3. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJ. IMAGEM
CAPÍTULO 2
FUNÇÕES
1. INTRODUÇÃO
Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso
cotidiano dependem uma da outra, isto é, a variação
de uma delas tem como conseqüência a variação da
outra.
Exemplo 1: Tio João vende maravilhosos “chupchup” ao preço de R$ 0,80 cada. Para não ter de
fazer contas a toda hora, ela montou a seguinte
tabela:
Quantidade
Valor (R$)
1
0,80
2
3
...
1,60 2,40
10
8,00
Nesse exemplo estão sendo medidas duas
grandezas: a quantidade de “chup-chup” e o
respectivo valor. A cada quantidade de “chup-chup”
corresponde um único valor.
Dizemos, por isso, que o preço é função da
quantidade de “chup-chup”.
Assim, a fórmula matemática que estabelece a
relação de interdependência entre o valor (y) e a
quantidade (x) será:
y = 0,80.x
2. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DE A EM B ( f: A  B)
DOMÍNIO: O Domínio de uma função f: A  B , é o
conjunto formado pelos elementos do conjunto A, ou
seja, D( f ) = A = { – 1 , 1 , 2 , 3 }.
CONJUNTO IMAGEM:
O Conjunto Imagem de uma função f: A  B , Im( f ),
é o conjunto formado pelos elementos do
contradomínio (B) que estão associados a elementos
do domínio D( f ) = A.
Im( f ) = { 0 , 3 , 8 }.
CONTRADOMÍNIO: Na função f: A  B , é o
Contradomínio é o conjunto B
NUMA FUNÇÃO:
“cada elemento do domínio está associado a uma e
somente uma imagem no contradomínio”.
4. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Sejam A e B conjuntos não vazios.
Uma função f, de A em B, é uma relação que associa
a cada elemento de A uma e somente uma imagem
em B.
Toda função f: A  B é uma relação, entretanto, nem
toda relação R: A  B é uma função.
Abaixo, as figuras 1 e 2 são exemplos de relações
que são funções de A em B, e as figuras 3 e 4 são
exemplos de relações, de A em B, que não são
funções.
4.1. RECONHECIMENTO GRÁFICO DE FUNÇÃO
Observações:
1) A figura 3 não representa uma f: A  B, pois existe
um elemento do conjunto A que não está associado a
nenhum elemento do conjunto B;
2) A figura 4 não representa uma f: A  B, pois um
elemento do conjunto A está associado a mais de um
elemento do conjunto B.
É FUNÇÃO
NÃO É FUNÇÃO
Para ser função, cada elemento “x” do domínio só
poderá estar associado a um e somente um elemento
“y” do conjunto imagem do contradomínio.
4.2. RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO
Dada uma função y = f(x), os valores de x para os
quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros dessa
função. No exemplo acima x1 , x 2 e x 3 são as raízes
da função em questão.
3. (Fuvest-SP adaptada) A figura a seguir representa
xa
, para
o gráfico de uma função da forma f ( x ) 
xb
1  x  3 .
a) Determine os valores de a e b.
b) Calcule f (3)  f ( 1) .
EXERCÍCIOS – SÉRIE AULA
1. (Unicamp-SP) O preço unitário de um produto é
dado por:
k
p   10 ,
para n  1
n
onde k é uma constante e n é o número de unidades
adquiridas.
a) Encontre o valor da constante k, sabendo-se que
quando foram adquiridas 10 unidades, o preço unitário
foi de R$ 19,00.
b) Com R$ 590,00, quantas unidades do referido
produto podem ser adquiridas?
4. (UFCE) Uma espécie animal, cuja família inicial era
de 200 elementos, foi testada num laboratório sob a
ação de uma certa droga, e constatou-se que a lei de
sobrevivência entre esta família obedecia à relação
n( t )  at 2  b , onde n(t) é igual ao número de
elementos vivos no tempo t (dado em horas) e a e b,
parâmetros que dependiam da droga ministrada.
Sabe-se que a família desapareceu (morreu o último
elemento) após 10 horas do início da experiência.
Determine quantos elementos tinha esta família após
8 horas do início da experiência.
