10
Relatividade Geral e Gravitação
A Relatividade Restrita de…ne as propriedades geométricas do espaço-tempo
nos referenciais inerciais, na ausência de campo gravitacional. A teoria da
gravitação relativística foi um grande desa…o para Einstein, que primeiro teve
de criar a Teoria da Relatividade Geral, generalizando o conceito de espaçotempo para referenciais não inerciais e usando a equivalência observada entre
a massa inercial (da segunda lei de Newton) e a massa gravitacional (da força
gravitacional), enunciados em dois postulados básicos:
1. Princípio da Relatividade - as leis da natureza são as mesmas em
todos os referenciais, inerciais ou não inerciais.
2. Princípio da Equivalência - os efeitos devidos à aceleração do referencial e os da gravitação são equivalentes.
Do segundo princípio, tanto referenciais acelerados como referenciais em
repouso na presença de campo gravitacional são referenciais não inerciais, e
a natureza universal da interação gravitacional permite que seja incorporada
à estrutura do espaço-tempo, cujo efeito é a curvatura gerada pela massa.
As leis da Relatividade Restrita são válidas nos referenciais inerciais locais,
em queda livre quando na presença do campo gravitacional, podendo ser
transportadas para o referencial (não inercial) do observador.
10.1
Princípio da Equivalência
O primeiro princípio, da Relatividade, generaliza o conceito de igualdade de
todos os observadores, independente da sua localização, orientação ou estado
de movimento, incluindo a aceleração. O segundo princípio, da Equivalência, é o postulado chave da Relatividade Geral. Fundamenta-se na observação de que todos os objetos, independente da sua natureza, respondem ao
campo gravitacional de uma mesma maneira. Signi…ca que todos os objetos
em queda livre sofrem a mesma aceleração, independente da massa ou de
qualquer outra propriedade, que leva à igualdade entre as massas inercial e
gravitacional.
Na física newtoniana a igualdade entre as massas inercial e gravitacional
era considerada como um fato acidental. Relacionada com a observação de
que as forças …ctícias devidas à aceleração do referencial tem a mesma propriedade surgiu a percepção de que a aceleração do referencial ou a presença
de um campo gravitacional em um referencial em repouso causavam o mesmo
efeito sobre os objetos.
1
As igualdades entre as massas inercial e gravitacional é o enunciado do
princípio da equivalência na sua versão fraca. A equivalência entre os efeitos
da aceleração do referencial e a gravitação é o enunciado do princípio da
equivalência na sua versão forte, usada na Relativadade Geral. Os dois enunciados são equivalentes na maior parte das situações
A massa inercial é a que aparece inicialmente na segunda lei de Newton,
ma = F () mI a = F ;
(1)
onde mI explicita que se trata da massa inercial. Se a força F for de origem
gravitacional,
mM G
= mg g ;
(2)
F =
R2
onde, na segunda igualdade, explicitamos a massa gravitacional, passiva, no
caso. A massa gravitacional ativa é a que gera o campo gravitacional, por
exemplo, em
Mg G
:
(3)
R2
Explicitando as massas inercial e gravitacional, a segunda lei de Newton
…ca
mI a = mg g ;
(4)
g=
de modo que a aceleração da partícula no campo gravitacional g …ca
mg
g:
a=
mI
(5)
Se o campo gravitacional g deve afetar igualmente todos os objetos, independente de suas massas inercial e gravitacional, signi…ca que a relação
mg =mI deve ser uma constante, que pode ser tomada como unidade se
resolvermos medir as massas inercial e gravitacional usando uma mesma
unidade de massa.
A consequência é que o campo gravitacional não pode ser detectado se
estivermos num referencial em queda livre. Por exemplo, considere um campo
gravitacional uniforme, g, e um objeto sob a ação deste campo mais uma força
externa de origem não gravitacional, cuja equação de movimento é
m
d2 r
= mg + F .
dt2
(6)
Assumindo, por simplicidade, que o campo seja na direção do eixo z, podemos
considerar apenas o movimento na direção do eixo z,
d2 z
m 2 = mg + F .
dt
2
(7)
Se …zermos a transformação R ! R0 dada por
1 2
gt ,
2
z0 = z
(8)
a equação de movimento em R0 (referencial em queda livre) …ca
m
d2 z 0
= Fz 0 :
dt2
(9)
No referencial R0 em queda livre, o campo gravitacional g é anulado pela
aceleração a = g do referencial.
Pelo princípio da equivalência, referenciais em repouso imersos num campo
gravitacional são referenciais não inerciais. Da mesma maneira, referenciais
em queda livre num campo gravitacional são referenciais inerciais. Como não
existe campo gravitacional uniforme, o Princípio da Equivalência da Relatividade Geral é válido localmente, assim como os referenciais em queda livre
são inerciais apenas localmente.
10.2
Referenciais inerciais e não inerciais
Assim como o campo gravitacional pode ser eliminado nos referenciais locais
em queda livre, se formos para um referencial acelerado, o efeito da aceleração
é equivalente ao efeito do campo gravitacional. Por exemplo, se …zermos a
transformação R ! R0 ,
8 0
< x =x
y0 = y
,
(10)
: 0
1 2
z = z + 2 at
se em R a equação de movimento for
m
d2 r
=F ,
dt2
(11)
em R0 …ca
d 2 x0
m 2 = Fx0 ;
dt
d2 y 0
m 2 = Fy 0 ;
dt
d2 z 0
m 2 = mI a + F z 0 :
dt
(12)
(13)
(14)
que é idêntica à equação de movimento na presença de um campo gravitacional g = a.
3
Todas estas conclusões são baseadas na igualdade, numérica, entre as
massas inercial e gravitacional. Veja que, conceitualmente, massas inercial
e gravitacional são completamente diferentes, da mesma maneira que carga
elétrica é diferente da massa inercial.
Assim, pelo Princípio da Equivalência, referenciais acelerados são equivalentes a referenciais (suportados) em repouso na presença de um campo
gravitacional. Implica, também, que referenciais em queda livre num campo
gravitacional são equivalentes a, ou melhor, são refereciais inerciais. A equivalência entre os referenciais em queda livre e os referenciais inerciais é o ponto
chave da Relatividade Geral. A possibilidade de anular o campo gravitacional, ao menos localmente, recorrendo aos referenciais inerciais em queda
livre, permite descrever as leis físicas, segundo o Princípio da Equivalência
na sua versão fraca, ou as leis gerais da natureza, segundo o Princípio da
Equivalência na sua versão forte, nestes referenciais inerciais locais, onde são
válidas as leis da Relatividade Restrita.
