A partir dos exemplos sugeridos e explorados pelos alunos pretende-se que possam conjecturar que, dadas duas funções reais de variável real f e g , o domínio da
função quociente pode ser dado por:
D f = D f ∩ D g ∩ { x ∈ R : g ( x ) ≠ 0} .
g
Nesta questão, o professor deve estar atento ao facto de os alunos respeitarem a
condição imposta no enunciado e de escolherem outras funções com domínios diferentes (logo, que não sejam funções polinomiais), com o intuito de estabelecer a necessidade da intersecção dos domínios das funções iniciais.
Explorações de alunos
Com a resolução da questão 1.1.1. pretende-se que os alunos identifiquem o processo que conduz à determinação de imagens de objectos concretos para a função produto, a partir da análise das representações gráficas das funções dadas.
No entanto, os alunos podem mostrar dificuldades na interpretação desta questão
e tender a procurar a expressão analítica de cada uma das funções. Nesta situação, o
professor deve incentivar os alunos para a análise atenta do enunciado e, se necessário,
questioná-los sobre o tipo de representação que é utilizado para definir as funções dadas.
A resolução desta questão pode permitir focar a atenção dos alunos na análise
das representações gráficas das funções m e n, remetê-los para a determinação gráfica
de imagens de objectos concretos e para estabelecerem uma relação entre as imagens,
pela função produto, dos valores (- 1) e 3 com o produto das imagens destes objectos,
obtidos a partir das funções m e n, como se ilustra na seguinte resolução:
A análise de propriedades das funções dadas é também fundamental para a determinação do sinal da função produto, pedida na questão 1.1.2.. Neste caso, é de espe-
124
rar que os alunos associem, de modo intuitivo, o estudo da variação de sinal da função
produto à análise do sinal das funções dadas. Com as informações recolhidas a partir
das representações gráficas, e de acordo com os procedimentos usuais do décimo ano,
os alunos podem organizar os dados construindo a correspondente tabela de sinais:
Já na exploração da questão 1.1.3., pode suceder que alguns alunos procurem,
novamente, determinar a expressão analítica da função n , que figura em denominador,
de modo a calcular analiticamente a condição que define o domínio da função quociente,
m
. No entanto, ao recordar as condições de validade de uma expressão algébrica
n
racional, os alunos devem focar a sua atenção na observação das representações gráficas
fornecidas, de modo a identificar os zeros da função que se encontra em denominador,
para os excluir do domínio:
Contudo, no exemplo que se segue, os alunos reconhecem a importância de determinar os zeros das funções dadas para calcular o domínio da função quociente, mas
admitem ser impossível efectuar a divisão tanto quando o denominador é igual a zero
como quando o numerador é igual a zero:
125
A concepção apresentada por estes alunos (e partilhada por tantos outros) quanto
à impossibilidade de dividir zero por qualquer outro valor diferente de zero deve ser um
dos aspectos que o professor deve discutir com o grupo turma, na fase de validação de
resultados. Neste caso, para além da confusão entre condição impossível e expressões
com ou sem significado, os alunos parecem não compreender verdadeiramente a noção
subjacente à determinação do domínio de uma expressão algébrica racional.
Na exploração da resolução da questão 2.2., os alunos devem relacionar as representações gráficas das funções m e n , funções polinomiais do 2.º e 3.º graus, respectivamente, com as correspondentes expressões analíticas, e recolher as informações
que consideram necessárias para fundamentar os seus raciocínios.
Nesta fase, pode acontecer que os alunos utilizem diferentes estratégias, de modo particular no que se refere à determinação da expressão analítica que define a função
m , polinomial de segundo grau. Recorrendo aos conteúdos abordados no décimo ano,
os alunos podem, por exemplo, identificar os zeros da função quadrática, recorrer à decomposição em factores de um polinómio do segundo grau e utilizar um ponto conhecido do gráfico da função:
126
Noutras situações, os alunos podem tentar identificar a expressão analítica das
funções quadráticas a partir de algumas das características das suas representações gráficas, nomeadamente a identificação das coordenadas do vértice e o sentido da concavidade da parábola:
Nesta resolução, os alunos não se recordam que, para além da função que indicam, existe uma infinidade de parábolas com a concavidade “virada para cima” e cuja
ordenada do vértice é igual a − 4 e, deste modo, não usam as condições suficientes para
garantir que esta expressão analítica corresponde, efectivamente, à função dada.
