CAPITULO 01
DEFINIÇÕES E
PARÂMETROS
DE CIRCUITOS
Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
CIRCUITOS I
1.1 INTRODUÇÃO
Destina-se o primeiro capítulo a fornecer os primeiros conceitos de “Circuitos” abordando
inicialmente as unidades do sistema utilizado e as relações fundamentais de carga, corrente, voltagem,
potência e energia nos circuitos resistivos. Ainda, neste capítulo serão apresentados os diversos tipos
de fontes empregadas e alguns exemplos de aplicação, procurando salientar os aspectos teóricos mais
importantes.
1.2 UNIDADES MECÂNICAS
Ao começar o estudo de circuitos devemos primeiramente definir as grandezas importantes e
adotar um conjunto padrão de unidades, símbolos e abreviações. Grande parte deste material é uma
revisão da Física básica, mas merece cuidadosa atenção porque constitui a “linguagem” na qual as
idéias são apresentadas, os conceitos formados e as conclusões estabelecidas.
A Engenharia Elétrica emprega o Sistema de Unidades MKS racionalizado, no qual o metro é
a unidade de comprimento, o quilograma é a unidade de massa, o segundo é unidade de tempo, o
Kelvin é a unidade de temperatura, o ampère é unidade de corrente e a candela é unidade de
intensidade luminosa. Estas são as unidades básicas das quais podem ser derivadas todas as unidades
utilizadas em circuitos.
As tabelas 1.1 e 1.2 fornecem as grandezas básicas e derivadas.
GRANDEZA
SÍMBOLO
UNIDADE
ABREVIAÇÃO
Comprimento
l
metro
m
Massa
m
quilograma
kg
Tempo
t
segundo
s
Temperatura
τ
Kelvin
K
Corrente
i
ampère
A
Intensidade Luminosa
Ф
candela
Cd
TABELA 1.1 Grandezas Básicas
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GRANDEZA
Força
SÍMBOLO
DEFINIÇÃO
tração ou
compressão
f
UNIDADE
ABREVIATURA ALTERNATIVA
newton
N
kg.m/s2
Energia
w ou W
capacidade de
produzir trabalho
joule
J
N.m
Potência
p ou P
energia por
unidade de tempo
watt
W
J/s
Carga
q ou Q
integral da
corrente
coulomb
C
A.s
ampère
A
C/s
Corrente
i
velocidade de
fluxo de carga
Tensão ou
diferença de
potencial
v
energia por
unidade de carga
volts
V
W/A
Intensidade
de campo
elétrico
ε
força por unidade
de carga
volts/metro
V/m
N/C
Densidade de
fluxo
magnético
B
força por unidade
de quantidade de
movimento da
carga
tesla
T
Wb/m2
Fluxo
magnético
Ф
integral da
densidade de
fluxo magnético
weber
Wb
T.m2
TABELA 1.2 Grandezas Derivadas Importantes
1.3 LEI DE COULOMB
“A força F entre duas cargas puntiformes q e q’ varia diretamente com a grandeza de cada
carga e inversamente com a distância que as separam”.
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Cargas desiguais se atraem:
+
F
q
q'
r
Cargas iguais se repelem:
+
F
+
q
F
q'
r
-
F
-
q
F
q'
r
Figura 1.1 – Atração e repulsão entre cargas.
F =k⋅
q. q ′
r2
(1.1)
k – constante de proporcionalidade
+
F
k=
1
4πε 0
q
para o vácuo
r
ε0 =
+
F
q'
F
C2
10 -9
= 8,85 × 10 − 12 2 ou
m
36π
m N
-
F
q
-
F
q'
r
ε0 – permissividade do vácuo
A equação (1.1) para o vácuo passa a ser:
F=
1
q. q ′
⋅ 2
4πε 0 r
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(1.2)
4
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Para um meio diferente do vácuo:
ε = ε r ε 0 ou ε = kε 0
(1.3)
onde εr=k permissividade relativa.
F=
1 q. q ′
⋅
4πε r 2
Para o ar
(1.4)
εr ≈ ε0
ε r = 1,0006
Para a água destilada
ε r = 80
Para o álcool
ε r = 25
A unidade de carga é o Coulomb cujo símbolo é a letra C.
Os submúltiplos mais utilizados são:
milicoulomb microcoulomb nanocoulumb picocoulomb -
mC
µC
nC
pC
= 10-3C
= 10-6C
= 10-9C
= 10-12C
A tabela 1.3 fornece os múltiplos e submúltiplos desde 10-18 à 1018 .
PREFIXO
ato
fento
