O ENSINO DE FUNÇÕES E O USO DO POWER POINT
André Luis dos Santos Menezes
CEFET-RJ /[email protected]
Heitor Achilles Dutra da Rosa
CEFET-RJ /[email protected]
Introdução
Nos últimos anos muitos softwares educacionais têm sido desenvolvidos por
instituições de pesquisa e por empresas interessadas na comercialização dos mesmos.
Alguns destes, são de boa qualidade e auxiliam o desenvolvimento de atividades
educativas desafiadoras, estimulando o desenvolvimento da inteligência nos alunos,
enquanto outros, nem tanto. A escassez de tempo ocasionada muitas vezes por baixos
salários, obriga o professor a aumentar sua carga horária de trabalho, tendo na maior
parte das vezes que se deslocar de um emprego a outro. Assim, nem sempre é possível
que o profissional reflita sobre a qualidade do material didático que está utilizando, seja
este material um livro ou um software.
De acordo com Borba & Penteado (2001) "é necessário encontrar formas de
oferecer um suporte constante para o trabalho do professor. Como resposta a essa
demanda, diversos grupos que trabalham na área de informática educativa vêm
desenvolvendo ações que visam a prática do professor com uso de tecnologia na
escola". Compartilhando deste mesmo pensamento é que resolvemos participar deste
VIII ENEM e contribuir com o mini-curso O ensino de funções e o uso do power point.
Acredita-se que mesmo com todas as dificuldades acima mencionadas, ainda é
possível melhorar a nossa prática pedagógica. Diante disso, enfocaremos o ensino de
funções utilizando o power point como ferramenta por ser esse, antes de mais nada, de
fácil acesso tanto para o professor quanto para o aluno.
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A importância do estudo de funções e sua aplicabilidade
O estudo das funções historicamente tem início com Leonhard Euler (1707 –
1783), nascido na Basiléia, Suíça. Sua formação foi abrangente, tendo estudado
Matemática, Teologia, Medicina e Astronomia, entre outras disciplinas. Aos 26 anos,
tornou-se o principal matemático da Academia de São Petersburgo, Rússia, tendo
trabalhado também por um período na Alemanha. Com uma produção de artigos e livros
inigualável, Euler desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura
e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos desenvolvendo a idéia de função, que passou a ser fundamental em muitos campos da
matemática.
Euler foi o responsável pela adoção, entre outros símbolos, da letra e, e como
símbolo matemático para representar a base do sistema de logaritmos naturais, adotou a
letra grega para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência e o
seu
diâmetro
e
o
símbolo
f(x)
para
representar
uma
função
de
x.
O programa de Matemática da primeira série do Ensino Médio tem como tema
central as funções reais de uma variável real estudadas sob o ponto de vista elementar,
isto é, sem o uso do Cálculo Infinitesimal. Como preliminar a esse estudo e preparação
para as séries subseqüentes, são apresentadas noções sobre conjuntos, a idéia geral de
função e as diferentes categorias de números: naturais, inteiros e, principalmente, reais.
A fim de saber que espécie de função se deve empregar para resolver um determinado
problema, é necessário conhecer as propriedades características de cada função, pois as
situações da vida real, quer no cotidiano, quer na Tecnologia, quer na Ciência, não
surgem acompanhadas de fórmulas explícitas. Esse é um ponto de fundamental
importância, freqüentemente ignorado no ensino formal tradicional, onde os conceitos
matemáticos muitas vezes só são introduzidos para resolver problemas que se referem a
eles mesmos. O ensino de funções torna-se significativo quando o aluno consegue
empregar o ensino adquirido em situações reais, isto torna a aprendizagem dinâmica e
significativa.
Estudos desenvolvidos em educação matemática constatou-se que levar os
estudantes a realizar pequenas investigações com o auxílio do computador, servirá como
base tanto para despertar uma nova metodologia para o ensino de funções, quanto para
despertar a curiosidade e o espírito científico em nossos alunos.
