Capítulo 7
Teorema e fórmula de Cauchy globais
7.1. Introdução
O Teorema de Cauchy Global é descrito nesta secção em termos do índice de um
caminho fechado em relação a um ponto, seguindo uma ideia de E. Artin1 de1951 que
corresponde a estender o Teorema de Cauchy a um sistema de caminhos fechados
(ciclos) cuja soma de índices em relação aos pontos exteriores ao domínio de holomorfia
da função considerada é zero (homólogos a zero). A demonstração aqui dada para o
Teorema de Cauchy e para a Fórmula de Cauchy globais deve-se a J. Dixon em 1971.
O caso de conjuntos simplesmente conexos foi considerado por Cauchy em 1825
para funções com derivada contínua e por Goursat em 1900 sem a exigência de
continuidade da derivada, hipótese que este provou ser supérfula como se observou no
capítulo anterior. O caso de conjuntos multiplamente conexos é considerado no final
deste capítulo em relação com a noção de conectividade de conjuntos introduzida por B.
Riemann em 1857 para superfícies.
Os conceitos de homologia, cadeia e ciclo devem-se a H. Poincaré, no período
1895-1904, quando contribuiu de maneira decisiva para abrir uma nova área da
matemática ao estudar propriedades topológicas de superfícies com métodos algébricos.
7.2. Cadeias, ciclos, integrais sobre cadeias e ciclos,
índice e homologia de ciclos
No capítulo 4 consideraram-se simétricos e concatenações de caminhos, mas tal
exigiu a preocupação com detalhes relativos aos domínios e às relações definidas, que
1 Émile Artin (1898-1962). Ver E. Artin, Collected Papers, Addison-Wesley Publishing Co. (1965).
101
102
Teorema e fórmula de Cauchy globais
são inconvenientes e até irrelevantes para efeitos de integração. Além disso, é útil poder
somar caminhos sem preocupações com aspectos secundários, como a ordem em que são
considerados e a escolha das extremidades de caminhos fechados. É por estas razões que
se introduz a noção de cadeia de caminhos.
Chama-se cadeia em Ω ⊂ ℂ a um conjunto finito de caminhos γ 1 , Κ , γ n
seccionalmente regulares2 em Ω , que se designa por Γ = γ 1 + Κ + γ n , considerando duas
cadeias iguais se os integrais sobre elas de todas as funções contínuas definidas na união
das curvas descritas pelos caminhos que as compõem são iguais. Diz-se que a cadeia
Γ = γ 1 + Κ + γ n é a soma dos caminhos γ 1 , Κ , γ n . Define-se o simétrico da cadeia Γ
por − Γ = (−γ 1 ) + Κ + (−γ n ) , onde − γ é o simétrico do caminho γ . Se os caminhos
γ 1 ,Κ , γ n são fechados, diz-se que a cadeia Γ é um ciclo. Designa-se por Γ * a união das
curvas representadas pelos caminhos de Γ , isto é, Γ* = γ 1* ∪ Κ ∪ γ n* . Define-se o integral
de uma função f sobre a cadeia Γ por
∫
Γ
n
f ( z ) dz = ∑
k =1
∫γ
f ( z ) dz ,
k
quando existem os integrais no lado direito.
A soma de cadeias Γ = γ 1 + Κ + γ n e Σ = σ 1 + Κ + σ m é definida por
Γ + Σ = γ 1 + Κ + γ n + σ 1 + Κ + σ m e a diferença de cadeias por Γ − Σ = Γ + (−Σ) . A
soma de uma cadeia Γ consigo própria k ∈ ℕ vezes é designada por k Γ . Define-se
(−k ) Γ = −(k Γ ) e 0 Γ = 0 designa cadeia nula, ou cadeia vazia. Deste modo é possível
considerar quaisquer combinações lineares finitas de cadeias num conjunto Ω ⊂ ℂ com
coeficientes inteiros. É claro que se f é uma função complexa contínua definida em
Ω ⊂ ℂ, Γ e Σ são cadeias em Ω e c1 , c 2 ∈ ℤ, verifica-se
∫
−Γ
f = −∫ f ,
Γ
∫
Γ+Σ
f =∫ f + ∫ f ,
Γ
Σ
∫
Γ−Σ
f =∫ f − ∫ f ,
Γ
Σ
∫
c1Γ+c2Σ
f = c1 ∫ f + c2 ∫ f ,
Γ
Σ
∫
0
f =0.
Com estas definições, as somas e subtracções de um número finito de cadeias num
conjunto Ω ⊂ ℂ dão sempre cadeias nesse conjunto e a soma é comutativa, associativa,
tem elemento neutro e cada elemento tem simétrico, isto é, o conjunto das cadeias em
Ω ⊂ ℂ é um grupo comutativo.
Define-se o índice de um ciclo Γ = γ 1 + Κ + γ n em relação a um ponto
z ∈ ℂ \ Γ * por
n
1
dw
=
Ind Γ ( z ) =
∑ Ind γ k ( z ) .
2π i ∫Γ w − z k =1
É claro que se Γ e Σ são ciclos e c1 , c 2 ∈ ℤ, é Ind c1Γ + c2Σ = c1 Ind Γ + c 2 Ind Σ . As
componentes conexas de ℂ \ Γ * são as intersecções das componentes conexas de
ℂ \ γ 1* ,Κ , ℂ \ γ n* . Sabe-se do teorema 4.9 que Ind γ k é constante em cada componente
conexa de ℂ \ γ k* e é zero na sua componente conexa ilimitada. Portanto, também Ind Γ é
constante em cada componente conexa de ℂ \ Γ * e é zero na sua componente conexa
ilimitada.
2 Tal como se referiu anteriormente, quando se opta por usar integrais de Lebesgue basta considerar
caminhos rectificáveis.
7.3. Teorema e fórmula de Cauchy globais
103
É conveniente dispor de um método prático para calcular índices de ciclos. O
resultado seguinte é útil para este efeito. Essencialmente afirma que o índice de um
caminho fechado γ aumenta de 1 quando o caminho é atravessado “da direita para a
esquerda”. Na verdade, recordando que Ind γ ( z ) = 0 para z pertencente à componente
conexa ilimitada de ℂ \ γ * , pode-se determinar Ind γ ( z ) sucessivamente em conjuntos de
pontos ao longo de caminhos τ que começam na componente conexa ilimitada de ℂ \ γ *
e cortam transversalmente γ de modo a intersectar com caminhos deste tipo pontos de
todas as componentes conexas de ℂ \ γ * (Figura 7.1).
