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Artigo compilado do texto da disciplina BIO-212 Processos Evolutivos USP Genética de Populações http://dreyfus.ib.usp.br/bio212/
Genética de populações
A genética de populações e suas relações com a Evolução
Durante os últimos anos temos assistido a uma explosão na quantidade de
informações tanto sobre a variabilidade genética das populações como sobre a
quantidade de diferenciação genética existente entre as espécies atuais. Os
dados obtidos por técnicas de Biologia Molecular têm se avolumado de tal
maneira que existe um consenso entre os especialistas sobre a necessidade de
métodos de análise mais poderosos ou até mesmo de suporte teórico novo para
se poder lidar com tamanha massa de dados.
Por
outro
lado,
a
preocupação
crescente
com
a
diminuição da
biodiversidade tem levantado questões sobre tópicos como a fragilidade
genética de populações pequenas, estratégias genéticas para a conservação de
espécies ameaçadas e problemas correlatos, que naturalmente demandam
informações sobre a estrutura genética de populações naturais.
Estes problemas atuais necessariamente se baseiam numa área específica e
recente da Ciência como um todo, mas antiga se considerarmos o
desenvolvimento da genética: a genética de populações. A seguir traçaremos
um pequeno histórico do seu desenvolvimento.
O trabalho mais importante de Charles Robert Darwin (1809-1882), "A
origem das espécies", e o trabalho de Alfred Russell Wallace forneceram uma
base fenomenológica para o processo de evolução orgânica. "A origem",
publicada em 1859, quando o autor contava com 50 anos de idade, provocou,
sem dúvida, um grande impacto. A primeira edição da obra, com 1.250
exemplares, esgotou no primeiro dia de publicação, 22 de novembro, e até
1876, somente na Inglaterra, já haviam sido vendidos 16.000 exemplares. Isso
não significa que Darwin só tenha recebido aplausos; muito pelo contrário,
esta obra encontrou violenta oposição, não exatamente de natureza
científica, mas de caráter emocional por parte da Igreja Anglicana (liderada
inicialmente pelo bispo Wilberforce) e por parte da sociedade leiga, por não
se admitir a idéia da origem do homem a partir de primatas. Essa resistência
persiste até hoje em alguns grupos de religiosos fundamentalistas,
principalmente os criacionistas, que defendem a interpretação bíblica "ipsis
litteris" da criação do mundo e dos seres vivos. A Igreja Católica admitiu,
após quase 100 anos de resistência, através da Encíclica Papal "Humanis
Genesis" (1951), a ascendência biológica do homem. Em 1997, através de
comunicado do papa João Paulo II, a Igreja Católica deixou de considerar a
evolução biológica como uma teoria científica e passou a considerá-la como
um fato.
Na comunidade científica a teoria de Darwin foi aos poucos encontrando
abrigo e se tornando cada vez mais uma fonte de inspiração para o
desenvolvimento de novas pesquisas. Além disso, a teoria da evolução, com a
devida complementação que mais tarde a genética lhe emprestou, permitiu uma
visão unificada de toda a Biologia. Os primeiros grandes defensores e
divulgadores da teoria da evolução foram Thomas H. Huxley (avô do biólogo
Julian Huxley e do escritor Aldous Huxley), na Inglaterra, e Ernst H.
Haeckel na Alemanha, onde o darwinismo foi ensinado pela primeira vez em
1860.
É importante salientar que o mecanismo da hereditariedade é fundamental
para a compreensão da teoria da evolução. Os trabalhos de Mendel (realizados
praticamente ao mesmo tempo em que Darwin formulava sua teoria) tornaram-se
amplamente conhecidos somente a partir de 1900. Apenas a partir daquele
2
momento foi possível o estabelecimento de ligações adequadas entre a teoria
da evolução e a mecânica da hereditariedade.
Antes disso, as idéias predominantes sobre a herança biológica eram
oriundas do pensamento de Francis Galton, um primo de Darwin que se dedicava
ao estudo de caracteres quantitativos através da aplicação de métodos
estatísticos para desvendar os princípios da hereditariedade. Em 1897 Galton
propôs a lei da ancestralidade que viria a provocar, no futuro, grande
resistência à aceitação do mendelismo; independentemente disso Galton foi um
cientista muito importante por ter criado uma escola de biometria, com
cientistas do porte de Karl Pearson, que desenvolveu métodos estatísticos
usados até hoje.
A discrepância entre a teoria de Galton e a genética mendeliana só foi
resolvida mais tarde, graças principalmente aos trabalhos do dinamarquês
Johanssen sobre a herança de caracteres quantitativos (1909) e a um trabalho
publicado em 1918 por Ronald Alymer Fisher.
Assim, no começo deste século, a teoria da evolução de Darwin sofreu o
forte impacto das novas descobertas da genética, iniciadas com a divulgação
do trabalho de Mendel. Tornou-se claro que a matéria-prima da evolução são
os genes e as suas leis de transmissão de uma geração a outra, ao nível
populacional. A união das idéias de Darwin com as noções exatas da mecânica
da transmissão do material hereditário originou a teoria moderna da
evolução, também conhecida pelo nome de neodarwinismo.
As grandes sínteses empíricas desta visão renovada da teoria de evolução
foram feitas nas décadas de 30 e de 40 por três importantes nomes da
Ciência: Theodosius Dobzhansky, na sua obra clássica "Genetics and the
Origin of Species", cuja primeira edição apareceu em 1937, seguida de várias
reimpressões e edições revistas e ampliadas; Julian Huxley em "Evolution,
the Modern Synthesis", publicada em 1942, e Ernst Mayr em "Systematics and
the Origin of Species", de 1942.
A ausência de um bom conhecimento da genética no tempo de Darwin não o
impediu de elaborar a sua teoria sobre a origem das espécies, mas deixou um
vazio que já foi preenchido nas três primeiras décadas do século 20, com os
conhecimentos que viriam a se constituir naquilo que é chamado hoje de
"genética de populações".
A genética de populações estuda as manifestações da herança no nível
populacional.
Ela
trabalha
com
modelos,
ou
seja,
representações
simplificadas da realidade, usando para isso os elementos que participam do
fenômeno
(genes, genótipos, fenótipos, gametas, etc.), representados
simbolicamente e regras operacionais capazes de traduzir os fenômenos que
estão sendo estudados. Estas regras operacionais, em geral, estão sujeitas a
princípios matemáticos e estatísticos, de modo que os modelos são chamados
de modelos matemáticos. A grande importância desses modelos é que partem de
informações obtidas por biólogos através de observação e experimentação. Os
modelos fornecem meios de estimar parâmetros corretamente e permitem fazer
previsões
que
podem
ser
testadas
experimentalmente.
Se
os
testes
experimentais não estiverem de acordo com os modelos, estes serão rejeitados
ou modificados e outros modelos mais adequados serão formulados. A cada nova
informação, novos modelos podem ser estabelecidos.
Os modelos permitem, portanto, um tratamento quantitativo dos fenômenos,
o estabelecimento de previsões e uma maneira de testar hipóteses.
O conjunto de modelos acumulados desde os primeiros trabalhos feitos
nesse campo e sua maneira integrada de tratar os processos evolutivos
permitem afirmar que a genética de populações é hoje uma ciência à parte.
A primeira publicação relativa à genética de populações foi uma simples
nota publicada na revista Science, em 10 de julho de 1908, por Godfrey
Harold Hardy, o mais importante matemático inglês deste século. Esse
trabalho se deve às questões levantadas por um famoso estatístico, Yule,
numa conferência pronunciada pelo geneticista Punnett, na Royal Society of
3
Medicine. Yule declarava que se um alelo dominante fosse introduzido numa
população, sua freqüência deveria aumentar até atingir o valor 0,5, fazendo
com que a relação entre os fenótipos dominantes e recessivos fosse de 3:1.
