Funções
Conceitos de Funções
Noção Intuitiva de uma função
Uma função é algo como uma máquina onde entra um objecto, é transformado de acordo
com uma regra e sai a imagem do objecto.
Sempre que se mete um objecto tem que sair uma imagem.
Sempre que se repete a introdução de um mesmo objecto tem que sair a mesma imagem.
Assim sendo vamos ter duas variáveis em estudo:
Variável independente objecto (x)
Variável dependente imagem (y)
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Funções
Conjuntos de uma função
Normalmente as funções designam-se pelas letras f, g, h…
Conjunto A chama-se Domínio da função e representa-se por Df.
D f = {1, 2,3, 4}
Definição:
O Domínio
Domínio de uma função é o conjunto dos objectos.
Conjunto B chama-se Conjunto
Conjunto de Chegada
Chegada
Conjunto C chama-se Contraontra-Domínio da função e representa-se por Df’.
D 'f = {5, 7,8}
Definição:
O ContraContra-domínio de uma função é o conjunto das imagens.
Numa função temos sempre dois números associados, ou seja, a cada elemento do
domínio (objecto) corresponde um elemento do contra-domínio (imagem) e vice-versa.
O objecto 1 tem por imagem 5, f(1)=5
A imagem 7 tem como objecto 2, 7=f(2)
Definição:
Uma função f de A com valores em B (f:AB) consiste em dois conjuntos, o domínio A, o
conjunto de chegada B, e uma regra que associa a cada elemento x(objecto) de A um e um só
elemento y=f(x) (imagem) de B.
Simbolicamente,
f :A→ B
x → y = f ( x)
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Função real de variável real
Quando o domínio e o conjunto de chegada são subconjuntos
subconjuntos de
de variável real.
a função diz-se real
Exemplo:
f:
− {1} →
x→ y=
1
é uma função real de variável real pois o domínio é − {1} ou seja,
x −1
um subconjunto de e conjunto de chegada é .
Modos de representar uma função
Uma função pode ser definida de várias formas:
Descrever por palavras
Usar uma expressão analítica
Usar um gráfico
Usar tabela ou diagrama
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Funções
Gráfico e representação gráfica de uma função
Definição:
Se f é uma função com domínio A então o gráfico f é o conjunto de pares
ordenados {( x, f ( x)), x ∈ A} .
Por outras palavras o gráfico de f é o conjunto dos pontos ( x, y ) tais que y = f ( x) , ou
seja, é o gráfico da equação y = f ( x) .
Note-se que nem sempre é possível representar todos os pontos do gráfico de uma
função. y = f ( x) .
Exemplo:
Seja a função g de domínio
definida por g ( x) = x .
Sempre que o domínio ou contra-domínio for conjunto ilimitado, a representação de
todos os pontos do gráfico é impossível. Nesse caso não se trata do gráfico da função mas sim de
uma representação da mesma. De um modo geral, usam-se “bolas” abertas ou “bolas” fechadas
ou ausência de bolas para sabermos se temos ou não uma representação gráfica ou gráfico de
uma função.
Na figura pode-se observar alguns exemplos de gráficos e representações gráficas de
funções.
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Funções
Note-se que através do gráfico de uma função é possível fazer a leitura do domínio e do
contra-domínio da função.
Teste da recta vertical
Nem todos os gráficos representam funções. Numa função, a cada objecto corresponde
uma e uma só imagem portanto o gráfico de uma função só pode ser intersectado, no máximo,
uma vez por qualquer recta vertical.
Pontos notáveis do gráfico de uma função
Definição:
Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.
Se f(x) não é zero então f(x) é um número positivo ou negativo.
Definição:
Intersecção do
do gráfico com eixo das ordenadas é a imagem que tem objecto nulo.
Nota:
Através da determinação dos zeros da função é possível determinar o sinal da função nos mais
variados intervalos.
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Funções
Exemplo:
Considere a função f representada graficamente
Zeros da função: {−3,3, 6,10}
Sinal positiva: f ( x) > 0 ⇒ x ∈ ]−3,3[ ∪ ]6,10[
Sinal negativo: f ( x) < 0 ⇒ x ∈ ]−∞; −3[ ∪ ]3, 6[ ∪ ]10, +∞[
Representando numa tabela de variação:
variação
x
−3
−∞
f ( x)
-
0
+
3
0
6
-
0
+∞
10
+
0
-
Monotonia
Função Crescente
Diz-se que f é crescente em E quando para todos os números reais a e b de E
a < b ⇒ f (a) ≤ f (b)
Função Decrescente
Diz-se que f é decrescente em E quando para todos os números reais a e b de E
a < b ⇒ f (a) ≥ f (b)
Função Constante
Diz-se que f é constante em E quando para todos os números reais a e b de E
a < b ⇒ f (a) = f (b)
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Funções
Nota:
Uma função diz-se monótona num intervalo se for crescente e/ou decrescente nesse
intervalo.
