Anais do XVI Encontro de Iniciação Científica e
I Encontro de Iniciação em Desenvolvimento Tecnológico e Inovação da PUC-Campinas
27 e 28 de setembro de 2011
ISSN 1982-0178
AVALIAÇÃO EDUCACIONAL, FORMAÇÃO DE PROFESSORES E O
ENSINO DA ÁLGEBRA LINEAR E DA GEOMETRIA ANALÍTICA:
MAPEAMENTO DE DESEMPENHO NO ENADE E COMPARAÇÃO
COM O DESEMPENHO EM CÁLCULO.
Gustavo Dias Gomes da Silva
Sistemas de Informação
Tadeu Fernandes de Carvalho
CEATEC
GPLM^LM: Grupo de Pesquisa em Lógica
Matemática e Linguagem da Matemática
[email protected]
[email protected]
Resumo: Apresentamos, neste trabalho, resultados
e considerações qualitativas e quantitativas acerca
do desempenho de estudantes de cursos de
Licenciatura em Matemática de Universidades
Públicas, Universidades Confessionais e de
Universidades Particulares do Brasil, em questões
associadas ao Cálculo, à Álgebra Linear e à
Geometria Analítica do ENADE de 2005 e de 2008.
Procuramos selecionar para a realização do estudo,
que não tinha como meta o aprofundamento dos
aspectos estatísticos, um conjunto de Universidades
que representassem bem, por sua importância
regional, suas congêneres no Estado ou no país. Os
resultados obtidos, principalmente por se referirem a
duas edições sucessivas do ENADE, permitem que
tiremos conclusões satisfatórias sobre as instituições
selecionadas, possibilitam estender alguns de seus
aspectos às demais instituições de mesmas
características, bem como reforçam certas
preocupações sobre a formação de professores para
o Ensino Básico. Os dados que utilizamos foram
obtidos dentre os disponibilizados pelo
INEP,
tratados de acordo com nossa conveniência e
necessidade. Destacamos que este trabalho está
associado a outros projetos afins em curso no
GPLM^LM - Grupo de Pesquisa em Lógica
Matemática e Linguagem da Matemática do
CEATEC - Centro de Ciências Exatas, Ambientais e
de Tecnologias, da PUC-Campinas. A intenção é
que os resultados sejam úteis não só ao próprio
curso de Matemática mas, também, a todos os
cursos do CEATEC, uma vez que as disciplinas
focalizadas estão entre as mais importantes de sua
formação geral.
Palavras-chave: ENADE, matemática, licenciatura.
Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra
– Matemática - CNPq.
1. INTRODUÇÃO
Para o desenvolvimento deste trabalho
selecionamos as seguintes instituições:
 Particulares: Universidades de Caxias do Sul
(Caxias do Sul, RS), Universidade Severino Sombra
(Vassouras, RJ), Universidade Iguaçu (Nova Iguaçu,
RJ), Universidade Ibirapuera (São Paulo, SP),
Faculdades
Integradas
Hebraico
Brasileiras
Renascença (São Paulo, SP).
 Confessionais: PUC-Campinas, PUC-PR, PUC-RS,
PUC-SP e UC- Salvador.
 Públicas: Universidade Federal da Bahia (UFBa),
Universidade Estadual Paulista (UNESP- RC e
UNESP- PP), Universidade Federal de Minas Gerais
(UFMG) e Universidade Federal de Santa Catarina
(UFSC).
Cobrimos, com as mesmas, boa parte das regiões
mais densamente povoadas e com maior
desenvolvimento sócio-econômico do país. Os
dados sobre o ENADE disponibilizados pelo INEP,
para o Ensino Superior, e dados oficiais sobre o
Saeb, a Prova Brasil e o ENEM, para o Ensino
Básico, que revelam aspectos gerais do ensino em
todo o país, foram consultados e ajudaram-nos
nessa escolha.
