Física
Física – Módulo 1
Colisões
Impulso
Física
Colisões
Física
Colisões: Um assunto para irmos de encontro...
O que é uma colisão?
É o processo em que duas partículas se aproximam mutuamente, interagem
fortemente, e afastam e há troca de momento linear e energia.
Antes
Depois
Durante
∆t
Queremos estudar as possíveis situações finais depois que as partículas se
afastam da região de interação.
Física
Colisões: Por que estudar?
Pode-se estudar os produtos das colisões e suas configurações finais
com o intuito de investigar a natureza das forças.
Essencialmente, é isso que se faz num acelerador de partículas como
o Fermilab, Brookhaven ou o CERN.
Entretanto, existem características gerais que regem todas as
colisões, que são conseqüências das leis de conservação de energia
e momento linear. Vamos nos concentrar nessas características
gerais.
Física
Exemplo:
Partículas elementares
• Colisões
entre partículas elementares
(elétron-elétron, elétron-próton, etc.) são
responsáveis por quase toda a informação
que temos sobre as forças fundamentais da
natureza (exceto a gravitacional).
• Essas colisões são geradas a partir da
aceleração das partículas elementares em
grandes
aceleradores
de
partículas
(FermiLab, SLAC e, desde 2009, no LHC,
“Large Hadron Collider”).
Criação de pares elétron-pósitron
Física
Exemplo histórico: estrutura do átomo
Ernest Rutherford (1911): analisando o resultado do
bombardeio de átomos de ouro com partículas alfa, criou o
primeiro modelo para o átomo: um núcleo maciço duro e
pequeno positivo, cercado por uma nuvem eletrônica
negativa. Primeiro experimento de colisão de partículas subatômicas.
Modelo de Thompson: previa deflexão
pequena das partículas alfa
Rutherford observou grandes deflexões,
sugerindo um núcleo duro e pequeno
Física
Características gerais das colisões:
Numa colisão, dois corpos se aproximam mutuamente, interagem
fortemente e se afastam.
As colisões podem ser rápidas (como bolas de sinuca se tocando), ou
durar séculos, como o choque de duas galáxias.
Em todas as colisões, porém, os corpos interagem fortemente, um
com o outro, durante o tempo de colisão.
Física
Colisões e Impulso: Uma questão de tempo...
Quando tratamos de colisões estamos tratando sobre
as forças de interação dos corpos colidentes.
Em geral, estas forças (forças de contato) são muito
grandes e agem por curtíssimos intervalos de
tempo.
Quando dois corpos entram em contato, a força
entre eles cresce rapidamente e depois retorna a
zero no instante tf, quando os corpos se separam.
Física
Colisões e Impulso: Uma questão de tempo...
A variação desta força durante uma colisão (∆t) é chamada de impulso da
força e é definido como
tf
ur
Ι = ∫ F dt
ti
ou seja, a área sobre a curva de F contra t é o valor do Impulso da força.
Levando em conta a segunda Lei de Newton
r
r
pf
ur
r r
r
r
dp
Ι = ∫ Fdt = ∫
dt = ∫ d p = p f − p i = ∆p
r
dt
ti
ti
p
tf
tf
i
temos que o Impulso é a variação total
do momento durante o intervalo de
tempo.
Física
Colisões e Impulso: Uma questão de tempo...
∑F
x
(a) – colisão “dura”
(bola de bilhar)
(b) – colisão “macia”
(bola de tênis)
t
Mesmo Impulso (áreas iguais), mas
forças diferentes.
Observe a deformação na bola de tênis:
O ∆t é maior que para a bola de bilhar
Física
Colisões e Impulso: A força média
Em muitas situações não conhecemos a função
F (t), ou seja, como a Força varia com o tempo.
I
Sem conhecer esta função F(t) não podemos
utilizar a equação
tf
ur
Ι = ∫ F dt
ti
Por outro lado, podemos conhecer o módulo
médio Fmed da Força e a duração ∆t = (tf – ti), o
que nos permite escrever o módulo do impulso
como
Ι = Fmed ∆t
Fmed
I
∆t
Física
Exemplo: Impulso numa colisão de bolas de bilhar
Uma bola de bilhar (300 gr) adquire a velocidade
de 1 m/s quando atingida pela bola branca durante
um contato de ∆t ≈ 10-3s. Calcule seu impulso, sua
força média durante a colisão e compare-a com a
força peso de uma bola.
O impulso é dado pela variação de seu momento linear é, em módulo:
I = ∆p = m∆v ≈ 0,3 kg m/s
que dá o impulso transmitido pela bola branca na colisão.
