INTEGRAÇÃO DE CÁLCULO E FÍSICA NOS CURSOS DE
ENGENHARIA DA UFSCar
José Antonio Salvador, * D. Sc.,
Cesar Constantino, ** D. Sc.,
Nelio Baldin, * D. Sc. ,
José Marques Póvoa, ** D. Sc.
CCET - UFSCar
*Departamento de Matemática
** Departamento de Física
Via Washington Luís, km 235
13565-905 São Carlos – SP
http://www.ufscar.br
Resumo
Os conceitos de Física geralmente não são explorados no Cálculo e a potencialidade do
Cálculo não é aproveitada suficientemente na Física a não ser algebricamente. Não tem
existido uma homogeneidade na linguagem empregada e nem continuidade no
desenvolvimento dos tópicos abordados. Consequentemente, na maioria das vezes, o aluno
adquire uma postura mental perniciosa considerando a Física e o Cálculo como matérias
totalmente distintas e apresenta grande dificuldade de resolver problemas.
O ensino fica comprometido com a perda da visão histórica comum destas disciplinas.
Nosso projeto propõem uma volta às origens integrando Cálculo e Física para as turmas de
Engenharia de Materiais e Engenharia Química da UFSCar e está sendo testado para os alunos
recém ingressados na universidade. As disciplinas Cálculo Diferencial e Integral 1 e Física 1
funcionam como se fossem únicas, com os professores de ambas
participando
simultaneamente das aulas das duas disciplinas, o que permite homogeneizar a linguagem e
adequar a seqüência dos tópicos, evitando lacunas e/ou duplicações. Além desta integração
utilizamos os recursos computacionais do Maple V no Laboratório REENGE para explorar
conceitos matemáticos e físicos, como já vínhamos fazendo nas turmas de Cálculo. Neste
trabalho apresentamos alguns resultados, avaliação e discussão desta experiência.
1. Introdução
Temos constantemente questionado e discutido muito sobre o modo como estamos
ensinando Cálculo e Física nas universidades. Mesmo as experiências mais recentes com a
introdução do uso de computadores no ensino destas disciplinas ainda são tentativas que não
tem levado em consideração a interdisciplinaridade que é inerente a elas.
A idéia de unificar os estudos de Cálculo Diferencial e Integral 1 e a Física 1 nos ocorreu
muito tempo atrás, quando observamos o descontentamento de alunos e professores. Na
maioria dos cursos das ciências exatas alguns alunos chegam mesmo à desistência dessas
disciplinas e ás vezes até do próprio curso escolhido. Geralmente eles não conseguem usar os
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conceitos e as ferramentas convenientes do Cálculo para explorar os problemas físicos e nem
aproveitam suficientemente os conceitos da Física para melhor compreensão do Cálculo.
Os professores destas disciplinas geralmente deixam de explorar ou duplicam a
apresentação de conceitos, muitas vezes com linguagens diferentes, levando os alunos à
incompreensão ou confusão. Muitas vezes o professor de uma dessas disciplinas reclama que
os alunos ainda não aprenderam algum conceito da outra disciplina, que ele precisava usar
naquele momento, constrangendo de certa forma os alunos que ficam no meio de um processo
em que eles não tem participação. Reconhecemos que não é uma prática comum discutir o
planejamento dos cursos em conjunto com os professores envolvidos e / ou com a
coordenação dos mesmos, e em alguns casos isto só ocorre no início da elaboração dos
currículos. Estes, depois de aprovados pelos órgãos competentes das instituições, geralmente
são esquecidos e os detalhes e enfoques mais adequados das ementas não são preparados e
nem discutidos suficientemente em conjunto quando de sua aplicação em sala de aula.
O questionamento do modo como ministramos estas disciplinas e várias tentativas no
sentido de seu aprimoramento, com novas metodologias, foram utilizadas por nós mesmos e
por diversos professores nas mais variadas universidades. A introdução das novas tecnologias
no ensino que implementamos na UFSCar nas disciplinas básicas de Matemática do CCET da
UFSCar de certo modo trouxe uma grande e significativa melhora (Paterlini [7] , Moreira e
Salvador [1], Salvador e Baldin [11]), principalmente na motivação dos alunos. Mas ainda
sentíamos que faltava a interdisciplinaridade, que até tentávamos fazer isoladamente,
introduzindo exemplos, problemas e exercícios da Física resolvidos com os recursos dos
conteúdos do Cálculo, ou aplicando conceitos de Cálculo na resolução de problemas na
disciplina de Física. Eram sempre tentativas isoladas, sem uma ligação histórica e o
aprofundamento necessário dos conceitos para a perfeita compreensão dos mesmos.
