Curso de preparação para a prova de matemática do ENEM – Professor Renato Tião
Porcentagem
As quatro primeiras noções que devem ser assimiladas a respeito do assunto são:
I. Que porcentagem é fração e fração é a parte sobre o todo.
II. Que o símbolo % indica que o denominador desta fração é igual a 100, portanto: X% =
X
100
.
III. Que todo número real pode ser expresso na forma percentual. Basta multiplicá-lo por cem: π = (100π
π)%.
IV. Que X% de alguma coisa significa:
X
vezes o número que representa o valor dessa coisa.
100
Taxa unitária e taxa percentual.
É fato que 3/5, 0,6 e 60% sejam representações do mesmo número, mas quando uma razão como 3/5 é
representada em sua forma decimal, o numeral 0,6 é chamado de taxa unitária por representar uma parte da unidade,
ou seja, uma parte do número 1. E, quando a razão 3/5 é representada como 60%, o numeral 60 é chamado de taxa
percentual por representar uma parte da centena.
Fator de correção
O valor resultante de um único aumento ou desconto percentual de taxa t, aplicado a um valor inicial C, chama-se
montante acumulado M. Para obter este valor, procedemos da seguinte maneira:
M = C ± t% ⋅ C = C ±
t
t 

⋅ C = 1 ±
⋅C = F⋅C
100
100 

No penúltimo membro da igualdade acima, o número obtido pelas operações indicadas entre parênteses é chamado
t
. Os fatores de correção monetária podem ser determinados rapidamente pelo
de fator de correção: F = 1 ±
100
processo apresentado nos seguintes exemplos:
Se o candidato já tem razoável experiência no trato dos problemas que envolvem porcentagens, sua maior
preocupação deverá ser melhorar a velocidade com que manipula taxas percentuais e unitárias, além dos fatores de
correção referentes a aumentos e descontos.
A interpretação racional de taxas e fatores de correção como, por exemplo, identificar que 75% significam ¾, pode
acelerar os processos de resolução em determinados problemas. Para este fim, memorize os valores decimais e
percentuais das seguintes frações unitárias:
1
2
1
3
1
4
= 0,5
= 50%
= 0, 333... ≈ 33, 33%
= 0, 25
= 25%
1
5
1
6
1
7
= 0, 2
= 20%
= 0,1666... ≈ 16, 67%
≈ 0,1428... ≈ 14, 3%
1
8
1
9
1
10
= 0,125
= 12, 5%
= 0,111... ≈ 11,11%
= 0,1
= 10%
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Matemática financeira básica
Quando o preço de venda ‘V’ de certa mercadoria é
superior ao seu preço de custo ‘C’, dizemos que o
negociante obtém um lucro nominal ‘L’ na transação
comercial.
O valor monetário deste lucro é dado por: L = V − C
Mas quando o preço de venda da mercadoria é
inferior ao seu preço de custo, dizemos que o
negociante toma prejuízo na transação comercial.
O valor nominal (monetário) deste prejuízo ‘P’ é
dado por: P = C − V
Assim pode-se afirmar que lucro negativo significa prejuízo e vice-versa.
Taxa de lucro
Existem duas maneiras distintas que são freqüentemente usadas para se expressar a taxa percentual tanto do lucro
quanto do prejuízo. Estas taxas podem ser calculadas tendo como referência tanto o preço de custo como o preço de
venda. Para calculá-las, basta lembrar que: PORCENTÁGEM É FRAÇÃO E FRAÇÃO É A PARTE SOBRE O
TODO.
Assim as taxas de lucro, por exemplo, resultam dos seguintes quocientes:
Lucro sobre o custo:
L
C
Lucro sobre a venda:
L
V
Juros
Se uma determinada quantia for submetida ao que chamamos de regime de capitalização simples − Juros Simples −
o montante acumulado após certo número de capitalizações é expresso pela fórmula:


