ANÁLISE DE TESTES DE PRESSÃO EM POÇOS HORIZONTAIS EM
RESERVATÓRIOS DE BAIXA PERMEABILIDADE PORTADORES DE GÁS
JOÃO PAULO CORGUINHA GRIPP
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA - CCT
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO -LENEP
Macaé - RJ
Fevereiro de 2009
ANÁLISE DE TESTES DE PRESSÃO EM POÇOS HORIZONTAIS EM
RESERVATÓRIOS DE BAIXA PERMEABILIDADE PORTADORES DE GÁS
JOÃO PAULO CORGUINHA GRIPP
Dissertação a ser apresentada ao
Centro
de
Ciência
e
Tecnologia
da Universidade Estadual do Norte
Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de
Mestre em Engenharia de Reservatório e de Exploração.
ORIENTADOR:
ADOLFO PUIME PIRES
Macaé - RJ
Fevereiro de 2009
ANÁLISE DE TESTES DE PRESSÃO EM POÇOS HORIZONTAIS EM
RESERVATÓRIOS DE BAIXA PERMEABILIDADE PORTADORES DE GÁS
JOÃO PAULO CORGUINHA GRIPP
Dissertação a ser apresentada ao
Centro
de
Ciência
e
Tecnologia
da Universidade Estadual do Norte
Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de
Mestre em Engenharia de Reservatório e de Exploração.
Apresentação: Fevereiro de 2009
Comissão Examinadora:
Prof. Alvaro Marcello Marco Peres (Ph.D., Engenharia de Petróleo - PETROBRAS)
Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz (D.Eng, Engenharia Mecânica - LENEP/CCT/UENF)
Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio (D.Sc, Matemática - LENEP/CCT/UENF)
Prof. Adolfo Puime Pires - (D.Sc, Engenharia de Reservatório - LENEP/CCT/UENF)
(Orientador)
ii
Porque a palavra da cruz é loucura para os que perecem;
mas para nós, que somos salvos, é o poder de DEUS.
Porque está escrito: Destruirei a sabedoria dos sábios,
e aniquilarei a inteligência dos inteligentes.
I Corintios 1:18-19
Agradecimentos
A DEUS por ter me ajudado até aqui e ter posto meu orientador, professores e amigos para
me ajudarem, muito obrigado a todos.
Aos meus pais, José e Nubia, meus irmãos Antônio, Pedro e Sarah pelo apoio que sempre
me deram, nunca medindo esforços para que eu pudesse realizar meus objetivos.
A minha namorada, Jaqueline pela paciência, compreensão e incentivo nos momentos em
que estive ausente.
Ao orientador e amigo Prof. Adolfo, pela amizade, paciência e dedicação para me passar os
conhecimentos necessários para realização desse trabalho, sem o qual isso não seria possível.
Aos amigos, Abelardo, Antônio, Grazione, Lorena e Stella pelo estímulo, paciência e contribuições para esse trabalho.
Aos Prof. e amigos, Alvaro e Santos, pela paciência, amizade e inúmeras contribuições
para esse trabalho.
Aos amigos, Francisco e Nalon, pelo companheirismo, incentivo e amizade.
Aos primos, Jadir e Zelia pelo carinho e amizade com que me receberam em sua casa.
Aos funcionários do LENEP, por me propiciaram um ambiente de estudo agradável.
E à ANP, pelo suporte nanceiro.
iii
Sumário
1 Introdução
1
2 Revisão Bibliográca
3
2.1
Poços Verticais em Reservatórios Portadores de Gás
. . . . . . . . . . . . . .
2.2
Poços Horizontais em Reservatórios Portadores de Óleo
. . . . . . . . . . . .
3 Soluções Clássicas
3.1
3.2
4.2
Gás Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1.1
Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1.2
Regime Permanente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1.3
Regime Pseudo-Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Gás Real
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2.1
Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2.2
Regime Permanente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2.3
Regime Pseudo-Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
Teste de Contra-Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flow-After-Flow
14
4.1.1
Teste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.1.2
Teste Isócrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.1.3
Teste Isócrono Modicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Teste de Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2.1
Teste de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2.2
Teste de Crescimento de Pressão
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Fluxo de Gás em Poço Horizontal
5.1
5
9
4 Teste de Pressão em Poços de Gás
4.1
3
24
Solução para Fluxo em Poços Horizontais (Modelo 1)
. . . . . . . . . . . . .
24
5.1.1
Período de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.1.2
Período de Estática
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.1
Fluxo Linear Tardio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.1.2.2
Fluxo Pseudo-Radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.1.2.3
Fluxo Linear Inicial
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
SUMÁRIO
v
5.1.2.4
5.2
Fluxo Radial Inicial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.1.3
Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.1.4
Superposição no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Solução para Fluxo em Poços Horizontais (Modelo 2)
. . . . . . . . . . . . .
34
5.2.1
Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2.2
Superposição no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2.3
Soluções Aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
6 Duração dos Regimes de Fluxo
6.1
6.2
6.3
6.4
38
Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.1.1
Radial Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.1.2
Linear Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.1.3
Pseudo-Radial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.1.4
Linear Tardio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2.1
Radial Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2.2
Linear Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.2.3
Pseudo-Radial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.2.4
Linear Tardio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.3.1
Radial Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.3.2
Linear Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.3.3
Pseudo-Radial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.3.4
Linear Tardio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Análise da Duração dos Regimes de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.4.1
Radial Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.4.2
Linear Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.4.3
Pseudo-Radial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.4.4
Linear Tardio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.4.5
Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7 Estudo da Capacidade de Entrega para Poços Horizontais
52
8 Análise da Linearização da Equação do Gás
61
8.1
Permeabilidade
8.2
Permeabilidade
8.3
Permeabilidade
8.4
Permeabilidade
8.5
Permeabilidade
8.6
Permeabilidade
8.7
Permeabilidade
k
k
k
k
k
k
k
= 1000 mD .
= 100 mD . .
= 10 mD . .
= 1 mD . . .
= 0, 1 mD . .
= 0, 01 mD .
= 0, 001 mD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
SUMÁRIO
vi
8.8
74
Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Conclusões
75
A Soluções para Gás Ideal e Real
78
A.1
A.2
A.3
Equação da Continuidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
A.1.1
Equação da Continuidade para Coordenadas Cilíndricas
. . . . . . . .
79
A.1.2
Equação da Continuidade para Coordenadas Cartesianas . . . . . . . .
82
Soluções para Gás Ideal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
A.2.1
Equação da Difusividade para Gás Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
A.2.2
Solução Para o Regime Transiente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
A.2.3
Solução para Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
A.2.4
Solução do Regime Pseudo-Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Soluções para Gás Real
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
A.3.1
Equação da Difusividade para Gás Real . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
A.3.2
Solução para Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
A.3.3
Solução para Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
A.3.4
Solução para Regime Pseudo-Permanente . . . . . . . . . . . . . . . .
93
B Transformada de Laplace e de Fourier Finita Cosseno
96
B.1
Transformada de Laplace
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2
Transformada de Fourier Finita Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
C Poço Horizontal em Reservatório de Gás
C.1
C.2
C.3
C.4
Modelagem do Sistema Reservatório-Poço
104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
C.1.1
Premissas Básicas
C.1.2
Adimensionalização da Equação do Modelo Físico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Solução Analítica da Equação de Difusividade
C.2.1
Resolução para
C.2.2
Resolução para
96
tD < tD0
tD > tD0
. . . . . . . . . . . 106
. . . . . . . . . . . . . . . . . 108
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Solução Geral Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
C.3.1
Caso 1:
C.3.2
Caso 2:
tD < tD0
tD > tD0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Soluções Aproximadas por Regime de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
tD < tD0
C.4.1
Caso
C.4.2
Resolução para
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
tD > tD0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.4.2.1
Fechamento durante regime Linear Tardio
. . . . . . . . . . 131
C.4.2.2
Fechamento durante regime Pseudo-Radial . . . . . . . . . . 134
C.4.2.3
Fechamento durante regime Linear Inicial . . . . . . . . . . . 136
C.4.2.4
Fechamento durante regime Radial Inicial . . . . . . . . . . . 137
SUMÁRIO
D Resultados da Capacidade de Entrega para Poços Horizontais
vii
139
Lista de Figuras
2.1
Vista superior esquemática de um poço horizontal
. . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Vista lateral esquemática de um poço horizontal
. . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Fluxo radial inicial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Fluxo linear inicial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Fluxo pseudo-radial tardio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6
Fluxo linear tardio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.1
Comportamento da pressão no poço em um teste FAF . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
Interpretação do teste FAF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.3
Interpretação do teste FAF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.4
Comportamento da pressão no poço em um teste isócrono . . . . . . . . . . .
18
4.5
Interpretação do teste isócrono
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.6
Interpretação do teste isócrono
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.7
Comportamento da pressão e vazão em um teste isócrono modicado . . . . .
21
4.8
Interpretação do teste isócrono modicado
21
6.1
Comparação entre os tempos nais do regime radial inicial para
. .
44
6.2
Comparação entre os tempos
. .
44
6.3
Comparação entre os tempos
. .
45
6.4
Comparação entre os tempos
. .
46
6.5
Comparação entre os tempos
. .
46
6.6
Comparação entre os tempos
. .
47
6.7
Comparação entre os tempos
. .
47
6.8
Comparação entre os tempos
. .
48
6.9
Comparação entre os tempos
. .
48
. .
49
. .
50
. .
50
8.1
Modelo de reservatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
8.2
Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
= 1000
. . . . . .
63
8.3
Erro entre as soluções analítica e numérica (k
mD)
. . . . . . . . . .
64
6.10 Comparação entre os tempos
6.11 Comparação entre os tempos
6.12 Comparação entre os tempos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
hz = 25 m
nais do regime radial inicial para hz = 50 m
nais do regime radial inicial para hz = 75 m
do regime linear inicial para hz = 25 m . . .
do regime linear inicial para hz = 50 m . . .
do regime linear inicial para hz = 75 m . . .
do regime pseudo-radial para hx = 2500 m .
do regime pseudo-radial para hx = 5000 m .
do regime pseudo-radial para hx = 7500 m .
do regime linear tardio para hx = 2500 m . .
do regime linear tardio para hx = 5000 m . .
do regime linear tardio para hx = 7500 m . .
viii
= 1000
mD)
LISTA DE FIGURAS
ix
8.4
Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
. . . . . . .
65
8.5
Comparação entre as soluções analítica e numérica
. . . . . . .
66
8.6
Erro entre as soluções analítica e numérica (k
. . . . . . . . . . . .
66
8.7
Discretização da região do poço, 1º renamento (vista superior) . . . . . . . .
67
8.8
Discretização da região do poço, 1º renamento (vista lateral) . . . . . . . . .
68
8.9
Discretização da região do poço, 2º renamento (vista superior) . . . . . . . .
68
8.10 Discretização da região do poço, 2º renamento (vista lateral) . . . . . . . . .
69
8.11 Discretização da região do poço, 3º renamento (vista superior) . . . . . . . .
69
8.12 Discretização da região do poço, 3º renamento (vista lateral) . . . . . . . . .
70
8.13 Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
. . . . . . . .
71
. . . . . . . . . . . .
71
8.14 Erro entre as soluções analítica e numérica (k
= 100 mD)
(k = 10 mD)
= 10
=1
mD)
=1
mD)
8.15 Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
mD)
= 0, 1
mD)
8.16 Comparação das pressões entre as soluções analítica e numérica (k
8.17 Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
= 0, 001
. . . . . . .
72
= 0, 01
73
mD)
mD)
. . . . .
74
A.1
Volume de controle em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
A.2
Volume de controle em coordenadas cartersianas . . . . . . . . . . . . . . . .
82
D.1
Duração dos regimes de uxo
D.2
Histórico de pressão do teste FAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
D.3
Cálculo da AOF através do teste FAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
D.4
Histórico da pressão do teste isócrono modicado (12 horas) . . . . . . . . . . 142
D.5
Cálculo da AOF através do teste isócrono modicado com período de uxo de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
12 horas usando os dados de tempo 4,8 e 12 horas . . . . . . . . . . . . . . . 143
D.6
Cálculo da AOF através do teste isócrono modicado com período de uxo de
12 horas usando os dados de tempo 2, 4 e 6 horas . . . . . . . . . . . . . . . 143
D.7
Histórico de pressão do isócrono modicado (24 horas) . . . . . . . . . . . . . 144
D.8
Cálculo da AOF através do isócrono modicado com períodos de uxo de 24
horas usando os tempos 8, 16 e 24 horas
D.9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Cálculo da AOF através do isócrono modicado com período de uxo de 24
horas usando os tempos 2, 4 e 6 horas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Lista de Tabelas
6.1
Dados de reservatório
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
7.1
Modelos de reservatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.2
Geometria dos reservatórios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.3
Vazões utilizadas nos testes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.4
Duração do período de uxo dos testes FAF e do uxo estendido do teste
isócrono modicado
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.5
Resultados para Modelo 1 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.6
Resultados para Modelo 1 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.7
Resultados para Modelo 2 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.8
Resultados para Modelo 2 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.9
Resultados para Modelo 3 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
7.10 Resultados para Modelo 3 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
7.11 Resultados para Modelo 4 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
7.12 Resultados para Modelo 4 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.13 Resultados para Modelo 1 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.14 Resultados para Modelo 1 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.15 Resultados para Modelo 2 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.16 Resultados para Modelo 2 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.17 Resultados para Modelo 3 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.18 Resultados para Modelo 3 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.19 Resultados para Modelo 4 (IM 12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.20 Resultados para Modelo 4 (IM 24)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
8.1
Dados usados nos modelos de reservatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
8.2
Renamento usado no modelo de reservatório . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
D.1
Dados usados nos modelos de reservatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
D.2
Geometria dos reservatórios
D.3
Vazões usadas durantes os testes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
x
Nomenclatura
A
área
c
compressibilidade
C
coeciente de estocagem
m
2
−1
Pa
constante do método de Rawlins-Schelhardt
d
densidade do uido
kg/m
menor distância entre o poço e a fronteira
m
do reservatório
D
constante de turbulência
maior distância entre o poço e a fronteira
m
do reservatório
e
exponencial
h
tamanho do reservatório
j
número de vazões discretas
k
permeabilidade
l
índice
m
m
2
uma direção qualquer
L
comprimento do poço horizontal
m
índice
M
massa molecular
n
expoente do método de Rawlins-Schelhardt
índice
número de elementos
xi
m
3
LISTA DE TABELAS
xii
p
pressão
q
vazão
r
raio
R
constante universal dos gases
s
skin
S
solução da fonte pontual
t
tempo
T
temperatura
v
velocidade do uido
V
volume
X
transformada de Boltzman
z
Subscritos
condições padrão
base
superfície
posição do poço
1hr
valor em 1 hora
a
Agarwall
D
valor adimensional
e
valor calculado na fronteira externa
efeito de estocagem
f
formação
nal do período de uxo
f inal
nal do regime de uxo
g
gás
i
condição inicial
índice
inicial
3
m /s
m
fator de compressibilidade do gás
0
Pa
início do regime de uxo
s
K
m/s
m
3
LISTA DE TABELAS
xiii
L
laminar
m
base
p
pressão
produção
r
direção radial
s
estendido
r
posição do poço horizontal na direção
t
z
tempo
total
x
xd
direção
x
posição inicial do poço horizontal na direção
x
xl
posição nal do poço horizontal na direção
x
y
direção
w
poço
z
direção
y
z
za
posição inicial da fratura na direção
zb
posição nal da fratura na direção
θ
direção
z
z
θ
∞
gás no poço
¯
valor médio
Sobrescrito
adimensional
0
variável de integração
ˆ
transformada de Fourier nita cosseno em
xD
ˆˆ
transformada de Fourier nita cosseno em
zD
ˆˆ
ˆ
da função
da função
transformada de Lapace da função
LISTA DE TABELAS
xiv
Letras Gregas
α
constante de conversão de unidades
µ
viscosidade
ρ
densidade do uido
φ
porosidade
γ
constante de Euler
4
variação
∂
derivada parcial
L
operador de Laplace
τ
constante de integração
Especiais
AOF
absolute-open-ow
C1
constante auxiliar
CA
fator de forma ou de geometria de Dietz
Ei
função integral exponencial
F (s)
função no campo de Laplace
F AF
ow-after-ow
Ff x D
transformada de Fourier nita cosseno em
xD
Ff z D
transformada de Fourier nita cosseno em
zD
H (t)
função de Heaviside (função degrau)
LI
regime linear inicial
LT
regime linear tardio
m (p)
PR
qAOF
pseudo-pressão
regime pseudo-radial
maior vazão que o poço pode produzir submetido à pressão atmosférica na face da formação
RI
regime radial inicial
Resumo
Devido à crescente demanda por gás natural, é de fundamental importância a obtenção de
corretas informações sobre os reservatórios que o contém.
Uma das principais ferramentas
utilizadas na determinação das propriedades de reservatórios é o teste de pressão, uma técnica
que lança mão da teoria do uxo em meios porosos para o cálculo de parâmetros como a permeabilidade, o dano de formação e a pressão inicial do reservatório. Uma grande diculdade
que surge no desenvolvimento de modelos analíticos para gás está ligada à sua alta compressibilidade, o que torna a equação da difusividade que rege o comportamento da pressão não
linear.
Este trabalho apresenta a solução geral para o comportamento da pressão em poços horizontais em reservatório de gás.
O comportamento da pressão em poços horizontais pode
apresentar 4 regimes distintos, denominados: radial inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear
tardio. A solução geral pode ser aproximada de acordo com cada um desses regimes de uxo.
Nesta dissertação foram desenvolvidas expressões para a determinação da duração de cada
regime de uxo, baseadas no conceito de raio de investigação e no comportamento de poços
verticais fraturados. Além disso, foram analisados os efeitos do regime de uxo no cálculo do
absolute-open-ow
(AOF) em testes isócrono modicado, quando comparados com os resulta-
dos usando o teste
ow-after-ow
(FAF). Vericaram-se grandes discrepâncias, sugerindo que
o AOF não é um parâmetro adequado para comparação de desempenho de poços horizontais,
especialmente em reservatórios de baixa permeabilidade. Também foi avaliada a inuência da
permeabilidade no comportamento da pressão devido à linearização adotada para resolver a
equação da difusividade. Resultados mostram que essa aproximação pode ser aplicada sem
problemas na escala de tempo de um teste de poço, porém, há restrições de vazão por condições operacionais nos casos de baixíssima permeabilidade que impedem de forma prática a
utilização tanto da solução analítica (linearização) como numérica (discretização).
Palavras-chave: Análise de Testes de Pressão, Engenharia de Reservatórios, Reservatório
de Gás, Poço Horizontal.
xv
Abstract
Due to the growing demand for natural gas, it is fundamental to obtain accurate information
about reservoir properties. The most important tool to achieve this goal is pressure transient
analysis, a technique that uses the theory of ow in porous media for the calculation of
parameters such as permeability, skin factor and initial pressure of the reservoir.
A major
dicult that arises in the development of gas analytic models is the highly dependence of gas
compressibility and viscosity on the pressure, what makes the partial dierential equations that
models its ow in porous media non-linear.
In this work a general solution for pressure behavior on horizontal wells in gas reservoirs is
presented. It is possible to occur up to four dierent ow periods: early radial, early linear, late
pseudoradial and late linear. Approximate solutions for each ow period was also developed.
Correlations to determine the beginning and end of each ow period based on the radius
of investigation concept (for radial ow regimes) and on fractured vertical wells (for linear
ow periods) were derived. Results obtained were in close agreement with previous published
data. The Absolute-Open-Flow (AOF) determination in horizontal wells in tight gas reservoirs
was also studied.
We compared the dierences between the AOF values calculated from
isochronal tests with classical Flow-After-Flow (FAF) and the inuence of ow periods on
these results.
Results presented large errors, suggesting that AOF should be replaced as a
productivity parameter for horizontal wells.
The linearization technique was also evaluated
by the comparison of analytical and numerical results for dierent permeability values. Good
results were obtained in the range of 1000 mD to microdarcy, even though very low ow rates
were necessary to obtain convergence, what may be of practical importance for oil industry.
Keywords: Pressure Transient Analysis, Reservoir Engineering, Gas Reservoir, Horizontal
Wells.
xvi
Capítulo 1
Introdução
O gerenciamento e acompanhamento das jazidas de hidrocarbonetos dependem da obtenção
periódica de dados conáveis que permitam validar e corrigir os modelos adotados para determinado reservatório. Uma das principais ferramentas para a coleta dessas informações são os
testes de pressão em poços, que permitem conhecer parâmetros de reservatórios (permeabilidade e dano) e o nível de pressão estática (ou média) do campo (ou área de drenagem). De
posse destas informações, é possível também analisar a potencialidade de uma formação, avaliar as reservas disponíveis de hidrocarbonetos e prever a produção dos uidos existentes nos
reservatórios. Por exemplo, na descoberta de novos campos, as decisões sobre investimento
dependem fundamentalmente dos resultados da interpretação dos testes em poços pioneiros.
Há mais de meio século são desenvolvidos modelos analíticos que buscam interpretar dados
de pressão e vazão contra o tempo com o objetivo de calcular propriedades das rochas e
dos uidos de um campo de petróleo.
O domínio da teoria de uxo de uidos em meios
porosos é imprescindível para o desenvolvimento desses modelos. Nas últimas décadas, com o
crescimento da utilização e da capacidade de processamento dos computadores, os métodos
numéricos ganharam importância nessa área, especialmente a integração com os estudos de
caracterização e de simulação de reservatórios.
Recentemente, o gás natural aumentou sua participação na matriz energética brasileira,
especialmente por ser uma fonte de energia menos poluente que o petróleo. É possível encontrar gás natural de duas formas: associado à produção de petróleo (denominado gás associado) e não associado, ou seja, uma jazida portadora exclusivamente de gás em condições
(pressão e temperatura) de reservatório. Na produção de gás em reservatórios de baixa permeabilidade o uso de poços horizontais tornou-se primordial, uma vez que o poço horizontal
possibilita a exposição de grandes trechos do reservatório ao uxo, reduz a queda de pressão
e de velocidades de uxo, o que diminui o efeito de turbulência nas imediações do poço
[ROSA, CARVALHO e XAVIER 2006].
Durante a produção através de um poço horizontal podem ocorrer 4 regimes de uxo: radial
inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear tardio. Os testes realizados em poços horizontais
são similares aos usados em verticais, e a determinação de parâmetros como permeabilidade
1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
2
e dano de formação é feita com a utilização de soluções aproximadas de acordo com o regime
de uxo. No cálculo do
absolute-open-ow
(AOF), os regimes de uxo que ocorrem não são
levados em consideração. Um dos objetivos desse trabalho é justamente vericar a inuência
da escolha dos dados usados no cálculo da AOF, de que maneira o regime de uxo interfere
no resultado.
Nesta dissertação o comportamento da pressão em poços horizontais em reservatórios de
baixa permeabilidade portadores de gás é analisado.
O Capítulo 2 apresenta uma revisão
bibliográca a respeito do comportamento da pressão em reservatórios portadores de gás
sendo explotado através de poços verticais e o comportamento da pressão para o caso de
poços horizontais em reservatórios portadores de óleo.
No Capítulo 3 são desenvolvidas as soluções clássicas para poços verticais em reservatórios
de gás, considerando os casos de gás ideal e real. No capítulo seguinte são apresentados os
testes de pressão utilizados em reservatórios de gás: teste de uxo, de crescimento de pressão
(ou estática),
ow-after-ow
(FAF), isócrono e isócrono modicado.
O Capítulo 5 apresenta as soluções da equação da difusividade para poços horizontais em re-
servatório de gás adaptadas da solução para óleo [ODEH e BABU 1990, GOODE e THAMBYNAYAGAM 1
suas derivadas e a superposição no tempo. Em seguida analisamos a duração dos regimes que
ocorrem durante o período de uxo: radial inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear tardio, e a comparação entre os tempos propostos por [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987],
[ODEH e BABU 1990] e os desenvolvidos nesse trabalho.
A análise do cálculo do AOF como função do regime de uxo e do valor da permeabilidade
encontra-se no Capítulo 7. Foram adotados 4 modelos de reservatório e a faixa de permeabilidade variou de
1 × 103
a
1 × 10−3
mD.
Os testes realizados seguiram os métodos FAF
e isócrono modicado. Notamos certa incoerência na adoção desse parâmetro para denir a
capacidade de produção de um poço horizontal.
A comparação das soluções analítica e numérica da equação da difusividade para diferentes permeabilidades pode ser vista no Capítulo 8, utilizou-se um
gerar os dados numéricos.
software
comercial para
Tentou-se determinar a capacidade da linearização da equação
da difusividade para descrever o comportamento da pressão de um poço horizontal testando
um reservatório de gás. Os resultados foram satisfatórios, porém foram vericadas restrições
operacionais para baixas permeabilidades (necessidade de baixíssimas vazões).
Capítulo 2
Revisão Bibliográca
A análise de testes de pressão consiste em avaliar a resposta da pressão num reservatório
submetido a um ou vários períodos de produção a vazão constante ou variável e a um ou vários
períodos de estática após a produção. O objetivo dos testes de formação é obter informações do
sistema poço/reservatório como a transmissibilidade, pressão inicial e média, estocagem, dano
e potencial de produção do poço. Em novas descobertas, os dados utilizados na avaliação de
futuros investimentos dependem grandemente das avaliações feitas por intermédio da análise
de teste de pressão. Os testes de pressão utilizam as soluções analíticas do comportamento
da pressão para análise dos dados medidos.
Este capítulo foi dividido em 2 partes: a primeira sobre a teoria de testes de pressão em
poços verticais em reservatórios de gás e a segunda sobre testes de reservatórios de óleo através
de poços horizontais.
2.1
Poços Verticais em Reservatórios Portadores de
Gás
Devido à diculdade em resolver a equação da difusividade para gás, [CARTER 1962] propôs
as seguintes simplicações:
ˆ
Fluxo laminar,
ˆ
Viscosidade e fator de desvio do gás ideal constantes,
z(p)
onde
p=
p2i + p2L (t)
2
µ(p) = µ = µ(p)
e
z(p) = z =
21
, sendo
pi
a pressão inicial do reservatório e
pL
a pressão
no poço considerando uxo laminar.
e a partir da comparação entre os resultados do regime pseudo-permanente usando os valores
constantes de
µ
e
z
com os resultados usando
3
µ
e
z
atualizados a cada instante de tempo,
CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
chegou a uma relação mais geral de
µz ,
µz =
4
que pode ser escrita da seguinte forma
p2i − p2L (t)
Rpi
p0
2
dp0
0 )z(p0 )
µ(p
pL
(2.1)
Visando encontrar uma linearização mais adequada para a equação diferencial parcial
(EDP) que rege o comportamento da pressão em reservatório de gás, [AL-HUSSAINY, RAMEYJR e CRAW
propuseram a seguinte mudança de variável:
Zp
m(p) = 2
p0
dp0
µ(p0 )z(p0 )
(2.2)
pm
onde
pm
é a pressão base, e a variável
m(p) é chamada
de pseudo-pressão. Essa mudança
de variável apresenta as seguintes vantagens:
ˆ
A equação torna-se similar à equação da difusividade para líquido,
ˆ
Não é necessário o uso de valores médios para a viscosidade
bilidade
(µ)
e o fator de compressi-
(z).
[AL-HUSSAINY e RAMEYJR 1966] mostram várias aplicações para a pseudo-pressão, entre
elas a solução de um sistema radial com vazão constante e reservatório innito, reservatório
nito e borda selada e o uso da pseudo-pressão em testes de uxo, crescimento de pressão e
contra-pressão.
Uma diculdade adicional se deve ao fato de o gás alcançar altas velocidades próximo ao
poço, entrando assim em regime turbulento, produzindo uma queda de pressão adicional. Essa
queda de pressão no poço é proporcional à vazão ao quadrado [RAMEYJR 1965].
Durante o período inicial de produção, a vazão no poço ocorre devido à expansão do
uido.
Este efeito causado pela compressibilidade do uido é denido como estocagem.
[RAMEYJR 1965] vericou que há um instante a partir do qual o efeito da estocagem pode
ser negligenciado, uma vez que o m do efeito não depende da vazão e sim do tempo de
produção :
t = 229680
onde
C
φµcg rw2 C 0.0002637
k
αt
é o coeciente de estocagem adimensional
C=
e
V∞
V∞
2πφhrw2
é o volume de gás no poço.
Estudos posteriores mostraram que quando testes para gás são feitos da mesma forma
que para líquido, o uso da pseudo-pressão resulta em uma boa estimativa da capacidade de
CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
uxo da formação
(kh)
5
[WATTENBARGER e RAMEYJR 1968]. Foram analisados testes de
uxo e de crescimento de pressão com presença de turbulência, dano de formação e efeito de
estocagem. Observou-se que quando a presença da turbulência é signicativa, a estimativa de
kh
é um pouco menor que a real no teste de uxo.
Para os testes de crescimento de pressão, o uso do valor do produto
µct calculado na pressão
inicial não reproduz resultados coerentes para algumas faixas de pressão [AGARWALL 1979].
Comparando os testes de crescimento de pressão com o teste de uxo, propôs o uso de um
pseudo-tempo
Zt
ta (t) =
dt0
µ(t0 )ct (t0 )
(2.3)
t0
onde
t0
é o tempo base.
[LEE e HOLDITCH 1982] mostram uma melhoria na interpretação do teste de crescimento
de pressão com o uso do pseudo-tempo em reservatórios de baixa permeabilidade com o efeito
de estocagem.
[REYNOLDS, BRATVOLD e DING 1985] mostram que a escala de tempo
usada na análise semilog de testes de uxo e de crescimento de pressão pode afetar muito a
estimativa da capacidade de formação e do
skin, e o uso do tempo normal obtém melhores esti-
mativas que o uso do pseudo-tempo ou tempo normalizado. [LEE e WATTENBARGER 1996]
mostram limites de pressão onde se pode considerar o gás como ideal e que a pressões maiores
deve-se usar a pseudo-pressão nos testes de contra-pressão.
2.2
Poços Horizontais em Reservatórios Portadores de
Óleo
Embora os sistemas de produção de uidos em reservatórios de petróleo continuem a usar preponderantemente poços verticais, nas últimas décadas tem sido crescente o uso de poços hori-
zontais devido às vantagens, do ponto de vista técnico quanto do econômico [ROSA, CARVALHO e XAVIER
Após um processo matemático elegante de sucessivas transformadas integrais, é possível
obter uma solução analítica para testes de uxo e de crescimento de pressão em poços horizontais em reservatórios anisotrópicos portadores de líquido. As guras 2.1 e 2.2 mostram um
desenho esquemático do reservatório. A validade da modelagem é feita através de comparações
com resultados numéricos [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987, ODEH e BABU 1990]. Durante o regime transiente há a possível ocorrência de 4 períodos de uxo: radial inicial, linear
inicial, pseudo-radial e linear tardio. Foram obtidas soluções aproximadas para cada um dos
períodos de uxo identicados e a duração de cada um deles. Cada período é descrito como:
ˆ
Radial Inicial: Durante esse período, o comportamento da pressão é similar ao de um
poço vertical em um reservatório innito (gura 2.3). Este regime começa assim que o
poço é colocado em produção e termina quando o limite superior ou inferior é alcançado
CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
6
Figura 2.1: Vista superior esquemática de um poço horizontal
Figura 2.2: Vista lateral esquemática de um poço horizontal
tf inal
d2z φµct 0.0002637
= 1800
kz
αt
ou
tf inal = 125
onde
ˆ
dz
L2 φµct 0.0002637
kx
αt
é a menor distância entre o poço e a borda em
Linear Inicial:
z
e
L
é o comprimento do poço.
este regime só ocorre quando o poço é suciente longo em relação à
espessura da formação e os limites superior e inferior são atingidos (gura 2.4). Inicia
em
tinicial = 1800
Dz2 φµct 0.0002637
kz
αt
Figura 2.3: Fluxo radial inicial
CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
7
Figura 2.4: Fluxo linear inicial
Figura 2.5: Fluxo pseudo-radial tardio
onde
Dz
é a maior distância entre o poço e a borda em
tf inal = 160
ˆ
z.
E termina em
L2 φµct 0.0002637
kx
αt
Pseudo-Radial: ocorre uxo radial em volta do poço no plano da formação (gura 2.5).
Inicia em
tinicial = 1480
L2 φµct 0.0002637
kx
αt
e termina em
tf inal
φµct (dx + L/4)2 0.0002637
= 2000
kx
αt
ou
tf inal
sendo
ˆ
dx
e
dy
φµct d2y 0.0002637
= 1650
ky
αt
a menor distância entre o poço e as bordas
x
e
y
respectivamente.
Linear Tardio: ocorre quando os limites (as bordas) na direção
2.6). Inicia em
x
são alcançadas (gura
CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
8
Figura 2.6: Fluxo linear tardio
tinicial
φµct (Dx + L/4)2 0.0002637
= 4800
kx
αt
ou
tinicial = 1800
sendo
Dx
Dz2 φµct 0.0002637
kz
αt
a maior distância entre o poço e a borda em
tf inal
x.
Termina em
d2y φµct 0.0002637
= 1650
ky
αt
[DAVIAU et al. 1988] mostraram soluções para poços horizontais em reservatório innito,
reservatório com fronteiras impermeáveis e reservatório com fronteiras com pressão constante
com a presença de
skin
e estocagem para 2 regimes de uxo: radial inicial e pseudo-radial.
São apresentadas soluções para poços horizontais em reservatório com a presença de aqüífero
e/ou capa de gás, que foram modelados através de fronteiras impermeáveis e/ou com pressão
constante. As soluções que incluem os efeitos de estocagem e
skin
foram obtidas no campo
de Laplace [KUCHUK et al. 1991].
Alguns estudos têm diagnosticado mais um regime de uxo denominado semi-radial, que
ocorre quando o poço não é centrado com respeito aos limites superior e inferior do reservatório
e um dos limites é alcançado primeiro [KUCHUK et al. 1991, KUCHUK 1995].
Capítulo 3
Soluções Clássicas
Neste capítulo são apresentadas a dedução da equação da difusividade hidráulica e suas soluções para os casos clássicos da engenharia de reservatório para poços verticais, considerando
o escoamento de um gás ideal e de um gás real através do meio poroso. As premissas feitas
neste trabalho foram:
ˆ
Meio poroso homogêneo e isotrópico,
ˆ
Fluxo radial e isotérmico,
ˆ
Poço vertical penetrando totalmente a formação,
ˆ
Permeabilidade constante,
ˆ
Rocha com compressibilidade pequena e constante,
ˆ
Forças gravitacionais desprezíveis,
ˆ
Fluidos e rochas não reagentes em si,
ˆ
Espessura do meio poroso constante,
ˆ
Composição do gás constante,
ˆ
Fluxo monofásico.
O desenvolvimento de algumas soluções estão detalhadas no apêndice A. A partir da equação
da continuidade, com auxílio da lei de Darcy e da compressibilidade isotérmica é possível obter
a seguinte expressão
1 ∂
r ∂r
k ∂p
rρ
µ(p) ∂r
=
∂ (φρ)
∂t
que é conhecida como a equação da difusividade hidráulica.
9
(3.1)
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES CLÁSSICAS
3.1
10
Gás Ideal
A baixas pressões o gás se comporta como ideal, o que simplica a modelagem do problema,
pois o fator de compressibilidade é igual a 1 e a viscosidade
(µ)
independente da pressão.
Assim, a equação da difusividade para gás ideal é dada por:
1 ∂
r ∂r
∂p2
µφcg ∂p2
r
=
∂r
k ∂t
(3.2)
Nesta seção serão mostradas as soluções para os regimes transiente, permanente e pseudopermanente.
3.1.1 Regime Transiente
A solução aqui apresentada é chamada de solução da linha fonte, também conhecida como
solução da fonte linear, onde o poço se comporta como uma linha
uido se desloca e através da qual ocorre a produção.
(rw → 0)
para onde o
Durante esse regime o reservatório
se comporta como se fosse innito, e a pressão no innito sempre igual à pressão inicial do
reservatório.
Para a resolução desse problema foi considerado vazão constante e usadas as
seguintes condições:
ˆ
Condição Inicial
p(r, t = 0) = pi ⇒ p2 (r, t = 0) = p2i
ˆ
Condição de Contorno Externa
lim p(r, t) = pi ⇒ lim p2 (r, t) = p2i
r→∞
ˆ
(3.3)
r→∞
(3.4)
Condição de Contorno Interna
∂p
qw µ
∂p2
qw µ
lim r
=
⇒ lim r
=
pw
r→0
r→0
∂r
2πkh
∂r
πkh
(3.5)
A partir da equação 3.2 com as condições 3.3 a 3.5, chega-se à solução
2
p (r, t) =
onde
p0 , q0 e T0
p2i
µ p0 q0 Tw
φµcg r2
+
Ei −
2πkh T0
4kt
(3.6)
são os valores de pressão, vazão e temperatura na superfície, respectivamente.
3.1.2 Regime Permanente
O regime permanente ocorre após o reservatório ter sido submetido a um período de produção
sucientemente longo tal que o comportamento da pressão passar a ser afetado pela fronteira
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES CLÁSSICAS
11
externa. A pressão em cada ponto não varia com o tempo. Assim, o lado direito da equação
3.2 é igual a zero, ou seja:
∂p2
=0
∂t
(3.7)
Para resolver esse problema, as seguintes condições foram usadas:
ˆ
Condição de Contorno Externa
r = re ⇒ p(r = re ) = pe ⇒ p2 (r = re ) = p2e
ˆ
(3.8)
Condição de Contorno Interna
r = rw ⇒ p(r = rw ) = pw ⇒ p2 (r = rw ) = p2w
(3.9)
A solução da equação 3.2 com as condições indicadas anteriormente (equações 3.7, 3.8 e
3.9), resulta em:
p2 (r) = p2w +
p2e − p2w
r
re ln r
w
ln
rw
(3.10)
3.1.3 Regime Pseudo-Permanente
O regime pseudo-permanente é alcançado pela produção de um poço durante um tempo
sucientemente longo num reservatório nito selado, a partir do qual o comportamento da
pressão no poço é afetado pela presença da fronteira externa. Como não existe alimentação
externa, a produção acontece em decorrência da expansão do uido.
As condições para esse regime são:
ˆ
Condição de Contorno Externa
∂p ∂r ˆ
r=re
∂p2 =0⇒
∂r =0
(3.11)
r=re
Condição de Contorno Interna
∂p
r
∂r
r=rw
µqw
=
⇒
2πkh
∂p2 r
∂r =
r=rw
pw q w µ
πkh
(3.12)
A solução da equação 3.2, para as condições anteriores (equações 3.11 e 3.12) é
2
p (r, t) −
p2w
" #
2
q0 p0 Tw µ 1 r
r
=−
− ln
T0 πkh 2 re
rw
(3.13)
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES CLÁSSICAS
3.2
12
Gás Real
A modelagem do comportamento do gás real apresenta algumas diculdades devido à variação
de alguns parâmetros com a pressão, o que torna a equação da difusividade não-linear. Para
resolver o problema, [AL-HUSSAINY, RAMEYJR e CRAWFORD 1966] propuseram o uso da
pseudo-pressão (equação 2.2), que torna a equação da difusividade igual a:
1 ∂
∂m(p)
φµ(p)ct (p) ∂m(p)
r
=
r ∂r
∂r
k
∂t
O uso da pseudo-pressão,
gás.
m(p),
(3.14)
não requer o uso de valores médios das propriedades do
Os termos da integral que aparecem na denição de
m(p),
equação 2.2, são funções
da pressão e podem ser obtidos da análise PVT do gás. Um método qualquer de integração
possibilita a determinação de valores de
m(p).
3.2.1 Regime Transiente
Esse caso foi resolvido considerando a solução da linha-fonte descrita anteriormente.
As condições para esse caso são:
ˆ
Condição Inicial
p(r, t = 0) = pi ⇒ m(p) = m(pi )
ˆ
Condição de Contorno Externa
lim p(r, t) = pi ⇒ lim m(p) = m(pi )
r→∞
ˆ
(3.15)
r→∞
(3.16)
Condição de Contorno Interna
qw µ
∂m(p)
qw pw
∂p
lim r
=
⇒ lim r
=
r→0
r→0
∂r
2πkh
∂r
zw πkh
(3.17)
e a solução é dada por
φ (µct )i r2
q0 p0 Tw
m(p) = m(pi ) +
Ei −
2T0 πkh
4kt
(3.18)
3.2.2 Regime Permanente
Semelhante ao descrito anteriormente para gás ideal, esse regime apresenta a seguinte consideração:
2p
∂p
∂m(p)
=
=0
∂t
µ(p)z(p) ∂t
ˆ
Condição de Contorno Externa
r = re ⇒ p(r = re , t) = pe ⇒ m(p) = m(pe )
(3.19)
CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES CLÁSSICAS
ˆ
13
Condição de Contorno Interna
r = rw ⇒ p(r = rw , t) = pw ⇒ m(p) = m(pw )
(3.20)
Usando as condições descritas anteriormente (equações 3.19 e 3.20), a solução é
m(p) − m(pw ) =
r
m(pe ) − m(pw )
ln
re
rw
ln
rw
(3.21)
3.2.3 Regime Pseudo-Permanente
Neste caso foram usadas as seguintes condições:
ˆ
Condição de Contorno Externa
∂p r = re ⇒
∂r ˆ
r=re
∂m(p) =0⇒
∂r r=re
2p ∂p =
µz ∂r =0
(3.22)
r=re
Condição de Contorno Interna
∂p
r
∂r
r=rw
qw µ
=
⇒
2πkh
∂m(p) r
∂r
=
r=rw
qw pw
zw πkh
(3.23)
e considerando que a queda da pseudo-pressão em relação ao tempo seja constante
∂m(p)
= C1 (= cte)
∂t
A solução é dada por
" #
2
q0 p0 Tw 1 r
r
m(p) − m(pw ) = −
− ln
T0 πkhφ 2 re
rw
(3.24)
Capítulo 4
Teste de Pressão em Poços de Gás
Os testes de pressão são realizados para estimar a capacidade de produção do poço e as
propriedades da formação. Os testes usados para determinar o potencial
(AOF) são chamados testes de contra-pressão (teste
ow-after-ow
absolute-open-ow
(FAF), isócrono e isócrono
modicado), e os testes usados para estimar as propriedades da formação são conhecidos como
testes de uxo e testes de crescimento de pressão. Neste capítulo serão descritos os principais
tipos de testes de pressão realizados em poços produtores de gás.
4.1
Teste de Contra-Pressão
Um indicador comum de produtividade, obtido a partir dos testes de contra-pressão, é o
potencial AOF. A AOF é a maior vazão que o poço pode produzir submetido à pressão
atmosférica na face da formação.
Os testes de contra-pressão mais comuns são [LEE e WATTENBARGER 1996]:
ˆ
Teste FAF,
ˆ
Teste Isócrono,
ˆ
Teste Isócrono Modicado.
4.1.1 Teste
Flow-After-Flow
Esse teste também é chamado de o teste
FAF
backpressure test e four point test .
Convencionalmente
é feito da seguinte forma: o poço é submetido a uma seqüência de períodos de
vazão crescente e por último submetido a um período de estática.
Em princípio, o tempo
de duração de cada vazão constante dura até que o regime dominado por fronteiras (regime
permanente ou pseudo-permanente) seja atingido, não sendo necessário que cada período
tenha o mesmo tempo de duração. Um exemplo do teste é mostrado na gura 4.1, onde é
mostrado o histórico da pressão e da vazão, sendo
14
pf
a pressão nal de cada período de uxo.
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
15
Figura 4.1: Comportamento da pressão no poço em um teste FAF
Esse teste pode ser analisado por 2 métodos: Método de Rawlins-Schellhardt e Método de
Houpeurt.
Método de Rawlins-Schellhardt
Usa-se a equação empírica
q = C [m(p) − m(pf )]n
para cálcular a AOF, onde
p
(4.1)
é a pressão média do reservatório e
pf
é a pressão no poço no
nal de cada período de uxo. Aplicando-se o logaritmo na equação 4.1, obtém-se
log q = log C + n log [m(p) − m(pf )]
Plotando os dados de pseudo-pressão x vazão num gráco
comportamento de uma reta cuja inclinação é
1/n.
log
(4.2)
x
log,
A AOF pode ser determinada extrapolando
pf = pb , sendo pb a pressão na superfície, como pode ser visto
C pode ser determinada a partir de um ponto qualquer da reta
a reta até o ponto onde
gura 4.2. A constante
esses devem ter o
C=
Usando a equação 4.1, com a pressão
qi
[4m(pi )]n
pb ,
pode-se determinar a AOF
na
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
16
Figura 4.2: Interpretação do teste FAF
qAOF = C [m(p) − m(pb )]n
onde os valores de
C
e
n
já foram calculados anteriormente.
Método de Houpeurt
O método de Houpeurt para a interpretação desse teste (ou determinação da AOF) usa a
solução do regime pseudo-permanente [LEE e WATTENBARGER 1996]
p0 qT
10, 06A
3
m(p) − m(pf ) = αp
1, 151 log
− + s + Dq
T0 kh
CA rw2
4
onde
e
CA
s
é o skin (dano de formação),
D
a constante de turbulência,
A
(4.3)
é a área de drenagem
é o fator de forma ou fator de geometria de Dietz.
A equação 4.3 pode ser reescrita como
onde
4m(p) = m(p) − m(pf ) = aq + bq 2
(4.4)
p0 qT
10, 06A
3
a = αp
1, 151 log
− +s
T0 kh
CA rw2
4
(4.5)
b = αp
dividindo ambos os lados da equação 4.4 por
p0 qT D
T0 kh
q
(4.6)
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
17
Figura 4.3: Interpretação do teste FAF
4m(p)
m(p) − m(pf )
=
= a + bq
q
q
que é a equação de uma reta, inclinação
x
q
do teste para os diferentes
pf
b e intersecção a.
Plotando-se os dados de
pode-se determinar as constante
a
e
b.
4m(p)
q
Com tais valores
podemos determinar o AOF, a qual é dada pela seguinte expressão (gura 4.3):
qAOF =
−a +
p
a2 + 4b [m(p) − m(pb )]
2b
(4.7)
4.1.2 Teste Isócrono
Na tentativa de reduzir o tempo do teste e a quantidade de gás produzido desenvolveu-se o
teste isócrono. No teste isócrono os períodos de uxo devem ter tempos iguais e entre estes
períodos deve existir um período de estática até ocorrer estabilização da pressão. Depois do
último período de uxo de tempo determinado, deve-se impor um período de uxo até que seja
atingido o regime dominado por fronteiras (uxo estendido), como pode ser visto na gura
4.4.
O teste isócrono é mais usado para reservatórios de baixa permeabilidade [LEE e WATTENBARGER 199
Para esse testes também são usados os métodos de Rawlins-Schellhardt e de Houpeurt com
algumas pequenas modicações.
Método de Rawlins-Schellhardt
ow-after-ow ,
C depende do
tempo [C(t)]. Então, a partir dos dados de pressão e vazão, plota-se a curva log [m(p) − m(pf )]
x log q , para cada vazão e log [m(p) − m(pf,s )] x log qs , onde qs e pf,s são a vazão e a pressão
Usa-se a mesma equação do teste sendo que para esse teste
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
18
Figura 4.4: Comportamento da pressão no poço em um teste isócrono
no uxo estendido. A partir da inclinação
1/n, calcula-se o valor de C(t) para o uxo estendido
[Cs ]:
Cs =
qs
[m(p) − m(pf,s )]n
(4.8)
então a AOF é calculada usando a pressão atmosférica, de acordo com
qAOF = Cs [m(p) − m(pb )]n
ou extrapolando a curva até a pressão atmosférica, como pode ser visto na gura 4.5.
Método de Houpeurt
Para esse teste o método de Houpeurt usa a solução para regime transiente reescrita de uma
forma semelhante à solução para regime pseudo-permanente [LEE e WATTENBARGER 1996]
4m(p)
m(p) − m(pf )
=
= at + bq
q
q
(4.9)
onde
p0 qT
rd
3
ln
− +s
at = α p
T0 kh
rw
4
(4.10)
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
19
Figura 4.5: Interpretação do teste isócrono
b = αp
p0 qT D
T0 kh
e
s
rd =
Plotando os dados
inclinação da reta e
a
4m(p)
x
q
q,
17, 9098αt kt
φ (µct )i
(4.11)
obtém-se uma reta cujos coecientes são
a
e
b,
sendo
b
a
calculado a partir do uxo estendido (gura 4.6):
at,s =
m(p) − m(pf,s )
qs
− bqs
e a AOF
−at,s +
qAOF =
q
a2t,s + 4b (m(p) − m(pb ))
2b
4.1.3 Teste Isócrono Modicado
Para reduzir ainda mais o tempo de teste e a quantidade de gás produzido desenvolveu-se o
teste isócrono modicado, que é semelhante ao teste isócrono, porém não sendo necessário
esperar que na estática a pressão retorne para pressão média do reservatório. Cada período
de estática e de uxo possui a mesma duração, sendo que o período de estática deve ser igual
ou maior que o de uxo, como pode ser visto na gura 4.7 [LEE e WATTENBARGER 1996].
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
20
Figura 4.6: Interpretação do teste isócrono
A AOF pode ser calculada de forma semelhante ao teste isócrono, só que agora utiliza-se
a última pressão estática em vez da pressão média do reservatório. A equação usada pode ser
reescrita como
4m(p) = m(ps ) − m(pf ) = at q + bq 2
onde
p0 T
4αt kt
at = α p
ln γ
+s
T0 kh
e φ (µct )i rw2
b = αp
e
ps
b
4m(p)
é a inclinação da reta do gráco
x
q
p0 T D
T0 kh
é a última pressão medida no período de estática,
q, a
γ
é a constante de Euler
at,s =
m(ps ) − m(pf,s )
qs
− bqs
e a AOF através da equação
−at,s +
qAOF =
q
(0.57722),
pode ser calculado usando os dados do uxo
estendido (gura 4.8)
(4.12)
a2t,s + 4b (m(ps ) − m(pb ))
2b
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
Figura 4.7: Comportamento da pressão e vazão em um teste isócrono modicado
Figura 4.8: Interpretação do teste isócrono modicado
21
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
4.2
22
Teste de Pressão
Nesta seção mostra-se a denição dos testes de pressão: uxo e crescimento de pressão. Os
testes são realizados para estimar os valores da capacidade de uxo da formação
fator
(kh)
e do
skin (s).
4.2.1 Teste de Fluxo
O teste de uxo é conduzido pela produção no poço a uma taxa (ou várias taxas) conhecida(s)
e constante(s), enquanto a variação da pressão no fundo do poço em função do tempo é registrada. Os testes de uxo são designados primeiramente para quanticar as características de
uxo do reservatório, incluindo permeabilidade e fator
skin
[LEE, ROLLINS e SPIVEY 2003].
Os cálculos usados no teste de uxo são baseados na solução da linha-fonte para regime
transiente. Negligenciando o efeito da turbulência, pode-se escrever a solução da linha fonte
como:
p0 qT
m(pi ) − m(pf ) = 2, 302 αp
T0 kh
log(t) + log
4αt k
γ
e φ (µct )i rw2
+ 0.869s
(4.13)
A equação 4.13 pode ser reescrita como:
m(pi ) − m(pf ) = m0 q [log(t) + s]
(4.14)
p0 T
m = 2, 302 αp
T0 kh
(4.15)
onde
0
e
s = log
4αt k
γ
e φ (µct )i rw2
+ 0.869s
Com histórico de produção discreto, a equação 4.14 (produto da superposição de soluções
de linha fonte) é reescrita como:
n
X
m(pi ) − m(pf )
= m0
qn
j=1
para
qn 6= 0.
qj − qj−1
qn
log (t − tj−1 ) + m0 s
(4.16)
Plotando
n m(pi ) − m(pf ) X
qj − qj−1
x
log (t − tj−1 )
qn
qn
j=1
(4.17)
obtém-se uma reta. A permeabilidade pode ser determinada pela expressão
p0 T
k = 2, 302 αp
T0 m0 h
(4.18)
CAPÍTULO 4. TESTE DE PRESSÃO EM POÇOS DE GÁS
O
skin
pode ser determinado a partir do valor inicial de
 4p
 q

