UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBID
FUNÇÃO AFIM
ROTEIRO DE AULA
Nesta aula o aluno será levado a construída a função a função afim e suas representações e a realizada
práticas.
Primeira Parte
1) Construa dois diagramas representando conjuntos numéricos com qualquer quantidades com
qualquer elementos, representados por conjuntos A e B.
2) Construa uma relação entre os elementos destes conjuntos, em que, cada elemento do conjunto B
possa ser obtido a partir de um único elemento do conjunto A, multiplicando-se os elementos do
conjunto A por um número racional e somando-se com um número real.
3) Construa uma expressão algébrica para esta relação. Destaque os elementos desta relação
denominados, Domínio, contradomínio e Imagem.
4) Construa uma relação gráfica para esta relação no plano Cartesiano.
Segunda parte
Desenvolvimento de práticas
1) Dada a relação:
F: {Números Naturais}
seguintes são iguais a esta.
a) G: {Números reais}
b) G: {Números inteiros}
c) G: { Números inteiros positivos}
d) g(x) = 2x + 3
e)
{Números Naturais}, f(x) = 4x+6. Decida quais das relações
{Números reais};
{Números inteiros};
{ Números inteiros positivos}
2) Trace o gráfico da função: g:{Números reais}
{Números reais}, g(x) = 2x - 1
3) Dê Exemplo de uma função afim em que seu gráfico intercepta o eixo 0Y do plano cartesiano no
ponto P = (0, -2)
4) Dê exemplo de uma função a função afim em que seu gráfico passe pelos pontos A=(-1,2) e B=(3,4)
5) Dê exemplo de uma função afim em seu gráfico é paralelo ao 0X.
6) Dê exemplo de uma função a fim f, em f(2)=1 e f(3) =2,
Terceira Parte
Usando as novas tecnologias para investigar funções afim
Leve os alunos a um Laboratório de informática e abra um programa de Geometria Dinâmica.
Recomendamos o Geogebra, que tem a seguinte interface;
1) No janela entrada, marcado com a seta em vermelho, digite a expressão y = ax +b
2) Clique na 11ª janela da esquerda para direita, abaixo da barra de propriedades (controle deslizante),
e em seguida clique na malha, aparece uma nova janela para indicar a variação dos coeficientes.
Primeiro estabeleça uma variação pra o coeficiente a e m seguida clique novamente na malha e
estabeleça uma variação pra o coeficiente b
c) Posicione o cursor na janela, entrada, ao lado da expressão y = ax +b e dê enter. Vai aparecer na área
de trabalho (malha) o gráfico da função afim cujos coeficientes são os correspondentes ao número em
que o controle deslizante esta posicionado. Voce pode deslocar o controle deslizante para obter em
cada posição o gráfico de diferentes funções afim, tudo depende de como voce definiu os coeficientes.
Veja um exemplo na figura abaixo.
A interface deste software possui:
a) uma érea de trabalho, que onde se desenha os objetos geométricos;
b) uma Janela algébrica, que é onde aparece as propriedades algébricas dos objetos que estamos
desenhando, ou digitando na janela entrada;
c) um barra de menu onde aparece as propriedades das ferramentas do software, arquivo, editar, exibir,
etc. .... Voce pode clicar nas janelas da barra de menu que outras subjanelas vão aparecer que voce
pode explorar de maneira conveniente;
d) Uma barra com 12 janelas para voce explorar objetos da geometria Euclidiana;
e) Janela de entrada que serve para voce explorar a geometria analítica plana;
Obs. Este equipamento não deve ser usado como instrumento de prova ou de construção de conceito.
Deve ser usado para testar hipóteses e fazer conjeturas após o estudante ter convicção dos conceitos
elaborados. Devemos lembrar que o desenho não prova nada. Mas mesmo é muito útil para organizar
situações de aprendizagens.
Quarta Parte
1) No ambiente Geogebra construa o gráfico da função afim que passa pelos pontos A
,
) e B(1,
)
2) No ambiente Geogebra construa os gráficos das funções y = 2x + b para todos os valores b variando
entre -1 e 1 com intervalos de 0.5
3) 3) No ambiente Geogebra construa os gráficos das funções y = ax + 1 para todos os valores a
variando entre -1 e 1 com intervalos de 0.5
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBID
FUNÇÃO QUADRÁTICA
ROTEIRO DE AULA
Nesta aula o aluno será levado a construída a função a função quadrática e suas representações e a
realizada práticas.
Espaço
Tempo
Primeira parte
0
0
1) Observe que a medida que aumenta tempo aumenta também o espaço
4,9
1
2) A partir da segunda linha faça o quociente dos elementos da primeira
19,6
2
coluna pelos elementos da segunda coluna da mesma linha.