2. (Americano 2010) O gráfico de uma função f(x) é
dado a seguir. Quais as raízes ou zeros de f(x)?
TESTES SÉRIE CASA (CAPÍTULO 2)
1. (UFPA 2007) Em um jornal de circulação nacional
foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com
os percentuais, em função do ano, de famílias
compostas por pai, mãe e filhos, chamadas famílias
nucleares, e de famílias resultantes de processos de
separação ou divórcio, chamadas novas famílias.
Sabendo-se que os gráficos abaixo representam, a
partir de 1987, a variação percentual desses dois tipos
de família, com suas respectivas projeções para anos
futuros,
3. (UFPB) O gráfico abaixo mostra a variação do
volume V, em m3, de um recipiente em função do
tempo t, dado em minutos, a partir de um tempo inicial
t =0.
Com base nesse gráfico, é correto afirmar:
a) O recipiente estava, inicialmente, vazio.
b) O volume do recipiente começou a aumentar,
somente após os 4 minutos iniciais.
c) O volume mínimo do recipiente foi 1m3.
d) O recipiente estava, no terceiro minuto, com o
volume máximo.
e) O volume atingiu o mínimo, nos 4 minutos iniciais.
4. (Americano 2010) O gráfico representa, em
milhares de toneladas, a produção laranjas na
fazenda do professor Rubão (Colatina-ES) nos anos
de 2000 a 2008.
é correto afirmar:
a) No ano 2030, o número de novas famílias
igual ao de famílias nucleares.
b) No ano 2030, o número de novas famílias
menor do que o de famílias nucleares.
c) No ano 2030, o número de novas famílias
maior do que o de famílias nucleares.
d) No ano 2015, o número de novas famílias
igual ao de famílias nucleares.
2. (UFRGS 2006) Considere o gráfico abaixo, que
apresenta a taxa média de crescimento anual de
certas cidades em função do número de seus
habitantes.
será
será
será
será
Analisando o gráfico, observa-se que a produção:
a) foi crescente de 2002 a 2005.
b) cresceu linearmente de 2000 a 2003.
c) em 2003 teve acréscimo de 30% em relação ao ano
anterior.
d) a partir de 2005 foi decrescente.
e) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
A partir desses dados, pode-se afirmar que a taxa
média de crescimento anual de uma cidade que
possui 750.000 habitantes é
a)
b)
c)
d)
1,95%.
2,00%.
2,85%.
3,00%.
5. (UNESP) Um ônibus parte da cidade A com destino
à cidade B. Em cada instante t, medido em horas, a
distância que falta percorrer até o destino é dada, em
quilômetros, pela função D, definida por
 t7

D( t )  40   2
 1 .
t

1


Com base nessas informações, pode-se estimar que o
tempo gasto por esse ônibus para ir de A até B, em
horas, é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
6. (Enem 1999) Para convencer a população local da
ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na
expansão da oferta de linhas, um político publicou no
jornal local o gráfico I, abaixo representado. A
Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois
o gráfico II, onde pretende justificar um grande
aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período
considerado, foram instaladas, efetivamente, 200
novas linhas telefônicas.
a média aritmética das populações das cinco maiores
megalópoles era igual a 22,3 milhões de pessoas,
pode-se concluir que a população de Mumbai, na
Índia, era, em 2007, de
a) 18,9 milhões de habitantes.
b) 19,0 milhões de habitantes.
c) 19,8 milhões de habitantes.
d) 20,3 milhões de habitantes.
e) 20,7 milhões de habitantes.
8. (FUVEST-SP 2009) O índice de Desenvolvimento
Humano (IDH) é um indicador do nível de
desenvolvimento socioeconômico de um dado país
que leva em conta, simultaneamente, diversos
aspectos, tais como expectativa de vida, índice de
mortalidade infantil, grau de escolaridade e poder de
compra da população. A relação entre o consumo
anual de energia per capita (TEP) e o IDH, em vários
países, está indicada no gráfico abaixo, no qual cada
ponto representa um país.
Analisando os gráficos, pode-se concluir que
a) o gráfico II representa um crescimento real maior
do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II
incorreto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o
gráfico I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois
gráficos decorre da escolha das diferentes escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam
escalas diferentes.
