Aula nº 34
Oscilações forçadas. Ressonâncias
Oscilações forçadas
Uma criança diverte-se num baloiço. Alguém o vai empurrando e, assim, a
amplitude da oscilação não diminui. Os “empurrões” podem ser pequenos mas, se
forem dados no momento certo, a amplitude do movimento mantém-se sem grande
esforço! O sistema executa oscilações, inevitavelmente amortecidas, pois o atrito está
sempre presente, mas também forçadas devido à força exterior.
O problema das oscilações harmónicas simples e das oscilações harmónicas
amortecidas já foi abordado nas aulas anteriores. Vamos nesta aula estudar as oscilações
harmónicas amortecidas e forçadas.
De um ponto de vista matemático há uma nova equação de movimento para a
partícula um pouco mais complicada do que a Eq. (33.7) que se volta aqui a escrever:
d2 x
dx
+ 2λ
+ ω02 x = 0 .
2
dt
dt
(34.1)
Recordamos que o primeiro termo desta equação é a aceleração da partícula. O segundo
termo tem a sua origem na força de atrito e o último termo na força elástica. Se agora
introduzirmos uma outra força, externa, que designamos por F (t ) a resultante das
2λ dx
forças aplicadas à partícula é da forma − kx −
+ F (t ) e a equação de movimento
m dt
da partícula passa a escrever-se
d2 x
dx
F (t )
+ 2λ
+ ω02 x =
.
2
dt
dt
m
(34.2)
Nesta equação o parâmetro
ω0 =
k
m
(34.3)
é a frequência angular natural do sistema, isto é, a frequência angular com que a
partícula de massa m oscila quando está sujeita unicamente à acção da força elástica
−kx. Iremos estudar o caso particular de a força externa ser periódica no tempo do tipo
sinusoidal. Consideramos
F (t ) = F0 cos(ω t )
(34.4)
onde F0 é o valor da máxima força aplicada e ω a frequência angular desta força
externa. Para encontrar a lei do movimento da partícula, x = x (t ) , é preciso resolver a
equação diferencial (34.2) que se passa então a escrever
1
F
d2 x
dx
+ 2λ
+ ω02 x = 0 cos(ωt ) .
2
dt
dt
m
(34.5)
Não vamos recorrer a técnicas standard de resolução de equações diferenciais. Antes
vamos, à semelhança do que fizemos anteriormente, indicar a solução de (34.5),
justificando a sua forma com considerações de ordem física.
Sendo a força externa1 do tipo sinusoidal é natural admitir que o movimento
resultante seja também sinusoidal, sendo a frequência deste movimento a da força que a
obriga a executar oscilações, ou seja ω . É mais intuitivo que assim seja, ou seja que a
partícula oscile da maneira que a força externa impõe e não que oscile com a sua
frequência natural ω0 ou com a frequência modificada pelo amortecimento
(ver aula anterior). De facto, prova-se que a função
x (t ) = A cos(ω t + ϕ )
ω02 − λ2
(34.6)
é solução da equação (34.5). Realça-se, novamente, que é a frequência angular da força
externa que surge nesta equação! Para se mostrar que (34.6) é solução de (34.5) temos
de calcular as duas primeiras derivadas de x (t ) em ordem ao tempo e inserir as
expressões assim obtidas na equação diferencial (34.5). Verifica-se, então, que a
equação (34.5) se cumpre desde que a amplitude e a fase na origem em (36.4) sejam
dadas, respectivamente, por
A=
(ω
F0 / m
2
0
− ω 2 ) + 4λ 2 ω 2
(34.7)
e
tan ϕ =
− 2λω
.
ω02 − ω 2
(34.8)
Notar que a amplitude e a fase na origem, ao contrário do que se passa no movimento
harmónico simples, não são arbitrárias: dependem, para além das características do
oscilador e da constante de amortecimento, da frequência da força externa. Para uma
dada força externa a amplitude das oscilações forçadas é constante. Parece evidente que
a amplitude dependa de F0 tal como mostra a Eq. (34.7): quanto maior for a intensidade
da força externa, maior será a amplitude da oscilação forçada. Mas a dependência de A
com ω é bem mais interessante e de consequências notáveis. A Fig. 34.1 mostra como
varia a amplitude da oscilação em função da frequência. Sendo pequeno o atrito, essa
função tem um máximo para ω ≈ ω0 . Num caso ideal de o atrito ser nulo, λ = 0 , uma
excitação (força externa) de frequência próxima da frequência natural do sistema, fá-lo
oscilar com amplitudes indefinidamente crescentes... No balancé de que se falou no
início desta aula a força é aplicada ao sistema com uma frequência que é
aproximadamente a sua frequência natural. Assim, mesmo que F0 seja pequeno, a
amplitude não o é devido à dependência A(ω ) expressa pela Eq. (34.7): a amplitude tem
um máximo pronunciado quando o denominador tem o valor mínimo, que pode até ser
zero se λ = 0 , o que leva a A → ∞ .
1
Não importa saber como se gera esta força. O agente que o faz tem portanto capacidade para estar a
fornecer energia ao sistema.
2
5
A * k/F0
4
λ= 0,1ω0
3
λ= 0,3ω0
2
1
λ= 0,6ω0
0
0
ωm
ω10
ω
2 ω0
3 ω0
Figura 34.1
Ressonâncias
O denominador em (24.7) é mínimo para2
ωm = ω02 − 2λ2 .
(34.9)
Quando a frequência externa iguala esta frequência (que se representa na Fig. 34.2 para
um dado λ ) a amplitude de oscilação é máxima. Dizemos que o sistema está em
ressonância. O fenómeno da ressonância caracteriza-se por um aumento pronunciado da
amplitude quando a frequência da força exterior tem um certo valor. Quanto menor for
o amortecimento mais pronunciada é a ressonância, a qual ocorre então para ωm = ω0 .
Numa situação de ressonância, a amplitude de oscilação é, por vezes, tão grande
que pode levar à destruição do próprio sistema. Mesmo estruturas de grandes dimensões
como pontes, edifícios, aviões, lajes de edifícios, etc. podem oscilar, tendo uma ou mais
frequências próprias. Se esses objectos forem abanados for forças que, mesmo sendo de
pequena intensidade, tenham frequência próxima da frequência natural, podem
literalmente desfazer-se. Foi o que se presume possa ter acontecido com o colapso da
Tacoma Narrows Bridge nos Estados Unidos em Julho de 1940. A ponte entrou em
oscilação devido à acção do vento e passado uma horas o tabuleiro ruiu como mostra a
Fig. 34.2.
2
Para encontrar a expressão (34.9) basta derivar o denominador de (34.7) em ordem à frequência angular
ω e igualar a zero.
3
Figura 34.2
São variadas as aplicações das ressonâncias e em muitos domínios, incluindo a
medicina. Por exemplo, é um efeito de ressonância que se utiliza para desfazer cálculos
renais. O cálculo é posto a oscilar devido à acção de ultra-sons cuja frequência é
próxima da sua frequência natural de vibração. Desejavelmente, o movimento de grande
amplitude que se estabelece leva ao colapso do cálculo renal cujos fragmentos acabam
depois por sair na urina.
4