Punnett, não concordando com aquela afirmação, levou o problema para Hardy,
que analisou a questão e demonstrou que na ausência de qualquer fator
perturbador as freqüências gênicas devem permanecer constantes e a
distribuição das freqüências dos genótipos AA, Aa e aa dependerá das
freqüências gênicas de A e a, assumindo valores conforme a distribuição
binomial. Esta distribuição de freqüências de uma população em equilíbrio se
tornou o ponto fundamental de todo o desenvolvimento da genética de
populações. Mais tarde, verificou-se que o mesmo resultado já havia sido
publicado em 13 de janeiro de 1908 por um médico alemão, Wilhelm Weinberg,
num estudo sobre a herança da gemelaridade. Assim, esse equilíbrio é hoje
conhecido na literatura como "equilíbrio de Hardy-Weinberg".
Um outro aspecto que preocupou os geneticistas da época, em termos
populacionais, foi
o efeito do endocruzamento na distribuição das
freqüências genotípicas. Este aspecto foi tratado independentemente por H.
S. Jennings e por R. Pearl em uma série de trabalhos publicados entre 1912 e
1916. Algumas dúvidas sobre a veracidade das proposições de Pearl levaram
também o então jovem geneticista americano Sewall Wright (1889-1988) a se
envolver no problema de endocruzamento e sistemas de cruzamento de um modo
geral, o que culminou, em 1921, com a publicação de uma série de trabalhos
com o título "Systems of mating". Wright tornou-se um dos mais importantes
teóricos da genética de populações, juntamente com Ronald Alymer Fisher
(1890-1962) e John Burdon Sanderson Haldane (1892-1965). Fisher, além de ter
sido
um
pioneiro
da
genética
de
populações,
também
fez
inúmeras
contribuições extremamente importantes à Estatística. Haldane, que era
professor de Bioquímica em Cambridge, desde cedo manteve interesse por
problemas de genética e a partir de 1924 iniciou uma série de publicações
sobre genética de populações, centradas no estudo da seleção natural.
O estudo da genética vinha apresentando grandes progressos e cada vez
mais os problemas evolutivos eram analisados sob o ponto de vista genético,
ficando claro que a sede das mudanças evolutivas era o próprio material
genético. Cada caráter usado para definir uma população, raça ou espécie é,
portanto, um caráter hereditário; estudar as mudanças evolutivas a que estes
caracteres estão sujeitos é estudar as mudanças que ocorrem no próprio
material genético. Trabalhando com genes é possível estabelecer modelos
matemáticos para estimar as freqüências dos mesmos e prever as mudanças que
podem ocorrer quando submetidos à ação dos agentes evolutivos. Assim, a
essência do processo evolutivo é retratada pela genética de populações que,
por volta da década de 30, já tinha suas bases completamente estabelecidas.
Em 1930, Fisher havia publicado seu livro "The genetical theory of natural
selection"; Wright, em 1931, publicava um longo artigo na revista Genetics,
intitulado "Evolution in Mendelian populations" e Haldane, em 1932,
publicava o livro "The causes of evolution". Outro grande impacto teórico
experimentado pela genética de populações foi sofrido no fim dos anos 60 e
começo dos anos 70, devido aos avanços da genética bioquímica. O problema
apareceu com a descoberta de uma quantidade inesperadamente alta de
polimorfismos proteicos e a resposta, proposta principalmente pelo biólogo
japonês Motoo Kimura, foi a teoria neutralista da evolução molecular,
segundo a qual estes polimorfismos seriam uma espécie de ruído de fundo do
processo
evolutivo. Esta questão teórica ainda aguarda solução. A
disponibilidade recente de informações sobre filogenias gênicas tem aberto
novos horizontes, especialmente com o desenvolvimento da teoria da
coalescência.
Em
todos
estes
avanços
teóricos
a
linguagem
usada,
principalmente
nas
demonstrações
matemáticas
e
nas
aplicações
de
estatística, não era acessível para quem não tivesse algum tipo de preparo
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nestas áreas. O problema foi facilitado pelo aparecimento de livros-texto,
como os que citamos a seguir.
O primeiro livro-texto didático de genética de populações foi publicado
por Hogben, em 1946 e levava o título “An introduction to mathematical
genetics”. Em 1948, seguiu-se “Population Genetics”, de autoria de Ching
Chung Li, cuja segunda edição, bastante ampliada, foi publicada em 1976 sob
o título "First course in population genetics". Li foi um grande divulgador
da genética de populações, além de contribuir também com vários trabalhos
originais. Além dos livros de C. C. Li, são conhecidas obras dos seguintes
autores: Oscar Kempthorne publicou em 1957 "An introduction to genetics
statistics", um livro relativamente complexo, exigindo conhecimentos de
estatística; D. S. Falconer, em 1960, publicou "Introduction to quantitative
genetics", que é um clássico da genética quantitativa; P. A. P. Moran,
publicou, em 1962, "The statistical processes of evolutionary theory"; James
F. Crow e Motoo Kimura, publicaram "An introduction to population genetics
theory" em 1970 e Regina C. Elandt-Johnson, "Probability models and
statistical methods in genetics", em 1971. Desta data para cá apareceram
inúmeros outros trabalhos, muitos dos quais apresentam o assunto com o
mínimo de formalismo matemático. Entre os livros que também abordam o
impacto recente dos resultados de Biologia molecular temos o de Masatoshi
Nei, "Molecular evolutionary genetics", de 1987, de Daniel Hartl e Andy G.
Clark, "Principles of population genetics" (1989) e o de John Maynard Smith,
"Evolutionary genetics" (1989).
Embora essas obras abordem o assunto de modo mais profundo que o
necessário para um curso básico como o nosso, o registro das mesmas fica
pela apresentação dos autores e para aqueles que porventura se interessem
pelo assunto.
EQUILÍBRIO DE HARDY-WEINBERG
Um dos aspectos importantes do estudo da Evolução é a análise da
variabilidade genética das populações e do seu comportamento ao longo das
gerações. Esses aspectos constituem a preocupação fundamental da Genética de
populações, que procura descrever a composição genética das populações bem
como sua resposta frente à atuação de fatores tais como o tipo de
cruzamento, o tamanho da população, a mutação, a migração e os vários tipos
de seleção. A Genética de populações, por quantificar os fenômenos
evolutivos, fornece parâmetros para a análise da variabilidade genética das
populações, sua origem e manutenção.
Vamos, portanto, mostrar como essa variabilidade é caracterizada para
fins do estudo da Genética de populações.
Freqüências gênicas ou gaméticas
A fim de conceituar freqüência gênica, vamos considerar inicialmente o
que ocorre com um par de genes autossômicos em organismos diplóides. Supondo
que não haja dominância, poderemos distinguir os três genótipos possíveis,
representados por AA, Aa e aa. Esses três genótipos corresponderão a três
classes fenotípicas diferentes. Assim, em uma população constituída de N
indivíduos poderemos contar D indivíduos AA, H indivíduos Aa e R indivíduos
aa.
Os valores D, H e R são chamados de freqüências absolutas (note as
letras maiúsculas) enquanto que esses valores, divididos pelo total de
indivíduos da população (N) nos dão as freqüências relativas (representadas
pelas mesmas letras, só que minúsculas).
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AA
D
d=
N
Aa
H
h=
N
aa
r=
R
N
A soma das freqüências relativas é sempre 1.
D H R D+ H + R N
+ +
=
=
=1
N N N
N
N
As freqüências relativas podem ser interpretadas, no caso de amostragens
muito grandes, como probabilidades, ou seja, d é a probabilidade de se tomar
"ao acaso" um indivíduo AA desta população.
Podemos agora procurar saber quais as freqüências gênicas nessa
população. Neste caso, o método direto para estimar as freqüências gênicas é
o da contagem simples.
Dada a população:
 AA


