·)i,
onde g(x, y), chamado o núcleo de G, é uma forma dupla em M × M a qual
é suave fora da diagonal e tem polo de ordem n − 2 ao longo da diagonal.
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
62
Denotemos por wy o operador linear que age sobre o espaço das formas
duplas decomponiveis wy (α(x) ∧ β(y)) = (−1)k(n−k) α(x) ∧ β(y) sempre que
β(y) ∈ E k (M ).
Proposição 6.6 A forma dupla L := wy (∗y dy g(x, y)) é uma forma de
enlaçamento em M . L tem singularidade r(x, y)1−n ao longo da diagonal e
é suave fora dela, onde r é a função distancia riemanniana. Alem disso, para
cada k-forma α existe uma (k − 1)-forma h tal que
Z
L(x, y) ∧ dα(y) = α(x) − H(α)(x) + dh(x).
(6-9)
y∈M
Prova. O operador G comuta com d e ∂, logo por (5.3) temos
G(∂dα)α = α − H(α)d(−∂(Gα))
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= α − H(α) + dh
Por outro lado, ∂ é operador adjunto de d na métrica h , i, logo temos
G(∂dα) = h∂dα, g(x, ·)i = hdα, dg(x, ·)i
Z
Z
=
dα ∧ ∗y dy g(x, y) =
wy ∗y dy g(x, y) ∧ α
M
ZM
=
L(x, y) ∧ α
M
Agora, mostraremos que L(x, y) é uma forma de enlaçamento em M . Seja
² > 0 e denotemos por D²n−k1 a bola de raio ² em Rn−k1 . Se o fibrado normal
de Si em M é trivial, podemos tomar Wi como a imagem de Si × D²n−ki pelo
difeomorfismo dado pela aplicação exponencial geodésica restrita ao fibrado
normal de Si em M . As coordenadas compatı́veis com estes produtos serão
denotadas por (p, a) e (q, b) para W1 e W2 respectivamente. Escolhendo
as classes de Thom como representantes, no fibrado respectivo, do dual de
Poincaré ηi de Si com supp(ηi ) ⊂ (Wi ) temos para cada p ∈ Wi
Z
n−k
p×D² 1
exp∗ ηi = 1.
Então, se α1 é primitiva de η1 , por (5.4) temos
Z
lk(S1 , S2 ) =
α1 ∧ η2
ZM
=
Z
(H(α1 )(x) − dh(x) +
x∈M
L(x, y) ∧ η1 ) ∧ η2 (x).
y∈M
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
As integrais
63
Z
Z
H(α1 ) ∧ η2 e
M
dh ∧ η2
M
se anulam pelo teorema de Stokes já que η2 é exata e dH(α1 ) = 0. Como ηi
tem suporte em Wi obtemos
Z
Z
(
lk(S1 , S2 ) =
x∈W2
L(x, y) ∧ η1 ) ∧ η2 (x)
y∈W1
Como W1 e W2 sao disjuntas, L(x, y) é suave em W2 . Para ² suficientemente
pequeno
Z
Z
lk(S1 , S2 ) =
(
(L((p, 0), (q, 0)) + O(²)) ∧ η1 ) ∧ η2 (x)
(q,b)∈W2
(p,a)∈W1
Z
Z
=
(
(L(p, (q, 0)) + O(²))) ∧ η2 (x)
(q,b)∈W2
p∈S1
Z
Z
=
L(p, q) + O(²)
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q∈S2
p∈S1
Como ² pode ser arbitrariamente pequeno, segue o resultado.
No caso em que o fibrado normal de Si não é trivial, uma calculação
semelhante, onde Wi é a imagem pela aplicação exponencial dos vetores
normais a de norma menor ou igual a ², dá o mesmo resultado.
2
6.3
Índice de enlaçamento para ciclos singulares em M
Podemos estender o ı́ndice de enlaçamento a cadéias e ciclos singulares
em M . Lembremos que um k-simplexo singular em M é uma aplicação
σ : 4k → M , a qual podemos supor suave sem perda de generalidade, onde
4k é o k simplexo canônico, o menor conjunto convexo que comtém os pontos
e1 , e2 , .., ek+1 da base canônica em Rk+1 . Uma k-cadeia é uma combinação
X
linear c =
i = 1l ai σi , de um número finito de k-simplexos σ1 , σ2 , ..σl em M
com coeficientes ai ∈ R. O bordo ∂c de uma k-cadeia c é uma (k − 1)-cadéia
(vide [BT], §15, para a definição), e c é um k-ciclo se ∂c = 0.No caso de um
∂
∂F
k-simplexo σ : 4k → M , definimos
:=
. Seja g a métrica em M . Se
∂ti
∂ti
∂ ∂
) e ḡ = det[gij ] então definimos como no caso de variedades
gij = g( ,
∂ti ∂tj
√
vol = ḡdt1 ..dtk ,
(6-10)
uma k-forma singular a qual chamaremos a forma de volume singular em C.
∂
∂
(p), ..,
(p)} obAgora, se para cada p ∈ C aplicarmos Gram-Schmidt a {
∂t1
∂tk
temos {X1 (p), .., Xk (p)} (possivelmente algum Xi (p) nulo), que será chamado
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
64
de sistema ortonormal singular em C e definiremos o k-campo unitário singular
por N := X1 ∧ .. ∧ Xk . Notemos como no caso de variedades que
√
∂
∂
∧ .. ∧
= ḡN
∂t1
∂tk
Sejam C1 um k-ciclo e C2 um s-ciclo em M , onde r + s = n − 1, e suponha
que sejam disjuntas . Se C1 e C2 são de homologia nula então podemos definir
o ı́ndice de enlaçamento de C1 e C2 pela integral
Z
Z
lk(C1 , C2 ) =
L(x,y) .
x∈C1
y∈C2
Este ı́ndice de enlaçamento coincide com o usual sempre que C1 e C2 sejam
sub-variedades orientadas em M . Agora, suponha que M = Rn e sejam N1
e N2 o k-campo unitário singular em C1 e o s-campo unitário singular em
C2 , respectivamente. Então como no caso de sub-variedades em Rn podemos
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definir
Z
Z
lk(C1 , C2 ) =
L(p,q)
Z
p∈C1
Z
q∈C2
=
p∈C1
q∈C2
(p − q) × N1 (p) · N2 (q)
volp volq .
kp − qkn
(6-11)
A integral está bem definida porque o conjunto onde cada Ni se anula é
mensurável.
Para finalizar este capı́tulo definiremos classes especiais de cadeias singulares e criaremos uma notação propria para estes já que serão de muita
importancia no proximo capı́tulo para poder definir o ı́ndice de enlaçamento
assintótico para ações que preservam volume numa variedade riemanniana.
Chamaremos de k-retângulo canónico a qualquer k-retângulo da forma
bi
Γ = [0, T1 ] × .. × [0, Tk ] que será denotada por Γ. Denotaremos por Γ
[
ao (k − 1)- retângulo [0, T1 ] × ..[0,
Ti ].. × [0, Tk ]. As faces de Γ serão definidas pelas aplicações (t1 , .., ti−1 , ti+1 , .., tk ) 7→ (t1 , .., ti−1 , 0, ti+1 , .., tk ) e
bi em Γ e serão denotadas
(t1 , .., ti−1 , ti+1 , .., tk ) 7→ (t1 , .., ti−1 , Ti , ti+1 , .., tk ) de Γ
por ∂i0 Γ e ∂i1 Γ, respectivamente. Uma aplicação suave F : Γ → M será chamada de k-retângulo singular em M e as restrições de F a ∂i0 Γ e a ∂i1 Γ serão
chamadas de i0 -bordo de C e de i1 -bordo de C e denotadas por ∂i0 C e ∂i1 C,
P
respectivamente. Uma k-cadeia singular da forma m
i=1 ai Ci , onde Ci é um
k retângulo singular em M , será chamada de k-cadeia retângulo singular em
M . Se C é um k-retângulo singular em M o bordo de C será a (k − 1)-cadeia
Pk
1
i 0
retângulo ∂C =
i=1 (−1) (∂i C − ∂i C). Duas aplicações suaves do tipo
F : Γ1 → M e G : Γ2 → M , onde Γi é k-retângulo canónico, representam o
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
65
mesmo k-retângulo singular em M si existe difeomorfismo θ : Γ1 → Γ2 que
preserva orientação tal que G ◦ θ = F .
