A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma
Função
Suponhamos que a função y = f(x) possua derivada em um
segmento [a, b] do eixo-x. Os valores da derivada f ’(x)
também dependem de x, ou seja, a derivada f ’(x) é
também uma função de x.
Portanto, a derivada de y = f(x), f ’(x), também pode ser
derivada em relação a x. Essa derivada é chamada de
derivada segunda da função y = f(x). Ela costuma ser
designada pelos símbolos:
d 2 f ( x)
( 2)
&&
y ’’(x); f ”(x); dx 2 ; f ( x); ou f ( x).
Por exemplo, se y = x3, temos:
y ' ( x) = 3 x 2 .
y ' ' ( x ) = 6 x.
Pode-se também definir derivadas de ordens superiores de
y = f(x), derivada terceira, derivada quarta etc, indicadas
por y’’’, y’’’’, ..., y(n), mas essas são muito pouco usadas.
A derivada segunda de uma função tem várias utilidades
em matemática, física e demais ciências. Por exemplo, em
física, se a função y = x(t) representar a posição de uma
partícula movimentando-se no eixo-x ao longo do tempo,
a derivada primeira de y em relação a t, dx dt , nos dá a
velocidade v da partícula, e a derivada segunda, d 2 x dt 2 ,
nos dá a aceleração da partícula.
Mas a aplicação mais básica da derivada segunda está em
que ela permite que se faça uma análise da variação de
uma função.
Seja y = f(x) uma função diferenciável em um segmento
[a, b] do eixo-x. O gráfico dessa função é, portanto, uma
curva de um certo tipo. Em algumas regiões, a curva é
crescente, em outros ela é decrescente e, ainda em outros,
a curva nem cresce e nem decresce.
A figura abaixo mostra um exemplo:
y=2senx+cos3x
y 3
0
-4
-1
2
5
8
11
x
-3
Nos pontos em que a curva cresce, a derivada é positiva (a
tangente à curva tem inclinação positiva, isto é, forma um
ângulo entre 0 e 90o com a horizontal – ângulo agudo),
f ' ( x) > 0
função crescente.
Nos pontos em que a curva decresce, a derivada é negativa
(a tangente à curva tem inclinação negativa, isto é, forma
um ângulo entre 90o e 180o com a horizontal – ângulo
obtuso),
f ' ( x) < 0
função decrescente.
Veja alguns exemplos nas figuras abaixo.
Note que há alguns pontos em que derivada não é, nem
positiva, nem negativa. Ela é nula (isto é, a reta tangente é
horizontal).
No desenho, alguns desses pontos são chamados de pontos
de máximo e outros são chamados de pontos de mínimo.
Coletivamente, os pontos de máximo e de mínimo são
chamados de valores extremos da função.
Alguns pontos de máximo são mais máximos que os
outros e alguns pontos de mínimo são mais mínimos que
os outros.
O(s) maior(es) ponto(s) de máximo de uma função é(são)
chamado(s) de máximo(s) absoluto(s) e os outros são
chamados de máximos relativos ou máximos locais.
Igualmente, temos pontos de mínimo absolutos e pontos
de mínimo relativos ou mínimos locais.
Os pontos extremos de uma função (os pontos de máximo
e mínimo) são pontos em que a derivada da função se
anula: f’(x) = 0.
No entanto, esta é apenas uma condição necessária para
que um ponto seja um ponto extremo, mas não suficiente.
Isto quer dizer que se uma função y = f(x) tiver um
máximo ou um mínimo (valor extremo) em um dado
ponto x, a sua derivada nesse ponto é nula, f ’(x) = 0. Mas
pode acontecer que uma função y = f(x) tenha derivada
nula em um dado ponto x e este ponto não seja nem de
máximo e nem de mínimo.
Veja o exemplo abaixo, da função y = x3.
y=x^3
y 30
20
10
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-10
-20
-30
No ponto x = 0, a função tem derivada nula,
( )
y ' ( x = 0) = 3 x 2
x =0
= 0.
Porém, o ponto x = 0 claramente não é um ponto nem de
máximo e nem de mínimo. Ele é chamado de um ponto de
inflexão da função.
O ponto é chamado de inflexão por que a concavidade da
função se altera nesse ponto – a curva passa de côncava
para baixo para côncava para cima –, sem que o sinal da
derivada se altere (a curva permanece sempre crescente ou
estacionária).
Os pontos de uma função que são, ou pontos extremos, ou
pontos de inflexão, são chamados coletivamente de pontos
críticos da função.
Portanto, os pontos críticos de uma função são os pontos x
em que sua derivada se anula: f’(x) = 0.