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2. A ÁLGEBRA LINEAR, A GEOMETRIA
ANALÍTICA E O CÁLCULO NO ENADE 2005 E
ENADE 2008
2.1. Aspectos históricos.
Por suas características, as teorias matemáticas
exigem, para um aprendizado mais sólido e efetivo,
um conhecimento mínimo de sua história e de suas
inter-relações. É o que ocorre com a Álgebra Linear
e a Geometria Analítica, ou com o Cálculo
Diferencial e Integral. Diferentemente de quase
todas as demais ciências, o conhecimento
matemático se constrói basicamente através de
teorias que se somam a teorias mais antigas, ou que
encontram aplicações, teóricas ou práticas, até
então desconhecidas para as mesmas. A Álgebra,
por exemplo, tem suas origens na antiga Babilônia,
cujos estudiosos do tema eram capazes de usar
seus rudimentos para resolver equações, como as
lineares e quadráticas. Mas as maiores contribuições
para o seu desenvolvimento no primeiro milênio da
Era Cristã foram proporcionadas pelos Árabes. O
próprio termo álgebra se relaciona com o tratado AlJabr wa-al-Muqabilah (traduzido alguns séculos
depois para o latim como Ludus Algebrae et
Almucgrabalaeque), escrito por quem é considerado
um de seus fundadores, Abū „Abd Allāh Muḥammad
ibn Mūsā al-Khwārizmī, nascido na Pérsia por volta
de 800 d.C. François Viète, em 1591, apresenta na
obra In artem analyticam isagoge, os princípios do
que viria a ser a moderna linguagem algébrica, mas
René Descartes, em La Geométrie, em 1637, foi o
responsável pela consolidação desse novo campo
de conhecimento matemático. A teoria de matrizes
foi introduzida a partir do estudo dos coeficientes de
sistemas de equações lineares, por volta de 1690. O
matemático suíço Gabriel Cramer estabeleceu sua
conhecida regra para resolver sistemas de equações
lineares em 1750. Lagrange aproximou a Álgebra do
Cálculo e de outras teorias como a Estatística e a
Análise Numérica. Conforme podemos ver em [1],
pp.130-142, Arthur Cayley desenvolveu a álgebra
das matrizes e propriedades fundamentais das
transformações lineares em 1855. Físicos do séc. XX
e Alan Turing, conhecido por seus trabalhos na área
computacional, desenvolveram a álgebra dos
vetores e ajudaram a consolidar essa teoria na
primeira metade daquele século (ver [4], [9], [10] e
[16]).
A Geometria Analítica está diretamente associada ao
nome do grande filósofo e matemático René
Descartes, [1596, 1650], Seu nome, em latim, é
Renatius Cartesius, o que justifica o uso da
expressão plano cartesiano nessa geometria. Na
verdade Descartes só publicou uma obra na
matemática, La Géométrie, que é parte da obra
Discours de la Méthode pour Bien Conduire as
Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences
(Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e
Procurar a Verdade nas Ciências). Complementam
seus trabalhos, resultados de estudos de Fermat, de
1629, sobre lugares planos da geometria de
Apolônio. A geometria analítica foi adotada
rapidamente pelos físicos e matemáticos a partir de
Galileu, Newton e Leibniz, entre outros. Mas seu real
alcance seria melhor percebido a partir do advento
do computador, alguns séculos à frente. Ver [1], [4],
[5], [9], [10], [17].
O Cálculo Diferencial e Integral, ou Cálculo, como é,
também tradicionalmente, chamado, formalizado por
Isaac Newton [1642, 1727] e por Gottfried Wilhelm
Leibniz [1646, 1716] entre as últimas décadas do
século XVII e o início do século XVIII, promoveu o
fim do longo domínio da geometria grega na
matemática. Rainha das teorias matemáticas, sua
história pode ser detalhadamente conhecida em [5],
em sua introdução. Ali podemos ver como, desde
sua criação, principalmente por basear-se na insólita
figura do infinitésimo, gerou controvérsias e dúvidas
que só cessaram com o advento da teoria de limites.
Ganhou a fama, nos cursos de graduação de todo o
mundo, principalmente nas últimas décadas do séc.
XX, de ser uma teoria muito difícil, quase impossível
de ser aprendida, mas não é a realidade. Sob melhor
avaliação, a Álgebra Linear e a Geometria Analítica,
ou a Física ou teorias específicas das diversas
modalidades de engenhara, apresentam dificuldades
semelhantes, reduzidas ou ampliadas pela melhor
ou pior formação básica, pela qualidade do ensino,
tempo disponível para dedicar-se às mesmas, etc.
Ver [18] – teoria.
Essas teorias, como tantas outras teorias
matemáticas mais profundas, tem como elementos
comuns princípios lógicos e matemáticos que, em
sua essência, estão presentes na matemática
elementar estudada a partir do Ensino Fundamental.
