Exercícios de Matemática
Equações e Inequações
1) (FATEC-2008) Teodoro coleciona cartões de telefone e,
ao adquirir o milésimo cartão, resolveu colá-los em folhas
de papel para facilitar o manuseio. Para tal, adquiriu dois
álbuns com folhas de mesma dimensão e mesmo número de
folhas. Preencheu todas as folhas de um deles colando 15
cartões em cada folha. No outro álbum, entretanto, se
colasse 15 cartões por folha, sobrariam alguns cartões.
Pensou em colocar 18 cartões por folha mas, nesse caso,
sobrariam exatamente 3 folhas vazias e uma única folha
ficaria incompleta. O número de cartões que ele colou no
primeiro álbum é
a) 435
b) 450
c) 465
d) 480
e) 495
2) (UNICAMP-2009) Uma lâmpada incandescente de 100W
custa R$2,00. Já uma lâmpada fluorescente de 24W, que é
capaz de iluminar tão bem quanto a lâmpada incandescente
de 100W, custa R$13,40. Responda às questões abaixo,
lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de 100W
consome uma quantidade de energia equivalente a 100Wh,
ou 0,1kWh. Em seus cálculos, considere que 1kWh de
energia custa R$0,50.
a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja,
desprezando o custo de aquisição da lâmpada, determine
quanto custa manter uma lâmpada incandescente de 100W
acesa por 750 horas. Faça o mesmo cálculo para uma
lâmpada fluorescente de 24W.
b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou
apenas lâmpadas fluorescentes de 24W. Fernando, por sua
vez, comprou e instalou somente lâmpadas incandescentes
de 100W para iluminar sua casa. Considerando o custo de
compra de cada lâmpada e seu consumo de energia,
determine em quantos dias Fernando terá gasto mais com
iluminação que João. Suponha que cada lâmpada fica acesa
3 horas por dia. Suponha, também, que as casas possuem o
mesmo número de lâmpadas.
3) (NOVO ENEM-2009) Um grupo de 50 pessoas fez um
orçamento inicial para organizar uma festa, que seria
dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final
que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00,
e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No
acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em
partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda
contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas
do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota
calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a) R$ 14,00.
b) R$ 17,00.
c) R$ 22,00.
d) R$ 32,00.
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e) R$ 57,00.
4) (Mack-2007) Em uma promoção de final de semana, uma
montadora de veículos colocou à venda n unidades, ao
preço único unitário de R$ 20.000,00. No sábado foram
vendidos
2
1
dos veículos, no domingo
do que restou e
9
7
sobraram 300 veículos. Nesse final de semana, se os n
veículos tivessem sido vendidos, a receita da montadora,
em milhões de reais, seria de
a) 7,6
b) 8,4
c) 7
d) 9,5
e) 9
5) (Mack-2007) Um ambulante paga R$ 1,00 pela compra
de 3 lápis e revende por R$ 2,00 cada 5 lápis. A quantidade
necessária de lápis que deve ser vendida, para que ele tenha
um lucro de R$ 50,00 é
a) 600
b) 750
c) 550
d) 440
e) 620
6) (ETEs-2007) Para uma viagem, a capacidade de
passageiros de um barco de turismo é equivalente ou a 30
adultos ou a 36 crianças. Se 24 crianças já estão a bordo
desse barco, o número máximo de adultos que ainda podem
embarcar é de
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
7) (ETEs-2007) Com 2 800 km de extensão, o Rio São
Francisco nasce em Minas Gerais, na Serra da Canastra, e
desemboca no Oceano Atlântico, oferecendo condições
naturais de navegação em alguns trechos.
Da nascente até a cidade de Três Marias (MG), são 509
km.
O primeiro trecho navegável, que vai de Três Marias a
Pirapora (MG), corresponde a 6% da extensão total do rio.
O segundo trecho navegável, que vai de Pirapora à cidade
de Petrolina (PE), corresponde a duas vezes e meia o trecho
não navegável que vai de Petrolina a Piranhas (AL).
E finalmente, com uma extensão de 208 km, de Piranhas
até a foz, no Oceano Atlântico, apresenta navegação
turística.
Adaptado de <http://www.transportes.gov.br/bit/hidro/griosaof.htm>
Acesso em: 12 ago. 2006.