 D
Aa aa 
N

H R 
contamos o número de alelos A e a e estimamos as freqüências gênicas. Por se
tratar de uma população diplóide vamos atribuir a cada indivíduo dois genes.
A população toda terá, pois, 2N genes. Os indivíduos AA terão 2D genes A e
os indivíduos Aa terão H genes A, perfazendo um total de 2D + H genes A em
uma população com um total de 2N genes; logo, a freqüência do alelo A será:
f ( A) =
2D + H 2D
H
h
=
+
=d+ = p
2N
2N 2N
2
Com o mesmo raciocínio veremos que a freqüência do alelo a será:
f (a ) =
H
2R + H 2R
h
=
+
=r+ =q
2N
2N 2N
2
pode-se verificar que:
p+q = d +
h h
+ +r =1
2 2
Uma vez calculada a freqüência de um alelo, a freqüência do outro pode
ser obtida pela diferença em relação à unidade, uma vez que
p+q =1
p = 1− q
e
q = 1− p
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EQUILÍBRIO (OU LEI) DE HARDY-WEINBERG
O que fizemos até o momento foi representar um par de genes
autossômicos, sem dominância, em uma população diplóide e estimar as
freqüências dos alelos. Agora verificaremos o que acontecerá com uma
população desse tipo na geração seguinte.
Por isso consideramos uma população com reprodução sexuada, que se
reproduza por fecundação cruzada.
Vamos considerar, para simplificar o problema, um modelo com "gerações
discretas", ou seja, uma população na qual não haja cruzamentos entre
indivíduos pertencentes a duas ou mais gerações diferentes. Assim, temos uma
população de N indivíduos adultos:
 AA


