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O desenvolvimento da teoria de gravitação
1.1 Desenvolvimento histórico da gravitação
No desenvolvimento da teoria da gravitação, ocorreu um encadear de trabalhos que irão
culminar na obra monumental de Isaac Newton “Princípios matemáticos de filosofia natural”,
conhecido vulgarmente pelo seu primeiro nome em latim, Principia. São importantes as
discussões feitas por Christopher Wren (1632-1723), Edmond Halley (1656 – 1742) e Robert
Hooke (1635-1702) sobre as leis que governavam as formas precisas das órbitas dos objectos
celestes e as suas relações com as leis da mecânica, tais como a lei de inércia e a lei de força
central e atractiva (dirigida para o Sol). Entre 1662 e 1664, Robert Hooke tentou provar
experimentalmente que a força exercida pela Terra sobre qualquer corpo variava com a altura.
Para este fim, Robert Hooke, que era o responsável experimental da Royal Society (Curator of
Experiments), efectuou algumas experiências com o objectivo de medir o peso de vários corpos a
diversas alturas do solo. Para tal, ele próprio se suspendia na cúpula da Abadia de Westminster e
na da Catedral de São Paulo procurando, desta forma, encontrar eventuais diferenças no peso
dos corpos quando estes estavam a diferentes distâncias da superfície da Terra. Apesar dos seus
esforços, como hoje sabemos, devido à pequena variação da distância ao centro da Terra, não
conseguiu detectar qualquer variação entre os valores medidos nas diversas situações
consideradas.
Em 1674 Robert Hooke, num trabalho intitulado “Tentativa de Demonstrar o Movimento da Terra”,
apresentou os progressos que havia conseguido até então. Nesse trabalho, Hooke escreveu um
apêndice no qual incluiu três “pressuposto”, que revelam bem a importância do seu trabalho.
Essas três “pressupostos” traduziam em termos gerais as seguintes ideias:
- Todos os corpos celestes têm uma atracção ou força gravitacional em direcção aos seus
centros, através da qual atraem não só a si próprios, mas também todos os outros corpos celestes
que estão dentro da sua própria esfera de acção.
- Todos os corpos que são postos em movimento simples e directo continuarão a mover-se numa
linha recta, até que sejam desviados, por alguma outra força, para um movimento descrevendo
um círculo, uma elipse ou alguma outra linha curva composta.
- Tais forças atractivas são tanto mais poderosas a operar sobre um dado corpo, quanto mais
perto esse corpo se encontra dos centros de atracção.
De acordo com estes pressupostos, verificamos que Hooke “suspeitava” que estas forças
atractivas diminuíam com a distância. No entanto, ainda não se conhecia a forma como a força
dependia da distância. A questão que se colocava era então a de descobrir esse tipo de
dependência: seria a força atractiva inversamente proporcional à distância, ao quadrado da
distância, a outra potência da distância, ou seria mesmo um outro tipo de dependência ainda mais
complexo?
Para além de Robert Hooke, também Christiaan Huygens se interessou por este tipo de questões.
Sabia-se que, quando se largava uma pedra que se encontrava a rodar no extremo de uma corda,
Este material faz parte da dissertação de mestrado em ensino de Astronomia de António Manuel Alves Morais
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a trajectória circular que a pedra tinha imediatamente antes de se soltar parecia resultar do
balanço entre a força exercida pela pessoa que segurava a corda e a “força exterior” com que a
pedra “puxava” a corda. Em 1673, Huygens publica o livro “Horologium Oscillatorium sive de motu
pendulorum” onde, entre outros trabalhos, obtém a lei de força para o movimento circular e
uniforme: a tal força exterior. Nesse livro demonstra que o valor dessa “força exterior” exercida
pela pedra era proporcional ao quadrado da velocidade a dividir pelo raio da circunferência, que é
a trajectória da pedra presa à corda:
Fexterior ∝
v2
R
(0.1)
Supondo que os planetas se movem em órbitas circulares com velocidade de módulo v constante,
vamos aplicar esta proporcionalidade aos planetas. A 3.ª lei de Kepler estabelece que o período T
da órbita de um planeta em torno do Sol satisfaz a equação:
T = k R3
(0.2)
onde k é uma constante e R o raio médio da órbita. Com estas hipóteses:
d
2π R
v= ⇔ v=
t
T
isolando o período, virá:
T=
2π R
v
(0.3)
e utilizando a 3.ª lei de Kepler, obtém-se:
2
4 π 2 R3
2π R
3
=
k
R
⇔
= k R3


2
v
 v 
v2 =
4π 2
kR
(0.4)
Finalmente, substituindo v2, que determinamos pela equação (1.4), na equação (1.1) após as
simplificações obtemos:
Fexterior
4π 2 1
∝
k R2
(0.5)
deste modo, demonstra-se que a “força exterior” de Huygens é proporcional ao inverso do
quadrado da distância ao centro.
Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe, no Lincolnshire, Inglaterra, no dia 25 de Dezembro de
1642 (o ano da morte de Galileu) e faleceu em 1727. Estudou no Trinity College em Cambridge,
não sendo um aluno brilhante. Devido a um grave surto de peste, a Universidade encerrou por
diversos períodos durante os anos de 1665 e 1666. Estes períodos coincidiram com uma época
de excepcional produção do trabalho intelectual de Newton. Foi durante estes períodos, em que
trabalhou sozinho e sobretudo em casa, que Newton lançou as sementes do trabalho que viria a
desenvolver nos anos seguintes em áreas tão diversas como a óptica, a dinâmica e a matemática.
Em 1669, sucedeu a Isaac Barrow como professor de Matemática na Universidade. Será em 1687
que Newton, estimulado por Halley, irá publicar o seu trabalho “Princípios Matemáticos de
Filosofia Natural”. Esta obra em três livros, toma em conta todo o conhecimento até então sobre
os movimentos dos corpos e explica as causas dos movimentos. Em particular, no livro III, Newton
expõe o seu sistema de mundo, onde está a lei da gravitação universal. A obra de Newton irá
estabelecer a união entre a Física terrestre e a Física celeste.
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Figura 1 - Isaac Newton
Em 1703, Newton foi eleito presidente da Royal Society, a academia inglesa de ciências, que,
segundo se consta, dirigiu com mão de ferro até à sua morte em 20 de Março de 1727. Depois da
publicação de Óptica em 1704, o livro onde expõe a sua teoria sobre a luz, Newton desviou a sua
atenção para assuntos teológicos. Podemos afirmar que nos últimos 20 anos de sua vida, Newton
não fez mais nenhuma contribuição significativa para a história da ciência. É dessa época o seu
livro Observações sobre as profecias de Daniel e do Apocalipse de São João, publicado em 1733.
Retomando a obra científica newtoniana, é um marco crucial a visita de Edmond Halley em 1684 a
Newton, em Cambridge onde este era professor. Nessa visita, Halley perguntou-lhe qual seria a
órbita de um planeta que se movesse sob a acção de uma força de atracção com origem no Sol e
que variasse com o inverso do quadrado da distância. Ele explicou que ele próprio, Wren e Hooke
haviam falhado na resposta. Newton respondeu que essa órbita seria uma elipse.
Neste seu primeiro encontro com Newton, Halley encorajou-o a escrever este resultado e pediulhe que lho enviasse o mais rapidamente possível. Entre estes desafios e as frequentes trocas de
opinião com Robert Hooke, Newton começou a lançar os fundamentos de uma teoria que
explicasse o movimento dos planetas. Muito mais do que isso, os contributos de Newton para a
gravitação foram uma obra digna de um titã. Estabeleceu que a atracção gravitacional ocorre
entre todos os corpos do Universo, concluiu que o Sol não pode estar em repouso no centro do
universo pois está sujeito às forças dos outros corpos celestes. Determinou as perturbações nas
órbitas planetárias devido aos outros planetas, mostrou que a órbita dos cometas não é irregular,
estudou a atracção gravitacional dum corpo extenso não esférico (elipsóide de revolução),
estabeleceu que a Terra deveria ser achatada e determinou esse achatamento, prevendo a
variação gravitacional com a latitude. Propôs um método para determinar experimentalmente esse
efeito, utilizando pêndulos e explicou ainda a precessão dos equinócios e as marés.
Convém aqui salientar que, em 1671, o astrónomo Jean Richer (1630 – 1696) observou que o
período de um mesmo pêndulo era menor na Guiana Francesa do que em Paris. Os seus dados
sobre a gravidade foram utilizados por Newton e também por Huygens, que, no livro já citado,
também analisou o problema, para mostrar que a Terra é uma esfera oblata. Também as marés já
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haviam tido uma “explicação” com Galileu, ou melhor, uma desconfiança relativamente à
influência da Lua.