7. (UFABC-SP 2009) Um século atrás, as maiores
cidades concentravam-se nas nações mais ricas.
Hoje, quase todas as megalópoles (aglomerados
urbanos com mais de 10 milhões de habitantes) estão
localizadas em países em desenvolvimento. O quadro
lista alguns valores das populações nas grandes
áreas metropolitanas das dez maiores cidades, em
milhões de habitantes, em 2007.
Sabendo-se que em 2007 Nova York, Cidade do
México e Mumbai tinham as populações iguais, e que
Com base nesse conjunto de dados, pode-se afirmar
que
a) o IDH cresce linearmente com o consumo anual de
energia per capita.
b) o IDH aumenta, quando se reduz o consumo anual
de energia per capita.
c) a variação do IDH entre dois países é inferior a 0,2,
dentre aqueles, cujo consumo anual de energia per
capita é maior que 4 TEP.
d) a obtenção de IDH superior a 0,8 requer consumo
anual de energia per capita superior 4 TEP.
e) o IDH é inferior a 0,5 para todos os países com
consumo anual de energia per capita menor que 4
TEP.
9. (PAS-USP 2009) Os gráficos a seguir mostram a
presença de álcool,detectada no sangue de 3 homens
adultos, que pesam, em média 75 Kg. As curvas
ilustram como seria a variação da concentração de
álcool no sangue, em função do tempo, após a
ingestão de cerveja.
Escolha a alternativa que indica quanto tempo leva,
aproximadamente, para que a concentração de álcool,
detectada no sangue, volte a ser inferior a 0,1 g/l,
após o consumo, de forma ininterrupta, de 2, 3 e 4
latas de cerveja, respectivamente.
a) 1 hora, 1 hora e meia, 2 horas.
b) 1 hora e meia, 2 horas, 4 horas.
c) 2 horas, 3 horas, 4 horas.
d) 2 horas, 4 horas, 5 horas e meia.
e) 3 hora, 5 horas, 7 horas.
10. (ENEM 2009 cancelado) A importância do
desenvolvimento da atividade turística no Brasil
relaciona-se especialmente com os possíveis efeitos
na redução da pobreza e das desigualdades por meio
da geração de novos postos de trabalho e da
contribuição para o desenvolvimento sustentável
regional.
No gráfico são mostrados três cenários – pessimista,
previsível, otimista – a respeito da geração de
empregos pelo desenvolvimento de atividades
turísticas.
Sabendo que todos os animais são nativos da própria
reserva e que nenhum deles jamais foi retirado de lá,
pode-se concluir que, durante esse estudo, o número
de nascimentos foi igual ao número de mortes de
animais no intervalo:
a) de 0 a 2 anos.
b) de 2 a 4 anos.
c) de 4 a 6 anos.
d) de 7 a 9 anos.
e) de 10 a 12 anos.
12. (FGV-SP 2008) “Receita bate novo recorde e
acumula alta de quase 10%.” Esta foi a manchete dos
jornalistas Fabio Graner e Gustavo Freire para O
Estado de S. Paulo de 19 de outubro de 2007. O
corpo da matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo,
informa que “a arrecadação da Receita federal em
setembro totalizou R$ 48,48 bilhões, um recorde para
o mês. De janeiro a setembro ficou em R$ 429,97
bilhões que, corrigidos pela inflação, somam R$
435,01 bilhões, com crescimento de 9,94% ante o
mesmo período de 2006. O secretário adjunto da
Receita Federal destacou que, de janeiro a setembro,
a expansão das receitas, na comparação com igual
período de 2006, foi de 11.14%”.
De acordo com o gráfico, em 2009, o número de
empregos gerados pelo turismo será superior a
a) 602.900 no cenário previsível.
b) 660.000 no cenário otimista.
c) 316.000 e inferior a 416.000 no cenário previsível.
d) 235.700 e inferior a 352.800 no cenário pessimista.
e) 516.000 e inferior a 616.000 no cenário otimista.