Uma função constante é crescente e decrescente em qualquer intervalo do domínio.
Função Estritamente Crescente
Diz-se que f é estritamente crescente em E, quando para todos os números reais a e b de E
a < b ⇒ f (a) < f (b)
Função Estritamente Decrescente
Diz-se que f é estritamente decrescente em E, quando para todos os números reais a e b
de E
a < b ⇒ f (a) > f (b)
Nota:
Uma função é estritamente crescente é uma função crescente em todo o domínio ou
intervalo de domínio.
Uma função é estritamente decrescente é uma função crescente em todo o domínio ou
intervalo de domínio.
Uma função é estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente
decrescente.
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Funções
Extremos de uma função
Considere-se a função, representada graficamente por:
Seja f uma função do domínio D:
f(a) é máximo absoluto de f se, para todo o x de D, f (a ) ≥ f ( x)
f(b) é mínimo absoluto de f se, para todo o x de D, f (b) ≤ f ( x)
f(a) é máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a, tal que
f (a ) ≥ f ( x) , para todo o x de E ∩ D
f(b) é mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto F contendo a, tal que
f (b) ≤ f ( x) , para todo o x de F ∩ D
Exemplo:
Considere a função representada.
Vamos fazer o estudo do sinal, dos zeros, da monotonia e dos extremos da função. Para tal
vamos representar a tabela de variação .
Zeros 10
Mínimo Absoluto 0
Máximo Absoluta 5
Mínimo Relativo 1
Máximo Relativo 2,4
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Funções
Para o estudo do sinal e da monotonia vamos fazer tabelas de variação
Estudo do Sinal
x
f ( x)
10
-5
+
+
0
11
+
+
Estudo da Monotonia
x
-5
-2
2
5
10
11
f ( x)
5
1
4
4
0
2
f(x) crescente [ −2, 2] ∪ [10,11]
f(x) decrescente [ −5, −2] ∪ [5,10]
Conceito de Continuidade
Uma função é contínua se o gráfico pode ser desenhado com um lápis sem que este seja
levantado.
Exemplo:
Não é contínua
É contínua
Como a primeira função do exemplo não é contínua podemos então dizer que estamos
perante uma função que apresenta pontos de descontinuidade. Neste caso o ponto de
descontinuidade é 0.
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Funções
Conceito de Injectividade
Uma numa função há originais, isto é, elementos do domínio, diferentes mas com a
mesma imagem, a função diz-se não injectiva. Funções que a objectos diferentes façam
corresponder imagens diferentes dizem-se injectivas.
Uma forma geométrica de verificar se uma função é injectiva é através do teste da recta
horizontal. Este teste consiste em traçar rectas horizontais ao longo dos vários valores do contradomínio. Se cada uma destas rectas intersectarem o gráfico em mais do que um ponto, a função
não é injectiva, se intersectar num e num só ponto a função é injectiva.
Definição:
Uma função f de domínio D diz-se Injectiva quando, para todos os elementos a e b
pertencentes ao domínio, se a diferente de b, então as imagens de a e de b também são diferentes.
A função f é injectiva se e só se
∀a, b ∈ D f se a ≠ b então f (a) ≠ f (b)
Exemplo:
Não é injectiva
É injectiva
Comportamento de uma função nos ramos infinitos
Poderemos reparar que alguns gráficos têm comportamentos infinitos em determinadas
situações.
Assim, mais uma das análises a efectuar no estudo de um gráfico é o comportamento
infinito nos ramos.
Exemplo
Neste caso reparamos que 0 não pertence ao domínio,
pois não tem imagem. Assim, o domínio da função é
D f = − {0} .
Fazendo o estudo temos:
-Quando x tende para +∞ , a função tende para −∞ ;
-Quando x tende para −∞ , a função tende para 0 ;
-Quando x tende para 0 por valores à direita, a função
tende para +∞ ;
-Quando x tende para 0 por valores à esquerda, a
função tende para −∞ .
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Funções
Função Afim
Repare-se que nem todas as rectas representam funções.
As rectas verticais não representam uma função.
Uma recta horizontal ou oblíqua representa uma função que tem designação de função afim.
Definição:
Uma função afim é definida por uma expressão do tipo y = mx + b , m, b ∈
de uma função afim é uma recta.
, o gráfico
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