Um teorema importante demonstrado por Newton foi o seguinte: num corpo uniforme e esférico (o
que corresponde em boa aproximação ao nosso planeta), a soma de todas as forças que o corpo
exerce sobre outro corpo exterior é equivalente à força correspondente à totalidade da matéria, se
esta estiver concentrada no centro do corpo esférico.
Newton formulou uma experiência conceptual, que o tempo se terá encarregado de poeticamente
fazer corresponder ao famoso episódio da queda da maçã, segundo o qual terá tido a ideia da
atracção universal entre os corpos ao observar a queda de uma maça.
Numa linguagem moderna, a lei de Newton da gravitação estabelece que o valor da força de
atracção entre dois corpos de massas m e m1 é dada por (ver figura 2):
r r
r
mm r r
F = −G r r1 3 ( r − r1 )
r − r1
(0.6)
Onde r − r1 é o vector que une os centros dos corpos e cujo módulo é a distância entre os seus
centros. A constante G é chamada de constante de gravitação universal de Newton. O seu valor
foi determinado experimentalmente em 1798 por Henry Cavendish (1731-1810). No SI, o seu valor
nas unidades de base é G = 6,67 x 10—11 m3.s -2.kg -1. A força gravitacional é a força dominante no
Universo em grande escala. É esta força a responsável pelo nascimento das estrelas, pelo
movimento dos planetas, cometas, das estrelas nas galáxias, pelo agrupamento de galáxias em
enxames, etc.
Figura 2 - A lei de Newton da gravitação.
Mas a grandeza massa que aparece na lei da gravitação de Newton, no livro III, não é a mesma
que aparece no livro I dos Principia. Em particular nas definições I, III e respectivos comentários
do livro I, irá definir e relacionar os conceitos de massa e inércia de um corpo estabelecendo que
a massa de um corpo é uma medida da sua inércia. Utilizando o termo força motriz, irá definir a
força que actua num intervalo de tempo muito pequeno que seria necessária apenas para poder
alterar o estado de movimento do corpo. Ainda nesse volume, Newton apresenta as suas três leis
do movimento e, em particular, a segunda lei representa a proporcionalidade entre a força e a
aceleração, a massa do corpo.
A massa m, que aparece na 2.ª lei de Newton, mede a tendência que o corpo tem para resistir a
alteração do seu “movimento natural”, ou seja, rectilíneo e uniforme. Isto está de acordo com a
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nossa intuição: quanto maior a massa de um corpo, mais difícil é movê-lo quando está em
repouso, alterar a direcção do seu movimento ou fazê-lo parar. Devido a isto, o nome que damos
à massa que aparece na 2.ª lei é massa inercial, mi, e então escrevemos:
r
r
F = mi a
(0.7)
1
Entretanto, quando um corpo está em queda livre , a sua massa não tem a característica de
preservar o movimento natural do corpo. A própria força não actua num intervalo de tempo
pequeno, como a força motriz, mas actua sempre que abandonamos qualquer corpo. Por isso, a
massa que aparece na expressão do peso, como na da força gravítica, é chamada de massa
gravitacional, mg. Newton tinha conhecimento dos trabalhos de Galileu, que no seu livro Duas
novas Ciências, de 1638, já havia discutido que os corpos em queda livre, abandonados da
mesma altura relativamente ao solo, chegam no mesmo instante e com a mesma velocidade na
Terra. Este facto experimental não depende da massa desses corpos. Deste modo, a aceleração,
r
a , a que fica sujeito o corpo, é a aceleração gravítica:
r r
a=g
(0.8)
r
r
mi a = mg g
(0.10)
mi = mg
(0.11)
r
onde g é aceleração gravítica. Como o corpo está em queda livre:
r
r
FR = P
(0.9)
r
r
sendo FR a força resultante sobre o corpo e P a força peso. Sendo assim, a igualdade da
equação (1.9) é escrita como:
atendendo à igualdade de (1.8):
ou seja, as massas inercial e gravitacional são equivalentes. Isto na mecânica newtoniana
corresponde a uma simples coincidência. Não há uma explicação para este facto. A explicação
surgirá em 1916, com o princípio da equivalência que aprece na teoria da relatividade geral de
Einstein, que será discutido adiante.