 D
Aa aa 
N

H R 
Vamos supor que os cruzamentos nesta população ocorram ao acaso. Tal
fenômeno é conhecido como pan-mixia e diz-se que a população que se reproduz
assim é pan-mítica.
Pan-mixia significa que a probabilidade de um indivíduo de qualquer
genótipo cruzar com outro pertencente a qualquer genótipo depende apenas das
freqüências genotípicas. Isso é o mesmo que dizer que não há preferências,
seja ela por genótipos iguais ou diferentes, na escolha de parceiros.
Considerando as freqüências relativas dos genótipos como probabilidades,
podemos dizer que a probabilidade dos indivíduos AA, com freqüência relativa
2
d, cruzar com outro indivíduo de mesmo genótipo é simplesmente dXd = d .
Assim,
podemos
construir
um
quadro
com
as
probabilidades,
ou
freqüências, dos cruzamentos "ao acaso".
QUADRO 1 - Freqüências de cruzamentos "ao acaso".
machos
AA
Aa
aa
d
h
r
AA
freqüências
genotípicas
d
d
dh
dr
Aa
h
hd
h
2
hr
aa
r
rd
rh
fêmeas
2
r
2
Lembre-se que a soma dessas probabilidades ou freqüências de cruzamentos
será sempre igual a 1, pois
( d + h + r ) × (d + h + r ) = 1 × 1 = 1
Agora vamos verificar qual a descendência deixada por cada um desses
cruzamentos. Novamente teremos de fazer algumas considerações a respeito de
como calcular o número de descendentes. O número de descendentes por casal é
variável, mas podemos admitir que este número não dependa dos genótipos dos
indivíduos que formam o casal, sendo, em média, o mesmo.
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Assim, podemos apresentar a freqüência de descendentes de cada classe de
casal pela própria freqüência dos cruzamentos. Podemos assim determinar os
genótipos dos descendentes de cada casal e suas respectivas freqüências.
Exercício: Complete o quadro abaixo, determinando os genótipos
descendentes de cada tipo de cruzamento e suas respectivas freqüências.
machos
AA
Aa
aa
d
h
r
2
d AA
dh/2 AA
dh/2 Aa
fêmeas
AA
d
Aa
h
aa
r
dos
Para determinar as freqüências dos diferentes genótipos na nova geração
basta somar as freqüências das 3 classes genotípicas dos descendentes.
tipo de
cruzamento
freqüência
de
cruzamento
Descendentes
AA
AA X AA
d2
d2
AA X Aa
2dh
dh
AA X aa
2dr
Aa X Aa
h2
Aa X aa
2hr
aa X aa
r2
Total
1
Aa
aa
dh
2dr
h2/4
h2/2
h2/4
hr
hr
r2
(d+h/2)2
2(d+h/2)(r+h/2)
(r+h/2)2
Lembrando que (d + h/2) = p e (h/2 + r) = q verificamos imediatamente
que a distribuição das freqüências genotípicas poderá ser expressa assim:
AA
Aa
aa
2
p
2pq
2
q
2
p
2p(1-p)
2
(1-p)
2
(1-q)
2q(1-q)
2
q
ou
ou
8
As duas últimas representações têm a vantagem de ter apenas uma variável
de freqüência gênica.
As freqüências gênicas não mudam, pois:
p1 = d 1 +
h1
= p 2 + pq = p 2 + p − p 2 = p
2
Note que uma série de condições foi imposta na elaboração do modelo, o
que levou a população ao equilíbrio. Estas condições são:
-
população de tamanho infinito;
reprodução sexuada, por fecundação cruzada;
pan-mixia;
ausência de mutação;
ausência de migração diferencial;
ausência de seleção.
Nestas condições, uma população não sofre alterações em suas freqüências
gênicas, ao longo das gerações, nas proporções:
p2
q2
2pq
Estas proporções serão atingidas em uma única geração.
Alelos Múltiplos
O princípio
alelos.
visto
acima
pode
ser
estendido para
qualquer
número
de
Sejam os alelos:
A1
p1
A2
p2
A3
p3
... AN, com as freqüências gênicas:
... pN
No equilíbrio, as freqüências dos genótipos homozigotos
f ( A1 A1 ) = p
2
1 ;
f ( A2 A2 ) = p
2
2
;
f ( A3 A3 ) = p
2
3
...
serão:
f ( AN AN ) = p N2
e as freqüências dos genótipos heterozigotos serão:
f ( A1 A2 ) = 2 p1 p2 ;
f ( AN −1 AN ) = 2 p N −1 p N
f ( A1 A3 ) = 2 p1 p3 ;
f ( A2 A3 ) = 2 p2 p3 ...
Algumas considerações sobre o equilíbrio de H.W.
O equilíbrio de H.W. pressupõe uma série de condições que raramente são
observadas na prática. Dificilmente será encontrada uma população natural em
que todas as condições estejam vigorando simultaneamente. A mutação, por
exemplo, é um fenômeno espontâneo, de ocorrência constante. Porém, como as
taxas de mutação são, em geral, muito baixas, da ordem de um para dez mil ou
-4
-5
cem mil (10
ou 10 ), seu efeito sobre o equilíbrio, no instante em que a
amostra for colhida, será desprezível. Quando se observa um polimorfismo, os
diversos fenótipos poderão ter valores adaptativos diferentes, significando
que a seleção natural está ocorrendo. Além disso, em muitas populações podem
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estar ocorrendo migrações e muitas populações nem sempre terão um tamanho
que permita considerá-las infinitamente grandes. Ainda, nem sempre as
populações são pan-míticas.
Apesar dessas observações, o equilíbrio de H.W. é extremamente
importante e extremamente útil em genética de populações. Ele se constitui
de um modelo básico muito simples, porque elimina todos os fatores que
redundam em complicações. As condições que são impostas são exatamente
aquelas que poderiam promover mudanças nas freqüências gênicas ou
genotípicas e que implicariam em evolução. Por isso podemos dizer que o
equilíbrio de H.W. é conservador, pois ele descreve uma situação de uma
população que não está se modificando.
Para estudar as mudanças evolutivas, procura-se analisar o efeito que os
fatores isolada ou conjuntamente apresentam sobre o equilíbrio de H.W.,
chegando-se, assim, a retratar as mudanças evolutivas.
DESVIOS DA PAN-MIXIA: CRUZAMENTOS PREFERENCIAIS E ENDOCRUZAMENTO
Entre as várias condições que são impostas para que o equilíbrio de
Hardy-Weinberg (H.W.) se verifique, uma delas é que a população seja
completamente pan-mítica, isto é, os cruzamentos devem ocorrer totalmente ao
acaso.
Acontece, porém, que podem haver inúmeras maneiras diferentes dos
indivíduos se associarem em acasalamento. Essas diferentes maneiras dependem
da própria biologia do organismo, devido a determinadas características
morfológicas, fisiológicas ou comportamentais. Podemos lembrar, por exemplo,
que existem organismos monóicos, como o caso da ervilha, em que a
autofecundação
é
praticamente
obrigatória.
Por
outro
lado,
alguns
organismos, embora sendo monóicos ou hermafroditas, dispõem de mecanismos
que evitam a realização da autofecundação. Em determinadas plantas, como a
Nicotiana tabacum, existe um sistema regulado por um loco com vários alelos
(S1, S2, S3, ...) que determinam a auto-esterilidade. O pólen S1 é incapaz
de produzir o desenvolvimento do tubo polínico no estigma de uma planta cujo
genótipo tenha o alelo S1. O mesmo acontece para qualquer outro alelo, de
tal forma que a autofecundação nunca deixa descendência e também nunca se
formam homozigotos para quaisquer dos alelos do loco.
Os sistemas de cruzamentos podem também ser alterados artificialmente
pelo homem, que interfere seletivamente na escolha dos cruzamentos de
plantas e animais domésticos.
Em ambos os casos, teremos alterações na distribuição das freqüências
genotípicas das populações. Conseqüentemente, devemos procurar analisar os
vários modelos que produzem desvios da pan-mixia e determinar quais as
conseqüências que acarretam na estrutura genética da população.
Basicamente distinguimos duas categorias de alterações da pan-mixia, uma
delas devida a um maior índice de cruzamentos consangüíneos, fenômeno esse
chamado de endogamia ou de endocruzamento, e a outra categoria corresponde
aos cruzamentos preferenciais, positivos e negativos, com relação a um dado
caráter genético.
Endocruzamento ou endogamia
Considera-se
endocruzamento
ou
cruzamento
endogâmico
quando
os
indivíduos que se cruzam apresentam ancestrais comuns próximos. Se
admitirmos que a população é pan-mítica, pode-se esperar uma determinada
freqüência de cruzamentos endogâmicos. Quando a freqüência de cruzamentos
endogâmicos observada for maior do que a freqüência esperada (pela panmixia), então se diz que está ocorrendo endogamia. A população será, então,
endogâmica.
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Endogamia é, portanto, o desvio da pan-mixia devido ao excesso de
endocruzamentos (ou cruzamentos endogâmicos) na população.
O endocruzamento ou endogamia corresponde ao termo inglês "inbreeding";
o produto de um "inbreeding" é chamado "inbred".
A conseqüência da ocorrência de endocruzamento numa população será o
aumento da freqüência dos indivíduos homozigotos e a redução da freqüência
dos heterozigotos na população.
Para entender melhor o que acontece quando há cruzamento endogâmico,
vamos comparar duas situações diferentes, uma com endocruzamento e outra
sem:
1)
Aa
AA
AA
Aa
Aa
AA
Aa
Aa
aa
2)
Aa
AA
AA
Aa
Aa
Aa
aa
No caso 1 podemos verificar que o homozigoto aa é constituído por dois
genes a, sendo que ambos são cópias do mesmo gene original existente num dos
bisavós. No caso 2, também temos um homozigoto aa, formado, porém, por
cópias de dois genes a presentes nos avós, de origens independentes. No
primeiro caso, diz-se que os dois alelos são iguais por descendência
(i.p.d.) e, no segundo, iguais pela origem (i.p.o.). Cotterman chamou os
homozigotos com i.p.d. de autozigotos e os homozigotos com genes i.p.o de
alozigotos.
O importante será determinar quantitativamente o efeito dos cruzamentos
endogâmicos sobre a estrutura da população. É claro que o grau de endogamia
pode variar e, conseqüentemente, o efeito que acarreta para a estrutura da
população também variará.
Para se ter uma idéia mais objetiva da conseqüência do endocruzamento na
população vamos inicialmente analisar o que ocorre em uma população que se
reproduz por autofecundação. A autofecundação corresponde ao grau máximo de
endogamia.
Consideremos um par de genes autossômicos. Assim, na geração inicial g
0
a população é :
g0
 AA