Se quisermos achar os pontos de máximo e de mínimo de
uma função, a condição suficiente é:
Seja uma função y = f(x) diferenciável num intervalo [a,b].
Um dado ponto x1 é um ponto de máximo se, e somente
se,
f ’(x) > 0 para x < x1 e f ’(x) < 0 para x > x1.
E um dado ponto x2 é um ponto de mínimo se, e somente
se,
f ’(x) < 0 para x < x2 e f ’(x) > 0 para x > x2.
Isto nos permite escrever as seguintes regras para se
encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função y
= f(x) diferenciável num intervalo [a,b]:
1. Calcule a derivada primeira da função, f’(x).
2. Ache os valores críticos da função: iguale a
derivada primeira a zero, f’(x) = 0, e ache as raízes
reais dessa equação.
3. Analise o sinal da derivada f’(x) a esquerda e a
direita de cada ponto crítico. Se a derivada mudar
de sinal, teremos um valor extremo (máximo ou
mínimo); se a derivada não mudar de sinal, teremos
um ponto de inflexão.
Vamos ver um exemplo. Seja a seguinte função cúbica,
x3
y ( x) =
− 2 x 2 + 3x + 1.
3
O gráfico dessa função está dado abaixo.
y=(x^3)/3-2x^2+3x+1
y 20
15
10
5
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
5
6
x
-10
-15
-20
Vamos aplicar as regras definidas acima:
1. A primeira derivada da função é:
y ' ( x) = x 2 − 4 x + 3.
2. Igualando essa derivada a zero, obtemos a equação
x 2 − 4 x + 3 = 0,
cujas raízes são:
− b ± b 2 − 4ac 4 ± 4 4 ± 2
=
=
⇒
x=
2a
2
2
⇒ x1 = 1, x2 = 3.
3. Vamos analisar primeiro o ponto crítico x1 = 1. Para
um ponto a esquerda dele, por exemplo, x = 0, a
derivada primeira vale y’(x) = 3 > 0. Já para um ponto
a direita dele (mas não maior que 3, que é o outro
ponto crítico), por exemplo, x = 2, temos y’(x) = −1 <
0. Portanto, a derivada muda de sinal ao passarmos
por x1 = 1. Então, este é um ponto extremo da função.
E ele é um ponto de máximo, pois a derivada era
positiva e torna-se negativa. Vamos analisar agora o
ponto crítico x2 = 3. Para um ponto a esquerda dele,
por exemplo, x = 2, a derivada primeira vale y’(x) =
−1 < 0. E para um ponto a direita dele, por exemplo,
x = 4, temos y’(x) = 3 > 0. Novamente, a derivada
muda de sinal ao passarmos por x2 = 3. Logo, ele é
um ponto extremo da função. E é um ponto de
mínimo, pois a derivada era negativa e torna-se
positiva.
Existe um método alternativo de se encontrar os valores
extremos de uma função, baseado no cálculo da sua
derivada segunda (quando ela existe).
A regra para aplicação desse método é a seguinte:
Seja uma função y = f(x) diferenciável num intervalo [a,b].
Vamos admitir também que a segunda derivada da função
exista no intervalo [a,b]. Suponhamos que, no ponto x = x1
a derivada primeira da função seja nula, isto é, y’(x1) = 0.
Então,
• se f ’’(x1) < 0, x1 será um ponto de máximo;
• se f ’’(x1) > 0, x1 será um ponto de mínimo;
• se f ’’(x1) = 0, x1 pode ser um ponto de máximo ou de
mínimo, mas pode ser que ele não seja nenhum nem
outro. Neste caso, deve-se usar o método anterior
(baseado na derivada primeira) para se determinar se
x1 é um ponto de máximo, mínimo ou de inflexão.
Este resultado pode ser posto na seguinte tabela:
f ' ( x1 )
f ' ' ( x1 )
Tipo do ponto crítico
0
−
Ponto de máximo
0
+
Ponto de mínimo
0
0
Desconhecido
Para entender essa regra, vamos olhar novamente para o
problema da função cúbica estudado anteriormente. Os
gráficos abaixo mostram, lado a lado, a função e a sua
derivada primeira.
Os gráficos abaixo são iguais aos de cima, mas as retas
tangentes
(derivadas)
estão
indicadas
também.
A
inclinação da reta tangente à função y(x) dá a sua derivada
primeira, y’(x). Já a inclinação da reta tangente à derivada,
y’(x), dá a derivada segunda de y(x).
Note que, para os dois pontos extremos da função y(x), o
valor de y’(x) é zero. Mas as derivadas de y’(x) não são
nulas nesses pontos. Para o ponto de máximo, x = 1, a
derivada de y’(x) é negativa. E para o ponto de mínimo, x
= 3, a derivada de y’(x) é positiva.