44,1
3
3) Tente concluir se as grandezas correspondentes de mesma linha nas duas 78,4
4
122,5
5
colunas são diretamente proporcionais.
4) Se x representa um número da segunda coluna e y representa um número da primeira coluna,
examine se y é proporcional a x2.
5) Obtenha o coeficiente de proporcionalidade;
6) Escreva a sentença matemática que relaciona y com x;
7) Desenhe alguns dos pontos da tabela num sistema de coordenados;
8) Qual é o domínio e a imagem desta relação;
9) Examine se a relação entre y e x que voce obteve corresponde a y = 4,9x 2.
10) Caso voce tenha se convencido, generalize as funções do tipo y = ax2 , a é uma constante diferente
de zero e x qualquer número real.
11) Construa o gráfico das funções com valores de a positivo e com valores de a negativo.
12) Examine o que os gráficos destas funções tem em comum com a positivo, e que os gráficos tem em
comum com a negativo.
13) Passe a examinar as funções em que y = a(x - b)2, a≠0 com a> 0 e com a< 0.
14) Observe que se o x = b então y = 0 e este é o único valor de x para o qual o y=0.
15) Examine o que esta função tem em comum com a função anterior, y = ax2.
16) Construa num mesmo sistema de eixos coordenados o gráfico destas duas funções.
17) Reescreva a função do item 13 desenvolvendo o termo quadrático e obtenha y = ax2 - 2abx + ab2;
18) Discuta a expressão geral y = ax2+ bx +c .
Nesta parte Leve os alunos ao laboratório de informática e construa com eles o gráfico das funções do
tipo y = ax2+ bx +c, e destaque os elementos principais do gráfico tais como:
a) Construa funções quadráticas em seus gráficos cortam o eixo 0X;
b) Destaque os pontos onde o gráfico corta os eixos e com isto crie o conceito de raízes de uma
função;
c) Destaque a direção em que o gráfico se curva e crie o conceito de concavidade da função
quadrática;
d) Destaque o ponto em que a função quadrática assume o maior ou o menor valor e vincule este
valor ao sinal do coeficiente do termo quadrático, isto é, do sinal de a, e crie o conceito de
vértice.
e) Construa funções quadráticas em seus gráficos não cortam o eixo 0X, com ênfase para a função,
Como protótipo das funções quadráticas que não possuem raízes reais.
a > 0
y=0




y = (-b2+4ac)/4a y = 0
y = 0 y = (-b2+4ac)/4a y = 0
Dê aos alunos cerca de 4 minutos para esboçarem os gráficos de funções quadráticas. Depois
mostre o resultado num computador.
Mostre um gráfico no computador e depois pergunte aos alunos que função está representando
Mostre um Gráfico. Pergunte onde se localiza os mínimos e os máximos. Tente então determinar
o que acontece nesses pontos.
Faça com que os alunos usem o computador como recurso para esboçar o gráfico de uma função
obtida a partir de um problema como recurso para testar o resultado obtido.
a< 0



a > 0 ∆ = (-b2+4ac/4a)< 0
Elabore exercícios de funções quadráticas que não possuem raízes reais e disponibilize aos
alunos para eles construírem gráficos:
1. Manualmente
2. Usando o computador
Elabore problemas envolvendo funções quadráticas e peça para os alunos construírem uma
solução e teste no computador as soluções obtidas.
Observe o grafico abaixo. Complete a tabela,
Obtenha a expressão algebrica da função cujo
gráfico é a parabola da figura abaixo.
x
0
1
7 15 16
y -12 -4
3/2
12
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBID
FUNÇÃO EXPONENCIAL
ROTEIRO DE AULA
Nesta aula o aluno será levado a construída a função a função exponencial e suas representações e a
realizada práticas.
1) Para um número real a > 0 , ≠ e para x pertencente ao conjunto dos números reais construa a
relação que associa cada y pertencente aos reais aos números ax.
2) Construa inicialmente os casos particulares, por exemplo para a = 2, a = 1/2 e formalize as relações
y=2x e y = (1/2)x
3) Destaque os conjuntos domínio, contra domínio e Imagem, enfatize o fato de que a imagem é o
conjunto dos números reais positivos e que portanto não existe x pertencente aos reais tal que y=ax
seja zero
4) Enfatize o fato de ser necessário o valor a > 0 (positivo) ≠ , (pois 1 elevado a qualquer número é
sempre 1).