 D0
Aa
H0
aa 
 N

R0 
11
em que
f ( A) =
D0 +
H0
N
2 =p
e
f (a) =
R0 +
H0
N
2 =q
Admitindo, como foi feito anteriormente, que o número médio de
descendentes por entidade reprodutora seja o mesmo e representando esse
número pelo próprio número de cruzamentos ocorridos, podemos ver que, nas
gerações seguintes, a população terá as seguintes constituições:
geração
0
AA
Aa
aa
d0
r0
h0 h0
+
4 8
h0
h0
2
h0
4
...
...
...
1 
1 1
d 0 + h0 .  + +...+ n 
4 8
2.2 
h0
2n
1 
1 1
r0 + h0 .  + +...+ n 
4 8
2.2 
1
d0 +
2
d0 +
...
n
h0
4
r0 +
r0 +
h0
4
h0 h0
+
4 8
No equilíbrio, teremos:
h
d$ = d 0 + 0
2
;
h$ = 0
e
r$ = r0 +
h0
2
, pois
lim ∑
i →∞
i =1
1
=1
2i
Portanto, na enésima geração, a população estará em equilíbrio e será
constituída apenas pelas duas classes homozigotas.
Em equilíbrio, a composição genética da população será:
AA
p
Aa
0
aa
q
Como se pode ver, não ocorreram mudanças nas freqüências gênicas, mas
apenas nas freqüências genotípicas, sendo que o valor da classe heterozigota
foi diminuindo e os valores das classes homozigotas, aumentando. A endogamia
não produz modificação em freqüências gênicas, mas pode ser importante, por
exemplo, na eliminação mais rápida de genes letais ou detrimentais da
população, quando associada à seleção natural.
Podemos definir um índice de heterozigose da população, h /h , chamado
n 0
por Wright de índice de pan-mixia, P:
P=
hn
h0
No exemplo que acabamos de examinar, o índice de heterozigose P, é zero,
porque h
é zero; isso significa que, nessa população, não há qualquer
n
parcela que seja pan-mítica, isto é, ela é totalmente formada por indivíduos
que se cruzam por autofecundação.
O complemento de P, isto é, (1-P), é o coeficiente de endocruzamento F:
12
F = 1− P = 1−
hn h0 − hn
=
h0
h0
O coeficiente de endocruzamento F pode variar entre 1 (quando hn for
igual a zero) e zero (quando hn for igual a h0):
h0 − h0
=0
h0
h0 − 0
=1
h0
Podemos
interpretar
o
coeficiente
F
como
sendo
um
fator
de
proporcionalidade que divide a população em duas partes, uma fração F, na
qual haveria endocruzamento total, e uma fração 1-F, completamente panmítica.
Assim, poderíamos dizer que uma população
AA
Aa
aa
em que existisse um coeficiente de endocruzamento F, constante ao longo das
gerações, seria constituída por uma fração F de indivíduos autozigotos
AA
Aa
aa
p
0
q
e uma fração 1-F constituída por indivíduos alozigotos
AA
2
p
Aa
aa
2
q
2pq
Ou então:
(1 − F ).( p 2 + 2 pq + q 2 ) + F ( p + 0 + q )
Se desdobrarmos esses termos e efetuarmos a soma, teremos:
p 2 + 2 pq + q 2 − Fp 2 − 2 Fpq − Fq 2 + Fp + Fq
que, reescrito, dará
p 2 − Fp 2 + Fp + 2 pq − 2 Fpq + q 2 − Fq 2 + Fq
que será igual a:
p 2 + Fp(1 − p) + 2 pq − 2 Fpq + q 2 + Fq (1 − q) =
= p 2 + Fpq + 2 pq − 2 Fpq + q 2 + Fpq
= p 2 + Fpq + 2 pq (1 − F ) + q 2 + Fpq
ou seja:
AA
Aa
aa
2
p +Fpq
2pq(1-F)
2
q +Fpq
13
Essa é a distribuição de freqüências de uma população com coeficiente de
endocruzamento F. Essa população está num equilíbrio conhecido pelo nome de
equilíbrio de Wright, uma vez que esse tipo de equilíbrio foi demonstrado,
pela primeira vez, por esse autor.
Mutações
Toda variabilidade genética existente origina-se por mutações, que podem
ser induzidas ou espontâneas. Em ambos os casos, podemos considerar que as
mutações são recorrentes, ou seja, não são eventos únicos. Seja para sítio
de nucleotídeo, aminoácido ou para genes inteiros, a probabilidade de
ocorrência de mutação é a chamada taxa. No caso de processos evolutivos, as
mutações importantes são aquelas que envolvem a linhagem germinativa, na
produção de gametas. No entanto, os modelos vistos a seguir podem ser
facilmente modificados para mutações somáticas, tais como aquelas que
envolvem a origem de tumores, ou no caso de propagação vegetativa. As taxas
de mutação são expressas em termos de proporção de gametas mutantes que
aparecem por geração por gene (ou por sítio). O modelo a seguir considera um
loco com dois alelos, A e a.
Sendo µ a taxa de mutação de A para a, e p0 e q0 as respectivas
freqüências gênicas na geração inicial, então podemos escrever:
p1 = p0 (1 − µ )
p2 = p1 (1 − µ ) = p0 (1 − µ )(1 − µ ) = p0 (1 − µ ) 2
da mesma forma:
p3 = p2 (1 − µ ) = p0 (1 − µ ) 2 (1 − µ ) = p0 (1 − µ ) 3
pn = p0 (1 − µ ) n
logo:
pn (1 − qn )
=
= (1 − µ ) n
p0 (1 − q0 )
multiplicando µ por n/n
e substituindo p por 1-q temos:
(1 − q n )
nµ n
= (1 −
)
(1 − q 0 )
n
x
A função exponencial (e ) é definida por
n
lim 
x
e =
1 + 
n → ∞
n
x
e se considerarmos um número grande de gerações,
(1 − q n )
≅ e − nµ
(1 − q 0 )
tomando os logaritmos naturais (na base e) de ambos os lados da equação:
−nµ ≅ ln(1 − q n ) − ln(1 − q 0 )
Portanto podemos calcular aproximadamente quantas gerações são necessárias
para que um determinado gene mude de freqüência com um determinado ∆q,
sabendo-se sua freqüência inicial e sua taxa de mutação:
14
n≅
ln(1 − q 0 ) − ln(1 − q n )
µ
Mutação reversa
É possível que o alelo A mute para a com taxa µ e que o alelo a mute
para A com taxa v:
A
µ → a
A←
ν a
Assim, em cada geração teremos uma variação nas freqüências dos alelos,
que pode ser expressa por:
∆q = µ. p − ν . q
Haveria equilíbrio quando ∆q = 0. Neste caso:
µp = vq sendo p = 1-q, segue
µ(1-q) = νq
µ - µq = νq
µ = (µ + ν)q
Logo, q (em equilíbrio) =
q$ =
µ
µ +ν
Note que para este equilíbrio ser
alcançado, o número de gerações é muito grande, pois as taxas são muito
pequenas.
Efeitos das migrações e suas aplicações
Abordaremos este assunto primeiramente examinando o modelo proposto por
Glass e Li (1953). Sejam:
q0 - freqüência original de determinado alelo na população que recebe os
migrantes.
Q - freqüência do mesmo alelo na população migrante;
qn - freqüência do mesmo alelo na população resultante na geração n;
m - fração do “pool” gênico que é substituída a cada geração por genes de
migrantes, através do inter-cruzamento.
Temos, portanto:
q1 = (1 − m)q 0 + mQ
q 2 = (1 − m)q1 + mQ = (1 − m) 2 q 0 + mQ[1 + (1 − m)]
[
q 3 = (1 − m)q 2 + mQ = (1 − m) 3 q 0 + mQ 1 + (1 − m) + (1 − m) 2
]
...
[
q n = (1 − m) n q 0 + mQ 1 + (1 − m) + (1 − m) 2 ...+(1 − m) n −1
]
Entre colchetes temos uma soma de termos de uma progressão geométrica, onde
n-1
o primeiro termo (a1)=1; o último termo (an)=(1-m)
e a razão (q)=(1-m)
A fórmula geral para a soma dos termos dessa progressão é:
15
n
∑a q
1
i
=
i =1
a n × q − a1
q −1
portanto:
 (1 − m) n −1 × (1 − m) − 1
q n = (1 − m) n q 0 + mQ 
=
(1 − m) − 1