M = C ⋅ 1 +
n⋅t 
,
100 
M é o montante acumulado (Valor monetário),
C é o capital inicialmente submetido (Valor monetário),

em que 
t é a taxa percentual de juros (Diários, mensais, anuais, ... ) e
n é o número de capitalizações (Dias, meses, anos, ... ).
Mas, na maioria das vezes, nos deparamos com o regime de capitalização composto − Juros compostos − no qual
acontece o fenômeno comumente chamado de “juros sobre juros”. Neste caso, o montante acumulado deve ser
calculado pela expressão a seguir, na qual todos os parâmetros têm os mesmos significados que na expressão anterior:
M =

C⋅ 1 +

t
100
n



Note que esta expressão também apresenta o fator de correção F = 1 +
t
, que simplifica tanto o processo algébrico
100
de resolução das equações quanto a interpretação dos seus resultados. E, sendo assim, o montante acumulado numa
aplicação financeira, sob o regime de capitalização composto, pode ser simplesmente expressa por:
Há também o sistema de juros cobrados nas venda a prazo com diversas parcelas periódicas. Neste caso, os juros não
podem ser cobrados sobre os valores que já foram pagos. Legalmente, as taxas de juros das vendas parceladas incidem
exclusivamente sobre o saldo devedor. Esta situação é modelada pela expressão a seguir em que V é o preço à vista, F
é o fator de correção e os termos da sequência (P1 , P2 , P3 , ... , Pn ) indicam os valores das parcelas:
(...((((V − P1 )F − P2 )F − P3 )F − P4 )F − ...)F − Pn = 0
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Exercícios
1. Escreva em forma de
porcentagem os resultados
dos seguintes cálculos:
a) (20%) 2 =
b)
7. Uma liga metálica de 500 g é composta por 40% de
cobre e 60% de chumbo.
a) Qual a massa de cobre na liga?
4% =
b) Qual a massa de chumbo na liga?
2. Calcule:
a) 20% de R$ 180,00
8. Se, nessa mesma liga, forrem acrescentados 300 g
b) 150% de 450g
de cobre, então qual será a nova porcentagem:
c) 5% de 2000 pessoas
a) de cobre na liga?
d) 40% de 70%
3. De 80 alunos de uma sala de aula, apenas 28 são
b) de chumbo na liga?
homens. Qual a porcentagem de mulheres na sala?
9 Fuvest. 95% da massa de uma melancia de 10 kg
4. Transforme as seguintes taxas percentuais em taxas
unitárias.
a) 22%
d) 200%
b) 20%
e) 2,2%
c) 2%
f) 0,2%
é constituída por água. A fruta é submetida a um
processo de desidratação (que elimina apenas água) até
que a participação da água na massa da melancia se
reduza a 90%. A massa da melancia após esse processo
de desidratação será igual a:
A) 5/9 kg
B) 9/5 kg
C) 5 kg
D) 9 kg
E) 9,5 kg
5. Transforme as seguintes taxas unitárias em taxas
percentuais.
a) 0,75
d) 0,075
b) 0,7
e) 1,5
c) 0,05
f) 3
6.
Uma pesquisa feita com um grande número de
pessoas apresentou os seguintes dados: 30% das
pessoas entrevistadas eram fumantes, 40% dos homens
eram fumantes e 15% das mulheres também eram
fumantes. A porcentagem de homens no total das
pessoas entrevistadas é:
A) 60%
B) 40%
C) 30%
D) 24%
E) 6%
10. Num barril há uma mistura de água e vinho com
20% de água. Se acrescentarmos 20 litros de água a
essa mistura, ela ficará com 25% de água. Quantos
litros de vinho há nessa mistura?
A) 420
B) 350
C) 320
D) 250
E) 240
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11. Escreva os fatores de correção referentes a:
a) um aumento de 30%
b) um aumento de 8%
15. Uma mercadoria foi adquirida por
R$ 320, 00 e
vendida por R$ 360, 00 . Determine os valores:
a) do lucro nominal obtido nessa transação.
c) um aumento de 300%
d) um desconto de 30%
e) um desconto de 80%
b) do lucro percentual sobre o preço de compra.
f) um desconto de 8%
12.
Determine se são referentes a aumentos ou
descontos, os fatores de correção abaixo. Identifique
também as respectivas taxas percentuais.
a) 1,23