A partir dos dados apresentados, a extensão do trecho entre
Petrolina e Piranhas é, em quilômetros, aproximadamente
a) 547.
b) 638.
c) 766.
d) 853.
e) 928.
8) (FUVEST-2007) Os estudantes de uma classe organizaram
sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com
R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a
escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as
mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$
27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou
com R$630,00. Quanto pagou cada aluno participante da
festa?
a) R$136,00
b) R$138,00
c) R$140,00
d) R$142,00
e) R$144,00
9) (UNIFESP-2006) André aplicou parte de seus R$
10.000,00 a 1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. No
final de um mês, recebeu um total de R$ 194,00 de juros
das duas aplicações. O valor absoluto da diferença entre os
valores aplicados a 1,6% e a 2% é
a) R$4.000,00.
b) R$5.000,00.
c) R$6.000,00.
d) R$7.000,00.
e) R$8.000,00.
10) (Mack-2006) Um tanque A contém uma mistura de 10
galões de água e 5 galões de álcool. Um outro tanque, B,
contém 12 galões de água e 3 galões de álcool. Retirando
conteúdos dos tanques A e B, deseja-se obter 8 galões de
uma nova mistura de água e álcool, contendo 25% de
álcool. Os galões que devem ser retirados, respectivamente,
de A e de B, são em número de
a) 2 e 6
b) 4 e 4
c) 6 e 2
d) 5 e 3
e) 3 e 5
11) (UFPB-2006) Em uma colônia de férias, na UFPB, 128
crianças são distribuídas em n grupos de atividades e, na
UFCG, 224 são distribuídas em n + 6 grupos de atividades.
Sabendo-se que o número de crianças, em todos os grupos,
é o mesmo para ambas as universidades, o número total de
grupos de atividades, na colônia de férias da UFCG, é:
a) 14
b) 12
c) 8
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d) 18
e) 22
12) (IBMEC-2005) Um pacote com 4 pilhas recarregáveis
custa R$25,00. Um recarregador de pilhas, com capacidade
para recarregar 4 pilhas de uma vez, custa R$95,00 e gera
R$0,20 de custo de energia elétrica cada vez que é utilizado
para recarregar 4 pilhas. Uma pilha comum custa R$0,80 e
tem duração igual ao tempo que uma pilha recarregável
pode ser utilizada num aparelho até precisar de uma nova
carga. Se um fotógrafo que utiliza 4 pilhas comuns por
semana decidir comprar as 4 pilhas recarregáveis e o
recarregador, então ele terá recuperado o dinheiro investido
nesta compra
a) em menos de 3 meses.
b) em mais de 3 e menos de 6 meses.
c) em mais de 6 e menos de 9 meses.
d) em mais de 9 meses e menos de um ano.
e) em mais de um ano.
13) (PUC-SP-2005) Numa visita ao zoológico, Zilá levou
algumas bananas que distribuiu a três macacos. Ao
primeiro, deu a metade do que levou e mais meia banana;
ao segundo, a metade do restante e mais meia banana; ao
terceiro, a metade do restante e mais meia banana. Se,
assim, ela distribuiu todas as bananas que havia levado,
quantas recebeu o segundo macaco?
a) 8
b) 5
c) 4
d) 2
e) 1
14) (UFV-2005) Duas empresas dispõem de ônibus com 60
lugares. Para uma excursão, a Águia Dourada cobra uma
taxa fixa de R$ 400,00 mais R$ 25,00 por passageiro,
enquanto a Cisne Branco cobra uma taxa fixa de R$ 250,00
mais R$ 29,00 por passageiro. O número mínimo de
excursionistas para que o contrato com a Águia Dourada
fique mais barato que o contrato com a Cisne Branco é:
a) 37
b) 41
c) 38
d) 39
e) 40
15) (Vunesp-2005) Numa determinada empresa, vigora a
seguinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final de
cada mês, o funcionário recebe:
3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi
pontual no trabalho, ou
5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo menos
um dia atrasado.
Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até
que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos,
positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas
possibilidades: se o número de pontos acumulados for
positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for
negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcionário
acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a
quantidade de meses em que ele foi pontual, no período,
foi:
a) 15.
b) 20.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
16) (OMU-2002) Existe uma equação do segundo grau: ax2
+ bx + c = 0 que tenha os seus 3 coeficientes a, b e c
números ímpares e com raízes inteiras?
17) (Unicamp-2002) Uma transportadora entrega, com
caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a
problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi
carregado com 500kg a menos que o usual, tendo sido
necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.
a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?
b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?