Não é recente a idéia de nosso projeto, mas só nestes últimos dois anos tivemos uma
experiência concreta inicialmente com os professores de Ensino Médio da região de São
Carlos oferecendo atividades de cinemática em conjunto com a matemática, que tiveram
bastante aceitação. As discussões interessantes que mantivemos nos fizeram refletir ainda mais
e estender a experiência para as disciplinas de Cálculo e Física para os alunos da universidade,
um sonho antigo.
Nosso projeto para a integração do Cálculo e da Física se tornou realidade, graças ao
empenho e iniciativa dos autores deste trabalho para colocá-lo em prática, discutindo cada um
dos tópicos abordados nas duas disciplinas para intercalá-los convenientemente de modo a
obter uma ementa otimizada, permitindo a passagem da aula de uma disciplina para outra
suavemente e visando o melhor aproveitamento global do aluno. Melhor ainda é o empenho
que temos feito no sentido de que ambos os professores de Cálculo e Física participem das
aulas das duas disciplinas, um intervindo na aula do outro no momento exato das discussões
de tópicos interdisciplinares, o que na realidade ocorre frequentemente.
2. Características dos nossos alunos
Na nossa experiência foram escolhidas duas turmas piloto, uma de
Engenharia de Materiais e outra de Engenharia Química da UFSCar com 45
994
alunos cada, de forma que os mesmos alunos participassem das mesmas turmas
de Cálculo 1 e de Física 1.
Aprofundamos nosso conhecimento sobre o perfil destes alunos, analisando
documentos e relatórios de anos anteriores das turmas de Cálculo 1 e Física 1 do CCET da
UFSCar, Ferreira Filho e Bereta [4, 5, 6], e questionários formais e informais de sondagem
distribuídos aos alunos serviram para a coleta de dados pessoais e socioeconômicos, formação
acadêmica, interesses diversos, informações acerca de conhecimentos computacionais e
perspectivas futuras relativas ao curso, entre outros, num total de 38 questões como havíamos
feito no ano passado Moreira e Salvador [1] com os alunos da disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral 1 para a turma de Engenharia Química.
No curso de Engenharia Química não há predominância de alunos do sexo masculino
como nos anos anteriores, 50% são de sexo feminino e 50% do sexo masculino, enquanto que
na turma de Engenharia de Materiais 25% são do sexo feminino; a maioria dos alunos de
ambas as turmas ingressaram na UFSCar na faixa etária situada entre 17 e 18 anos, oriundos
principalmente das cidades de São Carlos e do interior do estado, todos solteiros, residindo
em pensionato ou república. A escolaridade da maioria dos chefes de família dos alunos é
superior, com renda familiar predominantemente acima de 10 salários mínimos.
Grande parte dos alunos aprendeu a usar computador sozinho ou em cursos livres, e a
maioria deles já possui computador em casa. Também a maioria dos alunos utiliza transporte
coletivo, não exerce atividades acadêmicas extracurriculares e não trabalha.
Cerca de 90% dos alunos freqüentou no 2o. Grau o curso de Educação Geral, em
escola privada, no período diurno, e concluíram-no há menos de 2 anos. Durante o curso do
segundo grau os alunos praticaram atividades esportivas e freqüentaram cursos de língua
inglesa. O curso de segundo grau concluído pelos alunos também não utilizava recursos
computacionais, exceto 4 deles que utilizaram. Cerca de 75% dos alunos fizeram curso prévestibular de um semestre a um ano. Nenhum deles concluiu outro curso superior
anteriormente. A maioria deles não trabalhou enquanto cursava o segundo grau e pretende se
manter na universidade durante o curso com recursos dos pais ou bolsas de estudo. A
qualidade e a gratuidade do ensino foram os motivos que os levaram a escolher a UFSCar e a
decisão pelo curso se deve essencialmente às afinidades e aptidões pessoais, à possibilidade
de realização pessoal e ao mercado de trabalho. Após a conclusão do curso, a maioria dos
alunos pretende fazer cursos de Aperfeiçoamento, Mestrado e/ou Doutorado e procurar
emprego na mesma área.