A força gravitacional obedece ao princípio da sobreposição: se tivermos um corpo de massa m
sobre o qual actuam as forças gravíticas de N massas, m1, m2, …, mN fixas às distâncias
r
r r
r
r1 , r2 ,K , rN da origem do referencial onde medimos a posição r de m, a força gravítica resultante
que actua nesse corpo é:
N Gmm
r
r r
F = −∑ r r j3 r − rj
j =1 r − r
j
(0.12)
Aplicando a equivalência das massas inercial e gravitacional, a aceleração resultante a que fica
sujeito o corpo de massa m:
N
m
r
g = −G ∑ r rj
j =1 r − r
j
3
r r
r − rj
(0.13)
Outras contribuições importantes dadas por Newton no seu livro são as definições de espaço e
tempo absolutos. Estas definições estão descritas no livro I dos Principia [12], [13]. Sobre o
espaço:
1
Por definição, um corpo em queda livre está apenas sob a acção da força gravitacional.
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“O espaço absoluto, na sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa externa,
permanece sempre similar e imóvel. O espaço relativo é alguma dimensão ou medida móvel do
espaço absoluto, que os nossos sentidos determinam, pela sua posição com relação aos corpos,
…”.
Com esta definição, Newton estabelece a necessidade de um sistema absoluto de referência que
forneça um valor real para as nossas medidas, como por exemplo as forças e as acelerações.
Este sistema de referência estaria em repouso em relação às estrelas “fixas”. A Terra não é um
referencial inercial pois está acelerada em relação ao Sol. Mas sendo a Terra o lugar onde
fazemos as nossas medidas, decorrem erros relativos devido ao movimento orbital do nosso
planeta. Neste caso, ou se desprezam os erros quando as suas magnitudes não forem relevantes,
ou se atribuem os erros a forças fictícias, provenientes de acelerações que advêm da própria
aceleração desse sistema.
Sobre o tempo:
“O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza, flui
uniformemente sem relação com qualquer coisa externa e é também chamado de duração; o
tempo relativo, aparente e comum, é alguma medida de duração perceptível e externa (seja ela
exacta ou não uniforme) que é obtida através do movimento e que é normalmente usada no lugar
do tempo verdadeiro, tal como uma hora, um dia, um mês, um ano.”
O facto de o tempo, para Newton, não se relacionar com nada externo, concede ao tempo um
carácter de imutabilidade. Os acontecimentos ocorrem no tempo e este em nada contribui para
que ocorram os acontecimentos.
Após a obra de Newton, os séculos XVIII e XIX assistiram a uma evolução da mecânica sem
precedentes nas mãos de Maupertius, Lagrange, Euler, Laplace, D’Alembert, Poisson, Gauss,
Hamilton e Jacobi, entre outros.
Depois do trabalho fundamental efectuado por Newton sobre as teorias do movimento e da
gravitação, surge o universo conhecido como universo newtoniano. Este é o primeiro modelo de
universo governado por equações e leis quantitativas da Natureza. É um universo infinito e sem
centro definido, em clara oposição aos anteriores modelos geocêntricos e heliocêntricos. Para
além disso, o universo newtoniano era povoado por uma população de estrelas distribuídas
uniformemente no espaço tridimensional. Para Newton, resolver o problema da cosmologia do
Universo não era mais do que resolver um problema gravitacional, envolvendo os movimentos de
muitos corpos como o Sol.
Entretanto, ao estudar o problema, deparou-se com algo estranho. Nem um universo infinito com
um número infinito de estrelas, distribuído uniformemente através do espaço, nem um espaço
infinito, contendo um número finito de estrelas, interagindo gravitacionalmente, daria o universo
que observamos. Se o universo era povoado por estrelas distribuídas uniformemente em número
infinito, o campo gravitacional num ponto aumentaria com o raio de uma esfera imaginária que
conteria as estelas no seu interior.
Isto é simples de se constatar. Seja uma esfera de raio arbitrário R. O campo gravítico, num ponto
dessa esfera, só depende da massa interior a essa esfera, que aumenta com o cubo do seu raio,
pois a densidade estrelas seria uniforme:
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M = πρ R 3
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(0.14)
o módulo do campo gravítico na superfície dessa esfera varia com o inverso do quadrado da
distância:
g =G
M
R2
(0.15)
atendendo a estas duas últimas equações:
4
g = π Gρ R
3
(0.16)
Como podemos escolher o valor de R que quisermos, este universo tenderia a colapsar, a não ser
que as estrelas tivessem movimentos curvilíneos em torno de uma massa pontual.