Como exemplo, vamos aplicar o método da derivada
segunda à função cúbica estudada anteriormente,
x3
y ( x) =
− 2 x 2 + 3x + 1.
3
A derivada primeira dessa função é,
y ' ( x) = x 2 − 4 x + 3.
Sabemos que os seus pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 3. A
derivada segunda da função é,
y ' ' ( x ) = 2 x − 4.
Calculando essa derivada no ponto x1 = 1 temos:
y ' ' (1) = 2 − 4 = −2 < 0.
Portanto, o ponto x1 = 1 é um ponto de máximo.
Já o cálculo da derivada no ponto x2 = 3 nos dá,
y ' ' (3) = 6 − 4 = 2 > 0.
Portanto, o ponto x2 = 3 é um ponto de mínimo.
Exemplo 1. Achar os pontos de máximo e mínimo da
função,
y ( x ) = 2senx + cos 2 x.
O gráfico desta função está dado abaixo.
y=2senx+cos2x
y
x
Esta é uma função periódica, de período 2π. Portanto, é
suficiente estudarmos a função no segmento [0, 2π].
1. Vamos determinar a derivada da função:
y' ( x) = 2 cos x − 2sen2 x = 2(cos x − 2senx cos x ) = 2 cos x(1 − 2senx ).
2. Vamos determinar os valores críticos da função:
f ' ( x) = 0 ⇒ 2 cos x(1 − 2senx ) = 0.
A igualdade acima é satisfeita se,
cos x = 0 ⇒ x =
π
2
ou
3π
.
2
Ou se,
1 − 2senx = 0 ⇒ senx =
π
1
5π
⇒ x = ou x =
.
2
6
6
Portanto, os pontos críticos da função são:
x1 =
π
6
, x2 =
π
2
, x3 =
5π
3π
e x4 =
.
6
2
3. Vamos determinar a derivada segunda da função:
y ' ' ( x ) = −2senx − 4 cos 2 x.
4. Vamos agora calcular a derivada segunda em cada um
dos quatro pontos críticos:
a.
1
1
⎛π ⎞
y ' ' ⎜ ⎟ = − 2 . − 4 . = −3 < 0 .
2
2
⎝6⎠
b.
⎛π ⎞
y ' ' ⎜ ⎟ = −2 .1 − 4 .1 = 2 > 0 .
⎝2⎠
c.
⎛ 5π
y' ' ⎜
⎝ 6
1
1
⎞
⎟ = −2 . − 4 . = − 3 < 0 .
2
2
⎠
d.
⎛ 3π
y' ' ⎜
⎝ 2
⎞
⎟ = −2.( −1) − 4.( −1) = 6 > 0.
⎠
Ponto de máximo.
Ponto de mínimo.
Ponto de máximo.
Ponto de mínimo.
Exemplo 2. Achar os pontos de máximo e mínimo da
função,
y ( x) = 1 − x 4 .
1. Vamos determinar a derivada da função:
y ' ( x) = −4 x 3 .
2. Vamos determinar os valores críticos da função:
f ' ( x) = 0 ⇒ −4 x3 = 0 ⇒ x = 0.
3. Vamos determinar a derivada segunda da função:
y ' ' ( x) = −12 x 2 .
4. Vamos agora calcular a derivada segunda no ponto
crítico x = 0:
y ' ' ( 0) = 0.
Neste caso, a derivada segunda é zero. Portanto, não é
possível, pelo método da derivada segunda, determinar se
o ponto crítico é de máximo, mínimo ou se é um ponto de
inflexão.
Para determinar a natureza da função no ponto crítico x =
0, devemos neste caso usar o primeiro método
apresentado, baseado na deriva primeira.
Para um valor de x a esquerda de x = 0, por exemplo x =
−1, temos,
f ' (−1) = −4(−1) 3 = 4 > 0.
E para um valor de x a direita de x = 0, por exemplo x = 1,
temos,
f ' (1) = −4(1)3 = −4 < 0.
Portanto, à esquerda de x = 0, f’(x) > 0, e, à direita, f’(x) <
0. Logo, o ponto x = 0 é um ponto de máximo.
4
Os gráficos abaixo mostram a função y ( x ) = 1 − x e suas
derivadas primeira e segunda.
y=1-x^4
y
-2
-1
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x
1
2
y'(x)=-4x^3
1
0,5
y
0
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,3
0,5
-0,5
-1
x
y''(x)=-12x^2
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
y
0
-0,5
-0,3
-0,1-0,1
0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
x