pico
nano
micro
mili
centi
deci
deca
hecto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
FATOR
10-18
10-15
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
10
102
103
106
109
1012
1015
1018
SÍMBOLO
a
f
p
n
µ
m
c
d
da
h
k
M
G
T
P
E
TABELA 1.3 Múltiplos e submúltiplos
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A carga de um elétron é igual à carga de um próton e seu valor é 1,602.10-19C sendo a carga do
próton positiva e a do elétron negativa.
1.4 CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA
Carga é propriedade das partículas atômicas que constituem a matéria, medida em Coulombs.
Um deslocamento de cargas elétricas através de uma superfície constitui uma corrente elétrica.
A intensidade de corrente através de uma superfície é dada por:
C
= Ampères
s
dq
dt
i (t ) =
(1.5)
dq Æ soma das cargas que atravessam a superfície considerada.
dt Æ intervalo de tempo.
A linha da figura 1.2a representa um condutor, enquanto que a seta de referência indica uma
direção admitida como positiva para a corrente i1(t). A corrente é definida como positiva se as cargas
positivas estiverem se movendo da direção da seta, ou se cargas negativas estiverem se movendo em
direção contrária.
A corrente é negativa se cargas positivas estiverem se movendo em direção oposta à da seta
ou se cargas negativas se moverem na sua direção. Veja a corrente i2(t) da figura 1.2a .
i1(t)
-
+
i 1 (t )
+
1
-
+
1
2
3
t
3
t
-1
-
+
+
(a)
-
(b)
-
i2(t)
+
-
i 2 (t )
1
+
-
1
2
+
+
-
-1
+
Figura 1.2 – Correntes positivas e negativas.
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Uma corrente é uma função do tempo e, em geral, é positiva durante alguns períodos de
tempo e negativa durante outros (figura 1.2b).
Outra maneira de representarmos as correntes positivas e negativas é através das fontes de
tensão ou corrente.
+
i
Correntes positivas
+
i
Correntes negativas
Figura 1.3 – Sentido convencional das correntes
A corrente através de um condutor é medida por um Amperímetro. Para se medir a corrente
em um ramo de um circuito coloca-se o Amperímetro em série com o circuito. Ver figura 1.4.
R1
A
i1
i3
i2
VA
VA
R2
R3
Figura 1.4 – Medição de corrente com o Amperímetro.
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(Mede-se i3)
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A unidade de corrente é o ampère (A), que corresponde ao movimento de carga à razão de 1
C/s. Usa-se seguidamente alguns submúltiplos do ampère:
mili ampère
micro ampère
nano ampere
pico ampere
-
mA = 10-3A
µA = 10-6A
nA = 10-9A
pA = 10-12A
t
q= ∫ i.dt
(1.6)
t0
Temos vários tipos de correntes, entre a contínua, alternada, exponencial, senoidal amortecida,
etc.. Ver figura baixo.
i
i
i ( t ) = Im . cos( ω t + φ )
Im
i ( t ) = 10 A
10
t
t
(a)
(b)
i
i
i( t ) = Io .e − αt . cos( ω t + φ )
Io
i ( t ) = Io .e − αt
t
t
(c)
(d)
Figura 1.5 – Vários tipos de correntes:
(a) corrente contínua ou c.c. ;
(b) corrente senoidal ou c.a. ;
(c) corrente exponencial;
(d) corrente senoidal amortecida.
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Definimos a seguir elemento de Circuito. Dispositivos elétricos tais como fusíveis, lâmpadas,
resistores, baterias, capacitores e bobinas podem ser representados por uma combinação de elementos
de circuitos muito simples. Começamos por mostrar um elemento de circuito bastante geral e vamos
representá-los como um objeto sem forma definida, possuindo dois terminais através dos quais
conexões com outros elementos podem ser feitos. (Ver figura 1.6).
A
B
Figura 1.6 – Elementos do circuito.