Tr2
−∂10 Γ ↓
r
0
−∂21 Γ
r
←
F
−→
Γ
→
C
%
&
r
↑ ∂11 Γ
r
T1
∂20 Γ
−∂10 C
F(0,T2 )
r
F(0,0)
−∂21 C
&
∂20 C
∂11 C
←
r
r
F(T1 ,T2 )
F(T1 ,0)
k=2, Γ um retangulo e C um 2-retângulo singular.
Seja R um k-retângulo singular definida por F : Γ → Ωn , onde Ω é uma
região compacta e convexa em Rn O cone C(R) gerado por R de vértice p̃ ∈ Ωn
é o (k + 1)-retângulo singular em M definida pela aplicação
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Fe : [0, T1 ] × .. × [0, Ts ] × [0, 1] → Ωn
(t1 , .., tk , t) 7→ (1 − t)F (t1 , .., tk ) + tp̃
Como Ωn é convexa, segue-se que Fe está bem definida. Agora, se C =
m
X
ai Ci
i=1
é uma s-cadeia tal que cada Ci é um k-retângulo singular então a pirâmide
m
X
gerado por C de vértice p̃ é a (k + 1)-cadeia retângulo C(C) =
ai C(Ci ).
i=1
Exemplo 6.7
R
rα(T1 )
α(0) r
¢ rα(T1 )
AA R̃ ¢ ¡
α(0) rHHA ¢¡
H
A¢¡
r
−→
r
p̃
p̃
Naturalmente, C(0) = 0. Em particular, se R é um k-retângulo então não
é dificil mostrar que
∂C(R) = (−1)k+1 (R − p̃) + C(∂R),
(6-12)
onde p̃ é o k-retângulo constante e C(R) é a pirâmide gerada por ∂R. Em
particular, se ∂R é o bordo do k-retângulo R então ∂(C(∂R)) = (−1)k ∂R,
P
como veremos a seguir. De fato, sendo ∂R = ki=1 (−1)i [∂i0 R − ∂i1 R] temos que
k
X
C(∂R) =
(−1)i [C(∂i0 R) − C(∂i1 R)].
i=1
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Capı́tulo 6. Fórmulas de Enlaçamento
66
Logo, pela linearidade de ∂ temos
k
X
∂(C(∂R)) =
(−1)i [∂C(∂i0 R) − ∂C(∂i1 R)]}.
i=1
Agora, sabendo que ∂ij R é um (k − 1)-retângulo temos pela fórmula (6-12)
∂(C(∂R)) =
=
k
X
i=1
k
X
¤
¡
¢
£
¡
¢
(−1)i (−1)k ∂i0 R − p̃ + C(∂∂i0 R) − (−1)k ∂i1 R − p̃ − C(∂∂i1 R)
£
¡
¢
¤
(−1)i (−1)k ∂i0 R − p̃ − ∂i1 R + p̃ + C(∂∂i0 R) − C(∂∂i1 R)
i=1
Ã
!
k
k
X
X
i 0
1
(−1) [∂i R − ∂i R] +
(−1)i [C(∂∂i0 R) − C(∂∂i1 R)]
Ã
i=1
k
X
= (−1)k
k
= (−1)
!
i
(−1)
[∂i0 R
−
∂i1 R]
i=1
Ã Ã k
!!
X
i 0
1
+C ∂
(−1) [∂i R − ∂i R]
i=1
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k
i=1
2
= (−1) ∂R + C(∂ (R))
= (−1)k ∂R.
R
k=2
C(∂R)
p̃
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7
Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
Sejam M uma variedade riemanniana compacta, orientada e L(x,y) a
forma dupla de enlaçamento nesta variedade como foi definida na seção
anterior. Neste capı́tulo usaremos L(x,y) para definir ı́ndices de enlaçamento
associadas a ações de Rk de difeomorfismos que preservam volume em M .
Os objetos geométricos que enlaçaremos serão geradas pelas órbitas da ação.
Consideraremos estes objetos sendo k-cádeias singulares em M , já que uma
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órbita de uma ação não está necessariamente imersa em M .
7.1
Índice de Enlaçamento Assintótico de uma Ação de Rk e uma subvariedade
Seja M uma n-variedade riemanniana compacta, orientada, completa
com Hk (M ) = {0}. Sejam Φ uma ação de Rk em M de difeomorfismos que
preservam volume e S uma sub-variedade de M de dimensão s, fechada, sem
bordo e de homologia nula, k + s = n − 1. Para cada ponto q ∈ N existe
uma única órbita que passa por q e como cada órbita de Φ é uma variedade
imersa em M de dimensão menor ou igual a k, temos que o conjunto de
pontos cujas órbitas interceptam S é de medida nula em M . Logo, cada p
no complemento deste conjunto de medida nula tem sua órbita enlaçando-se
em torno de S. Assim, é natural pensar em definir, se é possı́vel, um ı́ndice
que meça o enlaçamento das órbitas de Φ com a sub-variedade S. No que
segue, cada k-uplo (T 1 , .., T k ) ∈ (R+ )k , R+ = (0, +∞) será relacionado o kretângulo canónico Γ = [0, T 1 ] × .. × [0, T k ]. A órbita de Φ de perı́odo Γ que
passa por p ∈ M , isto é {Φ(t1 ,..,tk ) (p); (t1 , .., tk ) ∈ Γ}, será denotada por ϑ(p,Γ)
e considerada um k-retângulo singular em M .
Seja Σk um conjunto de k-cadéias singulares em M satisfazendo as
seguintes propriedades:
1. Para cada ϑ(p,Γ) existe uma única σ(p,Γ) em Σk tal que ∂ϑ(p,Γ) = ∂σ(p,Γ) .
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
68
2. Existe subconjunto Θ ⊂ (R∗ )n mensurável, cujo complemento tem
medida nula, tal que para cada (T 1 , T 2 , .., T k ) ∈ Θ o conjunto
OΓ := {p ∈ M ; σ(p,Γ) ∩ S 6= ∅}
tem medida nula em M .
3. As σ(p,Γ) em Σk variam continuamente em medida no sentido de que para
cada (T 1 , T 2 , .., T k ) ∈ Θ a função hΓ : M → R, definida por
Z
1
hΓ (p) = 1 k
T ..T
é uma função em L1 (M ),isto é,
Z
L(x, y),
x∈σ(p,T )
R
p∈M
y∈S
|hΓ (p)|vol < ∞.
4. A famı́lia de funções {hΓ } converge em L1 (M ) para a função identicamente nula, isto é,
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Z
lim
T 1 ,..,T k →∞
|hΓ (p)|vol = 0.
2
p∈M
Definição 7.1 Todo conjunto Σ de k-cadeias singulares em M que satisfaz as
condições 1,2,3 e 4 anteriores será chamado de sistema de k-volumes singulares
pequenos de enlaçamento associados a Φ e S.
Enlacamentos na bola unitária Ωn
Seja Ωn a bola unitária fechada em Rn e fixemos o ponto p̃ ∈ Ωn .
Para cada k-retângulo singular R em Ωn definiremos a k-cadeia singular
σ(R) := (−1)k C(∂R) sendo a pirámide gerada por ∂R de vértice p̃, como
foi definida na última seção.
R
k=2
σ(R)
p̃
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
69
Definamos Σ(p̃) := {σ(R) ; R é um k-retângulo singular em Ωn }. Chamaremos este conjunto de k-cadéias estreladas com vértice em p̃.
Teorema 7.2 Seja p̃ um ponto no complemento de S em Ωn . Então Σ(p̃) é
um sistema de k-volumes singulares pequenos de enlaçamento associados a Φ
e S. Σ(p̃) independe de Φ.