τ 0
0
-1
-1 -2
-1
0
+1
+1
0
+1
+2
+3
+1
+2
+1
+2
+1
0
0
Figura 7.1: Ilustração geométrica da determinação de Ind γ
em cada componente conexa de ℂ \ γ *
(7.1) Proposição: Seja γ : [a, b] → ℂ um caminho seccionalmente regular fechado,
a < u < v < b tais que a circunferência centrada no ponto P a meio do segmento de
recta de extremos γ (u ) e γ (v) que passa nestes dois pontos não intersecta a curva γ *
em qualquer outro ponto, e o círculo B por ela limitado intersecta γ * no conjunto
γ ([u, v ]) . Designam-se por B+ , B− as componentes conexas de B \ γ * tais que
P + iQ ∈ B+ e P − iQ ∈ B− , onde Q = (γ (v) − γ (u ) ) / 2 . Então, se z ∈ B+ e w ∈ B−
verifica-se Ind γ ( z ) = Ind γ ( w) + 1 (Figura 7.2).
Dem. Para simplificar reparametriza-se γ de modo a ter u = 0 e v = π e define-se
C (t ) = P − Q e it para t ∈ [0,2π ]
,
, se t ∈ [0, π ]
 C (t )
,
f (t ) = 
γ (2π − t ) , se t ∈ [π ,2π ]
 γ (t ) , se t ∈ [0, π ]
g (t ) = 
C (t ) , se t ∈ [π ,2π ]
,
 γ (t ) , se t ∈ [a,0] ∪ [π , b]
.
h(t ) = 
C (t ) , se t ∈ [0, π ]
Como γ (0) = C (0) e γ (π ) = C (π ) , os caminhos f , g , h são fechados (Figura 7.2). Seja
r =|| Q || o raio da circunferência considerada no enunciado. Se E ⊂ B e ς ∈ C * \ E , o
ponto 2 P − ς é o ponto na circunferência C * diametralmente oposto a ς , e verifica-se
E ⊂ B2r (2P − ς ) e ς ∉ B2r (2P −ς ) . Tomando E = g*, ς = P − iQ , obtém-se Ind g (P −iQ) = 0 .
104
Teorema e fórmula de Cauchy globais
Como B− é conexo e B− ∩ g* = ∅ , obtém-se Ind g (w) = 0 para w ∈ B− . Analogamente
Ind f ( z ) = 0 para z ∈ B+ . Portanto verifica-se
Ind γ ( z ) = Ind γ ( z ) + Ind f ( z ) = Ind h ( z ) = Ind h ( w)
=
Ind h ( w) + Ind g ( w) = Ind γ ( w) + Ind C ( w) = Ind γ ( w) + 1 .
P+i Q
z
γ
γ(u)
h
C
P
Q.E.D.
γ(v)
B+
g
f B- w
P-i Q
Figura 7.2: Ilustração para a demonstração da proposição 7.1, Ind γ ( z ) = Ind γ ( w) + 1
Diz-se que um ciclo Γ em Ω ⊂ ℂ é um ciclo homólogo a zero em Ω se Ind Γ = 0
no conjunto ℂ \ Ω (Figura 7.3). Diz-se que dois ciclos Γ e Σ em Ω são ciclos
homólogos em Ω se o ciclo Γ − Σ é homólogo a zero em Ω , isto é, se Ind Γ =Ind Σ em
ℂ \ Ω (Figura 7.4). É claro que a homologia é uma relação de equivalência no conjunto
dos ciclos num conjunto Ω ⊂ ℂ, pelo que estabelece nesse conjunto classes de
equivalência, chamadas classes de homologia.
Figura 7.3: Caminhos e ciclos
homólogos a zero ( γ 1 ≈ γ 2 ≈ γ 3 ≈ 0 )
Figura 7.4: Caminhos e ciclos homólogos
( γ 1 + γ 2 ≈ γ 3 , λ1 ≈ λ2 ≈ σ 1 + σ 2 )
Como o índice de um caminho γ em relação a um ponto que não pertence a γ * é
igual ao número de voltas que o caminho dá em torno desse ponto, no sentido positivo
(ou contrário ao dos ponteiros do relógio), um ciclo é homólogo a zero em Ω quando os
caminhos fechados que o compõem dão, em torno de cada uma das componentes
conexas de ℂ \ Ω , tantas voltas no sentido positivo como no sentido negativo (Figura
7.3). Pela mesma razão, dois caminhos são homólogos em Ω se ambos dão, em torno de
cada uma das componentes conexas de ℂ \ Ω , a mesma diferença entre o número de
voltas no sentido positivo e o número de voltas no sentido negativo (Figura 7.4).
Na secção 4.5 considerou-se a noção de homotopia entre pares de caminhos
fechados seccionalmente regulares num dado conjunto e, também, a noção de homotopia
7.3. Teorema e fórmula de Cauchy globais
105
entre pares de caminhos seccionalmente regulares com o mesmo par ordenado de pontos
inicial e final num dado conjunto. É fácil estender este conceito a cadeias e a ciclos. Dizse que duas cadeias (ou ciclos) Γ e Σ em Ω são cadeias (ou ciclos) homotópicas(os)
em Ω se têm decomposições como somas finitas de caminhos tais que existe uma
correspondência biunívoca entre as parcelas destas somas tal que caminhos
correspondentes são homotópicos em Ω (Figura 7.5). É claro que a homotopia é uma
relação de equivalência no conjunto das cadeias (ou ciclos) num conjunto Ω ⊂ ℂ, pelo
que estabelece nesse conjunto classes de equivalência, chamadas classes de homotopia.
Figura 7.5: Caminhos e ciclos homotópicos ( γ 1 ~ γ 2 , λ1 ~ λ2 , σ 1 ~ σ 2 )
Há uma relação simples entre a homologia e a homotopia3 de ciclos.
(7.2) Proposição: Todos os ciclos homotópicos em Ω ⊂ ℂ são homólogos em Ω .