Esta figura pode servir como definição de elemento de circuito. Há dois caminhos através dos
quais a corrente pode entrar e sair do elemento.
1.5 DIFERENÇA DE POTENCIAL v OU VOLTAGEM
A diferença de potencial v entre dois pontos é medido pelo trabalho necessário à transferência
da carga unitária de um ponto a outro.
O VOLT é a diferença de potencial entre dois pontos quando é necessário 1 JOULE de
energia para transferir uma carga unitária (1C) de um ponto a outro.
1 VOLT =
1 JOULE
1 NEWTON.metro
=
1 COULOMB
1 COULOMB
Podemos então definir a diferença de potencial como:
v( t ) =
dw
volts
dq
(1.8)
Para medir a tensão usa-se o VOLTÍMETRO colocando em paralelo com os pontos entre os
quais deseja-se obter a tensão.
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R1
R2
V
R3
VA
Figura 1.7 – Medida de voltagem sobre R2 e R3.
1.6 POTÊNCIA
A potência instantânea p(t) (medida em Watts) fornecida ou consumida por um bipolo
(elemento com dois terminais) relaciona-se com a energia em jogo por:
p(t ) =
dw
dt
(1.9)
Podemos então obter uma expressão para potência instantânea:
p ( t ).dt = dw = v ( t ).dq = v ( t ).i ( t ).dt
(1.10)
p ( t ) = v ( t ).i( t )
Dimensionalmente o lado direito desta equação é o produto de Joules por Coulomb e
Coulomb por segundo, o que produz a dimensão Joules por segundo, ou Watts.
Precisamos agora estabelecer a diferença entre potência fornecida e potência absorvida.
A convenção determina que, se a seta indicativa do sentido da corrente e o sinal de polaridade
de voltagem são colocados nos terminais do elemento, de tal modo que a corrente entra no terminal
marcado com sinal positivo, o elemento está absorvendo potência, ou seja, a fonte está fornecendo
potência ao elemento. Se a corrente sai pelo terminal positivo o elemento está fornecendo potência e a
fonte absorvendo.
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2A
Potência fornecidade pela fonte =
Potência absorvida pelo elemento = 10W
5V
-
2A
Potência fornecida pela fonte =
Potência absorvida pelo elemento = - 10W
5V
+
Figura 1.8 – Potência fornecida e potência absorvida.
Quando a corrente e a voltagem são funções periódicas no tempo é conveniente definir uma
potência média.
P=
1 T
v(t).i(t)dt Watts
T∫0
ou ainda,
P=
1 T2
v(t).i(t)dt Watts
T ∫ -T 2
(1.11)
T = período em segundos.
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A energia consumida ou fornecida a um certo bipolo durante um tempo t, é dada por:
t
t
0
0
W = ∫ p(t).dt = ∫ v(t).i(t) Joules
(1.12)
A energia é medida normalmente em kWh (kilowatt-hora)
1kWh = 3,6x10 6 J
As medidas de potência são geralmente executadas por um WATTIMETRO.
1.7 ELEMENTOS DE CIRCUITOS
Os elementos mais empregados no circuitos elétricos, para os quais daremos atenção especial,
são os resistores, os indutores e os capacitores.
Ao se fornecer energia elétrica a estes elementos, teremos uma das seguintes respostas:
- A energia é consumida – Resistor;
- A energia é armazenada num campo magnético – Indutor;
- A energia é armazenada num campo elétrico – Capacitores;
1.8 LEI DE OHM
+
i(t)
v(t)
R
Figura 1.9 – Resistor linear.
A lei de OHM estabelece a relação entre voltagem e corrente sobre um resistor linear.
v(t ) = R .i (t )
(1.13)
A resistência R é pois a constante de proporcionalidade entre a voltagem e a corrente sobre o
resistor.
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Ao se traçar um gráfico de v x i temos uma reta que passa pela origem e R representa a
inclinação ou coeficiente angular da reta.
A unidade de resistência é o OHM e o símbolo utilizado é a letra ômega Ω.