Prova: Sejam p ∈ Ωn e Γ um k-retângulo canônico quaisquer.
1. Como ϑ(p,Γ) é um k-retângulo singular em Ωn , temos que σ(ϑ(p,Γ) ) ∈
Σ(p̃). Por construção ∂C(∂ϑ(p,Γ) ) = (−1)k ∂(ϑ(p,Γ) ). Logo, se σ(p,Γ) := σ(ϑ(p,Γ) ),
então por definição de σ(ϑ(p,Γ) ) temos que
∂σ(p,Γ) = (−1)k ∂C(∂ϑ(p,Γ) ) = ∂ϑ(p,Γ) .
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Assim Σ(p̃) satisfaz a propriedade 1.
Para provar que Σ(p) satisfaz as condições 2,3 e 4, sendo
σ(p,Γ) =
k
X
(−1)i+k (C(∂i0 ϑ(p,Γ) ) − C(∂i1 ϑ(p,Γ) ))
i=1
mostraremos que estas condições são satisfeitas para cada famı́lia C(∂ij ϑ(p,Γ )).
Neste caso, será suficiente mostrar para uma única famı́lia, já que o resto se
(k,0)
mostra de maneira análoga. Em particular, seja σ(p,Γ) := C(∂k0 ϑ(p,Γ) ) a pirámide
gerada por ∂k0 ϑ(p,Γ) de vertice p̃, isto é, a k-cadeia definida pela aplicação
(k,0) b k
F(p,Γ) : Γ
× [0, 1] → Ωn ,
(k,0)
F(p,Γ) (t1 , .., tk−1 , u) = (1 − u)Φ(t1 ,..,tk−1 ,0) (p) + up̃.
bk e definamos a homotopia
2. Fixemos ~t = (t1 , .., tk−1 ) ∈ Γ
H~tu := (1 − u)H~t0 − uH~t1 , t ∈ [0, 1],
(k,0)
onde H~t0 := Φ(t1 ,..,tk−1 ,0) e H~t1 (p) = p̃, ∀p ∈ Ωn . Seja OΓ
(k,0)
Ωn ; σ(p,Γ) ∩ S 6= ∅}. Notemos que
(k,0)
OΓ
:= {p ∈
bk × [0, 1) ⊂ Rk }.
= {(H~tu )−1 (S); (t1 , .., tk−1 , t) ∈ Γ
Sendo (H~tu )∗ (vol) = (1 − u)vol, já que Φ(t1 ,..,tk−1 ,0) preserva volume, então
(k,0)
(H~tu )−1 (S) é uma s-subvariedade em Ω. Assim, OΓ tem no máximo dimensão
(k,0)
k + s = n − 1. Logo, OΓ
tem medida nula em Ωn , mostrando assim a
propriedade 2 e neste caso Θ = (R+ )k .
bk × [0, 1]. Notemos que
3. Seja (t1 , .., tk−1 , u) ∈ Γ
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
(k,0)
70
(k,0)
kF(p,Γ) (t1 , .., tk−1 , u)−F(q,Γ) (t1 , .., tk−1 , u)k ≤ kΦ(t1 ,..,tk−1 ,0) (p)−Φ(t1 ,..,tk−1 ,0) (q)k.
bk × [0, 1], Ωn )
Logo, sendo Φ uma aplicação suave e considerando em C ∞ (Γ
a topologia induzida pela norma do supremo temos que p 7→ F(p,Γ) é uma
bk × [0, 1], Ωn ). Disto e sendo L(x,y) suave no
aplicação contı́nua de Ωn em C ∞ (Γ
complemento da diagonal {(q, q); q ∈ Ωn } em Ωn × Ωn temos
(k,0)
hΓ (p)
1
:= 1 k
T ..T
(k,0)
Z
Z
(k,0)
x∈σ(p,Γ)
L(x,y)
y∈S
(k,0)
é continua no complemento de OΓ
que tem medida nula. Assim, hΓ
pode
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n
ser considerada uma função mensurável de domı́nio Ω .
R
(k,0)
Agora, mostraremos que p∈Ωn |hΓ (p)|vol < ∞. Seja X =
(X 1 , X 2 , .., X k ) ∈ e
gk , como definido no capı́tulo 3, tal que A(X) = Φ.
(k,0)
∂F(p,Γ)
Notemos que
(t1 , .., tk−1 , u) = (1 − u)X i (Φ(t1 ,..,tk−1 ,0) (p)), i = 1, .., k − 1.
∂ti
Sendo X i campo vetorial definido no domı́nio compacto Ωn existe A tal
que kX i k ≤ A, ∀i. Logo ∀i ∈ {1, .., k − 1}, ∀p ∈ Ωn e para todo Γ
(k,0)
(k,0)
∂F(p,Γ)
∂F(p,Γ)
k ≤ A e tambem k
k ≤ 2. Como S é comtemos que k
∂ti
∂u
pacta, podemos supor que está definida por um atlas finito da forma
{θi : [0, 1]r → Si ⊂ S, (r1i , , , .rsi ) 7→ θi (r1i , .., rsi )}i∈{1,2,..,m} tal que existe
∂θi
B > 0 tal que k i k ≤ B, ∀i, j. Seja {fi : S → [0, 1]}i∈{1,2,..,m} uma partição
∂rj
de unidade com respeito a este atlas, note que kfi k ≤ 1, ∀i. Definamos
(k,0)
h(Γ,i) (p)
Então
(k,0)
(k,0)
hΓ
=
m
X
1
= 1 k
T ..T
Z
Z
(k,0)
x∈σ(p,Γ)
fi (y)L(x,y) .
y∈Si
(k,i)
(k,0)
h(Γ,i) . Logo, por (6-11), (6-6) e como σ(p,Γ) está definida por
i=1
F(p,Γ) , podemos escrever
"
1
(k,0)
h(Γ,i) (p) = 1 k
T ..T
Z Z
bi
Γ
1
0
(k,0)
(k,0)
fi F(p,Γ) − θi ,
Z
(0,1)r
∂F(p,Γ)
∂t1
(k,0)
, ..,
∂F(p,Γ)
∂θi
, .., i
∂u
∂rs
(k,0)
kF(p,Γ) − θi kn
#
dυk−1 dudυr ,
(k,0)
onde dυk−1 e dυs são as formas de volume em Rk−1 e Rs , respectivamente, F(p,Γ)
bi ×[0, 1] e fi , θi definidas em (0, 1)r . Como o valor absoluto de um
definida em Γ
determinante é menor ou igual ao produto das normas de seus vetores linhas
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
71
e kf k ≤ 1, temos que
Z
p∈Ωn
(k,0)
|h(Γ,i) (p)|
Z
1
vol ≤
T1 ..Tk
Z Z
(
p∈Ωn
bi
Γ
1
Z
2Ak−1 B r
(0,1)r
0
(k,0)
kF(p,Γ) − θi kn−1
dυk−1 dudυr ) vol.
(k,0)
Agora, para ~t = (t1 , .., tk−1 ) fixo a homotopia H~tt = F(p,Γ) (t1 , .., tk−1 , u)
geometricamente deforma Ωn no ponto p̃. Como p̃ não pertence a S, existem
δi ∈ (0, 1] e uma constante Di > 0 tal que ∀p ∈ Ωn , ∀q ∈ S temos que
(k,0)
kF(p,Γ) (t1 , .., tk−1 , u) − qk ≥ Di
bk , ∀u ∈ [δ, 1].
, ∀(t1 , .., tk−1 ) ∈ Γ
Daqui, segue que
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I1
1
:=
T1 ..Tk
≤
=
1
T1 ..Tk
Z
Z
Z
(
p∈Ωn
Z
(
p∈Ωn
r
Z
bk
Γ
Z
bk
Γ
n
1
δi
1
Z
Z
δi
2Ak−1 B r
(k,0)
dυk−1 dudυr ) vol.