O Princípio da Equivalência fraca está diretamente associada à igualdade
numérica, observada experimentalmente, entre as massas inercial e gravitacional, mI = mg . O Princípio da Equivalência forte generaliza o primeiro,
e se baseia na equivalência das leis da Natureza em todos os referenciais,
inerciais ou não inerciais.
O Princípio da Equivalência tem analogia com o axioma, de Gauss, da
geometria não euclidiana, que garante que, em cada ponto de uma superfície
curva sempre se pode construir uma superfície plana, euclidiana.
Neste contexto, a geometria do espaço-tempo, na Relatividade Geral, é
uma geometria Riemanniana.
10.3
Força gravitacional
O Princípio da Equivalência permite obter as leis da Física na presença de
um campo gravitacional a partir das leis da Relatividade Restrita, válida nos
referenciais inerciais locais, em queda livre.
Considere a equação de movimento no referencial inercial, R0 , em queda
livre,
d2
=0;
(15)
d 2
o tempo próprio dado por
c2 d
2
=+
d d
;
(16)
sendo o tensor métrico (renomeado) de Minkowski e
as coordenadas
do espaço de Minkowski no referencial R0 , em queda livre.
4
Considere um outro referencial, R, de coordenadas x , que pode ser o
referencial de laboratório, onde há um campo gravitacional. Assim,
=
(x ) e
d
@ dx
=
:
(17)
d
@x d
Aplicando as regras de derivação para a derivada segunda
d2
d
2
=
resulta
d
d
d2
d
2
@ dx
@x d
@
=
@x
=
d
d
@
@x
dx
+
d
d2 x
;
d 2
@
@x
d2 x
dx dx
@x @ 2
+
2
d
@ @x @x d d
(18)
(19)
:
Da equação de movimento no referencial inercial R0 , equação (15), resulta
d2 x
+
d 2
onde o fator
dx dx
=0;
d d
(20)
@x @ 2
=
@ @x @x
(21)
é conhecido como a conexão a…m, ou símbolo de Christo¤el,
próprio, equação (16), …ca
ds2 = c2 d
2
=
d d
. O tempo
@ @
dx dx = g dx dx ;
@x @x
=
(22)
que de…ne o tensor métrico
g
=
@ @
@x @x
(23)
no referencial R.
Derivando a equação (23) em relação às coordenadas,
@g
@2
@
=
@x
@x @x @x
+
@
@2
@x @x @x
e combinando com a equação (21) escrita na forma
@
@x
@2
=
;
x @x
(24)
resulta
@g
@
=
@x
@x
@
@x
+
@ @
@x @x
5
=
g
+
g
;
com expressões similares para as derivadas
@g
@x
e
@g
@x
;
as quais podem ser combinadas para obter a conexão a…m em termos das
derivadas do tensor métrico (símbolo de Christo¤el),
@g
@g
+
@x
@x
1
= g
2
@g
@x
(25)
Esta relação entre
e as derivadas de primeira ordem de g sugere que o
o papel do campo gravitatensor métrico g faz o papel do potencial e
cional, na Relatividade Geral.
10.4
O limite newtoniano
Vamos considerar o limite newtoniano, quando as velocidades envolvidas são
muito menores que a velocidade da luz, e por campos gravitacionais fracos e
independentes do tempo. Neste limite,
dx
=
d
dx0 dxi
;
d
d
'
c
dt
;0
d
;
(26)
e a equação de movimento (20) …ca
d2 x
+
d 2
00 c
2
dt
d
2
(27)
=0:
Da equação (25) resulta
00
1
= g
2
@g0
@g0
+
0
@x
@x0
@g00
@x
=
1
@g00
g
:
2
@x
(28)
O campo gravitacional fraco pode ser representado na forma
g
=
+h
;
onde h descreve uma pequena perturbação na métrica de Minkowski
Para aproximações de primeira ordem, a equação (??) resulta
00
'
1
2
6
@h00
;
@x
(29)
.
(30)
de modo que a equação de movimento (27) …ca
d2 x
1
=
d 2
2
@h00 2
c
@x
dt
d
2
(31)
:
Para campos estáticos,
@h00
=0;
@x0
de modo que acomponente temporal da equação (31) …ca
d2 t
=0:
d 2
(32)
Usando este resultado, podemos eliminar a derivada em relação ao tempo
próprio na equação (31), de modo que as suas componentes espaciais …cam
d 2 xi
=
dt2
c2
(rh00 )i :
2
1 @h00 2
c =
2 @xi
(33)
Comparando com a equação newtoniana
d2 r
=
dt2
(34)
r ;
podemos identi…car, a menos de uma constante arbitrária, a componente h00
com o potencial gravitacional,
h00 =
2
;
c2
(35)
assim como a componente g00 do tensor métrico, que …ca
g00 = 1 + h00 = 1 +
2
:
c2
(36)
A constante arbitrária pode ser ajustada de tal modo que o campo
e a métrica se torne minkowskiana no in…nito.
10.5
Dilatação do tempo
O tempo é afetado pela presença do campo gravitacional.
equação (??),
2
cd
se anule
2
Considere a
dxi dxj 2
)dt ;
= g dx dx = g00 c dt + gij dx dx = (c g00 + gij
dt dt
2
i
2
7
j
2
o tempo próprio de…nido para um referencial inercial em queda livre. Supondo
o relógio em repouso no referencial de laboratório R, temos
2
d
= g00 dt2 ;
ou seja,
r
d
2
p
= g00 = 1 + 2 :
dt
c
Se compararmos o tempo marcado por dois relógios em repouso em dois
locais diferentes, teremos
r
p
d
2 (x1 )
= g00 (x1 ) = 1 +
dt1
c2
e
r
p
2 (x2 )
d
;
= g00 (x2 ) = 1 +
dt2
c2
de onde resulta a relação
p
p
g00 (x2 )
c2 + 2 (x2 )
dt1
=p
=p
dt2
g00 (x1 )
c2 + 2 (x1 )
ou
dt1 =
s
g00 (x2 )
dt2 :
g00 (x1 )
(37)
Este resultado mostra a dependência do intervalo de tempo com o campo
gravitacional local.