5) Construa uma tabela de valores para da os casos particulares em que o gráfico das funções y = ax tem
o seguinte aspecto.
a) observe que todos os gráficos
possam pelo ponto (0, 1);
b) nunca cruzam o eixo 0Y, isto é, estão
sempre acima do eixo 0X.
c) que quando a aumenta do lado
direito do 0 o gráfico se aproxima do
eixo 0Y do lado esquerdo 0 o gráfico se
aproxima do eixo 0X, e quando a vai
diminuindo as posições do gráfico se
invertem.
6) Enfatize os casos em que
.
7) Enfatize que a representação geral da função exponencial é do tipo
,
e que estas funções modelam fenômenos que crescem muito rápido se
decrescem muito rapido se
,
ou
8) Construa alguns exemplos constextualizados modelados por funções exponenciais, tais como
crescimento de colônia bactérias, desintegração radioativas, rendimento de um capital aplicado a juros
composto e outros tipos de fenômenos.
Pratica:
1) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, considerando todos os descontos é 31.000,00, e
este valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem 22.000,00 que podem ser aplicados a uma
taxa de juros de 2% ao mês, e escolhe deixar seu dinheiro aplicado até o montante atingir o valor do
carro. Qauntos meses João deve esperar pra comprar o carro?
8) Motive os alunos a observarem que no calculo do juro composto, sempre é necessário calcular um
número do tipo,
Onde
fixo e
, e que este numero está entre 2,7 e 2,8, possui infinitas casas decimais e não é
uma dizima periódica. Solicite aos alunos que construam tabelas do tipo,
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9) Solicite aos alunos realização de uma pesquisa sobre as funções exponenciais cuja base é o número
e = 2,71, e que são muito próximos as números obtidos na tabela anterior, denominada base
Neperiana. Solicite que os alunos explorem historicamente o surgimento deste número.
10) Apos os alunos realizarem a pesquisa, passe a explorar as propriedades das funções exponenciais
com base Neperiana.
11) Explore exaustivamente a função exponencial do tipo
, onde a, b e c são constantes e
e=2,71, construindo seus gráficos e elaborando problemas contextualizados.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBID
SEQUÊNCIAS
ROTEIRO DE AULA
Nesta aula o aluno será levado a construída as progressões aritméticas e suas representações e a
realizada práticas.
1) Construa uma coleção de números que pode ser ordenada ou não;
2) Construa uma coleção de números ordenados;
3) Construa uma coleção de números não ordenados;
4) Construa uma coleção de números representando os horários para tomar um medicamento que um médico
indicou que fosse tomado de 3 em 3 horas a partir das 7:00 horas;
5) Construa uma coleção de números que represente a pontuação de uma premiação, em uma competição
esportiva, em que a pontuação começa com 100 pontos e diminui de 4 em 4;
6) Construa uma linguagem específica para estudar as coleções ordenadas;
7) Construa o conceito de sequência como uma função com domínio específico;
8) Construa uma classificação para as sequências (crescente e decrescentes);
9) Construa o conceito de sequencia que é uma progressão Aritmética, enfatize o elemento constante com razão
10) Estabeleça a forma iterativa de construir os termos de uma progressão aritmética,
11) Deduza a regra do termo geral de uma progressão aritmética. Motive os alunos a reconhecer com uma função
afim. Construa um gráfico representando os termos de uma Progressão aritmética como imagens de uma função
afim.
11) Apresente exemplos de Progressões aritméticas com razão negativa;
12) Estabeleça a metodologia de interpolação de termos em meios aritméticos, interprete com situações do
cotidiano.
13) Deduza a regra da soma dos termos de uma progressão aritmética, apresente vários exemplos e enfatize a
importância de se obter a soma de várias parcelas sem ser necessário somar todas as parcelas. Apresente um
exemplo em que é possível obter a soma de todos os números inteiros de 1 a 1000 sem ser necessário somar mil
parcelas.
14) De maneira semelhante construa uma progressão geométrica, enfatize o fato da razão ser positiva, diferente
de zero e de um.
15) Estabeleça uma comparação entre a progressão geométrica e a função exponencial.
16) A partir da recorrência na obtenção dos termos de uma P. G. obtenha a regra do termo geral. Enfatize os
casos em que a razão é maior que 1 e os casos em a razão está entre zero e um;
17) Deduza a formula da soma dos termos de uma Progressão Geométrica, enfatize os casos em que a razão é
maior que 1 e os casos em que a razão está entre 0 e 1. Observe que no caso da razão ser maior que 1 é
impossível obter a soma de infinitos termos de uma Progressão Geométrica, e que no caso da razão ser um
número entre zero e um é sempre possível determinar a soma dos termos de uma Progressão Geométrica com
infinitos termos. Enfatize a importância de ser possível determinar a soma de infinitas parcelas sem ser necessário
conhecer as infinitas parcelas.
18) Elabore vários exemplos explorando situações do cotidiano.