MATEMÁTICA É BOA TEMÁTICA
César Guilherme de Almeida
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
Éliton Meireles de Moura
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
Laís Bássame Rodrigues
Universidade Federal de Uberlândia
[email protected]
1. Introdução
O jeito de ensinar é fundamental para o aprendizado do aluno, em especial para o
aluno de matemática. Uma matéria que por si só já causa uma certa preocupação, pois a
maioria dos alunos acredita que ela seja um “bicho de sete cabeças”. Logo, tentaremos
montar talvez uma metodologia diferente da que se aplica hoje em dia. Afinal, tudo
muda, e há muito tempo a matemática é ensinada dessa maneira que conhecemos hoje:
giz, lousa, saliva. Planejamos colocar um pouco de prática no cotidiano escolar dos
alunos, além de um pouco de cultura que às vezes não se aprende na escola.
O governo diz que as escolas, nos dias atuais, devem preocupar-se em formar
cidadãos bem informados. Pois bem, se ensinar a matéria já não é suficiente e, cá entre
nós, pode ser até repetitivo, que tal se misturássemos a informação útil a vida a matéria
a ser ensinada? Como fazer isto? ...
Se fizéssemos uma aula que envolvesse alguma área de interesse e curiosidade dos
alunos, talvez nessa aula eles descobrissem que aquela aprendizagem influenciava suas
vidas, ao menos indiretamente. Provavelmente, isto não os deixariam com aquela
apreensão que os alunos têm no início de uma “tenebrosa” aula de matemática.
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Essa metodologia poderia ser aplicada a qualquer área da educação, desde as
primeiras séries até o término do ensino médio. Talvez, com algumas adaptações, seja
também possível sua utilização no ensino superior.
O professor terá que exercer de maneira efusiva o seu papel de educador e
pesquisador, pois o desenvolvimento do conhecimento está intrinsecamente relacionado
com a motivação, a curiosidade e a intuição do profissional para investigar problemas
conhecidos e ainda não solucionados, investigar novos caminhos para aprimorar a
tecnologia existente e criar outras originais e, também, descobrir problemas que ainda
não foram abordados. Tudo isto deverá ser feito para conseguir atrair a atenção dos
alunos.
2. Apresentação de uma metodologia de ensino
Nessa pesquisa, desenvolvida dentro do grupo PETMAT - Programa Especial de
Treinamento da Faculdade de Matemática – Universidade Federal de Uberlândia – pelos
alunos Éliton Meireles de Moura e Laís Bássame Rodrigues, orientados pelo professor
César Guilherme de Almeida, objetivamos uma nova metodologia de ensino, a qual será
apresentada e discutida a seguir.
Hoje em dia, a maioria dos alunos, independente do nível de aprendizado, tem
acesso a novos conhecimentos científicos através de informações provenientes de rádio,
de televisão, de jornais, de revistas e da Internet. Como todo bom curioso, os alunos
também gostam de estar bem informados porque, deste modo, eles podem opinar sobre
os assuntos que estão em evidência na escola onde estudam, no bairro onde moram, ou
no mundo, afinal de contas estamos na era da globalização. Então, partindo do princípio
de que a curiosidade gera conhecimento e o conhecimento desperta o interesse das
pessoas que procuram cada vez mais informações através dos meios de comunicação,
uma metodologia pode ser desenvolvida com o intuito de aproveitar a curiosidade dos
alunos para motivá-los a estudar as disciplinas de sua escola.
A metodologia é simples. Apresente um problema atual para o aluno. A partir deste
problema você poderá introduzir vários conceitos de sua disciplina e de outras
correlacionadas. Desta forma, os tópicos abordados na ementa da disciplina aparecerão
de forma natural. Acreditamos que os alunos participarão das aulas com mais
espontaneidade. Note que neste processo de aprendizagem serão deixadas muitas
lacunas, pois ninguém espera que os alunos assimilem todos os passos para se atingir o
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rigor científico necessário para se resolver o problema proposto. Porém, estas lacunas
devem ser apresentadas como um desafio a ser vencido pelo aluno, que se sentirá
motivado para realizar estudos mais avançados.
Esses problemas seriam problemas motivadores, simplesmente envolvendo
matemática com outra área qualquer do conhecimento, pois a interdisciplinaridade é um
dos pilares desta nova metodologia. Assim os alunos poderiam aprender a matéria já
tendo uma visão prática de como aquilo pode ser utilizado para melhorar ou solucionar
algum problema de seu cotidiano.