s = 1.151 
 m0

23
4p
q
:


 − log
i

4αt k

eγ φ (µct )i rw2 
(4.19)
4.2.2 Teste de Crescimento de Pressão
O teste de crescimento de pressão consiste em usar os dados de pressão do poço durante
o período de estática após o mesmo ter sido submetido a um período de uxo.
Os dados
de pressão medidos durante o período de uxo normalmente apresentam muitos ruídos, e os
dados de pressão medidos durante o período de estática contém menos ruído devido à vazão
igual a zero imposta ao poço. Por causa disso, na prática utiliza-se mais os dados do período
de estática para estimar os parâmetros de reservatórios [PERES 2007].
A solução da linha-fonte para regime transiente com aplicação do princípio da superposição no tempo é a equação usada na interpretação do teste de crescimento de pressão
[LEE, ROLLINS e SPIVEY 2003]:
p0 qT
tp + 4t
m(ps ) = m(pi ) − 2, 302 αp
log
T0 kh
4t
onde
tp
é o tempo de produção e
4t
(4.20)
é o tempo no período de estática.
A forma da equação 4.20 sugere que
seja estimada através da inclinação,
a permeabilidade
(m),
e o
da reta semilog de
skin
tp + 4t
, da forma
4t
p0 qT
k = 2, 302 αp
T0 mh
m(ps ) x log
através da equação
m(p1hr ) − m(pf )
s = 1.151
− log
m
0
onde
(4.21)
m(p1hr )
é a pseudo-pressão para
período de estática.
4t = 1hr
e
m(pf )
4αt k
γ
e φ (µct )i rw2
é a última pseudo-pressão antes do
Capítulo 5
Fluxo de Gás em Poço Horizontal
A utilização de poços horizontais em reservatórios portadores de gás tem sido uma alternativa
para reservatórios de baixa permeabilidade, uma vez que o poço horizontal aumenta a área
efetiva de drenagem no reservatório, caso contrário seria necessário o uso de vários poços
verticais com espaçamento reduzido entre eles [ROSA, CARVALHO e XAVIER 2006]. Devido
à grande aplicabilidade dos poços horizontais, tem crescido o estudo do comportamento da
pressão em reservatórios explotados através deles.
Para o caso de reservatório de gás, há
algumas diculdades a mais na modelagem desse comportamento, uma vez que as propriedades
do gás variam muito com a pressão e os reservatórios possuem baixa permeabilidade, o que
gera altas velocidades do uxo próximo ao poço, produzindo um efeito de turbulência.
Este capítulo apresenta 2 soluções para o comportamento da pressão para poço horizontal
em reservatório portador de gás. Na primeira solução o reservatório é considerado de dimensão
innita na direção perpendicular ao poço e na segunda solução o reservatório é totalmente
selado.
5.1
Solução para Fluxo em Poços Horizontais (Modelo 1)
Nesta seção será mostrada a solução de [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987] adaptada para
o gás. Algumas premissas foram consideradas:
ˆ
Meio poroso homogêneo e anisotrópico;
ˆ
Fluxo monofásico e isotérmico;
ˆ
Permeabilidades constantes;
ˆ
Rocha com compressibilidade pequena e constante;
ˆ
Forças gravitacionais desprezíveis;
ˆ
Espessura do meio poroso constante;
24
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
ˆ
Composição do gás constante;
ˆ
Fluido e rocha não reagentes entre si.
ˆ
Poço horizontal;
ˆ
Fluxo uniforme ao longo do poço;
ˆ
O produto
ˆ
Poço paralelo ao topo e base da formação;
ˆ
Topo e base impermeáveis.
ˆ
Regime laminar para o escoamento do gás
(µcg )
25
considerado constante;
O desenvolvimento detalhado das soluções apresentadas neste capítulo encontra-se no Apêndice B.
A partir da equação da continuidade chega-se a
φ (µcg )i ∂m (p)
kx ∂ 2 m (p) ∂ 2 m (p) kz ∂ 2 m (p)
+
+
=
2
2
2
ky ∂x
∂y
ky ∂z
αt ky
∂t
(5.1)
que é a equação da difusividade hidráulica para uxo de gás em reservatório anisotrópico.
As condições de contorno e inicial usadas para resolver este problema foram:
1.
2.
m (p (x, y, z, t = 0)) = m (pi );
lim m (p (x, y, z, t)) = m (pi );
y→∞
3. Condição de contorno interna,
4.