Dem. É consequência imediata da definição de homotopia entre ciclos e da invariância do
índice de pontos no complementar de Ω em cada classe de homotopia de caminhos
Q.E.D.
fechados seccionalmente regulares em Ω , provada na proposição (4.11).
Classe de homotopia
Classe de homologia
Ciclo
União de caminhos fechados
Figura 7.6: Relações entre classes de homotopia de ciclos,
classes de homologia, conjunto dos ciclos e uniões finitas de caminhos fechados
seccionalmente regulares (respectivamente, rectificáveis) num conjunto Ω ⊂ ℂ
Pode-se mostrar que há conjuntos Ω ⊂ ℂ com ciclos homólogos em Ω que não
são homotópicos4 em Ω , pelo que, em geral, a decomposição em classes de equivalência
3 Não se exploram neste texto as consequências das importantes noções de homotopia e homologia no
âmbito da Topologia Algébrica e da Álgebra Homológica, além da utilização de homologia na
demonstração do Teorema da Curva de Jordan no apêndice III. O leitor interessado em Topologia
Algébrica poderá consultar textos gerais nessa área como, por exemplo, o excelente texto introdutório de
William Fulton, Algebraic Topology, A First Course, Springer-Verlag, New York, 1995.
106
Teorema e fórmula de Cauchy globais
de homotopia de ciclos em Ω é mais fina do que a decomposição em classes de
equivalência de homologia em Ω , isto é, toda a classe de homotopia em Ω está contida
numa classe de homologia em Ω e toda a classe de homologia em Ω é uma união
disjunta de classes de homotopia em Ω (Figura 7.6).
7.3. Teorema e fórmula de Cauchy globais
A demonstração do Teorema de Cauchy Global e da correspondente Fórmula de
Cauchy aqui apresentada deve-se a J. Dixon5, em 1971.
(7.3) Teorema de Cauchy Global e Fórmula de Cauchy Global: Seja Ω ⊂ ℂ um
conjunto aberto, Γ , Γ1 e Γ2 ciclos em Ω e f ∈ H (Ω) .
1) Se Γ é homólogo a zero em Ω , então
∫
Γ
f ( z ) dz = 0 ,
2) Se Γ é homólogo a zero em Ω , então f (z) . Ind Γ (z) =
3) Se Γ1 e Γ2 são homólogos em Ω , então
∫
Γ1
1
2π i
∫
Γ
f (w)
dw, para z ∈ Ω \ Γ * .
w− z
f =∫ f .
Γ2
Dem.
1º passo: 2) implica 1). Toma-se a ∈ ℂ \ Γ * e define-se F ( z ) = ( z − a ) f ( z ) . É claro que
F ∈ H (Ω) e F (a ) = 0 . Aplicando 2),
F ( z)
∫Γ f ( z) dz = ∫Γ z − a dz = 2π i F (a) . Ind Γ (a) = 0 .
2º passo: 1) implica 3). Se Γ1 e Γ2 são homólogos em Ω , Γ = Γ2 − Γ1 é homólogo a
zero em Ω , pelo que resulta de 1)
∫ f ( z ) dz − ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz = 0 .
Γ2
Γ1
Γ
Para terminar a demonstração resta verificar a validade de 2), para o que é útil
definir as funções g : Ω × Ω → ℂ, h : Ω → ℂ e h0 : Ω 0 → ℂ, com Ω 0 = { z ∈ ℂ \ Γ * :
Ind Γ ( z ) = 0 } , tais que
 f ( w) − f ( z )
1
1
f ( w)
, se w ≠ z

h( z ) =
g ( w, z ) dw , h0 ( z ) =
dw ,
g ( w, z ) = 
w− z
∫
∫
Γ
Γ w− z
π
i
2
π
i
2
 f ′( z )
, se w = z
e notar que 2) é equivalente a h( z ) = 0 para z ∈ Ω \ Γ * . É esta observação que se
explora no passo seguinte.
3º passo: h∈H(Ω) implica 2). Suponhamos que h∈H(Ω). A proposição (5.5) garante que
h0 é analítica, e portanto holomorfa, em Ω0 . Para z ∈Ω∩Ω0 é h(z) = h0 (z) − f (z) 2π i Ind Γ (z)
= h0(z) . O conjunto Ω 0 é uma união de componentes conexas do conjunto aberto ℂ \ Γ *
e, portanto, é um subconjunto aberto de ℂ. Segue-se que a função ϕ : Ω ∪ Ω 0 → ℂ tal
4 Observar os caminhos γ e γ na Figura 7.3.
1
2
5 John D. Dixon, A brief proof of Cauchy’s integral theorem, Proceedings of the American Mathematical
Society, 29 (1971), pp. 625-626.
7.3. Teorema e fórmula de Cauchy globais
107
que ϕ = h em Ω e ϕ = h0 em Ω 0 é holomorfa em Ω ∪ Ω 0 . Como por hipótese ℂ \ Ω⊂Ω0 ,
obtém-se ϕ∈H( ℂ ) . Como Ind Γ (z) = 0 na componente conexa ilimitada de ℂ \ Γ*, esta
componente está incluída no conjunto Ω 0 e, em consequência, lim ϕ ( z ) = lim h0 ( z ) = 0 .
| z|→∞
| z| →∞
O Teorema de Liouville (5.14) implica que ϕ é constante e, portanto, ϕ ( z ) = 0 , para
z ∈ ℂ. Logo h( z ) = 0 , para z ∈ ℂ \ Γ * , o que implica a validade de 2).
4º passo: h ∈ H (Ω) . A proposição (6.4) garante que g ( w, z ) é contínua como função das
duas variáveis e holomorfa como função de z , para todo w ∈ Γ * fixo. Aplicando a
proposição (7.4), que se segue, obtém-se h ∈ H (Ω) .
Q.E.D.
O resultado seguinte é utilizado na demonstração do teorema anterior e é útil
noutras situações, pelo que é aqui tratado separadamente.
(7.4) Proposição: Se Ω1 , Ω 2 ⊂ ℂ são conjuntos abertos, γ : [a,b]→ Ω1 é um caminho
seccionalmente regular, g : Ω1 × Ω 2 → ℂ é uma função contínua tal que a função
z α g ( w, z ) é holomorfa em Ω 2 para todo w ∈ γ * , e h : Ω 2 → ℂ é definida por
h( z ) = ∫ g ( w, z) dw , então h ∈ H (Ω 2 ) . Se na afirmação anterior o caminho γ
γ
é
substituído por uma cadeia Γ em Ω1 , então também h ∈ H (Ω 2 ) .