Mais explicitamente, os problemas motivadores são aqueles que têm a capacidade
de estimular a curiosidade dos alunos e despertar o interesse da turma pelo assunto
abordado; animar os alunos mais reservados e fazer com que toda a turma participe das
discussões; encorajar os alunos para estudos mais avançados. Para conseguir um
problema motivador, o professor deve pesquisar assuntos que abordem temas
interdisciplinares, de interesse coletivo, preferencialmente aqueles que estão sendo
discutidos na mídia.
Com esta metodologia de ensino, utilizando problemas motivadores, espera-se que
os alunos fiquem mais motivados para os estudos e percebam a importância de todas as
disciplinas no processo de aprendizagem e de como este aprendizado é útil para resolver
os problemas do dia-a-dia e os grandes problemas de nossa época.
Para seguir tal metodologia o professor terá que enfrentar dois grandes desafios. Ele
deverá planejar atividades que tornem agradável o processo de aprendizagem,
utilizando, por exemplo, histórias que cativem os alunos; que atraiam a atenção, como
num filme de suspense; que gerem encantamento, como as histórias da vovó; que
seduzam, gerando cumplicidade e que fascinem e enfeiticem iguais às poções mágicas.
O outro desafio será conseguir interagir com outros profissionais de áreas distintas da
sua. Isto é inevitável, pois a ação de planejar deve ser realizada em conjunto. Devem
participar deste planejamento: professores de áreas distintas, pois geralmente os
problemas motivadores exigem conhecimentos multidisciplinares e interdisciplinares e
profissionais diretamente relacionados com a área de Educação, os quais auxiliarão no
desenvolvimento de projetos pedagógicos.
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3. Um problema motivador
A seguir mostraremos o modelo de uma das aulas que preparamos para
apresentarmos a alguns alunos do ensino médio de escolas da cidade de Uberlândia, em
Minas Gerais. Essa apresentação, além de outras, será feita em algumas escolas e
posteriormente será realizado um estudo das opiniões dos alunos. Esse resultado será
apresentado no congresso de Educação Matemática.
Aqui fazemos um estudo de funções e análise de gráficos envolvendo um campo
que gera bastante curiosidade por parte dos alunos, a economia. Além de aprender a
matéria haverá um aprendizado além da matemática o que torna a aula mais dinâmica.
Como funciona a economia? Essa é uma pergunta que os alunos fazem às pessoas e
ninguém consegue responder a eles com clareza. E se tentássemos fazer isso com uma
pitada de matemática?
Veja, a seguir, um jeito de ensinar economia ao aluno! Lógico que aqui trataremos o
assunto de um modo bem menos complexo, passando por conceitos de função e estudo
de gráficos, onde a maioria dos alunos tem dificuldade.
3.1. Modelo de aula.
Sabemos que hoje o mercado, cada vez mais globalizado, oferece vários riscos para
quem investe nele, sendo necessário então, tentar minimizar esses riscos. Dirigir uma
empresa, por exemplo, pode ser muito arriscado, se durante uma transação ou
negociação houver algum imprevisto. Num caso ainda mais particular podemos pensar
num lançamento de produto ou serviço. Como saber a quantidade certa e o preço ideal,
por exemplo?
É aí que a matemática pode auxiliar o investidor. Um simples cálculo de função e
análise de gráfico pode, pelo menos, diminuir a margem de erro de um investimento.
Veja um exemplo disso. Considere uma função de demanda por motos dada por:
PD = 10 000 – 2 x
e a função oferta de motos dada por:
PO = 2/7 x + 2000.
Ache o ponto de equilíbrio e faça uma análise do Gráfico Preço por Quantidade.
O que? Você não entendeu nada?
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OK! Então vamos aprender um pouco de economia misturada a algumas noções já
conhecidas de gráficos.
Nessa hora ensinaremos noções básicas de economia aos alunos e na verdade
estaremos dando uma aula de revisão de funções e gráficos.
Equilíbrio de Mercado.
Diz-se que o equilíbrio de mercado ocorre em um ponto (preço) no qual a
quantidade de um artigo procurado é igual à quantidade oferecida. Algebricamente,
seria o ponto de interseção entre a curva de oferta e a curva de demanda. Na verdade,
teremos um preço e uma quantidade de equilíbrio. Teoricamente, o equilíbrio será o
ponto em que não haverá desperdício ou falta de produto.