2παp q0 p0 Tw
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t < t0
∂m (p) 
T0 ky
lim (Lzb − Lza ) (Lxl − Lxd )
=
y→0

∂y
0
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t > t0
∂m (p) ∂m (p) = 0;
=
∂z ∂z z=0
5.
∂m (p) ∂x x=0
z=hz
∂m (p) =
∂x = 0;
x=hx
As condições de contorno e iniciais usadas são produto das condições:
1.
2.
p (x, y, z, t = 0) = pi ;
lim p (x, y, z, t) = pi ;
y→∞
;
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
26
3. Condição de contorno interna,
4.

2παp qw µ (p)
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t < t0
∂p 
2ky
lim (Lzb − Lza ) (Lxl − Lxd )
=
y→0
∂y 
0
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t > t0
∂p ∂p = 0;
=
∂z ∂z z=0
5.
∂p ∂x z=hz
x=0
∂p =
∂x = 0;
x=hx
Resolvendo a EDP dada pela equação 5.1 usando as condições de contorno e inicial, chega-se
à solução geral do problema:
4m (p) = αp
16rw0 q0 p0 Tw
"
T0 ky hz hx
1
+
νx
√ ∞ erf mπν
√
1 hz P
z tD
πtD +
Zm cos (mπzD ) +
νz 4rw0 m=1
m
hx
Lxl − Lxd
2
√ ∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 +
n
n=1
(5.2)
+2π
hx
Lxl − Lxd
2 hz
4rw0
∞ P
∞
P
n=1m=1
erf
q
(nπνx )2 + (mπνz )2 tD
q
(nπνx )2 + (mπνz )2
×Zm Zn2 cos (mπzD )]
para o período de uxo e
×
;
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
+
27
(
√
√ √
π tD − tD − tD0 +
∞ 1 √
√ 1 hz P
t
−
erf mπνz
t
−
t
Zm cos (mπzD ) +
erf mπνz
D
D
D0
νz 4rw0 m=1 m
1
+
νx
hx
Lxl − Lxd
+2π
2
∞ 1 P
√ √
erf nπνx
tD − erf nπνx tD − tD0 Zn2 +
n=1 n
hx
Lxl − Lxd
2 hz
4rw0
∞ P
∞
P
1
q
×
2
2
n=1m=1
(nπνx ) + (mπνz )
)
q
q
2
2
2
2
× erf
(nπνx ) + (mπνz ) tD − erf
(nπνx ) + (mπνz ) (tD − tD0 ) Zm Zn2 cos (mπzD )
(5.3)
para o período de estática. Foram utilizadas as seguintes variáveis adimensionais:
tD =
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
4r0
νz = w
hz
s
kz
ky
4r0
νx = w
hx
s
kx
ky
e
mπ (hs + 2rw0 )
mπ (hs − 2rw0 )
sin
− sin
hz
hz
Zm =
mπ
sin
Zn =
nπLxl
hx
− sin
nπLxd
hx
nπ
rw0 = rw
zD =
1
kz 4
ky
1
(hs + 1, 47rw0 )
hz
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
28
Usando algumas aproximações é possível simplicar as equações 5.2 e 5.3, de forma que
podem ser reescritas respectivamente como:
"
√ ∞ erf mπν
16rw0 q0 p0 Tw √
hx hz P
z tD
Zm cos (mπzD ) +
4m (p) = αp
πtD + 0
T0 ky hz hx
4rw Lw νz m=1
m
1
+
νx
hx
Lw
2
√ #
∞ erf nπν
P
x tD
Zn2
n
n=1
(5.4)
e
4m (p) = αp
√
16rw0 q0 p0 Tw √ √
π tD − tD − tD0 +
T0 ky hz hx
√ √
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − erf mπνz tD − tD0
+ 0
Zm cos (mπzD ) +
4rw Lw νz m=1
m
1
+
νx
hx
Lw
2
(5.5)
#
√ √
∞ erf nπν
P
x tD − erf nπνx tD − tD0
Zn2
n
n=1
Durante o regime de uxo transiente é possível a ocorrência de 4 regimes de uxo, identicados como: radial inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear tardio. Alguns desses regimes
podem não aparecer devido às características do reservatório.
Para cada um desses regimes de uxo pode-se simplicar a solução geral de forma a obter
uma solução para cada um deles.
5.1.1 Período de Fluxo
A seguir será mostrada a solução aproximada para cada um dos regimes, os detalhes encontramse no Apêndice B.
Radial Inicial
Durante esse período, o comportamento da pressão é similar ao de um poço vertical em um
reservatório innito. Este regime começa assim que o poço é posto para produzir e termina
quando o limite superior ou inferior é alcançado. A solução para este regime é dada por
2 × 1, 8089
mD =
π2
na forma adimensional e
r
ky
log
kz
64kz
tD
γ
e ky
(5.6)
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
4m (p) =
T0 Lw ky kz
29
4αt kz t
0 2
γ
e φ (µcg ) (rw )
i
!
(5.7)
na forma dimensional.
Linear Inicial
Este regime só ocorre quando o poço é suciente longo em relação à espessura da formação e
os limites superior e inferior são atingidos. A solução aproximada para esse regime é dada por
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
hx hz
hx √
πtD +
Sz
Lw
2Lw νz
(5.8)
na forma adimensional e
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz Lw
s
π
αt ky t
2αp q0 p0 Tw
p
Sz
2 +
0
T0 Lw ky kz
φ (µcg )i (4rw )
(5.9)
na forma dimensional, sendo
Sz =
2
hz Ωz
π
onde
Ωz =
1
[ψ (η1 ) + ψ (η2 ) − ψ (η3 ) − ψ (η4 )]
8rw0
(5.10)
e
∞
ψ (η) =
X sin (nη)
n=1
η1 =
η2 =
0, 52πrw0
hz
π
(2hs + 3, 48rw0 )
hz
η3 = −
η4 =
n2
3, 48πrw0
hz
π
(2hs − 0, 52rw0 )
hz
Pseudo-Radial
Neste regime ocorre uxo radial em volta do poço no plano da formação. A solução aproximada
para esse regime é dada por
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
30
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
hx hz
1, 8089
Ωz +
log
Lw νz π
νx π
!#
(5.11)
na forma adimensional e
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
4m (p) =
T0 ky kx hz
64αt kx t
γ
2
e φ (µcg ) Lw
i
+
2αp q0 p0 Tw
p
Sz
T0 Lw ky kz
(5.12)
na forma dimensional.
Linear Tardio
Este regime ocorre quando os limites (as bordas) na direção
x
são alcançadas. A solução é
escrita como
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
hx hz
πtD + 0
8rw Lw
r
ky
(Sz + Sx )
kz
#
(5.13)
na forma adimensional e
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz hx
s
π
2αp q0 p0 Tw
αt ky t
p
+
(Sz + Sx )
2
T0 Lw ky kz
φ (µcg )i (4rw0 )
(5.14)
na forma dimensional, sendo
∞
X
2h2x
Zn2
r
Sx =
kx n=1 n
hz Lw
kz
5.1.2 Período de Estática
O período de estática pode ocorrer de várias formas, dependendo em que regime de uxo o
poço é fechado.
5.1.2.1 Fluxo Linear Tardio
Para o fechamento do poço durante o período linear tardio é possível ocorrer os seguintes
regimes durante a estática:
Radial Inicial
Ocorre logo após o fechamento do poço. A solução pode ser escrita como
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
" 2, 303q0 p0 Tw
t
p
− log
4m (p) = αp
log
t − t0
T0 Lw ky kz
√
+
16rw0 Lw kz
p
2, 303 ky hz hx
31
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
(5.15)
s
π
αt ky t
+ log
φ (µcg )i (4rw0 )2
γ
ky
64kz
e
#
+
2
(Sx + Sz )
2, 303
Linear Inicial
A solução é dada por
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
s
√
αt ky
hx √
2q0 p0 Tw
p
Sx
π
t−
t − t0 + αp
2
0
Lw
T0 Lw ky kz
φ (µcg )i (4rw )
(5.16)
Pseudo-Radial
A solução para esse período pode ser escrita da seguinte forma
"
2, 303αp q0 p0 Tw
p
4m (p) =
log t−tt 0 − log
T0 ky kx hz
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+ log
L2w eγ ky
(4rw0 )2 64kx
+
#
s
√
√
hz π kx
4rw0 π kx
αt ky t
√ Sx
p
+
+
π
1, 8089hx ky
φ (µcg )i (4rw0 )2 2 × 1, 8089Lw kz
(5.17)
Linear Tardio
A solução para esse regime pode ser escrita como
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
s
π
√
√
αt ky
t
−
t
−
t
0
φ (µcg )i (4rw0 )2
(5.18)
5.1.2.2 Fluxo Pseudo-Radial
Considerando que antes do fechamento do poço ocorria o pseudo-radial, podem ser encontrados os seguintes regimes de uxo:
Radial Inicial
A solução para esse regime é dada por
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
" 2, 303q0 p0 Tw
t
p
− log
4m (p) = αp
log
t − t0
T0 Lw ky kz
32
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
(5.19)
√
γ Lw kz
64αt kx t
e ky
2
+ √
log γ
+ log
+
Sz
2
e φ (µcg ) Lw
64kz
2, 303
π kx hz
i
Linear Inicial
A solução para esse regime pode ser escrita como
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz Lw
( s
−
p
)
2, 303Lw ky
αt ky
64αt kx t
√
π
(t − t0 ) +
log γ
2
e φ (µcg ) Lw
16rw0 kx
φ (µcg )i (4rw0 )2
i
(5.20)
Pseudo-Radial
A solução para esse regime é dada por
2, 303αp q0 p0 Tw
p
4m (p) =
log
T0 ky kx hz
t
t − t0
(5.21)
5.1.2.3 Fluxo Linear Inicial
Considerando o último regime de uxo antes do fechamento do poço como linear inicial,
encontramos as seguintes soluções para a estática:
Radial Inicial
A solução para esse regime pode ser escrita como
" t
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
− log
4m (p) =
t − t0
T0 Lw ky kz
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
#
s
√
γ kz
e ky
αt ky t
2
p
+
+ log
π
+
Sz
64kz
2, 303
2, 303hz ky
φ (µcg )i (4rw0 )2
(5.22)
16rw0
Linear Inicial
A solução é dada por
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz Lw
s
π
√
√
αt ky
t
−
t
−
t
0
φ (µcg )i (4rw0 )2
(5.23)
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
33
5.1.2.4 Fluxo Radial Inicial
Neste caso a solução pode ser escrita como
2, 303αp q0 p0 Tw
p
4m (p) =
log
T0 Lw ky kz
t
t − t0
(5.24)
5.1.3 Derivada
Através do comportamento da derivada da pressão em relação ao logaritmo do tempo é possível
identicar os regimes de uxo, uma vez que cada um apresenta um comportamento típico.
Para o regime radial, a derivada apresenta um patamar com inclinação nula, o regime linear
1/2
apresenta inclinação
e quando ocorre o regime pseudo-permanente a inclinação é
1.
Aplicando a derivada na solução geral (equação 5.4) temos
∂4m (p)
∂4m (p)
8rw0 q0 p0 Tw √
=t
= αp
πtD ×
∂ ln t
∂t
T0 ky hz hx
× 1+
h
∞
√ 2 i
hx hz P
exp
−
mπν
Zm cos (mπzD ) +
z tD
2rw0 Lw m=1
1
+
2
hx
Lw
2
√ 2 i 2
exp − nπνx tD
Zn
∞
P
h
(5.25)
)
n=1
5.1.4 Superposição no Tempo
A superposição no tempo é usada para obter a solução quando a vazão varia. Aplicando a
superposição no tempo na solução geral (equação 5.4), obtém-se:
j
16rw0 p0 Tw P
4m (p) = αp
(q0,i+1 − q0,i ) ×
T0 ky hz hx i=0

p
p
erf
mπν
(t
−
t
)
∞
z
D
Di
hx hz P
×
π (tD − tDi ) + 0
Zm cos (mπzD ) +

4rw Lw νz m=1
m
+
para
t > ti ,
sendo
1
νx
hx
Lw
2
∞ erf
P
n=1
q0,0 = 0, t0 = 0
e
j
nπνx
p
(tD − tDi )
n
Zn2



