A colisão elástica de duas esferas rígidas
Na postagem Seção de choque diferencial, considerei o problema da colisão elástica entre uma partícula pontual e uma esfera rígida de raio finito. No entanto,
quando apresentei o conceito de seção de choque, na postagem Seções de choque,
mencionei a colisão entre duas esferas rígidas de raios finitos. Na presente oportunidade, mostro como calcular a seção de choque diferencial clássica para a
colisão elástica entre duas esferas rígidas, de raios finitos e, depois, por integração, calculo a seção de choque total. Dessa forma, ilustro aqui os conceitos
das duas postagens, Seção de choque diferencial e Seções de choque, em um caso
mais complexo do que o de uma partícula incidente puntiforme. Para simplificar, vou supor que a esfera alvo permanece sempre imóvel, na mesma posição,
antes e depois da colisão.
A primeira providência é expressar a relação entre o parâmetro de impacto,
s, da esfera incidente, de raio r, e o ângulo de espalhamento para a colisão com a
esfera alvo, de raio R. A Fig. 1 abaixo ilustra a situação inicial, em que a esfera
incidente, verde, se aproxima com velocidade v da esfera alvo, vermelha. Note
que, como na postagem Seções de choque, o parâmetro de impacto é a distância
entre o centro da esfera alvo e a reta paralela ao vetor velocidade inicial e que,
assintoticamente, passa pelo centro da esfera incidente. Veja também que adotei
o eixo z como na postagem Seção de choque diferencial, com a origem do sistema
de coordenadas escolhida no centro da esfera alvo.
Figura 1: A situação inicial, em que a esfera incidente, verde, se aproxima com
velocidade v da esfera alvo, vermelha.
A Fig. 2 a seguir mostra a situação no instante em que a esfera incidente toca
a superfície da esfera alvo. Veja que defini um sistema de coordenadas auxiliar
em que o plano x0 z 0 é paralelo à velocidade inicial da esfera incidente e contém
os centros das duas esferas, com a origem desse sistema auxiliar, O0 , escolhida
sobre o centro da esfera incidente neste instante da colisão. Além disso, em
termos do ângulo de incidência, α, a velocidade inicial pode ser escrita como
v
=
x̂0 |v| senα + ẑ0 |v| cos α,
(1)
onde x̂0 e ẑ0 são os versores com os sentidos dos eixos auxiliares x0 e y 0 .
1
Figura 2: A situação no instante em que a esfera incidente toca a superfície da
esfera alvo.
Como a colisão é elástica, a componente normal da velocidade, |v| cos α,
deve mudar de sinal após a colisão e a velocidade final da esfera verde fica
v1
=
x̂0 |v| senα − ẑ0 |v| cos α,
(2)
onde, como afirmado acima, estou supondo que a esfera alvo permanece sempre
imóvel. A Fig. 3 ilustra, de forma ampliada, a geometria envolvida na obtenção
da velocidade após a colisão. Fica evidente na Fig. 3 que a lei de reflexão para
colisões elásticas decorre do fato de que, em uma colisão elástica, é a componente normal da velocidade que sofre inversão de sentido, mas sem mudança de
magnitude. Veja que essa lei vale tanto para o caso em que r é finito como para
quando temos uma partícula incidente puntiforme, como é o caso apresentado
no exemplo da postagem Seção de choque diferencial.
Figura 3: Ampliação dos detalhes envolvidos na geometria que determina o
vetor velocidade v1 após a colisão.
2
A Fig. 4 a seguir mostra a esfera verde seguindo sua trajetória com velocidade v1 , após a colisão elástica com a esfera vermelha, que é sempre suposta
imóvel. O que fiz na Fig. 4 foi transladar o vetor v1 determinado na Fig. 3 para
o ponto O0 , onde o centro da esfera incidente se encontra no instante da colisão.
Note que o ângulo de espalhamento, θ, é duas vezes o ângulo de incidência, α,
isto é,
θ
=
2α.
(3)
Das Figs. 2, 3 e 4 fica evidente que o parâmetro de impacto pode ser escrito
em termos dos raios das duas esferas, r e R, e do ângulo de incidência com a
normal, α, ou seja,
s =
(r + R) senα,
(4)
conforme fica evidente do triângulo violeta indicado na Fig. 4.
Figura 4: Trajetória final da esfera verde, após a colisão com a esfera vermelha,
que, por hipótese, sempre permanece imóvel. O triângulo violeta ilustra a relação do parâmetro de impacto, s, com os raios das esferas, r e R, e o ângulo
de incidência, α.
Usando a mesma metodologia da postagem Seção de choque diferencial,
a única diferença no raciocínio que o presente caso implica é a relação do
parâmetro de impacto com o ângulo de espalhamento, isto é, usando as Eqs.
3
(3) e (4),
s =
(r + R) sen
θ
.
2
(5)
Então, a única mudança na Eq. (15) da postagem Seção de choque diferencial
para sua utilização no presente exemplo é trocar R por r + R naquela fórmula,
resultando na seção de choque diferencial
dσ (θ)
dΩ
2
=
(r + R)
.
4
(6)
Com isso, a seção de choque total para a colisão entre as duas esferas é obtida
pela integração sobre todo o ângulo sólido de 4π da Eq. (6) e o resultado fica
˛
dσ (θ)
2
dΩ = π (r + R) ,
(7)
dΩ
4π
como explicado na postagem Seções de choque (veja lá, a Eq. (2)).
Referências
[1] Nuclear Reactions. Some Basics, por Demetrius J. Margaziotis.
[2] Keith R. Symon, Mechanics , terceira edição (Addison Wesley, 1971).
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