Em geral para um equilíbrio ser significativo as curvas de oferta e demanda devem
se interceptar no 1º quadrante.
Lembrando que nessa aula as curvas de demanda e oferta transformam-se em retas
para tornar mais simples tanto para o professor explicar quanto para o entendimento do
aluno.
Neste momento mostraríamos aos alunos o gráfico Preço (eixo y) x Quantidade
(eixo x) contendo duas funções, uma com declividade positiva (oferta) e outra negativa
(demanda), de modo que sirva de ilustração para que eles vejam que se trata de duas
curvas ou modelos de gráficos conhecidos.
Mas o que seriam essas curvas de oferta e demanda?
Agora, veremos um pouco de economia. O professor aqui mostrará o que pesquisou.
Teoria Elementar da Demanda
Demanda ou procura: quantidade de determinado bem a serviço que o consumidor
deseja adquirir em certo período de tempo.
Observação: demanda é um desejo de adquirir, é uma aspiração, um plano e não sua
realização. Demanda é um fluxo por unidade de tempo.
Exemplo: desejo de adquirir 5 Kg de feijão por semana. Note que procura ≠ compra
e oferta ≠ venda.
De que depende a procura? Quais os fatores dominantes ou variáveis que
influenciam a procura?
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1- preço de outros bens
2- renda do consumidor
3- gosto ou preferência do consumidor
Além de outros fatores.
A função demanda, Dx, é muito complicada e depende de muitas variáveis, por
exemplo, seja Dx = f (p1,..., pm, P1,…, Pn, R, G), onde:
Dx = função demanda do bem "X"
pj = outros fatores, j = 1,..., m
Pi = preço de outros bens, i = 1,..., n
R = renda
G = gosto
A relação entre a quantidade de demanda e o preço do bem seria analisado pela
equação Dx=f (Px), onde as outras variáveis são constantes.
Normalmente, a declividade de uma curva de demanda é negativa, isto é, à medida
que o preço aumenta a quantidade procurada diminui, e à medida que o preço diminui, a
quantidade aumenta.
Em certos casos a declividade de uma curva de demanda pode ser nula, isto é, o
preço é constante independente da demanda. Em outros casos, a declividade de uma
curva de demanda pode ser indefinida, isto é, a procura é independente do preço.
Gráfico “Declividade de Demanda Negativa”: gráfico Preço (y) x Quantidade (x)
com uma curva decrescente.
Exemplo:
Dez relógios são vendidos quando o preço é R$ 80,00. Vinte relógios são vendidos
quando o preço é R$ 60,00. Qual é a equação da demanda?
Lembrando que a equação de uma reta passando por (x0,y0) e com
coeficiente
angular
problema temos:
m é
dada
por y
-y0
=
m(x-x0),
então
em nosso
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y = m x + n, onde m é o coeficiente angular.
80 = m 10 + n
n = 80 – 10 m
60 = 20 m + n
n = 60 – 20 m
Então temos, 80 – 60 = (10 – 20) m
m = -2
se, m = -2 então:
60 + 40 = n
n = 100
Logo a equação é: y = - 2 m + 100
Monta-se então o gráfico Preço (y) x Quantidade (x) da equação acima, lembrando
novamente que nessa aula as curvas de demanda e oferta transformam-se em retas para
tornar mais simples tanto para o professor explicar quanto para o entendimento do
aluno, por isso a equação é de primeiro grau, pois estamos levando em conta apenas as
duas situações dadas pelo problema, preço e quantidade.
Existe também a Declividade de Demanda Nula. Ocorre quando independente da
variação de um dos eixos, o outro se mantém constante. Exemplo:
Por serem necessários à segurança nacional são comprados anualmente 50 geradores
de serviço pesado independente do preço. Qual a equação da demanda? Qual o tipo de
demanda de curva?
x = 50; declividade de demanda nula.
Mostraremos então o gráfico Preço (y) x Quantidade (x) da equação acima notando
que independente do preço do produto, a quantidade é sempre constante.
Agora iremos às curvas de oferta.
Curva de Oferta:
Oferta para nós será a quantidade de bem ou serviço que os produtores desejam
vender por unidade de tempo. É um desejo, um plano, uma aspiração. Não quer dizer
que na prática será exatamente como se planeja, mas pode-se dizer que chega perto de
uma situação ideal.