o número de vazões discretas.
(5.26)
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
5.2
34
Solução para Fluxo em Poços Horizontais (Modelo 2)
Nesta seção será apresentada a solução de [ODEH e BABU 1990] adaptada para gás. Nesse
modelo o reservatório é selado em todas as fronteiras. A solução pode ser escrita como:
4παp q0 p0 Tw
4m (p) =
T0 hx hy hz Lw α
Zt
Sx (τ ) Sy (τ ) Sz (τ ) dτ
(5.27)
0
onde
α=
φ (µcg )i
αt
(5.28)
∞
2hx X
m2 π 2 kx τ
mπx
mπLxl
mπLxd
exp −
Sx (τ ) = Lw +
cos
sin
− sin
π m=1
αh2x
hx
hx
hx
(5.29)
2 2
∞
X
l π ky τ
mπy
mπy0
exp −
Sy (τ ) = 1 + 2
cos
cos
2
αh
h
hy
y
y
l=1
(5.30)
2 2
∞
X
n π kz τ
mπz
mπz0
exp −
Sz (τ ) = 1 + 2
cos
cos
2
αh
h
hz
z
z
n=1
(5.31)
Como os somatórios necessitam de muitos termos para convergir em curtos tempos, usa-se
uma solução particular. Essa solução é descrita como:
q0 p0 Tw αp
p
4m (p) =
2T0 Lw ky kz
Zt
sum
(x, x0 , τ ) sum (y, y0 , τ ) sum (z, z0 , τ )
dτ
τ
(5.32)
0
onde
sum
(x, x0 , τ ) =
∞
P
"
erf
m=−∞
Lxl − x − 2mhx
p
4kx τ /α
!
+ erf
Lxl + x + 2mhx
p
4kx τ /α
!
+
(5.33)
−erf
Lxd − x − 2mhx
p
4kx τ /α
!
− erf
Lxd + x + 2mhx
p
4kx τ /α
!#
#
"
#
−α (y − y0 + 2lhy )2
−α (y + y0 + 2lhy )2
sum (y, y0 , τ ) =
exp
+ exp
4k
4ky τ
yτ
l=−∞
∞
X
"
(5.34)
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
#
"
#
−α (z + z0 + 2nhy )2
−α (z − z0 + 2nhy )2
+ exp
sum (z, z0 , τ ) =
exp
4k
τ
4kz τ
z
n=−∞
∞
X
35
"
(5.35)
5.2.1 Derivada
Derivando a solução dada pela equação 5.27 em função do logaritmo do tempo:
4m (p)
4m (p)
4παp q0 p0 Tw
=t
=
Sx (t) Sy (t) Sz (t)
∂ ln t
∂t
T0 hx hy hz Lw α
(5.36)
5.2.2 Superposição no Tempo
Aplicando o princípio da superposição no tempo na solução dada pela equação 5.27
t−t
Zi
j
4παp p0 Tw X
4m (p) =
(q0,i+1 − q0,i ) Sx (τ ) Sy (τ ) Sz (τ ) dτ
T0 hx hy hz Lw α i=0
(5.37)
0
para
t > ti ,
sendo
q0,0 = 0, t0 = 0
e
j
o número de vazões discretas.
5.2.3 Soluções Aproximadas
A solução geral pode ser aproximada de acordo com cada regime de uxo, facilitando sua
utilização em testes de pressão.
Radial Inicial
Para o regime radial inicial
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
4m (p) =
T0 ky kz Lw
!
p
4αt ky kz t
γ
2
e φ (µcg ) rw
i
(5.38)
Linear Inicial
Nesse caso
2, 303αp q0 p0 Tw
4m (p) =
2T0 Lw hz
17, 37hz
+p
ky kz
r
αt t
+
0.0002637φ (µcg )i ky
#
hz
ky
πz0
ln
+ 0, 25 ln
− ln sin
− 1, 838
rw
kz
hz
(5.39)
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
36
Pseudo-Radial
Para o regime pseudo-radial
2, 303αp q0 p0 Tw
αt ky t
p
− 1.76+
4m (p) =
log
0.0002637φ (µcg )i L2w
T0 ky kz hz
(5.40)
r
kx hz
hz
ky
πz0
+0.87
ln
+ 0, 25 ln
− ln sin
− 1, 838
kz Lw
rw
kz
hz
Linear Tardio
Para o regime linear tardio
2, 303αp q0 p0 Tw
4m (p) =
2T0 hx hz
17, 37hz
+p
ky kz
r
αt t
+
0.0002637φ (µcg )i ky
#
hz
ky
πz0
ln
+ 0, 25 ln
− ln sin
− 1, 838 + SR
rw
kz
hz
(5.41)
onde [ODEH e BABU 1989]:
0
SR = Pxyz + Pxy
se
0, 75h
h
0, 75h
py ≥ √ x √ z
kx
kz
ky
e
SR = Pxyz + Px + Pxy
se
h
1, 33h
0, 75h
√x > p y √ z
kx
kz
ky
Pxyz =
0
Pxy
e
hx
hz
ky
πz0
− 1 ln
+ 0, 25 ln
− ln sin
− 1, 84
Lw
rw
kz
hz
2h2x
=
Lw hz
r
kz
kx
Lw
4x0 + Lw
4x0 − Lw
F
+ 0, 5 F
−F
2hx
2hx
2hx
6, 28h2x
Px =
hz hy
Pxy =
p
ky kz
1 x0 x20
Lw
Lw
+
−
+
−3
kx
3 hx h2x
24hx hx
hx
−1
Lw
A equação 5.45 é válida para
6, 28hy
hz
s
kz
ky
!
1 y0
y2
−
+ 02
3 hy hy
(5.42)
(5.43)
(5.44)
(5.45)
CAPÍTULO 5. FLUXO DE GÁS EM POÇO HORIZONTAL
Min
(y0 , hy − y0 ) ≥ 0, 25hy
sendo
F (x) = −x 0, 0145 + ln (x) − 0, 137x2
se
x≤1
e
F (x) = (2 − x) 0, 0145 + ln (2 − x) − 0, 137 (2 − x)2
se
x > 1.
37
Capítulo 6
Duração dos Regimes de Fluxo
Durante a avaliação de um reservatório de gás através de um poço horizontal, há a possibilidade
de ocorrência de vários regimes de uxo: radial inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear
tardio. Os regimes de uxo são assim denominados devido à semelhança do comportamento
da pressão com seus homônimos.
O regime radial inicial é similar à produção de um poço
vertical, o linear inicial semelhante ao regime de uxo de um poço vertical produzindo em
um canal, o pseudo-radial semelhante a um poço vertical com um raio igual à metade do
comprimento do poço horizontal e o linear tardio é semelhante ao linear inicial, ou seja, um
poço vertical em um canal.
Devido a essas semelhanças no comportamento da pressão é possível desenvolver soluções aproximadas para cada um dos regimes de uxo e estimar a sua duração. Neste capítulo apresentamos propostas encontradas na literatura [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987,
ODEH e BABU 1990] para a determinação desses tempos. Também é apresentada uma proposta para a determinação dos tempos dos regimes desenvolvida a partir de conceitos conhecidos na literatura: raio de investigação e poços verticais fraturados. Os resultados obtidos
com o modelo desenvolvido nesse trabalho mostraram-se tão ou mais ecientes que aqueles
encontrados na literatura para os casos aqui analisados.
6.1
Modelo 1
Nesta seção será apresentada a duração de cada regime de uxo conforme [GOODE e THAMBYNAYAGAM
6.1.1 Radial Inicial
O uxo é radial em volta do poço e é similar a um poço vertical que penetra toda a formação
num reservatório innito. O tempo nal deste regime é dado por
tf inal = 190
hs2,095 rw−0,095 φ (µcg )i 0, 0002637
kz
αt
38
(6.1)
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
39
6.1.2 Linear Inicial
O comprimento de um poço horizontal geralmente é longo quando comparado com a espessura
da formação. O período de uxo linear pode se desenvolver uma vez que os limites superior
e inferior sejam alcançados e o uxo nos limites do poço possam ser neglicenciados. O nal
desse período é calculado através de:
tf inal = 20, 8
φ (µcg )i L2w 0, 0002637
kx
αt
(6.2)
6.1.3 Pseudo-Radial
Durante este período desenvolveu-se uxo radial no plano
xy .
O início e o nal desse período
podem ser determinados através de:
tinicial = 1230
tf inal
φ (µcg )i L2w 0, 0002637
kx
αt
−0,095
φ (µcg )i 0, 0002637
(Lxl + Lxd )2,095 Lw
= 297
kx
αt
(6.3)
(6.4)
6.1.4 Linear Tardio
Ocorre quando os limites laterais são alcançados. Esse trabalho não propôs uma correlação
para esse caso.
6.2
Modelo 2
Esta seção mostrará os tempos propostos por [ODEH e BABU 1990] para os 4 regimes de
uxo: radial inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear tardio.
6.2.1 Radial Inicial
Este período ocorre imediatamente após o poço ser posto em produção e é análogo ao período
de uxo radial para um poço vertical de comprimento
Lw
penetrando totalmente a formação.
O nal desse período pode ser determinado através de:
d2z φ (µcg )i 0, 0002637
kz
αt
(6.5)
L2w φ (µcg )i 0, 0002637
kx
αt
(6.6)
tf inal1 = 1800
ou
tf inal2 = 125
O tempo calculado pela equação 6.6 aplica-se no caso onde a espessura é maior que o
comprimento na direção
x.
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
40
6.2.2 Linear Inicial
Se o comprimento do poço é mais extenso que a espessura da formação e a contribuição do
uxo a partir das bordas do poço pode ser neglicenciada, pode ocorrer o uxo linear inicial e
a sua duração pode ser aproximada por:
tinicial = 1800
Dz2 φ (µcg )i 0, 0002637
kz
αt
(6.7)
e
tf inal
L2w φ (µcg )i 0, 0002637
= 160
kx
αt
(6.8)
6.2.3 Pseudo-Radial
Para que ocorra um novo uxo radial,
Lw
< 0, 45,
hx
onde
Lw
é o comprimento do poço e
hx
é o tamanho do reservatório na direção do poço. O início e nal desse período podem ser
aproximados por
tinicial
L2w φ (µcg )i 0, 0002637
= 1480
kx
αt
tf inal1 = 2000
tf inal2
A direção
x
φ (µcg )i (dx + Lw /4)2 0, 0002637
kx
αt
d2y φ (µcg )i 0, 0002637
= 1650
ky
αt
corresponde à direção do poço e
y
(6.9)
(6.10)
(6.11)
é a direção perpendicular ao poço.
O
tempo nal deve ser calculado usando a direção de menor comprimento.
6.2.4 Linear Tardio
Este período ocorre depois que os limites nas direções
z
e
x
são alcançados. Os tempos são
estimados através de:
tinicial1
φ (µcg )i (Dx + Lw /4)2 0, 0002637
= 4800
kx
αt
tinicial2 = 1800
tf inal = 1650
φ (µcg )i Dz2 0, 0002637
kz
αt
φ (µcg )i d2y 0, 0002637
ky
αt
(6.12)
(6.13)
(6.14)
A equação 6.13 deve ser usada quando a espessura é maior que o comprimento na direção
x.
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
6.3
41
Modelo 3
Nesta seção serão apresentadas propostas para o cálculo da duração de cada regime desenvolvidas neste trabalho. As expressões foram baseadas no conceito de raio de investigação (para
uxo radial) [PERES 2007] e a similaridade do comportamento de um poço vertical fraturado
com o poço horizontal (para uxo linear) [EARLOUGHERJR 1977].
6.3.1 Radial Inicial
O regime de uxo radial inicial termina quando a fronteira superior ou inferior é atingida. Dessa
forma é possível determinar o tempo nal do regime pelo conceito de raio de investigação. O
raio de investigação pode ser obtido a partir da solução da linha fonte para poço vertical. A
partir do raio de investigação, o nal do período é determinado pelo tempo onde a fronteira
mais próxima é atingida. Portanto, o tempo nal pode ser obtido pela expressão
tf inal =
eγ φ (µcg )i (dz − rw )2
4αt kz
(6.15)
6.3.2 Linear Inicial
O regime de uxo linear inicial ocorre após o comportamento da pressão sofrer inuência dos
limites superior e inferior. A partir desse ponto é semelhante a um poço vertical fraturado e
termina quando o comprimento do poço é considerado muito pequeno em relação ao tamanho
do reservatório.
A proposta de tempo inicial foi baseada no conceito de raio de investigação, uma vez que
o regime inicia após as fronteiras do topo e base serem atingidas.
Desta forma, é possível
estimar o tempo para que a fronteira mais distante seja alcançada
tinicial
eγ φ (µcg )i (Dz − rw )2
=
4αt kz
(6.16)
O tempo nal pode ser calculado a partir da similaridade do comportamento do regime
de uxo linear inicial com o de um poço vertical fraturado. Usando essa relação e o tempo
denido para poço vertical fraturado [EARLOUGHERJR 1977] é possível chegar à expressão
tf inal = 0, 1
φ (µcg )i L2w
4αt kx
(6.17)
6.3.3 Pseudo-Radial
Neste regime ocorre uxo radial em volta do poço no plano da formação. Começa quando o
poço pode ser considerado vertical de raio igual à metade do comprimento do poço original
e termina quando o comportamento da pressão sofre inuência de alguma fronteira no plano
da formação.
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
42
Para o tempo inicial foi usada a similaridade com poço fraturado [EARLOUGHERJR 1977].
Este valor é conservador e pode ser escrito como
tinicial1 = 10
φ (µcg )i Lw
4αt kx
(6.18)
1 × 103
A expressão 6.18, variando a permeabilidade de
a
1 × 10−3
mD
e as dimensões
do reservatório mostrou-se muito conservadora. Melhores resultados para os casos avaliados
são obtidos com a equação
tinicial1 =
φ (µcg )i Lw
4αt kx
(6.19)
O tempo para o nal do regime é dado pelo conceito do raio de investigação, ou seja,
termina quando uma fronteira é atingida e pode ser escrito como
"
eγ φ (µcg )i dx −
tf inal1 =
Lw
4
ky
kx
1/4 #2
(6.20)
4αt kx
ou
tf inal2
eγ φ (µcg )i [dy − rw ]2
=
4αt ky
(6.21)
A equação 6.20 é usada quando a dimensão do reservatório em
x
é menor que em
y
e a
equação 6.21 para o inverso.
6.3.4 Linear Tardio
Esse regime começa quando o comportamento da pressão sofre inuência das 2 fronteiras em
uma direção. Para estimar o tempo em que esse regime inicia foi usado o conceito de raio de
investigação:
"
eγ φ (µcg )i Dx −
tinicial =
Lw
4
ky
kx
1/4 #2
4αt kx
(6.22)
ou
tinicial =
eγ φ (µcg )i [Dy − rw ]2
4αt ky
(6.23)
sendo usado o menor valor, que corresponde à menor dimensão do reservatório.
O tempo nal do regime linear tardio pode ser calculado usando o tempo inicial para a
maior dimensão do reservatório.
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
hx
hy
hz
2500 a 7500 m
10000 m
50 m
6000 m
0, 1 m
0, 2
150 ºC
650 kg/cm2
profundidade
rw
φ
Tw
Pi
µ
cg
Lw
kx
ky
kz
q0
P0
T0
43
[LEE, GONZALEZ e EAKIN 1966]
[DRANCHUK e ABOU-KASSEM 1975]
600 m
10 mD
10 mD
10 mD
2 × 106 m3 /d
1, 03323 kg/cm2
15, 5556 ºC
Tabela 6.1: Dados de reservatório
6.4
Análise da Duração dos Regimes de Fluxo
Nesta seção serão feitas comparações entre as durações dos regimes de uxo propostos por
[GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987] e [ODEH e BABU 1990] com os desenvolvidos neste
trabalho.
Os tempos propostos por [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987] serão chamados de modelo 1, os tempos de [ODEH e BABU 1990] de modelo 2 e os desenvolvidos neste trabalho
de modelo 3. Os dados usados para caracterizar o modelo de reservatório encontram-se na
tabela 6.1.
6.4.1 Radial Inicial
Para comparar os tempos para o regime radial inicial, foram usados
hx = 2500
m
e os seguintes
valores de espessura do reservatório (hz ):
1.
hz = 25
m
(gura 6.1).
2.
hz = 50
m
(gura 6.2).
3.
hz = 75
m
(gura 6.3).
O modelo 1 mostrou-se muito conservador e os modelos 2 e 3 apresentam melhores resultados, apesar de prever com um pequeno atraso.
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
44
Figura 6.1: Comparação entre os tempos nais do regime radial inicial para
hz = 25
m
Figura 6.2: Comparação entre os tempos nais do regime radial inicial para
hz = 50
m
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
45
Figura 6.3: Comparação entre os tempos nais do regime radial inicial para
hz = 75
m
6.4.2 Linear Inicial
Para comparar os tempos para o regime linear inicial, foram usados
hx = 2500
m
e os seguintes
valores de espessura do reservatório (hz ):
1.
hz = 25
m
(gura 6.4).
2.
hz = 50
m
(gura 6.5).
3.
hz = 75
m
(gura 6.6).
Para esse regime de uxo, os tempos iniciais dos modelos 2 e 3 apresentaram ótimos
resultados, muito similares. Para o tempo nal o modelo 1 foi muito conservador, o modelo
2 apresentou o melhor desempenho e o modelo 3 mostrou valores razoáveis.
6.4.3 Pseudo-Radial
Para comparar os tempos para o regime pseudo-radial foram usados
valores do tamanho do reservatório na direção
1.
hx = 2500
m
(gura 6.7).
2.
hx = 5000
m
(gura 6.8).
3.
hx = 7500
m
(gura 6.9).
x (hx ):
hz = 50
m
e os seguintes
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
46
Figura 6.4: Comparação entre os tempos do regime linear inicial para
hz = 25
m
Figura 6.5: Comparação entre os tempos do regime linear inicial para
hz = 50
m
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
Figura 6.6: Comparação entre os tempos do regime linear inicial para
Figura 6.7: Comparação entre os tempos do regime pseudo-radial para
47
hz = 75
m
hx = 2500
m
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
48
Figura 6.8: Comparação entre os tempos do regime pseudo-radial para
hx = 5000
m
Figura 6.9: Comparação entre os tempos do regime pseudo-radial para
hx = 7500
m
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
49
Figura 6.10: Comparação entre os tempos do regime linear tardio para
hx = 2500
m
Para o tempo inicial, os 3 modelos apresentaram resultados semelhantes e satisfatórios, o
modelo 3 mais preciso. Para o tempo nal os modelos 1 e 3 apresentaram resultados similares
e superiores ao modelo 2.
6.4.4 Linear Tardio
Para comparar os tempos para o regime linear tardio foram usados
valores do tamanho do reservatório na direção
1.
hx = 2500
m(gura
2.
hx = 5000
m
(gura 6.11).
3.
hx = 7500
m
(gura 6.12).
hz = 50
m
e os seguintes
x (hx ):
6.10).
Os modelos 1 e 3 mostraram boa capacidade de prever o início desse regime de uxo, o
modelo 2 não. Para o tempo nal os modelos 2 e 3 apresentaram bons resultados, bastante
similares.
6.4.5 Análise dos Resultados
De uma forma geral, os três modelos apresentam boa capacidade de previsão do início e
nal de cada regime de uxo para as geometrias e propriedades de reservatório estudadas
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
50
Figura 6.11: Comparação entre os tempos do regime linear tardio para
hx = 5000
m
Figura 6.12: Comparação entre os tempos do regime linear tardio para
hx = 7500
m
CAPÍTULO 6. DURAÇÃO DOS REGIMES DE FLUXO
51
nesse trabalho. O modelo 1 apresentou resultados mais conservadores para o nal do radial
inicial e, assim como todos os outros, para o início do pseudo-radial. É importante ressaltar
que esse modelo não prevê nem o tempo de início do linear inicial nem o nal do linear
tardio (reservatório innito em uma direção). Os modelos 2 e 3 mostram-se melhores e mais
precisos. O modelo 3, desenvolvido nesse trabalho, foi capaz de prever com boa precisão todos
os casos, mostrando-se conservador apenas na determinação do tempo inicial do pseudo-radial.
O modelo 2, além de conservador para o início do pseudo-radial, também não foi capaz de
prever o tempo nal do período pseudo-radial.
É importante frisar que esses resultados não foram testados extensivamente e não podem
ser generalizados sem critério.
Porém, as propostas aqui desenvolvidas apresentaram-se no
mínimo equivalentes às consagradas na literatura.
Capítulo 7
Estudo da Capacidade de Entrega
para Poços Horizontais
O conceito de
absolute-open-ow
(AOF) foi desenvolvido para poços verticais no intuito de
obter um parâmetro para comparação da produtividade entre os poços produtores de gás. Esse
parâmetro tem sido usado para poços horizontais da mesma forma que para poços verticais.
Neste capítulo será analisado o cálculo de AOF para poços horizontais, uma vez que durante
a produção há a possibilidade de ocorrer 4 diferentes regimes de uxo: radial inicial, linear
inicial, pseudo-radial e linear tardio.
O estudo será feito através de comparações entre os resultados da AOF utilizando o
teste
ow-after-ow
(FAF), considerado padrão, e o teste isócrono modicado. Para o cál-
culo das pressões será utilizada a equação 5.37, que consiste na solução geral adaptada de
[ODEH e BABU 1990] para gás com o princípio da superposição no tempo.
Os testes isócronos modicados foram realizados usando períodos de uxo de 12 e 24
horas. Foram simulados testes usando o uxo estendido e sem o uxo estendido (prática da
indústria do petróleo), lembrando que no caso de baixas permeabilidade o uxo estendido é
impraticável. No caso de ocorrer mais de um regime de uxo, a AOF foi calculado em cada
um deles, com o objetivo de avaliar esse efeito.
Foram simulados testes em 4 diferentes modelos de reservatórios, variando suas dimensões,
suas propriedades encontram-se nas tabelas 7.1 e 7.2. A tabela 7.3 mostra as vazões utilizadas
e a tabela 7.4 mostra a duração de cada período de uxo do teste FAF e do uxo estendido
do teste isócrono modicado, usadas nos modelos de acordo com a permeabilidade. Conforme
pode ser observado nesta tabela, a utilização do uxo estendido como manda a teoria do teste
isócrono é inviável mesmo para permeabilidades superiores a 1 mD. A análise da tabela 7.3
indica que as vazões que permitiram a execução dos testes para permeabilidades inferiores a
1 mD são estremamente baixas, nem sempre possíveis de serem medidas pelos equipamentos
disponíveis nas plataformas.
As tabelas 7.5 a 7.12 mostram os resultados para as AOF's calculadas nos testes FAF e
isócrono modicado com uxo estendido. Os dados estão distribuídos da seguinte forma:
52
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS53
Propriedade
Modelo 1, 2, 3 e 4
profundidade
6000 m
0, 1 m
0, 2
150 ºC
650 kg/cm2
rw
φ
Tw
Pi
z
µ
cg
Lw
kx
ky
kz
q0
P0
T0
[DRANCHUK e ABOU-KASSEM 1975]
[LEE, GONZALEZ e EAKIN 1966]
[DRANCHUK e ABOU-KASSEM 1975]
600 m
1 × 10 a 1 × 10−3 mD
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
2 × 106 a 2 × 107 m3 /d
1.03323 kg/cm2
15.5556 ºC
3
Tabela 7.1: Modelos de reservatórios
Propriedades
hx
(orientação do poço)
hy
hz
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
2500 m
10000 m
50 m
5000 m
10000 m
50 m
7500 m
10000 m
50 m
10000 m
2500 m
50 m
Tabela 7.2: Geometria dos reservatórios
Permeabilidade
3
1 × 10 mD
1 × 102 mD
1 × 101 mD
1 × 100 mD
1 × 10−1 mD
1 × 10−2 mD
1 × 10−3 mD
vazão 1
vazão 2
vazão 3
vazão do uxo estendido
6
6
6
3 × 106 m3 /d
3 × 106 m3 /d
3 × 106 m3 /d
3 × 105 m3 /d
1, 35 × 104 m3 /d
1, 5 × 103 m3 /d
4, 5 × 102 m3 /d
2 × 10
2 × 106
2 × 106
1 × 105
9 × 103
1 × 103
3 × 102
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
4 × 10 m /d
4 × 106 m3 /d
4 × 106 m3 /d
2 × 105 m3 /d
1, 8 × 104 m3 /d
2 × 103 m3 /d
6 × 102 m3 /d
3
6 × 10 m /d
6 × 106 m3 /d
6 × 106 m3 /d
3 × 105 m3 /d
2, 7 × 104 m3 /d
3 × 103 m3 /d
9 × 102 m3 /d
Tabela 7.3: Vazões utilizadas nos testes
Permeabilidade
tempo
1000
144
100
1440
10
14400
1
144192
0,1
1442040
0,01
14420592
0,001
144205968
Tabela 7.4: Duração do período de uxo dos testes FAF e do uxo estendido do teste isócrono
modicado
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS54
k
FAF
1000
IM 12
8
2, 92 × 10
7
5, 13 × 10
100
7
1, 00 × 10
8, 01 × 105
10
1
0,1
0,01
0,001
7, 76 × 104
8, 01 × 103
1, 15 × 103
8
9, 29 × 10
8, 27 × 108
1, 06 × 108
5, 73 × 107
1, 27 × 107
1, 27 × 106
1, 20 × 106
1, 28 × 105
1, 26 × 104
1, 36 × 103
Erro (%)
R 12
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
R 3
217,53
LT
4h
PR
8h
PR-LT
12h
LT
182,63
LT
2h
PR
4h
PR
6h
PR
107,93
LI-PR
4h
LI-PR
8h
LI-PR
12h
LI-PR
11,66
LI-PR
0,25h
LI
0,5h
LI
1h
LI
26,61
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
58,55
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
49,95
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
65,71
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
57,94
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
17,85
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
Tabela 7.5: Resultados para Modelo 1 (IM 12)
ˆ
1º coluna: valores de permeabilidade em mD (k);
ˆ
3
2º coluna: valor da AOF usando o teste FAF em m /d (FAF);
ˆ
3º coluna: valor da AOF a partir do teste isócrono modicado com período de uxo de
3
12 horas (IM 12) ou 24 horas (IM 24) em m /d;
ˆ
4º coluna: valor percentual do erro absoluto entre a AOF calculada através da FAF e a
calculada através do teste isócrono modicado (Erro (%));
ˆ
5º coluna: regime de uxo ao nal do período de uxo de 12 ou 24 horas do teste
isócrono modicado (R12 ou R24);
ˆ
6º coluna: tempo usado no cálculo da inclinação no teste isócrono modicado em horas
(primeira reta) (P1);
ˆ
7º coluna: regime de uxo no instante de tempo do primeiro ponto utilizado no teste
isócrono modicado (primeira reta) (R1);
ˆ
8º coluna: tempo usado no cálculo da inclinação no teste isócrono modicado em horas
(segunda reta) (P2);
ˆ
9º coluna: regime de uxo no instante de tempo do segundo ponto utilizado no teste
isócrono modicado (segunda reta) (R2);
ˆ
10º coluna: tempo usado no cálculo da inclinação no teste isócrono modicado em horas
(terceira reta) (P3);
ˆ
11º coluna: regime de uxo no instante de tempo do terceiro ponto utilizado no teste
isócrono modicado (terceira reta) (R3).
Detalhes dos cálculos encontram-se no Apêndice D.
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS55
k
FAF
IM 24
8
1000
2, 92 × 10
100
5, 13 × 107
10
1
0,1
0,01
0,001
7
1, 00 × 10
5
8, 01 × 10
4
7, 76 × 10
8, 01 × 103
1, 15 × 103
8
8, 16 × 10
6, 18 × 108
1, 11 × 108
5, 65 × 107
1, 26 × 107
1, 17 × 107
1, 25 × 106
1, 13 × 106
1, 28 × 108
1, 27 × 104
1, 37 × 103
Erro (%)
R 24
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
R 3
178,90
LT
8h
PR-LT
16h
LT
24h
LT
111,08
LT
2h
PR
4h
PR
6h
PR
115,93
PR
8h
LI-PR
16h
LI-PR
24h
PR
10,15
PR
0.25h
LI
0.5h
LI
1h
LI
25,96
LI-PR
8h
LI
16h
LI
24h
LI-PR
17,28
LI-PR
4h
LI
8h
LI
12h
LI
56,12
LI
8h
LI
16h
LI
24h
LI
41,60
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
65,84
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
58,73
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
18,56
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
Tabela 7.6: Resultados para Modelo 1 (IM 24)
k
FAF
IM 12
Erro (%)
1000
4, 86 × 108
7, 75 × 107
1, 36 × 109
1, 41 × 108
8, 51 × 107
1, 65 × 107
1, 68 × 106
1, 58 × 106
1, 70 × 105
1, 67 × 104
1, 77 × 103
100
10
1
0,1
0,01
0,001
7
1, 36 × 10
1, 15 × 106
1, 12 × 105
1, 15 × 104
1, 54 × 103
R 12
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
180,20
PR
81,73
LI-PR
4h
PR
4h
LI-PR
9,88
LI-PR
0.5h
21,03
LI
4h
45,61
LI
36,65
LI
51,56
RI
45,08
14,45
R 3
8h
PR
12h
PR
8h
LI-PR
12h
LI-PR
LI
1h
LI
1.5h
LI
LI
8h
LI
12h
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
Tabela 7.7: Resultados para Modelo 2 (IM 12)
k
1000
100
FAF
IM 24
8
4, 86 × 10
7
7, 75 × 10
7
10
1, 36 × 10
1
1, 15 × 106
0,1
0,01
0,001
5
1, 12 × 10
1, 15 × 104
1, 54 × 103
9
1, 30 × 10
1, 21 × 109
1, 44 × 108
7, 98 × 107
1, 64 × 107
1, 51 × 107
1, 65 × 106
1, 48 × 106
1, 71 × 105
1, 68 × 104
1, 78 × 103
Erro (%)
R 24
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
R 3
168,15
PR-LT
8h
PR
16h
PR
24h
PR-LT
149,86
PR-LT
4h
PR
8h
PR
12h
PR
86,67
PR
8h
LI_PR
16h
LI_PR
24h
PR
2,95
PR
0.5h
LI
1h
LI
1.5h
LI
20,36
LI-PR
8h
LI
16h
LI
24h
LI-PR
10,62
LI-PR
4h
LI
8h
LI
12h
LI
43,11
LI
8h
LI
16h
LI
24h
LI
28,07
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
52,03
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
45,90
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
15,30
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
Tabela 7.8: Resultados para Modelo 2 (IM 24)
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS56
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 12
8
7, 42 × 10
1, 04 × 108
1, 59 × 107
1, 37 × 106
1, 34 × 105
1, 37 × 104
1, 75 × 103
9
1, 46 × 10
1, 52 × 108
9, 10 × 107
1, 77 × 107
1, 81 × 106
1, 70 × 106
1, 84 × 105
1, 80 × 104
1, 90 × 103
Erro (%)
R 12
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
R 3
97,03
PR
4h
PR
8h
PR
12h
PR
46,43
LI-PR
4h
LI-PR
8h
LI-PR
12h
LI-PR
12,34
LI-PR
0,5h
LI
1h
LI
1,5h
LI
11,63
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
32,18
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
23,80
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
37,08
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
31,68
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
8,16
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
Tabela 7.9: Resultados para Modelo 3 (IM 12)
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 24
8
7, 42 × 10
1, 04 × 108
7
1, 59 × 10
6
1, 37 × 10
1, 34 × 105
1, 37 × 104
1, 75 × 103
9
1, 46 × 10
1, 56 × 108
8, 53 × 107
1, 64 × 107
1, 71 × 107
1, 78 × 106
1, 59 × 106
1, 85 × 105
1, 81 × 104
1, 91 × 103
Erro (%)
R 24
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
R 3
96,38
PR
4h
PR
8h
PR
12h
PR
50,86
PR
8h
LI-PR
16h
LI-PR
24h
PR
17,82
PR
0.5h
LI
1h
LI
1.5h
LI
3,32
LI-PR
8h
LI
16h
LI
24h
LI-PR
7,86
LI-PR
8h
LI
12h
LI
16h
LI
29,84
LI
8h
LI
16h
LI
24h
LI
15,80
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
37,52
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
32,44
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
9,00
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
Tabela 7.10: Resultados para Modelo 3 (IM 24)
k
1000
FAF
IM 12
8
2, 73 × 10
100
4, 92 × 107
10
9, 73 × 106
7, 74 × 105
1
0,1
0,01
0,001
4
7, 49 × 10
7, 74 × 103
1, 12 × 103
8
9, 07 × 10
8, 01 × 108
1, 04 × 108
6, 57 × 107
1, 24 × 107
1, 23 × 106
1, 17 × 106
1, 25 × 105
1, 23 × 104
1, 33 × 103
Erro (%)
R 12
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
231,98
LT
4h
PR
8h
PR-LT
12h
LT
193,20
LT
2h
PR
3h
PR
4h
PR
111,73
LI-PR
4h
LI-PR
8h
LI-PR
12h
LI-PR
33,69
LI-PR
0,5h
LI
1h
LI
1,5
LI
27,26
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
59,89
LI
4h
LI
8h
LI
12h
LI
51,26
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
67,17
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
59,39
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
18,77
RI
4h
RI
8h
RI
12h
RI
Tabela 7.11: Resultados para Modelo 4 (IM 12)
R 3
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS57
k
FAF
1000
IM 24
8
2, 73 × 10
4, 92 × 107
100
9, 73 × 106
10
5
1
7, 74 × 10
0,1
7, 49 × 104
7, 74 × 103
1, 12 × 103
0,01
0,001
8
7, 98 × 10
8, 70 × 108
5, 93 × 108
1, 08 × 108
1, 14 × 108
6, 46 × 107
1, 23 × 107
1, 20 × 107
1, 22 × 106
1, 10 × 106
1, 25 × 105
1, 24 × 104
1, 34 × 103
Erro (%)
R 24
P 1
R 1
P 2
R 2
P 3
R 3
192,16
LT
8h
PR-LT
16h
LT
24h
LT
218,42
LT
16h
LT
20h
LT
24h
LT
117,16
LT
2h
PR
3h
PR
4h
PR
119,96
PR
8h
LI-PR
16h
LI-PR
24h
PR
132,65
PR
20h
PR
22h
PR
24h
PR
31,37
PR
0,5h
LI
1h
LI
1,5h
LI
26,63
LI-PR
8h
LI
16h
LI
24h
LI-PR
23,74
LI-PR
8h
LI
12h
LI
16h
LI
57,48
LI
8h
LI
16h
LI
24h
LI
37,34
LI
0,5h
RI
1h
RI
1,5h
RI
67,63
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
60,17
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
18,87
RI
8h
RI
16h
RI
24h
RI
Tabela 7.12: Resultados para Modelo 4 (IM 24)
Analisando os resultados das tabelas anteriores nota-se uma grande variação dos erros
encontrados entre os valores de AOF calculados a partir do teste FAF e do isócrono modicado
com uxo estendido. O menor erro ocorreu no Modelo 3 com permeabilidade
10
mD
(erro
=
3, 32%) e uxo com duração de 24 horas e o maior quando a permeabilidade utilizada foi
1000 mD no Modelo 4 e duração de 12 horas de uxo. Não foi possível observar uma tendência
do erro em relação à duração do uxo quando comparamos os testes isócronos, mas em
geral as maiores permeabilidades apresentaram maiores erros, um resultado não esperado,
provavelmente devido aos diferentes regimes de uxo que ocorreram durante as 12 ou 24
horas. Além disso, os erros são menores quando os dados de pressão são tomados no mesmo
regime de uxo com vantagens para o regime radial inicial.
As tabelas 7.13 a 7.20 mostram os resultados dos testes FAF em comparação com os
resultados obtidos através do teste isócrono modicado sem uxo estendido. Os dados das
tabelas 7.13 a 7.20 estão distribuidos da sequinte forma:
ˆ
1º coluna: valores de permeabilidade em mD;
ˆ
3
2º coluna: valor da AOF usando o teste FAF em m /d;
ˆ
3º coluna: valor da AOF a partir do teste isócrono modicado com período de 12 horas
3
(IM 12) ou 24 horas (IM 24) de uxo em m /d;
ˆ
4º coluna: valor percentual do erro absoluto entre a AOF calculada através da FAF e a
calculada através do teste isócrono modicado;
ˆ
5º coluna:
regime de uxo vigente ao nal do período de 12 ou 24 horas do teste
isócrono modicado;
Nesse caso, o erro aumenta com a diminuição da permeabilidade, resultado esse que deve
ser encontrado nos casos reais. Ocorreram exceções apenas nas permeabilidades de
100
mD
e
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS58
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 12
8
2, 92 × 10
5, 13 × 107
1, 00 × 107
8, 01 × 105
7, 76 × 104
8, 01 × 103
1, 15 × 103
9
2, 87 × 10
4, 84 × 108
1, 07 × 108
1, 63 × 107
2, 03 × 106
2, 63 × 105
3, 94 × 104
Erro (%)
R 12
882,28
LT
843,47
LI-PR
970,00
LI
1934,95
LI
2515,98
RI
3183,39
RI
3326,08
RI
Tabela 7.13: Resultados para Modelo 1 (IM 12)
k
FAF
IM 24
Erro (%)
1000
2, 92 × 108
5, 13 × 107
1, 00 × 107
8, 01 × 105
7, 76 × 104
8, 01 × 103
1, 15 × 103
2, 52 × 109
4, 16 × 108
8, 87 × 107
1, 47 × 107
1, 91 × 106
2, 41 × 105
3, 47 × 104
763,01
LT
710,91
PR
787,00
LI-PR
1735,20
LI
2361,34
RI
2908,73
RI
2917,39
RI
100
10
1
0,1
0,01
0,001
R 24
Tabela 7.14: Resultados para Modelo 1 (IM 24)
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 12
8
4, 86 × 10
7, 75 × 107
1, 36 × 107
1, 15 × 106
1, 12 × 105
1, 15 × 104
1, 54 × 103
9
2, 86 × 10
4, 19 × 108
1, 07 × 108
1, 63 × 107
2, 03 × 106
2, 63 × 105
3, 94 × 104
Erro (%)
R 12
488,47
PR
440,64
LI-PR
686,76
LI
1317,39
LI
1712,50
RI
2186,95
RI
2458,44
RI
Tabela 7.15: Resultados para Modelo 2 (IM 12)
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 24
8
4, 86 × 10
7, 75 × 107
1, 36 × 107
1, 15 × 106
1, 12 × 105
1, 15 × 104
1, 54 × 103
9
2, 60 × 10
4, 07 × 108
8, 87 × 107
1, 47 × 107
1, 91 × 106
2, 41 × 105
3, 47 × 104
Erro (%)
R 24
434,97
PR-LT
425,16
PR
552,20
LI-PR
1178,26
LI
1605,35
RI
1995,65
RI
2153,24
RI
Tabela 7.16: Resultados para Modelo 2 (IM 24)
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS59
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 12
8
7, 42 × 10
1, 04 × 108
1, 59 × 107
1, 37 × 106
1, 34 × 105
1, 37 × 104
1, 75 × 103
9
2, 79 × 10
4, 82 × 108
1, 07 × 108
1, 63 × 107
2, 03 × 106
2, 63 × 105
3, 94 × 104
Erro (%)
R 12
276,01
PR
363,46
LI-PR
572,95
LI
1089,78
LI
1414,92
RI
1819,70
RI
2151,42
RI
Tabela 7.17: Resultados para Modelo 3 (IM 12)
k
FAF
IM 24
Erro (%)
R 24
1000
7, 42 × 108
1, 04 × 108
1, 59 × 107
1, 37 × 106
1, 34 × 105
1, 37 × 104
1, 75 × 103
2, 56 × 109
4, 07 × 108
8, 87 × 107
1, 47 × 107
1, 91 × 106
2, 41 × 105
3, 47 × 104
245,01
PR
291,34
PR
457,86
LI-PR
972,99
LI
1325,37
RI
1659,12
RI
1882,85
RI
100
10
1
0,1
0,01
0,001
Tabela 7.18: Resultados para Modelo 3 (IM 24)
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 12
8
2, 73 × 10
4, 92 × 107
9, 73 × 106
7, 74 × 105
7, 49 × 104
7, 74 × 103
1, 12 × 103
9
2, 87 × 10
4, 84 × 108
1, 07 × 108
1, 63 × 107
2, 03 × 106
2, 63 × 105
3, 94 × 104
Erro (%)
R 12
951,28
LT
883,73
LI-PR
999,69
LI
2005,94
LI
2610,28
RI
3297,93
RI
3417,85
RI
Tabela 7.19: Resultados para Modelo 4 (IM 12)
k
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
FAF
IM 24
8
2, 73 × 10
4, 92 × 107
9, 73 × 106
7, 74 × 105
7, 49 × 104
7, 74 × 103
1, 12 × 103
9
2, 53 × 10
4, 16 × 108
8, 87 × 107
1, 47 × 107
1, 91 × 106
2, 41 × 105
3, 47 × 104
Erro (%)
R 24
826,74
LT
745,52
PR
811,61
LI-PR
1799,22
LI
2450,06
RI
3013,69
RI
2998,21
RI
Tabela 7.20: Resultados para Modelo 4 (IM 24)
CAPÍTULO 7. ESTUDO DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS60
1000
mD.
O interessante é que a inversão (menor erro na menor permeabilidade) aconteceu
quando o teste no modelo de maior permeabilidade encerrava-se no regime linear e o de
menor permeabilidade no radial, evidenciando os efeitos do regime de uxo no resultado. É
importante ressaltar que todos os valores encontrados foram extremamente otimistas e muito
discrepantes do resultado do teste FAF.
Cabe aqui uma reexão a respeito da validade da utilização desse parâmetro para comparação da produtividade
per se.
É fundamental que seja iniciada a discussão e proposta uma
nova denição para capacidade de entrega quando se tratar de poços horizontais.
Capítulo 8
Análise da Linearização da Equação
do Gás
A aplicabilidade de soluções analíticas para a equação da difusividade para o caso de uxo de
gás em meios porosos é fortemente dependente da linearização utilizada, a consideração do
produto
(µ (p) cg (p))
constante. Neste capítulo serão comparadas a solução analítica dada
pela equação 5.27, usando o valor do produto
(µ (p) cg (p))i
na pressão inicial do reservatório,
e a solução numérica através de um simulador comercial (IMEX
s
).
O principal objetivo é
avaliar a validade da linearização numa ampla faixa de permeabilidades, permitindo analisar
em que casos pode-se interpretar um teste com as ferramentas tradicionais.
As propriedades do modelo de reservatório adotado (gura 8.1) encontram-se na tabela
8.1. Adotamos como critério de convergência da solução numérica, além da óbvia comparação
com a solução analítica, um erro menor que 3% entre os resultados das simulações com três
diferentes graus de discretização. Para baixíssimos valores de permeabilidade, a discretização
em todo o reservatório tornou-se impraticável, restando como recurso discretizar a malha
apenas nas proximidades do poço.
Também nesse caso foi utilizado o mesmo critério de
convergância, variando apenas a malha ao redor do poço.
61
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Propriedades
Valores Padrão
hx
hy
hz
4860 m
12150 m
90 m
6000 m
0, 1 m
0, 2
150 ºC
650 kg/cm2
0, 7
profundidade
rw
φ
Tw
Pi
dg
z
µ
cg
cf
Lw
kx
ky
kz
P0
T0
62
[DRANCHUK e ABOU-KASSEM 1975]
[LEE, GONZALEZ e EAKIN 1966]
[DRANCHUK e ABOU-KASSEM 1975]
−5
2
4.97817 × 10 cm /kg
540 m
3
1 × 10 a 1 × 10−3 mD
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
1.03323 kg/cm2
15.5556 ºC
Tabela 8.1: Dados usados nos modelos de reservatórios
Figura 8.1: Modelo de reservatório
8.1
Permeabilidade k = 1000
mD
Para altas permeabilidades não foi necessário grande renamento da malha para que a solução
numérica convergisse. O tamanho básico dos blocos do modelo sem renamento foi
810
m
×
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
810
m
× 90
m.
63
Os dados dos modelos renados encontram-se na tabela 8.2.
Neste caso foi usado a vazão de superfície foi
q0 = 2 × 107
3
m /d.
A gura 8.2 apresenta a
solução analítica e numérica para cada renamento, enquanto que na gura 8.3 encontramos
o erro entre a solução analítica e cada uma das soluções numéricas. A linearização apresenta
excelentes resultados, uma vez que a queda de pressão é bem pequena.
Renamento
Direção
Número de blocos
Tamanho do Bloco
sem renamento
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
6
15
810 m
810 m
90 m
810 ÷ 3 = 270 m
810 ÷ 3 = 270 m
90 m
270 ÷ 3 = 90 m
270 ÷ 3 = 90 m
90 m
90 ÷ 3 = 30 m
90 ÷ 3 = 30 m
90 ÷ 3 = 30 m
1º renamento
2º renamento
3º renamento
1
6 × 3 = 18
15 × 3 = 45
1
18 × 3 = 54
45 × 3 = 135
1
54 × 3 = 162
135 × 3 = 405
1×3=3
Tabela 8.2: Renamento usado no modelo de reservatório
Figura 8.2: Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
= 1000
mD)
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.3: Erro entre as soluções analítica e numérica (k
8.2
Permeabilidade k = 100
= 1000
64
mD)
mD
Os resultados são bastante semelhantes ao caso anterior, a discretização usada foi a mesma
(tabela 8.2) e a vazão de superfície também. A gura 8.4 mostra a comparação dos resultados
para
k = 100
mD.
Para essa permeabilidade a queda de pressão é baixa e a linearização
apresenta bons resultados.
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.4: Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
8.3
Permeabilidade k = 10
Para essa permeabilidade,
k = 10
mD,
65
= 100
mD)
mD
a vazão de superfície foi mantida, porém foi necessário
mais um renamento da malha para obter a convergência da solução numérica. Os resultados
estão apresentados nas guras 8.5 e 8.6.
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.5: Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
Figura 8.6: Erro entre as soluções analítica e numérica (k
66
= 10
= 10
mD)
mD)
Neste caso surgem os primeiros problemas com a linearização, como pode ser observado
na gura 8.5, pois a diferença entre as duas soluções começa a aumentar. Porém, isso ocorre
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
67
para tempos superiores a 10.000 horas, o que não traz nenhuma inuência para um teste de
pressão, objetivo primordial desse trabalho.
8.4
Permeabilidade k = 1
mD
A partir dessa permeabilidade não foi mais possível obter convergência da solução numérica
renando toda a malha. Adotou-se como modelo base o terceiro renamento do caso anterior
e a região ao redor do poço foi discretizada da seguinte forma: cada bloco contendo o poço foi
dividido por
3
em cada direção, ou seja, dividindo cada bloco por 27 por três vezes, gerando
os três níveis de renamento desejados para avaliar a convergência da solução numérica. As
guras 8.7 a 8.12 mostram cada nível de renamento.
Figura 8.7: Discretização da região do poço, 1º renamento (vista superior)
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.8: Discretização da região do poço, 1º renamento (vista lateral)
Figura 8.9: Discretização da região do poço, 2º renamento (vista superior)
68
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.10: Discretização da região do poço, 2º renamento (vista lateral)
Figura 8.11: Discretização da região do poço, 3º renamento (vista superior)
69
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
70
Figura 8.12: Discretização da região do poço, 3º renamento (vista lateral)
Também foi necessário diminuir a vazão, uma vez que para o valor de
q0 = 2 × 107
3
m /d
a solução numérica não convergia devido à alta queda de pressão. Adotou-se então a vazão
de superfície
q0 = 2 × 106
m/d
(guras 8.13 e 8.14). A solução analítica apresentou o mesmo
desvio descrito no item anterior no longo tempo, o que não impede a sua utilização para testes
de pressão em poços, cuja duração é muito inferior ao período onde esse efeito é pronunciado
(tempo superior a 100.000 horas).
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.13: Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
Figura 8.14: Erro entre as soluções analítica e numérica (k
=1
71
=1
mD)
mD)
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
8.5
Permeabilidade k = 0, 1
Para permeabilidade
k = 0, 1
mD
72
mD
foi usada a discretização descrita na seção anterior (guras
8.7 a 8.12). Novamente, foi necessário diminuir a vazão usada no teste, uma vez que a solução
numérica não convergiu. Neste caso foi usada a vazão de superfície de
q0 = 2 × 105
3
m /d
(gura 8.15). A solução analítica apresenta bons resultados apenas para curtos tempos, pois
persiste o desvio vericado anteriormente.
Figura 8.15: Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
8.6
Permeabilidade k = 0, 01
= 0, 1
mD)
mD
Neste nível de permeabilidade, tentou-se fazer um novo renamento no poço sem sucesso,
pois foi atingido o tamanho mínimo de um bloco.
Portanto, a discretização usada foi a
mesma descrita nas duas seções anteiores (guras 8.7 a 8.12).
q0 = 2 × 104
3
m /d
(gura 8.16).
A vazão de superfície foi
Novamente as soluções divergem no longo tempo, sem
afetar sua utilização para testes em poços. Porém surge aqui um problema de ordem prática,
que é a medição de vazões extremamente baixas. A utilização de vazões maiores leva a quedas
de pressão que impedem a utilização da solução analítica e numérica, seja pela limitação da
validade da linearização como pelo limite do tamanho dos blocos no modelo numérico.
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
73
Figura 8.16: Comparação das pressões entre as soluções analítica e numérica (k
8.7
Permeabilidade k = 0, 001
= 0, 01
mD)
mD
Novamente foi necessário diminuir a vazão de superfície (q0
= 2 × 103
m/d)
para permitir a
utilização do mesmo renamento anterior devido à limitação no renamento da malha perto do
poço. Os resultados podem ser vistos na gura 8.17. Novamente a solução analítica apresentou
bons resultados, ofuscados pelo problema da medição de uma vazão extremamente baixa de
gás, inviável na prática.
CAPÍTULO 8. ANÁLISE DA LINEARIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DO GÁS
Figura 8.17: Comparação entre as soluções analítica e numérica (k
8.8
74
= 0, 001
mD)
Análise dos Resultados
De uma forma geral, as soluções analítica e numérica guardaram coerência entre si para
os casos aqui estudados.
Quanto menor a permeabilidade, maior o renamento da malha
necessário para obter a convergência da solução numérica. A partir de 1 mD foi necessário
discretizar a região ao redor do poço. Quando a queda de pressão atinge valores elevados,
a solução analítica começa a divergir, evidenciando os efeitos da linearização adotada para
resolver a equação da difusividade hidráulica. Porém, em nenhum dos casos aqui analisados
esses problemas seriam detectados durante a execução de um teste de pressão, desde que as
vazões não fossem muito altas para baixos valores de permeabilidade. Surge então um novo
problema: como medir vazões tão baixas de forma a garantir a validade da solução analítica?
Capítulo 9
Conclusões
Neste trabalho foram deduzidas as soluções para a equação da difusividade hidráulica para po-
ços horizontais num reservatório de gás a partir de resultados para líquido ([GOODE e THAMBYNAYAGAM
[ODEH e BABU 1990]). Foi mostrado que podem ocorrer até quatro regimes de uxo diferentes, radial inicial, linear inicial, pseudo-radial e linear tardio, o que permitiu o desenvolvimento de expressões para a determinação do início e nal de cada período através do conceito
de raio de investigação e similaridade com o poço vertical fraturado. Essas expressões mostraram resultados no mínimo similares aos já publicados na literatura.
Também foi analisada a aplicabilidade do conceito de
absolute-open-ow
(AOF) para ava-
liar a produtividade de poços horizontais. Foram comparados os valores de AOF calculados
através do teste
ow-after-ow
e isócrono modicado sem uxo estendido utilizando as solu-
ções analíticas desenvolvidas nesse trabalho. Em todos os casos os erros foram elevados, as
melhores previsões ocorreram para altas permeabilidades.
A comparação entre os resultados numéricos e analíticos, usando a consideração do produto
(µ (p) c (p)) constante e calculado na pressão inicial para linearizar a equação da difusividade do
gás, apresentou bons resultados para curtos período de tempo para a faixa de permeabilidade
aqui adotada. Para grandes valores de queda de pressão os efeitos da não-linearidade passam
a se fazer notar.
Neste caso, a aplicação da solução analítica só é satisfatória para baixas
vazões. Interessante notar que a solução numérica só convergiu para baixas vazões (a baixas
permeabilidades) devido às limitações de renamento dos blocos.
Essas vazões podem ser
impossíveis de serem medidas com os equipamentos atualmente disponíveis.
Para trabalhos futuros sugerimos o desenvolvimento de um simulador especíco para tentar
resolver o problema da limitação da discretização ao redor do poço e evitar a utilização de valores muito baixos de vazões e investigar permeabilidades da ordem de nanodarcy. Além disso,
é imperativo desenvolver um novo conceito para avaliar a produtividade de poços horizontais
produtores de gás, que leve em consideração a existência dos diferentes regimes de uxo.
75
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Jornal of Petroleum Technology, v. 20,
Apêndice A
Soluções para Gás Ideal e Real
Neste apêndice apresenta-se a dedução da equação de difusividade em coordenadas cilíndricas
para uxo de gás em meios porosos, assim como suas respectivas soluções para três diferentes
regimes de uxo: permanente, pseudo-permanente e transiente.
A equação da difusividade para uxo de gás é baseada na lei de conservação de massa, na
lei de Darcy e na equação da compressibilidade. A forte dependência das propriedades do gás
com a pressão determina que a equação resultante seja não linear.
A.1
Equação da Continuidade
Nesta seção será apresentada a dedução da equação da continuidade para os sistemas cartesiano e cilíndrico. A equação da continuidade será usada como ponto de partida para dedução
da equação da difusividade do gás. Além dela, será necessário usar a Lei de Darcy, as equações
da compressibilidade, a lei dos gases e a denição de pseudo-pressão [AL-HUSSAINY, RAMEYJR e CRAWF
para o caso de gás real.
Lei de Darcy
A Lei de Darcy relaciona a velocidade de um uido através de um meio poroso com o diferencial
de pressão. A Lei de Darcy em relação a uma direção qualquer l , é denida como:
vl = −
k ∂p
µ ∂l
(A.1)
Equações da Compressibilidade
As seguintes equações são conhecidas como equações da compressibilidade. Para o uido
cg (p) =
78
1 ∂ρ
ρ ∂p
(A.2)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
79
que pode ser escrito como
∂ρ
∂p
=
∂t
∂t
ρcg (p)
(A.3)
e para o meio poroso
1 ∂φ
φ ∂p
cf =
(A.4)
que pode ser reescrito como
φcf
∂p
∂φ
=
∂t
∂t
(A.5)
Lei dos Gases
A seguinte relação entre massa especíca
de desvio do gás ideal
(z)
(ρ),
pressão
(p),
temperatura do gás
(T )
e o fator
é conhecida como a lei dos gases:
M
ρ=
RT
p
z (p)
(A.6)
Pseudo-pressão
A denição de pseudo-pressão [AL-HUSSAINY, RAMEYJR e CRAWFORD 1966]
Zp
m (p) = 2
p0
dp0
µ (p0 ) z (p0 )
(A.7)
pm
é usada para linearizar a equação da difusividade para o gás real. Da denição da pseudopressão, equação A.7, obtém-se a seguinte relação entre as derivadas parciais de
m (p)
e
p
∂m (p)
∂m (p) ∂p
2p
∂p
=
=
∂l
∂p ∂l
µ (p) z (p) ∂l
onde l =x,
y, z, r
e
(A.8)
t.
A.1.1 Equação da Continuidade para Coordenadas Cilíndricas
Para desenvolvimento da equação da continuidade será utilizado um elemento do meio poroso
cilíndrico através do qual está ocorrendo o uxo de um uido (gura A.1).
massa no elemento é dado por:
Massa que Entra
− Massa
que Sai
= Massa
Acumulada
O balanço de
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
80
Figura A.1: Volume de controle em coordenadas cilíndricas
(qρ)r − (qρ)r+Mr M t + (qρ)z − (qρ)z+Mz M t + (qρ)θ − (qρ)θ+Mθ M t =
Mθ 2
2
(r+
M
r)
−
r
M
z
(φρ)
−
(φρ)
t+Mt
t
2
(A.9)
Substituindo
qr = vr Ar = vr r M z M θ
Mθ
qz = vz Az = vz 2r M r + (M r)2
2
qθ = vθ Aθ = vθ M r M z
na equação A.9, temos
(v
r r M z M θρ)r − (vr r M z M θρ)r+Mr M t+
2 M θ
2 M θ
+ vz 2r M r + (M r)
ρ − vz 2r M r + (M r)
ρ
M t+
2
2
z
z+Mz
2
+ (vθ M r M zρ)θ − (vθ M r M zρ)θ+Mθ M t = Mθ
2r
M
r
+
(M
r)
M
z
(φρ)
−
(φρ)
t+Mt
t
2
Dividindo a expressão anterior por
MtMz
e simplicando
Mθ
2r M r + (M r)2
2
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
81
(vθ ρ)θ − (vθ ρ)θ+Mθ
(φρ)t+Mt − (φρ)t
(vr rρ)r − (vr rρ)r+Mr
(vz ρ)z − (vz ρ)z+Mz
+
=
+
1
Mθ
Mz
Mt
2
2r M r + (M r)
[2r+ M r]
2
2
(A.10)
Tomando o limite
(vr rρ)r − (vr rρ)r+Mr
lim
Mr→0 1 2r M r + (M r)2
2
(vz ρ)z − (vz ρ)z+Mz
lim
Mz→0
Mz
(vθ ρ)θ − (vθ ρ)θ+Mθ
lim
Mθ
Mr→0,Mθ→0
[2r+ M r]
2
(φρ)t+Mt − (φρ)t
lim
Mt→0
Mt
= −
1 ∂ (vr rρ)
r ∂r
∂ (vz ρ)
∂z
1 ∂ (vθ ρ)
= −
r ∂θ
= −
=
∂ (φρ)
∂t
(A.11)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
obtemos a equação da continuidade em coordenadas cilíndricas
1 ∂ (vr rρ) ∂ (vz ρ) 1 ∂ (vθ ρ)
∂ (φρ)
+
+
=−
r ∂r
∂z
r ∂θ
∂t
(A.15)
Considerando somente o uxo radial, a equação A.15 torna-se
1 ∂ (vr rρ)
∂ (φρ)
=−
r ∂r
∂t
(A.16)
Aplicando a lei de Darcy, que relaciona a velocidade aparente do uido com o gradiente
de pressão,
vr = −
k ∂p
µ(p) ∂r
na equação A.16 chegamos a
1 ∂
r ∂r
k ∂p
rρ
µ(p) ∂r
=
∂ (φρ)
∂t
(A.17)
O lado direito da equação A.17 pode ser expressado em função da pressão, usando as
relações A.3 e A.5
∂ (ρφ)
∂φ
∂ρ
∂p
∂p
∂p
=ρ
+φ
= ρφcf
+ ρφcg (p)
= ρφ (cg (p) + cf )
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
(A.18)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
No caso do gás tem-se
cg cf ,
logo pode-se desprezar
82
cf .
Então, a equação A.17 ca
∂p
∂p
∂ (ρφ)
= ρφ (cg (p) + cf )
= ρφcg (p)
∂t
∂t
∂t
(A.19)
e a equação da continuidade pode ser escrita como
1 ∂
r ∂r
k ∂p
rρ
µ(p) ∂r
= ρφcg (p)
∂p
∂t
(A.20)
A.1.2 Equação da Continuidade para Coordenadas Cartesianas
Partindo do balanço de massa num elemento do meio poroso (gura A.2), temos
Figura A.2: Volume de controle em coordenadas cartersianas
(ρφ4x4y4z) t+4t


