CAPITULO 02
LEIS EXPERIMENTAIS
E CIRCUITOS SIMPLES
Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA - FENG
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
CIRCUITOS I
2.1 INTRODUÇÃO
Destina-se o segundo capítulo ao estudo das leis de Kirchnoff e suas aplicações à teoria de
circuitos; associação de resistores; divisor de tensão e corrente; associação de fontes ideais;
transformação de fontes; fontes reais, teorema da máxima transferência de potência e transformação
∆↔Y.
Procuraremos desenvolver neste capítulo os assuntos acima referidos, de forma simples e
objetiva, visando desenvolver no aluno habilidade e rapidez na análise de circuitos.
As leis de Kirchnoff constituem o alicerce básico da teoria de circuitos. Este capítulo é,
portanto, de grande importância, e os alunos devem dedicar-lhe atenção especial.
2.2 LEIS DE KIRCHNOFF
Antes de enunciarmos as leis de Kirchnoff alguns comentários e algumas definições se fazem
necessários.
Os elementos serão conectados por condutores elétricos ou cabos que possuem resistência
nula, ou seja, condutores perfeitos. Uma rede constituída por elementos simples e fios conectores é
chamada de rede de parâmetros concentrados. Um problema de análise mais difícil existe quando
temos uma rede de parâmetros distribuídos, e que contêm, essencialmente, um número infinito de
pequenos elementos cujo efeito vai desaparecendo lentamente.
Um ponto onde dois ou mais elementos tem uma conexão comum é chamado nó. A figura 2.1
mostra um circuito contendo três nós.
.
.
1
.
.
1
.
3
3
.
.
2
2
Figura 2.1 – Circuito contendo 3 nós e 5 ramos.
Um outro termo de uso freqüente é ramo. Podemos definir o ramo como sendo um caminho
único contendo um elemento simples e que conecta um nó a outro nó qualquer. O circuito da figura 2.1
tem 5 ramos.
Um loop é qualquer caminho fechado em um circuito. Um loop é dito independente se ele
contiver um ramo que não pertença a qualquer outro loop.
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CIRCUITOS I
Um caminho com b ramos, n nós e l loops independente, irá satisfazer o teorema fundamental
da topologia de circuitos.
(2.1)
b = l + n −1
Na figura 2.1 temos 3 loops independentes apesar de identificarmos um total de 6 loops.
Podemos agora enunciar a 1° Lei de Kirchnoff, que é chamada Lei das Correntes.
“ A soma algébrica de todas as correntes entrando em qualquer nó é zero”.
iA
iB
iC
iA+ iB+ iC=0
Figura 2.2 – Circuito contendo 3 nós e 5 ramos.
Outras maneiras de enunciar a lei das correntes seriam:
“ A soma algébrica das correntes deixando um nó é zero” ,
ou ainda,
“ A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual a soma algébrica das
correntes que saem do mesmo nó”.
iB
iA
iD
iA + iB – iC – iD = 0
iC + iD – iA – iB = 0
iA + iB = iC + iD
iC
Figura 2.3 – Correntes chegando e saindo de um nó.
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CIRCUITOS I
Uma expressão mais compacta:
N
∑i
n
(2.2)
=0
n =1
Por convenção vamos considerar as correntes que saem do nó com sinal (+) e as que entram
com sinal (-).
Enunciamos a seguir a 2ª lei de Kirchoff, a lei das voltagens.
“A soma algébrica de todas as voltagens existentes em um caminho fechado ou loop é
zero”.
v2
-
+
+
+
v3
v1
-v1 + v2 + v3 = 0
v1 = v2 + v3
-
-
Figura 2.4 – Lei de voltagem de Kirchoff.
Uma expressão mais compacta:
N
∑v
n
=0
(2.3)
n =1
Exemplo:
No circuito que segue vamos aplicar as leis de Kirchoff para determinar a voltagem v e a
corrente i sobre o elemento X e calcular a potência absorvida pelo mesmo elemento.
2Ω
.
1
i2Ω
i3Ω
.3
5A
3Ω
2A
.
2
3A
10V
i
+
X
-
+
-
4A
.4
v
Figura 2.5 – Exemplo de aplicação das leis de Kirchoff.