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Determinantes da Oferta:
Qx = g (Px, P1,..., Pn, p1, p2,..., pm, T).
Onde:
Qx = função oferta
Px = preço do próprio bem
Pi = preço do similar i, i= 1,..., n
Pj = preço dos fatores de produção, j= 1,..., m
T = tecnologia
O gráfico Preço (y) x Quantidade (x) de uma equação de Oferta é uma curva, porém,
como já foi colocado, aqui será estudado como uma reta para melhor entendimento.
Normalmente uma curva de oferta linear é positiva, isto é, à medida que o preço
aumenta a oferta aumenta. À medida que o preço diminui a oferta diminui. Em certos
casos a declividade de uma curva de oferta pode ser indefinida, isto é, a oferta
independe do preço. Vejamos como são seus gráficos, lembrando que a análise é feita
apenas no primeiro quadrante.
Declividade de Oferta Positiva:
Gráfico Preço (y) x Quantidade (x) crescente; à medida que o preço aumenta, a
quantidade também aumenta.
Declividade de Oferta Nula:
Gráfico Preço (y) x Quantidade (x) é formado de uma reta paralela ao eixo x, o eixo
da quantidade, ou seja, à medida que a quantidade varia o preço se mantém constante.
Declividade de Oferta Indefinida:
Gráfico Preço (y) x Quantidade (x) é formado de uma reta paralela ao eixo y, o eixo
do preço, quer dizer que à medida que o preço varia, a quantidade permanece constante.
Exemplo 1. Quando o preço é de R$ 50, 00, 50 máquinas estão disponíveis no
mercado, quando o preço é R$ 75, 00, 100 máquinas estão disponíveis no mercado.
Qual a equação de oferta? Qual o tipo de declividade da curva?
Resolução:
50 = 50 m + n
e 75 = 100 m + n, assim, 75 – 100 m = 50 – 50 m, logo, m = ½ e n = 25.
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Então podemos dizer que a equação y = ½ x + 25 é a equação da oferta e também
que a declividade é positiva.
Daí mostramos o gráfico da equação acima para a visualização do aluno.
Exemplo 2. De acordo com os termos de contrato entre a Companhia Telefônica e a
Empresa "A", a Empresa "A" paga a Companhia Telefônica R$ 500,00 por mês para
chamadas a longa distância, com duração de tempo ilimitado. Qual é a equação da
oferta?
Resolução:
y = 500,
Declividade de oferta nula.
Mostramos aqui também, o gráfico da equação acima para a visualização do aluno.
Exemplo 3. Na época da inflação o país passava por uma economia confusa e mal
vista. Também, não era pra menos. Os preços que se pagava por uma certa quantidade
de produto a cada hora tinha um preço diferente. Como por exemplo, um quilo de
beterraba custava em média (hipoteticamente) 20 cruzeiros. Mas, uma hora depois dessa
pesquisa ser feita o preço já havia mudado para 35 cruzeiros e três horas depois
alcançava os 80 cruzeiros. No dia seguinte não se sabia a que preço poderia se
encontrar, talvez até menos, mas era uma incógnita. Diga que tipo de gráfico de oferta é
esse caso das beterrabas e a equação da oferta.
Resolução:
X = 1; Declividade de oferta indefinida.
Mostramos como nos outros casos o gráfico da equação acima para a visualização
do aluno.
Agora sim! Com esse conhecimento já temos base para voltarmos ao problema
principal.
Considere uma função de demanda por motos dada por: PD = 10 000 – 2 x , e a
função oferta de motos dada por: PO = 2/7 x + 2000. Ache o ponto de equilíbrio e faça
uma análise do Gráfico Preço por quantidade.
Podemos analisar que o ponto de equilíbrio será aquele que satisfaça as duas
equações. Tal como um ponto de intercessão. Sendo assim, temos:
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Resolução:
PD = 10 000 – 2 x
PO = 2/7 x + 2000,
PD = PO
10 000 – 2 x = 2 000 + 2/7 x
x = 3 500
logo PD = 10 000 – 2 (3500)
então y = 10 000 – 7000 = 3000
O ponto de equilíbrio então é 3000.
