IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
LISTA DE EXERCÍCIOS
Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols
 Exercício resolvido
Considere o sistema mostrado na Figura abaixo:
Calcule os ajustes de um controlador PID para este sistema usando
1- Cálculo de Kc e Pc (crítico).
A função de transferência em malha fechada para o sistema da figura acima é dada
por:
A aplicação do critério de Routh-Hurwitz fornece:
S³
1
3,5
S²
3,5
Kc+1
S
(𝟑, 𝟓𝟐 ) − (𝑲𝒄 + 𝟏)
=𝟎
0
𝟑, 𝟓
𝑲𝒄 ≤ 𝟏𝟏, 𝟐𝟓
S0
Kc+1
𝑲𝒄 ≤ 𝟏𝟏, 𝟐𝟓
Substituído Kc encontrado, na linha 2 (linha amarela) teremos:
𝟑, 𝟓𝑺² + 𝑲𝒄 + 𝟏 = 𝟎 → 𝟑, 𝟓𝑺² + 𝟏𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟎
Mas como S é um numero complexo, o mesmo pode se assim escrito 𝑺 = 𝝈 + 𝒋𝝎.
Contudo, a parte real no caso do Kc é igual a zero*. Desta forma 𝑺 = 𝒋𝝎
* A instabilidade do sistema acontece quando os polos se encontram no semi plano
positivo, assim o valor do ganho crítico começa a instabilizar o sistema logo na
origem do plano S, isto é 𝝈 = 𝟎.
Substituindo 𝑺
1
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
𝟑, 𝟓(𝝎𝒋)² + 𝟏𝟏, 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟎
−𝟑, 𝟓𝝎𝟐 + 𝟏𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟎
𝝎𝟐 = 𝟑, 𝟓 → 𝝎 = √𝟑, 𝟓
𝝎 = ∓𝟏, 𝟖𝟕
Sabe-se que:
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟏, 𝟖𝟕
Como se busca encontrar o período crítico, teremos:
𝟐𝝅
= 𝟏, 𝟖𝟕 → 𝑷𝒄 = 𝟑, 𝟑𝟔 𝒔
𝑷𝒄
2- Parâmetros do controlador
A partir da tabela de Ziegler-nichols encontramos os parâmetros do controlador.
PID
𝑲𝒑 = 𝟎, 𝟔 𝑲𝒄
𝑲𝒑 = 𝟕, 𝟓
𝑻𝑰 = 𝟎, 𝟓 𝑷𝒄
𝑻𝑰 = 𝟏, 𝟔𝟖
𝑻𝑫 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝑷𝒄
𝑻𝑫 = 𝟎, 𝟒𝟐
Portanto, a função de transferência do controlador e dada por:
𝟏
𝑪(𝒔) = 𝑲𝒑 (𝟏 +
+ 𝑻𝑫 𝒔)
𝑻𝑰 𝒔
𝟏
𝑪(𝒔) = 𝟕, 𝟓(𝟏 +
+ 𝟎, 𝟒𝟐𝒔)
𝟏, 𝟔𝟖𝒔
Comparação do sistema com e sem compensador.
 Exercício Proposto
 Considere os sistemas mostrado nas Figuras abaixo, e aplique a regra de
Ziegler – Nichos para determinar os parâmetros do controlador.
2
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Forma de onda sem compensador
Lugar geométrico das Raízes (LGR)
 Exercício resolvido
Obtenha o Root-Locus para um sistema com realimentação unitária com função de
transferência de malha aberta dada por:
Diagramas de Pólos e Zeros:
Regra 1: (Pontos de Inicio e Término do L.G.R.): Os ramos do Root Locus
começam nos pólos de G(s)H(s), dos quais K→ 0. Os ramos terminam nos zeros
de G(s)H(s) nos quais K→ +¥.
Obs\ O número de zeros no infinito é igual ao número de pólos de G(s)H(s) menos
o número de zeros de G(s)H(s).