− (ρφ4x4y4z) = (ρvx 4y4z) − (ρvx 4y4z) t

+ (ρvy 4x4z) − (ρvy 4x4z) y

y+4y
x

 4t+
x+4x

 4t + (ρvz 4x4y) − (ρvz 4x4y) z

 4t
z+4z
(A.21)
onde
e
vz
ρ
e
φ
são a massa especíca do uído e a porosidade do meio, respectivamente;
são as componentes da velocidade do uido nas direções
Dividindo-se a equação A.21 por
4x4y4z4t
x, y
e
z,
vx , vy
respectivamente.
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
(ρφ) t+4t
− (ρφ) t
=
4t
83
(ρvx ) − (ρvx ) x
x+4x
4x
+
(A.22)
+
(ρvy ) − (ρvy ) y
y+4y
4y
e calculando o limite na equação A.22 para
+
(ρvz ) − (ρvz ) z
z+4z
4z
4x → 0, 4y → 0, 4z → 0
e
4t → 0:
∂ (ρφ)
∂ (ρvx ) ∂ (ρvy ) ∂ (ρvz )
+
+
=−
∂x
∂y
∂z
∂t
(A.23)
Usando a lei de Darcy, equação A.1, na equação A.23
∂
∂x
kx ∂p
∂
ky ∂p
∂
kz ∂p
∂ (ρφ)
ρ
+
ρ
+
ρ
=
µ (p) ∂x
∂y
µ (p) ∂y
∂z
µ (p) ∂z
∂t
(A.24)
Aplicando a equação A.19 no lado direito da equação A.24 e a equação A.6 no lado
esquerdo da equação A.24, vem
∂p
∂
p kx ∂p
∂
p ky ∂p
∂
p kz ∂p
p
φcg (p)
+
+
=
∂x z (p) µ (p) ∂x
∂y z (p) µ (p) ∂y
∂z z (p) µ (p) ∂z
z (p)
∂t
A.2
(A.25)
Soluções para Gás Ideal
O gás se comporta como ideal quando submetido a baixas pressões.
A.2.1 Equação da Difusividade para Gás Ideal
A partir da equação da continuidade para coordenadas cilíndricas e considerando-se
µ
e
k
constantes é possível chegar a
1 ∂
r ∂r
∂p
µ
∂p
ρr
= ρφcg (p)
∂r
k
∂t
A compressibilidade do gás dada pela equação A.2 pode ser reescrita como:
cg =
1
1 dz(p)
−
p z(p) dp
Como o gás se comporta como ideal
cg =
1
p
(A.26)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
84
A equação de estado para gás ideal é dada por
Mp
RT
ρ=
(A.27)
Aplicando a equação A.19 e a lei dos gases dada pela equação A.27 na equação A.26
1 ∂
r ∂r
M ∂p
pr
RT ∂r
=
µ M ∂p
φ
k RT ∂t
ou
∂p2
µφ ∂p2
r
=
∂r
kp ∂t
(A.28)
∂p2
φµcg ∂p2
r
=
∂r
k ∂t
(A.29)
1 ∂
r ∂r
e usando
cg =
1
p
na equação A.28
1 ∂
r ∂r
A.2.2 Solução Para o Regime Transiente
Para simplicar a dedução matemática, considera-se o poço como uma linha, a solução desse
problema é conhecida como solução da linha-fonte.
As condições para esse regime são:
ˆCondição
Inicial
p(r, t = 0) = pi ⇒ p2 (r, t = 0) = p2i
ˆCondição
de Contorno Externa
lim p(r, t) = pi ⇒ lim p2 (r, t) = p2i
r→∞
ˆCondição
(A.30)
r→∞
(A.31)
de Contorno Interna
∂p
qw µ
∂p2
qw µ
=
⇒ lim r
=
pw
lim r
r→0
r→0
∂r
2πkh
∂r
πkh
(A.32)
Aplicando a transformada de Boltzman denida por
X=
φµcg r2
4kt
na equação A.29
1 ∂
r ∂X
como
∂p2 ∂X
r
∂X ∂r
∂X
φµcg ∂p2 ∂X
=
∂r
k ∂X ∂t
∂X
φµcg r
=
∂r
2kt
(A.33)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
e
85
∂X
φµcg r2
=−
∂t
4kt2
temos
1 ∂
r ∂X
φµcg r ∂p2 φµcg r
φµcg r2 φµcg ∂p2
r
=−
2kt ∂X
2kt
4kt2
k ∂X
que é igual a
∂
∂X
∂p2
X
∂X
= −X
∂p2
∂X
que pode ser reescrita como
∂
X
∂X
∂p2
∂X
+
∂p2
∂p2
= −X
∂X
∂X
(A.34)
As condições para a transformada de Boltzman são:
ˆCondição
Inicial
p2 (r, t = 0) = p2 (X = ∞) = p2i
ˆCondição
de Contorno Externa
lim p2 (r, t) = lim p2 (X) = p2i
r→∞
ˆCondição
(A.35)
X→∞
(A.36)
de Contorno Interna
∂p2
qw µ
∂p2
lim r
pw
= lim 2X
=
r→0
X→0
∂r
∂X
πkh
(A.37)
∂p2
=Y
∂X
(A.38)
Fazendo
e substituindo na equação A.34, temos
X
∂Y
+ Y = −XY
∂X
separando as variáveis
dY
dX
=−
− dX
Y
X
e integrando a equação
Z
dY
=−
Y
Z
dX
−
X
Z
dX
chega-se a
Y = C1
exp(−X)
X
(A.39)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
86
Substituindo a equação A.39 na equação A.38
exp(−X)
dX
X
dp2 = C1
Zpi
Z∞
dp2 = C1
p
(A.40)
exp(−X)
dX
X
X
portanto
p2i − p2 (r, t) = C1 [Ei (X)]
onde
Z∞
(A.41)
exp(−X)
dX = −Ei (−X) = Ei (X)
X
X
Usando a condição de contorno interna dada pela equação A.37 na equação A.40 para
determina o valor de
C1 ,
chega-se a
qw µ
∂p2
pw
= lim (2C1 exp(−X)) =
lim 2X
X→0
X→0
∂X
πkh
onde
C1 =
Aplicando o valor de
C1
em A.41
p2 (r, t) = p2i +
Para gás ideal,
z = 1.
qw µ
pw
2πkh
qw µ
pw Ei (−X)
2πkh
(A.42)
Então
pode ser reescrita como
p 0 q0
p w qw
=
z0 T0
zw Tw
(A.43)
p0 q0
pw qw
=
T0
Tw
(A.44)
e a equação A.42
2
p (r, t) =
onde
p 0 , q0
e
T0
respectivamente.
p2i
µ p0 q0 Tw
φµcg r2
+
Ei −
2πkh T0
4kt
(A.45)
são os valores de pressão, vazão e temperatura na condição de superfície,
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
87
A.2.3 Solução para Regime Permanente
No regime permanente a variação da pressão em qualquer posição com o tempo é nula. Então
∂p
∂p2
=0⇒
=0
∂t
∂t
Para o regime permanente, vamos resolver a EDP (equação A.28) sujeita a valores de
pressão especicada nas condições de contorno interna e externa:
ˆCondição
de Contorno Externa
r = re ⇒ p(r = re ) = pe ⇒ p2 (r = re ) = p2e
ˆCondição
(A.46)
de Contorno Interna
r = rw ⇒ p(r = rw ) = pw ⇒ p2 (r = rw ) = p2w
(A.47)
Então
1 d
r dr
dp2
r
=0
dr
portanto
r
dp2
= C1 (= cte)
dr
Integrando
Zp(r)
Zr
2
dp = C1
dr
r
rw
p(rw )
chega-se a
p2 (r) − p2 (rw ) = C1 ln
r
rw
(A.48)
Usando a condição de contorno externa dada pela equação A.46,
p2 (re ) − p2 (rw ) = C1 ln
re
rw
portanto
C1 =
Substituindo
C1
p2e − p2w
re
ln
rw
na equação A.48, chega-se a
p2 (r) = p2w +
p2e − p2w
r
re ln r
w
ln
rw
(A.49)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
88
A.2.4 Solução do Regime Pseudo-Permanente
As condições para esse regime são:
ˆCondição
de Contorno Externa
∂p ∂r ˆCondição
r=re
∂p2 =0⇒
∂r =0
(A.50)
r=re
de Contorno Interna
∂p
r
∂r
r=rw
µqw
=
⇒
2πkh
∂p2 r
∂r =
r=rw
pw q w µ
πkh
(A.51)
Para o regime pseudo-permanente
∂p
= C1 (= cte)
∂t
(A.52)
Substituindo a equação A.52 na equação A.28, obtemos
∂
∂p2
2φµ
C1 r
r
=
∂r
∂r
k
Integrando desde o raio do poço
Zre
(r = rw )
(A.53)
até a borda do reservatório
(r = re )
Zre
∂
2φµ
∂p2
r
dr =
C1 rdr
∂r
∂r
k
rw
rw
chega-se a
∂p2 ∂p2 2φµ (re2 − rw2 )
r
C1
−r
=
∂r ∂r k
2
re
(A.54)
rw
Usando as condições de contorno na equação A.54 temos
Aplicando a equação A.43,
φµ
pw q w µ
= − C1 re2 − rw2
πkh
k
com z0 = zw = 1, na equação
(A.55)
A.55
q0 p0 Tw
= −φC1 re2 − rw2
T0 πh
pode-se determinar a constante
C1
C1 = −
q0 p0 Tw
1
2
T0 φπh (re − rw2 )
Voltando para equação A.53, e fazendo
r
∂p2
=Y
∂r
(A.56)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
89
tem-se
∂Y
2φµ
=
C1 r
∂r
k
Substituindo
C1
∂Y
2q0 p0 Tw µ
1
=−
r
2
∂r
T0 πkh (re − rw2 )
separando as variáveis
∂Y = −
2q0 p0 Tw µ
1
r∂r
2
T0 πkh (re − rw2 )
e integrando
Z
Z
∂Y = −
2q0 p0 Tw µ
1
r∂r
2
T0 πkh (re − rw2 )
resulta em
Y =−
q0 p0 Tw µ
r2
+ C2
T0 πkh (re2 − rw2 )
(A.57)
Substituindo a equação A.56 na equação A.57
r
∂p2
q0 p0 Tw µ
r2
=−
+ C2
∂r
T0 πkh (re2 − rw2 )
(A.58)
e aplicando a condição de contorno externa dada pela equação A.50 na equação A.58
∂p q0 p0 Tw µ
r
C2 =0=−
+ ∂r T0 πkh (re2 − rw2 ) r 2
re
re
C2 =
re
q0 p0 Tw µ
re2
T0 πkh (re2 − rw2 )
Então, da equação A.58, pode-se escrever que
∂p2
q0 p0 Tw µ
r2
q0 p0 Tw µ
re2
r
=−
+
∂r
T0 πkh (re2 − rw2 )
T0 πkh (re2 − rw2 )
e
q0 p0 Tw µ
r
re2
∂r
∂p = −
∂r − 2
T0 πkh (re2 − rw2 )
(re − rw2 ) r
2
(A.59)
Integrando-se a equação A.59 entre o poço e um ponto qualquer do meio poroso obtém-se
a expressão
Zp
pw
 r