A falta de seu domínio é a principal razão do
insucesso e desânimo dos estudantes que avançam
nos estudos sem estar preparado para isso. Ver [2],
[11], [15] e [19].
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2.2. Revelações do ENADE 2005 e ENADE 2008.
D. I, II, V e VI.
E. II, III, V e VI.
Questões selecionadas do ENADE 2005:
Q11 – AL– Questão envolvendo uma aplicação de
sistemas lineares (Transposição do Rio São Francisco).
Q18 – GA –
Questão relacionando equação e
propriedades da circunferência.
Q24 – AL – Questão que explora Transformações
Lineares no R2.
Q25 – CDI – Questão que trata de propriedades de
Funções, usadas no CDI.
Q26 – CDI – Questão que trata
Integral simples.
de propriedades da
Q27 – CDI – Questão em que se explora os conceitos de
Máximos e Mínimos, que exige conhecimentos básicos da
geometria espacial.
Q28 – CDI – Questão em que se exploram, com recursos
gráficos, propriedades da Integral Dupla.
Q30 – Questão Dissertativa – CDI : questão em que, mais
uma vez, comparecem os conceitos de máximo e de
mínimo, exigindo para sua resolução, conhecimentos
mínimos, indispensáveis, da linguagem matemática e da
linguagem lógica.
A título de exemplo, destacamos a questão 24:
Observe as figuras abaixo, que aparecem comumente em
problemas da geometria, do Cálculo e da Álgebra Linear,
neste último caso, em transformações no plano:
Resposta correta: D
Observemos que, ainda assim, sua média de acerto é
extremamente baixa, equiparando-se a questões com
baixo índice de acertos do Cálculo.
Questões destacadas do ENADE 2008:
Q11 – GA– Questão envolvendo uma aplicação prática da
GA, com uso da equação da parábola.
Q12 – GA – Questão conceitual relacionando a equação
da circunferência à da parábola, incluindo propriedades de
tangência.
Q14 - GA e A.L – Questão conceitual envolvendo a G.A e
a A.L em um exercício explorando inequações lineares.
Q16- CDI – aplicação de máximos e mínimos, com uso
de derivadas.
Q19– CDI – questão que explora propriedades básicas da
derivada e da integral.
Q22 – A.L - Questão que explora Transformações
Lineares no plano, destacando os conceitos de
autovalores e de autovetores.
Q23. A.L - Questão conceitual sobre sistemas lineares,
envolvendo reflexão em torno de uma discussão de
inexistência de solução.
Q26 – CDI – Questão conceitual que trata de aplicação de
derivada e integral ao estudo de pontos críticos de uma
função.
Q27 – CDI – Questão em que se explora os conceitos de
Máximos e Mínimos, que exige conhecimentos básicos da
geometria espacial.
As tabelas seguintes foram construídas a partir de
microdados disponibilizados pelo INEP e resumem,
através da média aritmética, o desempenho nacional
dos estudantes concluintes dos cursos de
Matemática nas questões anteriormente destacadas.
Tabela 1.
QUESTÃO 24
Podem ser imagem da figura A por alguma transformação
linear T : R2  R2 apenas as figuras
A. I, III e IV.
B. III, IV e VI.
C. I, II, IV e V.
Questão
11
18
24
25
26
Brasil
32,3
31,5
18,4
25,8
18,3
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27
28
30
40,2
16,9
11,2 DP 18,3
U.Par: 27,5; U.Conf: 39,42; U.Pub: 49,3.
Questão 11 – 2008:
U.Par: 15,62; U.Conf: 20,98; U.Pub: 37,66
Questão 12 – 2008:
Tabela 2.