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Aplicando a lei das correntes no nó 4:
i = 5 + 4 = 9A
Para determinarmos a voltagem v precisamos obter a corrente sobre os resistores de 2Ω e 3Ω e
com isso aplicar a lei das voltagens ao circuito.
Assim sendo, no nó 3:
i 2 Ω = 5 + 4 + 3 = 12A
No nó 1:
i 3 Ω = 12 + 2 − 3 = 11A
Aplicando a lei das voltagens:
v-10+ ( 2×12 ) + ( 3×11) =0 ; v = -47V
A potência absorvida pelo elemento X:
Pa = −47 × 9 = −423W
Logo, o elemento X está fornecendo 423W.
2.3 APLICAÇÃO DA LEI DE KIRCHOFF A CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES
Tomemos como exemplo o circuito abaixo e façamos uma análise do mesmo utilizando a lei
de voltagens. Vamos determinar a corrente sobre os elementos, a tensão vx e a potência fornecida e
absorvida pelos elementos do circuito.
5Ω
i
0,4 vX
300V
40V
-
vX +
100Ω
Figura 2.6 – Aplicação da lei das tensões a circuito com uma malha e fonte dependente.
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Aplicando a lei das tensões:
-300 -0,4v x + 5i + 40 + v x = 0
v x = 100i
Resolvendo o sistema:
-260 − 40i + 5i + 100i = 0
i=
260
= 4A
65
Logo:
v x = 400V
A potência fornecida pela fonte de 300W:
Pf300 = 300 × 4 = 1200W
A fonte 0,4vx está fornecendo potência:
Pf0,4vx = 0, 4v x ⋅ i = 0, 4 × 400 × 4 = 640W
A potência absorvida pelo resistor de 5Ω é:
Pa5Ω = 5 ⋅ i 2 = 5 × 16 = 80W
A fonte de 40V está absorvendo potência:
Pa40V = 40 × 4 = 160W
A potência absorvida pelo resistor de 100Ω:
Pa100Ω = 100 ⋅ i 2 = 100 × 16 = 1600W
Devemos agora verificar se a soma das potências fornecidas é igual a soma das potências
absorvidas para comprovação do princípio de conservação de energia.
∑P
∑P
f
= 1200 + 640 = 1840W
a
= 80 + 160 + 1600 = 1840W
Com isto fizemos uma análise completa do comportamento de cada um dos elementos do
circuito e comprovamos que a potência fornecida é igual à potência consumida.
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Tomemos um novo exemplo para o qual faremos a mesma análise do exemplo anterior. O
exemplo que se segue é de um circuito com um único par de nós possuindo também fontes
dependentes.
5
+
v1
-
3mA
6
20v1
10
13mA
Figura 2.7 – Aplicação da lei dos nós a um circuito com dois nós e fontes dependentes.
Como se verifica, a voltagem v1 aplicada sobre a condutância de 5 está também aplicada
sobre todos os elementos do circuito. Considerando que a corrente sobre as condutâncias estão com a
seta dirigida para o nó inferior e aplicamos a lei dos nós.
5v1 − 0, 003 + 6v1 − 20v1 + 10v1 + 0, 013 = 0
21v1 − 20v1 = −0, 010
v1 = −0, 01V
Podemos agora determinar as correntes sobre as condutâncias assim como a potência fornecida
ou consumida por cada um dos elementos.
Na condutância de 5
:
i 5 = 5v1 = −0, 05A
Pa5 = 5v12 = 5 × ( −0, 01) = 5 × 10−4 W
2
Na condutância de 6
:
i 6 = 6v1 = −0, 06A
Pa6 = 6v12 = 6 × ( −0, 01) = 6 × 10−4 W
2
Na condutância de 10
:
i10 = 10v1 = −0,1A
Pa10 = 10v12 = 10 × ( −0, 01) = 10−3 W
2
Potência fornecida pela fonte de 3mA:
Pf = 0,003v1 = -0,3 × 10-4 W ; Pa = 0,3 × 10-4 W
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Potência fornecida pela fonte de 13mA:
Pf = - 0, 013v1 = 1, 3 × 10-4 W
Potência fornecida pela fonte dependente:
Pf = 20v1 × v1 = 20v12 = 20 ( −0, 01) = 20 × 10-4 W
2
Fazemos agora o balanço das potências:
∑P
∑P
f
= 1, 3 × 10−4 + 20 × 10−4 = 21, 3 × 10−4 W
a
= 5 × 10−4 + 6 × 10−4 + 10 × 10−4 + 0, 3 × 10−4 = 21, 3 × 10−4 W
Verifica-se, pois o equilíbrio entre as potências fornecidas e absorvidas.
