X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO ACERCA DO DOMÍNIO DE UMA
FUNÇÃO COMPOSTA A PARTIR DE UMA ABORDAGEM GRÁFICA
Sandra Malta Barbosa1
Universidade Estadual de Londrina – UEL
[email protected]
Resumo: Este artigo apresenta um resultado de uma pesquisa que investigou como o
coletivo, formado por alunos e Tecnologias da Informação e Comunicação, produz o
conhecimento acerca do domínio de uma função composta a partir de uma abordagem
gráfica. Este resultado é relacionado à produção de dois alunos que trabalharam com uma
atividade que explorava a decomposição de uma função em duas funções componentes,
utilizando o recurso de animação de um software gráfico. A atividade proposta,
evidenciada pelo processo de visualização, possibilitou a geração de conjecturas acerca do
domínio de uma função composta a partir dos gráficos de possíveis funções componentes.
Este resultado mostra como a Matemática produzida por humanos com computadores é
qualitativamente diferente da produzida por humanos com papel e lápis.
Palavras-chave: Decomposição de Funções; Domínio de Função, Visualização;
Animação; Tecnologias da Informação e Comunicação.
INTRODUÇÃO
Neste trabalho o resultado apresentado é relativo à investigação acerca da produção
do conhecimento elaborado pelo coletivo formado pelos alunos e pelas Tecnologias da
Informação e Comunicação (TIC) ao explorar uma atividade relacionada ao domínio de
uma função composta a partir de uma abordagem gráfica. A metodologia adotada nessa
investigação foi a qualitativa (ALVES-MAZZOTTI, 1999; ARAÚJO; BORBA, 2004),
pois, trata-se de um estudo em que o objeto está pautado a partir da perspectiva do
indivíduo. Como procedimento de coleta dos dados foi utilizado experimentos de ensino
(STEFFE; THOMPSON, 2000) com alunos ingressantes no Curso de Matemática, de uma
Universidade do Estado de São Paulo, e que estavam cursando a disciplina Cálculo I.
1
Docente da Universidade Estadual de Londrina (UEL). Doutorado (2009) pela UNESP – Rio Claro (SP).
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Interpretar o que os alunos dizem e fazem, por meio de um diálogo desencadeado a
partir das atividades e das questões elaboradas pelo pesquisador, em uma tentativa de
entender como eles elaboram seus conceitos matemáticos, é parte essencial em pesquisas
desenvolvidas através de experimentos de ensino. Sendo assim, uma atividade foi proposta
com o intuito de analisar como o coletivo, formado pelos alunos e o software Winplot,
explora a decomposição de uma função composta em duas outras funções, aqui
denominadas de funções componentes. O desenvolvimento da atividade proposta
possibilitou a verificação do domínio uma função composta a partir das representações
gráficas. O software adotado nessa investigação condicionou a visualização dos gráficos
das funções componentes e a geração de uma conjectura acerca do domínio da função
composta.
REFERENCIAL TEÓRICO
A abordagem visual de um conceito matemático pode ser considerada, atualmente,
como um dos elementos que caracterizam novos modos ou estilos de produção do
conhecimento. Para Guzmán (2002), o uso da visualização é benéfico do ponto de vista da
apresentação para outros e a manipulação ao resolver problemas.
Visualização surge deste modo, não só como algo absolutamente natural
no nascimento do pensamento matemático, mas também na descoberta de
novas relações entre objetos matemáticos e, também, no processo de
transmissão e comunicação que é próprio à atividade matemática.
(GUZMÁN, 2002, p.2-3).
A visualização surge com um peso de interpretação, codificação e decodificação, o
qual intervém um mundo inteiro de intercâmbios pessoais e sociais. Em Villarreal (1999) e
Borba e Villarreal (2005) podemos encontrar uma vasta literatura sobre este tema. Para
esses autores, o componente visual parece ser o principal foco desde que os computadores
passaram a ter monitor de vídeo. A visualização, realçada pelas TIC, pode alcançar uma
nova dimensão, onde a animação, proporcionada pelos recursos computacionais, constitui
um elemento primordial, quando as imagens são vistas de forma dinâmica e interpretadas
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pelos alunos em outras formas de produzir o conhecimento. A abordagem gráfica, na
produção do conhecimento acerca de função composta, potencializada pelas TIC,
constituiu uma alternativa à abordagem estritamente algébrica.