[0,1]r
kF(p,Γ) − θi kn−1
[0,1]r
2Ak−1 B r
dυk−1 dudυr ) vol
Din−1
2Ak−1 B vol(Ω )
Din−1 Tk
1
Agora, notemos que para cada q ∈ Ωn a função p 7→
é integrável.
n−1
kp
−
qk
Z
1
n
Portanto, a função definida em Ω por q 7→
vol é continua.
n−1
p∈Ωn kp − qk
Logo, existe constante E > 0 tal que
Z
1
vol ≤ E ∀q ∈ Ωn .
(7-1)
n−1
kp
−
qk
n
p∈Ω
Daqui, aplicando Fubini, sendo (H~tu )∗ (vol) = (1 − u)vol e notando que
1
1
≤
se 0 < u ≤ δ < 1 temos que
1−u
1−δ
I2
1
:=
1
T ..T k
=
=
=
1
1
T ..T k
1
1
T ..T k
1
1
T ..T k
Z
Z
(
p∈Ωn
Z
Z
Z
Z
bk
Γ
Z
bk
Γ
bk
Γ
bk
Γ
Z
Z
δi
0
Z
(0,1)r
(0,1)r
(0,1)r
Z
Z
δi
0
δi
0
δi
0
Z
2Ak−1 B r
(0,1)r
Z
(
(k,0)
kF(p,Γ) − θi kn−1
dυk−1 dudυr ) vol.
2Ak−1 B r
vol)dudυk−1 dυr
t
n−1
p∈Ωn kH~t (p) − θi k
Z
2Ak−1 B r
1
(
(H u )∗ (vol))dudυk−1 dυr
(1 − u)n p∈Ωn kH~tt (p) − θi kn−1 ~t
Z
2Ak−1 B r
1
(
vol)dudυk−1 dυr
(1 − u)n p∈(H~u )∗ Ωn kp − θi kn−1
t
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
1
≤
1
T ..T k
Z
k−1
Z
bk
Γ
r
Z
(0,1)r
δi
0
72
2Ak−1 B r E
dudυk−1 dυr
(1 − δi )n
2A B E
=
(1 − δi )n T k
Como
1
I1 + I2 = 1 k
T ..T
Z
Z
(
p∈Ωn
Z
T (k−1,k)
1
Z
2Ak−1 B r
[0,1]s
0
(k,0)
kF(p,Γ) − θkn−1
dυk−1 dudυs ) vol,
temos que
Z
(k,0)
p∈Ωn
|h(Γ,i) (p)| vol ≤ I1 + I2 ≤
2Ak−1 B r vol(Ωn )
E
{ n−1 +
} < ∞, ∀i
k
T
(1 − δi )n
Di
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R
P R
(k,0)
(k,0)
Como p∈Ωn |hΓ (p)|vol ≤ m
i=1 p∈Ωn |h(Γ,i) (p)|vol, temos que Σ(p̃) satisfaz a
condição 3.
4. A condição 4 é satisfeita da relação
Z
p∈Ωn
|hkΓ0 (p)|vol
≤
m Z
X
i=1
p∈Ωn
(k ,i)
|hΓ 0 (p)|vol
m
E
2Ak−1 B r X vol(Ωn )
≤
{ n−1 +
}
k
n
T
(1
−
δ
)
D
i
i
i=1
e do fato que T k → ∞ . 2
Pela propriedade 1 de Σ(p̃), a cada ϑ(p,T (k) ) podemos associar a k-cadeia
singular sem bordo ϑ̃(p,Γ) := ϑ(p,Γ) − σ(p,Γ) . Como Hk (Ω) = {0}, temos que
ϑ̃(p,Γ) é de homologia nula.
k=2
ϑ(p,T )
p2
r
p
r
r
p1
r
p3
p2
σ(p,T )
r
p
r
r
p1
r
p3
r
p̃
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
73
ϑ̃(p,T ) = ϑ(p,T ) − σ(p,T )
p2
r
p
r
r
p3
r
p1
r
p̃
Seja O ⊂ Ω o conjunto de pontos cujas órbitas interceptam S. No inı́cio
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n
desta seção vimos que O tem medida nula. Fixemos Γ. Seja ΩΓ o complemento
de O ∪ OΓ . Para cada p ∈ ΩΓ temos que ϑe(p,Γ) ∩ N = ∅. Logo, podemos definir
em ΩΓ a função contı́nua
lkΓ (p) =
1
lk(ϑeϕ( p, T ), S).
T 1 ..T k
Sendo o complemento de ΩΓ de medida nula podemos considerar lkΓ como
uma função mensurável definida em Ωn .
Proposição 7.3 O limite
e
lk(p)
=
lim
T 1 ,..,T k →∞
lkΓ (p) =
lim
1
T 1 ,..,T k →∞ T 1 ..T k
lk(ϑe( p, Γ), S)
existe no sentido L1 e define uma função integrável que não depende da escolha
do sistema Σ de k-volumes singulares pequenos de enlaçamento associados a
Φ e S.
Prova: Sejam X 1 , .., X k os campos vetoriais em Ωn de divergência nula associados a Φ e N o s-campo unitário em S que define a sua orientação. Definamos
X := X 1 ∧ .. ∧ X k k-campo em Ωn . Para cada p no complemento de S em Ωn
definamos a s-forma suave α(p) em S
(α(p) )q :=
(−1)k (q − p) × X(p) · Y (q)
volq
an
kq − pkn
R
Logo, a função f definida por f (p) := S α(p) é uma função contı́nua no
complemento de S em Ωn . Como S tem medida nula em Ωn a função f pode
ser considerada uma função mensurável em Ωn . Aplicando Fubini, podemos
mostrar que f é uma função em L1 (Ωn ). Por outro lado, na k-cadéia ϑ( p, Γ)
∂
temos que o i-ésimo vetor tangente coordenado
é igual a X i (Φ(t1 ,t2 ,..,tk ) (p),
∂ti
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
logo
74
∂
∂
∧ .. ∧
= X(ϕ(t1 ,..,tk ) (p)).
∂t1
∂tk
e de ϑ(p,Γ) pela
Lembremos que podemos definir o k-campo unitário singular N
igualdade
√ e
∂
∂
∧ .. ∧
= ḡ N
,
dt1
dtk
∂
∂
e k = 1 se os ∂ são linearmente independentes
∧ .. ∧
k e kN
dt1
dtk
dti
√
e é 0 caso contrário. Logo, pela formula (6-5) e sendo dt1 ..dtk = ḡvol temos
onde ḡ = k
que
Z
Z
L(x,y)
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x∈ϑ(p,Γ)
Z
Z
e (x) · N (q)
(q − x) × N
volx volq
kq − xkn
x∈ϑ(p,Γ) y∈S
µZ
¶
Z
(−1)k
(q − x) × X(x) · N (q)
=
volq dt1 ..dtk
an
kq − xkn
x∈ϑ(p,Γ)
y∈S
Z
Z
=
αx (y))dt1 ..dtk
(−1)k
=
an
q∈S
Z
x∈ϑ( p,Γ)
Z
Tk
=
y∈S
T1
Z
α(Φ(t1 ,..,tk ) (p)) dt1 ..dtk
..
Z
0
Z
Tk
=
0
y∈S
T1
..
0
0
f (ϕ(t1 ,..,tk ) (p))dt1 ..dtk .
Logo,
Z
Z
1
lkΓ (p) =
L(x,y)
T1 ..Tk x∈ϑ(p,Γ)
e
y∈N
Z
Z
1
=
L(x,y)
T1 ..Tk x∈ ϑ(p,Γ) −σ(p,Γ) y∈S
Z
Z
Z
Z
1
1
L(x,y) −
L(x,y)
=
T1 ..Tk x∈ϑ(p,Γ) y∈S
T1 ..Tk x∈σ(p,Γ) y∈S
Z T1 Z Tk
Z
Z
1
1
=
..
f (ϕ(t1 ,..,tk ) (p)) −
L(x,y) .
T1 ..Tk 0
T1 ..Tk x∈σ(p,Γ) y∈S
0
Assim pelo teorema ergódico para ações, teorema 3.13, e condição 4 do sistema
de k-volumes singulares pequenos de enlaçamento temos que lkΓ converge no
˜ que satisfaz
sentido L1 para uma função lk
Z
Z
˜ vol =
lk
p∈Ωn
Definição 7.4 O ı́ndice lk(Φ, S) :=
f (p) vol.