18) (UFC-2007) Os reais não nulos p e q são tais que a
equação x2 + px + q = 0 tem raízes e 1 – , sendo que
denota o discriminante dessa equação. Assinale a opção que
corresponde ao valor de q:
a) –1
b) –1/2
c) 1/4
d) 3/16
e) 7/8
19) (UERJ-2005) O retângulo de ouro é utilizado em
Arquitetura desde a Grécia Antiga.
A razão entre as medidas do maior e do menor lado desse
retângulo é o número de ouro, representado por
.
2
= x + 1,
calcule o valor de .
b) Observe as implicações abaixo.
2
4
3
=
+1
3
2
2
3
4
2
3
1
2
Determine todas as raízes complexas da equação x4 = 3x +
2.
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20) (Fuvest-1984) A equação ax2 + bx + c = 0 (a0) tem
como raízes tg u e tg v, com u + v =
4
. Prove que c = a +
b.
1
1
2
2
21) (Fuvest-1990) a) Se x + x = b, calcule x + x .
5 1
2
2
b) Resolva a equação x -5x + 8 - x x = 0
22) (FGV-2004) As figuras representam 3 etapas de uma
seqüência construída com quadrados escuros e claros, todos
de lados iguais.
Primeira Segunda Terceira
A diferença entre o número de quadrados escuros e o
número de quadrados claros em uma etapa será igual a 92
apenas na
a) 11ª etapa.
b) 12ª etapa.
c) 13ª etapa.
d) 14ª etapa.
e) 15ª etapa.
23) (Unicamp-1994) Retiraram x litros de vinho de um
barril de 100 litros e adicionam-se, ao mesmo barril, x litros
de água. Da mistura resultante no barril, retiram-se outros x
litros e adicionam-se outros x litros de água. Agora o barril
contém 64 litros de vinho e 36 de água. Calcule o valor de
x.
24) (UNIUBE-2001) Para um dado valor fixo de , com
(0, ), considere a equação x2- (2sen)x-cos2 = 0 na
variável x. Assim, relativamente a essa equação, pode-se
afirmar que
a) ela possui apenas uma raiz que não pertence ao intervalo
[-1, 1]
b) suas raízes pertencem ao intervalo [-1, 1]
c) suas raízes não dependem do parâmetro .
d) ela possui uma raiz que pertence ao intervalo (0, 1).
25) (Mack-1996) A soma dos valores inteiros pertencentes
ao domínio da função real definida por
2x
f(x) =
a) 1.
2 x 2 3x é:
b) 2.
c) 3.
d) -1.
e) -2.
29) (SpeedSoft-2002) Resolva em R a inequação abaixo:
3x 2
(x 2)2
26) (Mack-2002) Dado m > 0, a equação
admite:
a) unicamente a raiz nula
b) uma única raiz real e positiva
c) uma única raiz real e negativa
d) duas raízes reais, sendo uma nula
e) duas raízes reais e simétricas
x m = x - m
27) (Unicamp-1998) a) Encontre todos os valores reais de x
x2 4
para os quais -1 4x 1
b) Encontre todos os valores reais de x e y satisfazendo x2 +
4xcosy + 4 = 0
28) (UERJ-1998) Sabe-se que o polinômio P(x) = – 2x3 – x3
+ 4x + 2 pode ser decomposto na forma P(x) = (2x + 1) (–x2
+ 2). Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) =
–x2 + 2, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas,
obtém-se o gráfico :
3
30) (Unip-0) O conjunto verdade da inequação
(x2 1)(x 2 5x 6)
0
x2 x 1
é:
a) {x R | 2 x 3}
b) {x R | -1 x 3}
c) {x R | 1 x 3}
d) {x R | 1 x 5}
e) {x R | x 2 ou x 3}
31) (UEL-1994) O conjunto-solução da inequação
4
3
2
(x 3) (x 2x )
0
2
x 1
, no universo IR, é:
a) [ -1, 3 ]
b) ] -1, + [
c) ] -1, 0 [ ] 0, 3 ]
d) [ -1, 3 ] [ 2, + [
e) ] -1, 1 [ [ 2, + [
32) (Fuvest-1997) Considere a função f dada por
12
x5
x
1
f(x)
x9 5
x 1 x
a) Determine o domínio de f.
b) Resolva a inequação f(x) > 0.