Obs: Ver arquivo Estudando funções 1. ppt
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Dificuldade encontrada e justificativa
Um dos nossos objetivos neste mini- curso é levar o docente a uma reflexão
sobre a importância de ensinar matemática dando sempre que possível um caminho para
aplicação , partindo do conceito científico aprendido na escola para uma aplicação no
cotidiano do aluno. Reconhecemos que esta tarefa não é fácil, talvez justifique a causa
de muitos de nossos educadores resumirem sua prática pedagógica na utilização de
livros didáticos e resolução de exercícios propostos, que na grande maioria dos casos
possuem um fim em si mesmos.
Funções
Pretendemos desenvolver o estudo de funções a fim de oferecer alternativas que
possibilitem a utilização de softwares, no ensino e matemática, priorizando aqueles que
favorecem condições de interatividade criativa do aluno com vistas aos resultados
almejados em concordância com a fundamentação teórica defendidas por Papert: "a
formação profissional de uma pessoa deve acontecer sempre no interior da prática na
qual ela quer se inserir".
O estudo de funções tem se mostrado um ponto nevrálgico no estudo da álgebra,
seja no ensino, fundamental, médio ou até mesmo no ensino superior. Sua aplicação é
ampla – em Física, Química, Biologia, Economia, e muitas outras áreas – e vem sendo
pouco explorado, priorizando-se a técnica em detrimento do entendimento dos conceitos
e suas múltiplas aplicações.
Pretendemos trabalhar o aspecto conceitual predominante nos livros didáticos
que avaliamos, de forma diferenciada e introduzindo um novo padrão que possibilitará a
sua exploração e observação com exemplos de situações que ocorrem no nosso
cotidiano, mediante a idéia de modelagem. Assim, estaremos apresentando uma
abordagem apropriada para que o power point seja usado como ferramenta visando a
internalização desses conceitos, pois entendemos que (Valente, 1993) tem toda razão
quando diz: "A simulação oferece a possibilidade do aluno desenvolver hipóteses, testálas analisar resultados e refinar os conceitos"
Problema: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele
recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
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•
4
Obter a equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do
número x de produto vendido.
Solução: y = salário fixo + comissão
y = 500 + 50x
•
Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
Solução: y = 500 + 50x , onde x = 4 ⇒ y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700
•
Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
Solução: y = 500 + 50x , onde y = 1000
1000 = 500 + 50x ⇒ 50x = 1000 - 500 ⇒ 50x = 500 ⇒ x =10
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º
grau, sendo dada por:
y = ax + b com a, b ∈ e a≠0
Obs: Ver Arquivos: Função Constante . ppt
Função do 1o. grau . ppt
Aplicações da função quadrática
A parábola é uma das figuras mais importantes da Matemática e sua
aplicabilidade prática é muito grande. Ela pode ser encontrada em muitas estruturas,
físicas ou teóricas no nosso dia-a-dia. Como exemplo, podemos citar as antenas
parabólicas, os fogões solares, os estudos de balística e aplicações na economia.
A parábola é a figura geométrica que apresenta como uma das suas
características o fato de refletir todos os raios que nela incidem para um único ponto,
chamado de foco da parábola. Esta característica lhe confere muitas utilidades práticas,
tais como a utilização da radiação solar para fins domésticos, por exemplo, para
cozinhar alimentos. Para isso deve-se concentrar essa radiação em pequenas regiões,
utilizando-se lentes ou espelhos. Os fogões solares utilizam espelhos parabólicos para a
concentração do calor. Os raios solares incidem na superfície do espelho e ao se
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refletirem passam pelo foco do espelho. O calor concentrado neste ponto é suficiente
para cozinhar alimentos.
As antenas parabólicas apresentam funcionamento semelhante: as ondas
eletromagnéticas são captadas pelas antenas e refletidas num único ponto, donde serão
conduzidas a um decodificador que as transformará em imagem ou som.
As funções do segundo grau e suas respectivas parábolas são fundamentais nos
estudos de balística, ciência que se ocupa do estudo do movimento de projéteis.
Conhecidas as velocidades do projétil e o ângulo de elevação, é possível determinar a
equação da trajetória que é um arco de parábola. Para uma distância dada, sempre
existem dois ângulos de elevação, que enviarão um projétil ao lugar desejado. Na
prática pode ser necessária a mais alta das duas trajetórias para superar um obstáculo, ou
o menor deles a fim de se evitar os radares inimigos. A única exceção é o ângulo de 45º,
com o qual atingimos o maior alcance possível.
