Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
CARACTERÍSTICA DE UM ANEL
PROPOSIÇÃO 1 Seja A um anel com unidade. Se m,
n ∈ Z, então (mn)1A = (m1A )(n1A ).
Seja A um anel. Considere o seguinte subconjunto de N∗ :
S = {n ∈ N∗ / n · a = 0A , a ∈ A}.
Se S = ∅ dizemos que o anel A tem característica zero e escrevemos c(A) = 0. Se S ̸= ∅,
então existe o mínimo de S. Sendo h = minS > 0, dizemos que o anel A tem característica
h > 0 e escrevemos c(A) = h.
EXEMPLO 1 Mostre que c(Zm) = m.
PROPOSIÇÃO 2 Seja A um anel com unidade. Então, a característica de A é igual ao
período da unidade no grupo (A, +).
PROPOSIÇÃO 3 A característica de um anel de integridade ou é zero ou é um número
primo.
EXEMPLO 2
Considere o anel A formado por todas sequências innitas de elementos de Z2
com a adição e multiplicação denidas componente a componente. Determine c(A).
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EXEMPLO 3
A característica de um anel com unidade nito é maior que zero.
EXEMPLO 4
Seja A um anel com unidade e considere o conjunto Z1A = {m · 1A / m ∈ Z}.
Prove que este conjunto é um subanel de A.
PROPOSIÇÃO 4 Seja A um anel com unidade. Se a característica de A é h > 0, então Z1A
é isomorfo a Zh . Se a característica de A é zero, então Z1A é isomorfo a Z.
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CARACTERÍSTICA DE UM CORPO
Se K é um corpo, então K é um anel de integridade, logo, ou c(K) = 0 ou c(K) = p
sendo p um número primo.
No caso em que c(K) = p, temos que K contém um subanel isomorfo a Zp . Como p é
primo temos que Zp é um corpo, consequentemente Z1A é um subcorpo de K isomorfo a Zp .
Além disso, se L é um subcorpo de K, então 1K ∈ L, logo, m · 1K ∈ L, para todo m ∈ Z,
ou seja, Z1K ⊂ L, donde Z1K é o menor subcorpo de K. Justique as passagens deste
parágrafo.
No caso em que c(K) = 0, temos que Z1K ⊂ K é um subanel isomorfo a Z. Porém,
Z1K não é subcorpo (Porque?). Entretanto, podemos mostrar que o menor subcorpo de K
(quando c(K) = 0) é isomorfo a Q. Sugestão: Considere f : Q → K dada por
f
(m)
n
=
m · 1K
,
n · 1K
m, n ∈ Z, n ̸= 0.
Prove que f é aplicação, é injetora e homomorsmo de anéis. Justique as passagens
deste parágrafo.
Os corpos Zp e Q são chamados corpos primos e sobre eles se assentam todos os
corpos de característica maior que zero no primeiro caso e os de característica zero no segundo
caso.
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IDEAIS NUM ANEL COMUTATIVO
DEFINIÇÃO 1 Seja A um anel comutativo. Um subconjunto I
⊂ A, I ̸= ∅, será chamada
de ideal em A se para quaisquer x, y ∈ I e para qualquer a ∈ A valem as seguintes relações:
(i) x − y ∈ I;
(ii) ax ∈ I.
EXEMPLO 5
No anel dos números inteiros os subconjuntos nZ em que n é um número inteiro
dado são ideais.
EXEMPLO 6
Seja A = RR . Mostre que I = {f ∈ A/ f (1) = 0}é um ideal em A.
EXEMPLO 7
Mostre que o núcleo de um homomorsmo de anéis f : A → B é um ideal de
A.
Observação: Todo ideal num anel A é um subanel de A, porém a recíproca é falsa. Dê um
contra exemplo.
PROPOSIÇÃO 5 Seja I um ideal num anel comutativo A. Então:
(a) 0A ∈ I;
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(b) a ∈ I ⇒ −a ∈ I, ∀a ∈ I;
(c) para quaisquer a, b ∈ I a + b ∈ I;
(d) se o anel A possui unidade e se existe um elemento inversível u ∈ A tal que u ∈ I,
então I = A.
EXEMPLO 8
conjunto
Seja A um anel comutativo e sejam a1 , a2 , · · · , an ∈ A (n ≥ 1). Mostre que o
< a1 , a2 , · · · , an >= {x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an / x1 , x2 , · · · , xn ∈ A}
é um ideal em A.
DEFINIÇÃO 2 O ideal < a1 ,
a2 , · · · , an > é chamado ideal gerado por a1 , a2 , · · · , an . Um
ideal gerado por somente um elemento a ∈ A recebe o nome de ideal principal gerado por a.
Neste caso usam-se as notações < a > ou a · A. Se todos os ideais de um anel de integridade
são principais, então este anel é chamado de anel principal.
EXEMPLO 9
Se I é um ideal em Z, então I = nZ, para algum n ∈ N∗ .
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PROPOSIÇÃO 6 Sejam
m1 , m2 , · · · , mk ∈ Z∗ e J =< m1 , m2 , · · · , mk > . Se d ∈ Z é
tal que J = dZ, (por que existe tal d?) então valem as seguintes armações:
(i) existem r1 , r2 , · · · , rk ∈ Z tais que d = m1 r1 + m2 r2 + · · · + mk rk ;
(ii) d é um divisor comum de m1 , m2 , · · · , mk , ou seja, d|mi para todo i ∈ {1, 2, · · · , k};
(iii) Se d′ é um divisor comum de m1 , m2 , · · · , mk , então d′ também é divisor de d.
Observação: O número d da proposição acima é chamado mdc de m1 ,
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m2 , · · · , mk em Z.
PROPOSIÇÃO 7 Seja
A um anel comutativo com unidade. Então, A é um corpo se, e
somente se, os únicos ideais em A são os triviais.
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IDEAIS PRIMOS E MAXIMAIS
Interseção Dados dois ideais I e
ˆ
J num anel comutativo A, então I ∩ J é um ideal
em A. Além disso, I ∩ J é o maior ideal contido em I e em J. Prove estes fatos.
ˆ
Adição: Se I e
J são ideais em A, então I + J = {x + y/ n ∈ I, y ∈ J é um ideal em
A. Além disso, é o menor ideal que contém I e J.
DEFINIÇÃO 3 Seja P um ideal num anel comutativo A. Dizemos que P é um ideal primo
se P ̸= A e se para todo a, b ∈ A vale o seguinte:
ab ∈ P
EXEMPLO 10
⇒ a∈P
ou b ∈ P.
Verique quais dos ideais abaixo são primos.
1. I = {0} em Z.
2. I = 3Z em Z.
3. I = 6Z em Z.
4. I = {0} × Z em Z × Z.
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DEFINIÇÃO 4 Seja M um ideal num anel comutativo A. Dizemos que M é um ideal maxi-
mal se M ̸= A com a seguinte propriedade: o único ideal em A que contém M e é diferente
de M é o próprio anel A. Ou seja, M é um elemento maximal em relação à inclusão no
conjunto dos ideais em A que são diferentes de A.
EXEMPLO 11
Verique quais dos ideais abaixo são maximais.
1. I = 3Z em Z.
2. I = 6Z em Z.
3. I = Z × 2Z em Z × Z.
PROPOSIÇÃO 8 Seja A um anel comutativo com unidade. Então, todo ideal maximal em
A é primo.
EXEMPLO 12
A recíproca da última proposição é falsa. Observe que I = {0} × Z em Z × Z
é um ideal primo, porém não é maximal.
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