O inverso de resistência é denominado condutância e é dado por:
G=
1
R
ou S (siemens)
A relação entre corrente e voltagem para condutância é dada por:
i ( t ) = G . v( t )
(1.14)
A potência consumida em um resistor pode ser determinada por:
p(t ) = v.i(t ) = R .i(t ).i(t )
logo,
p(t ) = R .i(t ) 2 =
v( t ) 2
= G . v( t ) 2
R
(1.15)
1.9 FONTES
Além dos resistores, indutores e capacitores, os circuitos elétricos apresentam as fontes que
geralmente são responsáveis pelo fornecimento da energia que ativa os mesmos.
Existem vários tipos de fontes e recebem várias denominações que definiremos a seguir.
1.9.1 Fontes independentes
São aquelas em que a voltagem é completamente independente da corrente ou a corrente
independente da voltagem.
Os símbolos utilizados podem ser observados na fig. 1.10.
V
I
VA
Figura 1.10 – Fontes de tensão e corrente independentes.
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1.9.2 Fontes dependentes ou controladas.
São as fontes onde a voltagem ou a corrente são funções da voltagem ou da corrente em
algum outro ponto do circuito.
A simbologia utilizada para estas fontes pode ser observada na figura 1.11.
αvx
αix
βvx
βix
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 1.11 – Fontes controladas.
Como se observa as fontes controladas podem ser de voltagem ou corrente.
As fontes de voltagem podem ser controladas por voltagem (fig. 1.11a) ou por corrente
(fig. 1.11b). Da mesma forma as fontes de corrente podem ser controladas por voltagem (fig. 1.11c) ou
por corrente (fig. 1.11d).
1.9.3 Fonte de voltagem ideal.
É uma fonte que mantém a voltagem de saída constante qualquer que seja a corrente dela
solicitada. Teoricamente, pode fornecer uma quantidade de energia infinita.
Possui resistência interna nula.
Vs
rs=0
Figura 1.12 – Fonte de voltagem ideal.
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1.9.4 Fonte de voltagem real.
Possui resistência interna não nula (rs≠0) e fornece um nível de voltagem constante nos seus
terminais para determinados limites de corrente. Logo, a quantidade de energia fornecida é limitada.
+
rs
i
rs
+
rs≠0
vs
Figura 1.13 – Fonte de voltagem real.
1.9.5. Fonte de corrente ideal
É uma fonte que mantém a corrente de saída em seus terminais independente da voltagem a
ela aplicada. Teoricamente, pode fornecer uma quantidade de energia infinita. A sua resistência interna
é infinita.
rs=∞
is
Figura 1.14 – Fonte de corrente ideal
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1.9.6. Fonte de corrente real
É uma fonte com resistência interna não infinita (rs≠∞) que fornece uma corrente de saída
constante para determinados níveis de tensão. Logo, fornece uma quantidade de energia limitada.
rs
r
s
is
Figura 1.15 – Fonte de corrente real.
1.10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Uma bateria de 12V é carregada fornecendo-se uma corrente que entra em seu terminal
positivo e que, por 2 horas, é constante e igual a 3A, decrescendo, então, linearmente até
zero, em 1hora. Admitindo que a voltagem da bateria seja constante:
a)
b)
c)
d)
Qual a carga total fornecida à bateria?
Após quanto tempo a potência fornecida é de 24W?
Durante o intervalo de 3 horas, qual a potência média fornecida à bateria?
Qual a energia total fornecida à bateria?
Solução:
i(t)
3
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3600
7200
1
2
10800
(s)
3
t(horas)
16
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a) Nas primeiras duas horas:
q′ = i.t = 3x2x3600 = 21600C
Após a 2ª hora:
q′′ = ∫
10800
7200
i.dt = ∫
10800
7200
3