2
p∈Ωn
R
Ωn
˜ vol será chamado o ı́ndice de
lk
enlaçamento assintótico da k-ação Φ e a subvariedade S.
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
75
Lembremos que no capı́tulo 3 definimos o invariante de Hopf I(Φ, S) =
α, onde dα = IX vol e X é o k-campo associado a Φ.
S
R
Teorema 7.5 Seja Φ uma k-ação de difeomorfismos que preservam volume
em Ωn , e S uma s-variedade compacta, sem bordo e mergulhada em Ωn ,
k + s = n − 1. Então o ı́ndice de enlaçamento assintôtico lk(Φ, S) satisfaz
lk(Φ, S) = I(Φ, S)
Prova: Sejam X 1 , .., X k os campos vetoriais de divergência nula associadas a
ϕ , X = X 1 ∧ .. ∧ X k o k-campo associado a Φ e η = iX vol. O teorema
generalizado de Biot-Savart garante que rot(BS(X)) = X. Pelo teorema
generalizado de Biot-Savart temos que
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X 1 ∧ .. ∧ X k = rot(BS(X 1 ∧ .. ∧ X k )).
Logo, pela definição de rotacional temos
d(j(BS(X))) = irot(BS(X)) vol = iX vol = η.
Logo α := j(BS(X)) é uma forma diferencı́avel que satisfaz dα = η. Por
teorema 4.13 e resultado do teorema anterior temos que
Z
Z
Z
e
lk(p)vol
=
lk(Φ, S) =
p∈Ωn
Z
( α(p) )vol.
f (p)vol =
p∈Ωn
p∈Ωn
S
Então, por definição da forma αp e aplicando Fubini temos que por definição
do campo BS(X 1 ∧ .. ∧ X k ) = BS(X), por definição do operador j e notando
que em N temos que α = α(Y )vol , temos
Z
Z
(q − p) × X(p) · Y (q)
(−1)k
volq volp
lk(Φ, S) =
an
kq − pkn
p∈Ωn
q∈S
Z
Z
(−1)k
(p − q)
=
(
× X(p)volp ) · Y (q)volq .
n
an
q∈S
p∈Ωn kp − qk
Agora, por definição do campo BS(X) e definição do homomorfismo j temos
que
Z
lk(Φ, S) =
BS(X)(q) · Y (q)volq
Z
q∈N
=
j(BS(X))q (Y (q))volq
q∈N
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76
Logo, como α = j(BS(X)) e notando que α(Y )vol = α já que Y é unitário
temos
Z
lk(Φ, S) =
αq (Y (q))volq
N
Z
=
α
N
Finalmente por definição de I(Φ, S) temos que
lk(Φ, S) = I(Φ, S).
2
Exemplo 7.6
Sejam X(x, y, z, w) = (y, −x, 0, 0) e Y (x, y, z, w) = (0, 0, w, −z) campos
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vetoriais de divergência nula em Ω4 . Sejam
ϕX
s (x, y, z, w) = (rsin(α + s), rcos(α + s), z, w),
ϕYt (x, y, z, w) = (x, y, lsin(α + t), lcos(β + t)),
1
x
r = (x2 + y 2 ) 2 e α = arctan( )
y
z
2
2 12
l = (z + w ) e β = arctan( )
w
os fluxos de X e Y , respectivamente. Notemos que as órbitas de X e Y são
fechadas e de periodo 2π. Como [X, Y ] = 0, existe 2-ação Φ de R2 em Ω4
associado a (X, Y ). Observemos que Φ está definida por
ϕ(s,t) (x, y, z, w) = ϕYt ◦ ϕX
s (x, y, z, w)
= ϕYt (ϕX
s (x, y, z, w))
= ϕYt (rsin(α + s), rcos(α + s), z, w)
= (rsin(α + s), rcos(α + s), lsin(β + t), lcos(β + t)).
As orbitas de Φ são fechadas de periodo [0, 2π] × [0, 2π]. Notemos que
iX∧Y dvol = iY iX dvol = ywdydw + xwdxdw + yzdydz + xzdxdz
2
2
)(zdz + wdw) satisfaz dα = iX∧Y vol. Agora, Seja
e que a 1-forma α = ( x +y
2
S o cı́rculo no primeiro quadrante do yz-plano centrada no ponto (0, y0 , z0 , 0)
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77
de raio R. Logo, γ(t) = (0, y0 + Rcos(t), z0 + Rsin(t), 0) parametriza S.
Z
I(Φ, S) =
α
Z 2π
N
1
(y0 + Rcos(t))2 (z0 + Rsin(t))Rcos(t)dt
2 0
Z
1 2π
=
Rcos(t)(y02 + 2Ry0 cos(t) + R2 cos2 (t))(z0 + Rsin(t))dt
2 0
=
Como estamos integrando ao longo de um perı́odo, temos que a integração se
anula para todos os somandos excepto para cos2 (t). Assim
1
I(Φ, S) =
2
Z
2π
2R2 y0 z0 cos2 (t)dt = R2 y0 z0 π.
0
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Por outro lado, no caso de enlaçamentos, consideremos o disco D no yzplano tal que ∂D = S. Notemos que uma órbita ,ao longo de um periodo,
(s, t) 7→ (rsin(α + s), rcos(α + s), lsin(β + t), lcos(β + t)) , pode interceptar
D se rsin(α + s) = lcos(β + t) = 0 , isto é, se s ∈ {−α, π − α} e
−β} Como D está contido no primeiro quadrante um retângulo de
t ∈ { π2 −β, 3π
2
órbita(um perı́odo) se intercepta a D vai interceptá-lo somente num ponto da
forma (0, r, l, 0). Como na integral de enlaçamento o somando correspondente
as áreas pequenas não é significativo sómente calcularemos os enlaçamentos
no retângulos de órbitas que em nosso caso são fechados. Em particular, se
T1 = [0, 2π] × [0, 2π] temos que
1
lkΓ (p) =
lk(ϑΦ (p, Γ), N ) =
2π2π
(
1
2π2π
0
se ϑΦ (p, Γ) ∩ D =
6 ∅
Φ
se ϑ (p, Γ) ∩ D = ∅.
Sabendo que o ı́ndice de enlaçamento assintótico independe da seqüência
de perı́odos escolhida podemos escolher em particular a sequencia Γn =
[0, 2nπ] × [0, 2nπ]. Notemos que ϑΦ (p, Γn ) é um retângulo de órbita fechado
formada por n2 copias do toro ϑΦ (p, Γ) logo
1
lkΓn (p) =
lk(ϑΦ (p, Γn ), N ) =
2nπ2nπ
Note que Ω :=
[
(
n2
2nπ2nπ
=
0
1
2π2π
se ϑΦ (p, Γn ) ∩ D =
6 ∅
se ϑΦ (p, Γn ) ∩ D = ∅.
ϑΦ (q, Γn ) = {p ∈ Ω4 ; ϑΦ (p, Γn ) ∩ D 6= ∅}. Agora, como
q∈D
(r, s) 7→ (0, y0 + rcos(s), z0 + rcos(s), 0) é uma parametrização de D então
ρ(r, s, t, u) definido por
((y0 +rcos(s))cos(t), (y0 +rcos(s))sin(t), (z0 +rcos(s))cos(u), (z0 +rcos(s))sin(u))
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78
é uma parametrização de Ω. Fazendo as contas necessarias temos que a forma
de volume nesta parametrização é r(y0 +rcos(s))(z0 +rsin(s))drdsdtdu. Assim,
Z
Z
p∈Ω4
lkΓn (p)dvol =
Z
p∈Ω
=
p∈Ω
lkΓn (p)dvol
1
dvol
4π 2
1
vol(Ω)
4π 2
Z R Z 2π Z 2π Z 2π
1
=
r(y0 + rcos(s))(z0 + rsin(s))drdsdtdu
4π 2 0 0
0
0
Z R Z 2π
1
4π 2 r(y0 + rcos(s))(z0 + rsin(s))drds
=
2
4π 0 0
Z R Z 2π
=
ry0 z0 drds
=
0
0
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= y0 z0 R2 π
Z
Como
p∈D4
lkΓn (p)dvol é constante ∀n então
lk(Φ, S) = y0 z0 R2 π = I(Φ, S).