10.6
Derivada covariante
Vamos considerar as transformações gerais de coordenadas conectando os
referenciais R e R0 ,
x ! x0 = x0 (x )
(38)
e as transformações de outras grandezas físicas dentro do contexto do formalismo tensorial.
Por instante, vamos considerar a métrica, invariante, no referencial R,
c2 d
2
=
d d
= g dx dx ;
onde
g
=
@ @
@x @x
8
:
(39)
No referencial R0 ,
c2 d
2
=
= g 0 dx0 dx0 ;
d d
(40)
onde
g0
=
@ @
@x0 @x0
=
@ @ @x @x
@x @x @x0 @x0
=
@ @x @ @x
@x @x0 @x @x0
=
@x @x
g
@x0 @x0
:
Os elementos diferenciais transformam-se como
dx0 =
@x0
dx ;
@x
de modo que
g 0 dx0 dx0
=
@x0
@x @x
@x0
g
dx
dx
@x0 @x0
@x{
@x
=
@x @x0 @x @x0
g dx dx
@x0 @x{ @x0 @x
= g dx dx :
Isto sugere de…nir os quadri-vetores como as grandezas cujas componentes contravariantes V transformam-se da mesma maneira que os elementos diferenciais, isto é,
V
!V0 =
@x0
V
@x
:
(41)
De…nindo as componentes covariantes através da operação de abaixamento
de índices com o auxílio do tensor métrico,
V =g V ;
a sua transformação …ca
V 0 = g0 V 0 =
@x @x
@x0
g
V
@x0 @x0
@x
=
@x @x @x0
@x
g V =
g V
0
0
@x @x @x
@x0
=
@x
V :
@x0
9
Desta maneira, produtos do tipo U V são automaticamente invariantes,
U0 V 0 =
@x
@x @x0
@x0
U
V
=
U V =U V :
@x0
@x
@x0 @x
De um modo geral, vamos de…nir tensores de qualquer ordem através das
transformações
@x0 @x0 @x0
T
=
T
@x @x @x
para índices contravariantes e
T0
=
@x @x @x
@x0 @x0 @x0
T
:
para os índices covariantes.
Equações de movimento são em geral expressas por meio de equações
diferenciais, de modo que precisamos entender como se transformam as derivadas.
Para iniciar, considere a operação diferencial
@x @
@
=
;
0
@x
@x0 @x
com a típica transformação das componentes covariantes de um quadri-vetor.
Se aplicado sobre uma função escalar (x), temos
@x @ (x)
@ 0 (x0 )
=
;
0
@x
@x0 @x
de modo que a derivada parcial
@ (x)
@x
é um quadri-vetor. Por outro lado, se aplicado sobre um quadri-vetor,
@V 0 (x0 )
@
=
@x0
@x0
=
@x0
V
@x
=
@x @
@x0 @x
@x0
V
@x
@x @x0 @V
@ 2 x0
+
V ;
@x0 @x @x
@x0 @x
a transformação resultante não corresponde à de um tensor de segunda ordem, com índices mistos co e contravariantes.
No entanto, a conexão a…m transforma-se como
0
@x0 @x @x
=
@x @x0 @x0
@x0 @ 2 x
+
:
@x @x0 @x0
10
Se derivarmos uma vez a identidade
@x0 @x
=
@x @x0
em relação x0 , resulta
@x0 @x
@x @x0
@
@x0
@ 2 x0 @x
@x0 @ 2 x
=
=0 ;
@x0 @x @x0
@x @x0 @x0
=
isto é,
@x0 @ 2 x
=
@x @x0 @x0
@ 2 x0 @x
;
@x0 @x @x0
de modo que
0
e o produto
0
@ 2 x0 @x
:
@x0 @x @x0
@x0 @x @x
=
@x @x0 @x0
V transforma-se como
V0
=
@x0 @x @x @x0
@x @x0 @x0 @x
=
@x @x0 @x
@x0 @x @x
=
@x @x0
@x0 @x
@ 2 x0 @x @x0
V
@x0 @x @x0 @x
V
@ 2 x0 @x
V
@x0 @x @x
V
@ 2 x0
V
@x0 @x
V
Deste modo,
@V 0 (x0 )
+
@x0
0
V0 =
@x @x0 @V
@x @x0
+
@x0 @x @x
@x0 @x
V
;
de modo que a operação,
V; = V; +
V ;
(42)
que de…ne a derivação covariante de um quadri-vetor contravariante, transformase como um tensor misto de segunda ordem, onde se usa a notação da derivada
parcial.
@V
V; =
@x
Para um quadrivetor covariante, a derivada covariante …ca
V
;
=V
;
11
V :
(43)
Nos referenciais inerciais, a conexão a…m é nula e a derivada covariante
coincide com a derivada parcial usual.
Uma combinação especial de derivadas é o rotacional, que …ca
V
V
;
=V
;
;
V
;
(44)
;
nos dois índices inferiores. Uma outra derivação
resultado devido à simetria
especial é o divergente,
1 @ p
gV
V =p
g @x
V; = V; +
(45)
;
onde g = det (g ).