Dem. A demonstração usa propriedades de continuidade e convergência uniforme e os
teoremas de Fubini, de Cauchy em conjuntos convexos e de Morera.
Como g é contínua no conjunto Ω1 × Ω 2 , é uniformemente contínua em cada
subconjunto compacto deste conjunto. Se {z n } é uma sucessão em Ω 2 que converge
para um ponto z ∈ Ω 2 , verifica-se g ( w, z n ) → g ( w, z ) uniformemente, para todo
w ∈ γ * , uma vez que γ * é um conjunto compacto. Integrando os termos da sucessão e o
seu limite obtém-se h(z n ) → h( z ) . Portanto, a função h é contínua em Ω 2 . Nestas
condições, para todo o triângulo fechado ∆ ⊂ Ω 2 pode-se aplicar o Teorema de Fubini e
o Teorema de Cauchy local em conjuntos convexos (4.8), obtendo-se
∫∂∆ h( z ) dz = ∫∂∆  ∫γ g ( w, z )dw  dz = ∫γ ∫∂∆ g ( w, z ) dz dw = 0 .
O Teorema de Morera (6.3) garante, então, que h ∈ H (Ω 2 ) .
(
)
Se na definição de h o integral sobre o caminho γ é substituído por um integral
sobre uma cadeia Γ em Ω1 , então este integral é uma soma finita de integrais sobre
caminhos seccionalmente regulares em Ω1 , pelo que h é uma soma de funções
holomorfas em Ω 2 e, portanto, também h ∈ H (Ω 2 ) .
Q.E.D.
Se γ é um caminho seccionalmente regular fechado num conjunto aberto convexo
Ω ⊂ ℂ e z ∈ ℂ \ Ω , por aplicação do Teorema de Cauchy local em conjuntos convexos
(4.8) obtém-se Ind γ ( z ) = 0 , pelo que todo o ciclo em Ω é homólogo a zero em Ω .
Portanto, as hipóteses do Teorema de Cauchy Global verificam-se se Ω é convexo e
f ∈ H (Ω) , para todo o ciclo Γ em Ω , pelo que o Teorema de Cauchy Global generaliza
o Teorema de Cauchy local em conjuntos convexos (4.8) e a Fórmula de Cauchy local
em conjuntos convexos (4.12).
108
7.4.
Teorema e fórmula de Cauchy globais
Invariância dos integrais de uma função holomorfa
sobre caminhos homólogos e sobre caminhos homotópicos
no conjunto de holomorfia
O resultado seguinte é consequência imediata do Teorema de Cauchy Global.
(7.5) Teorema (invariância de integrais de funções holomorfas sobre caminhos
homólogos e sobre caminhos homotópicos): Seja Ω ⊂ ℂ um conjunto aberto, γ 1 , γ 2
caminhos seccionalmente regulares em Ω e f ∈ H (Ω) .
∫γ
são caminhos homotópicos6 em Ω , então ∫ f = ∫
γ
γ
1) Se γ 1 , γ 2 são caminhos fechados homólogos em Ω , então
2) Se γ 1 , γ 2
1
1
f =∫ f.
γ2
f.
2
Dem. 1) É consequência imediata da parte 3) do Teorema de Cauchy Global. Se γ 1 , γ 2
são caminhos fechados homotópicos em Ω , então são homólogos em Ω , pelo que o
correspondente resultado em 2) é consequência imediata de 1). Resta provar 2) para
caminhos que não são fechados. Neste caso, da proposição (4.11) resulta que o índice do
caminho fechado γ = γ 1 + (−γ 2 ) em relação a cada ponto de ℂ \ Ω é nulo, pelo que o
ciclo Γ = γ é homólogo a zero em Ω e, aplicando a parte 1) do Teorema de Cauchy
Global, obtém-se ∫ f − ∫ f = ∫ f + ∫ f = ∫ f = 0 , o que dá o resultado.
Q.E.D.
γ1
γ2
γ1
−γ 2
Γ
No capítulo 4 viu-se que os integrais de uma função complexa sobre caminhos
seccionalmente regulares equivalentes são invariantes, pelo que os integrais de funções
complexas ficam bem definidos nas correspondentes classes de equivalência. O resultado
anterior estabelece a invariância dos integrais de uma função holomorfa em Ω ⊂ ℂ sobre
caminhos seccionalmente regulares homotópicos em Ω , pelo que os integrais de funções
holomorfas em Ω ficam bem definidos nas classes de homotopia de caminhos em Ω . O
resultado também estabelece a invariância dos integrais de uma função holomorfa em Ω
sobre caminhos fechados seccionalmente regulares homólogos em Ω , pelo que os
integrais de funções holomorfas em Ω ficam bem definidos nas classes de homologia
de caminhos em Ω .
Como as cadeias (respectivamente, os ciclos) num conjunto Ω ⊂ ℂ são somas
finitas de caminhos (respectivamente, caminhos fechados) seccionalmente regulares em
Ω , o teorema anterior e as observações seguintes aplicam-se também a cadeias
(respectivamente, ciclos).
6 Recorde-se que só se considera a homotopia entre caminhos não fechados quando têm o mesmo par
ordenado de pontos inicial e final, enquanto que entre caminhos fechados tal não é necessário.
7.5. Regiões simplesmente conexas e multiplamente conexas
7.5.
109
Regiões simplesmente conexas e multiplamente conexas
Tal como é usual em ℝ n , diz-se que Ω ⊂ ℂ é uma região simplesmente conexa
se é uma região onde todo o caminho seccionalmente regular fechado é homotópico a um
caminho constante em Ω (isto é, a um caminho γ tal que γ * é um ponto) (Figura 7.7).
Ω
Σ
Figura 7.7: Regiões simplesmente conexas
O resultado seguinte mostra que todos os ciclos numa região simplesmente conexa
Ω são homólogos a zero em Ω , isto é, não há ciclos numa tal região que dêem voltas
em torno de pontos que não pertencem à região. Em consequência, para regiões
simplesmente conexas a aplicação do Teorema de Cauchy Global (7.3) fica
consideravelmente simplificada, pois é desnecessário verificar se um ciclo numa dessas
regiões é homólogo a zero, visto que tal acontece sempre.