b) 1,03
c) 1,2
d) 2,1
e) 0,9
f) 0,25
c) do lucro percentual sobre o preço de venda.
16. Uma
mercadoria recebeu um aumento de 40%
passando a custar R$ 520, 00 . Qual era o preço dessa
mercadoria antes deste aumento?
13 Fuvest. Aumentando-se os lados a e b de um
retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do
retângulo é aumentada de
A) 35%
B) 30%
C) 3,5%
D) 3,8%
E) 38%
17 Fuvest. Barnabé tinha um salário de X reais
14.
Uma montadora recebeu um enorme pedido de
veículos das concessionárias de automóveis. Para suprir
a demanda, teve de aumentar em 20% o seu quadro de
funcionários. Nos meses que seguintes a entrega do
pedido a montadora não recebeu nenhum outro pedido
de tal porte e a direção da empresa decidiu por demitir
certa porcentagem de seus atuais empregados ficando
com a mesma quantia de funcionários anterior ao
grande pedido. A porcentagem de empregados
demitidos é de aproximadamente?
A) 20%
B) 18,5%
C) 16,7%
D) 15%
E) 14,3%
em janeiro do ano passado. Recebeu aumento de 80%
em maio e 80% em novembro. Depois disso, seu salário
passou para
A) 2,56X
B) 1,6X
C) X +160
D) 2,6X
E) 3,24X
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18. Na vitrine de uma loja lê-se:
PRODUTO X
Preço à vista: R$ 100
ou em duas parcelas mensais de: R$ 60,00
a primeira no ato e a segunda em 30 dias.
Qual a taxa mensal de juros cobrada nesta oferta?
19. Uma mercadoria é vendida à vista ou em duas
parcelas iguais de R$ 420, 00 . Se a primeira parcela
deve ser paga no ato da compra e a segunda em 30 dias
com uma taxa de juros de 5% sobre o saldo devedor,
qual é o valor, em reais, do preço à vista desta
mercadoria?
A) 800
B) 805
C) 810
D) 815
E) 820
Texto para as questões 21, 22 e 23.
Capitalismo é o nome dado ao regime
socioeconômico baseado no lucro e na propriedade
privada dos bens de produção. Capitalizar significa
converter em capital, juntar, reunir ou acumular
riquezas. Uma das práticas usadas para isso é a
aplicação de taxas de juros sobre a dívida de um
empréstimo ou de uma compra parcelada, por exemplo.
A duas formas de cobrança de juros: a simples, em que
a taxa de juros incide sempre sobre o valor inicial da
dívida, e o composto cuja taxa de juros incide sempre
sobre o valor atual da dívida. Esta última também é
conhecida como a prática dos juros sobre juros.
21.
No regime de capitalização simples, três
aumentos sucessivos de 10%, sobre o valor de uma
dívida, equivalem a um único aumento de
A) 36%
B) 33,1%
C) 32,2%
B) 31,3%
E) 30%
22. No regime de capitalização composto (juros sobre
juros), três aumentos sucessivos de 10%, sobre o valor
de uma dívida, equivalem a um único aumento de
A) 36%
B) 33,1%
C) 32,2%
B) 31,3%
E) 30%
20.
Uma loja oferece um determinado produto em
duas formas distintas de pagamento. A primeira à vista
por R$ 300, 00 . A segunda forma de pagamento
consiste em três parcelas iguais: uma no ato da compra,
outra após 30 dias da compra e a última após 60 dias da
compra.
Sabendo que a taxa de juros sobre o saldo devedor é
igual a 30%, assinale a alternativa que apresenta o valor
mais próximo de cada uma destas parcelas.
A) R$ 120,00
B) R$ 127,00
C) R$ 132,00
D) R$ 160,00
E) R$ 169,00
23. Uma pessoa fez um empréstimo bancário que têm
uma taxa fixa de juros diários. Se s(x) e c(x) expressam
os respectivos valores atualizados da dívida desta
pessoa, sob os regimes de capitalização simples e
composto, em função do número x de dias a partir da
data do empréstimo, pode-se afirmar que as funções
s(x) e c(x) são respectivamente:
A) polinomiais de primeiro e de segundo grau.
B) polinomiais de segundo e de primeiro grau.
C) exponencial e polinomial de primeiro grau.
D) polinomial de primeiro grau e exponencial.
E) logarítmica e exponencial.