3
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Regra 2: (L.G.R. sobre o eixo real): As regiões do eixo real à esquerda de um
número ímpar de pólos e zeros de “G(s)H(s)” pertencem ao Root-Locus.
Trechos pertencentes ao Root-Locus: todo o eixo real negativo pertence ao
Root Locus
Regra 3: Quando K se aproxima de “¥”, os ramos de Root-Locus assintotam retas
com inclinação.
Regra 4: O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade da associação
de pólos e zeros:
Regra 5: Os pontos nos quais os ramos do Root-Locus deixam (ou entram) no eixo
real são determinados conforme a seguir:
IMPORTANTE:
Como encontramos 2 valores possíveis, precisamos determinar qual deles é ponto
de saída. Para tal, devemos obter a derivada segunda de K em relação à “s”
4
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
e substituir as raízes encontradas em
, nesta equação. Quando o valor for
positivo, o ponto é de chegada, uma vez que este ponto é o valor mínimo do
polinômio. Quando o valor for negativo, o ponto é de saída, uma vez que este
ponto representa o máximo valor do polinômio.
Assim sendo, retornando-se ao exemplo, temos:
Regra 6: Os ângulos de saída (de chegada) de pólos (zeros) são determinados a
partir da condição geral do ângulo. (contribuição)
5
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Regra 7: A intersecção do “Root-Locus” com o eixo imaginário pode ser
determinada empregando o critério de “Routh-Hurwitz”.
 Exercício proposto
Determine o LGR para as FT’s abaixo:
Controlador com avanço de fase baseado no método do Lugar geométrico
das Raízes (LGR)
 Exercício resolvido
Considere o sistema mostrado abaixo. Projete um compensador avanço de fase
de forma que os polos em malha fechada tenham coeficiente de amortecimento
𝜹=0,5 e a frequencia natural a amortecida 𝝎𝒏 = 3 rad/s. Deseja-se tambem reduzir
overshoot.
Controlador com atraso de fase baseado no método do Lugar geométrico das
Raízes (LGR)
Assim teremos:
* A FT de malha fechada
𝒀(𝒔)
𝟏𝟎
= 𝟐
𝑼(𝒔) 𝑺 + 𝑺 + 𝟏𝟎
6
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
* Os polos em Malha fechada
𝑺 = −𝟎, 𝟓 ∓ 𝟑, 𝟏𝟐𝟑𝒋
* A Frequencia natural não amortecida
𝝎𝒏 = √𝒃 → 𝒃 = 𝝎𝒏 𝟐 = 𝟏𝟎 → 𝝎𝒏 = 𝟑, 𝟏𝟔𝐫𝐚𝐝/𝐬
* O fator de amortecimento
𝒂 = 𝟐𝜹𝝎𝒏 → 𝜹 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟏
Como o fator de amortecimento é muito pequeno, e consequentemente o
sobressinal alto, deve-se buscar um polo que forneça as especificações desejadas
(os novos valores de 𝜹=0,5 e 𝝎𝒏 = 3 rad/s.) sem alterar as características da planta.
A localização desejada do polo é determinado por:
𝑺𝟐 + 𝟐𝜹𝝎𝒏 𝐒 + 𝝎𝒏 𝟐 = 𝑺𝟐 + 𝟑𝐒 + 𝟗
𝑺 = −𝟏, 𝟓 ∓ 𝟐, 𝟔𝒋
O controlador por avanço de fase é do tipo:
𝑻𝑺 + 𝟏
𝑮(𝒔) = 𝑲
𝑻𝑺 + 𝟏
O método é o seguinte:
1- Inserir polos e zeros
desejado.
Neste exemplo temos:
que anulem o ângulo do polo em malha fechado
∑ â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒛𝒆𝒓𝒐𝒔 − ∑ â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒍𝒐𝒔 = 𝟏𝟖𝟎º
7
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Assim o controlador vai inserir um zero do tipo (S +1) e um polo (S + 3).