(7.6) Proposição: Se Ω ⊂ ℂ é uma região simplesmente conexa, então todos os ciclos
em Ω são homólogos a zero em Ω .
Dem. Todo o caminho fechado seccionalmente regular em Ω é homotópico a um
caminho constante em Ω e, portanto, segue-se da proposição (7.2) que também é
homólogo a um caminho constante em Ω . Como os integrais de funções arbitrárias sobre
caminhos constantes são nulos, o índice de um caminho constante em Ω em relação a
um ponto do complementar de Ω é zero, pelo que um tal caminho é homólogo a zero.
Portanto, todo o caminho fechado seccionalmente regular em Ω é homólogo a zero em
Ω . Dado que os ciclos em Ω são somas finitas de caminhos seccionalmente regulares
em Ω , todos os ciclos em Ω são homólogos a zero.
Q.E.D.
No teorema (6.5) ficou estabelecida a equivalência entre holomorfia e existência de
primitiva local de uma função, em cada conjunto aberto convexo contido no domínio de
holomorfia. Pode-se agora provar o resultado análogo (não local) que se obtém
substituindo conjuntos convexos por conjuntos simplesmente conexos.
(7.7) Teorema: Uma função complexa numa região simplesmente conexa Ω ⊂ ℂ é
holomorfa em Ω se e só se tem primitiva em Ω .
Dem. Da proposição anterior, todo o caminho fechado seccionalmente regular γ em Ω é
homólogo a zero, pelo que resulta do Teorema de Cauchy Global que ∫ f ( z ) dz = 0 . O
γ
teorema (4.5) garante que, então, toda a função holomorfa em Ω tem primitiva em Ω .
Por outro lado, se F é uma primitiva de f em Ω , verifica-se f = F ′ e, portanto,
F ∈ H (Ω) é indefinidamente diferenciável, e f ∈ H (Ω) .
Q.E.D.
110
Teorema e fórmula de Cauchy globais
É útil dispor da caracterização seguinte das regiões em que todos os ciclos são
homólogos a zero, isto é, onde não há ciclos que dêm voltas em torno de pontos que não
pertencem a essas regiões. Obtém-se, assim, uma propriedade alternativa de conjuntos
onde a aplicação do Teorema de Cauchy Global é simplificada.
k
Q
Κ
Ω
Figura 7.8
(7.8) Proposição: Seja Ω ⊂ ℂ uma região. As afirmações seguintes são equivalentes:
1) Todos os ciclos em Ω são homólogos a zero em Ω .
2) Nenhuma das componentes conexas do complementar de Ω é limitada.
Dem. 2) implica 1). Seja Γ um ciclo em Ω . O conjunto aberto ℂ \ Γ * tem uma e só uma
componente conexa ilimitada U e, do teorema (4.9), Ind Γ = 0 em U . Se ℂ \ Ω ≠ ∅ e
nenhuma das suas componentes conexas é limitada, verifica-se ℂ \ Ω ⊂ U , pelo que
Ind Γ = 0 em ℂ \ Ω e, portanto, Γ é homólogo a zero em Ω .
1) implica 2). Suponhamos que 2) é falsa. Então existe uma componente conexa K de
ℂ \ Ω que é um conjunto limitado. Verifica-se ∂K ⊂ ∂Ω e ∂(K ∪ Ω) = ∂Ω \ ∂K . O
conjunto K é limitado e fechado, logo é compacto, e o conjunto ∂(K ∪ Ω) = ∂Ω \ ∂K é
fechado (Figura 7.5). Se ∂(K ∪ Ω) ≠ ∅ , a distância mais curta entre pontos de K e
∂(K ∪ Ω) é um número d > 0 . Se ∂(K ∪ Ω) = ∅ , toma-se d > 0 arbitrário. Fixa-se um
ponto k ∈ K e cobre-se todo o plano com uma rede de quadrados fechados Q j de lados
d / 2 de tal forma que k fique no centro de um dos quadrados (Figura 7.8). Para cada
quadrado Q j , considera-se o caminho poligonal fechado simples, designado por γ j , que
percorre a fronteira ∂Q j no sentido positivo (i.e., contrário aos dos ponteiros do relógio)
em relação aos pontos do interior de Q j . Considera-se o ciclo Γ = ∑ j γ j , onde a soma
respeita aos quadrados que intersectam K . Como o ponto k está contido no interior de
um dos quadrados da rede, verifica-se Ind Γ (k ) = 1 . É claro que Γ é igual ao caminho
poligonal fechado simples γ que percorre a fronteira da união dos quadrados que
intersectam K no sentido positivo, pelo que é um ciclo em Ω . Como Ind Γ (k ) = 1 e
k ∈ ℂ \ Ω , Γ é um ciclo em Ω não homólogo a zero em Ω . Portanto 1) é falsa. Provouse que se 2) é falsa, então 1) é falsa, e, portanto, que 1) implica 2).
Q.E.D.
As proposições (7.6) e (7.8) garantem que as condições 1) e 2) da proposição
anterior são necessárias para uma região ser simplesmente conexa. Veremos no último
capítulo que também são suficientes, e, em consequência, que ambas são caracterizações
alternativas das regiões simplesmente conexas.
7.5. Regiões simplesmente conexas e multiplamente conexas
111
Uma região multiplamente conexa é uma região que não é simplesmente conexa
(Figura 7.9). Mais precisamente, diz-se que uma região tem conectividade finita n se o
seu complementar tem exactamente n − 1 componentes conexas limitadas (podendo ter
ou não componentes conexas ilimitadas) e diz-se que uma região tem conectividade
infinita se o seu complementar tem infinitas componentes conexas limitadas. A noção de
conectividade foi introduzida por B. Riemann em 1857 para superfícies de forma que,
quando aplicada a subconjuntos de um plano, corresponde ao mínimo número de cortes,
cada um ao longo de um caminho totalmente contido no conjunto, que pode ser
considerado até separar o conjunto em conjuntos simplesmente conexos. Esta é a razão
da conectividade n corresponder ao complementar do conjunto ter n − 1 componentes
conexas limitadas.