Ao se constituir um ambiente com computador, existem várias maneiras de usá-lo
na produção do conhecimento. Para Borba e Villarreal (2005), os computadores e humanos
não são considerados separadamente, constituindo-se unidades disjuntas. Para os autores,
os computadores não são apenas assistentes dos humanos ao se fazer Matemática, pois eles
mudam a natureza do que é feito, sugerindo que diferentes coletivos de humanos com
mídias produzem diferentes matemáticas. Por exemplo, a Matemática produzida por
humanos com papel e lápis é qualitativamente diferente da produzida por humanos com
computadores, a partir de simulações e experimentações. Borba e Villarreal (2005), ao
proporem que a produção do conhecimento ocorre a partir da noção de coletivo pensante
seres-humanos-com-mídia, fundamentam-se nas idéias de reorganização de Tikhomirov
(1981) e na visão de coletivo pensante de Lévy (1993).
A teoria de reorganização, proposta por Tikhomirov (1981) baseia-se na idéia de
que a ferramenta não é simplesmente adicionada à atividade humana, mas transforma-a. O
autor defende que os processos mentais, no ser humano, mudam quando os processos da
atividade prática mudam. “Como resultado do uso do computador, a transformação da
atividade humana ocorre e novas formas de atividades emergem” (TIKHOMIROV, 1981,
p.271). O autor argumenta que o computador proporciona novas possibilidades à atividade
humana, como feedbacks e resultados intermediários que não podem ser observados
externamente e, assim, o processo de produção do conhecimento é modificado. A estrutura
da atividade intelectual humana é alterada pelo uso do computador, reorganizando os
processos de criação, de busca e de armazenamento de informações.
Para Lévy (1993), o conhecimento é produzido pela simulação e pela
experimentação. A manipulação dos parâmetros e a simulação de todas as circunstâncias
possíveis dão ao usuário de um programa uma espécie de intuição, e de imaginação, sobre
as relações de causa e efeito presentes em um determinado modelo. O autor enfatiza que na
medida em que a informatização avança, melhorando suas interfaces, novas habilidades
aparecem e a cognição se transforma. Para o autor nenhum tipo de conhecimento é
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independente do uso das tecnologias intelectuais (oralidade, escrita e informática) e só é
possível pensar dentro de um coletivo, pois o pensamento já é a realização desse coletivo.
No que tange a construção do conhecimento matemático, Steinbring (2005) defende
que este não é previamente dado, mas construído por meio de atividades sociais e
interpretações individuais no qual está conectado com o contexto social, onde são
desenvolvidos sinais e símbolos. Para o autor, aprender matemática requer olhar
matemática como processo ativo de construção, no qual, através da interpretação interativa
dos conceitos e notações matemáticos, se desenvolve o novo conhecimento.
METODOLOGIA
O experimento de ensino foi realizado com uma dupla de estudantes que
desenvolveu uma atividade e para este estudo apresento a análise do coletivo formado pela
dupla de estudantes, Victor e Franciele, a atividade e o software Winplot. A atividade
proposta consistiu em, dada uma função h x
g que compõem a função h x
ax 2
bx c , tentar descobrir as funções f e
f g x , fazendo simulações pela inserção das funções f e
g e variando os coeficientes a, b e c.
Essa atividade foi desenvolvida por Victor e Franciele, que trabalharam com várias
funções, porém não se lembram da definição de função composta acerca do domínio. Isto
é, sendo A, B e C conjuntos e sendo as funções g : A
h:A
C tal que h x
B e f :B
C . A função
f g x , com x A , é chamada de função composta da função
f com a função g. O domínio da função h é o conjunto de todos os números x, no domínio
da função g, tal que g x esteja no domínio da função f, ou seja, Im g
Df .