Z
Zr
2
q0 p0 Tw µ 
r
re
∂r 
∂p2 = −
∂r −
2
2
2
2
T0 πkh
(re − rw )
(re − rw ) r
rw
rw
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
90
cujo resultado é
2
p −
Como
re rw ,
p2w
re2 )
r
q0 p0 Tw µ (r2 − rw2 )
−
ln
=−
T0 πkh 2 (re2 − rw2 ) (re2 − rw2 ) rw
pode-se simplicar a equação A.60 para
" #
2
q
p
T
µ
1
r
r
0 0 w
p2 − p2w = −
− ln
T0 πkh 2 re
rw
A.3
(A.60)
(A.61)
Soluções para Gás Real
Nesta seção serão apresentadas as deduções clássicas para o escoamento do gás real no meio
poroso com o uso da variável
m(p)
[AL-HUSSAINY, RAMEYJR e CRAWFORD 1966].
A.3.1 Equação da Difusividade para Gás Real
Aplicando a equação A.6 na equação A.20, tem-se
1 ∂
p
∂p
p
∂p
k
r
= φct
r ∂r µ(p) z(p) ∂r
z(p) ∂t
Aplicando a pseudo-pressão denida pela equação A.7 e a relação das derivadas dada pela
equação A.8 na direção
l=r
ou
t
tem-se
∂m(p)
φµ(p)ct (p) ∂m(p)
1 ∂
r
=
r ∂r
∂r
k
∂t
(A.62)
A.3.2 Solução para Regime Transiente
As condições para esse regime são:
ˆCondição
Inicial
p(r, t = 0) = pi ⇒ m(p) = m(pi )
ˆCondição
de Contorno Externa
lim p(r, t) = pi ⇒ lim m(p) = m(pi )
r→∞
ˆCondição
(A.63)
r→∞
(A.64)
de Contorno Interna
∂p
qw µ
∂m(p)
qw pw
lim r
=
⇒ lim r
=
r→0
r→0
∂r
2πkh
∂r
zw πkh
(A.65)
Aplicando a transformada de Boltzman
X=
φ (µct )i r2
4kt
(A.66)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
na equação A.62 e usando o valor de
µct
calculado na pressão inicial
91
(µct )i
para linearizar a
EDP, temos
φ (µct )i ∂m(p) ∂X
∂m(p) ∂X ∂X
1 ∂
r
=
r ∂X
∂X ∂r ∂r
k
∂X ∂t
(A.67)
φ (µct )i r
∂X
=
∂r
2kt
(A.68)
φ (µct )i r2
∂X
=−
∂t
4kt2
(A.69)
sendo
e
Aplicando as equações A.68 e A.69 na equação A.67
φ (µct )i
φ (µct )i r2 ∂m(p)
1 ∂
∂m(p) φ (µct )i r φ (µct )i r
r
=
−
r ∂X
∂X
2kt
2kt
k
4kt2
∂X
que pode ser reescrito como
∂m(p)
∂m(p)
∂
X
= −X
∂X
∂X
∂X
ou
d dm(p)
dm(p)
dm(p)
X
+
= −X
dX
dX
dX
dX
(A.70)
As condições usando a transformada de Boltzman são:
ˆCondição
Inicial
p(r, t = 0) = p(X = ∞) = pi ⇒ m(p) = m(pi )
ˆCondição
de Contorno Externa
lim p(r, t) = lim p(X) = pi ⇒ lim m(p) = m(pi )
r→∞
ˆCondição
(A.71)
X→∞
X→∞
(A.72)
de Contorno Interna
∂m(p)
∂m(p)
qw pw
lim r
= lim 2X
=
r→0
X→0
∂r
∂X
zw πkh
(A.73)
dm(p)
=Y
dX
(A.74)
Fazendo
e substituindo na equação A.70
X
dY
+ Y = −XY
dX
separando as variáveis
dY
dX
=−
(1 + X)
Y
X
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
92
e integrando
Z
dY
=−
Y
Z
Z
dX −
dX
X
obtém-se
Y = C1
Então, substituindo o valor de
Y
exp(−X)
X
dado pela equação A.74
dm(p)
exp(−X)
= C1
dX
X
e integrando
m(p
Z i)
Z∞
dm(p) = C1
exp(−X)
dX
X
X
m(p)
resulta em
m(pi ) − m(p) = −C1 Ei (−X)
Usando a condição de contorno interna dada pela equação A.73 para determinar
C1
∂X
q w pw
exp(−X)
lim 2X
= lim 2XC1
=
X→0
X→0
∂r
X
zw πkh
C1 =
qw p w
2zw πkh
Logo
m(pi ) − m(p) = −
q w pw
Ei (−X)
2zw πkh
Voltando às variáveis originais
φ (µct )i r2
q0 p0 Tw
m(p) = m(pi ) +
Ei −
2T0 πkh
4kt
(A.75)
A.3.3 Solução para Regime Permanente
Para esse regime
∂m(p)
=0
∂t
Portanto, a equação A.62 torna-se
1 ∂
∂m(p)
r
=0
r ∂r
∂r
As condições para esse regime são:
(A.76)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
ˆCondição
93
de Contorno Externa
r = re ⇒ p(r = re , t) = pe ⇒ m(p) = m(pe )
ˆCondição
(A.77)
de Contorno Interna
r = rw ⇒ p(r = rw , t) = pw ⇒ m(p) = m(pw )
(A.78)
Integrando A.76:
r
Integrando A.79 do raio do poço
∂m(p)
= C1 (= cte)
∂r
(r = rw ), até um raio
Zp
Zr
∂m(p) =
(A.79)
qualquer
C1
∂r
r
rw
pw
resulta em
r
rw
m(p) − m(pw ) = C1 ln
Usando a condição de contorno externa dada pela equação A.77
m(pe ) − m(pw ) = C1 ln
C1 =
re
rw
m(pe ) − m(pw )
re
ln
rw
Portanto, a solução do problema é
m(p) − m(pw ) =
m(pe ) − m(pw )
r
ln
re
rw
ln
rw
(A.80)
A.3.4 Solução para Regime Pseudo-Permanente
As condições para esse regime são:
ˆCondição
de Contorno Externa
∂p r = re ⇒
∂r ˆCondição
r=re
de Contorno Interna
∂m(p) =0⇒
∂r r=re
2p ∂p =
µz ∂r =0
r=re
(A.81)
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
∂p r
∂r r=rw
qw µ
=
⇒
2πkh
∂m(p)
r
∂r
94
=
r=rw
qw pw
zw πkh
(A.82)
Considerando que a queda da pseudo-pressão em relação ao tempo seja constante
∂m(p)
= C1 (= cte)
∂t
(A.83)
Aplicando a equação A.83 na equação da difusividade e usando o valor de
na pressão inicial
µct
calculado
(µct )i
φ (µct )i
1 ∂
∂m(p)
r
=
C1
r ∂r
∂r
k
Integrando do raio do poço
Zre
(r = rw )
até a borda do reservatório
(A.84)
(r = re )
Zre
φ (µct )i
∂
∂m(p)
r
dr =
C1 rdr
∂r
∂r
k
rw
rw
resulta em
φ (µct )i (re2 − rw2 )
∂m(p) ∂m(p) r
C1
−r
=
∂r ∂r k
2
re
rw
Usando as condições de contorno, chega-se a
−
φ (µct )i (re2 − rw2 )
qw pw 1
=
C1
zw πkh
k
2
Aplicando a equação A.43 na equação anterior
φ (µct )i (re2 − rw2 )
q0 p0 Tw 1
=
C1
−
T0 πkh
k
2
e isolando a constante
C1
C1 = −
q0 p0 Tw
2
T0 πhφ (µct )i (re2 − rw2 )
Voltando à equação A.84, e fazendo
∂m(p)
=Y
∂r
(A.85)
φ (µct )i
∂Y
=
C1 r
∂r
k
(A.86)
r
Integrando a equação A.86
Z
Z
∂Y =
φ (µct )i
C1 r∂r
k
APÊNDICE A. SOLUÇÕES PARA GÁS IDEAL E REAL
φ (µct )i
C1 r 2 + C2
2k
Y =
Y
Substituindo o valor de
95
dado pela equação A.85 na equação anterior
r
φ (µct )i
∂m(p)
=
C1 r 2 + C2
∂r
2k
(A.87)
e usando a condição de contorno externa temos
φ (µct )i
∂m(p) C2 C1 r + =0=
∂r 2k
r re
re
Isolando a constante
re
C2
C2 = −
φ (µct )i
q0 p0 Tw
re2
C1 re2 =
2k
T0 πkh (re2 − rw2 )
A equação A.87 pode ser reescrita como
Integrando-se a equação
meio poroso
(r)
φ (µct )i
∂m(p)
C2
=
C1 r +
∂r
2k
r
A.88 entre o raio do poço (r = rw )
(A.88)
e a um ponto qualquer do
obtém-se a expressão
Zp
Zr
∂m(p) =
pw
φ (µct )i
C1 r∂r +
2k
rw
m(p) − m(pw ) =
Substituindo os valores de
C1
e
m(p) − m(pw ) = −
C2
Zr
C2
∂r
r
rw
φ (µct )i (r2 − rw2 )
r
C1
+ C2 ln
2k
2
rw
chegamos à solução
q0 p0 Tw (r2 − rw2 ) q0 p0 Tw
re2
r
+
ln
2
2
2
2
2T0 πkh (re − rw )
T0 πkh (re − rw ) rw
que pode ser reescrita com
q0 p0 Tw (r2 − rw2 )
2re2
r
m(p) − m(pw ) = −
−
ln
2T0 πkh (re2 − rw2 ) (re2 − rw2 ) rw
Considerando
re rw ,
(A.89)
pode-se simplicar a equação A.89
q0 p0 Tw
m(p) − m(pw ) = −
T0 πkh
" #
2
1 r
r
− ln
2 re
rw
(A.90)
Apêndice B
Transformada de Laplace e de
Fourier Finita Cosseno
Neste apêndice é apresentada uma breve introdução a dois métodos de transformação: Transformada de Laplace e Transformada Integral de Fourier Finita Cosseno, assim como algumas
das suas propriedades.
B.1
Seja
Transformada de Laplace
f : R → R tal que: f (t) = 0,
t > 0. A Transformada de Laplace de f
Z∞
L (f (t)) = F (s) =
f (t) e−st dt,
é denida como:
(B.1)
0
e a Transformada Inversa de Laplace é dada por
1
f (t) =
2πi
c+∞i
Z
F (z) etz dz
(B.2)
c−∞i
Algumas propriedades da Transformada de Laplace são:
1.L é linear;
dn f (t)
0
= sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ( ) (0) − · · · − f (n−1) (0);
2.L
n
dt
bt
3.L e f (t) = F (s − b);
4.L (f
(t − a) H (t − a)) = e−as F (s) , onde H (t) = 0 para t < 0 e H (t) = 1 para t ≥ 0
Da propriedade 3 vem
L−1 [F (s − a1 )] = ea1 t f (t)
e da propriedade 4
96
(B.3)
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO

f (t − a ) t > a
−a1 s
1
1
−1
e
F (s) = f (t − a1 ) H (t − a1 ) =
L
0
t < a1
97
(B.4)
Por outro lado, as seguintes relações são conhecidas [ABRAMOWITZ e STEGUN 1965]:
L−1
√
e−a1
√
s
s
a21
e 4t
= √
πt
−
(B.5)
e
L
−1
Zt
F (s)
= f (u) du
s
(B.6)
0
√
Usando-se as equações B.3 e B.5, a inversa de Laplace da função
√
G (s + a),
onde
e−yD
G (s) = √
s
e−yD s+a
F (s) = √
=
s+a
s
é
2
yD
e 4t
L−1 (F (s)) = L−1 (G (s + a)) = e−at √
πt
−
(B.7)
Disto, usando-se a fórmula B.4, tem-se:
"
L−1
√
e−yD s+a
√
s s+a
ZtD
#
=
yd2
e−au e 4u
√
du
πu
−
(B.8)
0
Por outro lado, usando-se a expressão B.4, a seguinte relação é verdadeira:
"
L
−1
√
e−stD0 e−yD s+a
√
s s+a
#

yd2


−

tD −t
R D0 e−au e 4u
√
du tD > tD0
=
πu

0



0
tD < tD0
Denindo a integral do lado direito da equação B.8 como função
ZtD
Gmn (yD , tD ) =
(B.9)
Gmn (tD , yD )
yd2
e−au e 4u
√
du
πu
−
(B.10)
0
Para resolução da equação B.10 aplica-se a mudança de variável
1
1 −
u 2 du
2
ou
du = 2vdv
e
v =
√
u,
então
dv =
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO
√
Z tD
1
Gmn (yD , tD ) = √
π
e
−av 2
yd2
√
yd2
Z tD
2
−
e 4v
2
2
2vdv = √
e−av e 4v 2 dv
v
π
−
0
Denindo
b=
yd2
4
98
(B.11)
0
, a equação B.11 pode ser escrita como
√
2
Gmn (yD , tD ) = √
π
ZtD
b

−au2 +
2
u
e
du


(B.12)
0
e a equação B.12 torna-se
√
1
Gmn (yD , tD ) = √ √
a π
Z tD
b "
√ !

−au2 +
√
2
b
u
a− 2 +
e
u


√
a+
√ !#
b
du
2
u
(B.13)
0
ou


√
b
t
D
Z −au2 + 
1 
u2
Gmn (yD , tD ) = √ √ 
e
a π
√
√ !
Z tD −au2 + b 
√
b
u2
a − 2 du +
e
u

0


√ !
√
b

a + 2 du
u
0
(B.14)
Denominando-se cada integral que aparece na expressão B.14 por I e II, isto é
√

Z tD
I
=
−au2 +
e
b

u2

√
a−
√ !
b
du
u2
(B.15)
0
e
√
Z tD
II
=
b

−au2 +
2
u
e


√
√ !
b
a + 2 du
u
(B.16)
0
A integral da equação B.15 pode ser reescrita como

√
√
− au+
Z tD
I
=
e
√ 2
b √ √
 +2 a b
u

√ 2
√
b
√
!

√
Z tD − au+ 
√
√
√
b
u
a − 2 du = e2 a b
e
u
0
√
a−
√ !
b
du
2
u
0
(B.17)
Considerando-se a seguinte variável
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO
η=
√
√
b
au +
u
99
(B.18)
o lado direito da expressão dada em B.17, pode ser expresso como
√
√ 2
√
b
√
Z tD − au+ 
u
e
√ √
a tD + √

√ √
2 a b
e
√
a−
√ !
√ √
b
2 a b
du
=
e
u2
b
tD
Z
2
e−η dη
∞
0
logo,




√ √ 
2 a b
I = e
−


 √



2

e−η dη 

√


b
√
a tD + √
tD
Z∞
ou




 Z∞



√ √

2 a b
−η 2
I = e
− e dη − −


 0



Usando-se a denição da função
I
√ √
2 a b
erf ,
√
b
√ √
a tD + √
tD
Z
0





−η 2
e dη 



a expressão para I é
√ ! √ #
√ √
π
b
π
erf
a tD + √
−
2
2
tD
"√
=e
(B.19)
A segunda integral, II, dada pela equação B.16 pode ser reescrita como
√
Z tD
II
=
√

√
− au−
e
2
b

u
√ √
−2 a b
√
a+
√ !
b
du
2
u
0
ou

√
II
=e
√ √
−2 a b
Z tD −√au−
e
√ 2
b

u
√
a+
√ !
b
du
2
u
0
Fazendo a mudança de variável
η=
√
√
au −
b
u
(B.20)
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO
100
vem
√ √
−2 a b
√

√
e
2
b

u
Z tD −√au−
e
√ !
√ √
b
−2 a b
du
=
e
u2
√
a+
√
b
√ √
a tD − √
tD
Z
2
e−η dη
−∞
0
Então

√
b
√ √
 a tD − √



tD
−∞
Z
Z


√ √

−2 a b 
−η 2
−η 2
II = e
e dη −
e dη 





0
0



logo,
=e
II
√ √
−2 a b
√ ! √ #
√ √
π
b
π
erf
a tD − √
+
2
2
tD
"√
(B.21)
Substituindo os as equações B.19 e B.21 na equação B.14
1
Gmn (yD , tD ) = √ √
a π
(
e
√ √
−2 a b
√ √
2 a b
"√
π
erf
2
+e
√ ! √ #
√ √
π
b
π
erf
a tD + √
−
+
2
2
tD
√ ! √ #)
√ √
b
π
a tD − √
+
2
tD
"√
que pode ser reescrita como
1
Gmn (yD , tD ) = √
2 a
(
√ √
−2 a b
"
e
erf
#
"
√ !
√ !#)
√ √
√
√ √
√
b
b
a tD − √
+ 1 − e2 a b erfc
a tD + √
tD
tD
(B.22)
Substituindo-se o valor de
1
Gmn (yD , tD ) = √
2 a
b
√
−yD a
e
na equação B.22 temos
1 + erf
√
yD
atD − √
2 tD
−e
√
yD a
erfc
√
yD
atD + √
2 tD
(B.23)
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO
B.2
101
Transformada de Fourier Finita Cosseno
A Transformada de Fourier Finita Cosseno de uma função
mD = mD (xD , yD , zD , tD )
em
xD
é denida por:
Z1
m̂D (n, yD , zD , tD ) =
mD cos (nπxD ) dxD
(B.24)
0
e a Transformada Inversa de Fourier Finita Cosseno em
mD = Ff−1
[
m̂
]
=
m̂
D
D
xD
+2
n=0
xD
∞
X
é
m̂D cos (nπxD )
(B.25)
n=1
A seguir apresentam-se algumas propriedades da Transformada de Fourier Finita Cosseno
usadas no presente trabalho:
1.A Transformada de Fourier Finita Cosseno da derivada parcial da função
direção diferente a
na função
mD
xD
mD
numa
é a derivada parcial da Transformada de Fourier Finita Cosseno
na direção indicada. Em especial, tem-se
Z1
0
Z1
0
∂ 2 m̂D
∂ 2 mD
cos (nπxD ) dxD =
2
2
∂yD
∂yD
(B.26)
∂ 2 mD
∂ 2 m̂D
cos
(nπx
)
dx
=
D
D
2
2
∂zD
∂zD
(B.27)
Z1
∂mD
∂ m̂D
cos (nπxD ) dxD =
∂tD
∂tD
(B.28)
0
2.Se a condição de contorno para a função
mD
em
xD = 0
ou
1
é do tipo Neumann
homogêneo, a Transformada de Fourier Finita Cosseno da derivada parcial da função
mD
na direção
xD
é
Z1
0
Consideremos
∂ 2 mD
cos (nπxD ) dxD = − (nπ)2 m̂D
2
∂xD
u = cos (nπxD )
e
dv =
∂ 2 mD
dxD ,
∂x2D
então
(B.29)
du = − sin (nπxD ) nπdxD
e
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO
v=
Z1
0
∂mD
.
∂xD
102
Logo,


1 Z1
∂mD
∂mD = cos (nπxD )
sin (nπxD ) nπdxD 
+
∂xD ∂xD
2
∂ mD
cos (nπxD ) dxD
∂x2D
0
Z1
=
0
∂mD
sin (nπxD ) nπdxD
∂xD
0
devido à condição de contorno para
∂mD
,
dv =
∂xD
Z1
0
temos
v = mD
e
mD .
Considerando-se a variável
du = cos (nπxD ) nπdxD .
u = sin (nπxD )
e
Então


1 Z1
∂mD
sin (nπxD ) nπdxD = nπ mD sin(nπxD ) − mD cos (nπxD ) nπdxD  = − (nπ)2 m̂D
∂xD
0
0
Da mesma forma, pode-se denir a Transformada Integral de Fourier Finita Cosseno da função
mD = mD (xD , yD , zD , tD )
em
zD
como
ˆ D (xD , yD , m, tD ) =
m̂
Z1
mD cos (mπzD ) dzD
(B.30)
0
e a Transformada Inversa da Integral de Fourier Finita Cosseno
ˆ D mD = Ff−1
[
m̂
]
=
m̂
D
zD
+2
m=0
∞
X
ˆ D cos (mπzD )
m̂
(B.31)
m=1
As propriedades da Transformada Integral de Fourier Finita Cosseno em
às propriedades da Transformada Integral de Fourier Cosseno em
zD são semelhantes
xD , as quais são mencionadas
a seguir:
1.A Transformada de Fourier Finita Cosseno da derivada parcial da função
direção diferente a
na função
mD
zD
mD
numa
é a derivada parcial da Transformada de Fourier Finita Cosseno
na direção indicada. Em especial, tem-se
Z1
0
Z1
0
ˆD
∂ 2 mD
∂ 2 m̂
cos
(mπz
)
dz
=
D
D
2
2
∂yD
∂yD
(B.32)
ˆD
∂ 2 mD
∂ 2 m̂
cos
(mπz
)
dz
=
D
D
2
∂xD
∂x2D
(B.33)
Z1
0
ˆD
∂mD
∂ m̂
cos (mπzD ) dzD =
∂tD
∂tD
(B.34)
APÊNDICE B. TRANSFORMADA DE LAPLACE E DE FOURIER FINITA COSSENO
2.Se a condição de contorno para a função
mD
em
zD = 0, 1
103
é do tipo Neumann
homogêneo, a Transformada de Fourier Finita Cosseno da derivada parcial da função
mD
na direção
zD
é
Z1
0
∂ 2 mD
ˆD
cos (mπzD ) dzD = − (mπ)2 m̂
2
∂zD
(B.35)
Apêndice C
Poço Horizontal em Reservatório de
Gás
Neste apêndice, apresenta-se: (1) o modelo físico considerado para o sistema reservatóriopoço; (2) a solução analítica associada ao modelo físico considerado em (1), caso linear;
(3) as soluções aproximadas para curtos e longos tempos, assim como as expressões para os
regimes de uxo presentes no caso de poços horizontais.
C.1
Modelagem do Sistema Reservatório-Poço
Nesta seção serão apresentadas as considerações para resolução da equação da difusividade
para o caso de um poço horizontal num reservatório de gás.
C.1.1 Premissas Básicas
As premissas assumidas para resolução da equação da difusividade foram:
ˆMeio
poroso homogêneo e anisotrópico;
ˆFluxo
monofásico e isotérmico;
ˆPermeabilidades
constantes;
ˆRocha
com compressibilidade pequena e constante;
ˆForças
gravitacionais desprezíveis;
ˆEspessura
do meio poroso constante;
ˆComposição
ˆFluido
ˆPoço
do gás constante;
e rocha não reagentes entre si;
horizontal;
104
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
ˆFluxo
uniforme ao longo do poço;
ˆProduto (µcg )
considerado constante;
ˆPoço
paralelo ao topo e base da formação;
ˆTopo
e base impermeáveis;
ˆRegime
ˆMeio
105
laminar para o escoamento do gás;
poroso limitado em
x
e
z
e innito em
y.
Aplicando a pseudo-pressão denida pela equação A.7 e a relação dada pela equação A.8 na
equação A.25, tem-se
kx
∂ 2 m (p)
∂ 2 m (p)
∂ 2 m (p)
∂m (p)
+
k
+
k
= φµ (p) cg (p)
y
z
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂t
Neste trabalho, considera-se que o valor do produto
inicial, valor denotado por
kx
(µcg )i .
µ (p) cg (p)
será avaliado na pressão
Neste caso a equação C.1 torna-se linear:
∂ 2 m (p)
∂ 2 m (p)
∂m (p)
∂ 2 m (p)
+
k
+
k
= φ (µcg )i
y
z
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂t
Dividindo a equação C.2 por
(C.1)
(C.2)
ky
φ (µcg )i ∂m (p)
kx ∂ 2 m (p) ∂ 2 m (p) kz ∂ 2 m (p)
+
+
=
2
2
2
ky ∂x
∂y
ky ∂z
ky
∂t
Introduzindo a constante de conversão de unidades do tempo
αt
(C.3)
na equação C.3
φ (µcg )i ∂m (p)
kx ∂ 2 m (p) ∂ 2 m (p) kz ∂ 2 m (p)
+
+
=
2
2
2
ky ∂x
∂y
ky ∂z
αt ky
∂t
(C.4)
Para resolver a equação C.4 são necessárias uma condição inicial e condições de contorno.
A condição inicial para a pressão no reservatório é
p(x, y, z, t = 0) = pi
e a condição para
p
quando
(C.5)
y → ∞:
lim p(x, y, z, t) = pi
y→∞
(C.6)
Por outro lado, a seguinte condição no poço é considerada:

2παp qw µ (p)
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t < t0
∂p 
2ky
lim (Lzb − Lza ) (Lxl − Lxd )
=
y→0
∂y 
0
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t > t0
(C.7)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
As condições de contorno nas fronteiras na direção
∂p ∂z e na direção
z=0
∂p =
∂z x=0
∂p =
∂x z
106
são dadas por:
=0
(C.8)
=0
(C.9)
z=hz
x
∂p ∂x Das condições auxiliares para a variável
condições de contorno para a variável
m(p)
p,
x=hx
equações C.5 a C.9, a condição inicial e as
transformam-se em
m (p) = m (pi )
(C.10)
lim m (p) = m (pi )
(C.11)
y→∞

2παp q0 p0 Tw
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t < t0
∂m (p) 
z0 ky
=
lim (Lzb − Lza ) (Lxl − Lxd )
y→0

∂y
0
Lxd ≤ x ≤ Lxl Lza ≤ z ≤ Lzb t > t0
(C.12)
∂m (p) ∂z ∂m (p) ∂x z=0
∂m (p) =
∂z x=0
∂m (p) =
∂x =0
(C.13)
=0
(C.14)
z=hz
x=hx
C.1.2 Adimensionalização da Equação do Modelo Físico
As seguintes variáveis adimensionais são utilizadas
x
hx
(C.15)
y
(Lzb − Lza )
(C.16)
z
hz
(C.17)
αt ky t
φ (µcg )i (Lzb − Lza )2
(C.18)
xD =
yD =
zD =
tD =
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
mD =
onde
(Lzb − Lza )
νx =
hx
s
(Lzb − Lza )
νz =
hz
s
107
kx
ky
(C.19)
kz
ky
(C.20)
zw ky (Lxl − Lxd ) 4m (p)
T0 ky (Lxl − Lxd ) 4m (p)
=
2παp qw pw
2παp q0 p0 Tw
(C.21)
4m (p) = m (pi ) − m (p)
A derivada parcial da função
mD
em relação a
x
é
∂mD ∂m (p)
T0 ky (Lxl − Lxd ) ∂m (p)
∂mD
=
=−
∂x
∂m (p) ∂x
2παp q0 p0 Tw
∂x
(C.22)
∂mD
∂mD ∂xD
1 ∂mD
=
=
∂x
∂xD ∂x
hx ∂xD
(C.23)
ou
Igualando (C.22) e (C.23), tem-se
∂m (p)
2παp q0 p0 Tw 1 ∂mD
=−
∂x
T0 ky (Lxl − Lxd ) hx ∂xD
De maneira semelhante em
(C.24)
y:
∂mD
∂mD ∂yD
1
∂mD
=
=
∂y
∂yD ∂y
(Lzb − Lza ) ∂yD
2παp q0 p0 Tw
1
∂mD
∂m (p)
=−
∂y
T0 ky (Lxl − Lxd ) (Lzb − Lza ) ∂yD
e em
(C.25)
z:
∂mD
∂mD ∂zD
1 ∂mD
=
=
∂z
∂zD ∂z
hz ∂zD
∂m (p)
2παp q0 p0 Tw 1 ∂mD
=−
∂z
T0 ky (Lxl − Lxd ) hz ∂zD
A derivada parcial de
mD
(C.26)
em relação ao tempo é
∂mD
∂mD
∂mD ∂tD
αt ky
=
=
2
∂t
∂tD ∂t
φ (µcg )i (Lzb − Lza ) ∂tD
∂m (p)
2παp q0 p0 Tw
αt ky
∂mD
=−
2
∂t
T0 ky (Lxl − Lxd ) φ (µcg )i (Lzb − Lza ) ∂tD
(C.27)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
108
Aplicando as equações C.21 a C.27 na equação C.4, tem-se
νx2
2
∂ 2 mD ∂ 2 mD
∂mD
2 ∂ mD
+
+
ν
=
z
2
2
2
∂xD
∂yD
∂zD
∂tD
As condições auxiliares para
para
mD
(C.28)
são obtidas adimensionalizando as condições de contorno
m(p):
mD (xD , yD , zD , tD = 0) = 0
lim mD = 0,
yD →∞
(C.29)
tD > 0
(C.30)
Da relação C.25
(Lzb − Lza ) (Lxl − Lxd )
∂m (p)
2παp q0 p0 Tw ∂mD
=−
∂y
T0 ky
∂yD
logo,
lim (Lzb − Lza ) (Lxl − Lxd )
y→0
2παp q0 p0 Tw ∂mD
2παp q0 p0 Tw
∂m (p)
= lim (−
)=
yD →0
∂y
T0 ky
∂yD
T0 ky
e
lim
yD →0
∂mD
∂yD