 (1 − m) n − 1
n
n
= (1 − m) n q 0 + mQ 
 = (1 − m) q 0 + Q 1 − (1 − m) =
m
−


n
n
= (1 − m) q 0 + Q − Q(1 − m) = (1 − m) n (q 0 − Q) + Q
[
]
q n − Q = (1 − m) n (q 0 − Q)
q n = (1 − m) n (q 0 − Q) + Q
(1 − m) n =
( q n − Q)
( q 0 − Q)
 ( q − Q) 
ln(1 − m) n = ln  n

 ( q 0 − Q) 
 ( q − Q) 
n ln(1 − m) = ln  n

 ( q 0 − Q) 
e
 ( q − Q) 
ln  n

(q − Q)  ln(q n − Q) − ln(q 0 − Q)
n=  0
=
ln(1 − m)
ln(1 − m)
DERIVA GENÉTICA
Seja uma população de tamanho finito N, constante ao longo das
gerações; sejam ainda p0 e q0 as freqüências dos alelos A e a de um loco
autossômico na geração 0; como o tamanho da população é constante, a geração
1 é formada da união de 2N gametas ao acaso dentre os indivíduos da geração
0:
(p0+q0)2N;
q1 pode tomar, portanto, qualquer um dos (2N+1) valores seguintes:
0
1
2
2N − 2 2N − 1 2N
;
;
; ...;
;
;
2N 2N 2N
2N
2N
2N
A probabilidade de que q tome o valor particular qj = j/2N é
2N 2N− j j 2N
. q =   .(1 − q ) 2 N − j . q j
 . p
 j 
 j 
16
Onde
2N
(2 N )!
 =
 j  j !(2 N − j )!
(combinação de 2N elementos j a j)
Seja o seguinte exemplo: N = 2, 2N = 4 genes; p0 = q0 = 1/2
f(A) = p = 1
f(a) = q = 0
estado j = 0
3/4
1/4
1
1/2
1/2
2
1/4
3/4
3
0
1
4
As probabilidades de que a população 1 esteja nos estados j = 0,
1, 2, 3 ou 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
(1/2)4 = 1/16
4(1/2)3(1/2) = 1/4
6(1/2)2(1/2)2 = 3/8
4(1/2)(1/2)3 = 1/4
(1/2)4 = 1/16
o que define o vetor da linha
Q(1) = (1/16 1/4 3/8 1/4 1/16).
Se a população 1 estiver no estado j = 0 (p1 = 1, q1 = 0), o que
ocorre com uma probabilidade de 1/16, as probabilidades de que a população 2
esteja nos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
1
0
0
0
0.
Se a população 1 estiver no estado j=1 (p1 = 3/4, q1 = 1/4), o que
ocorre com uma probabilidade de 1/4, as probabilidades de que a população 2
esteja nos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
(3/4)4 = 81/256
4(3/4)3(1/4) = 27/64
6(3/4)2(1/4)2 = 27/128
4(3/4)(1/4)3 = 3/64
(1/4)4 = 1/256.
Se a população 1 estiver no estado j=2 (p1 = q1 = 1/2), o que
ocorre com uma probabilidade de 3/8, as probabilidades de que a população 2
esteja nos estados j=0, 1, 2, 3, 4 são respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
(1/2)4 = 1/16
4(1/2)3(1/2) = 1/4
6(1/2)2(1/2)2 = 3/8
4(1/2)(1/2)3 = 1/4
(1/2)4 = 1/16.
Se a população 1 estiver no estado j=3 (p1 = 1/4, q1 = 3/4), o que
ocorre com uma probabilidade de 1/4, as probabilidades de que a população 2
esteja nos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4;
(1/4)4 = 1/256
4(1/4)3(3/4) = 3/64
6(1/4)2(3/4)2 = 27/128
4(1/4)(3/4)3 = 27/64
(3/4)4 = 81/256.
17
Se a população 1 estiver no estado j=4 (p1 = 0, q1 = 1), o que
ocorre com uma probabilidade de 1/16, as probabilidades de que a população 2
esteja nos estados j=0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0:
1:
2:
3:
4:
0
0
0
0
1.
Logo, as probabilidades de que a população 2 esteja nos estados j
= 0, 1, 2, 3, 4 são, respectivamente,
0: 1/16 x 1 + 1/4 x 81/256 + 3/8 x 1/16 + 1/4 x 1/256 + 1/16
x 0 = 85/512 = 0,166016
1: 1/16 x 0 + 1/4 x 27/64 + 3/8 x 1/4 + 1/4 x 3/64 + 1/16
x 0 = 27/128 = 0,210938
2: 1/16 x 0 + 1/4 x 27/128 + 3/8 x 3/8 + 1/4 x 27/128 + 1/16
x 0 = 63/256 = 0,246094
3: 1/16 x 0 + 1/4 x 3/64 + 3/8 x 1/4 + 1/4 x 27/64 + 1/16
x 0 = 27/128 = 0,210938
4: 1/16 x 0 + 1/4 x 1/256 + 3/8 x 1/16 + 1/4 x 81/256 + 1/16
x 1 = 85/512 = 0,166016
o que define o vetor de linha
Q(2) = (85/512
27/128
63/256
27/128
85/512).
Sob forma matricial, as operações podem ser reescritas como
1
16
1
4
3
8
1
4
[
0
0
0
0 
 1


