Vetores Aleatórios
Departamento de Informática
Modelagem Analítica
Disciplina: Modelagem Analítica do
Desempenho de Sistemas
de Computação
O conceito de v.a pode ser estendido facilmente
para o caso em que se associa a cada amostra de
Ω um ponto do espaço n-dimensional R n
A função x que mapeia os pontos de Ω em R n é
FDC Condicional
Função de Variável Aleatória
FDC Conjunta
denominada um vetor aleatório
aleatório..
x:
Prof. Sérgio Colcher
[email protected]
Ω → Rn
ω → x(ω )
x(ω )
Ω
ω
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2
Vetores Aleatórios
FDP Conjunta
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Modelagem Analítica
Modelagem Analítica
O mapeamento definido por um vetor aleatório
deve apresentar características semelhantes ao
mapeamento definido por uma v.a
v.a..
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fdp conjunta
Independência Entre Variáveis Aleatórias
Modelagem Analítica
Modelagem Analítica
As variáveis x1, …, xn são estatísticamente
independentes quando
n
Fx1 ... xn ( X 1 ,..., X n ) = ∏ Fxi ( X i )
i =1
Se as funções Fxi são diferenciáveis,
diferenciáveis, tem
tem--se como
condição equivalente de independência
n
f x1 ... xn ( X 1 ,..., X n ) = ∏ f xi ( X i )
i =1
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FDP Condicional
Funçao de Variável Aleatória
Modelagem Analítica
A F.D.P. de uma v.a. x condicionada à ocorrência de um
evento M é definida por
Fx|M ( X ) = P( x ≤ X | M )
P( x ≤ X , M )
=
; ( P( M ) ≠ 0)
P(M )
Modelagem Analítica
Já vimos que uma v.a.
real x é uma função
que atribui um valor
real x(ω) a cada ponto
amostra ω do espaço
Ω.
Considere agora uma
função real g definida
sobre os reais:
Variável Aleatória
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x: Ω→R
ω→R
ω
Ω
A
R
B
Medida de Probabilidade
g :R → R
x(ω ) → g [ x(ω ) ]
R
0
A
A
B
0
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1
R
Função de Variável Aleatória
Função de v.a.
Modelagem Analítica
Vamos analisar a
função composta
y = gox, cujo domínio é
R
0
Ω
x: Ω→R
y
y:Ω → R
ω→R
Modelagem Analítica
Considere uma v.a. y obtida pela função
• g = Fx(X)
Variável Aleatória
ω → g [ x(ω )]
0
A
Fy (Y ) = P( y ≤ Y )
1
ω
Ω
Fx é monotônica não decrescente:
Fy(Y)
= P( x ≤ X i )
Y 1
Fx(X)
[
= P x ≤ Fx−1 (Y )
R
B
[
• A existência de uma tal
função definida para todo
ω do espaço e que obedeça
as condições da definição
de v.a. implica em que y é
uma v.a
−1
x
= Fx F (Y )
Medida de Probabilidade
]
]
Fy (Y ) = Y
Xi
A
A
B
1
0
R
Fy é Uniforme entre 0 e 1
X
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Geração de Amostras Aleatórias
Geração de Amostras Aleatórias
(Método da Função Inversa)
(Método da Função Inversa)
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1. Gerar amostras aleatórias uniformemente
distribuídas no intervalo [0,1]
i.
conhecidas como números aleatórios
2. Para cada número x gerado no passo 1, aplicar
a função F-1(x)
Modelagem Analítica
Exemplo:
• Gerar amostras exponencialmente distribuídas, i.e.,
– Fx(X) = 1 – e-λX
Inversa:
(X ≥ 0)
r = Fx ( X ) = 1 − e − λX
r − 1 = −e − λX
1 − r = e −λX
− λX = ln(1 − r )
−1
X =
ln(1 − r ) = F −1 (r )
λ
−1
Logo, basta retornar F (r ) =
−1
ln(1 − r ) para cada número r
λ
gerado em um gerador de números aleatórios
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