3. Estratégias Didáticas e Metodológicas
Decididos pela integração das disciplinas, uma primeira etapa para a elaboração
concreta do projeto foi iniciar pela discussão dos tópicos de cada disciplina e reordená-los de
modo obter uma ementa suave. Deste modo verificamos que alguns tópicos de Cálculo e
Física se complementariam caso fossem ministrados simultaneamente ou com a interferência
de um professor na aula do outro no momento exato, ou logo na aula seguinte da outra
disciplina, usando a mesma notação e linguagem. Verificamos que tópicos da disciplina de
Cálculo poderiam ser antecipados em relação ao que geralmente é apresentado num curso
clássico.
995
Um exemplo claro disto foi a introdução nas primeiras aulas de Cálculo do conceito de
derivada e o cálculo da derivada das funções polinomiais logo no início do curso, usando a
definição e introduzindo aí o conceito de limite ao invés de trabalha-lo de forma isolada. O
conceito de derivada foi explorado abordando inicialmente o coeficiente angular de retas
secantes ao gráfico de uma função, e dos coeficientes angulares das tangentes ao gráfico de
uma função num ponto como limite dos coeficientes angulares das secantes. Exploramos
assim o limite das retas secantes convergindo para as tangentes ao gráfico de funções.
Enquanto isso, em Física se introduzia o conceito de velocidade média e instantânea, o
que reforçava os conceitos de derivada e limite vistos na aula de Cálculo.
No laboratório de computação usamos os recursos do software Maple V para simular
graficamente o limite das secantes ao gráfico de uma função convergindo para a tangente à
mesma num ponto e a análise da taxa de variação da função, crescimento, decrescimento da
função, pontos extremos, concavidade etc.. Também exploramos a resolução de problemas
físicos com os recursos do cálculo e o conceito de diferenças finitas, para melhor compreensão
das noções de limites e derivadas, usufruindo das facilidades computacionais.
Vejamos um exemplo bastante simples do movimento de uma bolinha de massa m
lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0. O movimento é ao longo de um
eixo y vertical orientado para cima. Em t = 0 a bolinha está na posição y = 0 e com velocidade
v = v0. A aceleração da bolinha será constante e igual a da gravidade -g. Estamos interessados
em determinar a velocidade v e a posição y da bolinha como função do tempo t. Sabemos que
a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo, e para a aceleração da
gravidade atuando apenas numa partícula de massa unitária, temos
> dv/dt = - g;
Pela definição de derivada, a equação acima no limite em que h -> 0, é equivalente à
> (v(t+h) - v(t) ) / h = - g;
Para h finito esta equação é uma equação a diferenças finitas. Rearranjando-a, obtemos a
equação afim:
> v(t+h) = v(t) - g * h;
Esta equação nos permite calcular a velocidade da partícula num instante t+h, se conhecermos
v(t). Aplicando-a sucessivamente aos instantes t = 0, h, 2h, 3h, ... poderemos determinar a
velocidade em função do tempo para um tempo arbitrário, como mostra a Figura 01.
Figura 01. A linha contínua é a solução analítica v(t) e os pontos a solução calculada.
Ressaltamos que os valores de h escolhidos não influem na melhor aproximação uma vez que
a função obtida é afim.
Podemos também calcular a posição y em função do tempo t, pois : dy/dt = v(t);
Pela definição de derivada, a equação acima é equivalente, no limite em que h -> 0 à
996
( y(t+h) - y(t)) / h = v(t); E da mesma forma, para h finito temos uma equação a diferenças
finitas dada por y(t+h) = y(t) + v(t)*h;
Esta equação nos permite calcular a posição no instante t+h, se conhecermos y(t). Aplicando-a
sucessivamente aos instantes t = 0, h, 2h, 3h, ... poderemos determinar a função posição y do
tempo t. Neste caso observamos que o método empregado de aproximação da solução melhora
quando diminuímos o valor do passo h. Exploramos então o conceito de limite da razão
incremental que nos leva a derivada de uma função.