11. (Americano 2010) Na propriedade rural do
brasileiro megalatifundiário Rubão (Colatina-ES) um
estudo de 12 anos analisou a variação do número de
animais silvestres em uma reserva. Essa variação é
descrita pelo gráfico a seguir:
Pode-se concluir, então, que:
a) a arrecadação da Receita Federal, de janeiro a
setembro de 2007, foi crescente.
b) em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou
10% a mais do que foi arrecadado em setembro de
2006.
c) a arrecadação de setembro de 2007 foi 11,14%
maior que a de janeiro de 2007.
d) em 2007, a arrecadação foi crescente nos períodos
de fevereiro a abril, e de maio a agosto.
e) no período de julho a setembro de 2007, a
arrecadação da Receita Federal foi decrescente.
13. (UFSM-RS 2009) A internet tem-se tornado
mundialmente um instrumento eficaz de informação
do homem moderno. Utilizando a internet, pode-se
conhecer a cultura de um povo, olhar museus, fazer
pesquisas sobre artes, ciências, política, etc.
A figura a seguir, publicada na revista Veja em
17/12/2008, mostra como são feitas as buscas na
internet.
Sob as mesmas normas previstas com a tabela dada,
qual será o valor do imposto de renda mensal que
deverá ser pago por um trabalhador que tenha R$
8.000 de salário?
a) R$ 2.200,00
b) R$ 1.250,00
c) R$ 1.537,15
d) R$ 1.662,85
e) R$ 1.862,85
15. (FURG-RS 2005) Um certo provedor de Internet
cobra R$50,00 ao mês para oferecer serviço de
acesso à Internet por tempo ilimitado. Considere que
a companhia telefônica local possui um sistema de
cobrança pelo uso da linha telefônica conforme
apontado no gráfico abaixo, isto é, durante as
primeiras 100 horas de uso o preço é de R$0,05 ao
minuto; para os minutos seguintes consumidos na
faixa subseqüente de 100 a 200 horas, o preço do
minuto cai para R$0,04 e assim sucessivamente até
que, a partir de 500 horas, o serviço de telefonia
passa a ser gratuito, conforme demonstra o gráfico.
De acordo com os dados da figura, o número de
buscas na internet, feitas mensalmente, é, em bilhões,
aproximadamente igual a
a) 50.
b) 60,50.
c) 83,33.
d) 100.
e) 100,66.
14) (Americano 2010) A tabela do imposto de renda
sobre o salário mensal de um trabalhador e mostrada
abaixo:
IMPOSTO DE RENDA – Tabela Progressiva
Mensal (2009)
Faixa de rendimento
Alíquota
Dedução
Até R$ 1.434
0% (isento)
–
De R$ 1.434 a R$ 2.150
7,5%
R$ 107,55
De R$ 2.150 a R$ 2.866
15%
R$ 268,80
De R$ 2.866 a R$ 3.582
22,5%
R$ 483,75
Acima de R$ 3.582
27,5%
R$ 662,85
O imposto de renda mensal pago por um trabalhador
que tenha R$ 1.800,00 de salário é calculado
conforme procedimento discriminado no quadro
abaixo:
Imposto Mensal Pago = 7,5% do Salário – Valor da
Parcela a Deduzir
Imposto Mensal Pago = 7,5% de R$ 1.800,00 – R$
107,55
Imposto Mensal Pago = R$ 135,00 – R$ 107,55
Imposto Mensal Pago = R$ 27,45
Se o usuário ficar conectado durante todo o mês de
janeiro de 2005, a soma das despesas com o
provedor e com a companhia telefônica será de
a) R$ 75,00.
b) R$ 950,00.
c) R$ 744,00.
d) R$ 150,00.
e) R$ 250,00.
GABARITO – EXERCÍCIOS - SÉRIE AULA
CAPÍTULO 2
1) a) k = 90
b) 50 unidades.
2) – 4; 1; 3 e 5.
16
3) a) a = – 2 e b = 2. b)
.
5
4) 72
GABARITO – TESTES - SÉRIE CASA
CAPÍTULO 2
1
C
6
D
11
E
2
C
7
B
12
E
3
D
8
C
13
C
4
E
9
D
14
C
5
A
10
E
15
B