Lxl
Lxd

 −1
≤ xD ≤
hx
hx
=
L
L
xd
xl

 0
≤ xD ≤
hx
hx
Lza
Lzb
≤ zD ≤
tD <= tD0
hz
hz
Lza
Lzb
≤ zD ≤
tD > tD0
hz
hz
Usando-se as relações C.26 e C.24, temos:
∂mD ∂zD zD =0
∂mD =
∂zD zD =1
xD =0
∂mD =
∂xD xD =1
=0
(C.31)
=0
(C.32)
e
∂mD ∂xD C.2
Solução Analítica da Equação de Difusividade
Aplicando a Transformada Integral de Fourier Finita Cosseno em
xD
na equação C.28, vem
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
R1
0
νx2
109
R1 ∂ 2 mD
R1 2 ∂ 2 mD
∂ 2 mD
νz
cos
(nπx
)
dx
+
cos
(nπx
)
dx
+
cos (nπxD ) dxD =
D
D
D
D
2
2
∂x2D
∂zD
0 ∂yD
0
=
R1 ∂mD
cos (nπxD ) dxD
0 ∂tD
(C.33)
e aplicando as propriedades (B.26) a (B.29), tem-se:
2
∂ 2 m̂D
∂ m̂D
2 ∂ m̂D
+
ν
− (nπνx )2 m̂D =
z
2
2
∂yD
∂zD
∂tD
A condição inicial e de contorno para a variável
Integral de Fourier Finita Cosseno em
xD
m̂D
(C.34)
é obtida aplicando-se a Transformada
às condições auxiliares para
m̂D = 0
para
mD .
tD = 0
(C.35)
lim m̂D = 0
(C.36)
yD →∞
Lxl
∂ m̂D
yD →0 ∂yD
lim
Z1
Zhx
= − cos (nπxD ) dxD = −
cos (nπxD ) dxD
0
Lxd
hx
1
nπLxl
nπLxd
= −
sin
− sin
(C.37)
nπ
hx
hx
em
Lzb
Lza
≤ zD ≤
, tD < tD0 ,
hz
hz
e
∂ m̂D ∂zD zD =0
∂ m̂D =
∂zD =0
(C.38)
zD =1
Aplicando a Transformada Integral de Fourier Finita Cosseno em
zD
na equação C.34
R1 ∂ 2 m̂D
R1 2 ∂ 2 m̂D
R1
cos
(mπz
)
dz
+
ν
cos
(mπz
)
dz
−
(nπνx )2 m̂D cos (mπzD ) dzD =
D
D
D
D
z
2
2
∂y
∂z
0
0
0
D
D
=
R1 ∂ m̂D
cos (mπzD ) dzD
0 ∂tD
(C.39)
e usando-se as propriedades associadas a esta transformada, (B.32) e (B.35):
ˆD
ˆD ∂ m̂
∂ 2 m̂
2
2 ˆ
=
−
(nπν
)
+
(mπν
)
m̂D
x
z
2
∂tD
∂yD
(C.40)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
As condições auxiliares para a função
de Fourier Finita Cosseno em
zD ,
ˆ
m̂
são obtidas aplicando-se a Transformada Integral
nas condições de contorno e inicial da função
ˆD = 0
m̂
110
para
m̂D
tD = 0
(C.41)
ˆD = 0
lim m̂
(C.42)
yD →∞
Z1
ˆD
∂ m̂
1
nπLxl
nπLxd
lim
cos (mπzD ) dzD
= −
sin
− sin
yD →0 ∂yD
nπ
hx
hx
0
1
nπLxl
nπLxd
= −
sin
− sin
×
mnπ 2
hx
hx
mπLzb
mπLza
× sin
− sin
hz
hz
(C.43)
Aplicando a Transformada de Laplace na equação C.40, usando as propriedades da Transformada de Laplace e a condição inicial dada pela equação C.41, tem-se
ˆˆ
ˆ
∂ 2 m̂
D
ˆD = 0
− s + (nπνx )2 + (mπνz )2 m̂
2
∂yD
Determinando-se as condições de contorno para a função
(C.44)
ˆˆ
m̂
D,
ˆˆ D = 0
lim m̂
(C.45)
yD →∞
Z∞
ˆˆ
∂ m̂
1
nπLxl
nπLxd
mπLzb
mπLza
D
lim
=
e−stD dtD
sin
− sin
sin
− sin
yD →0 ∂yD
mnπ 2
hx
hx
hz
hz
0
1
nπLxl
nπLxd
sin
− sin
×
2
mnπ
hx
hx
−stD tD0
mπLzb
mπLza
e
× sin
− sin
−
hz
hz
s
0
1
nπLxl
nπLxd
= −
sin
− sin
×
2
mnπ
hx
hx
mπLzb
mπLza
1 − e−stD0
× sin
− sin
hz
hz
s
= −
(C.46)
A equação diferencial ordinária (EDO) C.44 pode ser escrita como
ˆˆ 00
ˆˆ
a1 m̂
D + a0 m̂D = 0
(C.47)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
onde
a0 = − s + (nπνx )2 + (mπνz )2
e
111
a1 = 1
Um meio de resolver a EDO dada pela equação C.47 é mediante a solução da equação
polinomial, cujo método é baseado na equação característica.
Para esse caso a equação
característica pode ser escrita como
a1 λ2 + a0 = 0,
(C.48)
cujas raízes são:
q
s + (nπνx )2 + (mπνz )2
=
q
= − s + (nπνx )2 + (mπνz )2
λ1
λ2
Como a equação característica, equação C.48 é polinomial, a solução é dada por uma
combinação da função exponencial, que pode ser escrita como
ˆˆ
λ1 yD
m̂
+ Amn eλ2 yD ⇒
D = Bmn e
(C.49)
ou
√
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
ˆˆ
m̂
D = Bmn e
+ Amn e
√
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
−
(C.50)
Usando a condição de contorno C.45 na equação C.50
ˆˆ
lim m̂
D = lim
yD →∞
yD →∞
√
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
Bmn e
√
lim Bmn e
+ Amn e
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
yD →∞
√
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
−
=0
= 0 ⇒ Bmn = 0
Usando a condição C.46 na equação C.50
q
√
−
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
2
2
lim − s + (nπνx ) + (mπνz ) Amn e
yD →0
1
nπLxl
nπLxd
= −
sin
− sin
×
mnπ 2
hx
hx
mπLzb
mπLza
1 − e−stD0
sin
− sin
hz
hz
s
ˆˆ
∂ m̂
D
lim
=
yD →0 ∂yD
Então
(C.51)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
Amn
112
nπLxd
mπLzb
mπLza
nπLxl
1 − e−stD0
− sin
sin
− sin
sin
hx
hx
hz
hz
s
q
=
mnπ 2 s + (nπνx )2 + (mπνz )2
(C.52)
Aplicando as equações C.51 e C.52 na equação C.50
nπLxl
nπLxd
mπLzb
mπLza
1 − e−stD0
− sin
sin
− sin
sin
hx
hx
hz
hz
s
ˆˆ
q
×
m̂D =
2
2
2
mnπ s + (nπνx ) + (mπνz )
−
√
×e
s+(nπνx )2 +(mπνz )2 yD
que pode ser reescrita como
(1 − e−stD0 ) e−yD
ˆˆ
√
m̂
=
C
D
mn
s s+a
√
s+a
(C.53)
onde
sin
Cmn =
nπLxl
hx
− sin
nπLxd
hx
mπLzb
mπLza
sin
− sin
hz
hz
mnπ 2
e
a = (nπνx )2 + (mπνz )2
(C.54)
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace na equação C.53
"
ˆ D = Cmn L−1
m̂
√
√
e−yD s+a e−stD0 e−yD s+a
√
√
−
s s+a
s s+a
#
"
= Cmn L−1
√
e−yD s+a
√
s s+a
√
!
− L−1
e−stD0 e−yD s+a
√
s s+a
(C.55)
Usando as relações B.8 e B.9

Z Z G (y , t )
m n mn
D D
ˆD =
m̂
Z Z [G (y , t ) − G
m
n
mn
D
D
tD < tD0
(C.56)
mn (yD , tD − tD0 )] tD > tD0
onde
√
2
Gmn (yD , tD ) = √
π
Z tD
0
e
yd2

−au2 +
2
4u
e
du


(C.57)
!#
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
√
2
Gmn (yD , tD − tD0 ) = √
π

tZ
D −tD0
113
yd2

4u2 du

−au2 +
e
(C.58)
0
sin
Zm =
e
mπLzb
hz
− sin
mπLza
hz
(C.59)
mπ
nπLxl
hx
sin
Zn =
− sin
nπLxd
hx
(C.60)
nπ
A integral da equação C.57 foi resolvida no Apêndice B (equações B.12 a B.23) e a sua
solução é
1
Gmn (yD , tD ) = √
2 a
√
−yD a
e
√
1 + erf
yD
atD − √
2 tD
−e
√
yD a
erfc
√
yD
atD + √
2 tD
(C.61)
que pode ser usada na equação C.56.
C.2.1 Resolução para tD < tD0
Aplicando a Transformada Inversa Integral de Fourier Cosseno em
zD ,
equação B.31, na
equação C.56
m̂D = G0n (yD , tD ) Zm=0 Zn + 2
∞
X
Gmn (yD , tD ) Zm Zn cos (mπzD )
(C.62)
m=1
Aplicando a Transformada Inversa Integral de Fourier Cosseno em
xD ,
equação B.25, na
equação C.62
mD = G00 (yD , tD ) Zm=0 Zn=0 + 2
∞
P
Gm0 (yD , tD ) Zm Zn=0 cos (mπzD ) +
m=1
(C.63)
+2
∞
P
G0n (yD , tD ) Zm=0 Zn + 2
n=1
que pode ser escrita como
∞
P
Gmn (yD , tD ) Zm Zn cos (mπzD ) cos (nπxD )
m=1
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
∞
P
mD = G00 (yD , tD ) Zm=0 Zn=0 + 2
114
Gm0 (yD , tD ) Zm Zn=0 cos (mπzD ) +
m=1
+2
∞
P
G0n (yD , tD ) Zm=0 Zn cos (nπxD ) + 4
n=1
∞ P
∞
P
Gmn (yD , tD ) Zm Zn cos (mπzD ) cos (nπxD )
n=1m=1
(C.64)
Resolvendo separadamente os termos da equação C.64, temos:
ˆPara m = 0
e
n = 0, a = 0
(equação C.54), portanto
√
2
G00 (yD , tD ) = √
π
Z tD
yd2
e 4u2 du
−
(C.65)
0
r
Denindo
v=
2
yD
yD
=
,
2
4u
2u
tem-se
dv =
yD
(−u−2 ) du
2
yD
Z4tD
e
du = −
v
u
u
t
2
G00 (yD , tD ) = − √
π
2 2
yD
u dv = − 2 dv ,
yD
2v
yD
Z4tD
logo
v
u
u
t
yD −v2
yD
e dv = − √
2
2v
π
∞
2
e−v
dt
v2
(C.66)
∞
Aplicando integração por partes na equação C.66


v
qy
u y
D
u D
4tD
t
Z 2

yD 
1
2
 e−v 4tD

−
G00 (yD , tD ) = − √ −
−2ve−v dv 
−
v v

π
∞
∞
qy

D
q yD
4tD
Z
4t

yD 
e−v D
−v 2


√
e
G00 (yD , tD ) = −
−
−2
dv

π v 
∞
∞

2
yD




s
−

2
√
yD
yD 
 e 4tD





G00 (yD , tD ) = − √ − q 2 − π erf
− erf (∞) 
yD
4tD

π

4tD

2
yD


s
−

2
√
yD
yD 
 e 4tD



G00 (yD , tD ) = − √ − yD + π erfc

4tD 
π
√
2 tD

2
yD
√
−
yD
2 tD 4t
D
G00 (yD , tD ) = √ e
− yD erfc √
π
2 tD
(C.67)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
ˆPara m > 1
115
n=0
e
1
Gm0 (yD , tD ) =
2mπνz
√
yD
−yD mπνz
1 + erf mπνz tD − √
e
+
2 tD
(C.68)
√
yD
yD mπνz
−e
erfc
mπνz tD + √
2 tD
ˆPara m = 0
n > 1:
e
1
G0n (yD , tD ) =
2nπνx
√
yD
−yD nπνx
e
1 + erf nπνx tD − √
+
2 tD
(C.69)
√
yD
yD nπνx
−e
erfc
nπνx tD + √
2 tD
Quando
m = 0,
a equação C.59 pode ser escrita como
mπLza
mπLzb
− sin
sin
Lzb − Lza
hz
hz
=
lim Zm = lim
m→0
m→0
mπ
hz
E quando
n = 0,
(C.70)
a equação C.60 pode ser escrita como
nπLxd
nπLxl
− sin
sin
Lxl − Lxd
hx
hx
=
lim Zn = lim
n→0
n→0
nπ
hx
(C.71)
Substituindo as equações (C.67 a C.71) na equação C.64
mD = G00 (yD , tD )
+2
∞
P
G0n (yD , tD )
n=1
∞
P
Lzb − Lza Lxl − Lxd
Lxl − Lxd
+2
Gm0 (yD , tD ) Zm
cos (mπzD ) +
hz
hx
hx
m=1
∞ P
∞
P
Lzb − Lza
Zn cos (nπxD ) + 4
Gmn (yD , tD ) Zm Zn cos (mπzD ) cos (nπxD )
hz
n=1m=1
(C.72)
O valor da função
Gmn
(equação B.23) em
yD = 0
é
√
√
1 Gmn (yD = 0, tD ) = √ 1 + erf atD − erfc atD
2 a
e substituindo-se o valor de
a
Gmn (yD = 0, tD ) =
(equação C.54)
erf
√
atD
√
=
a
erf
q
2
2
(nπνx ) + (mπνz ) tD
q
(nπνx )2 + (mπνz )2
(C.73)
Portanto
r
√
2 tD
tD
G00 (yD = 0, tD ) = √ = 2
π
π
(C.74)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
√ √ 1 Gm0 (yD = 0, tD ) =
1 + erf mπνz tD − erfc mπνz tD =
2mπνz
116
erf
√ mπνz tD
mπνz
(C.75)
e
√ √ 1 1 + erf nπνx tD − erfc nπνx tD =
G0n (yD = 0, tD ) =
2nπνx
erf
√ nπνx tD
nπνx
(C.76)
Substituindo-se as equações C.73 a C.76 na equação C.72
r
mD (yD = 0) = 2
√ ∞ erf mπν
P
tD Lzb − Lza Lxl − Lxd
Lxl − Lxd
z tD
+2
Zm
cos (mπzD ) +
π
hz
hx
mπνz
hx
m=1
√ ∞ erf nπν
P
x tD Lzb − Lza
+2
Zn cos (nπxD ) +
nπνx
hz
n=1
q
2
2
(nπνx ) + (mπνz ) tD
erf
∞ P
∞
P
q
Zm Zn cos (mπzD ) cos (nπxD )
4
2
2
n=1m=1
(nπνx ) + (mπνz )
(C.77)
Reagrupando os termos da equação C.77
r
mD (yD = 0) = 2
√ ∞ erf mπν
tD Lzb − Lza Lxl − Lxd
Lxl − Lxd P
z tD
+2
Zm cos (mπzD ) +
π
hz
hx
hx πνz m=1
m
√ ∞ erf nπν
Lzb − Lza P
x tD
+2
Zn cos (nπxD ) +
hz πνx n=1
n
q
2
2
erf
(nπνx ) + (mπνz ) tD
∞ P
∞
P
q
4
Zm Zn cos (mπzD ) cos (nπxD )
2
2
n=1m=1
(nπνx ) + (mπνz )
(C.78)
Para ajustar a solução de acordo com a condição de pressão uniforme do poço [GOODE e THAMBYNAY
deve-se determinar a média de
mD
Lxl
hx
R
mD =
mD dxD
Lxd
hx
Lxl − Lxd
hx
(C.79)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
117
A integral do numerador da equação C.79 será a soma de quatro integrais, cada uma
correspondendo à integral de um termo que compõe o valor total de
mD ,
equação C.78.
Assim, temos
L
xl
r
2
Zhx r
tD Lzb − Lza Lxl − Lxd
tD Lzb − Lza Lxl − Lxd
2
dxD = 2
π
hz
hx
π
hz
hx
Lxd
hx
Lxl
Zhx
Lxd
hx
√ ∞
Lxl − Lxd X erf mπνz tD
2
Zm cos (mπzD ) dxD =
hx πνz m=1
m
2
=
πνz
Lxl
Zhx
Lxd
hx
Lxl − Lxd
hx
2 X
∞
m=1
erf
√ mπνz tD
Zm cos (mπzD )
m
√ ∞
Lzb − Lza X erf nπνx tD
2
Zn cos (nπxD ) =
hz πνx n=1
n
√ ∞
Lzb − Lza X erf nπνx tD
nπLxl
nπLxd
Zn sin
=2
− sin
hz π 2 νx n=1
n2
hx
hx
q
2
2
Z X
(nπνx ) + (mπνz ) tD
∞ X
∞ erf
q
4
Zm Zn cos (mπzD ) cos (nπxD ) =
2
2
n=1
m=1
(nπν
)
+
(mπν
)
x
z
Lxd
Lxl
hx
hx
q
2
2
(nπνx ) + (mπνz ) tD
∞ X
∞ erf
X
q
=4
Zm Zn cos (mπzD ) ×
n=1 m=1
(nπνx )2 + (mπνz )2
1
nπLxl
nπLxd
×
sin
− sin
nπ
hx
hx
Substituindo-se as integrais calculadas acima na equação C.79
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
r
mD = 2
118
√ ∞ erf mπν
tD Lzb − Lza Lxl − Lxd
2 Lxl − Lxd P
z tD
+
Zm cos (mπzD ) +
π
hz
hx
πνz
hx
m
m=1
√ ∞ erf nπν
nπLxd
hx (Lzb − Lza ) P
nπLxl
x tD
− sin
+
+2
Zn sin
hz π 2 νx (Lxl − Lxd ) n=1
n2
hx
hx
q
2
2
erf
(nπνx ) + (mπνz ) tD
∞ P
∞
P
4hx
q
+
Zm Zn cos (mπzD ) ×
(Lxl − Lxd ) n=1m=1
(nπνx )2 + (mπνz )2
nπLxl
nπLxd
1
sin
− sin
×
nπ
hx
hx
ou
2
mD =
π
Lzb − Lza Lxl − Lxd
hz
hx
1
+
πνx
+2π
hx
Lxl − Lxd
hx
Lxl − Lxd
2
"
√
√ ∞ erf mπν
P
1
hz
z tD
πtD +
Zm cos (mπzD ) +
νz Lzb − Lza m=1
m
√ ∞ erf nπν
P
nπLxd
nπLxl
x tD
Zn sin
− sin
+
n2
hx
hx
n=1
2 hz
Lzb − Lza
∞ P
∞
P
n=1m=1
erf
q
2
(nπνx ) + (mπνz ) tD
q
(nπνx )2 + (mπνz )2
×Zm Zn2 cos (mπzD )]
Rearrumando os termos:
2
×
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
2
mD =
π
Lzb − Lza Lxl − Lxd
hz
hx
1
+
νx
+2π
hx
Lxl − Lxd
"
2 √
119
√ ∞ erf mπν
P
hz
1
z tD
Zm cos (mπzD ) +
πtD +
νz Lzb − Lza m=1
m
hx
Lxl − Lxd
hz
Lzb − Lza
2
√ ∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 +
n
n=1
erf
∞ P
∞
P
q
n=1m=1
2
2
(nπνx ) + (mπνz ) tD
q
(nπνx )2 + (mπνz )2
×
×Zm Zn2 cos (mπzD )]
(C.80)
0
Para substituir a espessura da fratura por um raio rw , é usada a relação dada por [PRATS, HAZEBROEK
com a adição do fator de anisotropia
(Lzb − Lza ) = 4rw
1
kz 4
= 4rw0
ky
(C.81)
sendo
rw0 = rw
onde
hs =
kz
ky
1
4
Lzb + Lza
2
(C.82)
Da equação C.81 e C.82, tem-se

L
za
= hs − 2rw0
L = h + 2r0
zb
s
w
A expressão para
tD
(C.83)
em C.18 pode então ser reescrita como
tD =
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
(C.84)
Substituindo a equação C.83 nas equações C.59 e C.80
mπ (hs + 2rw0 )
mπ (hs − 2rw0 )
sin
− sin
hz
hz
Zm =
mπ
e
(C.85)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
2
mD =
π
4rw0 Lxl − Lxd
hz
hx
1
+
νx
"
√
120
√ ∞ erf mπν
1 hz P
z tD
Zm cos (mπzD ) +
πtD +
νz 4rw0 m=1
m
hx
Lxl − Lxd
2
√ ∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 +
n
n=1
q
2
2
2 ∞ ∞ erf
(nπνx ) + (mπνz ) tD
P
hx
hz P
q
+2π
×
Lxl − Lxd
4rw0 n=1m=1
2
2
(nπνx ) + (mπνz )
×Zm Zn2 cos (mπzD )]
(C.86)
Reescrevendo a equação C.86 na forma dimensional
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
+
1 hz
erf
mπνz
νz 4rw0 m=1
1
+
νx
+2π
∞
P
hx
Lxl − Lxd
hx
Lxl − Lxd
2 hz
4rw0
2
s
∞
P
π
αt ky t
+
φ (µcg )i (4rw0 )2
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
s
erf
nπνx
n=1
∞ P
∞
P
"s
!
Zm
cos (mπzD ) +
m
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
s
erf
(nπνx )2 + (mπνz )2
n=1m=1
Zm Zn2
×q
!
Zn2
+
n
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
×

