2a. lista de exercícios de Cálculo 3
1. Mostre que o número nito de pontos no plano tem conteúdo nulo.
2. Seja D, uma região do plano com contorno C dado pela curva fechada diferenciável. Seja f uma função
denida e limitada em D e contínua exceto nos números nitos de pontos. Mostre que f é integrável.
y2
4
3. Mostre que a região {(x, y) ∈ R2 : x2 +
4. Troque a ordem de integração de
Z
2
Z
−1
e
≤ 1} é limitada.
(x + y)dxdy .
1
5. Obtenha a expressão da integral repetida que fornece a integral da função na região especicada
(a) f (x, y) = x2 y . Região B = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x3 + 1}
xy
(b) f (x, y, z) = z+2
, Região: B = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
6. Rearranje as ordens de integração se, necessário e calcule a integral.
(a)
Z
1−x Z 1
0
(b)
Z
(xy)dxdy .
0
1Z x
0
exy dydx.
0
7. Troque a ordem de integração da integral dupla. Dica: esboce a região e fatie de novo.
(a)
(b)
Z
1
Z
2−x2
−1 x
Z 2Z e
−1
ey
(xy)dydx.
(ln y)dxdy .
8. Obter o valor da integral da função f (x, y) = x + y na região {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤
explicitando devidamente o processo.
x2
4
+
y2
9
≤ 2},
9. No exercício 8, considere a condição extra 0 ≤ y ≤ x na região e resolva novamente.
10. Considere a região B = {(x, y, z) ∈
R3
:x≥
0, x2
+
z2
4
≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}. Obtenha a
Z
(xy)dxdydz .
B
11. Usando coordenada esférica, obtenha a integral da função f (x, y, z) = xy + z na região B = {(x, y, z) ∈
R3 : x ≥ 0, z ≤ 0, x2 +
12. Seja B = {(x, y) ∈
R2
y2
4
+
z2
9
≤ 1}
: 0 ≤ x ≤ y, −1 ≤ y ≤ 1} e ϕ(x, y) = (y(x − 1), x + y). Obtenha
justicando devidamente.
Z
(xy)dxdy ,
ϕ(B)
13. Enuncie e explique o Teorema de Mudança de Variáveis para funções de duas e três variáveis.
14. Obtenha a fórmula para integração com coordenadas polares e cilíndricas.
15. Obtenha a fórmula para integração com coordenadas esféricas.
16. Com a técnica usado para coordenadas cilíndricas, obtenha a fórmula para a integração na região
delimitado pela cone esférica x2 + y 2 ≤ z 2 e pela condição 0 < a ≤ z ≤ b.
17. Obter a integral
Z
B
(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz onde B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤
1
2}
usando a técnica similar das coordenadas cilíndricas.
18. Considere a curva na coordenada polar dado por ρ(θ) = θ + 1, Esboce a curva paraθ ∈ [0, 2π] e obtenha
a coordenada cartesiana dela.
19. Obtenha a coordenada polar da reta y = x + 1. Dica: x = ρ cos θ e y = ρsenθ, com y = x + 1. Obter
ρ em função de θ.
20. Mostre que na coordenada polar,
∂(x,y)
∂(u,v)
=
21. Mostre que na coordenada polar,
∂(x,y)
∂(ρ,θ)
= ρ. Cuidado com a ordem das variáveis.
22. Seja x = au + c e y = bv + d. Calcule
23. Obtenha
1}.
RR
B
−∂(x,y)
∂(v,u) .
∂(x,y)
∂(u,v) .
xy 2 dxdy em termos da integral na região retangular, onde B = {(x, y) ∈ R2 :
x2
4
+
y4
9
≤
24. Obtenha o volume da região compreendida entre gráco da parábola z = x2 + y 2 e o plano z = 4.
25. Obtenha o volume da região delimitada pelo cilindro x2 + y 2 = 1, plano coordenada OXY e o plano
z = x + y.
26. Mostre que a área da região elíptica
27. Seja φ(x, y) = (x(1 + y),
x
1+y )
x2
a2
+
y2
b2
≤ 1 é igual a πab.
e B = {x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1 − x}. Escreva
Z Z
ex+y dxdy em termos
R=φ(B)
da integral repetida. Dica: efetue a mudança de variáveis, atribuindo a letra adequada para variáveis.
28. Seja Buv = [−1, 1] × [0, 1] = {(x, y) : −1
Z Z≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} e B = φ(Buv ) onde (x, y) = φ(u, v) é
2
2
dado por x = u v e y = uv . Obtenha
(x + y)dxdy .
B
29. Considere uma placa de densidade uniforme dado por x2 + y 2 ≤ r e y ≥ 0. Obtenha o centro de massa.
30. Obter o centro da massa do sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2} com a função densidade
δ(x, y, z) = xy + 2. Justicar devidamente.
31. Obter a energia da região B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} cuja densidade da energia
obedece a função f (x, y, z) = xy + 2. Justicar devidamente.