7.2
Índice de Enlaçamento Assintótico entre Ações de Rk
Seja M variedade riemanniana orientada, compacta e conexa. Sejam Φ
uma ação de Rk em M e Ψ uma ação de Rs em M de difeomorfismos que
preservam volume, onde k+s = n−1. Notemos que as Φ-órbitas são variedades
imersas em M de dimensão no máximo k. Agora, por cada ponto de uma Ψórbita ϑΨ passa uma única Φ-órbita . Logo, o conjunto de pontos das Φ-órbitas
que interceptam a ϑΨ tem médida nula em M . Assim, existe subconjunto de
M , com volume igual ao de M , tal que cada ponto deste conjunto tem sua
Φ-órbita enlaçando-se ao redor de ϑΨ . O recı́proco também acontece com uma
Φ-órbita ϑΦ e a ação Ψ. Logo, é natural pensar em definir um ı́ndice que meça
o enlaçamento médio das órbitas de Φ com as órbitas de Ψ. No que segue,
denotaremos por Γ o k-retangulo canônico [0, T 1 ] × .. × [0, T k ] e por Υ o sΨ
retângulo canônico [0, R1 ] × .. × [0, Rs ], usaremos ϑΦ
(p,Γ) e ϑ(q,Υ) para denotar
o k-retângulo de órbita {Φ(t1 ,..,tk ) (p) ; (t1 , .., tk ) ∈ Γ} e o s-retângulo de órbita
{Φ(r1 ,..,rs ) (p) ; (r1 , .., rs ) ∈ Υ}. Sejam Σk conjunto de k-cadeias singulares em
M e Σs conjunto de s-cadeias singulares em M que satisfazem as seguintes
propriedades:
1. Para cada p e q em Ωn , cada k-retângulo canônico Γ e cada s-retângulo
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79
Φ
Ψ
canônico Υ existem único σ(p,Γ)
∈ Σk e único σ(q,Υ)
∈ Σs tal que
ϕ
ψ
ψ
Φ
∂ϑ(p,Γ) = ∂σ(p,Γ) e ∂ϑ(q,Υ) = ∂σ(q,Υ) .
ψ
Φ
2. As σ(p,Γ)
∈ Σk e as σ(q,Υ)
∈ Σs variam continuamente com respeito a
(p, T 1 , .., Tk ) e com respeito a (q, R1 , .., Rs ), respectivamente, no complemento de conjuntos de medida nula.
3. Os conjuntos
(Γ,Υ)
Ψ
ϑΦ
(p,Γ) ∩ σ(q,Υ) 6= ∅ }
Ω(Φ,Σs ) = {(p, q) ∈ M × M ;
(Γ,Υ)
ΩΣk ,Ψ = {(p, q) ∈ M × M ;
Φ
∩ ϑΨ
σ(p,Γ)
(q,Υ) 6= ∅ }
(Γ,Υ)
ϕ
ψ
σ(p,Γ)
∩ σ(q,Υ)
6= ∅ }
Ω(Σk ,Σs ) = {(p, q) ∈ M × M ;
tem medida nula em Ωn × Ωn para cada Γ e Υ fixos.
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4. Seja L(p, q) a forma de enlaçamento em M . Os limites
1
lim
1
k
1
k
1
s
T ,..,T ,R ,..,R →∞ T ..T R1 ..Rs
1
lim
T 1 ,..,T k ,R1 ,..,Rs →∞ T 1 ..T k R1 ..Rs
1
lim
T 1 ,..,T k ,R1 ,..,Rs →∞ T 1 ..T k R1 ..Rs
Z
Z
Z
ϑΦ
(p,Γ)
Φ
σ(p,Γ)
Z
Φ
σ(p,Γ)
L = 0
(7-2)
L = 0
(7-3)
L = 0
(7-4)
Ψ
σ(q,Υ)
Z
ϑΨ
(q,Υ)
Z
Ψ
σ(q,Υ)
existem na topologia de L1 (M )
Definição 7.7 Todo par (Σk , Σs ) satisfazendo as propriedades acima será
chamado de sistemas de k-volumes e s-volumes pequenos associados a Φ e
Ψ.
Exemplo 7.8
&
ϑΦ (p, T )
%
r
ΦT (p)
r
p
r
pXXXX
r
©©
ΦT (p)
©
©©
σ Φ (p, T )
©©
XXX
©%
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X
Xr©watermark.
p̃
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80
ϑΨ (q, R)
r
r
r
r
Ψ(0,T 2 ) (q)
r
Ψ(T 1 ,T 2 ) (q)
r
r
r
r
r
q
r
σ Ψ (q, R)
r
Ψ(T 1 ,0) (q)
r
r
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ϑ̃Ψ (q, R)
r
r
r Ψ(T 1 ,T 2 ) (q)
Ψ(0,T 2 ) (q) r
qr
r
r
r
Ψ(T 1 ,0) (q)
q̃
Teorema 7.9 Sejam p̃ e q̃ em ∂Ωn , p̃ 6= q̃. Então o par (Σk (p̃), Σk (q̃)) formado
pelo sistema de k-cadéias singulares estreladas com vértice em p̃ e o sistema
de s-cadéias singulares com vértice em q̃ será um sistema de k-volumes e svolumes pequenos associados a Φ e Ψ.
Prova: Por construção como vimos na seção anterior (Σk (p̃), Σk (q̃)) satisfazem
as propriedades 1 e 2 de um sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ.
Agora, para mostrar as propriedades 3 e 4 lembremos que
Φ
σ(p,Γ)
=
Ψ
=
σ(q,Υ)
k
X
i=1
k
X
1 Φ
(−1)i+k (C(∂i0 ϑΦ
(p,Γ) ) − C(∂i ϑ(p,Γ) ));
1 Ψ
(−1)i+k (C(∂i0 ϑΨ
(q,Υ) ) − C(∂i ϑ(q,Υ) )).
i=1
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81
Logo, devemos mostrar que estas propriedades são satisfeitas para cada famı́lia
C(∂ij ϑ(p,Γ )). Neste caso, será suficiente mostrar para uma única famı́lia, já que
no resto se mostra de maneira análoga. Em particular, escolheremos as familias
:
(k,0)
σ(p,Γ) := C(∂k0 ϑΦ
(p,Γ) ) ;
(s,0)
σ(q,Υ) := C(∂k0 ϑΨ
(q,Υ) ).
Estas cadéias singulares em Ωn são definidas pelas aplicações:
(k,0)
F(p,Γ) (~t, u) := (1 − u)Φ(~t,0) (p) + up̃ ;
(k,0)
F(p,Γ) (~r, t) := (1 − t)Φ(~r,0) (q) + tq̃,
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bk , ~r0 = (r1 , .., rs−1 ) ∈ Υ
b s e u, t ∈ [0, 1]. No que segue,
onde ~t0 = (t1 , .., tk−1 ) ∈ Γ
~t := (t1 , .., tk1 , tk ), ~r := (r1 , .., rs1 , rs ) e para todo i a medida de Lebesgue e
a forma de volume em Ri serão denotadas por µi e por dµi , respectivamente.
Primeiro mostraremos (7-3). Procedendo analogamente como na demonstração
da propriedade 3 de sistema de k-volumes pequenos da seção anterior, temos
que existe uma constante C > 0 tal que a integral da fórmula de enlaçamento
(k,0)
nas cadeias singulares σ(p,Γ) e ϑΨ
(q,Υ) satisfaz
¯Z
¯
Z
¯
¯
¯
¯
A(p, q) := ¯
L(x,y) ¯
¯ x∈σ(k,0) y∈ϑΨ
¯
(p,Γ)
(q,Υ)
Z Rs Z R1 Z 1 Z T k−1 Z
=
..