2.4 ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE E EM PARALELO
Consideremos, inicialmente, a associação série de N resistores, mostrados na figura 2.8.
i
R1
R2
+ v1 -
+ v2 -
. . .
RN
+ VN -
vS
(a)
i
vS
Req
(b)
Figura 2.8 – Associação em série de resistores e CKT equivalente.
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Mostraremos que N resistores em série podem ser substituídos por um resistor equivalente.
vs = v1 + v 2 + .......... + v N
vs = R1i + R 2i + ...... + R N i
vs = ( R1 + R 2 + ...... + R N ) i
Da figura 2.8 podemos escrever:
vs = R eq ⋅ i
Logo, comparando das equações:
R eq = R1 + R 2 + R 3 .......... + R N
(2.4)
Um circuito contendo N condutâncias em paralelo, como na figura 2.9 nos permite determinar
o equivalente de várias resistências em paralelo.
v
i2
G1
G2
(a)
iN
GN
. . .
iS
i1
. . .
+
+
iS
v
Geq
(b)
Figura 2.9 – Associação paralela de condutâncias e CKT equivalente.
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Aplicando a lei das correntes de Kirchoff:
i s = i1 + i 2 + .......... + i N
i s = G1 v + G 2 v + ...... + G N v
i s = (G1 + G 2 + ...... + G N ) v
Do CKT equivalente:
i s = G eq ⋅ v
Comparando as equações:
(2.5)
G eq = G1 + G 2 + G 3 .......... + G N
Em termos de resistências:
1
1
1
1
1
.......... +
=
+
+
R eq R1 R 2 R 3
RN
R eq =
1
(2.6)
 1
1
1
1 
.......... +
+
+


RN 
 R1 R 2 R 3
Para o caso particular em que temos apenas dois resistores em paralelo como na figura 2.10,
teremos:
R1
R2
Figura 2.10 – Paralelo de dois resistores.
R eq =
1
 1
1 
+


 R1 R 2 
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=
R1R 2
R1 + R 2
(2.7)
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Para 3 resistores em paralelo como na figura 2.11:
R2
R1
R3
Figura 2.11 – Paralelo de três resistores.
R eq =
1
 1
1
1 
+
+


 R1 R 2 R 3 
=
R1 R 2 R 3
R1 R 2 + R 2 R 3 + R1R 3
(2.8)
Exemplo: Vamos determinar a Req para os circuitos da figura 2.12a e 2.12b.
25Ω
.
.
100Ω
100Ω
.
.
.
100Ω
100Ω
Req
(a)
.
.
400Ω
.
100Ω
.
.
10Ω
.
Req
.
20Ω
.
100Ω
30Ω
.
80Ω
100Ω
.
(b)
Figura 2.12 – Exemplos de associação de resistores em série e paralelo.
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Solução:
Determinamos primeiramente a Req do CKT da figura 2.12a:
.
.
50Ω
.
50Ω
100Ω
Req
.
.
100Ω
Req
.
.
.
50Ω
100Ω
50Ω
.
.
.
.
.
.
100Ω
Req
50Ω
.
.
.
Req
Logo, Req = 50Ω
Para o CKT da figura 2.12b:
Inicialmente realizamos o paralelo dos resistores de 400Ω e 100Ω.
R eq ' =
400 × 100 40000
=
= 80Ω
400 + 100
500
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.
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O CKT fica então:
25Ω
25Ω
10Ω
20Ω
80Ω
10Ω
100Ω
100Ω
30Ω
30Ω
80Ω
100 // 25 =
100Ω
80Ω
100 ⋅ 25
= 20Ω
100 + 25
20Ω
10Ω
10Ω
100Ω
30Ω
Req
50Ω
80Ω
30Ω
90Ω
Logo Req = 90Ω
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2.5 DIVISOR DE VOLTAGEM E DIVISOR DE CORRENTE
Uma divisão de voltagem ocorre quando uma fonte de tensão dependente ou independente é
conectada em série com dois ou mais resistores.
