Resoluções Livres e Projetivas
Taı́sa Fernanda de Lima Quemel
Licenciatura em Matemática- UNESP/Bauru
E-mail: : [email protected]
Cristiane Alexandra Lázaro
Universidade Estadual Paulista - UNESP/Bauru
Departamento de Matemática
E-mail: [email protected]
RESUMO
1
Introdução
O estudo de módulos é bastante importante em diversas áreas da Matemática, sendo as resoluções livres e projetivas essenciais na teoria de homologia e cohomologia de grupos dentro da
Álgebra Homológica, oferecendo um grande número de possibilidades de interação entre Álgebra
e Topologia Algébrica. A Topologia Algébrica é um ramo bastante interessante da Matemática
que está na intersecção da Álgebra e da Geometria e possui aplicações em diversas áreas da
Matemática.
2
Objetivo
Apresentaremos diversos exemplos de resoluções livres e projetivas e resultados relacionados a
estas.
3
Resultados
Iniciamos com o estudo de módulos livres, apresentando exemplos e resultados importantes.
Definição 3.1 Seja R um anel comutativo com unidade. Um R-módulo livre no conjunto S
é um R-módulo F com a função f : S → F tal que, para toda função g: S → X, sendo X
um R-módulo, existe um único homomorfismo h: F → X tal que a relação de comutatividade
h ◦ f = g é verdadeira no seguinte triângulo:
f -
S
gS
S
S
w
F
h
/
X
Teorema 3.2 (Teorema da Existência) Para todo conjunto S, sempre existe um R-módulo livre
F sobre S.
Neste caso, dizemos que F é gerado pelo conjunto S e S é chamado base de F .
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São válidos os seguintes resultados relacionados aos módulos livres:
Teorema 3.3 F é um R-módulo livre sobre S se, e somente se, F '
M
Xs , onde cada Xs ' R.
s∈S
Teorema 3.4 Todo módulo sobre R é isomorfo a um quociente de um módulo livre.
Corolário 3.5 Um módulo X sobre R tem uma base se, e somente se, X é livre.
Escrevemos uma sequência finita ou infinita de homomorfismos de R-módulos da seguinte
forma:
f
g
. . . −→ X −→ Y −→ Z −→ . . .
Deste modo, para cada módulo que não esteja nos extremos da sequência, por exemplo, para
o Y desta sequência, existe um homomorfismo f indo para Y e um homomorfismo g saindo de
Y . Definimos f como sendo o homomorfismo de entrada e g como sendo o homomorfismo
de saı́da da sequência no módulo Y .
Definição 3.6 Uma sequência exata de R-módulos é uma sequência, como definida anteriormente, tal que a imagem do homomorfismo de entrada coincide com o Kernel do homomorfismo
de saı́da em todos os módulos, exceto nos extremos da sequência.
Apresentamos também os módulos projetivos.
Definição 3.7 Um R-módulo X é dito ser projetivo se, e somente se, para todo homomorfismo
f : X → B e todo epimorfismo g : A → B de R-módulos, existe um homomorfismo h : X → A
satisfazendo g ◦ h = f .
Na linguagem de diagramas, esta definição pode ser reestruturada da seguinte forma:
Um R-módulo X é projetivo se, e somente se, todo diagrama
X
f
?
A
g B
- 0
de homomorfismos de R-módulos, onde a sequência é exata, pode ser encaixado no seguinte
diagrama comutativo:
X
h A
/g
f
?
-B
- 0
onde h : X → A é homomorfismo de R-módulos.
Como exemplo de R-módulos projetivos, temos a seguinte proposição:
Proposição 3.8 Todo R-módulo livre é projetivo.
Teorema 3.9 Um R-módulo P é projetivo se é somando direto de algum R-módulo livre, ou
seja, existem R-homomorfismos π : F → P e i : P → F tais que π ◦ i = idP , sendo F um
módulo livre.
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Agora, com os conceitos de módulos livres, projetivos e sequência exata, podemos definir as
resoluções livres e projetivas, principais objetos de nosso estudo.
Definição 3.10 Seja X um R-módulo arbitrário. Uma resolução de X sobre R, ou uma Rresolução projetiva de X, é uma sequência exata de R-módulos
C : ...
- Cn+1
∂n+1
- Cn
∂n
- Cn−1
∂n−1
- ...,
a qual satisfaz as seguintes condições:
(R1) C−1 = X
(R2) Cn = 0, ∀n < −1
Equivalentemente, podemos escrever esta definição da seguinte forma: uma resolução de X
sobre R, ou uma R-resolução de X, é uma sequência exata de R-módulos
∂
∂
ε
2
1
C : . . . −→ C2 −→
C1 −→
C0 −→ X −→ 0.
Definição 3.11 A aplicação : C0 → X é chamada aplicação aumentação. Se cada Ci é
livre, dizemos que a resolução é livre. Se cada Ci é projetivo, dizemos que a resolução é
projetiva.
Notação: : C → X denotará uma resolução de X.
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Conclusões
Mostraremos que toda resolução livre é também projetiva.
Dado uma R-módulo M sempre podemos construir uma resolução livre de M sobre R. O
R-módulo M pode admitir muitas resoluções livres.
Veremos que todas as resoluções projetivas (e consequentemente as resoluções livres) de
um R-módulo M são homotopicamente equivalentes. Apresentaremos diversos exemplos de resoluções e demonstraremos o seguinte resultado: “Se F é uma resolução projetiva de M sobre
R, então F é um complexo de cadeia contrátil”.
Palavras-chave: módulos, homomorfismos, resoluções
Referências
[1] K. S. Brown, Cohomology of Groups, Springer-Verlag., New York, 1982.
[2] S. T. Hu, Introduction to Homological Algebra, Holden-Day, San Francisco, 1968.
[3] S. Maclane, Homology, Academic Press, Berlin, 1967.
[4] J.J. Rotman, Homological Algebra, Van Nostrand, 1970.
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