A derivada covariante generalizada para tensor misto de qualquer ordem pode ser obtido aplicando a regra de derivação covariante para cada
índice tensorial, equação (42) para índices contravariantes e equação (43)
para índices covariantes,
T
;
=T
;
+
T
+
T
T
(46)
:
A equação de continuidade do tensor de energia momento T , um tensor
de segunda ordem, …ca
T
10.7
;
=T
;
+
T
+
T
1 @ p
( gT ) +
=p
g @x
T
:
(47)
Derivada covariante ao longo de uma curva
Podemos ver que a quadri-velocidade é um quadri-vetor, pois
dx0
@x0 dx
=
;
d
@x d
porém a quadri-aceleração não é,
d 2 x0
d
=
2
d
d
@x0 dx
@x d
@ 2 x0 dx dx
@x0 d2 x
=
+
:
@x @x d d
@x d 2
De forma geral, derivadas temporais
dV 0
d
=
d
d
@x0
V
@x
@x0 dV
@ 2 x0 dx
=
+
V
@x d
@x @x d
de quadri-vetores não resultam quadri-vetores. Podemos combinar com a
transformação
12
0
dx0 0
V
d
@x0 @x @x
@x @x0 @x0
=
@ 2 x0 @x
@x0 @x @x0
@x0 @x @x0 @x @x0
@x @x0 @x @x0 @x
=
@x0 @x0 dx
V
@x @x d
dx
V +
d
@ 2 x0 @x @x0 @x0 dx
V
@x0 @x @x0 @x @x d
=
@x0 @x @x
@x @x @x
=
@x0
@x
dx
V
d
@ 2 x0 dx
V
@x @x d
0
dx0 0
@x0
V =
d
@x
dV
+
d
@ 2 x0 dx
V
@x @x d
dx
V
d
de modo que
dV 0
+
d
dx
V
d
;
dx
d
V ;
mostrando que a operação
DV
D
=
dV
+
d
d
+
d
dx
V =
d
que de…ne a derivada covariante ao longo de uma trajetória, preserva a natureza tensorial.
Se V for a quadri-velocidade, teremos
D
D
dx
d
=
d2 x
+
d 2
dx dx
;
d d
de modo que
d 2 x0
+
d 2
0
dx0 dx0
@x0
=
d d
@x
d2 x
+
d 2
dx dx
d d
;
mostrando que a equação de movimento transforma-se como um quadri-vetor,
sendo, portanto, explicitamente covariante.
A equação de movimento pode ser escrita como
D
D
dx
d
=
d2 x
+
d 2
13
dx dx
=0;
d d
e sendo covariante, é válida em todos os refereciais, inerciais ou não. Nos
referenciais inerciais, a conexão a…m é nula e portanto a derivada covariante
coincide com a derivada comum.
A equação
dV
dx
+
V =0
d
d
de…ne o transporte pararelo do vetor V ao longo de uma trajetória x( ).
10.8
Equações de Einstein
Na Relatividade Geral, o efeito do campo gravitacional pode, devido à sua
universalidade, pode ser embutido na geometria do espaço tempo, cujo agente
é o tensor métrico g (x), uma função do espaço-tempo. Identi…camos também a componente g00 (x) com o potencial gravitacional (x), equação (36).
A correspondente equação de campo para este potencial newtoniano é
r2 = 4 G ;
(48)
onde (x) é a densidade de massa. Na Relatividade, a densidade de matéria
e energia é dada pelo tensor de energia e momento T (x), cuja componente
T00 (x) pode ser identi…cada com a densidade (x).
O campo fundamental deve ser portanto o tensor métrico g (x), as
equações de campo devendo, portanto, conter as suas derivadas primeira
e segunda. Como a origem do campo gravitacional é a matéria e energia, o
tensor de energia e momento deve entrar como o termo de fonte das equações
de campo.
Na equação de movimento (??), introduzimos a conexão a…m, equações
(??) e (??), construída por derivadas primeiras do tensor métrico g (x), e
que faz o papel da força gravitacional. No entanto, embora a equação (??)
seja covariante pelas transformações gerais de coordenadas, as suas partes
não o são. Em especial, a conexão a…m transforma-se como
0
u
=
@x0 @x @x
@x @x0 @x0
+
@x0 @ 2 x
:
@x @x0 @x0
(49)
A conexão a…m e as suas derivadas primeiras podem ser combinadas para
construir o tensor de curvatura de Riemann-Christo¤el,
R
=
@
@x
@
@x
+
:
(50)
Das contrações dos seus índices tensoriais resultam o tensor de Ricci
R
=R
14
(51)
e o escalar de curvatura
R=R
(52)
:
O tensor de curvatura satisfaz à chamada identidade de Bianchi,
R
Contraindo os índices
+R
;
;
+R
;
e
e usando a antissimetria R
R
;
R
+R
;
;
(53)
=0:
=0:
=
R
, resulta
(54)
Uma segunda contração de índices leva a
1
g R
2
R
=0:
(55)
;
As equações de campo podem ser construídas partindo da lei de Gauss
gravitacional (48) que, com a relação (36), …ca
r2 g00 = 4 G = 8 GT00 ;
(56)
A sua generalização tensorial …ca
G
= 8 GT
;
(57)
onde T é o tensor de energia momento e G é um tensor de segunda
ordem que deve ser construída com o tensor métrico g e de suas derivadas
até de segunda ordem, ou das contrações do tensor de curvatura. O tensor
de segunda ordem mais geral que pode ser construída a partir do tensor de
curvatura de Riemann-Christo¤el é
G
1
g R;
2
=R
(58)
resultando nas equações de Einstein
1
g R = 8 GT :
(59)
2
A equação de Bianchi na forma (55) garante que a equações de Einstein
satisfazem automaticamente à equação da continuidade (47).
Se contrairmos os índices tensoriais das equações de Einstein, e lembrando
que
3
X
g =
g =4;
(60)
R
=0
15
resulta
R=
8 GT
(61)
:
Podemos substituir este resultado na equações de Einstein (59), que então
…cam
R = 8 GS ;
(62)
onde S
é o termo de fonte relacionado com o tensor de energia momento,
S
1
g T
2
=T
(63)
:
Na analogia com o eletromagnetismo as equações de Einstein correspondem às duas das equações de Maxwell não homogêneas e as identidades
de Bianchi (53) correspondem às outras duas das equações de Maxwell homogêneas.
Resolver as equações de Einstein signi…ca determinar o tensor métrico
g , que pode ter até dez componentes independentes. As dez equações
independentes resultam das equações de Einstein mais as quatro condições
adicionais fornecidas pela identidade de Bianch, equação (??). Em termos
práticos, a simetria dos sistemas físicos reduz substancialmente o número de
componentes independentes do tenosr métrico.
A métrica da parte externa de um sistema estático e isotrópico de massa
M,
d
2
=
1
2M G
r
2
dt
1
2M G
r
1
dr2
r2 d
2
r2 sin2 d'2 ;
tem quatro componentes não triviais, gtt , grr = gtt 1 , g e g'' não totalmente independentes. Esta é a métrica de Schwarzchild.