81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 

1  1
1
3
1
1 

×
4
8
4
16 
16   16
3
27
27
81
1

64
128
64
256
 256
 0
0
0
0
1 
= 85 512 27 128 63 256 27 128 85 512
]
ou, abreviadamente, Q(1).T = Q(2), em que T é uma matriz transicional de
probabilidades condicionais (matrizes desse tipo caracterizam-se por suas
linhas somarem 1).
Generalizando, Q(n).T = Q(n+1).
O que foi visto foi a análise de um processo em que, dadas as
condições de uma determinada população (tamanho e freqüência), podemos
determinar as probabilidades da população estar na mesma condição
(freqüências gênicas iguais) ou em condições diferentes. Como a deriva
genética é um processo de amostragem casual, não podemos prever o que pode
acontecer com a freqüência gênica de uma determinada população pequena.
O que pode ser feito, no entanto, é estudar o comportamento de um
número muito grande de populações com mesmo tamanho, em que podemos esperar
que algumas aumentem as freqüências gênicas, outras diminuam e outras
permaneçam com freqüências gênica iguais.
A teoria da Estatística nos fornece meios de prever a dispersão
das freqüências gênicas em muitas populações. Para isso, usamos a medida da
variância, na enésima geração, em um grupo de populações que na geração 0
têm as mesmas freqüências gênicas. A previsão da variância no decorrer das
gerações exige conhecimentos avançados de Estatística, mas está representada
abaixo apenas para ilustração:
Na geração 0, não há variação, todas as freqüências são idênticas, portanto:
18
σ 20 = 0
Na primeira geração (da distribuição binomial):
σ 12 =
q 0 (1 − q 0 )
2N
A média das freqüências é igual a esperança:
E ( q1 ) = q 0 = q
e a variância:
σ 12 = E (q12 ) − q 2 = E (q12 ) − q 02
q (1 − q 0 )
∴ E (q12 ) = σ 12 + q 02 = q 02 + 0
2N
A proporção de heterozigotos esperada na geração 1 é:
2
h1 = E (2 p1q1 ) = 2 E (q1 ) − 2 E (q1 ) = 2q 0 − 2q 02 −
2q 0 (1 − q 0 ) −
2q 0 (1 − q 0 )
=
2N
2q 0 (1 − q 0 )
1 

= 2q 0 (1 − q 0 ) 1 −
=

2N
2N 
1 

h0  1 −
∴
 2N 
como a proporção de heterozigotos de uma geração é a multiplicação da
quantidade de heterozigotos da geração seguinte por uma constante, na nésima geração:
1 

hn = h0  1 −

 2N 
n
A variância na n-ésima geração:
σ 2n = E (q n2 ) − q 02
Colocando o termo
E (q n2 )
em termos de hn(que já conhecemos) e q0:
hn = E (2 pn q n ) = E [2q n (1 − q n )] = 2 E (q n ) − 2 E (q n2 ) = 2q 0 − 2 E (q n2 )
E (q n2 ) =
2q 0 − hn
2
n
h
1 