Segundo Lucus (2006), as características essenciais apresentadas pelos estudantes
denotam uma abordagem mecânica no tratamento de composição de funções. A referência
à definição de função, domínio e imagem como um pré-requisito, parece ser um “reflexo
mecânico” em oposição ao conhecimento conceitual dos tópicos matemáticos. Embora em
alguns livros de Cálculo, seja enfatizado que a composição da função f com a função g só é
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possível se a restrição Im g
D f for válida, parece que essa restrição não é levada em
conta diante de uma atividade que se pede para calcular a composição de duas funções.
Depois de algumas tentativas, Victor e Franciele escreveram a função
fog x
a x
4
b x
função f como f x
Franciele
fog x
2
c
4
x ea
ax4 bx2 c . Porém, ao inserir essas funções no Winplot, Victor e
obtiveram
a x
ax2 bx c , denotando a função g como g x
b x
2
o
c
gráfico
da
função
composta
ax2 bx c que, no entanto, teve uma diferença em
relação ao que se esperava que acontecesse, pois somente uma parte do gráfico da
composta se sobrepôs ao gráfico da função h x
Figura 1. Gráficos das funções h x
(vermelho), f x
ax2 bx c , conforme Figura 1.
ax2 bx c com b 0 e c 0 (azul), g x
ax4 bx2 c (verde) e f g x
a x
4
b x
2
x
c (vinho).
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Ao serem questionados se o gráfico da função h x
função f g x
a x
4
b x
2
ax2 bx c era o mesmo da
c , Victor e Franciele responderam que seria apenas o
lado direito.
Victor: Só do lado de cá [apontando para o lado direito].
Sandra: Como você sabe?
Victor: Por causa da cor.
Sandra: Por quê?
Victor: Se x for negativo...
Francielle: Se a for negativo...
Mas ao animarem o parâmetro a, notaram que isso não alterava a função.
Victor: Só vale pra x positivo, que se for pra x negativo... ela [função composta
f g x
a x
4
b x
2
c ] ficou igualzinha a função [função h x
ax2 bx c ] só
que pra x positivo, né!
Sandra: Porque será que isso acontece?
Victor: Porque ta na raiz né...
Sandra: E isso altera alguma coisa?
Victor: Não... porque aí o x... se o x for negativo... vai dar positivo do mesmo
jeito... ele vai elevar ao quadrado.
Percebe-se que Victor tinha uma percepção do domínio da função, porém não sabia
se expressar formalmente.
Victor: Eu tinha pensado assim... Se você elevar o x ao quadrado e fizer raiz
quarta, mas também daí não vai dar negativo... vale pra x negativo... mas aí não vai dar
diferente o gráfico.
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Victor inseriu uma mudança da função f. Modificou a função g x
g x
4
x 2 , e ao compor com a função f x
f g x
composta
hx
f g x
a
4
x
4
2
b
4
x
2
x para
ax4 bx2 c , obteve o gráfico da função
2
c , coincidindo com o gráfico da função
ax2 bx c , para b 0 . Para valores b 0 , o gráfico da função composta
a
4
x2
4
b
4
x2
somente para valores de x
2
c coincidia com o gráfico da função h x
ax2 bx c
0 . Podemos notar que embora não fosse esse o objetivo dessa
atividade, os alunos inferiram sobre outras funções e puderam constatar algumas
conjecturas acerca de domínio e imagem de funções compostas.
A Figura 1 mostrou uma imagem estática do Camtasia Studio, no qual os gráficos
foram gerados pelo Winplot e os alunos estavam sendo filmados. Os gráficos das funções
hx
ax2 bx c com b 0 e c 0 , g x
(verde) e f g x
a x
4
b x
2
x (vermelho), f x
ax4 bx2 c
c (vinho), foram gerados pelo recurso do Winplot.
A experimentação deste padrão gráfico possibilitou a confrontação de uma abordagem
algébrica com uma abordagem gráfica, onde foi possível perceber a necessidade de se
considerar a restrição Im g
D f na definição de uma função composta h x
f g x .