U.Par: 16,67; U.Conf: 32,42; U.Pub: 41,72
Questão
11
12
14
16
19
22
23
26
27
BRASIL
15
21,7
27,1
37,1
24
18,8
21,2
21,6
29,2
Questão 14 – 2008:
U.Par: 27,42; U.Conf: 58,4; U.Pub: 61,86
Cálculo Diferencial e Integral: propriedades de
funções
Questão 25 - 2005
U.Par: 17,6; U.Conf: 30,62; U.Pub: 46,08
Álgebra Linear
Cálculo Diferencial e Integral: taxas relacionadas e
aplicações da derivada
Sistemas de equações lineares
Questão 27 - 2005
Questão 11 – 2005
U.Par: 28,7; U.Conf: 51,8; U.Pub: 64,4
Questão 23 – 2008
U.Par: 15,6; U.Conf: 21,0; U.Pub: 37,7
U.Par: 33,1; U.Conf: 54,57; U.Pub: 61,38
Questão 30 - 2005
U.Par: 11,64, DP 12,8; U.Conf: 22,7, DP 19,98
U.Pub: 22,64, DP 28,14
Questão 16 - 2008
Transformações lineares
Questão 24 - 2005
U.Par: 11,4; U.Conf: 31,5; U.Pub: 27,8
U.Par:43,4; U.Conf: 48,73; U.Pub: 59,24
Questão 27 - 2008
U.Par: 35,5; U.Conf: 27,2; U.Pub: 23,98
Questão 22 – 2008
U.Par: 22,33; U.Conf: 24,02; U.Pub:23,34
Cálculo Diferencial e Integral: Propriedades e
aplicações de derivadas e de integrais
Questão 26 - 2005
Geometria Analítica: funções, equações e
propriedades vetoriais.
Questão 18 - 2005
U.Par: 17,15; U.Conf: 38,4; U.Conf: 40,6
Questão 28 - 2005
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U.Par: 18,93; U.Conf: 22,78; U.Pub: 30,5
Questão 19 - 2008
U.Par: 28,6; U.Conf: 34,6; U.Pub: 35,98
Questão 26 - 2008
U.Par: 20,92; U.Conf: 22,32; U.Pub: 22,52
Bases de dados consultadas em [3], [6], [7], [8], [12],
[13] e [14].
3. Conclusões.
Vejamos, objetivamente, o que sugerem esses
resultados:

as
Instituições
Particulares
apresentam
desempenho inferior às Instituições Confessionais e
às Instituições Públicas. Apenas em uma das 17
questões destacadas, o resultado médio das
instituições particulares supera o resultado médio
das demais.
 a média geral das 17 médias das particulares foi
igual a 23,06, contra a média igual a 34,2 das
confessionais e a média igual a 40,4 das públicas.
 a média das confessionais, com desempenho
superior ao das particulares, em geral, se aproxima
de 85% da média das públicas. Esse desempenho
médio supera, em algumas questões, o desempenho
das públicas, como no caso das questões 19 e 26
de 2008 e 24 e 26 de 2005.
 2005: Média Nacional: 23,95; Instituições
Particulares: 18,38; Confessionais: 33,62 e Públicas:
39,03.
 2008: Média Nacional: 23,97; Instituições
Particulares: 27,08; Confessionais: 32,41 e Públicas:
38,88
Os resultados acima refletem a realidade atual dos
cursos da área de Ciências Exatas e o conhecido
“círculo viciosa” em que se encontram o Ensino
Superior e o Ensino Básico do país. O baixo
rendimento no ENADE e as dificuldades,
praticamente de mesmo grau, nas três disciplinas
mais relevantes da formação básica de engenheiros,
físicos e matemáticos, não poupam sequer boa
parcela dos estudantes das Universidades Públicas
com melhor desempenho no ENADE de 2005 e de
2008, que é o caso da UNESP. Como romper esse
círculo sem se aperfeiçoar a formação dos
professores? Hoje os cursos de Licenciatura são
procurados, predominantemente, por alunos com
formação frágil na própria matemática, muitas vezes
concluindo o curso sem sanar muitas de suas falhas.
Os reflexos aparecem claramente no desempenho
geral dos estudantes, do Ensino Fundamental ao
Ensino Superior, nas avaliações coordenadas pelos
Estados e pelo Governo Federal.
4. O Curso de Licenciatura da PUC-Campinas.
No ENADE de 2005, em termos das questões
destacadas, os estudantes do Curso de Licenciatura
em Matemática da PUC-Campinas ficaram abaixo
das demais Instituições confessionais aqui incluídas,
com pontuação média aproximada de 24 pontos. A
PUC-SP obteve aí o melhor resultado, com nota
média igual a 39,5 pontos.
No ENADE de 2008 seu desempenho foi melhor,
atingindo 30 pontos e ficando abaixo apenas da
PUC-RS, que obteve 40,5 pontos. Embora não
tivesse sido o desempenho desejado, manteve-se
em boa posição comparativa. Nesse ENADE de
2008, destacou-se com o CPC 4,0.