+vA
v1
+
-
i
R1
i
R2
v
+
R1
v2
R2
(a)
v3
R3
0
(b)
Figura 2.13 – Divisores de voltagem.
Da figura 2.13a temos:
v = ( R1 + R 2 ) i
v 2 = R 2i
∴ i=
v2
R2
Levando na 1ª equação:
v = ( R1 + R 2 ) ⋅
v2
R2
A voltagem sobre R2 é:
v2 =
R2
⋅v
R1 + R 2
(2.9)
A voltagem sobre R1 é:
v1 =
R1
⋅v
R1 + R 2
(2.10)
No circuito da figura 2.13b podemos escrever a tensão sobre R3:
v3 =
R3
⋅ vA
R1 + R 2 + R 3
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(2.11)
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Uma divisão de corrente ocorre quando uma fonte de corrente em paralelo, com duas ou mais
resistências.
i1
R1
iS
+
i2
R2
v
i1
iS
R1
i2
R3
R2
(a)
i3
+
v
(b)
Figura 2.14 – Divisores de corrente.
Da figura 2.14a:
 R ⋅R 
v =  1 2  ⋅ i s ; v = R 1 ⋅ i1
 R1 + R 2 
 R ⋅R 
R 1 i1 =  1 2  ⋅ i s
 R1 + R 2 
A corrente sobre R1 é:
i1 =
R2
⋅ is
R1 + R 2
(2.12)
A corrente sobre R2 é:
i2 =
R1
⋅ is
R1 + R 2
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(2.13)
15
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Para o divisor de corrente da figura 2.14b:


R 2R 3
i1 = 
 ⋅ is
R
R
R
R
R
R
+
+
2 3
1 3 
 1 2


R1R 3
i2 = 
 ⋅ is
R
R
R
R
R
R
+
+
2 3
1 3 
 1 2


R1R 2
i3 = 
 ⋅ is
R
R
R
R
R
R
+
+
2 3
1 3 
 1 2
é a corrente sobre R1
(2.14)
é a corrente sobre R2
(2.15)
é a corrente sobre R3
(2.16)
2.6 ASSOCIAÇÃO DE FONTES IDEAIS
2.6.1 FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE
Duas ou mais fontes de tensão independentes colocadas em série podem ser substituídas por
uma única fonte, cujo valor será a soma de todas as fontes.
v1
veq
vN
v2
...
Figura 2.15 – Ligação série de fontes de tensão.
veq = v1 + v 2 + ......... + v N
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(2.17)
16
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2.6.2 FONTES DE TENSÃO EM PARALELO
Não tem sentido a ligação em paralelo de duas ou mais fontes de tensão ideais uma vez que
toda fonte de tensão mantém inalterada a sua tensão nominal, e a ligação em paralelo obrigaria a que
todas as fontes tivessem a mesma tensão nominal.
...
v1
v2
vN
...
Figura 2.16 – Ligação paralelo de fontes de tensão.
2.6.3 FONTES DE CORRENTE EM PARALELO
Duas ou mais fontes de corrente colocadas em paralelo podem ser substituídas por uma única
fonte de corrente cujo valor é igual à soma de todas as fontes.
...
i1
i2
iN
ieq
...
Figura 2.17 – Ligação paralela de fontes de corrente.
i eq = i1 + i 2 + ......... + i N
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(2.18)
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2.6.4 FONTES DE CORRENTE EM SÉRIE
Da mesma forma que a ligação em paralelo de duas ou mais fontes de tensão não tem sentido a
ligação em série de duas ou mais fontes de corrente, uma vez que toda fonte mantém a sua corrente
nominal o que obrigaria a todas as fontes terem o mesmo valor nominal.
i1
i2
iN
...
Figura 2.18 – Ligação série de fontes de corrente.
2.6.5 FONTE DE TENSÃO EM SÉRIE COM FONTE DE CORRENTE
Qualquer que seja a fonte ideal de tensão colocada em série com uma fonte de corrente não vai
alterar a intensidade da corrente de modo que, se não estamos interessados no cálculo da potência
fornecida pelas fontes, a fonte de tensão pode ser suprimida.
v
i
i
Figura 2.19 – Ligação série de fontes de tensão e corrente.