Imaginemos que uma determinada companhia petrolífera destine determinada
verba para a construção de oleodutos ou a compra de caminhões. O dinheiro pode ser
empregado apenas na compra de caminhões ou apenas na construção do oleoduto, ou
ainda parte em cada um dos investimentos. Em economia, o gráfico originado do estudo
destes investimentos chama-se curva de possibilidade de produção. Essa curva pode ser
aproximada por uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c com a, b, c ∈ e a ≠ 0 ,
dando origem a um gráfico que será uma parábola.
Imaginemos agora que uma empresa venda seus produtos de modo que o preço
unitário dependa da quantidade de unidades adquiridas pelo comprador. Por exemplo,
se, sob determinadas restrições, para cada x unidades vendidas o preço unitário é 40 (x/5) reais, então a receita é dada por uma função do segundo grau, chamada função
receita. Uma análise da função receita nos permite tomar decisões acertadas no sentido
de otimizar a lucratividade da empresa.
Um dos nossos objetivos é discutir de um modo geral o ensino de funções e sua
aplicabilidade na análise de questões do nosso cotidiano. Dando ênfase a
interdisciplinaridade e a contextualização, sempre tentando tornar a aprendizagem
significativa, pois segundo Ausubel aprendizagem significativa é um processo pelo qual
uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de
conhecimento do indivíduo caso contrário ocorre a aprendizagem mecânica em que a
nova informação é armazenada de maneira arbitrária (Moreira e Masini, 1982:7-9) e
não poderíamos deixar de citar a consideração de Alves (2002), baseando-se no
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pensamento de Hume, isso que estou ensinando é uma ferramenta? Tem uso prático?
Aumenta o poder do aluno sobre o mundo que o cerca? (...) Educa a sua sensibilidade?
Aumenta suas possibilidades de alegria e de espanto? Caso contrário nada tem a ver
com sabedoria da vida. Não passa de tolice e perda de tempo... (p.A3).
Obs: Ver arquivo Função do 2o. grau . ppt
Anexo
Conceito intuitivo de função
ATIVIDADE 1
Agora sem o auxílio do computador, em vez de considerar um quadrado de lados
medindo 6 cm, consideremos um quadrado de lados medindo 5 cm.
5
x
5
A área y (em cm2) da parte colorida é função de x (em cm).
a) Qual é a lei de associação da função ?
b) Preencha a tabela a seguir calculando os respectivos valores de y:
x
1
2
3
4
c) Qual o domínio dessa função ?
y
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d) Qual é o contradomínio dessa função ?
ATIVIDADE 2
Vamos considerar em vez de da área da parte cinza o seu perímetro.
5
x
5
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm).
a) Preencha a tabela a seguir, sabendo que os valores de y correspondem aos
respectivos perímetros da parte cinza enquanto x vai variando:
x
1
2
3
4
b) Qual é a lei de associação da função ?
c) Qual o domínio dessa função ?
y
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d) Qual é o contradomínio dessa função ?
ATIVIDADE 3
Considere o quadrado de lados 6 cm.
6
x
6
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm).
a) Qual é a lei de associação da função ?
b) Na tabela, coloque 7 valores para x e apresente os seus respectivos valores de y:
x
c) Qual o domínio dessa função ?
d) Qual é o contradomínio dessa função ?
y
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ATIVIDADE 4
Um retângulo tem 7 cm de comprimento e 4 cm de largura. Ele está dividido em 5
partes, desta maneira: nos seus “cantos”, serão desenhados quadrados, os quatro com
lados de x cm.
x
x
5
7
A área y (em cm2) da parte cinza é função de x (em cm).
a) Qual é o domínio dessa função ?
b) Qual é o contradomínio dessa função ?
c) Qual é a lei de associação da função ?
d) Numa tabela, coloque para x os valores 0,5 ; 1 ; 1,5
correspondentes valores de y .
e 2 e apresente os
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ATIVIDADE 5
Um quadrado com lados de 10 cm, será dividido em três partes, como mostra a figura
abaixo:
x
x
10
10
Cada retângulo branco tem um lado de 10 cm e outro de x cm. Considerando todos os
modos de se fazer a divisão, o perímetro y do retângulo cinza (em cm) é função de x.
a) Qual é o domínio da função ?
b) Qual é o contradomínio ?
c) Qual é a lei de associação?
d) Quando x = 3, qual é valor de y ?
e) Para que valor de x se tem y = 30 ?