Figura 7.9: Regiões multiplamente conexas com conectividade n
No caso de uma região Ω de conectividade finita n , sejam K 1 , K 2 , Κ , K n −1 as
componentes conexas limitadas de ℂ \ Ω . Se Γ é um ciclo arbitrário em Ω , pode-se
provar, como na proposição (7.8), que Ind Γ é constante em cada componente K j , para
j = 1, 2, Κ , n − 1 , e se K n é uma componente conexa ilimitada de ℂ \ Ω , é Ind Γ = 0 em
K n (pode haver várias componentes conexas ilimitadas em ℂ \ Ω e, então, Ind Γ = 0 em
todas estas componentes). Além disso, como na demonstração da proposição (7.8),
podem-se obter ciclos Γ j em Ω tais que Ind Γ j = 1 em K j e Ind Γ j = 0 em ℂ \ (Ω ∪ K j ) ,
para j = 1, 2, Κ , n − 1 .
Para um dado ciclo Γ em Ω , seja c j ∈ ℤ o valor de Ind Γ em K j , para
n −1
j = 1, 2, Κ , n − 1 . É claro que, para o ciclo Σ = Γ − (∑ j =1 c j Γ j ) , é Ind Σ = 0 em ℂ \ Ω .
n −1
Portanto, Γ é homólogo a ∑ j =1 c j Γ j em Ω . Em conclusão, todo o ciclo em Ω é
homólogo a uma combinação linear dos ciclos Γ j , com j = 1, 2,Κ , n − 1 , com coeficientes
inteiros. Esta combinação linear é única, pois a diferença de duas combinações lineares
dos ciclos Γ j homólogas a um mesmo ciclo Γ é homóloga a zero e, portanto, todos os
seus coeficientes são zero. Por estas razões, diz-se que os ciclos Γ j , com j = 1, 2,Κ , n − 1 ,
são uma base de homologia para a região Ω de conectividade n . As bases de
homologia não são únicas, mas, tal como para bases de espaços lineares de dimensão
finita, prova-se que as bases de homologia para Ω têm todas o mesmo número de
n −1
elementos. Do Teorema de Cauchy Global (7.3) resulta ∫ f dz = ∑ j =1 c j ∫ f dz ,
Γ
Γj
para todo f ∈H(Ω) . Em certas situações, os valores dos integrais ∫ f dz sobre os
Γj
elementos de uma base de homologia podem ser obtidos facilmente e, portanto, tem-se
um método conveniente que em muitos casos permite avaliar integrais sem fazer
112
Teorema e fórmula de Cauchy globais
integrações explícitas. É este tipo de situação que é explorada no capítulo seguinte
através do Teorema dos Resíduos.
Exercícios
7.1.
Prove7: Seja Ω ⊂ ℂ aberto e K ⊂ Ω compacto. Se f ∈H(Ω) , então existe um ciclo Γ em Ω \ K tal
que se verifica a Fórmula de Cauchy f ( z ) = (1 /( 2π i )) ∫Γ f ( w) /( w − z ) dw , para todo z ∈ K .
7.2.
Mostre que em qualquer região simplesmente conexa que não contém a origem podem ser definidas
funções holomorfas que são ramos de:
a) log z
b) z a
c) z z
Mostre que em toda a região Ω ⊂ ℂ tal que os pontos ±1 pertencem a uma mesma componente
conexa de ℂ \Ω pode ser definida uma função holomorfa que é um ramo de (1− z2 )1/ 2 . Quais são os
valores possíveis de ∫γ (1−z2)−1/ 2 dz, onde γ é um caminho fechado seccionalmente regular em Ω ?
∞
Mostre que a função f (z ) = ∑n =0 z 2n é analítica no círculo aberto unitário B1 (0) , mas não tem
qualquer prolongamento analítico a uma região que contenha propriamente este círculo.
Prove: Toda a função f ∈H(Br (a)) tem um prolongamento analítico a um círculo aberto BR(a) ⊃Br (a).
Prove: Se f ∈H(Br (a)), f (a) = b , f ′(a ) ≠ 0 e | f − b |≤ M ∈ℝ em Br (a) , então f (Br (a)) ⊃ BR (b) ,
com R = r 2 | f ′(a ) | 2 /(6M ) .
(Sugestão: Considere a série de Taylor de f − b centrada em a , aplique a desigualdade triangular e
(Sugestão: Construa um ciclo Γ em Ω \ K e aplique o Teorema de Cauchy Global).
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
estimativas de Cauchy para obter | f ( z ) − b |≥ R para | z − a |= 3R / 2 , tome w ∈ B R (b) e aplique o Teorema
de Rouché para mostrar que f − w e f − b têm o mesmo número de zeros em B3 R / 2 (a ) ).
+∞
Dada uma função f : ℝ + → ℝ, define-se a função complexa F ( s) = ∫0 f (t ) e − s t dt , chamada
transformada de Laplace8 de f , considerando o integral de Lebesgue. Esta função fica definida
num ponto s = α + iω , com α , ω ∈ ℝ, se e só se a função f Eα , com Eα (t ) = e −α t , é integrável à
Lebesgue em ℝ +, ou seja, f ∈ L1α ( ℝ + ) = { f : f Eα ∈ L1 ( ℝ + ) } . À transformação L [ f ] = F chama-se
transformação de Laplace9. É claro que é uma transformação linear de ∪{L1α ( ℝ ) : α ∈ ℝ } no
espaço das funções reais definidas em ℝ +. A transformação de Laplace pode ser invertida em
condições relativamente gerais. Em particular pode-se provar: Se f ∈ L1α ( ℝ + ) , Fα ∈ L1( ℝ ) , onde
α + iΩ
Fα (ω ) = F (α + iω) , com α,ω∈ℝ , e g (t ) = (1 /( 2π i)) lim Ω→ +∞ ∫α −iΩ F ( s) e s t ds , para t > 0 , então g é
contínua com g (t ) → 0 quando t → +∞ , e f = g q.t.p. em ℝ +. Uma consequência imediata é: A
transformação de Laplace é injectiva.
a) Prove: Se f ∈ L1α 0 ( ℝ + ) , com α 0 ∈ ℝ, e F=L [ f ] , então F ∈ H (Π α+ 0 ) , onde Πα+0 = {z ∈ ℂ : Re z > α } .