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18
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2.6.6 FONTE DE TENSÃO EM PARALELO COM FONTE DE CORRENTE
Qualquer que seja a fonte ideal de corrente colocada em paralelo com uma fonte de tensão não
vai alterar a voltagem na ligação, de modo que se não estamos interessados no cálculo da potência
fornecida pelas fontes, a fonte de corrente pode ser suprida.
v
v
i
Figura 2.20 – Ligação paralela entre fontes de tensão e corrente.
2.7 TRANSFORMAÇÕES DE FONTES
Até o presente momento nosso estudo limitou-se ao emprego de fontes ideais. Vamos agora nos
aproximar um pouco mais da realidade estudando o modelo e o comportamento de uma fonte real.
Uma fonte real de tensão apresenta uma resistência interna que é representada em série com a
fonte propriamente dita de modo que o valor da tensão em seus terminais é ligeiramente inferior ao
valor nominal.
Na figura 2.21a temos uma fonte real de tensão com valor nominal V, resistência interna rs e
tensão disponível em seus terminais v.
vL(V)
rs
v
V
0,01
+
12V
+
iL
vL
RL
12
9
6
3
(a)
-
0,02
(b)
(c)
Figura 2.21 – Fonte real de tensão.
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0,04
19
0,06
RL
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Na figura 2.21b temos uma bateria de 12V representada como uma fonte de tensão real com
uma resistência interna de 0,01Ω ligada a uma carga RL.
Na figura 2.21c podemos observar o comportamento dessa fonte real e verificar que o valor da
tensão sobre a carga mais se aproxima de 12V à medida que aumenta a relação RL/rs.
Para uma fonte de tensão real conforme a figura 2.22, temos:
rs
V
+
iL
vL
RL
-
Figura 2.22 – Fonte de tensão real ligada a uma carga RL.
vL =
RL
⋅V
rs + R L
iL =
V
rs + R L
(2.19)
(2.20)
Uma fonte real de corrente apresenta uma resistência interna em paralelo com a fonte
propriamente dita, geralmente de valor elevado, de modo que a corrente fornecida à carga RL é
ligeiramente inferior ao valor nominal da fonte.
iL
iL
+
i
rs
I
I
rs
RL
vL
I
0,5I
(a)
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rs
(b)
20
2rs
(c)
3rs
RL
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Figura 2.23 – Fonte real de corrente.
Na figura acima podemos observar o comportamento de uma fonte real de corrente, e notamos
que a corrente sobre a carga diminui à medida que aumenta a relação RL/rs.
Da figura 2.23b temos:
vL =
rs R L
⋅I
rs + R L
iL =
rs
⋅I
rs + R L
(2.21)
(2.22)
Tanto as fontes reais de tensão como as de corrente fornecem quantidades de energia limitada.
Vamos agora estabelecer a equivalência entre estas duas fontes reais.
Duas fontes são equivalentes se produzirem as mesmas tensões e correntes a uma mesma carga
ligada em seus terminais. Deve-se observar cuidadosamente que, embora fontes equivalentes forneçam
as mesmas tensões, correntes e potências a cargas idênticas, as potências que as fontes ideais fornecem
e as potências que as resistências internas absorvem podem ser diferentes.
rs
V
i
+
v
i
I
-
rs
+
v
-
Figura 2.24 – Fontes equivalentes.
Da figura 2.24a:
(2.23)
v = V − rs i
Da figura 2.24b:
v = rs I − rs i
(2.24)
Comparando as equações 2.22 e 2.23 chegamos a condição de equivalência entre as fontes.
V = rs I
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(2.25)
21
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2.8 CONDIÇÃO DE MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA PARA UMA FONTE
REAL
Um dos problemas que seguidamente nos deparamos é a obtenção do valor da carga que
absorve a máxima potência de uma fonte real.
O valor desta carga pode ser obtido pela aplicação do teorema do valor máximo que estabelece
que a primeira derivada igual a zero é um ponto de máximo.