Se o contato dura ∆t ≈
10-3
s, a força média exercida é
I
F=
= 300 N
∆t
Comparando isso com a força peso das bolas, P=3N vemos que a força no
impacto é 100 vezes maior que a forca peso
Física
Impulso e conservação de momento linear
Se há apenas forças internas, elas obedecem à 3a lei de Newton
ur
ur
r
r
F1←2 = −F 2←1 ⇒ Ι1←2 = −Ι 2←1
⇒ ∆ p1 = −∆ p 2
O momento linear ganho por uma partícula é perdido pela outra.
Momento linear é apenas transferido de uma partícula à outra.
(
)
p1 f − p1i = − p 2 f − p 2i = p 2i − p 2 f
r
r
r
r
p1i + p 2i = p1 f + p 2 f
ur ur
Pi = P f
Obviamente, recuperamos a lei de conservação de momento linear.
Física
Exercício:
Uma bola azul (m1 = 1,25 kg) move-se
com velocidade v1 = 3,62 m/s sobre uma
superfície lisa (atrito desprezível) e colide
com uma bola verde (m2 = 2,3 kg)
inicialmente em repouso.
r
v2 a
r
v1a
Antes:
m1
Depois:
m2
r
v1d
m1
r
v2d
m2
Após a colisão, é possível notar que a a bola azul move-se com
velocidade v1 = 1,07 m/s no sentido oposto ao seu movimento inicial.
Encontre a velocidade da bola verde após a colisão.
Sabendo que o momento para esta colisão se conserva, temos que
m1v1a + m2 v2 a = m1v1d + m2 v2 d
Resolvendo para v2d temos
v2 d
m1v1a
(
=
− m1v1d )
m2
ou ainda
Substituindo os valores, temos que v2d=2,55 m/s
v2 d =
m1
(v1a − v1d )
m2
Física
Colisões elásticas e inelásticas:
Já vimos que colisões, por envolverem apenas forças internas,
conservam momento linear. E a energia?
Embora a energia TOTAL seja sempre conservada, pode haver
transformação da energia cinética inicial (inicialmente só há energia
cinética) em outras formas de energia (potencial, interna na forma de
vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.).
Se a energia cinética inicial é totalmente recuperada após a
colisão, a colisão é chamada de COLISÃO ELÁSTICA.
Se não, a colisão é chamada de COLISÃO INELÁSTICA. Note que
se houver aumento da energia cinética (quando há conversão de
energia interna em cinética: explosão), a colisão também é inelástica.
Colisão Elástica ⇒ K i = K f
Física
Colisões elásticas unidimensionais: conservação.
Vamos considerar a colisão de duas bolas de massas m1 e m2
Antes da colisão
Temos que v1a > v2a , pois em caso contrário
não existiria a colisão.
Depois da colisão
Temos que v1d < v2a , pois em caso contrário
existiriam outras colisões depois da primeira.
r
v1a
Antes:
r
v2 a
m2
m1
Depois
r m
v1d 1
m2 r
v2d
Usando a conservação do momento, podemos escrever que p1a + p2 a = p1d + p2 d
ou ainda
m1v1a + m2 v2 a = m1v1d + m2 v2 d
ou seja
m1 (v1a − v1d ) = m2 (v2 d − v2 a )
(1)
Física
Colisões elásticas unidimensionais: conservação.
Observe que a equação (1) só pode ser resolvida de conhecermos 3 das
velocidades envolvidas.
Felizmente, sabemos que quando a colisão for elástica, a energia cinética K
total se conserva.
Podemos escrever a energia cinética K em termos do momento p:
1 2 1
p2
2
K = mv = (mv ) =
2
2m
2m
Logo,
p2
K=
2m
p12a
p22a
p12d
p22d
+
=
+
2m1 2m2 2m1 2m2
Ou seja
m1 (v12a − v12d ) = m2 (v 22d − v 22a )
m1 (v1a + v1d )(v1a − v1d ) = m2 (v 2 d + v 2 a )(v 2 d − v 2 a )
(2)
Física
Colisões elásticas unidimensionais: conservação.
Agora temos um sistema de equações dados pelas equações (1) e (2)
m1 (v1a − v1d ) = m2 (v2 d − v2 a )
(1)
m1 (v1a + v1d )(v1a − v1d ) = m2 (v 2 d + v 2 a )(v 2 d − v 2 a )
Podemos simplificar dividindo a equação (2) pela equação (1), e teremos
e que
(v1a + v1d ) = (v 2 d + v 2 a )
(v1a − v 2 a ) = (v 2 d − v1d )
Agora nosso sistema de equações é dado por :
m1 (v1a − v1d ) = m2 (v2 d − v2 a )
(1)
(v1a − v 2 a ) = (v 2 d − v1d )
(3)
(3)
(2)
Física
Colisões elásticas unidimensionais: conservação.