33) (ITA-2005) Determine todos os valores reais de a para os
quais a equação (x - 1)2 = |x - a| admita exatamente três
soluções distintas.
Tendo por base apenas o gráfico, é possível resolver a
inequação – 2x3 – x2 + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa inequação
estão indicados na seguinte alternativa:
1
a) x < – 2 ou x > –
2
b) x < – 2 ou x > 2
1
c) x < – 2 ou – < x < 2
2
1
d) – 2 < x < – ou x > 2
2
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34) (FUVEST-2010) Seja f(x) = |x| - 1,
x IR
, e considere
x IR
também a função composta g(x) = f(f(x)),
.
a) Esboce o gráfico da função f, indicando seus pontos de
interseção com os eixos coordenados.
b) Esboce o gráfico da função g, indicando seus pontos de
interseção com os eixos coordenados.
c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5.
38) (UFMG-2003) Quantos números inteiros satisfazem a
n 20
1
desigualdade n 2
a) 8
b) 11
c) 9
d) 10
39) (UFRN-1999) Durante o ano de 1997 uma empresa teve
seu lucro diário L dado pela função
x 100 x 200
L(x) = 50.
onde x = 1, 2,..., 365 corresponde a cada dia do ano e L é
dado em reais.
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de
R$10.000,00.
40) (AFA-1999) O conjunto-solução da inequação
1 2x 3x 2
<5é
a)
35) (FUVEST-2007) a) Represente, no sistema de
coordenadas desenhado na folha de respostas, os gráficos
das funções
f(x) = |4 – x2| e g(x) = x 7
2
b) Resolva a inequação
|4 – x2| x 7
2
36) (FGV-2002) a) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 –
3|x| + 2.
x 1
2
b) Qual o domínio da função f(x) = 2x 3x 1
2 ,2 , as soluções reais da
1 8
equação sen( x) = 0 são em número de
8 9
37) (Mack-2007) Em
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
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x R
19
1 19
x
3
3
.
1 19
1 19
x
x R
3
3
.
b)
1 19
1 19
x
x R
3
3
c)
.
1 19
1 19
ou x
x R x
3
3
.
d)
41) (FMTM-2002) O domínio da função real f dada por f(x)
= log (|x 6| + |x 3| |x|) é
a) {x R | x < 3 ou x > 9}
b) {x R | x > 0}
c) {x R | x < 3 ou x > 6}
d) {x R | x < 0 ou x > 6}
e) {x R | x < 6 ou x > 9}
42) (ITA-2002) Os valores de x R, para os quais a função
real dada por f(x) =
formam o conjunto
a) [ 0, 1]
b) [ –5, 6]
c) [ –5, 0] U [1, +)
d) (–, 0] U [1, 6]
e) [ –5, 0] U [1,6]
5 - | 2 x - 1 | - 6 | está definida,
a) 5 . (1 + x)5 = 20
1 x 1
43) (Unitau-1995) O domínio da função f(x) =
a) 0 x 2.
b) x 2.
c) x 0.
d) x < 0.
e) x > 0.
44) (ITA-2005) Considere a equação em x
2
b)
é:
IR
1 mx = x + 1 mx
sendo m um parâmetro real.
a) Resolva a equação em função do parâmetro m.
b) Determine todos os valores de m para os quais a equação
admite solução não nula.
45) (ITA-2005) O menor inteiro positivo n para o qual a
diferença
a) 2499.
b) 2501.
c) 2500.
d) 3600.
e) 4900.
n n 1 fica menor que 0,01 é
46) (VUNESP-2008) Segundo a Teoria da Relatividade de
Einstein, se um astronauta viajar em uma nave espacial
muito rapidamente em relação a um referencial na Terra, o
tempo passará mais devagar para o astronauta do que para
as pessoas que ficaram na Terra. Suponha que um pai
astronauta, com 30 anos de idade, viaje numa nave espacial,
numa velocidade constante, até o planeta recém-descoberto
GL581c, e deixe na Terra seu filho com 10 anos de idade.
O tempo t decorrido na Terra (para o filho) e o tempo T
decorrido para o astronauta, em função da velocidade v
dessa viagem (ida e volta, relativamente ao referencial da
Terra e desprezando-se aceleração e desaceleração), são
dados respectivamente pelas equações
t=
3x 4 - x = - 8
40c
v
2
40c
v
1 ,
T=
v
c
onde c é uma constante que indica a velocidade da luz no
vácuo e t e T são medidos em anos. Determine, em função
de c, a que velocidade o pai deveria viajar de modo que,
quando retornasse à Terra, ele e seu filho estivessem com a
mesma idade.