Logo, diferenciaremos a expressão da potência entregue à carga em relação a carga e fazemos:
dpL
=0
dR L
(2.26)
Para uma fonte real de tensão temos:
p L = R L ⋅ (i L ) = R L
V2
2
(rs + R L )
2
2
2
dp L (rs + R L ) V − V R L 2 (rs + R L )
=
4
dR L
(rs + R L )
2
Igualando a zero:
2R L (rs + R L ) = (rs + R L )
2
Donde chegamos a condição de M.T.P.:
(2.27)
rs = R L
Logo, a potência máxima é:
V2
pL =
4R L
(2.28)
2.9 TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO
Na análise de circuitos ocorrem situações nas quais os resistores não estão nem em série e nem
em paralelo.
Um exemplo é o circuito da figura 2.25. Como se combinam os resistores R1 e R6 se eles não
estão nem em série nem em paralelo?
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CIRCUITOS I
.
R1
R2
.
+
vs
R3
-
R4
R5
.
.
R6
Figura 2.25 – Circuito em ponte.
Muitos circuitos deste tipo podem ser simplificados utilizando-se circuitos equivalentes de três
terminais. Estes circuitos são do tipo estrela (Y ou T) ou do tipo em delta ( ∇ ), ou pi (π) ou triângulo
como se vê nas figuras 2.26 (a) e (b).
R1
.
3
R2
.
Rb
R3
2
.
1
3
1
Rc
.
4
2
Ra
.
(a)
.
4
(b)
Figura 2.26 – a)Circuito estrela b)Circuito delta.
Estes circuitos aparecem puramente nesta forma ou como parte de circuitos maiores, sendo
utilizados em circuitos trifásicos, filtros e circuitos de reconhecimento.
2.9.1 CONVERSÃO DE TRIÂNGULO PARA ESTRELA
Quando é mais conveniente trabalhar com o circuito em estrela no local em que o circuito
contém uma configuração triângulo, encontram-se as resistências para o circuito estrela usando as
equações de transformação obtendo-se as resistências equivalentes a partir da comparação dos
circuitos vistos na figura 2.27.
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CIRCUITOS I
Rc
.
R1
.
R2
.
Rb
R3
Ra
.
Figura 2.27 – Sobreposição dos circuitos Y e ∆ para auxiliar
na transformação de uma configuração para a outra.
Cada resistor no circuito Y é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do ∆ dividido
pela soma dos três resistores do ∆.
R1 =
Rb Rc
Ra + Rb + Rc
(2.29)
R2 =
Ra Rc
Ra + Rb + Rc
(2.30)
R3 =
Ra Rb
Ra + Rb + Rc
(2.31)
2.9.2 CONVERSÃO DE ESTRELA PARA TRIÂNGULO
Cada resistor no circuito ∆ é a soma de todos os possíveis produtos dos resistores de Y dois a
dois, dividido pelo resistor oposto do circuito Y.
Ra =
R1 R 2 + R 2 R 3 + R1R 3
R1
(2.32)
Rb =
R1 R 2 + R 2 R 3 + R1R 3
R2
(2.33)
Rc =
R1 R 2 + R 2 R 3 + R1R 3
R3
(2.34)
Os circuitos em Y e ∆ são ditos balanceados quando R1 = R2 = R3 = RY e Ra = Rb = Rc = R∆.
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CIRCUITOS I
Com estas condições, as equações de conversão se reduzem a:
RY =
R∆
3
ou
(2.35)
R ∆ = 3R Y
Note que na transformação não retiramos nem colocamos nada no circuito. Simplesmente
substituímos circuitos de três terminais diferentes, mas matematicamente equivalentes, para criar um
circuito no qual os resistores estejam em série ou em paralelo, permitindo calcular Req, se necessário.
3.0 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1- a) Começando com a fonte de corrente à direita faça repetidas transformações de fontes e
associação de resistores para determinar a potência fornecida pela fonte de 24V.
b) Qual a potência fornecida pela fonte 18A?