Em cosmologia se usa a métrica de Robertson-Walker,
d
2
= dt2
R2 (t)
1
dr2 + r2 d
1 kr2
2
+ r2 sin2 d'2 ;
onde R(t) é uma função a ser determinada, dependente do parâmetro k, que
pode assumir os valores 0, 1,ou 1, dependendo da densidade de massa do
universo, que deve ser homogêneo e isotrópico.
10.9
Campo gravitacional uniforme
Um campo gravitacional uniforme não ocorre na natureza e somente tem
signi…cado como uma aproximação local. A presença de um campo gravitacional uniforme representa o modelo mais simples de um referencial não inercial, equivalente ao referencial com aceleração própria constante quando vista
16
de um referencial inercial, no caso em queda livre neste campo gravitacional
uniforme. Vamos deduzir as transformações que conectam o referencial inercial e o referencial uniformemente acelerado (aceleração própria constante)
que, pelo Princípio da Equivalência, mimetiza a presença de um campo gravitacional uniforme, e são conhecidas como transformações de Rindler.
Uma partícula executando um movimento hiperbólico com aceleração
própria a0 é o suporte ideal para construir um referencial não inercial R, com
coordenadas (x ) = (x0 = ct; x1 = x; x2 = y; x3 = z), que mimetiza a presença de um campo gravitacional uniforme g = a0 . Seguindo esta nomenclatura, R0 com coordenadas (x0 ) = (x00 = ct0 ; x01 = x0 ; x02 = y 0 ; x03 = z 0 ) indica o referencial inercial em relação ao qual a partícula executa o movimento
hiperbólico, que será considerado ao longo do eixo comum, zz 0 ,
c2
(ct ; z ) = (sinh a0 , cosh a0 ) ;
a0
0
0
(64)
ilustrada na …gura 1, com os grá…cos da trajetória (azul), velocidade (verde)
e aceleração (vermelho), no plano z 0 ct0 , eixo do tempo na horizontal.
z
t
Figura 1: trajetória (azul), velocidade (verde) e aceleração (vermelho) do
movimento hiperbólico.
É a trajetória relativística de uma partícula com massa de repouso m0
(no referencial inercial R0 ) sob a ação de uma força externa constante na
direção do movimento, solução da equação de movimento
m0
d2 x 0
= f0
d 2
(65)
para o caso do quadri-vetor força
0
f 0 = fhp
=
17
0
0
Fhp
(66)
com componentes
0
Fhp
= (F0 vz0 ; 0; 0; F0 )
(67)
onde F0 é a força externa constante atuando na direção do eixo z 0 ,
0
e
=p
1
1
v 02 =c2
=
(ea0 + e
2
a0
)
(68)
= cosh(a0 )
F0
(69)
m0
é a aceleração própria. Supondo que a velocidade inicial seja na mesma
direção da força, o movimento é unidimensional.
O tensor métrico g será de…nido de forma compatível com o tensor
métrico minkowskiano[1 6]
, com os sinais relativos das componentes diagonais tempo-tempo e espaço-espaço ( ; +; +; +). Por simplicidade, será
adotado o sistema natural de unidades onde c = 1. No entanto, quando
necessário por motivos de clareza, a velocidade da luz c será colocada explicitamente.
Com esta escolha da métrica,
a0 =
U U =
1 e A A = a20 ;
(70)
onde U e A são os quadri-vetores velocidade e aceleração, respectivamente.
10.9.1
Referenciais não inerciais
As transformações
x0 = x0 (x )
(71)
conectando as coordenadas x do referencial uniformemente acelerado R com
as coordenadas x0 do referencial inercial R0 são conhecidas como transformações de Rindler[7] . Derivando em relação ao tempo próprio, resulta
@x0 dx
dx0
=
d
@x d
(72)
e, derivando uma segunda vez,
d 2 x0
d
=
2
d
d
@x0 dx
@x d
=
@ 2 x0
@x @x
dx dx
+
d d
@x0
@x
d2 x
;
d 2
e com o auxílio da identidade
@x0 @x
=
@x @x0
18
(73)
chega-se a
d2 x0
@x0
=
d 2
@x
d2 x
@x @ 2 x0 dx dx
+
d 2
@x0 @x @x d d
:
(74)
Substituindo na equação de movimento (65) resulta
m0
@x0
@x
d2 x
+
d 2
dx dx
d d
= f0
que, multiplicada em ambos os lados por @x =@x0 e com a identidade (73),
torna-se
d2 x
@x 0
dx dx
m0 2 + m0
=
f ;
(75)
d
d d
@x0
onde
@x @ 2 x0
:
(76)
=
@x0 @x @x
de…ne a conexão a…m.
A equação (75) pode ser usada para de…nir a equação de movimento
de uma partícula de massa de repouso m0 sujeita a uma força externa não
gravitacional
@x 0
f :
(77)
f =
@x0
no referencial não inercial R,
d2 x
+ m0
d 2
que inclui uma força inercial
dx dx
=f ;
d d
m0
fgrav =
m0
dx dx
d d
(78)
(79)
que, pelo Princípio da Equivalência, nã há como se distinguir, localmente, de
uma força gravitational.
O tempo próprio de…nido no referencial inercial R0 é
ds2 =
c2 d
2
=
dx0 dx0 =
@x0 @x0
dx dx
@x @x
(80)
e no referencial não inercial R,
ds2 =
c2 d
2
= g dx dx ;
19
(81)
com o tensor métrico
@x0 @x0
:
(82)
@x @x
A conexão a…m (76) pode ser escrita em termos do tensor métrico e das
suas derivadas,
g
=
@g
@g
+
@x
@x
1
= g
2
10.9.2
@g
@x
(83)
:
Tensor métrico
O tensor métrico de…ne as propriedades do espaço-tempo no qual evolui o
sistema físico, de modo que deve ser o elemento prioritário a ser determinado.
Considere a invariante cinemática
dx0 dx0
=
d d
@x0 @x0 dx dx
=g U U =
@x @x d d
c2
(84)
que, para um objeto em repouso no referencial R, …ca
g00 U 0 U 0 =
c2
(85)
de modo que as componentes temporais contra variante e co variante resultam
U0 = p
e
c
g00
cg00
=
U0 = g00 U 0 = p
g00
(86)
c
p
g00 ;
(87)
respectivamente. Da equação (78) resulta
00 U
0
U0
f
=0
m0
(88)
e, usando a de…nição usual da força relativística f
F ;onde F i (parte
espacial) é a força externa que mantém o objeto em repouso contra a força
gravitational.