cos (mπzD ) 
(nπνx )2 + (mπνz )2
(C.87)
De acordo com [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987], um bom modo de aproximar as
soluções entre pressão constante e uxo constante ao longo do poço é determinar a pressão
no ponto
zD =
que será adotado nesse trabalho.
1
(hs + 1, 47rw0 )
hz
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
121
C.2.2 Resolução para tD > tD0
Aplicando os mesmo passos para o caso
2
mD =
π
+
tD > tD0 ,
4rw0 Lxl − Lxd
hz
hx
é possível obter:
(
√
√ √
π tD − tD − tD0 +
∞ 1 √ √
1 hz P
erf mπνz
t
−
erf mπνz
t
−
t
Zm cos (mπzD ) +
D
D
D0
νz 4rw0 m=1 m
1
+
νx
hx
Lxl − Lxd
+2π
2
∞ 1 P
√ √
erf nπνx
tD − erf nπνx tD − tD0 Zn2 +
n=1 n
hx
Lxl − Lxd
2 hz
4rw0
∞ P
∞
P
1
q
×
2
2
n=1m=1
(nπνx ) + (mπνz )
)
q
q
2
2
2
2
× erf
(nπνx ) + (mπνz ) tD − erf
(nπνx ) + (mπνz ) (tD − tD0 ) Zm Zn2 cos (mπzD )
(C.88)
Escrevendo a equação C.88 na forma dimensional
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
∞
1 hz P
+
νz 4rw0 m=1
"
s
erf
mπνz
hx
Lxl − Lxd
2
−erf nπνx
+2π
hx
Lxl − Lxd
"
×
−erf
erf
√
√
αt ky
t − t − t0 +
2
φ (µcg )i (4rw0 )
!
s
− erf mπνz
!#
αt ky
(t − t0 )
×
φ (µcg )i (4rw0 )2
Zm
cos (mπzD ) +
m
∞
P
"
s
erf
nπνx
n=1
s
π
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
×
1
+
νx
(s
122
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
!#
αt ky t
Zn2
(t
−
t
)
+
0
n
φ (µcg )i (4rw0 )2
2 hz
4rw0
∞ P
∞
P
1
q
×
2
2
n=1m=1
(nπνx ) + (mπνz )
s
(nπνx )2 + (mπνz )2
s
(nπνx )2 + (mπνz )2
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
!#
αt ky t
(t − t0 )
×
φ (µcg )i (4rw0 )2
×Zm Zn2 cos (mπzD )}
(C.89)
C.3
Solução Geral Aproximada
Devido à geometria do sistema e do comportamento de algumas funções, é possível simplicar
a solução geral obtida na seção anterior.
C.3.1 Caso 1: tD < tD0
Partindo da equação C.86, se
de
(νx πn)2 .
Portanto
max
(Lza , hz − Lzb )
Lw
r
kx
< 0, 25;
kz
pode-se neglicenciar o efeito
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
q
2
2
erf
(nπνx ) + (mπνz ) tD
∞ P
∞
P
q
Zm Zn2 cos (mπzD ) ∼
=
2
2
n=1m=1
(nπνx ) + (mπνz )
∞
∞
P
P
∼
Zn2
=
n=1
123
(C.90)
√ mπνz tD
Zm cos (mπzD )
mπνz
erf
m=1
Aplicando a equação C.90 na equação C.86
2
mD =
π
4rw0 Lxl − Lxd
hz
hx
1
+
νx
+2π
hx
Lxl − Lxd
"
√
√ ∞ erf mπν
1 hz P
z tD
Zm cos (mπzD ) +
πtD +
νz 4rw0 m=1
m
hx
Lxl − Lxd
2 hz
4rw0
2
∞
P
√ ∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 +
n
n=1
∞
P
2
erf
Zn
n=1
m=1
#
√ mπνz tD
Zm cos (mπzD )
mπνz
(C.91)
Isolando o termo
sin
Zn2
=
nπLxl
hx
− sin
(nπ)2
nπLxd
hx
2
=
(C.92)
nπL
nπL
nπL
nπL
xl
xl
xd
xd
sin2
− 2 sin
sin
+ sin2
hx
hx
hx
hx
=
2
(nπ)
e rearrumando o termo
nπLxl
nπLxd
−2 sin
sin
hx
hx
nπLxl
nπLxd
sin
=
−2 sin
hx
hx
nπ (Lxl − Lxd )
nπ (Lxl + Lxd )
= − cos
− cos
=
hx
hx
2 nπ (Lxl − Lxd )
2 nπ (Lxl + Lxd )
= − 1 − 2 sin
− 1 + 2 sin
=
2hx
2hx
2 nπ (Lxl − Lxd )
2 nπ (Lxl + Lxd )
= 2 sin
− 2 sin
2hx
2hx
Então
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
124
nπLxl
nπLxd
2
2 nπ (Lxl − Lxd )
2 nπ (Lxl + Lxd )
2
+ 2 sin
− 2 sin
+ sin
sin
hx
2hx
2hx
hx
2
Zn =
2
(nπ)
(C.93)
Usando a relação [GOODE e THAMBYNAYAGAM 1987]
∞ sin2 (mu)
P
1
= u (π − u)
2
m
2
m=1
0≤u≤π
(C.94)
em cada termo da equação C.93
nπLxl
∞ sin
X
πLxl
1 1 πLxl
hx
π−
=
= 2
π 2 hx
hx
(nπ)2
n=1
nπLxd
2
∞ sin
X
1 1 πLxl
πLxd
hx
= 2
π−
=
2
π
2
h
h
(nπ)
x
x
n=1
2
2
∞ sin
X
n=1
nπ (Lxl − Lxd )
2hx
(nπ)2
1 Lxl
Lxl
1−
2 hx
hx
1 Lxd
Lxd
1−
2 hx
hx
1 1 π (Lxl − Lxd )
π (Lxl − Lxd )
= 2
π−
=
π 2
2hx
2hx
(Lxl − Lxd )
1 (Lxl − Lxd )
1−
=
2
2hx
2hx
∞ sin
X
n=1
2
nπ (Lxl + Lxd )
2hx
(nπ)2
1 1 π (Lxl + Lxd )
π (Lxl + Lxd )
= 2
π−
=
π 2
2hx
2hx
1 (Lxl + Lxd )
(Lxl + Lxd )
=
1−
2
2hx
2hx
Logo,
∞
X
n=1
Zn2
1 Lxl
Lxl
1 Lxd
Lxd
(Lxl − Lxd )
(Lxl − Lxd )
=
1−
+
1−
+
1−
+
2 hx
hx
2 hx
hx
2hx
2hx
(Lxl + Lxd )
−
2hx
(Lxl + Lxd )
1−
2hx
=
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
1
=
2
Lxl
hx
1
−
2
Lxl
hx
2
1
+
2
−
1
=−
2
1
=−
2
Lxl
hx
Lxl
hx
2
2
1
−
2
1
−
2
Lxd
hx
Lxd
hx
Lxd
hx
1
−
2
Lxl + Lxd
2hx
2
2
"
+
Lxd
hx
+
(Lxl − Lxd )
+
−
2hx
2
+
Lxd
2hx
2
(Lxl − Lxd )
−
+
2hx
Lxl + Lxd
2hx
(Lxl − Lxd )
+
−
2hx
Lxl
2hx
2
2
+
Lxl
2hx
Lxl − Lxd
2hx
Lxl
hx
1
−
2
Lxd
hx
2
2Lxl Lxd
(2hx )2
2
+
+
Lxd
2hx
Lxl + Lxd
2hx
2
=
2
+
"
2 #
Lw
1 Lw
=
=
−
2 hx
hx
1 Lw
Lw
=
1−
2 hx
hx
m
da equação C.91
1 hz
2
+
0
νz 4rw νz
hx
Lw
2
hz 1 Lw
Lw
1−
=
4rw0 2 hx
hx
hz
hx
hz
hx
= 0
1+
−1 = 0
4rw νz
Lw
4rw νz Lw
2
=
#
2Lxl Lxd
+
−
(2hx )2
#
"
2 #
1 (Lxl − Lxd )
Lxl − Lxd
=
−
=
2
hx
hx
Somando os termos em
+
=
(Lxl − Lxd ) Lxl Lxd
+
=
2hx
(hx )2
"
#
2 2
1
Lxl
Lxd
(Lxl − Lxd )
2Lxl Lxd
=−
+
=
+
−
2
2
hx
hx
2hx
(hx )
"
2 #
1
Lxl − Lxd
(Lxl − Lxd )
=−
=
+
2
hx
2hx
1
=−
2
2
2
Lxl − Lxd
2hx
"
125
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
πtD +
+
1
νx
hx
Lw
126
√ ∞ erf mπν
hx hz P
z tD
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
∞ erf
P
n=1
(C.95)
√ #
nπνx tD 2
Zn
n
Finalmente, escrevendo a solução dada pela equação C.95 na forma dimensional
"s
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
∞
hx hz P
erf
mπνz
+ 0
4rw Lw νz m=1
1
+
νx
hx
Lw
2
∞
P
s
π
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
s
erf
αt ky t
+
φ (µcg )i (4rw0 )2
nπνx
n=1
!
Zm
cos (mπzD ) +
m
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
Zn2
n
(C.96)
#
C.3.2 Caso 2: tD > tD0
Repetindo os mesmos passos feitos para
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
tD < tD0 ,
√
π
√
chega-se a
tD −
√
tD − tD0 +
√ √
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − erf mπνz tD − tD0
+ 0
Zm cos (mπzD ) +
4rw Lw νz m=1
m
1
+
νx
hx
Lw
2
#
√ √
∞ erf nπν
P
x tD − erf nπνx tD − tD0
Zn2
n
n=1
Escrevendo a solução dada pela equação C.97 na forma dimensional
(C.97)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
∞
hx hz P
+ 0
erf
mπνz
4rw Lw νz m=1
s
hx
Lw
2
∞
P
s
erf
nπνx
n=1
π
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
×
1
+
νx
"s
127
√
√
αt ky t
t − t − t0 +
2
φ (µcg )i (4rw0 )
!
s
− erf mπνz
!
αt ky
(t − t0 ) ×
φ (µcg )i (4rw0 )2
Zm
cos (mπzD ) +
m
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
s
− erf nπνx
!
#
Zn2
αt ky t
(t − t0 )
n
φ (µcg )i (4rw0 )2
(C.98)
C.4
Soluções Aproximadas por Regime de Fluxo
Conforme descrito no Capítulo 2, podem ocorrer os seguintes regimes de uxo: radial inicial,
linear inicial, pseudo-radial e linear tardio.
De forma a obter uma análise simplicada dos
dados de pressão foram feitas aproximações para cada regime de uxo, permitindo o seu uso
nos testes de poços (uxo e crescimento de pressão).
C.4.1 Caso tD < tD0
As soluções aproximadas por regime de uxo neste caso são usadas nos testes de uxo. Cada
uma delas será mostrada separadamente.
Radial Inicial
Durante esse período, o comportamento da pressão é similar ao de um poço vertical em um
reservatório innito. Este regime começa assim que o poço é colocado em produção e termina
quando o limite superior ou inferior é alcançado.
Para
u
pequeno
erf
com erro
< 1%
para
2
(u) = √ u
π
(C.99)
u < 0, 1.
Durante o radial inicial as expressões
hx
νx π
e
π
Lw
2 X
∞
n=1
erf
√ nπνx tD 2 ∼
1
1 √
πtD
Zn = π
−
n
Lw hx
(C.100)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
128
√ ∞ erf mπν
π P
z tD
Zm cos (mπzD ) ∼
=
4rw0 m=1
m
1, 8089
∼
log
=
hz
64kz
tD
γ
e ky
(C.101)
√
νz π πtD
−
hz
são válidas.
Aplicando as aproximações dadas pelas equações C.100 e C.101 na solução geral aproximada dada pela equação C.95
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
√
1
+
νx
2
mD =
π
hx hz 4rw0
πtD + 0
4rw Lw νz π
hx
Lw
4rw0 Lw
hz hx
2
√
νx π
hx
Lw
π
1, 8089
log
hz
64kz
tD
γ
e ky
√
νz π πtD
−
+
hz
#
2 1 √
1
−
πtD
π
Lw hx
1, 8089hx
πtD +
log
Lw νz π
64kz
tD
γ
e ky
−
hx √
πtD +
Lw
√
hx
+
−1
πtD
Lw
64kz
1, 8089hx
2 4rw0 Lw
log γ tD
mD =
π hz hx
L w νz π
e ky
2 × 1, 8089
mD =
π2
onde e
γ
= 1, 78108,
r
ky
log
kz
64kz
tD
γ
e ky
(C.102)
a constante de Euler.
Portanto, a solução aproximada para o regime radial inicial é dada por
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
4m (p) =
T0 Lw ky kz
4αt kz t
γ
0 2
e φ (µcg ) (rw )
i
!
(C.103)
Linear Inicial
Este regime só ocorre quando o poço é sucientemente longo em relação à espessura da
formação e os limites superior e inferior são atingidos.
Se
u > 1, 8
pode-se aproximar erf (u)
∼
= 1.
Portanto para o linear inicial
√ ∞
π X erf mπνz tD
Zm cos (mπzD ) ∼
= Ωz
4rw0 m=1
m
Onde
(C.104)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
Ωz =
129
1
[ψ (η1 ) + ψ (η2 ) − ψ (η3 ) − ψ (η4 )]
8rw0
ψ (η) =
∞
X
sin (nη)
n2
n=1
η1 =
η2 =
0, 52πrw0
hz
π
(2hs + 3, 48rw0 )
hz
η3 = −
η4 =
(C.105)
3, 48πrw0
hz
π
(2hs − 0, 52rw0 )
hz
e a aproximação dada pela equação C.100 é válida.
Substituindo as equações C.100 e C.104 na equação C.95
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
√
πtD +
hx hz 4rw0
Ωz +
4rw0 Lw νz π
#
2
2 1 hx
1 √
νx π Lw
1
+
−
πtD
π
νx Lw
hx
π
Lw hx
√
√
2 4rw0 Lw
hx hz
hx
mD =
πtD +
Ωz +
−1
πtD
π hz hx
πLw νz
Lw
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
hx √
hx hz
Ωz
πtD +
Lw
πLw νz
sendo
Sz = 0, 6366hz Ωz =
(C.106)
2
hz Ωz
π
(C.107)
Substituindo a equação C.107 na equação C.106
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
hx √
hx
πtD +
Sz
Lw
2Lw νz
(C.108)
Escrevendo a equação C.108 na forma dimensional
2παp q0 p0 Tw 2
4m (p) =
T0 ky Lw π
4m (p) =
4rw0 Lw
hz hx
hx √
hx
πtD +
Sz
Lw
2Lw νz
16αp q0 p0 Tw rw0 √
2αp q0 p0 Tw
p
πtD +
Sz
T0 ky hz Lw
T0 Lw ky kz
(C.109)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz Lw
s
π
130
αt ky t
2αp q0 p0 Tw
p
Sz
2 +
0
T0 Lw ky kz
φ (µcg )i (4rw )
(C.110)
que é a solução para o linear inicial.
Pseudo-Radial
Neste regime ocorre uxo radial em volta do poço no plano da formação.
Para esse regime
π
Lw
2
√ ∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 ∼
=
n
n=1
1, 8089π
∼
log
=
h2x
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
!
−
νx π
2
√
(C.111)
πtD
h2x
e a aproximação dada pela equação C.104 são válidas.
Substituindo as equações C.104 e C.111 na equação C.95 temos
2
mD =
π
1
+
νx
hx
Lw
4rw0 Lw
hz hx
√
πtD +
hx hz 4rw0
Ωz +
4rw0 Lw νz π
)#
!
√
(4rw0 )2 64kx
1, 8089π
νx π 2 πtD
log
tD −
h2x
L2w eγ ky
h2x
√
2 4rw0 Lw
hx hz
mD =
πtD +
Ωz +
π hz hx
L w νz π
2 Lw
π
+
2 (
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
1, 8089
log
νx π
!
√
−
(C.112)
#
πtD
Substituindo a equação C.107 na equação C.112 vem
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
1, 8089
log
νx π
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
!
hx
+
Sz
2Lw νz
#
(C.113)
Escrevendo a equação C.113 na forma dimensional
4m (p) =
4αp q0 p0 Tw
T0 ky hx
4rw0
"
hz
2, 303αp q0 p0 Tw
p
4m (p) =
log
T0 ky kx hz
que é a solução do pseudo-radial.
1, 8089
log
νx π
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
64αt kx t
γ
2
e φ (µcg ) Lw
i
+
!
+
hx
Sz
2Lw νz
2αp q0 p0 Tw
p
Sz
T0 Lw ky kz
#
(C.114)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
131
Linear Tardio
Este regime ocorre quando os limites na direção
hx
νx π
π
Lw
2
x
são alcançados:
√ ∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 ∼
=
n
n=1
(C.115)
hx
∼
=
νx π
π
Lw
2
∞ Z2
P
n
n=1
n
Aplicando as equações C.104 e C.115 na equação C.95
mD =
2
π
"
4rw0 Lw
hz hx
4rw0
"
2
mD =
π
Lw
hz hx
√
√
1
hx hz
Ωz +
πtD +
Lw νz π
νx
πtD +
1
hx hz
Ωz +
L w νz π
νx
hx
Lw
hx
Lw
2 X
∞
Zn2
n
n=1
2 X
∞
n=1
Zn2
#
#
n
(C.116)
Denindo
Sx =
∞
X
2h2x
Zn2
r
kx n=1 n
hz Lw
kz
(C.117)
e aplicando as equações C.107 e C.117 na equação C.116
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
hx hz
πtD + 0
8rw Lw
r
ky
(Sz + Sx )
kz
#
(C.118)
Portanto, a solução para o linear tardio na forma dimensional é
2παp q0 p0 Tw 2
4m (p) =
T0 ky Lw π
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz hx
s
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
hx hz
πtD + 0
8rw Lw
r
#
ky
(Sz + Sx )
kz
αt ky t
2αp q0 p0 Tw
p
(Sz + Sx )
2 +
0
T0 Lw ky kz
φ (µcg )i (4rw )
(C.119)
C.4.2 Resolução para tD > tD0
As soluções para tempos maiores que
tD0
são usadas nos testes de crescimento de pressão.
C.4.2.1 Fechamento durante regime Linear Tardio
Partindo da solução geral aproximada para o regime de uxo após o fechamento, equação
C.97
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
πtD +
1
+
νx
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
"
hx
Lw
p
π (tD − tD0 ) +
1
+
νx
hx
Lw
132
√ ∞ erf mπν
hx hz P
z tD
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
√ #
∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 +
n
n=1
√
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − tD0
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
#
√
∞ erf nπν
P
x tD − tD0
Zn2
n
n=1
(C.120)
e aplicando as aproximações usadas para o caso do regime linear tardio (equação C.118) na
parte da equação C.120 que se refere ao uxo
2
mD =
π
2
−
π
4rw0
Lw
hz hx
"
4rw0 Lw
hz hx
r
√
hx hz
ky
πtD + 0
(Sz + Sx ) +
8rw Lw kz
p
π (tD − tD0 ) +
1
+
νx
hx
Lw
√
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − tD0
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
#
√
∞ erf nπν
P
x tD − tD0
Zn2
n
n=1
(C.121)
Agora é necessário escrever a solução dada pela equação C.121 de acordo com cada regime
após o fechamento do poço.
Radial Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o regime radial inicial (equações C.100 e C.101), no
período de fechamento na equação C.121:
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
hx hz
πtD + 0
8rw Lw
r
#
r
ky
2 × 1, 8089 ky
64kz
(Sz + Sx ) −
log γ (tD − tD0 )
kz
π2
kz
e ky
Essa equação pode ser reescrita como
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
" 2, 303q0 p0 Tw
t
p
− log
4m (p) = αp
log
t − t0
T0 Lw ky kz
√
+
133
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
(C.122)
16rw0 Lw kz
p
2, 303 ky hz hx
s
π
αt ky t
+ log
φ (µcg )i (4rw0 )2
γ
ky
64kz
e
#
+
2
(Sx + Sz )
2, 303
Linear Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o regime linear inicial (equações C.100 e C.104), no
período de fechamento na equação C.121, temos a seguinte expressão
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
4rw0 Lw
hz hx
r
√
hx hz
ky
πtD + 0
(Sz + Sx ) +
8rw Lw kz
hx
hx p
π (tD − tD0 ) +
Sz
Lw
2Lw νz
que pode ser reescrita como
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
s
αt ky
π
φ (µcg )i (4rw0 )2
√
hx √
t−
t − t0
Lw
+ αp
2q0 p0 Tw
p
Sx
T0 Lw ky kz
(C.123)
Pseudo-Radial
Aplicando as aproximações usadas para o regime pseudo-radial no uxo (equações C.104 e
C.111), no período de fechamento na equação C.121, obtemos a equação
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
4rw0 Lw
hz hx
(
r
√
hx hz
ky
πtD + 0
(Sz + Sx ) +
8rw Lw kz
#
"
)
1, 8089
(4rw0 )2 64kx
hx
(tD − tD0 ) +
log
Sz
νx π
L2w eγ ky
2Lw νz
que pode ser reescrita como
"
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log t−tt 0 − log
4m (p) =
T0 ky kx hz
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+ log
L2w eγ ky
(4rw0 )2 64kx
+
#
s
√
√
4rw0 π kx
αt ky t
hz π kx
p
√ Sx
+
π
+
1, 8089hx ky
φ (µcg )i (4rw0 )2 2 × 1, 8089Lw kz
(C.124)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
134
Linear Tardio
Por último, aplicamos as aproximações usadas para o regime linear tardio no uxo (equações
C.104 e C.115), no período de fechamento na equação C.121
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
4rw0 Lw
hz hx
r
√
hx hz
ky
πtD + 0
(Sz + Sx ) +
8rw Lw kz
r
p
ky
hx hz
(Sz + Sx ) +
π (tD − tD0 ) + 0
8rw Lw kz
Essa equação é equivalente a
16rw0 q0 p0 Tw
4m (p) = αp
T0 ky hz hx
s
√
√
αt ky
π
t − t − t0
φ (µcg )i (4rw0 )2
(C.125)
C.4.2.2 Fechamento durante regime Pseudo-Radial
Partindo da solução geral aproximada para o regime de uxo após o fechamento (equação
C.98), que pode ser reescrita como
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
√
πtD +
1
+
νx
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
"
hx
Lw
p
π (tD − tD0 ) +
1
+
νx
hx
Lw
√ ∞ erf mπν
hx hz P
z tD
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
√ #
∞ erf nπν
P
x tD
Zn2 +
n
n=1
√
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − tD0
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
#
√
∞ erf nπν
P
t
−
t
x
D
D0
Zn2
n
n=1
(C.126)
e aplicando as soluções aproximadas usadas para o caso do uxo Pseudo-Radial (equações
C.104 e C.111) na parte da equação C.120 que refere ao uxo, tem-se
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
"
4rw0 Lw
hz hx
"
1, 8089
log
νx π
p
π (tD − tD0 ) +
1
+
νx
hx
Lw
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
!
135
#
hx
+
Sz +
2Lw νz
√
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − tD0
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
#
√
∞ erf nπν
P
t
−
t
D
D0
x
Zn2
n
n=1
(C.127)
Após o fechamento, diferentes regimes de uxo podem ocorrer, cada um com sua solução
em particular.
Radial Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o regime radial inicial no uxo (equações C.100 e
C.101), no período de fechamento na equação C.127 temos
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
"
1, 8089
log
νx π
2 × 1, 8089
−
π2
r
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
!
#
hx
+
Sz +
2Lw νz
64kz
ky
log γ (tD − tD0 )
kz
e ky
Reescrevendo a expressão vem
" 2, 303q0 p0 Tw
t
p
4m (p) = αp
log
− log
t − t0
T0 Lw ky kz
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
(C.128)
√
Lw kz
+√
log
kx hz
64αt kx t
+ log
γ
2
e φ (µcg ) Lw
i
γ
ky
64kz
e
+
2
Sz
2, 303
Linear Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o regime linear inicial no uxo (equações C.100 e
C.104), no período de fechamento na equação C.127 temos
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
2
−
π
"
1, 8089
log
νx π
4rw0 Lw
hz hx
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
!
#
hx
+
Sz +
2Lw νz
hx p
hx
π (tD − tD0 ) +
Sz
Lw
2Lw νz
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
136
que é equivalente a
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz Lw
( s
−
p
)
2, 303Lw ky
αt ky
64αt kx t
√
(t − t0 ) +
π
log γ
2
e φ (µcg ) Lw
16rw0 kx
φ (µcg )i (4rw0 )2
i
(C.129)
Pseudo-Radial
Aplicando as aproximações usadas para o regime pseudo-radial no uxo (equações C.104 e
C.111), no período de fechamento na equação C.127
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
4rw0 Lw
hz hx
(
"
1, 8089
log
νx π
(4rw0 )2 64kx
tD
L2w eγ ky
!
#
hx
+
Sz +
2Lw νz
"
#
)
1, 8089
(4rw0 )2 64kx
hx
log
(tD − tD0 ) +
Sz
νx π
L2w eγ ky
2Lw νz
ou
2, 303αp q0 p0 Tw
p
4m (p) =
log
T0 ky kx hz
t
t − t0
(C.130)
C.4.2.3 Fechamento durante regime Linear Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o caso do uxo linear inicial (equações C.104 e C.100)
na parte da equação C.120 que refere ao uxo, tem-se
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
"
4rw0 Lw
hz hx
p
π (tD − tD0 ) +
+
1
νx
hx
Lw
hx √
hx
Sz +
πtD +
Lw
2Lw νz
√
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − tD0
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
#
√
∞ erf nπν
P
t
−
t
x
D
D0
Zn2
n
n=1
(C.131)
Da mesma forma que nos caso anteriores, diferentes regimes ocorrem após o fechamento.
Radial Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o regime radial inicial no uxo (equações C.100 e
C.101), no período de fechamento na equação C.134
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
2
mD =
π
4rw0 Lw
hz hx
137
r
2 × 1, 8089 ky
64kz
hx √
hx
πtD +
Sz −
log γ (tD − tD0 )
Lw
2Lw νz
π2
kz
e ky
ou
" t
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
4m (p) =
− log
t − t0
T0 Lw ky kz
αt ky t
φ (µcg )i (4rw0 )2
!
+
#
s
√
γ e ky
2
kz
αt ky t
p
+
+ log
+
Sz
π
64kz
2, 303
2, 303hz ky
φ (µcg )i (4rw0 )2
(C.132)
16rw0
Linear Inicial
Aplicando as aproximações usadas para o regime linear inicial no uxo (equações C.100 e
C.104), no período de fechamento (equação C.134)
2
mD =
π
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
4rw0 Lw
hz hx
hx √
hx
πtD +
Sz +
Lw
2Lw νz
hx p
hx
π (tD − tD0 ) +
Sz + Sz
Lw
2Lw νz
Em variáveis dimensionais
16αp q0 p0 Tw rw0
4m (p) =
T0 ky hz Lw
s
π
√
√
αt ky
t
−
t
−
t
0
φ (µcg )i (4rw0 )2
(C.133)
C.4.2.4 Fechamento durante regime Radial Inicial
Por último, utilizamos a solução aproximada para o caso do uxo radial inicial dadas pelas
equações C.100 e C.101 na parte da equação C.120 que refere ao uxo:
2 × 1, 8089
mD =
π2
2
−
π
4rw0 Lw
hz hx
"
p
π (tD − tD0 ) +
+
1
νx
hx
Lw
r
ky
log
kz
64kz
tD +
γ
e ky
√
∞ erf mπν
hx hz P
z tD − tD0
Zm cos (mπzD ) +
4rw0 Lw νz m=1
m
2
#
√
∞ erf nπν
P
t
−
t
x
D
D0
Zn2
n
n=1
(C.134)
APÊNDICE C. POÇO HORIZONTAL EM RESERVATÓRIO DE GÁS
138
e aplicando as aproximações usadas para o regime radial inicial no uxo (equações C.100 e
C.101), no período de fechamento na equação C.134 chegamos a
2 × 1, 8089
mD =
π2
r
ky
log
kz
64kz
tD
γ
e ky
2 × 1, 8089
−
π2
r
ky
64kz
log γ (tD − tD0 )
kz
e ky
que pode ser reescrita como
2, 303αp q0 p0 Tw
p
log
4m (p) =
T0 Lw ky kz
t
t − t0
(C.135)
Apêndice D
Resultados da Capacidade de
Entrega para Poços Horizontais
Neste apêndice será detalhado como os testes de capacidade de entrega para poços horizontais
foram calculados. O teste de capacidade de entrega consiste em medir um parâmetro que é
usado na indústria como meio de comparação entre os poços. Esse parâmetro é o
open-ow
absolute-
(AOF).
Para a realização dos testes foram criados 4 modelos de reservatórios, suas propriedades
se encontram nas tabelas D.1 e D.2. Para melhor compreensão de como os cálculos foram
realizados, será apresentado o procedimento passo a passo, para permeabilidade
k = 1000
mD
e modelo de reservatório 1.
O primeiro passo realizado foi estimar os tempos dos regimes de uxo através da solução
analítica C.87 (gura D.1). O segundo passo consiste em calcular a AOF padrão através do
teste
ow-after-ow
período de uxo foi
(FAF) a partir dos tempos calculados. Neste caso, a duração de cada
144
horas (guras D.2 e D.3).
Terceiro passo: calcular a AOF usando o teste isócrono modicado com períodos de uxo
de 12 horas (gura D.4) e calcular a AOF usando pontos de pressão de acordo com o regime
(para cálculo da inclinação
n
conforme descrito no Capítulo 4). O primeiro AOF foi calculado
usando os tempos 4, 8 e 12 horas. Porém, os tempos escolhidos se encontram em diferentes
regimes de uxo, 4 horas no pseudo-radial, 8 horas na transição entre pseudo-radial e linear
tardio e 12 horas no linear tardio (gura D.5). Já o segundo cálculo de AOF foi feito usando
os tempos 2, 4 e 6 horas, que se encontram no regime pseudo-radial (gura D.6).
O quarto passo foi refazer o terceiro passo usando período de uxo de 24 horas (gura
D.7). Os tempos escolhidos para o primeiro caso foram 8, 16 e 24 horas, 8 horas encontra-se
na transição entre os regimes pseudo-radial e linear tardio e os tempos 16 e 24 estão no regime
linear tardio (gura D.8). O segundo usou os tempos 2, 4 e 6 horas que se encontram no
regime pseudo-radial (gura D.9).
139
APÊNDICE D. RESULTADOS DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS140
Propriedades
Modelo 1, 2, 3 e 4
profundidade
6000 m
0, 1 m
0, 2
150 ºC
650 kg/cm2
0, 7
rw
φ
Tw
Pi
dG
Z
µ
cg
cf
Lw
kx
ky
kz
q0
P0
T0
Dranchuck
Lee et. al
Dranchuck
−5
4.97817 × 10 cm2 /kg
600 m
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
1 × 103 a 1 × 10−3 mD
2 × 106 a 2 × 107 m3 /d
1.03323 kg/cm2
15.5556 ºC
Tabela D.1: Dados usados nos modelos de reservatórios
Propriedades
hx (orientação
hy
hz
do poço)
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
Modelo 4
2500 m
10000 m
50 m
5000 m
10000 m
50 m
7500 m
10000 m
50 m
10000 m
2500 m
50 m
Tabela D.2: Geometria dos reservatórios
Permeabilidade
3
1 × 10 mD
1 × 102 mD
1 × 101 mD
1 × 100 mD
1 × 10−1 mD
1 × 10−2 mD
1 × 10−3 mD
vazão 1
6
3
2 × 10
2 × 106
2 × 106
1 × 105
9 × 103
1 × 103
3 × 102
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
3
m /d
vazão 2
6
3
4 × 10 m /d
4 × 106 m3 /d
4 × 106 m3 /d
2 × 105 m3 /d
1, 8 × 104 m3 /d
2 × 103 m3 /d
6 × 102 m3 /d
vazão 3
6
3
6 × 10 m /d
6 × 106 m3 /d
6 × 106 m3 /d
3 × 105 m3 /d
2, 7 × 104 m3 /d
3 × 103 m3 /d
9 × 102 m3 /d
Tabela D.3: Vazões usadas durantes os testes
vazão do uxo estendido
6
3
3 × 10 m /d
3 × 106 m3 /d
3 × 106 m3 /d
3 × 105 m3 /d
1, 35 × 104 m3 /d
1, 5 × 103 m3 /d
4, 5 × 102 m3 /d
APÊNDICE D. RESULTADOS DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS141
Figura D.1: Duração dos regimes de uxo
Figura D.2: Histórico de pressão do teste FAF
APÊNDICE D. RESULTADOS DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS142
Figura D.3: Cálculo da AOF através do teste FAF
Figura D.4: Histórico da pressão do teste isócrono modicado (12 horas)
APÊNDICE D. RESULTADOS DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS143
Figura D.5: Cálculo da AOF através do teste isócrono modicado com período de uxo de 12
horas usando os dados de tempo 4,8 e 12 horas
Figura D.6: Cálculo da AOF através do teste isócrono modicado com período de uxo de 12
horas usando os dados de tempo 2, 4 e 6 horas
APÊNDICE D. RESULTADOS DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS144
Figura D.7: Histórico de pressão do isócrono modicado (24 horas)
Figura D.8: Cálculo da AOF através do isócrono modicado com períodos de uxo de 24
horas usando os tempos 8, 16 e 24 horas
APÊNDICE D. RESULTADOS DA CAPACIDADE DE ENTREGA PARA POÇOS HORIZONTAIS145
Figura D.9: Cálculo da AOF através do isócrono modicado com período de uxo de 24 horas
usando os tempos 2, 4 e 6 horas
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