Fôlego,estamos quase lá...
Da equação (3) temos
v 2 d = (v1a + v1d − v 2 a )
(4)
que vamos substituir na equação (1) para obter
m1 (v1a − v1d ) = m2 (v1a + v1d − v2 a ) − m2 v2 a
Resolvendo para v1d teremos
 m1 − m2 
 2m2 
v1d = 
 v1a + 
 v2 a
 m1 + m2 
 m1 + m2 
(5)
Aplicando (5) em (4) teremos a velocidade da partícula 2 após a colisão
 2m1 
 m1 − m2 
v2 d = 
 v1a − 
 v2 a
 m1 + m2 
 m1 + m2 
(6)
Física
Colisões elásticas unidimensionais: conservação.
O resultado obtido (5) e (6) é o resultado geral para colisões elásticas
unidimensionais entre duas partículas
 m1 −m2 
 2m2 
v1a +
v 2 a
v1d =
 m1 + m2 
 m1 + m2 
 2m1 
 m1 −m2 
v1a −
v 2 a
v 2 d =
 m1 + m2 
 m1 + m2 
Resultado geral para colisões elásticas unidimensionais entre duas partículas.
Vamos verificar alguns casos particulares para estes resultados...
Física
Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares
(1) massas iguais: (m1=m2), v2a=0
r
v1a
Antes:
m1
v1d = v 2 a
v 2 d = v1a
r
v1a
Depois:
m1
O estado final do sistema é idêntico ao estado inicial:
As partículas trocam de velocidades!
Em particular, se a partícula alvo está
inicialmente em repouso, a partícula incidente
para após a colisão, como no bilhar. Isto é:
v 2 a = 0 ⇒ v1d = 0.
(v aprox = v afast )
m2
m2
Física
Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares
(2) Alvo em repouso (v2a = 0) e ( m1<<m2)
 m1 −m2
v1d =
 m1 +m2

 v1a

m1
 2m1 
 v1a
v 2 d =
 m1 +m2 
m2
r
v2d
r
v1d
Resultam:
m1
v1d ≈ −v1a
 2m1 
v2 d ≈ 
 v1a ou seja
 m2 
r
v1a
v2 d << v1a
m2
(v aprox = v afast )
A partícula incidente reverte sua velocidade e a partícula alvo passa a se
mover lentamente, praticamente permanecendo em repouso.
Física
Colisões elásticas unidimensionais: casos particulares
(3) Alvo em repouso (v2a = 0) e (m1>>m2)
 m1 −m2 
 v1a
v1d =
 m1 +m2 
r
v1a
Antes
m2
 2m1 
 v1a
v 2 d =
 m1 +m2 
Resultam:
v1d ≈v1a
v2 d ≈2v1a
m1
r
v2 d
r
v1d
Depois
m2
m1
A partícula incidente não “sente” a colisão. A partícula alvo passa a se mover
com o dobro da velocidade da partícula incidente.
Física
Colisões inelásticas
unidimensionais
Física
Colisões inelásticas unidimensionais
antes
m1
r
v1a
r
v2a
depois
m1 + m2
m2
r
vd
Neste tipo de colisão, a partícula incidente “gruda” na partícula alvo. Podese provar que essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa
colisão inelástica em uma dimensão.
m1v1a +m2 v2 a =(m1 +m2 )vd ⇒
m1v1a +m2 v 2 a
vd =
= vCM
m1 +m2
Como o centro de massa coincide com as duas partículas“grudadas”, elas
têm que se mover com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante.
A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
Física
Colisões inelásticas: o pendulo balístico
m1+m2
m1
v1a
m2
vd
h
Física
Colisões inelásticas: o pendulo balístico
Uma bala se aloja num bloco de madeira e o
conjunto se eleva de uma altura h. Qual é a
velocidade da bala imediatamente antes da
colisão?
Colisão totalmente inelástica:
m1
v1a
m1v1a = ( m1 +m2 )v d ∴ vd =
m1 + m2
m1+m2
m1
v1a
m2
vd
h
Conservação de energia mecânica após a colisão:
1
( m1 +m2 ) v d2 = (m1 +m2 ) gh ∴ vd = 2 gh
2
m +m
v1a = 1 2 2 gh
m1
Então:
Numericamente, se
v1a =
m1 = 10 g , m2 = 4 kg , h = 5 cm
calcule v1a em km/h:
4, 01
× 2 × 9,8 × 0, 05 m/s = 400 m/s = 1.400 km/h
0, 01