O cálculo da função posição fica bastante simples e fácil de visualizar usando Maple V como
mostram os gráficos com valores de h diferentes:
Figura 02. A solução analítica contínua e a solução calculada pontilhada com h = 0,2 e h = 0,1
Simulações usando o Maple V e fazendo animações quando h -> 0, os alunos podem ver
claramente a solução aproximada por diferenças finitas converge para a solução analítica do
problema.
Na introdução dos conceitos de Cálculo e Física estamos sempre procurando motiválos através de problemas.
997
Outro exemplo é o caso do conceito de trabalho que é usado logo na Física 1 e o
conceito de integral de linha que só é apresentado num curso mais avançado de Cálculo. Este
problema foi apresentado de modo que a integral de linha pudesse ser tratada como uma
integral simples. Neste caso, partimos do conceito de trabalho realizado por uma força
constante na mesma direção do deslocamento de um corpo em uma dimensão na aula de
Física. Em seguida na aula de Cálculo interpretamos geometricamente como área sob o gráfico
de uma função força constante e introduzimos a noção de integral definida. A seguir
apresentamos o caso de forças variáveis e calculamos a integral do produto escalar da força
pelos deslocamentos infinitesimais, para alguns caminhos onde isto era possível.
No laboratório fizemos com que os alunos explorassem o conceito de integral definida
computacionalmente usando o processo de limite de somas no cálculo de trabalho e áreas sob
o gráfico de uma função, usando os recursos gráficos de animação do Maple V.
Nos demais tópicos das disciplinas também procuramos explorá-los conjuntamente, de
modo que os alunos adquirissem uma melhor compreensão e desenvolvessem o raciocínio
lógico aumentando a capacidade de resolver problemas.
4. Análise preliminar do projeto
Sabemos da dificuldade de fazer uma análise comparativa do rendimento dos alunos
participantes deste projeto com os alunos dos anos anteriores, pois isto envolve muitas
variáveis (professores diferentes, turmas diferentes, avaliações diferentes, condições adversas
dos períodos e outras). Mostramos como exemplo, o comportamento das turmas de
Engenharia Química ao longo dos últimos anos.
Evolução das Médias EQ
média
8
6
4
Cálculo 1
Física 1
2
0
94
95
96
97
98
99
ano
Figura 03. Evolução das médias dos alunos de Engenharia Química em Cálculo 1 e Física 1 de
1994 a 1999
No caso de Cálculo Diferencial e Integral 1 concluímos que apesar das variações das
médias ao longo dos últimos anos, a média das notas em 1999 da turma de Engenharia
Química foi de 6,8 e a média dos anos anteriores de 1994 até 1998 foi de 6,1. Isto não nos
surpreendeu pois observamos uma queda da média dos alunos em 1997 e em 1998 já
998
recomeçamos a usar de modo mais intenso o Laboratório de Computadores/REENGE e a
introdução de novas metodologias conforme [1].
Na nossa experiência de integração no primeiro período letivo de 1999, observamos
uma interação muito maior alunos – alunos, alunos – professores, professores – professores.
Notamos que nosso método de trabalho conjunto influenciou e motivou os alunos a
trabalharem cooperativamente e de uma forma natural. Eles espontaneamente se reuniram em
grupos para a resolução de exercícios, problemas e desafios propostos tanto de física quanto
de cálculo.
Cálculo 1
Nas discussões em sala de aula destacamos a participação ativa dos alunos com muito
mais perguntas interdisciplinares, para ambos os professores, do que acontece nas outras
turmas, o que provavelmente colaborou para aumentar a correlação entre as notas de Física e
Cálculo, o que parece indicar que os alunos conseguiram efetivamente sentir a integração entre
as duas disciplinas. O gráfico abaixo ilustra as notas de nossa turma Experimental E, com
coeficiente de correlação igual a 0,7. Nas turmas onde não houve interação entre os
professores de Cálculo e Física o coeficiente de correlação foi bem menor, em torno de 0,4.
Notas EQ - Turma E
Correlação = 0,7
10
8
6
4
2
0
0
5
Física 1
10
Figura 04. Correlação entre as notas de Cálculo 1 e Física 1 para os alunos da turma
experimental de Engenharia Química.