2- Agora devemos encontrar o valor do ganho K
A FT em malha fechada para o sistema acima é dado por:
𝒀(𝒔)
𝑪(𝒔)𝑮(𝒔)
=
𝑼(𝒔)
𝟏 + 𝑪(𝒔)𝑮(𝒔)𝑯(𝒔)
𝟏 + 𝑪(𝒔)𝑮(𝒔)𝑯(𝒔) = 𝟎
Logo
𝑺+𝟏
𝟏𝟎
|𝐊
|=𝟏
𝑺 + 𝟑 𝒔(𝒔 + 𝟏)
Assim
𝑺(𝑺 + 𝟑)
𝐊=
𝟏𝟎
Fazendo S igual ao polo em malha fechada desejado 𝑺 = −𝟏, 𝟓 ∓ 𝟐, 𝟔𝒋, teremos:
𝐊 = 𝟎, 𝟗
Avaliando o desempenho da planta com o controlador, via MATLAB
8
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
 Exercício proposto
A figura abaixo representa um sistema de controle de variação de posição de uma
aeronave. Projete um controlador com avanço de fase, de forma a minimizar as
oscilações em regime transitório.
OBS. O ponto de trabalho com as especificações de desempenho do sistema deve
ser arbitrado pelo projetista.
Forma de onda sem compensador
Controlador com atraso de fase baseado no método do Lugar geométrico das
Raízes (LGR)
 Exercício resolvido
Dado sistema abaixo:
9
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Determine as características do compensador com atraso de fase.
1º Passo
Verificar a estabilidade (Critério de Routh);
2º Passo
Determinar o erro de posição;
100
𝐾𝑝 = lim 𝑠→0 𝐺(𝑠) = (𝑠+1)(𝑠+2)(𝑠+10)
𝐾𝑝 = lim 𝑠→0 𝐺(𝑠) =
100
(0+1)(0+2)(0+10)
𝑲𝒑 = 5
3º Passo
Determinar o erro estático;
𝟏
𝟏
e(∞) = 𝟏+ 𝑲 = 𝟏+ 𝟓
𝒑
e(∞) = 0,167
4º Passo
Arbitrar o percentual de erro que se quer reduzir e recalcular 𝑲𝒑 ( 𝑲𝒑𝒄 com o
controlador).
Atribuímos um erro 10 vezes menor, assim termos:
e(∞) =
𝟎,𝟏𝟔𝟕
𝟏𝟎
𝟏
= 𝟏+ 𝑲
𝒑
→ 𝑲𝒑𝒄 = 𝟓𝟖, 𝟗
5º Passo
Determinar o polo e o zero do controlador
* Para manter a resposta transitória inalterada os polos e zeros devem estar um
próximo do outro;
* Para minimizar a contribuição angular do polo e do zero inserido, os mesmos
devem estar bem próximo da origem.
Assim:
𝒁𝒄 𝑲𝒑𝒄
𝟓𝟖. 𝟗
𝒁𝒄
=
=
→
= 𝟏𝟏, 𝟕𝟖
𝑷𝒄
𝑲𝒑
𝟓
𝑷𝒄
Arbitrando o valor de Pc
𝑷𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟏
Logo Zc:
𝒁𝒄 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟕𝟖
Comparando o sistema compensado e não compensado no Matlab.
10
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
 Exercício proposto
Determine os parâmetros do controlador com atraso de fase para as FT’s
abaixo:
Controlador com avanço e atraso de fase baseado no método do Lugar
geométrico das Raízes (LGR)
 Exercício resolvido
Considere o sistema de controle mostrado na figura abaixo:
11
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Após a análise do comportamento da forma de onda de saída, deseja-se tornar o
coeficiente de amortecimento igual a 0,5 e aumentar a frequência natural não
amortecida para 5 rad/s². Já em relação ao erro estático pretende-se reduzir em
100 vezes.