..
0
0
0
0
T1
0
C
kΨ~r (q) −
(k,0)
F(p,Γ) (~t0 , u)kn−1
.
Então, sabendo que para cada ~r a aplicação Ψ~r é um difeomorfismo que
preserva volume temos usando também a desigualdade (7-1) que
Z
Z
|A(p, q)| vol(p)vol(q) ≤ ECT k−1 ..T 1 Rs ..R1 vol(Ω1 ).
q∈Ω2
p∈Ω1
Portanto
1
1
r
T ..T R1 ..Rs
Z
Z
q∈Ω2
¯
¯
ECvol(Ω1 )
¯
L(x,y) ¯ vol(p)vol(q) ≤
¯
Tk
(q,Υ)
¯Z
Z
¯
¯
¯
(k,0)
y∈ϑΨ
p∈Ω1 ¯ x∈σ
(p,Γ)
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
82
mostrando assim 7-3, já que T k → ∞. Analogamente para (7-2) no caso de
(s,0)
σ(p,Υ) temos que existe constante A > 0 tal que
Z
1
1
r
T ..T R1 ..Rs
Z
q∈Ω2
¯Z
¯
¯
¯
p∈Ω1 ¯ x∈ϑΦ
(p,Γ)
Z
¯
¯
EAvol(Ω2 )
¯
L(x,y) ¯ vol(p)vol(q) ≤
.
(s,0)
¯
Rs
y∈σ(q,Υ)
, O fato de que Rs → ∞ mostra (7-2). Agora para mostrar (7-4) considere(k,0)
(s,0)
mos σ(p,Γ) e σ(p,Υ) . Procedendo como na demonstração da propriedade 3 da
existência de volumes pequenos asociados a ações e sub-variedades podemos
mostrar que existe constante K tal que
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¯
¯Z
Z
¯
¯
¯
¯
L(x,y) ¯
A(p, q) := ¯
¯
¯ x∈σ(k,0) y∈σ(s,0)
(p,Γ)
(p,Υ)
Z 1Z
Z 1Z
Kdµk−1 dudµs−1 dt
≤
.
n−1
es 0
e k k(1 − u)Φ(~t0 ,0) (p) + up̃ − (1 − t)Ψ(~
~t0 ∈Γ
r0 ,0) (q) − tq̃k
0
~
r 0 ∈Υ
Por outro lado, Para cada r~0 e cada ~t0 as familias de aplicações {h1u } e {h2t }
definidas em Ωn por h1u (p) = (1−u)Φ(~t0 ,0) (p)+tp̃ e h2t (q) = (1−t)Ψ(~r0 ,0) (q)−tq̃
satisfazem
(h1u )∗ (vol) = (1 − u)n vol;
(h2t )∗ (vol) = (1 − t)n vol
Portanto, usando este pullback na integração e por (7-1) temos que
Z
I1 (t, u) :=
=
≤
Z
1
vol(p)vol(q)
n−1
r,0) (q) − tq̃k
p∈Ωn q∈Ωn k(1 − u)Φ(~t,0) (p) + up̃ − (1 − t)Ψ(~
Z
Z
1
1
vol(p)vol(q)
n
n
(1 − t) (1 − u) p∈(h1u )∗ (Ωn ) q∈(h2t )∗ (Ωn ) kp − qkn−1
E
.
(1 − t)n (1 − u)n
Agora, mostraremos propriedade 3. fixemos Γ e Υ. Seja C uma s-cadéia em
Ωn . Por cada ponto q de C passa uma única Φ-órbita( k-cadéia ). Então o
conjunto de pontos que interceptam C é no maximo de dimensão k +r = n−1,
(Γ,Υ)
isto é de medida nula em Ωn . Agora, suponha que o conjunto Ω(Φ,Σs ) tem
Ψ
medida não nula em Ωn × Ωn . Neste caso, existe um C := σ(q,Υ
tal que
o conjunto A = {p ∈ Ωn ; ϑΦ
(p,Γ) } tem medida não nula mas isto é um
absurdo já que notemos que A é um subconjunto de pontos das órbitas que
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Capı́tulo 7. Índice de Enlaçamento Assintótico para Ações de Rk em
Variedades Riemannianas
83
(Γ,Υ)
interceptam C o qual tem medida nula. Análogo para o conjunto Ω(Σk ,Ψ) . Para
Γ,Υ)
mostrar o caso Ω(Σk ,Σs ) de novo suponha que este tenha medida não nula em
Ψ
Ωn × Ωn . Então, existe um σ(q,Υ)
que não contém p̃, o vértice de Σk (p̃) com a
Φ
Ψ
propriedade que o conjunto B de pontos p tal que σ(p,Γ)
interceptam σ(q,Υ)
tem
n
medida não nula em Ω , mas isto é um absurdo, já que poderı́amos proceder,
usando homotopias, como no caso de seção anterior, de enlaçamento de uma
k-ação com uma sub-variedade para mostrar que este conjunto é de medida
nula.
2
Sejam Γ e Υ fixos . No teorema anterior mostramos a existência de um
sistema de k-volumes e s-volumes associados a Φ e Ψ. Seja U o conjunto de
medida nula que é a união dos conjuntos definidos na propriedade 3 de um
sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ. Seja D(Γ,Υ) o complemento
de U em Ωn × Ωn . Logo podemos definir a função lk(Γ,Υ) : D(Γ,Υ) → R por
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lk(Γ,Υ) (p, q) =
1
lk(ϑ̃Φ (p, Γ), ϑ̃Ψ (p, Υ)).
T 1 ..T k R1 ..Rs
(7-5)
Observemos que os ϑΦ (p, Γ) variam continuamente com respeito a p e que
os σ Φ (p, Γ), pela condição 2 de Σ, variam continuamente com respeito a p
no complemento de um conjunto de medida nula. Assim, os ϑeΦ
variam
(p,Γ)
continuamente com respeito a p no complemento de um conjunto de medida
nula e podemos afirmar o mesmo para os ϑ̃Ψ (q, Υ). Assim , as funções lk(Γ,Υ) .
são funções mensuráveis definidas em Ωn × Ωn .
e : Ωn × Ωn → R definida por
Proposição 7.10 A função limite lk
e q) :=
lk(p,
=
lim
T 1 ,T k ,R1 ,..,Rk →∞
lk(Γ,Υ) (p, q)
1
lk(ϑeΦ (p, Γ), ϑeΨ (q, Υ).
1
k
1
s
1
k
1
k
T ,T ,R ,..,R →∞ T ..T R ..R
lim
(7-6)
e é uma função integravel que
existe na topologia de L1 (Ωn × ωn ). Alem disso, lk
independe do sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ escolhido.
Prova: Sejam X = X 1 ∧ .. ∧ X k e Y = Y 1 ∧ .. ∧ Y s o k-campos e o s-campo
de divergência nula associados a Φ e Ψ, respectivamente. Definamos a função
f : Ω1 × Ω2 → R por
(−1)k p − q) × X(q) · Y (p)
f (p, q) :=
.
an
kp − qkn
(7-7)
Observemos que as singularidades de f são de ordem n − 1 na diagonal
de Ωn × Ωn (Pontos de intercepção de Ωn e Ωn ). Como esta diagonal tem
dimensão n temos que f é uma função de valor absoluto integrável, isto é,
f ∈ L1 (Ωn × Ωn ). usando a fórmula (2-18) para a forma de enlaçamento temos
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84
que
Z
Z
A(p, q) :=
y∈ϑΨ
(p,Υ)
=
(−1)k
an
L(x,y)
x∈ϑΦ
(p,Γ)
Z
Z
y∈ϑΨ
(p,Υ)
x∈ϑΦ
(p,Γ)
y − x) × N Φ (x) · N Ψ (y)
vol(x)vol(y),
ky − xkn
onde N Φ e N Ψ são os campos unitários singulares de Φ e Ψ, respectivamente.
Agora, por(2-18) e por (6-6)
(−1)k
A(p, q) =
an
Z
Z
Rs
R1
Z
..
0
Z
Tk
T1
..
