Nome:_______________________ Ano: º Ano do E.M.
Escola: _________________________ Data:___/__/___
3º Ano do Ensino Médio
Aula nº09 – Prof. Paulo Henrique
Assunto: Funções do Segundo Grau
1. Conceitos básicos
Definição: É uma função que segue a lei:
onde
∈
∗
∪ , ∈
Tipos de funções quadráticas
A função do segundo grau tem uma estrutura muito semelhante a uma equação do segundo grau, a
grande diferença é que ela pode assumir valores que pertencem aos reais, e numa equação
(“organizada”) o valor da igualdade é único, zero. Veja:
3
2
0
3
2
Imagem: Os valores que a função assume, de acordo com o valor de x utilizado, é dito imagem da
função. Representaremos isso por Imf
Perceba que a função do exemplo anterior tem como Im = .
1
Domínio: O domínio de uma função é qualquer valor de x que podemos “usar” e a função existe (ou
melhor, está definida). Nas funções quadráticas o domínio costuma ser . Representaremos o domínio
das funções por Df
Exemplo de uma função cujo domínio não é ℝ:
Raízes ou zeros de função: são os valores de x para os quais a função vale zero, isto é,
0. Para
fazermos isso será importante lembrarmos da fórmula de Báskhara. Quando desejarmos obter os zeros de
uma função, devemos encontrar as raízes da equação obtida ao igualarmos a função a zero.
Báskhara: Δ =
−4
Cálculo dos zeros da função:
,
=
=
±√
!
− 6 − 16
Como as funções do segundo grau tem sua raiz obtida através de uma equação do segundo grau, podemos
concluir que toda função do segundo grau tem raízes?
R:
Há uma situação que a função do segundo grau tem uma única raiz, ou então, duas raízes idênticas. Nesta
situação, o que ocorre com o discriminante (delta, ) desta equação?
R:
2
2. Gráfico da função de segundo grau
A parábola
As funções do segundo grau tem gráficos com formato de parábola. Veja na figura um exemplo
(específico) de função do segundo grau representada no sistema de coordenadas cartesiano e alguns
pontos importantes.
Intercepto em y, equivale ao
termo c da função do segundo
grau. Você sabe por quê?
Zeros da função
Vértice, cujas coordenadas são:
$ , %$
De que formas a parábola (da função do segundo grau) pode estar disposta?
R:
3
Vértice da função quadrática: O vértice da equação do segundo grau pode ser obtido com as
seguintes fórmulas:
&
−
2
Δ
'& = −
4
Existe y do vértice se
< ) ? O que isso nos permite concluir?
R:
Agora que sabemos como calcular o vértice de uma função, como podemos indicar sua imagem? Isso
depende da posição da parábola?
R:
3. Exercícios de sala
1. Esboce o gráfico das seguintes funções explicitando seu intercepto no eixo das ordenadas, além disso,
mostre os cálculos dos zeros da função, se houver.
=
−9
=− −4 −4
= − − 16
4. Interpretações e obtenção da função do segundo grau
Podemos obter a função do segundo grau observando seu gráfico, uma forma de fazer isso por exemplo é
montar um sistema de equações com todos os elementos conhecidos no gráfico. Fontes poderosíssimas de
informação que diminuem o nosso trabalho são:
•
As raízes da função, pois com elas em mãos podemos dizer que a função será, para as raízes +, -+ :
=.
•
•
− +,
−+
A concavidade da função, se a concavidade for para cima teremos .0. Se a concavidade for para
baixo, teremos .0. Lembre-se de qual é o papel do termo “a” na concavidade da função.
Um ponto da função, pois substituindo na estrutura acima, será possível determinar qual o
equacionamento dessa função do segundo grau. O ponto que facilita demasiado nosso trabalho é o
intercepto no eixo y, mas isto não é uma regra
4
Não se esqueça que em certos problemas interpretativos (e que você deve obter a função do segundo grau)
não necessariamente vai estar escrito “a concavidade está para cima”, ou então “a concavidade está para baixo”.
Como vamos saber a concavidade da função?
Exercícios de sala
1. Uma função do segundo grau tem raízes -3 e 4. É possível obter o valor do & ? Escreva a expressão que
descreve esta função com o . desconhecido. Se esta função passa pelo ponto (0, 24), qual é sua expressão?
2. Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário
percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por
dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$,
arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona V e x?
5
5. Máximos e mínimos da função quadrática
As funções quadráticas com > 0 admitem valor de mínimo e as funções com
de máximo. Este valor de máximo ou mínimo é '&
0
$
< 0 admitem valor
= %$
Exercícios de sala
1. A função
=
+ 5 + 6 tem qual “cara”? Ela tem ponto de máximo ou de mínimo? Qual o
valor de máximo ou de mínimo que essa função assume?
2. Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico
dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
e) o seu valor máximo é 12,5
3. A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:
a) 16
b) 8
c) 4
d) -4
e) -16
4. A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:
a) 16
b) 8
c) 4
d) -4
e) -16
6
Exercícios de Casa
1. A função do segundo grau
a) -4 e 5
b) 7 e 9
=
− + 20 intercepta as abscissas em:
c) -25 e 75
d) -7 e 4
e) 6 e 8
2. A função do segundo grau
2
a) 4
b)
=
c) 5
3. A função do segundo grau
3
a) 29
b)
=
− 7 + 5 = 0 tem seu discriminante igual a:
5
c) 69
e) 7. 9. .
d)
− 3 + 4 tem como x do vértice:
d)
2
e)
3
6
4. Uma função do segundo grau passa pelos pontos (0,2), (1,-2) e (3,8). Qual a lei de formação que define esta
função?
a)
=3
−7 +2
b)
=
−5 +2
c)
=2
−6 +2
d) não é possível determinar
5. A função real f, de variável real, dada por
=−
a) mínimo, igual a -16, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
+ 12 + 20, tem um valor:
c) máximo, igual a 56, para x = 6
6. Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente
proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também
ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o públicoalvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante
positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000
pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de
pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000
7. A partir do instante que foi identificado um vazamento em um tanque de água, os técnicos afirmaram que a
quantidade total, em litros, de água no tanque, indicada por Q(t), após t horas de vazamento, seria dada
pela função : ; = ; − 24; + 144. Dividindo-se o total de água no tanque, no instante em que o
vazamento foi identificado, pelo total de horas que ele levou para esvaziar totalmente, pode-se concluir que
o escoamento médio, nesse intervalo, em litros por hora, foi igual a:
a) 12
b) 12,5
c) 13
7
d) 13,5
e) 14
Raciocínio Lógico
Assunto: Potenciação e Racionalização de Frações
1. Potenciação
Definição: A potenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência.
Ex.: 2³ = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 → 2 é a base e 3, o expoente.
Propriedades: Vamos recordar as principais propriedades já vistas:
•
?
Produto de potência de mesma base:
•
Razão de mesma base:
•
Potência de potência
LM
LN
? A
=
? A
A
×
=
HIIIIIJ 23 × 22 = 23B2 = 2,K
CDC?EFG
≠ 0 HIIIIIJ 23 ÷ 22 = 23
,
CDC?EFG
?×A
HIIIIIJ 22 2
CDC?EFG
=
?BA
2
= 26
= 22×2 = 25
ATENÇÃO: Perceba que esta situação é diferente de quando temos uma potência somente
no expoente, nesses casos, devemos apenas calcular o valor desta potência, veja:
Q
Q
•
3 2 ≠ 3 , RSTU 3 2 = 3V -7WX 7;S3 = 3Y
Potência de um produto: × ? = ? × ? HIIIIIJ 2 × 5 2 = 2³ × 5³
•
A potência fracionária é uma raiz Lembre-se
•
Propriedade do inverso:
CDC?EFG
, A
,
A
= LN = _L` ,
[
\
\
=√
].
^
Q
Exemplo: 2Q = √2.
≠ 0 HIIIIIJ 2
CDC?EFG
2
=
,
Q
2. Racionalização de denominadores de frações
Definição: A presença de um número irracional (uma raiz) no denominador de frações torna difícil o
seu tratamento e interpretação. Efetuamos a racionalização de denominadores para melhorar isso,
baseado sempre na propriedade das frações equivalentes. Vejamos um exemplo:
,K
=5→
,K
× = 5, ou seja, se multiplicarmos uma fração por uma razão unitária (no exemplo ),
mantemos a igualdade (permanece igual a 5). O “desafio” está em achar a razão unitária apropriada. Os
principais casos encontrados são:
•
Há uma raiz quadrada no denominador: A razão unitária será formada pela própria raiz
existente no denominador. Ou seja:
L
•
√]
=
L
√]
×
√]
√]
=
L√]
]
HIIIJ - -aRbS
,
,
×
√2
√2
√2
√2
√2
2
Há uma expressão de soma ou subtração no denominador: A razão unitária será composta por
um produto notável que resulte no “desaparecimento” da(s) raiz(es). Lembre-se que:
'
−'
− ' . E com a diferença dos quadrados, fazemos “desaparecer” a raiz.
,
HIIIJ LB√]
- -aRbS
,
e √f
HIIIJ - -aRbS
√2 √
2
2
√6Bc
√6Bc
√2 √
×
8
×
√6 c
√6 c
2 √6 c
√6
√2B√
√2B√
d
√2B√
√2
d
√
c
d
d
2 √6 c
6 c
√2B√
2
2 √6 c
,
2 √3 + √2
Exercícios de casa
1. Racionalize as seguintes expressões:
a)
c)
4
b)
2 −6
7
d)
3− 2
4 3
5+ 2
9
3 +1
2. Racionalize e depois resolva as expressões:
a)
b)
3+2
3−2
5+ 6
5− 6
3−2
+
−
3+2
5− 6
5+ 6
3. Resolva explicitando o cálculo e o uso das propriedades das potências
a) 23 . 22
b) 4.5
c) 6 2
,
, 2
d) _3` : _3`
4. Simplifique as seguintes expressões:
a)
. 2. . . 6 + +
b)
D Q ⋅i d ⋅ij ⋅D ^ ⋅Dk
i l ⋅D d
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