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ATIVIDADE 6
Na figura temos um quadrado com lados de 10 cm. A extremidade X do segmento CX
se movimenta sobre o lado AB, indo de A até B. Assim, a área y (em cm 2) da parte
cinza é função da distância x (em cm).
D
C
10
X
x
A
B
10
a) Qual é o domínio da função ?
b) Qual é o contradomínio da função ?
c) Qual é a lei de associação ?
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Função Constantes, função do 1o. grau e Função do 2o. grau
ATIVIDADE 1
Agora sem o auxílio do computador, em vez de considere um quadrado de lados
medindo 14 cm dividido em cinco partes, desta maneira: nos seus cantos serão
desenhados quadrados, os quatro com lados de x cm.
x
x
14
14
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm).
a) Preencha a tabela a seguir, sabendo que os valores de y correspondem aos
respectivos perímetros da parte cinza enquanto x vai variando:
x
y
b) Ao observar a tabela que você preencheu acima, a que tipo de conclusão ela nos
leva ?
c) Qual é a lei de associação da função ?
d) Qual o domínio dessa função ?
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e) Qual o contradomínio dessa função ?
ATIVIDADE 2
Agora sem o auxílio do computador, em vez de considere um quadrado de lados
medindo 11 cm dividido em cinco partes, desta maneira: nos seus cantos serão
desenhados quadrados, os quatro com lados de x cm.
x
x
11
11
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm).
a) Preencha a tabela a seguir, sabendo que os valores de y correspondem aos
respectivos perímetros da parte cinza enquanto x vai variando:
x
y
b) Ao observar a tabela que você preencheu acima, a que tipo de conclusão ela nos
leva ?
c) Qual é a lei de associação da função ?
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d) Qual o domínio dessa função ?
e) Qual o contradomínio dessa função ?
ATIVIDADE 2
Na figura a seguir temos um retângulo dentro de um quadrado. As medidas estão em
cm.
5
x
5
a) O perímetro (em cm) do retângulo assinalado é função de x. Qual é a lei de
associação dessa função ?
b) A área (em cm2) do retângulo assinalado é função de x. Qual é a lei de
associação dessa função ?
c) Classifique as funções definidas nos itens anteriores, justificando sua resposta.
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ATIVIDADE 3
Na figura abaixo, temos pintada de cinza a letra “U”. As medidas estão em cm.
x
x
x
4
a) O perímetro do “U” (em cm) é uma função de x, com lei de associação do tipo
y = ax + b. Apresente os valores de a e b.
b) A área do “U” (em cm2) é uma função de x, com lei de associação do tipo
y = ax2 + bx + c. Apresente os valores de a, b e c.
ATIVIDADE 4
Nesta figura abaixo, temos um quadrado com lados 3 cm, dividido em três partes.
As medidas estão em centímetros.
x
x
Considerando todas as formas de se fazer isso, a área cinza (em cm2) é função de x.
Qual é o domínio dessa função ?
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Palavras-chave: Ensino de Funções, Contextualização e Power Point
Referências Bibliográficas
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BECKER, F. Epistemologia do professor. Petrópolis: Vozes, 1994.
BORBA, M.C., PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo
Horizonte: Autêntica Editora, 2001 (Coleção Tendências em Educação Matemática).
D'AMBRÓSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas, 1997.
Lima, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2003 (Coleção do professor de
matemática).
PAIVA, Manoel. Matemática. [s.l.]: Moderna, vol. único, 1999.
VALENTE, J. A. Diferentes uso do computador na educação. In:_ Em Aberto, Brasília,
ano 12, n. 57, p. 3-15, 1993.
VYGOSTYKY, L.S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins fontes, 1989.