t + 9 .dt
−
 3600

10800

3t 2
q′′ = −
+ 9t 
7200
 7200
q′′ = −
3
3
× 108002 + 9 × 10800 +
× 72002 − 9 × 7200
7200
7200
q′′ = −4,5 × 10800 + 9 × 10800 + 3 × 7200 − 9 × 7200
q′′ = 5400C
Logo,
q = q′ + q′′ = 27000C
b) Nas primeiras
2h → Pf = 12 × 3 = 36W
Para chegar a 24W a queda é de 12W
36W
36
12
=
3600 t
24W
t = 1200s = 20min
t = 1200 + 7200 = 8400s
t > após 2h e 20 min
7200
Professor Silvio Lobo Rodrigues
t
10800
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c)
1
i.v.dt
T∫
P=
3
1 2

P = ∫ (12 × 3)dt + ∫ 12(− 3t + 9)dt 
2
3 0

P=
{ [(
1
72 + − 18t 2 + 108t
3
)] }= 13 [72 + 18] = 30W
3
2
Pméd = 30W
d)
Em 3 horas :
Pméd = 90Wh
1kWh − − − − − − − 3,6 × 106 J
90Wh − − − − − − − W
W= 324 kJ
2) Determine a potência absorvida em cada um dos elementos abaixo:
+
-0,4A
+
1,2A
60V
-
-8V
+
12V
0,1A
(a)
(b)
100V
24V
0,3A
+
(d)
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(c)
-8e-10t A
0,12A
-
-
+
12V
(e)
+
(f)
18
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Solução:
a)Pa = −12 × 0,4 = −4,8W
b)Pa = 8 × 1,2 = 9,6W
c)Pa = −60 × 0,1 = −6W
d)Pa = 24 × 0,3 = 7,2W
e)Pa = 100 × 0,12 = 12W
(
)
f )Pa = −12 × − 8e −10t = 96e −10t W
3) Qual a potência média P em uma resistência pura de 10Ω onde circula uma corrente
i(t)=14,14cos(ωt) A?
Solução:
p(t ) = v(t ).i(t ) = R.i 2 = 10 × 200cos2 (ωt ) = 2000cos2 (ωt )
O período de p(t) é T=π
P=
1 π
2000cos2 (ωt )dt = 1000W
∫
0
π
4) A carga total que passou para a direita de um ponto A, de um certo condutor entre t=0 e t é
identificada como:
q A (t ) = 100e −200t cos(500t )mC
a) Qual a quantidade de carga que flui pelo ponto A entre t=1ms e t=2ms?
b) Qual a corrente para a direita de A em t=1ms?
c) Agora suponha que a corrente dirigida à direita de A seja i(t) = 2 ( e−5000t − e−8000t ) A
e determine a carga fluindo para a direita entre t=10µs e t=8µs.
Solução:
−3
a) q (1ms) = 100e −200×10 cos(0,5)mC = 71,85mC
A
q A (2ms) = 100e −200×2×10 cos(1)mC = 36,21mC
−3
q A (2ms) − q a (1ms) = 36,21mC − 71,85mC = −35,64mC
b)
[
]
dq
= 100 − e −200t × 500sen(500t ) − 200e − 200t × cos(500t ) mA
dt
i(1ms) = 100 − e −0, 2 × 500sen(0,5) − 200e −0, 2 × cos(0,5) mA
i(1ms) = 100[− 196,26 − 143,7]mA = −34mA
i(t ) =
[
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]
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c)
i A (t) = 2 (e−5000t − e−8000t ) A
t
q(t) = ∫ i(t)dt = ∫
t0
8×10−5
10−5
2 (e−5000t − e−8000t ) dt
8×10−5
1 −5000t
1 −8000t 

q = 2 −
e
e
+
 −5
8000
 5000
10
 0,67 0,527 0, 951 0, 923 
q = 2 −
+
+
−

 5000 8000 5000 8000 
q = 2 [56, 2 − 49,5] µC ≅ 13,4 µC
5) Sendo i(t ) = 4e −50t A
determine :
e
v(t ) = 20 − 30e −50t V
para o elemento de circuito abaixo,
a) Qual a potência absorvida pelo elemento em t=10ms?
b) Qual a energia liberada ao elemento no intervalo 0 ≤ t ≤ ∞?
+
v(t)
i(t)
Solução:
a) p(t ) = v(t ).i(t )
p(0,01) = 20 − 30e −50×0,01 × 4e −50×0, 01
p(0,01) = 48,52 − 44,14 = 4,38W
(
b) E =
)
∞
∫ p(t)dt
E = ∫ (80e
0
∞
0
−50t
)
− 120e−100t dt
∞
120 −100t 
 80
E =  − e−50t +
e
 = 1,6 − 1, 2 = 0, 4J
100
 50
0
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6) Determine quais das cinco fontes na figura abaixo estão sendo carregadas (absorvendo
potência) e mostre que a soma algébrica das cinco potências absorvidas é zero.
-8A
+
20V
15V
-
3A
+
4A
+
15V
-
-5V
9A
-
Solução:
Pa 20V = 20 × 3 = 60W
Pa15V = 15 × 9 = 135W
Pa 3 A = −3 × 5 = −15W
Pa 4 A = −4 × 15 = −60W
Pa 8 A = −15 × 8 = −120W
∑ Pa = 60 + 135 − 15 − 60 − 120 = 0
7) A corrente i(t) mostrada abaixo entra pelo terminal + do elemento de circuito conforme
indicado a seguir. Onde v(t) sobre o elemento é v(t ) = 20 sen(400πt )V .
a) Qual a máxima potência fornecida ao elemento para 0 < t ≤ 2s e quando isto ocorre?
b) Qual a máxima potência fornecida pelo elemento para 0 ≤ t ≤ 2s e quando isto
ocorre?
c) Quanta energia é fornecida ao elemento no intervalo 0 < t < 5ms?
d) Qual a potência média absorvida pelo elemento no mesmo intervalo?
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i(t) A
+
10
i(t)
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(ms)
-
-6
Solução:
a)
p máxf = 20 × 10 = 200W
(t máx ) → sen(400πt ) = 1
ou
400πt =
1
π
→ t máx =
= 1,25ms
2
800
Logo a pmáx fornecida pelo elemento ocorrerá em 1,25ms; 6,25ms; 11,25ms; etc..
0≤t≤2
b)
pmáxf ′ = 20 × 6 = 120W
sen ( 400πt ) =
3π
3
→ t máx =
= 3, 75ms
2
800
Logo a pmáx fornecida pelo elemento ocorrerá em 3,75ms; 8,75ms; 13,75ms; etc..
c)
E=∫
5×10−3
0
p ( t ) dt = ∫
2×10−3
10 × 20sen ( 400πt ) dt − ∫
5×10−3
2×10−3
0
2×10−3
200