Mais problemas iriam aparecer no universo newtoniano. Um facto trivialmente simples de
observarmos é que o céu nocturno é escuro. Em 1610, Kepler usou este facto para defender que
o Universo é finito, como que encerrado em paredes escuras. Em 1720, Halley e, em 1744, Jean
Phillipe Cheseaux propuseram, de uma forma simplificada, o que seria conhecido mais tarde por
paradoxo de Olbers. Heinrich Wilhelm Mathaus Olbers (1758 – 1840), em 1826, provou que um
espaço povoado por infinitas estrelas devia ser infinitamente luminoso. Logo, a noite não deveria
ser escura! Este paradoxo teve de esperar pouco mais de um século para ser resolvido com a
Teoria do Big Bang.
Com o aperfeiçoar dos telescópios e das técnicas de observação, tornou-se impossível sustentar
o modelo de universo newtoniano contra as evidências observacionais que indicavam claramente
uma distribuição não uniforme das estrelas. Assim, ressurge a ideia da existência de um centro
para o Universo e a discussão sobre o assunto irá arrastar-se até ao século XX.
À medida que evoluíram as medidas dentro do sistema solar, a teoria de gravitação newtoniana
começaria a apresentar alguns problemas. Por exemplo, há uma diferença entre o valor previsto
pela teoria de gravitação de Newton e o observado, no denominado avanço do periélio de
Mercúrio (ver figuras 3 e 4). As leis de Kepler só são válidas rigorosamente para um planeta e um
sol, ou, de forma geral, para dois corpos que giram em torno de um ponto comum, o centro de
massa do sistema. Mas, por exemplo, no caso do sistema solar, há nove planetas, cometas e
asteróides, e todos exercem forças gravíticas uns sobre os outros.
Deste modo, a órbita elíptica, prevista pela primeira lei de Kepler, só é válida se desprezarmos os
efeitos gravitacionais dos outros corpos. Com esta aproximação, o afélio e o periélio dos planetas
são pontos fixos no espaço. Examinemos o caso de Mercúrio. A sua órbita só será elíptica se
desprezarmos o efeito gravitacional dos outros planetas. Como isto não é verdade, a sua órbita
não é fechada e o seu periélio sofre um avanço, um deslocamento no espaço. O valor previsto da
rotação do seu eixo maior é de cerca de ∆φ = 1,5o por século. Este efeito é chamado de
precessão, ocorrendo nas órbitas de todos os planetas, mas no caso de Mercúrio, devido à sua
proximidade do Sol, o efeito é maior.
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Figura 3 - A órbita de mercúrio seria uma elipse e o seu periélio fixo no espaço, se não existissem os
outros corpos do sistema solar.
∆φ
Figura 4 A órbita de Mercúrio não é fechada e o seu periélio desloca-se no espaço. A figura está
propositadamente exagerada.
A diferença entre o valor calculado com a teoria newtoniana e o valor observado é de cerca de 43”
por século. Esta pequena discrepância só foi explicada com a criação da Teoria da Relatividade
Geral (TRG) de Albert Einstein (1879-1955) em 1915. Esta teoria, além de explicar esta pequena
diferença no avanço do periélio de Mercúrio, previa uma série de novos efeitos gravitacionais. Por
exemplo, o desvio dos raios luminosos quando passam próximo de um corpo massivo como uma
estrela. Este efeito foi verificado durante um eclipse total do Sol, por duas expedições científicas:
uma na ilha do Príncipe (do arquipélago de São Tomé e Príncipe, na época da possessão
portuguesa) e outra na cidade de Sobral, no estado do Ceará, no Brasil, em 29 de Maio de 1919.
Tentando repor uma verdade histórica, em 1896, Simon Newcomb (1835-1909) detectou seis
anomalias nos movimentos planetários. Todas elas, não são explicadas pela teoria newtoniana de
gravitação. Eram elas: as precessões dos quatro planetas interiores, as oscilações do movimento
da Lua e a aceleração secular dos satélites de Marte. Além do avanço secular do periélio de
Mercúrio, o avanço secular do periélio de Marte é explicado pela TRG. Os outros não são
explicados pela TRG. Einstein tentou explicar o movimento de oscilação da Lua mas não obteve
sucesso. A teoria da relatividade geral não fechou um ciclo no que diz respeito, pelo menos, aos
movimentos no sistema solar.
Crédito das imagens
Figura 1 - http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica9/biografias/newton.htm.
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