O nome ponto de equilíbrio de mercado decorre do seguinte fato: se o preço cobrado
for maior do que 3000, a quantidade ofertada será maior que a quantidade demandada,
ocorrendo um excesso de oferta que forçará a queda no preço. Se, por outro lado, o
preço cobrado for menor do que 3000, a quantidade demandada será maior que a
ofertada, ocorrendo um excesso de demanda que induzirá a subida do preço. Note que
fazemos a leitura do gráfico variando o preço para avaliar o que acontecerá com a
quantidade. Sendo assim a análise do nosso gráfico é feita a partir do eixo y, e não do x
como de costume. Isso faz com que os alunos pensem e analisem bem o gráfico antes
que concordem com o ponto que achamos, já que ele não é o “x” como eles estão
acostumados, mas sim o “y” da questão.
O gráfico Preço (y) x Quantidade (x) apresentará as duas curvas (no caso do
exercício duas retas), a de demanda e a de oferta. A equação Demanda com declividade
negativa enquanto a equação de oferta com declividade positiva. Interceptarão quando a
quantidade valer 3500 e paralelamente o preço for 3000. 3000 que será o ponto que
procurávamos.
Análise de Gráfico:
Como no nosso caso a variável seria o preço, pois queremos achar o preço que possa
ser um equilíbrio entre o interesse do vendedor e do comprador, analisaremos o gráfico
pelo eixo y, como já dito.
Assim, passemos uma reta paralela ao eixo x, eixo da quantidade, passando pelo
ponto de interseção das duas equações.
Note que se o preço cobrado for maior do que 3000, a quantidade ofertada será
maior do que a quantidade demandada, ocorrendo um excesso de oferta que forçará a
queda no preço, o que para o vendedor será mau.
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Mas, se o preço cobrado for menor do que 3000, a quantidade demandada será
maior do que a ofertada, ocorrendo um excesso de demanda que induzirá a subida do
preço, o que por outro lado será mau para o consumidor.
Por tanto, para isso serve o Equilíbrio de Mercado, para olhar pelo lado tanto de
quem vende quanto de quem compra e tentar negociar um acordo em que ninguém saia
perdendo. E, além disso, pudemos ver um pouco de conceitos matemáticos que agora
depois dessa aula podem ter tomado outro sentido para os alunos.
4. Conclusão:
A tentativa de fazer com que os alunos se interessem pela Matemática não é
uma
novidade.
Há
muito
tempo
o
temor
dos
alunos
pela
“mãe”
das
ciências é notável e com isso a busca dos educadores, principalmente, por
métodos inovadores para prender a atenção deles é incessante. E essa é mais
uma dessas tentativas. O mundo mudou muito desde que a Matemática era uma
ciência que naturalmente interessava a todos. Hoje os jovens, inteligentes,
curiosos, desatentos, de todo tipo, se interessam pelos acontecimentos e novidades do
mundo que os rodeia. A escola e as matérias tradicionais são, geralmente, deixadas em
segundo plano, até mesmo por uma questão de desuso. O que é bastante desapontador,
pois aquilo que não aparenta serventia transforma-se em algo desinteressante.
Por isso mostrar para os alunos que, por mais simples que seja, tudo que
eles aprendem, pode ser usado em alguma situação da vida deles, e na maioria delas, no
seu próprio cotidiano. Mostrar esse universo de utilidade da matemática ou até mesmo
de outras meterias misturando-se o conteúdo de cada curso com assuntos e
questionamentos atuais certamente deixaria a aula mais chamativa, tirando do aluno
aquele temor inicial da terrível aula de matemática. Por isso o problema motivador. É
ele quem irá unir o atual à matéria. Esse será seu papel, despertar o interesse da classe.
Bom, a metodologia está apresentada, para sabermos se ela dará resultado, temos
como projeto, darmos aulas utilizando problemas motivadores em algumas escolas da
cidade de Uberlândia, Minas Gerais, e ao término de cada aula distribuiremos um
questionário para saber a opinião dos alunos e professores realizando assim um estudo
desses dados que será apresentado no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática.
Por tanto aqui estão apresentados apenas teoria e método a ser utilizado em sala de
aula. A experiência em sala e resultados dessa metodologia apenas poderão ser
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discutidos e analisados posteriormente, com os resultados concretos e em definitivo a
serem apresentados em Recife.
5. Bibliografia:
VASCONCEELLOS,
Marcos
A.
S.
e
GARCIA,
Manuel
E.
Livro
texto
Fundamentos da Economia. Ed. Saraiva.
MEDEIROS, Sebastião da Silva. Matemática para os cursos de Economia,
Administração e Ciências Contábeis. Ed. Attos, 1999.