E=−
cos ( 400πt )
400π
0
6 × 20sen ( 400πt ) dt
5×10−3
120

cos ( 400πt )
+
400π
 2×10−3
1
3
cos ( 0,8π ) − 1 +
cos ( 2π ) − cos ( 0,8π )

2π
10π 
1 + 0, 6
1
0, 6
1 − cos ( 0, 8π )
1 − cos ( 0,8π ) +
1 − cos ( 0, 8π ) =
E=

2π 
2π
2π
0,8
1 − cos ( 0, 8π ) = 0,46J
E=
π 
E=−
d)
P=
E 0,46J
460
=
= 92W
=
−3
t 5 × 10
5
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8)
As formas de onda v(t) e i(t) sobre um determinado elemento são mostradas abaixo.
a) Represente o gráfico da potência fornecida ao elemento para 0 ≤ t ≤ 1s.
b) Qual a energia total fornecida ao elemento neste intervalo.
i(t)A
v(t)V
v
10
5
i
0,5
1
t(s)
Solução:
20t × 10t = 200t 2 W
a) p(t ) = v(t )× i(t ) = 
10 × (− 10t + 10) = (− 100t + 100)W
0 < t < 0,5
0,5 < t < 1
p(t)W
50
0,5
b)
0,5
1
0
0,5
E = ∫ p (t ) dt = ∫ 200t 2dt + ∫
1
( −100t + 100) dt
0,5
1
 200 3 
E=
t  +  −50t 2 + 100t 
0,5
 3 0
E = 8, 333 − 50 + 100 + 12, 5 − 50 = 20, 833J
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9)
O motor de arranque de um moderno automóvel solicita uma corrente inicial de 200A.
a) Calcular a potência inicial fornecida ao motor de arranque.
b) Se a corrente cai uniformemente a zero em 2s, calcular a energia fornecida ao
motor de arranque desde a partida até a corrente chegar a zero.
Solução:
Considerando bateria de 12V.
a) p(t ) = v(t )× i(t ) = 12 × 200 = 2400W
b) Considerando a corrente em função do tempo:
200
i(t)A
i(t ) = 200 − 100t para 0 < t ≤ 2s
1
2
t(s)
2
1200 2 
W = ∫ v.i.dt = ∫ 12(200 − 100t )dt = 2400t −
t 
0
0
2
0
t
2
W = 2400J
10) O consumo de energia de uma determinada residência por dia é mostrada na figura abaixo.
Determine:
a) A energia total consumida em kWh.
b) A potência média por hora.
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p(t)
1200W
1000W
400W
400W
200W
12
2
4
6
8
10
12
2
4
6
8
10
12
↑ meio dia
a) ε = p(t ).t
ε = 400 × 6 + 1000 × 2 + 200 × 10 + 1200 × 2 + 400 × 4
ε = 2400 + 2000 + 2000 + 2400 + 1600 = 10400J
b) P(t ) = ε = 10400 = 433,33 Watt = 0,433 kW
t
24
h
h
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