F
c2 00
=0:
g00
m0
Usando a massa relativística
m = m0
(89)
para
=
1
dt
=p
;
d
g00
20
que vem da métrica (81) para uma partícula em repouso, resulta
F
= c2
m
(90)
:
00
A condição A U = 0 da relatividade restrita corresponde a
@x0 @x0 d2 xa
dx
@xa @ 2 x0 dx dx
+
a
2
0
@x @x
d
@x @x @x d d
d
2 a
2 0
a
dx
dxa
@x @ x dx dx
=
=0
+ 0
2
d
@x @x @x d d
d
d2 x0 dx0
d 2 d
=
que implica
(91)
f U =0:
Assim,
f i Ui
f i Ui
=p
U0
g00
f i Ui =) f 0 =
f 0 U0 =
e f 0 = 0 que, da parte temporal da equação (90),.implica
0
00
@g0z
@x0
= g z0
1 @g00
2 @z
1 @g00
+ g 00 0 = 0 :
2
@x
(92)
Como a métrica, neste caso, não deve ter dependência temporal, a expressão
acima pode ser simpli…cado para
0
00
= g z0
@g0z
@x0
1 @g00
2 @z
=0;
de onde pode-se concluir que g z0 = 0.
Na equação (90) a parte espacial para o movimento unidimensional ao
longo do eixo z é
z
Fz
2 00
c
=0
g00
m0
que, considerando
z
00
= g zi
1 @g00
2 @z
@g0z
@x0
=
1 zz @g00
g
6= 0 ;
2
@z
leva à equação
c2
z
00
=
c2 zz @g00
Fz
g
=
:
2
@z
m
21
(93)
Nesta equação, F z é a força externa que suporta a particula de massa m
sujeita à força inercial ou gravitacional m z00 . Para um campo gravitacional
uniforme, z00 também deve ser uniforme,
Fz
=a,
m
z
00
=
1 zz @g00
a
g
= 2:
2
@z
c
(94)
A métrica (81) …ca
ds2 =
c2 d
2
= g00 (z)c2 dt2 + gzz (z)dz 2 + dx2 + dy 2 ;
(95)
ou, considerando na parte espacial apenas a componente z,
ds2 =
c2 d
2
= g00 (z)c2 dt2 + gzz (z)dz 2 ;
(96)
que implica na relação entre os tempos
1
dt
=p
:
d
[g00 (z) + gzz (z)vz2 =c2 ]
=
(97)
Para um tensor métrico diagonal, as condições de ortogonalidade g g
g =
implica g = (g ) 1 e, portanto,
g 00 = (g00 )
1
1
e g zz = (gzz )
=
(98)
;
e a equação (94) pode ser escrita (c = 1) como
@g00
=
@z
(99)
2agzz :
A relação entre as funções g00 (z) e gzz (z) pode ser obtida na equação de
Einstein
R =0
(100)
o tensor de Ricci
R
= Ra
a
obtida pela contração Ra
Ra
=
@ aa
@x
=
a
@ a
+
@xa
a
a
a
a
(101)
do tensor de curvatura de Riemann
@ a
@x
@ a
+
@x
a
a
:
(102)
Neste caso, as únicas não nulas são as componentes tempo-tempo
R00
@ a0a
=
@x0
@ a00
+
@xa
22
a
0a 0
a
00 a
(103)
e espaço-espaço
@ aa
Rij =
@xj
@ aij
+
@xa
a
ia j
a
a
ij
:
(104)
A componente tempo-tempo em termos das componentes não nulas da
conexão a…m …ca
@ z00
+
@z
onde, usando as equações (94) e (98),
R00 =
0
0z
z
00
z
z
00 zz
1 00 @g00
g
= ag 00 gzz
2
@z
1 zz @g00
=
g
=a
2
@z
1 zz @gzz
=
g
2
@z
0
z0
(105)
=
z
00
z
zz
(106)
de tal modo que
R00 =
1
2
g 00
@g00
@z
g zz
@gzz
@z
:
Considerando que g00 < 0,
g 00
1 @( g00 )
@ ln( g00 )
@g00
=
=
@z
( g00 ) @z
@z
assim como
g zz
1 @gzz
@ ln gzz
@gzz
=
=
@z
gzz @z
@z
a equação de Einstein (100)
R00 =
1 @ ln ( g00 =gzz )
=0:
2
@z
(107)
Esta equação leva à relação
g00
= C , gzz =
gzz
Cg00
onde C é uma constante. Com este resultado, a equação (99). …ca
@g00
= 2aCg00
@z
23
(108)
ou
1 @g00
@ ln( g00 )
=
= 2aC
g00 @z
@z
que pode ser integrada resultando
ln( g00 ) = 2aCz + D
ou
g00 (z) = Ae2aCz e gzz (z) =
CAe2aCz
onde A, D e C são constantes de integração. Para que quando a = 0 a
métrica seja de Minkowski, C = 1 e, para que haja simetria translacional,
A=
2az0
e
para z0 arbitrário, de modo que
g00 (z) =
e2a(z
z0 )
e gzz (z) = e2a(z
z0 )
(109)
:
Por questões de simplicidade e sem perda de generalidade pode-se fazer
z0 = 0,
g00 (z) = e2az e gzz (z) = e2az ;
(110)
a métrica (95) assumindo a forma simples
ds2 =
d
2
=
e2az dt2 + e2az dz 2 + dx2 + dy 2 ;
(111)
isto é
2
d
que de…ne o fator
= e2az dt2
e2az vz2 + vx2 + vy2 dt2 ;
de uma forma geral
=
dt
=q
d
g00 (1
1
(112)
vz2 )
vx2 + vy2
ou, considerando apenas o movimento unidimencional ao longo do eixo z,
=
dt
1
=p
d
g00 (1
vz2 )
=
1
p
eaz 1
vz2
:
(113)
A componente espaço-espaço não trivial das equações de Einstein (100) é
Rzz
@ 0z0
=
+
@z
0
0
z0 z0
+
z
0
z0 zz
24
z
zz
0
0z
ezz = 0
+R
onde
@ kik @ kij
k m
e
Rij =
+ kim m
jk
ij mk :
j
k
@x
@x
Com procedimentos similares aos usados acima, pode ser reduzida a
1 00 @ ln (g 00 gzz )
ag gzz
=0;
2
@z
não contendo nenhuma informação adicional.