0
0
0
(Ψ~r (q) − Φ~t(p)) × X(Φ~t(p)) · Y (Ψ~r (q))
dµk dµs ,
kP si~r (q) − Φ~t(p)kn
onde ~r = (r1 , .., rs ), ~t = (t1 , .., tk ), dµk = dt1 ..dtk e dµr = dr1 ..drs . Definamos
a ação Θ de Rk+s em Ωn × Ωn
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Θ(~t,~r) (p, q) = (Φ~t(p), Ψ~r (q)).
Notemos que
f (Θ(~t,~r) (p, q)) = f (Φ~t(p), Ψ~r (q))
=
(−1)k (Ψ~r (q) − Φ~t(p)) × X(Φ~t(p)) · Y (Ψ~r (q))
an
kP si~r (q) − Φ~t(p)kn
e
Disso, da propriedade 4 de sistema de volumes pequenos e a definição de lk
temos que
e q) =
lk(p,
1
lim
1
k
1
k
1
s
T ,..,T ,R ,..,R →∞ T ..T R1 ..Rs
Z
Z
Rs
R1
Z
..
0
Z
Tk
T1
..
0
0
0
f (Θ(~t,~r) (p, q))dµk dµs .
e q)
Portanto, do teorema ergódico para ações, resultado (4-7) temos que lk(p,
converge na toplogia L1 (Ωn × Ωn ). Alem disso, o resultado (4-8) do mesmo
teorema garante que
Z
Z
Z
Z
e
lk(p, q)vol(p)vol(q) =
f (p, q)vol(p)vol(q)
(7-8)
q∈Ωn
q∈Ωn
p∈Ωn
p∈Ωn
Esta última equação garante a independencia da integral com respeito ao
sistema de volumes pequenos escolhido.
2
Definição 7.11 O ı́ndice
Z
Z
e q)vol(p)vol(q).
lk(p,
lk(Φ, Ψ) :=
q∈Ωn
p∈Ωn
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será chamadop o ı́ndice de enlaçamento assintótico médio das ações Φ e Ψ.
Agora, mostraremos um teorema muito importante que afirma a igualdade da invariante de Hopf e da invariante de enlaçamento assintótico das
ações Φ e Ψ.
Teorema 7.12
lk(Φ, Ψ) = I(Φ, Ψ),
onde I(Φ, Ψ) é o invariante de Hopf para Φ e Ψ.
Prova: Por (7-8) e (7-7) temos que
Z
Z
Z
Z
e q)vol(p)vol(q) =
lk(p,
q∈Ωn
p∈Ωn
f (p, q)vol(p)vol(q)
Z
q∈Ωn
Z
p∈Ωn
=
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q∈Ωn
p∈Ωn
(−1)k p − q) × X(q) · Y (p)
an
kp − qkn
Aplicando o teorema de Biot-Savart para o k-campo X temos que
Z
Z
Z
e q)vol(p)vol(q) =
lk(p,
q∈Ωn
BS(X)(q) · Y (q)vol(q)
q∈Ωn
p∈Ω1
Finalmente pela fórmula (4-3) temos que
Z
Z
Z
e q)vol(p)vol(q) =
lk(p,
q∈Ωn
p∈Ωn
α ∧ iY vol
q∈Ωn
= I(Φ, Ψ).
Exemplo 7.13 Seja Φ a ação de R2 em Ω4 definida no exemplo 6.1.9.
cujos campos associados são X1 (x, y, z, w) = (y, −x, 0, 0) e X2 (x, y, z, w) =
(0, 0, w, −z). Se X = X1 ∧ X2 então
iX dvol = ywdydw + xwdxdw + yzdydz + xzdxdz.
2
2
A 1-forma α = ( x +y
)(zdz + wdw) satisfaz dα = iX dvol. Agora, Fixemos
2
o ponto (0, y0 , z0 , 0) ∈ Ω4 no primeiro quadrante do plano yz. Sejam B 4 ⊂ Ω4
uma bola centrada em (0, y0 , z0 , 0) de raio R suficientemente pequeno tal que
suas coordenadas y e z são positivas e ψ uma ação de R em B 4 definida pelo
campo Y (x, y, w, z) = (0, −(z − z0 ), (y − y0 ), 0). Logo,
iY dvol = (y − y0 )dxdydw + (z − z0 )dxdzdw.
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86
(y − y0 )2 + (z − z0 )2
A 2-forma β =
dxdw satisfaz dβ = iY dvol. Logo, se
2
√
tildeR = R2 − x2 − w2 temos que:
Z
I(ϕ, ψ) =
β ∧ dα
Z
=
=
=
=
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=
=
=
=
B4
(y − y0 )2 + (z − z0 )2
)(yz) dxdydzdw
2
B4
Z
Z
(y − y0 )2 + (z − z0 )2
(
)(yz) dydzdxdw
2
(x,w)∈DR (0,0) (y,z)∈DR̃ (y0 ,z0 )
Z
Z 2π Z R̃
1
r2 (y0 + rcosθ)(z0 + rsenθ)rdrdθdxdw
2 (x,w)∈DR (0,0) 0
0
Z
Z 2π Z R̃
1
r3 y0 z0 drdθdxdw
2 (x,w)∈DR (0,0) 0
0
Z
y0 z0 π
R̃
r4 ]0 dxdw
4
Z(x,w)∈DR (0,0)
y0 z0 π
(R2 − x2 − w2 )2 dxdw
4
(x,w)∈DR (0,0)
Z 2π Z R
y0 z0 π
(R2 − r2 )2 rdrdθ
4
0
0
2 6
y0 z0 π R
12
(
Para calcular lk(ϕ, ψ) o ı́ndice de enlaçamento assintótico das ações podemos
escolher sequencias quaisquer dos Tn e Sn , em particular Tn = [0, 2nπ]×[0, 2nπ]
e Sn = [0, 2nπ]. Notemos que ϑϕ (p, Tn ) é um pedaço de órbita fechado composta
por n2 copias do toro ϑϕ (p, [0, 2π] × [0, 2π]) e ϑψ (q, Sn ) é composta de n copias
do cı́rculo ϑψ (q, [0, 2π]) logo, se Dp é o disco num plano paralelo ao plano yz
cujo bordo é ϑψ (q, [0, 2π]) então, analogamente como no exemplo 6.1.9,
lk(Tn ,Sn ) (p, q) =
1
T 1T 2S 1
n n 2n
lk(ϑϕ (p, Tn ), ϑψ (q, Sn ))
nn
1
= 3 se ϑϕ (p, Tn ) ∩ Dq =
6 ∅
3
(2nπ)
8π
=

0
se ϑϕ (p, Tn ) ∩ Dq = ∅.

Pelo que as funções lk(Tn ,Sn ) são constantes. Assim usando o resultado do
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87
exemplo 6.1.9 temos
Z
Z
lk(ϕ, ψ) =
Z
p∈Ω4
=
Z
q∈B 4
Z
[
p∈Ω
lk(Tn ,Sn ) (p, q)dvol(p)dvol(q)
Z
[
lk(Tn ,Sn ) (p, (x, y, z, w))dydz] dxdw] dvol(p)
(x,w)∈DR (0,0)
Z
[
=
Z
(x,w)∈DR (0,0)
=
(x,w)∈DR (0,0)
y0 z0 π
=
4
Z
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(y,z)∈DR̃ (y0 ,z0 )
Z
[
0
Z
p∈Ω
R̃
2π
0
lk(Tn ,Sn ) (p, (x, y0 + r cos(θ), z0 + r sin(θ), w)dθ] rdr] dxdw
[y0 z0 πr2 ] rdr] dxdw
0
(R2 − x2 − y 2 )2 dxdw
Z
(x,w)∈DR (0,0)
2π Z R
2
y0 z0 π
4
0
y0 z0 π 2 R6
=
12
=
Z
[
R̃
(R − r2 )2 rdrdθ
0
Por tanto,
lk(ϕ, ψ) =
y0 z0 π 2 R6
= I(ϕ, ψ).
12
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Referências Bibliográficas
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