Seguindo uma estratégia semelhante, os alunos podem ainda escrever uma expressão analítica da função quadrática, a partir das coordenadas do vértice e da identificação do coeficiente do termo do segundo grau:
No entanto, para determinar do valor de a , os alunos usam novamente o ponto
correspondente ao vértice, mas os enganos registados na resolução da equação não os
conduzem a uma condição indeterminada:
127
Na fase de discussão de resultados, o professor deve promover o confronto das
diferentes estratégias de resolução desta questão, mas também colocar em destaque a
necessidade de uma maior fundamentação de raciocínios.
No que respeita à determinação da expressão analítica da função n , polinomial
de 3.º grau, os alunos poderão estabelecer uma relação entre os zeros da função e a decomposição do polinómio correspondente em factores, trabalhar algebricamente a expressão obtida e, em seguida, recorrer a um ponto do gráfico da função para determinar
o valor do coeficiente do termo de terceiro grau:
De modo semelhante, os procedimentos algébricos podem ser trabalhados com a
exploração da questão 1.3, referente à apresentação da expressão analítica simplificada,
tanto quanto possível, e à caracterização da função
n
.
m
Nalguns casos, os alunos não se esquecem de indicar, correctamente, o domínio
de equivalência das expressões dadas, como se ilustra com a seguinte resolução:
128
Na exploração da questão 1.4. é dada a liberdade aos alunos para escolherem
novos pares de funções, de domínios diferentes, com o intuito de estabelecerem uma
condição que defina o domínio da função quociente.
Nesta fase, a maior ou menor diversidade de exemplos que podem surgir deve
ser um factor a ter em conta na preparação da tarefa, por parte do professor. De facto, os
exemplos explorados pelos alunos podem não evidenciar a necessidade de considerar a
exclusão dos zeros da função que figura em denominador (pelo facto de esta não se anular), como se ilustra na seguinte resolução:
Ainda assim, os alunos podem indicar a condição que define o domínio da função quociente e, indicar uma possível generalização dos resultados que encontram com
a exploração da tarefa:
129
Na discussão com a turma, o professor deve conduzir os alunos a reflectir sobre
a importância da determinação do domínio para a caracterização da função quociente.
Deve, também dar especial atenção à formalização dos resultados pretendidos, uma vez
que esta pode ser uma das dificuldades apresentadas pelos alunos.
Considerações finais sobre a exploração da tarefa
Na exploração do primeiro conjunto de questões desta tarefa, os alunos podem
apresentar alguma dificuldade em recorrer à análise e à recolha das informações necessárias a partir das representações gráficas. No entanto, as explorações que os alunos
devem realizar podem permitir a identificação de várias propriedades das funções dadas
e também o estabelecimento de conexões entre a representação gráfica e a algébrica.
Ao longo da exploração desta tarefa, os alunos podem recordar e relacionar vários conteúdos, tanto os abordados em aulas anteriores (como a noção de função produto, domínio de expressões algébricas, equivalência entre expressões algébricas e divisão
de expressões algébricas) como os abordados em anos anteriores (variação de sinal de
funções, expressões analíticas de funções quadráticas e de funções cúbicas). Por vezes,
quando exprimem por palavras próprias as suas conclusões, os alunos podem evidenciar
algumas dificuldades, como é o caso de considerar ser impossível efectuar a divisão
quando o dividendo é igual a zero, ou de não reconhecer as condições necessárias para
definir a função polinomial de segundo grau.
Na fase de apresentação de resultados, o professor deve confrontar os alunos
com os diferentes processos de resolução para a mesma questão (como é o caso das explorações que podem surgir na determinação da expressão analítica de função m , polinomial de segundo grau). Deve ainda dedicar especial atenção aos exemplos explorados
pelos alunos na última questão e, se necessário, apresentar novas sugestões, com o intuito de dar significado à condição inerente à determinação do domínio da função quociente e à sua formalização.
130