Rzz =
10.9.3
Transformações de Rindler
As transformações de coordenadas x0 (x ) = x0 (z; t) relacionando as coordenadas dos referenciais inercial e não inercial, R0 e R, respectivamente, podem
ser obtidas resolvendo o sistema de equações diferenciais
@ 2 x0
@x0
=
@x @x
@xa
a
(114)
;
que neste caso resultam no sistema de equações
@ 2 x0
@z@z
@ 2 x0
@z@t
@ 2 x0
@t@t
@x0
@xa
@x0
=
@xa
@x0
=
@xa
=
a
zz
a
z0
a
00
@x0
@z
@x0
=
@t
@x0
=
@z
=
z
zz
;
0
z0
;
z
00
;
(115)
cujas componentes não nulas da conexão a…m listadas em (106), com as
substituições das funções méttricas, …cam
0
z0
z
00
z
zz
1 00 @g00
g
=a;
2
@z
1 zz @g00
=
g
=a;
2
@z
1 zz @gzz
=
g
=a:
2
@z
=
(116)
Com estes valores o sistema de equações resultantes …ca
@ 2 x0
@z 2
@ 2 x0
@z@t
@ 2 x0
@t2
@x0
@z
@x0
a
@t
@x0
a
@z
a
@ @x0
ax0
=0;
@z
@z
@ @x0
= 0)
ax0
=0;
@t @z
@ 2 x0
@ 2 x0
= 0)
=0:
@z 2
@t2
= 0)
25
(117)
A primeira e a segunda equações implicam que
@x0
@z
ax0
@x0
@z
= f (t) = g (z) )
ax0
=C
(118)
para alguma constante C . Esta última equação pode ser reescrita na forma
integrável
@
@z
x0 +
C
a
= a x0 +
C
a
)
@
C
ln x0 +
@z
a
= a;
(119)
= exp (az + C)
(120)
cuja solução é
ln x0 +
ou
C
a
= az + C(t) )
x0 +
C
a
C
:
a
Aplicando a última das equações do sistema (117), resulta
x0 (z; t) = A (t)eaz
@ 2 A (t)
@t2
a2 A (t) = 0
(121)
(122)
que de…ne a função temporal
A (t) = B eat + D e
at
(123)
levando às transformações
x0 (z; t) = (B eat + D e
at
)eaz
C
:
a
(124)
Para o movimento hiperbólico os coe…cientes B e D devem ser escolhidas como B z = Dz = c2 =2a e B 0 = D0 = c2 =2a, sendo que as escolhas
C 0 = 0 e C 3 = c2 levam às condições iniciais x00 = 0 e x03 = 0 para t = 0 e
z = 0, resultando nas transformações
c2 az at
e (e
e at ) ;
2a
c2
c2
= z 0 = eaz (eat + e at )
;
2a
a
x00 = ct0 =
x03
(125)
conhecidas como transformações de Rindler, conectando as coordenadas inerciais de R0 com as coordenadas não inerciais de R.
As transformações inversas são
26
a2 h 0
z + c2 a
c4
ct0
tanh at = 0
:
z + c2 a 1
1 2
e2az =
(ct0 )
2
i
Uma partícula em repouso no referencial não inercial R na posição z = 0,
com o tempo próprio t = , realiza um movimento hiperbólico com aceleração
própria a quando vista do referencial inercial R0 .
10.9.4
Movimento de queda livre
Uma partícula em repouso no referencial inercial R0 descreve um movimento
de queda livre quando observada do referencial não inercial R. Para z 0 = 0
resulta
1
(eat + e at )
2
az
=) z(t) =
ln
(126)
e = at
(e + e at )
a
2
com velocidade
e aceleração
(eat e
(eat + e
dz
=
dt
d2 z
=
dt2
a
1
vz2 =
(eat
4
+e
at )2
at
)
(127)
at )
=
ae2az :
(128)
Veja que
e
=p
4
(eat + e
1
g00 (1
vz2 )
=
at )2
eaz
1
p
1
= e2az
vz2
=e
(129)
2az
:
(130)
O movimento de queda livre num campo gravitacional uniforme não é um
movimento hiperbólico.
10.9.5
Transformações dos campos vetoriais
Para transformações gerais de coordenadas x0 = x0 (x ), as transformações
diferenciais
@x0
dx0 =
dx
(131)
@x
27
de…nem as transformações dos campos vetoriais. Em particular, para as
transformações de Rindler (125), considerando as derivadas parciais
@t0
(eat + e at )
=
;
@t
2e az
(eat e at )
@z 0
=
;
@t
2e az
(eat e at )
@ct0
=
;
@z
2e az
(eat + e at )
@z 0
=
@z
2e az
(132)
e
@t
(eat + e at ) @t
(eat e
=
;
=
c@t0
2eaz
@z 0
2eaz
at
at
at
@z
(e
e ) @z
(e + e
=
; 0 =
0
az
c@t
2e
@z
2eaz
resultam nas transformações:
(eat + e
2
2
at
at
at
(e
+
e
)
(e
e
= eaz
dz + eaz
2
2
cdt0 = eaz
dz 0
(eat
at
e
)
at
at
at
dz + eaz
at
)
;
)
)
)
(133)
dt ;
dt
(134)
e
dt =
at
az (e
e
at
e
)
dz 0 + e
2
at
at
(e
+
e
) 0
dz
dz = e az
2
Para a quadri-velocidade,
U 00 = eaz
(eat
at
e
)
e
az (e
at
+ e at ) 0
cdt ;
2
e at ) 0
cdt :
2
at
az (e
U 3 + eaz
(eat + e
2
2
= U 1 e U 02 = U 2 ;
at
at
at
) 3
e
az (e + e
az (e
= e
U +e
2
2
U 01
U 03
at
)
(135)
U0 ;
(136)
at
)
U0
e a sua inversa
U0 =
U1
U3
e
az (e
at
e
at
)
U 03 + e
2
= U 01 e U 2 = U 02 ;
(eat + e at ) 03
= e az
U
2
az (e
at
at
+e
2
)
U 00 ;
(137)
at
e
az (e
e
at
)
2
U 00 :
Da primeira das equações (136) pode-se obter
0
at
az (e
=e
e
2
at
)
vz + e
28
az (e
at
+e
2
at
)
(138)
e das componentes espaciais,
0 0
vx
0 0
vz
vx e 0 vy0 = vy ;
(eat + e at )
(eat e
= eaz
vz + eaz
2
2
=
at
)
(139)
;
que leva às transformações das velocidades
dx0
2vx e az
=