6Ω
4Ω
6Ω
3Ω
24V
1Ω
2Ω
18A
Solução:
a)
6Ω
24V
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4Ω
3Ω
1Ω
6Ω
2Ω
36V
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CIRCUITOS I
6Ω
4Ω
6Ω
3Ω
24V
6Ω
3Ω
4Ω
12A
2Ω
3Ω
24V
24V
6Ω
3Ω
24V
6Ω
4A
2Ω
6Ω
i
8V
24V
−24 + 8i + 8 = 0
i = 2A
Pf 24V = 24 × 2 = 48W
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CIRCUITOS I
b) Começando a simplificação pela fonte de 24V:
4Ω
6Ω
4A
3Ω
2Ω
1Ω
6Ω
18A
1Ω
4Ω
8V
2Ω
6Ω
2Ω
18A
1Ω
8
A
6
3Ω
i
4V
2Ω
4Ω
i1
2Ω
18A
+
v
18A
-
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CIRCUITOS I
+
8
Ω
6
1A
v
18A
-
8
76
v = × 19 = V
6
3
76
Pf 18A = v × 18 = × 18 = 456W
3
Pf 18A = 456W
2- Uma bateria de automóvel é capaz de fornecer 20A à 12,3V e 50A à 12V.
a)
b)
c)
d)
Represente a bateria como fonte real.
A que resistor a bateria fornecerá a máxima potência?
Quanto é essa potência?
Nessas condições, qual é a potência dissipada na resistência interna da bateria?
Solução:
a)
i
V
rs
+
v
-
RL
V = rs i + v
V = 20rs + 12, 3
V = 50rs + 12
Dados:
20A à 12,3V
50A à 12V
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CIRCUITOS I
Então:
20rs + 12, 3 = 50rs + 12
rs = 0, 01Ω
V = 20 × 0, 01 + 12, 3 = 12, 5V
0,01Ω
12,5V
b) Pelo teorema de M.T.P RL = rs.
Logo, RL = 0,01Ω
c)
P = R Li 2
i
12,5V
0,01Ω
0,01Ω
d) A potência dissipada em rs é a mesma que na carga, PR L = 3906, 25W
3- Um circuito contém 4 nós, A,B,C e D. Há seis ramos, um ligando cada par de nós. Seja iAB
a corrente dirigida do nó A para o nó B e através do elemento que liga A a B. Dados, então
iAB = 16 mA e iDA = 39 mA, determine iAC, iBC e iBD se:
a) iCD = 23 mA
b) iCD = -23 mA
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CIRCUITOS I
iAC
B
A
C
iAB=16mA
4 nós
6 ramos
iBC
iBD
iCD
iDA=39mA
D
Solução:
a) Se iCD = 23 mA
Pela lei dos nós.
Nó A : i DA = i AB + i AC → i AC = 39 − 16 = 23mA
Nó C : i BC + i AC = i CD → i AC = 23 − i BC
(1)
Nó B : i AB = i BC + i BD → 16 = i BC + i BD
(2)
Nó D : i BD + i CD = i DA → i BD = 39 − 23 = 16mA
Na equação (2)
Na equação (1)
i BC = 16 − 16 = 0mA
i AC = 23 − 0 = 23mA
c) Se iCD = -23 mA
Pela lei dos nós.
Nó A : i AC = i DA − i AB → i AC = 39 − 16 = 23mA
Nó D : i DA = i BD + i CD → i BD = 39 + 23 = 62mA
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CIRCUITOS I
Nó B : i AB = i BD + i BC → i BC = i AB − i BD
i BC = 16 − 62 = −46mA
Nó C : i AC + i BC = i CD → i AC = i CD − i BC = −23 + 46
i AC = 23mA
4- Uma bateria de 12V é conectada a uma carga de 5,5Ω por um fio cuja resistência é de 0,5Ω.
Determine:
a) Pcarga .
b) Pfio.
c) Rendimento = η =
Pcarg a
Pcarg a + Pfio
Solução:
0,5Ω
5,5Ω
12V
i=
12
= 2A
5, 5 + 0, 5
a)
Pcarga = 5, 5 × 22 = 22W
b)
Pfio = 0,5 × 22 = 2W
c)
η=
22
22
=
= 0, 91667
22 + 2 24
η = 91, 67%
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CIRCUITOS I
5- O circuito da figura abaixo é utilizado para controlar a velocidade de um motor, de tal
maneira que o motor drena corrente de 5A, 3A, e 1A quando a chave esta nas posições
ALTA, MÉDIA,e BAIXA, respectiva,ente o motor pode ser modelado como uma
resistência de carga de 20mΩ. Determine as resistências de queda R1, R2 e R3.
10A 0,01Ω
BAIXA
R1
MÉDIA
ALTA
FUSÍVEL
R2
6V
R3
MOTOR
Solução:
a) Com a chave na posição ALTA.