47) (FGV-2003) Resolva, no campo real, as equações:
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48) (AFA-1999) A solução da equação 3 +
31,5 x 0,5 48x é
a) 3-1.
b) 3-1/2.
c) 31/2.
d) 3.
49) (CPCAR-2002) O produto das raízes da equação
7 x2 1 x2 é
a) -50
b) -10
c) -5
d) 50
Gabarito
b)
1) Alternativa: D
x4 x3 x2
x 4 0x 3 0x 2 3x 2
2) a) R$37,50 e R$9,00
b) 101
x 3 x 2 3x
x3 x2 x
3) Alternativa: D
2x 2 2x 2
4) Alternativa: E
2x 2 2x 2
5) Alternativa: B
0
6) Alternativa: C
x2 x 2 0
7) Alternativa: A
Δ 12 4 2
8) Alternativa: E
Δ 7
9) Alternativa: D
x
1 i 7
2
10) Alternativa: E
Raízes :
11) Alternativa: A
1 5
2
e
1 i 7
2
12) Alternativa: D
13) Alternativa: D
14) Alternativa: C
15) Alternativa: C
16) A resposta é não, pois caso existisse, teríamos que -b/a
teria de ser um inteiro ímpar, e portanto uma das raízes
deveria ser par e a outra ímpar, mas se isso ocorresse o
produto das mesmas seria par, logo c deveria ser par
múltiplo de a, o que contradiz o enunciado da questão.
20) Pela soma e produto das raízes da equação, temos que
tgu + tgv = –b/a e tgu . tgv = c/a. Como tg(u + v) =
tgu tgv
b/a
b/a
então tg(/4) =
. Assim, 1 =
1 c/a
1 c/a
1 tgu.tgv
1 – c/a = –b/a a – c = – b a + b = c.
21) a) x2 +
b) S = { 1,
17) a) 24 caminhões
b) 2500 kg
1
x
2
= b2 – 2
3 5 3 5
,
}
2
2
22) Alternativa: B
18) Alternativa: D
23) Resposta: x = 20 litros.
19) a)
x 2 x 1 0
24) Alternativa: A
Δ 1 4 1
2
25) Alternativa: C
Δ5
x
1 5
2
1 5
2
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26) Alternativa: B
x m + m = x 2 mx
m
x + m = x2 + m - 2x
-x-2 mx=0
-1-2 m]=0
2
2
m
-
A sentença
x m + m = x -
m é falsa para x = 0 e
verdadeira para x = 1 + 2 m , que é portanto, a única raiz
da equação. Como m>0, esta raiz é real e positiva.
27) a) x = 2 ou x = -2
b) todos os pares ordenados na forma (2, (2k+1)) e (-2,
2k) com k Z.
28) Alternativa: D
29) Resposta: x
-1 e x
-2
30) Alternativa: A
31) Alternativa: E
32) a) D(f) = R - { -1, 0, -5, 1}
b) S = { x R | -7< x < -5 ou 0 < x < 1 ou x > 1 }
pontos de intersecção
com o eixo x: (-2, 0), (0, 0) e (2, 0)
com o eixo y: (0, 0)
c) 7 e -7
35) a)
5
3
33) Resp: a = 4 , ou a = 4 , ou a = 1.
34) a)
1
b) S = { xR | 5 x –1 ou
x3}
2
2
36)
pontos de intersecção
com o eixo x: (1, 0) e (-1, 0)
com o eixo y: (0, -1)
b)
D = { x R| x >
1
ex1}
2
37) Alternativa: E
38) Alternativa: C
39) Nos dias x = 50 e x = 250. (apenas 2 vezes no ano)
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40) Alternativa: B
41) Alternativa: A
42) Alternativa: E
43) Alternativa: A
44) a) Sendo S o conjunto-solução, temos:
2
2
2
2 m 1 S = 0,2 1 m ,2 1 m
2
m < 2 ou m >1 S = {0}
2
b) 2 m < 1
45) Alternativa: B
46) Resposta:
4
c
5
5
47) a) S = { 4 1}
b) S = {15}
48) Alternativa: D
49) Alternativa: B
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