Introdução
Exercício preliminar
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Retangular Constante
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção de Diferentes Formas
Exercícios
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
21 de maio de 2015
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
Introdução
Exercício preliminar
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Introdução
(a) Peças sem acoplamento.
(b) Peças com acoplamento.
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Exercício preliminar
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Exercícios
(a) Peças sem acoplamento.
(b) Peças com acoplamento.
Na primeira situação, mostrada na Figura (a), as peças trabalham de
forma independente e sofrem deslizamentos relativos de umas sobre
as outras nas superfícies de contato.
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Exercício preliminar
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Exercícios
(a) Peças sem acoplamento.
(b) Peças com acoplamento.
Na segunda situação, ilustrada na Figura (b), a três peças estão unidas
umas as outras de tal forma que o deslizamento relativo é impedito.
Para manter esta união surgem nessas superfícies longitudinais
tensões de cisalhamento que impedem os deslizamentos.
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Exercício preliminar
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Exercícios
(a) Peças sem acoplamento.
(b) Peças com acoplamento.
Objetivo do capítulo: estabelecer a relação entre o esforço cortante e
a tensão de cisalhamento na flexão em vigas.
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Exercício preliminar
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Exercícios
Exercício preliminar
Seja a seção retângular b × h da Figura. Seja uma camada de fibras AB
// LN, de ordenada y1 em relação a LN. Sejam as áreas Ai e As ,
respectivamente inferior e superior a AB. Sejam MAi e MAs seus
respectivos momentos estáticos (momento de 10 ordem) em relação à
LN. Demonstre que:
2 b
2
|MAs | = MAi = 2 y1 − h2
b/2
b/2
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
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00000000000000000000
11111111111111111111
As
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
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11111111111111111111
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11111111111111111111
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00000000000000000000
11111111111111111111
z = LN
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
A 11111111111111111111
00000000000000000000B
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
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11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
A i 11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
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11111111111111111111
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11111111111111111111
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11111111111111111111
h/2
y1
h/2
y = ES
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Exercícios
Demonstração:
z = LN
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
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111111111111111111111
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111111111111111111111
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111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
dy
y = ES
dA = b.dy
R
R h/2
2 b h 2
2
=
−
y
MAi = Ai ydA = y ybdy = b y2 h/2
1
y
1
2 2
1
2 R
R y1
y2 y1
MAs = As ydA = −h/2 ybdy = b 2 −h/2 = b2 y21 − 2h = −MAi
MAi > 0 e MAs < 0 ⇒ MAs = −MAi então MAs + MAi = MA = 0,⇒ o
momento estático da área total em relação a um eixo
baricêntrico é igual a zero.
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Exercícios
Observações:
1 A partir deste ponto do texto, o valor absoluto do momento
estático de Ai ou de As em relação à LN passa a ser indicado por:
"
#
b h 2
2
Ms = MAi = |MAs | = ( ) − y1
2 2
2 A Figura ilustra a variação de M em relação a y. Nesta,
z
indica-se seu valor maxímo, que ocorre na LN e equivale a:
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Constante
Sejam conhecidos o DMF e o DEC da viga biapoiada da Figura.
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Exercícios
Como estudado no Capítulo 3, o tensor de tensões é simétrico, o que
implica na existência concomitante de tensões de cisalhamento (τ) de
mesmo valor em planos ortogonais.
Para o cálculo das tensões de cisalhamento, além das hipóteses
admitidas na análise das tensões normais de flexão, admite-se a
hipótese básica de que a tensão de cisalhamento τ é constante na
largura da seção. A Figura ilustra essas situações, para uma camada
de fibras AB//LN, de ordenada y.
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Exercícios
O elemento de volume, da Figura da direita, de comprimento
elementar dx, limitado pelas seções de abscissas x e x + dx e o
elemento de área dy × dz em torno de um ponto P(y, z) genérico da
seção determinam um elemento de volume dx × dy × dz.
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Exercícios
R
F = Ai σx dA ⇒ resultante das tensões normais na face da
esquerda R
F + dF = Ai (σx + dσx )dA ⇒ resultante das tensões normais na
face da direita.
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A condição de equilíbrio é a existência da força dF no plano
longitudinal superior, de área bdx. Portanto:
Z
Z
dM
dσx dA =
dF = τxy bdx =
ydA
Ai
Ai I
obtém -se:
1 dM
τxy = τ =
Iz b dx
Z
ydA
|Ai{z }
Ms
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Exercícios
τxy = τ =
1 dM
Iz b dx
Z
ydA
|Ai{z }
Ms
Lembrando que
dM
dx
= Q (esforço cortante Q = Qy ) tem-se então:
τ = τxy =
QMs
Iz b
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τ=
QMs
Iz b
retângulo ⇒ Ms = f (y) =
b
2
h
( h2 )2 − y2
i
nota-se que a variação de Ms é uma parábola de 20 , então a
variação de τ = τ(y) é também uma parábola do 20 grau.
Analisando a seção retangular, a tensão de cisalhamento
máxima,τmax , equivale a:
y = 0 ⇒ Msmax =
bh2
Qbh2 /8 3 Q
⇒ τmax =
=
8
bbh3 /12 2 bh
τmax = 1, 5
Q
A
onde A = bh é a área da seção.
Observa-se que τmax = 1, 5, e portanto τmed (50% superior a τmed = QA )