6 = 5 (0, 01 + R 3 + 0, 02 )
1, 2 = 0, 03 + R 3 → R 3 = 1,17Ω
b) Com a chave na posição MÉDIA.
6 = 3 (0, 01 + R 2 + 1,17 + 0, 02 )
2 = R 2 + 1, 20 → R 2 = 0, 8Ω
c) Com a chave na posição BAIXA.
6 = 1 ( 0, 01 + R1 + 0, 8 + 1,17 + 0, 02 )
6 = R1 + 2 → R1 = 4Ω
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CIRCUITOS I
6- Um modelo de amperímetro consiste de um amperímetro ideal em série com um resistor de
20Ω . Ele é conectado a uma fonte de corrente e a um resistor desconhecido RX como
mostrado na figura abaixo.
A medição do amperímetro é anotada. Quando o potenciômetro R é acionado e ajustado até
que a leitura do amperímetro caia para a metade da leitura anterior, então o valor de
R=65Ω
Ω .Qual o valor de RX?
20Ω
Modelo
do
Amperímetro
A
I
R
.
.
RX
Solução:
Sem o potenciômetro toda a corrente I da fonte passa pelo amperímetro.
Quando o potenciômetro R = 65Ω
Ω é ligado apenas I/2 é medida no amperímetro. Isto significa
que a outra metade passa pelo potenciômetro. Como as correntes ficam iguais significa que as
resistências em paralelo são iguais, Logo:
20 + R X = 65
R X = 45Ω
7- a) Calcular a corrente i do circuito da figura que se segue.
b) Um amperímetro com uma resistência interna de 1Ω
Ω é inserido no circuito para medir i’
como mostrado abaixo. Qual o valor de i’?
c) Calcule o percentual de erro introduzido pelo medidor.
i − i′
× 100%
i
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33
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CIRCUITOS I
16Ω
16Ω
i
1Ω
A
i’
60Ω
40Ω
4V
40Ω
4V
60Ω
Solução:
4
4
=
= 0,1A
16 + 40 // 60 16 + 24
a)
i=
b)
i′ =
4
4
=
= 0, 09756A
16 + 1 + 40 // 60 41
0,1 − 0, 097561
× 100% = 2, 439%
0,1
c)
8- Calcule Req e I no circuito abaixo.
2Ω
4Ω
1Ω
6Ω
I
4Ω
6Ω
I
12Ω
20V
8Ω
Req
12Ω
2Ω
20V
8Ω
4Ω
10Ω
5Ω
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2Ω
4Ω
3Ω
10Ω
3Ω
34
8Ω
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CIRCUITOS I
Solução:
Transformando de ∇ Æ Y a parte inferior:
4Ω
6Ω
4Ω
3Ω
6Ω
3Ω
12Ω
12Ω
2Ω
8Ω
20V
20V
9,188Ω
3,4545Ω
1,4545Ω
1,818Ω
3,636Ω
3,636Ω
Transformando de ∇ Æ Y o triângulo central:
4Ω
6Ω
3Ω
4,474Ω
1,682Ω
20V
1,288Ω
3,636Ω
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35
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
CIRCUITOS I
4Ω
4Ω
4,682Ω
10,474Ω
3,2356Ω
i
20V
20V
4,924Ω
4,924Ω
i
20V
Req=12,25Ω
i=
20
= 1, 632A
12, 25
9- Para o circuito que segue determine o número de ramos, de nós e de loops independentes.
.
5Ω
.
2Ω
5i
.
.
4Ω
10V
i
6Ω
3Ω
.
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36
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CIRCUITOS I
Solução:
n = 5 nós, b = 7 ramos e l = 3 loops independentes.
b = l + n −1
10- Determine de v1 a v4 no circuito abaixo:
.
+
v1
-
-
+
v2
12V
+
-
+
.
8V
-
.
-
6V
+
.
-
+
10V
v4
-
+
+
v3
-
.
Solução:
a)
v1 + 12 − 8 = 0 → v1 = −4V
b)
− v 2 + 6 − 12 = 0 → v 2 = −6V
c)
− v 4 + 8 − 10 = 0 → v 4 = −2V
d)
v 3 + 6 − 10 = 0 → v 3 = 4V
Professor Silvio Lobo Rodrigues
37