16-04-2015
7º ANO
FIGURAS GEOMÉTRICAS. MEDIDA
Quadriláteros. Soma das amplitudes dos
ângulos internos/externos de um polígono
Nuno Marreiros
Antes de começar
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16-04-2015
Quadrilátero
Um quadrilátero é um polígono com quatro lados.
Quadriláteros convexos e côncavos
Existem quadriláteros convexos e quadriláteros côncavos.
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
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Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo
Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é
180°.
A
m
a
n
r
Como r // BC, temos
m=b e n=c
(alternos internos)
b
c
B
C
Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A.
Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m
e n, respetivamente.
Como a + m + n = 180°
Conclui-se que
a + b + c = 180°
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º …
Vamos calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero
qualquer.
I
II
Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero.
Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos.
A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das
amplitudes dos ângulos internos do triângulo II é 180°.
Portanto, podemos concluir que a soma das amplitudes dos ângulos internos do
quadrilátero é igual a 2 x 180° = 360°.
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16-04-2015
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Sabendo
que
a soma
das
amplitudes
Soma
dos Ângulos
Internos
de um
Polígono
Convexo dos ângulos internos de um
Qualquer
triângulo é 180º …
Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono
qualquer.
I
II
III
Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo
vértice.
A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das
medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 x 180° = 540°.
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Sabendo
que
a soma
das
amplitudes
Soma
dos Ângulos
Internos
de um
Polígono
Convexo dos ângulos internos de um
Qualquer
triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
S3 = 180° x 1
(3 – 2)
S4 = 180° x 2
(4 – 2)
4
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Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
S5 = 180° x 3
S6 = 180° x 4
(6 – 2)
(5 – 2)
Sabendo que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
triângulo é 180º …
... Vamos generalizar:
A soma Si das medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo qualquer de n lados é dada por:
Si = 180° x (n – 2)
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MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Somadosdas
amplitudes
ângulos
externos de
Soma
Ângulos
Internos dedos
um Polígono
Convexo
Qualquer
um polígono qualquer
Vamos analisar a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo
qualquer.
A
i1 + e1 = 180°
e1
i2 + e2 = 180°
i3 + e3 = 180°
i1
Si + Se = 180° ∙ 3
180° + Se = 540°
e2
i2
B
i3
C
Se = 360°
e3
Nota que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do
ângulo externo é 180°.
Num polígono convexo, a soma dos ângulos externos com
vértices distintos é sempre igual a um ângulo giro (360º).
MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental
Relação
interno
Soma dos
Ângulosentre
Internosos
deângulos
um Polígono
Convexoe
Qualquer
C
e3
i3
B
e2
i2
i1
A
e1
externo de um polígono
e4
Vértice A  i1 + e1 = 180°
D
i4
Vértice B  i2 + e2 = 180°
Vértice C  i3 + e3 = 180°
Vértice D  i4 + e4 = 180°
Em cada vértice, os ângulos interno e externo do polígono
são sempre adjacentes e suplementares (180º).
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Recorda … As equações
Determina as medidas dos ângulos internos dos quadriláteros apresentados.
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No PowerPoint
Exercícios
9. 10. 11. 12.
13. a) b)
14. a) b)
… Extra 1. 2. 3. 4. 5. …
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8
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9
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a)
b)
Determina a soma das amplitude dos ângulos externo de um icoságono.
a)
b)
Determina a amplitude de um ângulo externo de um polígono com 12 lados.
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EXTRA
1.
Sabe-se que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um
polígono regular é 9180º.
a) Determina quantos lados tem esse polígono.
b) Determina, aproximadamente, a amplitude de um dos seus
ângulos externos.
2.
Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes
dos seus ângulos internos é 5500º.
3.
Verifica se existe um polígono convexo cuja soma das amplitudes
dos seus ângulos externos é 500º.
EXTRA
4.
Sabendo que a amplitude de um dos ângulo interno de um polígono
regular é 172º, determina quantos lados tem.
5.
Sabendo que a amplitude de um dos ângulo externos de um
polígono regular é 8º, determina quantos lados tem.
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