5. Considerações finais
Os resultados do ENADE 2011 irão, possivelmente,
confirmar o que verificamos aqui: o Cálculo
Diferencial e Integral não é mais o fantasma dos
cursos superiores da área de Ciências Exatas. O
desempenho tem sido baixo de modo geral,
destacadamente nas áreas da matemática que
privilegiamos. As Universidades brasileiras, como
vem ocorrendo com grande parte das Universidades
de todo o mundo, tem desenvolvido programas para
promover o nivelamento de seus alunos, como
ocorre na PUC-Campinas, através do CEATEC. Mas
é fundamental, tanto para o aperfeiçoamento dos
cursos da área de ciências exatas quanto para a
ampliação de sua procura pelos concluintes do
Ensino Médio, a recuperação da qualidade do
Ensino Básico. E o rompimento do círculo vicioso ao
qual nos referimos anteriormente, que só será
possível com a real valorização do magistério, em
todos os níveis.
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AGRADECIMENTOS
Agradecemos à PROPESQ - Pró-Reitoria de
Pesquisada, pelo apoio à pesquisa na PUCCampinas e ao CNPq pela concessão da bolsa
PIBIC/CNPq.
REFERÊNCIAS
[1] ATHLOEN, S. & R. MCLAUGHLIN. Gauss-Jordan
reduction: A brief history, American Mathematical
Monthly 94 (1987) 130-142.
[2] BRITO, M. R. F. ENADE 2005: Perfil,
desempenho e razão da opção dos estudantes pelas
Licenciaturas. Avaliação, Campinas; Sorocaba, SP,
v. 12, n. 3, p. 401-443, set. 2007.
[3] BRITO, M. R. F. O SINAES e o ENADE: da
concepção à implantação. Avaliação, Campinas;
Sorocaba, SP, v. 13, n. 3, p. 841-850, nov. 2008.
[4] CARVALHO , T. F. & D‟OTTAVIANO. Sobre
linguagens, conceitos matemáticos e o discurso
científico, REVEMAT - Revista Eletrônica de
Educação Matemática. V4.1, p.26-38, UFSC: 2009.
[5] CARVALHO , T. F. Tese de Doutorado: Sobre o
cálculo diferencial paraconsistente de da Costa.
2004. 200 p. Tese (Doutorado) – Institutode Filosofia
e Ciências Humanas, Universidade Estadual de
Camp inas, 2004.
[6] INEP. SAEB. Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
[7] INEP. SAEB –2001: Novas Perspectivas.
Brasília: Ministério da Educação/INEP, 2001.
[8] INEP. Manual do Exame Nacional de
Desempenho dos Estudantes ENADE – 2004.
Brasília: Ministério da Educação/INEP, 2004.
[9] LIMA, G. L. História da Matemática. Campinas:
Coleção CLE - FAPESP. v. I. 2006.
[10] LINTZ, R. G. História da Matemática.
Campinas: Coleção CLE - FAPESP. v. 2. 2007.
[11] MASETTO, M. T. Competência pedagógica do
professor universitário. São Paulo: Summus, 2003.
[12] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais
Anísio Teixeira. MATRIZ DE REFERÊNCIA PARA
O ENEM 2009.
[13] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Resumo Técnico
– ENADE 2005. Brasília: Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira,
2006.
[14] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Resumo Técnico
– ENADE 2007. Brasília: Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira,
2008.
[15] PERRENOUD, P. Práticas pedagógicas,
profissão docente e formação. Perspectivas
sociológicas. Lisboa: Dom Quixote, 1993.
[16] PULINO, P., Álgebra Linear e suas Aplicações:
Notas
de
Aula,
IMECC, UNICAMP, primeiro semestre de 2006. 445
páginas.
[17] SANTOS, R. Matrizes Vetores e Geometria
Analítica, Imprensa Universitária da UFMG, Belo
Horizonte, março de 2006. Versão online:
http://www.mat.ufmg.br/~regi/ (consulta realizada em
dezembro de 2010).
[18] STEWART, J.: Cálculo - Vol. 2, 4ª edição.
Editora Pioneira Thomson Learning, 2001.
[19] VYGOTSKY, L. S. Pensamento e Linguagem.
São Paulo: Martins Fontes, 1987