σ = q 0 − n − q 02 = q 0 − q 02 − q 0 (1 − q 0 ) 1 −
 =

2
2N 
2
n
n
1

= q 0 (1 − q 0 ) − q 0 (1 − q 0 ) 1 −  =
 2n 
n
 
1  
= q 0 (1 − q 0 ) 1 −  1 −
 
  2 N  
19
n
 
1  
σ = p0 q 0 1 −  1 −
 
  2 N  
2
n
O limite de σ n quando n tende a infinito é q0(1-q0).
A Tabela abaixo mostra, para um número infinito de populações
compostas, cada uma, por N = 2 indivíduos com p0 = q0 = 1/2 na geração
inicial, os valores das probabilidades dos estados j = 0, 1, 2, 3, 4 e da
2
variância
σ 2n ,
calculados segundo os métodos mostrados anteriormente.
0
1
2
3
4
σ 2n
0,000000
0,062500
0,166016
0,248962
0,311670
0,358748
0,466480
0,492046
0,498112
0,499552
0,500000
0,000000
0,250000
0,210938
0,160400
0,120506
0,090399
0,021453
0,005091
0,001208
0,000287
0,000000
1,000000
0,375000
0,246094
0,181274
0,135647
0,101706
0,024124
0,005727
0,001359
0,000323
0,000000
0,000000
0,250000
0,210938
0,160400
0,120506
0,090399
0,021453
0,005091
0,001208
0,000287
0,000000
0,000000
0,062500
0,166016
0,248962
0,311670
0,358748
0,466480
0,492046
0,498112
0,499552
0,500000
0,000000
0,062500
0,109375
0,144531
0,170898
0,190674
0,235922
0,246659
0,249207
0,249812
0,250000
j
geração
0
1
2
3
4
5
10
15
20
25
∞
Seleção Natural
"I have called this principle, by which each
slight variation, if useful, is preserved, by the
term Natural Selection, in order to mark its
relation to man's power of selection."
(Denominei este princípio, pelo qual cada variação
diminuta, se útil, é preservada, com o termo
Seleção Natural, com a finalidade de salientar sua
relação com o poder humano de seleção.)
Darwin, The origin of Species, cap
III.
Quando Darwin estabeleceu o conceito de seleção natural comparou-a com a
prática da seleção genética de animais e plantas (domesticação), que vinha
sendo realizada com sucesso desde há muito tempo. A seleção artificial era
sempre direcionada para o desenvolvimento de características desejáveis
pelos seres humanos, chegando a satisfazer até mesmo caprichos bizarros. Em
princípio, o que se fazia era escolher os organismos que apresentassem
caracteres interessantes para serem os reprodutores. Darwin raciocinou
acertadamente que, na natureza, aqueles indivíduos que apresentassem
atributos que aumentassem a chance de deixar mais descendentes deixavam mais
descendentes. Se estes atributos fossem hereditários e variáveis, os
descendentes
dos
indivíduos
"mais
aptos"
apresentariam,
com
maior
probabilidade, as características de sucesso. Este raciocínio é correto uma
vez que as chances de sucesso dependem de fatores extrínsecos aos
organismos, os chamados fatores ambientais, que podem ser, inclusive, outros
organismos,
tais
como
predadores,
parasitas,
competidores,
etc.
A
dependência com relação ao ambiente confere significado ao que se conhece
como "valor adaptativo". A variação não genética (ou variação ambiental) por
não ser herdada, não influencia o valor adaptativo. A potencialidade
20
genética para responder ao ambiente, por ser herdável, também é passível de
seleção.
O valor adaptativo, além de ser dependente dos fatores ambientais, é de
natureza
estatística.
Um
indivíduo
com
um
genótipo
que
apresenta
características vantajosas para uma determinada situação ambiental pode ter
insucesso reprodutivo, enquanto outros não geneticamente favorecidos podem
deixar proles enormes. Neste caso, diferenças entre valores adaptativos são
diferenças entre médias apresentadas pelos diversos indivíduos de cada
genótipo.
O valor adaptativo, por ser um parâmetro que depende de genótipo, é
sempre relativo aos outros genótipos.
Cálculo do valor adaptativo.
O valor adaptativo é calculado geralmente a partir da divisão dos
indivíduos em classes genotípicas com relação a apenas uma fração da
variação genética existente, considerando que a variação restante tem efeito
igual sobre os genótipos a ser analisados. Exemplificando: se quisermos
verificar o efeito sobre o sucesso reprodutivo que a variação em um loco com
dois alelos exerce, dividimos os indivíduos em três classes: AA, Aa e aa.
Dentro de cada uma destas classes haverá variantes em outros locos (BB, Bb e
bb; CC, Cc e cc, etc.), mas como a divisão não considera estes locos, podese admitir que eles atuam de forma semelhante sobre o(s) loco(s) cujas
classes genotípicas serviram de base para a divisão.
Aqui cada classe genotípica pode ser analisada quanto a qualquer
componente do valor adaptativo, por exemplo, número de ovos, sementes, taxa
de fertilidade, etc., mas a avaliação global do valor adaptativo são as
próprias relações entre freqüências de duas gerações consecutivas.
Sejam as freqüências genotípicas na geração inicial:
AA
d0
Aa
h0
aa
r0
Aa
h1
aa
r1
e na geração seguinte:
AA
d1
os valores adaptativos serão:
w1(genót. AA)=
d1
d0
w2(genót. AA)=
h1
h0
.
w1(genót. aa)=
r1
r0
como são valores relativos, os valores adaptativos podem ser normalizados
dividindo-se cada um deles pelo maior, que passará a valer 1.
Exemplo: Tomou-se uma população de 1000 indivíduos que foi observada por
duas gerações obtendo-se os resultados:
AA
250
360
Aa
500
480
aa
250
160
Os valores adaptativos para cada um dos genótipos são, portanto:
21
w1 = 360 =1,44
250
normalizando:
w1= 1,44
1,44
w2= 480
500
= 1,00
=0,96
w2= 0,96
1,44
= 0,67
w3= 160
250
= 0,64
w3 = 0,64
1,44
= 0,44
Assim, os indivíduos de
genótipo Aa deixam, em média 67% de descendentes
com relação aos de genótipo AA e os de genótipo aa deixam apenas 44%, com
relação ao mais adaptado (AA).
O modelo geral de seleção.
O conceito de valor adaptativo nos permite fazer previsões com relação à
composição genética de populações naturais, desde que aplicadas a modelos
matemáticos adequados. Supondo um sistema de cruzamento ao acaso (pode-se
modelar com outros sistemas, sendo que a seqüência de procedimentos é a
mesma). Supõe-se também um loco com dois alelos e com valores adaptativos
constantes ao longo do tempo. Temos:
Genótipos
AA
Aa
aa
Total
valores
W1
W2
W3
p2
2 pq
q2
1
p 2 . w1
2 pq. w2
q 2 . w3
w
adaptativos
freqüências antes
da seleção
contribuição
proporcional
freqüências após
seleção
p 2 . w1
w
2 pq. w2
w
q 2 . w3
w
1
O valor adaptativo médio - w - (Atenção, w NÃO é uma média aritmética
simples, é a média ponderada dos valores adaptativos dos genótipos pelas
freqüências genotípicas) nos mostra o quanto a população como um todo está
adaptada. Por ser uma média ponderada pelas freqüências genotípicas, com
valores adaptativos iguais, o valor adaptativo médio pode assumir diversos
valores.
A quantidade de seleção sofrida por cada um dos genótipos também pode
ser expressa através do valor complementar ao do valor adaptativo, o
coeficiente de seleção:
s1 = 1 - w1
s2 = 1 - w2
s3 = 1 - w3
Casos especiais
I. Seleção contra homozigotos recessivos
( w1 = w2 > w3)
obs:
como
só
existe
designado apenas por s.
um
coeficiente
de
seleção,
ele
será,
neste
caso,
22
Genótipos
AA
Aa
aa
Total
valores
1
1
(1 − s)
p2
2 pq
q2
1
p2
2 pq
q 2 (1 − s)
w = 1 − sq 2
p2
1 − sq 2
2 pq
1 − sq 2
q 2 (1 − s)
1 − sq 2
1
adaptativos
freqüências antes
da seleção
contribuição
proporcional
freqüências após
seleção
a freqüência do alelo a na próxima geração será (r+h/2):
q1 =
q 2 − sq 2 + pq q 2 − sq 2 + q (1 − q ) q 2 − sq 2 + q − q 2 q − sq 2
=
=
=
1 − sq 2
1 − sq 2
1 − sq 2
1 − sq 2
A variação da freqüência gênica de a,
∆q = q1 − q 0 =
∆q = −
Como
s
q
será:
q − sq 2
q − sq 2 − q (1 − sq 2 )
sq 2 + sq 3
−
q
=
=
−
1 − sq 2
1 − sq 2
1 − sq 2
sq 2 (1 − q )
1 − sq 2
e
∆q
são
(seleção contra homozigotos recessivos)
quantidades
positivas
e
menores
que
1,
q
será
sempre
negativo, ou seja, haverá seleção até a extinção do alelo a.
Se a seleção for total (s=1), poderemos prever a freqüência do gene a (q)
para a n-ésima geração:
q1 =
q(1 − q )
q − q2
q
=
=
2
1− q
(1 + q )(1 − q ) 1 + q
q
q2 = 1
1 + q1
, reaplicando
q
q
q
1+ q
1+ q
=
=
=
q
1 + q + q 1 + 2q
1+
1+ q
1+ q
assim
q3 =
q0
1 + 3q 0
recessivos)
e
qn =
q0
1 + nq 0
(quando há seleção total contra homozigotos
23
Se n fica muito grande, q tende a zero, ou seja, a população tende a ficar
sem o gene recessivo.
24
II. Seleção favorecendo heterozigotos.
(w1<w2>w3)
Genótipos
valores
AA
Aa
aa
Total
(1 − s1 )
1
(1 − s3 )
p2
2 pq
q2
1
p 2 (1 − s1 )
2 pq
q 2 (1 − s3 )
w = 1 − s1 p 2 − s3 q 2
p 2 (1 − s1 )
w
2 pq
w
q 2 (1 − s3 )
w
1
adaptativos
freqüências antes
da seleção
contribuição
proporcional
freqüências após
seleção
a freqüência do alelo a na próxima geração será (r+h/2):
q 2 − s3 q 2 + pq q 2 − s3 q 2 + q − q 2
q − s3 q 2
q1 =
=
=
1 − s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3 q 2
a diferença entre duas gerações consecutivas (∆q) será:
∆q = q1 − q =
=
=
q − s3 q 2 − q (1 − s1 p 2 − s3 q 2 ) q − s3 q 2 − q + s1 p 2 q + s3 q 3
=
=
1 − s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3 q 2
[
]
2
s1 p 2 q + s3 q 3 − s3 q 2 q ( s1 p 2 + s3 q 2 − s3 q ) q s1 p − qs3 (1 − q )
=
=
=
1 − s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3 q 2
1 − s1 p 2 − s3 q 2
(
q s1 p 2 − qs3 p
1 − s1 p − s3 q
∆q =
Este
2
)=
2
pq ( s1 p − s3q )
1 − s1 p 2 − s3q 2
valor
(∆q)
(para seleção a favor de heterozigotos)
assumirá
um
valor
negativo
ou
positivo
dependendo
das
freqüências gênicas. Isto significa que existe um valor de equilíbrio onde
as freqüência gênicas não mudarão. No equilíbrio, portanto as relações serão
constantes:
p1 q1
=
p
q
; substituindo:
p − s1 p 2 q − s3 q 2
=
wp
wq
então:
p(1 − s1 p) q (1 − s3 q )
=
wp
wq
1 − s1 p = 1 − s3 q ;
portanto
s1 p = s3 q ; s1 (1 − q ) = s3 q
25
q$ =
s1
s1 + s3
(somente em equilíbrio, com superioridade do heterozigoto)
este é o valor da freqüência gênica q, em equilíbrio, significando que esta
depende
apenas
homozigotos.
das
intensidades
dos
coeficientes
de
seleção
contra
os