 Polos em malha aberta - (𝑺 = 𝟎 𝒆 𝑺 = −𝟎, 𝟓);


Polos em malha fechada – (𝑺 =
−𝟎,𝟓±√𝟎,𝟐𝟓−𝟏𝟔
𝟐
𝟐
) → (𝑺 =
)
(𝑺 = −𝟎, 𝟐𝟓 ± 𝟐𝒋)
Polo de malha fechado desejado
Devemos escolher um novo polo para atender as especificações de
desempenho desejado (coeficiente de amortecimento igual a 0,5 e
aumentar a frequência natural não amortecida para 5 rad/s²). Assim
teremos:
𝑺𝟐 + 𝟐𝒂𝜹𝝎𝒏 𝑺 + 𝝎𝟐𝒏 = 𝑺𝟐 + 𝟐𝒙𝟎, 𝟓𝒙𝟓𝑺 + 𝟓² = 𝑺𝟐 + 𝟓𝑺 + 𝟐𝟓
Logo o polo desejado é: (𝑺 =

−𝟎,𝟓 ∓√𝟎,𝟓𝟐 −𝟒𝒙𝟒
−𝟓±√𝟐𝟓−𝟏𝟎𝟎
𝟐
) → (𝑺 = −𝟐, 𝟓 ± 𝟒, 𝟑𝟑𝑱)
Erro de posição
𝟒
→ 𝑲𝒑 = 𝟏
𝑺→𝟎 𝑺² + 𝟎, 𝟓𝑺 + 𝟒
𝑲𝒑 = 𝐥𝐢𝐦 𝑮(𝒔) = 𝐥𝐢𝐦
𝑺→𝟎

Erro estático
𝒆(∞) =
𝟏
𝟏
=
→ 𝒆(∞) = 𝟎, 𝟓
𝟏 + 𝑲𝒑 𝟏 + 𝟏
A – Determinação do parâmetros do controlador com avanço de fase
 Inserir polos e zeros que anulem o ângulo do polo em malha fechado
desejado.
∑ â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 − ∑ â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 = 180º
12
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Inserindo um zero no polo -0,5, isso anulará o efeito do ângulo deste polo.
Já para anular o efeito do ângulo 𝛼2 deve-se inserir um polo a uma distância que
permita conseguir um ângulo 𝛼1 = 180º − 𝛼2.
Assim:
4,33
𝛼2 = 180 + 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
→ 𝜶𝟐 = 𝟏𝟐𝟎º
2,5
Desse modo, para que 𝜶𝟏 = 𝟔𝟎º o polo deve se encontrar em -5.

Determinação do ganho K
𝐾(𝑠 + 0,5)
4
4𝐾
⌈
𝑥
⌉=1→⌈
⌉=1
(𝑠 + 5)
𝑠(𝑠 + 0,5)
(𝑠² + 5𝑠)
Fazendo
𝑆 = −2,5 + 4,33𝑗
⌈
4𝐾
⌉=1
(2,5 + 4,33𝑗)(−2,5 + 4,33𝑗) + 5(−2,5 + 4,33𝑗)
4𝐾
⌈
⌉ = 1 → 𝒌 = 𝟔, 𝟐𝟒
−25
B- Determinação do controlador de atraso de fase
 Alteração do erro de posição de 1 para 100
0,5
1
𝒆(∞) =
=
→ 𝑲𝒑𝒄 = 𝟏𝟗𝟗
100
1 + 𝐾𝑝𝑐
𝑍𝑐 𝐾𝑝𝑐 199
=
=
𝑃𝑐
𝐾𝑝
1
Arbitrando um valor para 𝑃𝑐 → 𝑷𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏;
13
www.iecetec.com
IECETEC
CONTROLE AUTOMÁTICO II
Assim 𝒁𝒄 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟗.
Comparando o sistema compensado e não compensado no Matlab.
 Exercício proposto
Considere o modelo do sistema de um veiculo espacial mostrado na figura abaixo.
Projete um compensador de avanço e atraso de fase C (s) de forma que os polos
em malha fechada tenham coeficiente de amortecimento 𝜹 =0,5 e a frequencia
natural a amortecida 𝝎𝒏 = 2 rad/s respectivamente.
Forma de onda sem compensador
14
www.iecetec.com