Não podemos deixar de ressaltar também que a interação entre os professores tem nos
proporcionado um enriquecimento mútuo e de grande valor para o aprimoramento de nossas
atividades como educadores e foi muito gratificante.
999
5. Conclusões
Os resultados preliminares que obtivemos nesta experiência nos indicam
que demos um passo importante na formação de nossos alunos com a integração
das disciplinas de Cálculo e Física. Já vínhamos comprovando que o uso do
computador é um recurso didático motivador e importante na construção do
conhecimento dos processos infinitesimais do Cálculo e agora ficou mais
evidente na integração com a Física.
O interesse despertado pelos alunos ao ver os professores de ambas as
disciplinas na sala de aula, desde o início do curso nos incentivaram a continuar a
desenvolver nossas atividades didáticas em conjunto também no laboratório
computacional.
É evidente que para a integração do ensino de Cálculo e Física os
professores envolvidos devem adotar o mesmo procedimento e estar preparados
para um grande envolvimento nas diversas fases do projeto, abertos para novos
questionamentos tanto do currículo como da sua própria prática pedagógica, para
a participação crítica dos alunos, e do colega que o observa e interfere na sua aula
no momento conveniente, o que certamente é um grande passo para o
enriquecimento do processo de ensino – aprendizagem significativo para todos.
É também uma mostra de como podemos incentivar o trabalho
cooperativo partindo de nossa própria prática pedagógica cooperativa, de modo
que os estudantes possam captar tais experiências físicas, matemáticas e
computacionais.
Com tal experiência, acreditamos que os departamentos de Matemática e
Física estão dando uma valiosa contribuição às disciplinas básicas da UFSCar,
que poderá ser estendida para as demais disciplinas oferecidas pelos
departamentos de Matemática e Física para os cursos de Engenharia.
Esta tentativa de mudança poderá ser aperfeiçoada continuamente com o
acompanhamento e observações mais detalhadas das experiências para reflexões
sobre a prática docente e discente, adequação do currículo, etc. Tais reflexões
contínuas poderão indicar os caminhos mais convenientes a serem trilhados na
busca de um processo de ensino-aprendizagem significativo do Cálculo e da
Física integrados, resgatando de fato as suas origens.
6. Referências
[1] Moreira, D. T. & Salvador, J. A., Ensino de Cálculo para a Engenharia Química
utilizando o Maple V, COBENGE98, SP (1998)
[2] Cordeiro, J. S., Baldin, N., Malagutti, P. L. A ., Póvoa, J. M., Projeto
REENGE - UFSCar: Ensino de Matérias Básicas para o Engenheiro do Futuro,
XXIV COBENGE96, UA, AM (1996).
1000
[3] Costa, I. M. , Salvador, J. A., Malagutti, P. L. A., Paterlini, R. R., Rodrigues,
S., Furuya, Y. K e Baldin, Y. Y., O Uso do aplicativo Maple V para o Ensino das
Disciplinas Básicas de Matemática, XXV COBENGE, UFBA (1997).
[4] Ferreira Filho., P., Bereta, E. M. P., Perfil dos alunos ingressos na UFSCar no
ano de 1997, Relatório do Laboratório de Estatística Aplicada, UFSCar (1997).
[5] Ferreira Filho., P., Bereta, E. M. P., Um estudo comparativo dos alunos
ingressos na UFSCar no período 1994 - 1997, Relatório do Laboratório de
Estatística Aplicada, UFSCar (1997).
[6] Ferreira Filho., P., Bereta, E. M. P., Viola, D. N., Perfil sócioeconômico e
cultural dos alunos da UFSCar, Relatório do Laboratório de Estatística Aplicada,
PROGRAD/ SAC, UFSCar (1997).
[7] Paterlini, R. R., Modificações no Ensino do Cálculo em Cursos de
Engenharia, XXV COBENGE, 860-871,UFBA (1997).
[11] Salvador, J. A. e Baldin, N., As Inovações Tecnológicas e o Processo de
Ensino - Aprendizagem na UFSCar, CLATE’98, UTN - Faculdad Regional San
Nicolás, San Nicolás, Argentina (1998).
[12] http://www.ufscar.br
1001