(Sugestão: Use o Teorema de Morera).
t
b) A convolução de funções f , g ∈ L1 ( ℝ + ) é definida por ( f ∗ g ) (t ) = ∫0 f (t − τ ) g (τ ) dτ , t > 0 .
1
+
Prove: Se f , g ∈ L α ( ℝ ) , então L [ f ∗ g ] (s) = L [ f ] (s) L [g ] (s) .
c) Prove: Se f , f ′ ∈ L1α ( ℝ + ) e f (0+) = lim t →0+ f (t ) existe, então L [ f ′] (s) = s L [ f ] (s) − f (0+) .
d) Considere a equação diferencial y′′ + 2y′ + 2y = f (t) , t > 0 , com condições iniciais nulas, y(0) = y′(0) =0 e
f (t) = e −2t . Mostre que a transformada de Laplace da solução y é Y (s) = (s + 2) /(s 2 + 2s + 2) . Obtenha a
solução do problema de valor inicial considerado para a equação diferencial dada.
e) Considere a equação diferencial y ′′ + 2 y ′ + 2 y = f (t ) , t > 0 , com condições iniciais y(0), y ′(0) e
f ∈L1α ( ℝ + ) . Designe T (s) = 1/(s 2 + 2s + 2) . Mostre que Y = L [ y] satisfaz Y(s) = T(s) F(s) +T(s) ( y′(0)s + 2y(0)) ,
7 Este resultado apareceu no livro de Stanislaw Saks (1897-1942) e Antoni Zygmund (1900-1992), de 1952, referido
na bibliografia final.
8 A transformação de Laplace foi usada por L. Euler em 1737 para resolver uma equação diferencial e foi explorada
por P.S. Laplace em 1812 num trabalho sobre probabilidade. Depois das contribuições de Laplace e de J. Liouville,
Jozéph Petzval (1807-1891) desenvolveu consideravelmente a transformação de Laplace, mas a sua utilização
generalizada só ocorreu depois de: (i) Oliver Heaviside (1850-1925) ter obtido entre 1880 e 1887 um cálculo
operacional para resolver equações diferenciais ordinárias por equações algébricas obtidas por substituição da solução
y (t ) por uma função complexa Y ( s ) e as derivadas por produtos pela variável complexa s , (ii) Thomas John
Bromvich (1875-1929) ter obtido uma fórmula integral para inversão da transformação de Laplace, (iii) Gustav
Doetsch (1892-1977) ter contribuído em 1930-1937 para o desenvolvimento do método, e (iv) Horatio Carslaw (18701954) e John Conrad Jaeger (1907-1979) terem prosseguido os trabalhos anteriores no período 1938-1940,
culminando com a ampla disseminação do método no livro que publicaram em 1941 Operational Methods in Applied
Mathematics. A adopção da transformação de Laplace na rotina de formação e prática em engenharia foi muito rápida:
em 1947 já era amplamente aplicada e ensinada a estudantes de engenharia quando menos de dez anos antes alguns
dos seus aspectos essenciais eram objecto de investigação.
9 Observe que a transformação de Laplace L relaciona-se com a transformação de Fourier F (ver exercício 6.26) por
~
L [ f ](α + iω ) = F ~f Eα (ω ) , para α , ω ∈ ℝ, onde f ∈ L1α ( ℝ + ) e f é a extensão de f a ℝ nula em ] − ∞,0 [ .
[ ]
7.5. Regiões simplesmente conexas e multiplamente conexas
113
onde F = L [ f ] , pelo que T (s ) caracteriza a equação diferencial, dando a transformada de Laplace da
solução por produtos com a transformada de Laplace do termo independente e com um polinómio
cujos coeficientes dependem das condições iniciais.
7.8.
Exercícios com aplicações a análise e controlo de sistemas lineares
Considere (ver exercício anterior) uma equação diferencial ordinária linear escalar de ordem n ∈ ℕ
com coeficientes constantes, e termo independente f dado por uma combinação linear do valor e
das derivadas de uma função r , y ( n ) + an −1 y ( n −1) + Λ + a1 y ′ + a0 y = bn −1r ( n −1) (t ) + Λ + b1r ′(t ) + b0 r (t ) ,
com condições iniciais nulas y ( n−1) (0) = Λ = y ′(0) = y (0) = 0 . Mostre que, com Y = L [y] , R=L [r ] e
T ( s) = Y ( s) / R ( s ) , se obtém T (s) = (bn −1 s n −1 + Λ + b1 s + b0 ) /( s n + a n −1 s n −1 + Λ + a1 s + a 0 ) . A função T
caracteriza o comportamento do sistema linear definido pela equação diferencial e é conhecida por
função de transferência do sistema. É usual considerar r (t ) como sinal de entrada e y (t ) como
sinal de saída ou resposta, e representar o sistema por um diagrama de blocos como na Figura 7.10.
Y(s)
R(s)
T(s)
Figura 7.10: Diagrama de blocos para sistema linear com função de transferência T
a) Mostre que, com condições iniciais diferentes de zero, a resposta do sistema a uma entrada é a
soma da resposta com condições iniciais nulas à entrada considerada adicionada à resposta com as
condições iniciais consideradas e entrada nula. Chama-se a estas componentes aditivas da resposta,
respectivamente, resposta forçada e resposta natural do sistema.
b) Mostre que para um sistema linear com função de transferência T , se h é tal que T = L [h] , a
resposta forçada y obtém-se da entrada r e da função h pela convolução y = h∗ r . Mostre que a
resposta forçada y L correspondente a um impulso positivo de integral 1 na entrada, rL (t) = 1 / L se
0 ≤ t < L e rL (t ) = 0 se t ≥ L , satisfaz y L (t ) → h(t ) quando L → 0 + , para todo t > 0 . Por esta razão,
chama-se a h resposta impulsiva do sistema.
