Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 16 – GRAVITAÇÂO
42. Diversos planetas (os gigantes gasosos Júpiter, Saturno, Urano e Netuno) possuem anéis
aproximadamente circulares em torno de si, provavelmente constituídos de material que não
conseguiu formar um satélite. Além disso, muitas galáxias contém estruturas semelhantes a
anéis. Considere um anel homogêneo de massa M e raio R. (a) Encontre uma expressão para a
força gravitacional exercida pelo anel sobre uma partícula de massa m localizada à distância x
do centro do anel, ao longo do seu eixo? Veja a Fig. 45. (b) Suponha que a partícula caia a partir
do repouso, como resultado da atração do anel. Encontre uma expressão para a velocidade com
que ela passa através do centro do anel.
(Pág. 54)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
Rdθ
dM
dθ R
dF
α
dFx
x
dFy
dFz
y
x
z
O elemento de massa dM exerce uma força dF sobre a massa m. Esta força vale:
dF = dFx i + dFy j + dFz k
A força total F que o anel exerce sobre m é a integral de dF:
F =∫ dF =∫ dFx i + ∫ dFy j + ∫ dFz k
A simetria envolvida na situação indica que as integrais em j e k serão nulas devido à distribuição
simétrica de pares de elementos dM nas coordenadas positiva e negativa dos eixos y e z. Logo:
=
F
dF i ∫ dF cos α i
∫=
x
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 16 – Gravitação
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Problemas Resolvidos de Física
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Como estamos interessados apenas no módulo da força:
F = ∫ dF cos α
 GmdM 
x


∫=
∫
R +x  R +x
F
2
2
(
2
)
2 1/ 2
Gmx
( R2 + x2 )
3/ 2
dM
(1)
A expressão do elemento dM pode ser extraída da definição da densidade linear de massa do anel:
M
dM
ρ =
=
2π R Rdθ
Mdθ
(2)
dM =
2π
Substituindo-se (2) em (1):
2π
Gmx
Mdθ
GMmx
F ∫=
dθ
=
3/
2
3/
2
∫
0
2
2
2
2
π
2
π
R
x
2
R
x
+
+
(
)
(
)
F=
GMmx
(R
2
+ x2 )
3/ 2
Para pontos onde x >> R, esta expressão se reduz a:
GMmx GMmx GMm
=
=
F≈
3
2 3/ 2
x
x2
x
( )
Que corresponde à força gravitacional entre duas massas pontuais m e M. Para x = 0 (centro do
anel), a força é zero devido à simetria da distribuição de massa em torno de m (o numerador da
expressão de F é nulo).
(b) A energia potencial da massa m à distância ortogonal x ao centro do anel (Ux) vale:
GmdM
(3)
U x = ∫ dU x = − ∫
2
2 1/ 2
R
+
x
(
)
Substituindo-se (2) em (3):
2θ
Gm
Mdθ
GMm
GMm
Ux =
dθ =
−∫
=
−
−
1/
2
1/
2
1/ 2
∫
0
2π ( R 2 + x 2 )
( R 2 + x 2 ) 2π
( R2 + x2 )
(4)
Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos localizados em x (Ex) e no
centro do anel (Ec):
Ex = Ec
K x + U x = Kc + U c
0−
(R
=
vc
(R
GMm
2
+x
2GM
2
+x
)
)
2 1/ 2
1 2 GMm
=
mvc −
2
R
= vc2 −
2 1/ 2
2GM
R


1
1

2GM  −
 R ( R 2 + x 2 )1/ 2 


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