ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES COM PERIMETRO
CONSTANTE – DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA
Antônio dos Santos filho
[email protected]
Rita de Cássia Barbosa Arouca
[email protected]
Universidade Católica do Salvador – UCSal
I. OBJETIVO GERAL
Demonstrar através de uma abordagem não padronizada da geometria plana, que
de todas as figuras com um dado perímetro o circulo é o de maior área.
II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
•
Comparar as Áreas de superfícies de polígonos regulares com perímetro
constante;
•
Mostrar que a Área é uma função do número de lados de um polígono regular
(perímetro constante);
•
Estabelecer uma fórmula para calcular a Área de um polígono regular, convexo
de perímetro nl.
III. - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Uma parte considerável do curso intitulada Oficina de Ensino de Matemática,
que se realiza desde de 1995, desenvolvido em 80 horas, É destinado ao trabalho com
Geometria, com destaque para a parte experimental, que inclui dentre alguns conceitos o
de perímetro e o de área de superfície plana.
Uma das atividades práticas consiste em distribuir 16 metros de barbante para os grupos
de professores cursistas, para que sejam demarcadas superfícies, de forma mais
conveniente para cada grupo. De um modo geral as formas são quadriláteros, embora a
forma triangular, pentagonal, hexagonal apareça. A etapa que se segue á percepção dos
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professores quanto á variação de quantidade de superfície, com a mesma quantidade de
contorno. Isto é, áreas distintas para o mesmo perímetro.
Essa constatação fica mais evidenciada, quando sugerimos ocupar a superfície
com os próprios professores. Dependendo da forma geométrica escolhida pelos grupos,
um número variável de professores preenche totalmente, a superfície demarcada, 10 a
12 professores, por exemplo, são suficientes para o preenchimento de algumas das
figuras construídas; em outros casos, temos um número variando de 12 a 15, 15 a 20, 20
a 25 professores, necessários para a ocupação total. Os professores se divertem ao
perceberem que dependendo da figura selecionada um grupo menor ou maior de colegas
podem sentir-se abraçados dentro da superfície. As brincadeiras, os risos são constantes
na realização da prática.
A parte intuitiva dessa atividade É concluída, quando sugerirmos, ocupar a
maior superfície através da borda, fazendo-se movimentos de tal forma, que a superfície
considerada se aproxime da forma circular. O que observamos é que o grupo, formado
em média por 35 professores, ocupa a superfície, sobrando ainda alguma parte. Numa
fase posterior em sala de aula, discutimos a atividade realizada com o barbante e
passamos a trabalhar com modelos recortados com cartolina para demonstrar de modo
experimental as fórmulas de áreas dos polígonos notáveis.
Em relação á desigualdade, comparamos os polígonos regulares de 3, 4, 6 e 8
lados, respectivamente, com o círculo, todos com o mesmo perímetro. A partir daí, duas
principais conclusões são constatadas pelo grupo:
1 - O crescimento da área é uma função do número de lados;
2. - O círculo como polígono limite, quando o número de lados tende para o infinito é o
que tem área máxima.
Consideremos os seguintes polígonos regulares (todos eles de perímetro
constante L):
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1 - Triângulo Eqüilátero
2 – Quadrado
3
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4
3 - Hexágono Regular
De At ≅ 0,433 a²
e
Ah ≅ 0,65 a² concluímos que Ah = 1,5 ou seja, o
hexágono possui 50% a mais de superfície.
3.2 - Sejam o quadrado e o hexágono:
Aq=b2
P = 4b = 6c
Ah = 3/2 c² •3
Daí,
c = 2/3 b
.
Comparando,
Aq=b2
e
Ah = 1,15555b2 temos:
Ah = 1,15 Aq.
Ou seja, o hexágono regular possui aproximadamente 15% a mais de superfície.
4 - Octógono Regular
P = 8d
d → medida do lado
Ao= 2d² (1 + 1 •2 )
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5 - Círculo
5.1 - Comparando o círculo com o triângulo eqüilátero temos:
Ac = πR²
P = 2πR
At = a² • 3 / 4
R = 3a / 2π
5
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6
Como At ≅ 0,433a², conclui-se que Ac ≅ 1,65 At . Ou seja, o círculo possui 65%
a mais de superfície.
6 - Curva de Crescimento
An recebe os valores verticalmente 0,00 a 0,80, iniciando de baixo para cima
1
2
3
4
5
6
7
8
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7
7 - A área de um Polígono Regular em função do número de lados
An= ƒ (n)
Consideremos um polígono regular convexo de n lados com perímetro 2p fixo.
• = AÔB / 2 ;
•
n• = π
;
• •= π/n
;
Consideremos o triângulo retângulo OCB temos que: an = BC / tg a segue,
tg a = BC / OC.
p / n = l n / 2 logo,
A expressão da área An do polígono de n lados será:
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8 - A área An cresce em função de n.
A seqüência n. tg (π/n)
decrescente e (n = 3, 4, 5, ...).