Calcule a resposta impulsiva do sistema das duas últimas alíneas do exercício anterior (Figura 7.11).
r(t)
h(t)
1/L
0,3
5
0L
t
1
0L
t
1
Figura 7.11: Resposta impulsiva de sistema linear com função de transferância T (s) = 1/(s 2 + 2s + 2)
c) De forma semelhante à representação gráfica de transformadas de Fourier em análise e
processamento de sinais (exercício 6.28), representa-se graficamente a função de transferência T de
um sistema linear “em função da frequência” ω , por gráficos do módulo e de um argumento de
T (iω ) em função de ω (ou, na linguagem de análise de sistemas, amplitude (ou ganho) e fase). A
este tipo de representação gráfica chama-se diagrama de Bode10 do sistema; tal como para sinais
(exercício 6.28) é usual adoptar escalas logarítmicas para a amplitude e para a frequência angular em
decibéis (dB) e uma escala linear para a fase.
Mostre que o diagrama de Bode do sistema linear das duas últimas alíneas do exercício anterior é o
indicado na Figura 7.12.
20 log | T(iω) |
10
0.5
1
2
5
Arg T(iω)
ω
0
0.5
1
2
5
ω
-6
-9
−π/2
- 20
−π
dB
7.9.
Figura 7.12: Diagrama de Bode para sistema linear com função de transferência T (s) = 1/(s 2 + 2s + 2)
a) Mostre que a ligação em série de dois sistemas lineares (ver os dois exercícios precedentes) com
funções de transferência T1 e T2 (i.e., a saída do primeiro é a entrada do segundo) é um sistema
linear com função de transferência T = T 2 T1 (Figura 7.13).
R( s)
Y(s)
T1 (s)
T2 (s)
Figura 7.13: Diagrama de blocos da ligação em série de dois sistemas
10 Hendrik Wade Bode (1905-1982) iniciou a utilização dos gráficos da amplitude (em dB) e da fase de funções de
transferência na análise e projecto de amplificadores com retroacção em 1940. Bode dirigiu o influente grupo de
investigação em matemática dos Bell Telephone Laboratories no período 1944-1955.
114
Teorema e fórmula de Cauchy globais
b) Mostre que a função de transferência do sistema linear de controlo com retroacção11 ilustrado
na Figura 7.14, onde G e H são funções de transferência de sistemas lineares (ver os dois
exercícios precedentes) e K > 0 , é T = KG /(1 + KHG ) .
R(s)
Y(s)
+
K
G(s)
H(s)
Figura 7.14: Diagrama de blocos de sistema linear de controlo com retroacção
c) Considere o sistema linear com função de transferência12 G ( s ) = K 1 /(10 s + 1) e o sistema de
controlo linear com retroacção da Figura 7.15. Determine a resposta ao escalão unitário ( u (t ) = 0
para t < 0 , u (t ) = 1 para t ≥ 0 ) do sistema em malha aberta com função de transferência G e do
sistema com retroacção considerado, para K1 = K t = 1 e K a = 100 (Figura 7.16).
R(s)
G(s)=
Y(s)
K1
10 s + 1
R(s)
+
Ka
G(s)=
Y(s)
K1
10 s + 1
Kt
Figura 7.15: Diagrama de blocos de sistema em malha aberta e de sistema de controlo com retroacção
r(t)
y(t)
1
1
~
com retroaccao
em malha aberta
2
4
6
8
10
t
2
4
6
8
10
t
Figura 7.16: Respostas ao escalão unitário dos sistemas com retroacção e em malha aberta da figura 7.15
d) Chama-se erro de um sistema linear de controlo com retroacção como na Figura 7.14 à diferença
entre a saída e a entrada e = y − r . Mostre que a transformada de Laplace do erro é
E = (1 + KHG − KG ) /(1 + KHG ) .
e) Chama-se erro estacionário13 de posição e ss de um sistema linear de controlo com retroacção ao
limite em +∞ do erro do sistema quando a entrada é o escalão unitário. Mostre que o erro de posição
do sistema da Figura 7.14 é e ss = lim s →0 (1 + KH (s)G (s) − KG(s)) /(1 + KH ( s)G (s)) . Em particular, quando
H = 1 (diz-se sistema com retroacção identidade) é e ss = lim s → 0 1 /(1 + KG ( s )) e quando H = 0 (dizse sistema em malha aberta) é e ss = lim s →0 (1 − KG ( s)) .
No caso da alínea c), note que para malha aberta é e ss = 0 e para retroacção identidade ( K t = 1) é
e ss = 1 / 101 , e que uma variação de 10% no ganho K 1 do sistema causa uma variação de 10% no erro
de posição em malha aberta e de 0,1% com retroacção identidade. Assim, embora seja teoricamente
possível um erro de posição nulo em malha aberta a sensibilidade a variações do parâmetro do
sistema (inevitáveis na prática) é total para o sistema em malha aberta e bastante menor para o
sistema com retroacção, apesar deste ter necessariamente um erro de posição.
11 Em inglês diz-se feedback. O uso de retroacção no projecto de sistemas remonta à antiguidade grega,
nomeadamente para aumento da precisão da medição do tempo por relógios de água e para regulação de nível de
depósitos de líquidos. Durante a Revolução Industrial, no final do séc. XVIII e ao longo do XIX, foram desenvolvidos
sistemas industriais com retroacção nomeadamente para máquinas a vapor, moinhos, teares mecânicos, fornos de
combustão, com a introdução de reguladores de temperatura, pressão, velocidade. Um outro avanço importante foi a
introdução de giroscópios em 1910 e de sistemas de controlo com retroacção para manutenção de rumo em navios e
pilotos automáticos em 1922 (ver exercício 8.31). Contudo, o maior impulso tecnológico para o desenvolvimento das
técnicas de projecto de sistemas com retroacção ocorreu em consequência dos problemas associados à utilização de
amplificadores electrónicos de ganho muito elevado na indústria de comunicações, em particular com a introdução de
retroacção negativa no projecto de amplificadores por Harold Black (1898-1983) em 1927. O papel do grupo de
investigação em matemática dos Bell Telephone Laboratories foi determinante para este desenvolvimento no período
1927-1940, com a introdução de métodos baseados em análise complexa de que são exemplo: critério de estabilidade
de Nyquist em 1932 (exercício 8.32), diagramas de Bode em 1940 (exercício 7.7).
12 Esta função de transferência pode ser a de um motor de corrente contínua em que a saída y (t ) é a velocidade.
Neste caso, o sistema com retroacção indicado corresponde a realimentar a velocidade observada por um tacómetro
com ganho K t , a qual é subtraída à entrada r (t ) , que é a velocidade desejada.
13 Em inglês diz-se steady state.