CONCLUSÃO
Este episódio mostra que o recurso de animação do software Winplot teve um papel
fundamental na verificação da restrição Im g
hx
D f na definição de uma função composta
f g x , pois o gráfico pôde ser manipulado de forma dinâmica. Essa dinamicidade
possibilitou aos alunos confrontarem as representações algébricas e gráficas, e a
observação e a análise desse confronto foram feitas junto com o computador, sugerindo
que conhecimento, acerca da definição de uma função composta h x
f g x , levando
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em conta a restrição Im g
D f , foi produzido por um coletivo seres-humanos-com-mídias
assim como sustentam Borba e Villarreal (2005).
Além disso, podemos perceber que os estudantes, embora já soubessem a definição
de função composta, foram confrontados em um processo ativo de construção, no qual,
através da interpretação interativa dos conceitos e notações matemáticos, desenvolveram
um novo conhecimento, assim como defende Steinbring (2005).
Concordando com os autores supracitados, entendo que não é o ser humano sozinho
que pensa, mas o coletivo, formado por humanos e mídias, é que pensa. E nesse sentido
todo o ambiente físico, as pessoas, as TIC e o conteúdo, com sua interpretação ativa,
interagem na produção do conhecimento. Nesse processo, muitas vezes, existe uma
mudança, qualitativamente diferente para cada mídia e, dependendo do feedback,
novamente repenso tudo, em um movimento. Entendo essa mudança como proposto por
Tikhomirov (1981), uma reorganização, que transforma toda a atividade humana, e
consequentemente, a produção do conhecimento acerca da composição de funções.
REFERÊNCIAS
ALVES-MAZZOTTI, A. J. O método nas ciências sociais. In: ALVES-MAZZOTTI, A. J.;
GEWANDSZNAJDER, F. O método nas ciências naturais e sociais: pesquisa quantitativa
e qualitativa. 2.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 1999. Parte II, p.107-188.
ARAÚJO, J. L.; BORBA, M. C. Construindo pesquisas coletivamente em educação
matemática. In: BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. (Org.) Pesquisa qualitativa em educação
matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. Cap.1, p.25-45. 120 p. (Coleção Tendências
em Educação Matemática, 9).
BORBA, M. C.; VILLARREAL, M. E. Humans-with-media and the reorganization of
mathematical thinking: information and communication technologies, modeling,
experimentation and visualization. New York: Springer, 2005. 232 p. (Mathematics
Education Library, 39).
GUZMÁN, M. The role of visualization in the teaching and learning of mathematical
analysis. In: International Conference on the Teaching of Mathematics at the
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Undergraduate Level, 2., 2002, Hersonissos. Proceedings of 2nd International Conference
on the Teaching of Mathematics at the Undergraduate Level. Hersonissos: University of
Crete, 2002. p.1-24. Disponível em: <http://www.math.uoc.gr/~ictm2/> Acesso em: 9 mai.
2007.
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática.
Tradução de C. I. Costa. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1993. 208 p. (Coleção Trans).
LUCUS, C. A. Is subject matter knowledge affected by experience? The case of
composition of functions. In: Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education, 30., 2006, Prague, Proceedings 30th Conference of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education. Prague: PME, 2006.
v.4, p.97-104.
STEFFE, L. P.; THOMPSON, P. W. Teaching experiment methodology: underlying
principles and essential elements. In: LESH, R.; KELLY, A. E. Research Design in
Mathematics and Science Education. Hillsdale: Erlbaum, 2000. p.267-307.
STEINBRING, H. The construction of new mathematical knowledge in classroom
interaction: an epistemological perspective. Dordrecht: Springer, 2005. 236 p.
(Mathematics Education Library, 38).
TIKHOMIROV, O. K. The psychological consequences of computerization. In:
WERTSCH, J. V. (Ed.) The concept of activity in sovietc psychology. New York: M. E.
Sharpe, 1981. p.256-278.
VILLARREAL, M. E. O pensamento matemático de estudantes universitários de cálculo e
tecnologias informáticas. Rio Claro, 1999. 402 f. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista
“Júlio de Mesquita Filho”.
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