Polígono (n) 5 tg π / 5
3
4
3 tg π / 3
3,6325
0,2753p2
0,7265
3•3
0,1924p2
•3
0,25p2
1
0,2753 p2
0,7265
4 tg π / 4
4
5
5 tg π / 5
3,6325
6
6 tg π / 6
3,4641
0,2887p2
0,57735
8
8 tg π / 8
3,3136
0,3018 p2
0,41421
10
10 tg π / 10
3,2492
0,3078 p2
0,32492
12
12 tg π / 12
3,1895
0,3135 p2
0,26795
15
15 tg π / 1 5
0,3137 p2
0,21250
20
f3 tg π / 3
3•3
0,3157p2
0,15838
24
4 tg π / 4
4
0,3165p2
0,13165
30
5 tg π / 5
3,6325
36
6 tg π / 6
3,4641
180
180 tg π / 180
nℜ→+ℜ∞
3,1875
3,142
0,3171p2
0,10510
0,3175p2
0,08749
0,3182 p2
0,01746
8
é estritamente
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9) Área dos Polígonos de lado n = 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 36 e área do
círculo.
Perímetro constante. 2p = 48
Medida ln
Polígono com n
lados
Perímetro
16
3
2p = 48 • p = 24
A3 = 576 x 0,1924 = 110,82
12
4
p = 24
A4 = 576 x 0,25 = 144
8
6
p = 24
A6 = 576 x 0,2887 = 166,3
6
8
p = 24
A8 = 576 x 0,3018 = 173,8
4,8
10
p = 24
A10 = 576 x 0,3078 = 177,3
4
12
p = 24
A12 = 576 x 0,3135 = 180,6
3,2
15
p = 24
A15 = 576 x 0,3137 = 180,7
2,4
20
p = 24
A20 = 576 x 0,3157 = 181,8
2
24
p = 24
A24 = 576 x 0,3165 = 182,3
1,6
30
p = 24
A30 = 576 x 0,3171 = 182,6
1,33
36
p = 24
A36 = 576 x 0,3175 = 182,9
Círculo
Área
2πR = 48
R – 24 / π
AC = 576 x 0,3183 = 183,35
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10
O valor máximo de An (área) é p² / π isto ocorre quando aumenta o
10)
valor de n, o que acarreta o n-polígono regular se degenerando é no limite é num cÃrculo de
perímetro 2p.
De
Escrevendo 2p = L, temos:
,
onde L.-> perímetro
11)
De
12) Área Constante ( An constante)
Considerando An constante (área fixa) e como n tan (π/ n)
é uma seqüência
estritamente decrescente para n = 3, 4, 5, 6 ... . Então p decresce em função de n, atingindo
um mínimo para n tan (π/ n) → π
Isto significa que P min = •πAn
P min = •ππr2
P min = πr • 2p = 2πr
- Comprimento da circunferência
Daí a conclusão que de todas as figuras planas de mesma área, o círculo é o
perímetro mínimo. Isto representa:
L² ≥ 4πAn
L ≥ 2•πAn
L ≥ 2•ππr²
L ≥ 2πr
o menor valor de L ocorre quando An = πr²
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IV - METODOLOGIA
O trabalho em matemática nas instituições regulares de ensino, na maioria das
vezes, automatiza determinados procedimentos. A fim de não estarmos apenas repetindo
processos, memorizando regras e fórmulas, devemos compreender os fundamentos das
atividades a serem passadas aos estudantes.
Utilizaremos meios para atuar como
organizador de situações desafiadoras, selecionando atividades e materiais que
despertem a curiosidade, fazendo com que os alunos assumam papel ativo, participando
e contribuindo com suas idéias.
O Mini-curso vivencia a construção e utilização de atividades matemática, em
cursos regular do ensino fundamental, levando os alunos a formular conjecturas,
generalizar, perceber e descrever os procedimentos.
V - MATERIAIS DIDÁTICOS
Neste trabalho criaremos possibilidades de facilitar a construção dos saberes, nas
aulas de matemática, deve utilizar vários recursos didáticos: hInstrumento de
construção: régua, compasso esquadro, transferidor, lápis, borracha, tesoura, cartolina
hInst. de cálculo: Calculadora.
hInst. didático: apostilas, retroprojetor.
BIBLIOGRAFIA
BARBOSA, João Lucas Marques - Geometria Euclidiana Plana - SBM, 1995
KENNEDY, Edward S. - História da Trigonometria. Atual, São Paulo, 1992.
LINDQUIST, Mary, Montgomery, Shulte Alberto P. Organizadores. Aprendendo e
Ensinando Geometria. São Paulo, Atual, 1994.
NUNES, Alberto Serra - Tábua de Logaritmos, 5ª Edição, FENAME, RJ, 1973.
SMOOTHEY, Marion - Atividades e Jogos com Áreas e Volumes. São Paulo, Scipione,
1997.
TUNALA, Nelson, Revista de Matemática n º 6, C.G Editora São Paulo, 1993.
ZARO, Milton, e HILDEBRAND, Vicente - Matemática Experimental, Óptica, 1992.