dt0
(eat e at )vz + (eat + e
dy 0
2vy e az
=
=
dt0
(eat e at )vz + (eat + e
dz 0
(eat + e at )vz + (eat e
=
=
dt0
(eat e at )vz + (eat + e
vx0 =
vy0
vz0
at )
;
(140)
;
at )
at
)
:
at )
Da mesma maneira, das equações (137) pode-se obter
=
e
az (e
at
e
2
at
)
0 0
vz
+e
at
az (e
+e
2
at
)
0
(141)
e as transformações inversas das velocidades
dx
vx0
= 2eaz
;
dt
(eat e at ) vz0 + (eat + e at )
vy0
dy
=
= 2eaz
;
dt
(eat e at ) vz0 + (eat + e at )
dz
(eat + e at ) vz0 (eat e at )
=
=
:
dt
(eat e at ) vz0 + (eat + e at )
vx =
vy
vz
(142)
Para a aceleração, considerando apenas o movimento ao longo do eixo z,
por derivação direta, resulta
a0z =
d2 z 0
a(eat e at )vz + (eat + e at )az + a(eat + e
=
dt02
(eat e at )vz + (eat + e at )
at
at
(e + e )vz + (eat e at )
at
at
)vz +
2 a(e + e
at
at
at
at
[(e
e )vz + (e + e )]
dt
+ (eat e at )az + a(eat e at )
dt0
at
) dt
+
dt0
(143)
com a relação entre os tempos dada por
dt
@t
@t dz 0
(eat + e
= 0+ 0 0 =
dt0
@t
@z dt
2eaz
29
at
)
(eat
e at ) vz0
:
2eaz
(144)
Para uma partícula em repouso na origem do referencial não inercial R,
quando az = 0, vz = 0 e z = 0 (t = ), o observador inercial em R0 verá esta
partícula com aceleração
a0z =
8a
+e
(ea
a
=
)3
a
(145)
03
do movimento hiperbólico com aceleração própria a.
Por outro lado, no caso de uma partícula em repouso no referencial inercial
0
R , quando a0z = 0, vz0 = 0 e z 0 = 0, o observador no referencial não inercial
R verá a partícula em movimento de queda livre com aceleração
az =
(eat
4a
+e
=
at )2
ae2az ;
(146)
que corresponde ao movimento de queda livre, equações (126-128).
As componentes do quadri-vetor força f = F devem transformar-se
como
f0 =
f1
f3
e
at
az (e
at
e
)
f 03 + e
2
01
2
= f , f = f 02 ;
(eat + e at ) 03
= e az
f
2
at
az (e
az (e
e
+e
2
at
e
2
at
at
)
)
f 00 ;
f 00 :
(147)
Para a força constante, equação (67),
f0 =
e
at
az (e
e
at
)
0
F0 + e
2
(e + e at ) 0
= e az
F0
2
at
f3
f0 =
f3 =
10.9.6
at
at
az (e
e
que, com as equações (138) e (139) para
az (e
0
e
F 0 vz ;
F0 :
0 0
vz ,
+ e at ) 0 0
vz F0 ;
2
e at ) 0 0
vz F 0
2
(148)
resultam
(149)
Aceleração própria e gravidade
0
Pelo Princípio da Equivalência, para uma força externa fhp
atuando sobre
uma partícula e causando uma aceleração própria a0 , equação (66), levando
ao movimento hiperbólico para um observador no referencial inercial R0 , no
30
referencial não inercial R de repouso desta partícula deve atuar um campo
gravitacional uniforme de intensidade a, equação (94), tal que a força grav0
itacional cancele a força externa f . A força f em R é a mesma força fhp
0
de R , estando relacionadas através das transformações (147-149).
Para vz = 0, das equações (149) resultam
f0 = 0
e
F z = F0
e para a partícula em repouso em z = 0,
=
eaz
e m = m0 = m0 , resultando
a=
1
p
1
vz2
=1
Fz
F0
=
= a0 ;
m
m0
a condição a = a0 imprescindível para que o Princípio da Equivalência seja
válido.
10.9.7
Equação de movimento
Num referencial não inercial, a equação de movimento de uma partícula
clássica é dada por
m0
d2 x
+ m0
d 2
dx dx
=f :
d d
(150)
Para o referencial não inercial R (uniformemente acelerado ou na presença
de um campo gravitacional uniforme), as únicas componentes não nulas da
conexão a…m são, da equação (116), 0z0 = z00 = zzz = a, a equação de
movimento assume a forma
m0
d2 z
+ m0
d 2
dx0
+ m0
d d
z dx
00
0
z dz
zz
dz
= fz
d d
e, usando as componentes
gzz (z) =
g00 (z) = e2az
do tensor métrico, equação (110)
m0
d 2 x0
+ 2m0
d 2
dx0
f i Ui
f i Ui
= f0 = p
= az
d d
g00
e
0 dz
z0
31
para as componentes espacial z e temporal, respectivamente. Usando a
equação (113), a equação espacial pode ser escrita como
m0
d2 z
(1 + vz2 )
+
m
a
= fz
0
2
2
2az
d
(1 vz ) e
ou, para
fz = Fz ;
m0
d2 z dz d
+
dt2
dt dt
+ m0 a
1 + vz2 = F z ;
2
lembrando que
=
dt
1
p
=
d
eaz 1
vz2
:
Para manter a partícula em repouso na origem,
m0 a = F z
onde F z deve ser uma força constante dada por
F z = F0 = m0 a ;
que de…ne o peso da partícula no campo gravitacional g = a.
10.10
Bibliogra…a
[1] Steven Weinberg, Gravitation and cosmology: principles and applications
of the general theory of relativity, John Wiley & Sons, NY (1972).
[2] Eric A. Lord, Tensors Relativity and Cosmology, McGraw-Hill, New
Delhi (1979).
32