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Observações
Demonstra-se da Teoria da Elasticidade (Mecânica dos sólidos I)
que a tensão de cisalhamento não é exatamente constante na
largura da seção, conforme a hipótese básica. Então a tensão
calculada é a tensão média na largura, enquanto que a tensão
s
máxima é calculada na teoria da elasticidade. τmed = QM
Iz b
LN
τmax
A
B
y
τ med
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Exercícios
A Tabela (extraida do livro Beer e Johnstom), mostra que o erro
cometido varia com a razão bh .
Tabela : Erro com a variação de b/h
b/h
τmax /τmed
diferença percentual
1/4
1,008
0,8%
1/2
1,033
3,3%
1
1,126
12,6%
2
1,396
39,6%
4
1,988
98,8%
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Exercícios
Na realidade as seções não permanecem planas, mas
“empenadas”, pois a deformação específica no cisalhamento é a
distorção angular γ = Gτ .
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
Esta deformação, em um cálculo mais rigoroso, altera a análise
de tensões e deformações na flexão simples. No entanto, este
efeito é desprezado, pois o erro cometido é muito pequeno,
exceto na região de aplicação de cargas concentradas.
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Diferentes Formas
Admite-se a mesma hipótese básica da seção retangular, isto é, τ
constante na largura da seção. A variação da tensão de cisalhamento
na seção obedece a mesma relação anteriormente definida, ou seja:
τ=
QMs
Iz t
sendo t = t(y) é a largura (espessura) da camada considerada.
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Exercícios
Considerando, por exemplo, um perfil T a Figura ilustra o diagrama
de τy onde observa-se uma descontinuidade na transição entre a mesa
e a alma.
b2
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
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0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
LN
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
e
0000000000000
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0000000000000
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τmax
τ
b1
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Exercícios
O mesmo ocorre para vigas de seção I. Em todos os casos, a tensão
máxima (τmax ) é aquela avaliada na LN. Destaca-se ainda que na
mesa o cálculo de τ está sujeito a erro considerável ( bh grande), mas
de qualquer forma são tensões pequenas.
b
1111111111111
0000000000000
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0000000000000
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LN
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
e
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1111111111111
0000000000000
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0000000000000
1111111111111
τ
τmax
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Exercícios
Exercícios
1 - Uma viga simplesmente apoiada em seus extremos tem 200 mm
de largura por 400 mm de altura e 4 m de comprimento. Esta viga
suporta uma carga uniformemente distribuída sobre todo seu
comprimento. A tensão longitudinal admissível é 12 MPa (tração e
compressão) e a tensão tangencial horizontal admissível é de 0,8
MPa. Determine o valor máximo admissível da carga por unidade de
comprimento.
Resposta: q = 21,4 kN/m.
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3- Calcular o valor máximo admissível de uma carga P na
extremidade livre de uma viga em balanço de 0,9 m. A seção
transversal é constituída por três tábuas de madeira de seção 100 mm
× 50 mm, sabe-se que τuniao =350 kPa. Para o valor de P, Calcular
σmax .
Resposta: P = 3937,5 N e σ = 9,45 MPa.
11111111
00000000
00000000
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11111111
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Exercícios
9- Calcular as tensões máximas de tração, compressão e cisalhamento
em uma viga engastada e livre de comprimento 0,38 m que suporta
uma carga concentrada transversal de 6,7 kN na extremidade livre. A
Figura mostra a seção transversal da viga (dimensões em mm).
Resposta: σt = 92,58 MPa; σc = 277,75 MPa e τ = 16,45 MPa.
100
10
45
45
50
10
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
Introdução
Exercício preliminar
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Retangular Constante
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção de Diferentes Formas
Exercícios
10- Uma viga de seção “ T ” (dimensões em mm) suporta cargas
indicadas. Calcular a tensão:
1 tangencial máxima. Resposta: 694 kPa.
2 normal de máxima de compressão. Resposta: 11,73 MPa de
compressão.
3 tangencial vertical a 3,4 m da extremidade esquerda e 60 mm
acima da base. Resposta: 148,1 kPa
4 normal de flexão a 1,5 m da extremidade direita e 50 mm acima
da base. Resposta: 6,17MPa de tração
200
2kN/m
11111111111111
00000000000000
50
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
200
00000000000000
R2 11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
15 kN
R1
3m
2m
2m
2m
75
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
Introdução
Exercício preliminar
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Retangular Constante
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção de Diferentes Formas
Exercícios
15- O tensor de tensões apresentado para este exercício foi obtido
aplicando a teoria da resistência dos materiais a uma viga com o
carregamento mostrado na Figura. Esboce os gráficos projetados no
plano xy que relacionam as tensões σx e τxy com a posição no ponto e
comente-os. Dados x e y em m, F em kN e tensões em kPa.



12 × 104 x (1 − x) y
150 (2x − 1) 400y2 − 1 0 



σ =  150 (2x − 1) 400y2 − 1
0
0


0
0
0
2 kN/m
0,10 m
x
0,10 m
1m
z
y
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
Introdução
Exercício preliminar
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Retangular Constante
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção de Diferentes Formas
Exercícios
(a) Resposta para σx
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão
Introdução
Exercício preliminar
Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Retangular Constante
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Exercícios
(b) Resposta para τxy
Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão