Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares
Valéria de Carvalho Souza
Tópicos de teoria de campos com aplicações a condensados de
Bose-Einstein
Rio de Janeiro
2014
Valéria de Carvalho Souza
Tópicos de teoria de campos com aplicações a condensados de Bose-Einstein
Tese apresentada, como requisito parcial
para obtenção do tı́tulo de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci
Coorientador: Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares da Fonseca Júnior
Rio de Janeiro
2014
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ/ REDE SIRIUS /CTC/D
S729
Souza, Váleria de Carvalho.
Tópicos de teoria de campos com aplicações a condensados de BoseEinstein / Váleria de Carvalho Souza - 2014.
75 f.:il.
Orientador: Daniel Gustavo Barci.
Coorientador: Cesar Augusto Linhares da Fonseca Junior.
Tese (Doutorado) - Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Condensação de Bose-Einstein -Teses. 2.Teoria de campos (Física)
Teses. 3. Matéria condensada - Teses. 4. Simetria quebrada (Física) - Teses.
I. Barci, Daniel Gustavo. II. Fonseca Junior, César Augusto Linhares.
III. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando
Dias Tavares. IV. Título.
CDU 530.145
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese,
desde que citada a fonte.
___________________________________________________
Assinatura
____________________________
Data
Valéria de Carvalho Souza
Tópicos de teoria de campos com aplicações a condensados de Bose-Einstein
Tese apresentada, como requisito parcial
para obtenção do tı́tulo de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 30 de Outubro de 2014.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci (Orientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares da Fonseca Júnior (Coorientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares – UERJ
Prof. Dr. Santiago Esteban Perez Bergliaffa
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Profa. Dra. Zochil González Arenas
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Humberto Belich Júnior
Universidade Federal do Espı́rito Santo
Prof. Dr. Daniel Lorenzo Reyes Lópes
Instituto Militar de Engenharia
Prof. Dr. Paulo Sérgio de Abreu Bonfim
Universidade do Grande Rio
Rio de Janeiro
2014
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus por me conseder forças e disposição para enfrentar os
obstáculos.
Ao meu orientador Daniel G. Barci, que acreditou que eu era capaz de desenvolver
o projeto que ele propôs, e que me manteve motivada para trilhar no caminho da fı́sica
teórica, e por quem eu tenho uma imensa admiração.
Ao meu co-orientador Cesar Linhares, pela paciência pelos valiosos ensinamentos
e ajuda nos momentos difı́cies.
Ao professor Rudnei Ramos, pelo entusiasmo, incentivo e pela enorme contribuição
na minha formação como pesquisadora.
Aos professores Nilson Antunes e Ivan da Cunha Lima, que me fizeram dar os
primeiros passos na ciência. Foram de grande importância na minha formação acadêmica
e influênciaram desicivamente a minha carreira.
A todos os professores do instituto de fı́sica da UERJ, que de alguma forma colaboraram para a realização desta tese, mas em especial cito: Roberto Mahon, Vitor Oguri,
Marcelo Chiapparini, Wagner, Luiz Fernando, Marcelo Guimarães, José Soares, Armando
Dias Tavares, Miriam Bracco, Márcia Begali, Zochil Gonzáles.
A todos os amigos e funcionários da pós graduação e graduação.
Finalmente, a CAPES e FAPERJ pelo apoio financeiro.
O trabalho bem sucedido em fı́sica, como em outras profissões, requer vocação,
dedicação aos estudos de forma intensa e contı́nua representando isso uma satisfação e
não um sacrifı́cio. Para vencer as dificuldades que aparecem no trabalho de pesquisa, é
importante ter uma atitude otimista, e muita perseverança.
Belita Koiller
RESUMO
SOUZA, V. C.. Tópicos de teoria de campos com aplicações a condensados de
Bose-Einstein. 2014. 75 f. Tese (Doutorado em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica Armando
Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
A tese de doutorado apresenta uma aplicação de técnicas de teoria de campos
em um sistema da matéria condensada. Motivados por experimentos em gases atômicos,
apresentamos um estudo sobre misturas binárias de gases atômicos na presença de uma
interação do tipo Josephson. O foco principal é o estudo de um modelo de dois campos
complexos não-relativisticos com simetria O(2). Esta simetria é quebrada por interações
que produzem um desbalanço nas populações das duas espécies bosônicas. Estudamos o
modelo na aproximação de campo médio mais flutuações gaussianas, usando o formalismo
de teoria de campos a temperatura finita em tempo imaginário. Os resultados mostram
que, num certo intervalo de temperaturas, as duas espécies bosônicas condensam à mesma
temperatura crı́tica e a fase relativa do condensado é fixa, determinada pela fase do campo
externo aplicado.
Palavras-chave: Condensação de Bose-Einstein. Teoria de campos (Fı́sica). Matéria
condensada. Simetria quebrada (Fı́sica).
ABSTRACT
SOUZA, V. C.. Topics of field theory with applications in Bose-Einstein condensates.
2014. 75 f. Tese (Doutorado em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares,
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.
The thesis apresents an applications of field theory techniques in a condensed matter system. Motivated by experiments in atomic gases, we present a study of binary
mixture of atomic gases in the presence of an interaction type Josephson. The main focus
is the study of a model of two complex fields with non-relativistic symmetry O(2). This
symmetry is broken by interactions that produce an inbalance in the populations of the
two species bosonic. We study the model in the mean-field approximattion more gaussian
fluctuations, using the formalism of field theory at finite temperature in imaginary time.
The results show that in a certain temperature range, the two bosonic species condense
the same critical temperature and the ralative phase of the condensate is fixed and determined by the applied external field phase.
Keywords: Bose-Einstein condensates. Field theory (Physics). Condensed matter.
Broken symmetry (Physics).
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura
Figura
Figura
Figura
1 - Potencial efetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 - Relação entre as duas espécies de condensados.
3 - Fração condensada ρφ e ρψ como uma função da
sional T̄ no limite | ν | /ΩR < 1. . . . . . . . . .
4 - Fração condensada ρφ e ρψ como uma função da
sional T̄ no limite ΩR / | ν |< 1. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
temperatura adimen. . . . . . . . . . . .
temperatura adimen. . . . . . . . . . . .
. 43
. 55
. 63
. 64
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
TQC
CBE
EGP
GR
DCT
Teoria quântica de campos
Condensado de Bose-Einstein
Equação de Gross-Pitaeviskii
Grupo de renormalização
Dinâmica de campos térmicos
LISTA DE SÍMBOLOS
µ
ΩR
Ωef f
|ν|
Uef f
potencial quı́mico
frequência de Rabi
frequência efetiva de Rabi
desintonia
potencial efetivo
SUMÁRIO
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.3
1.3.1
1.3.2
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QUANTIZAÇÃO DE CAMPOS ESCALARES . . . . . . . . . .
Amplitude de carrelação para campos bosônicos . . . . . . . . . .
Funcional gerador para campos bosônicos . . . . . . . . . . . . . .
Teoria escalar livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoria escalar interagente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ação efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O potencial efetivo a um laço para teoria escalar interagente . . . . . . .
TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formalismo de tempo imaginário . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potencial efetivo a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . .
Transição de fase e restauração de simetria . . . . . . . . . . . . .
Condensação de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
POTENCIAL EFETIVO PARA MISTURAS BINÁRIAS . . .
Teoria quântica de campos para misturas binárias bosônicas com
acoplamento Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo O(2) com anisotropia Josephson . . . . . . . . . . . . . . .
Teoria de campo médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Efeitos de flutuações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avaliação numérica das densidades dos condensados . . . . . . .
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APÊNDICE A – Regularização dimensional do potencial efetivo a um
laço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
14
15
18
19
21
23
26
28
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33
34
39
41
43
49
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49
51
53
56
61
66
68
. 73
11
INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, a fı́sica da Matéria Condensada ampliou substancialmente seus
horizontes muito além de suas fronteiras tradicionais. Isto é mais evidente nas pesquisas
sobre materiais em escalas nano-métricas. Alguns sistemas, aparentemente sem relação entre si, como heteroestruturas de semicondutores, moléculas orgânicas e biológicas, microcavidades e cristais fotônicos com gap de banda, dispositivos de um único elétron, nanotubos de carbono e grafeno, estão no foco atual da atividade de pesquisa. Muitos destes
novos materiais estão se tornando importantes em termos de possı́veis aplicações industriais. Por outro lado, fenômenos fı́sicos como a supercondutividade (SRIVASTAVA, 2003),
o efeito Hall quântico (STONE, 1992) e a condensação de Bose-Einstein (GRIFFIN, 1996),
estão sendo atualmente pesquisados nestes novos materiais. Desta forma, novos experimentos e técnicas teóricas estão sendo aplicadas a novos e desafiantes sistemas. Dentro
destas técnicas, a “Teoria Quântica de Campos (TQC)”, inicialmente formulada para o
tratamento de problemas da fı́sica de altas energias, encontra, há vários anos, terreno fértil
para aplicações em sistemas da Matéria Condensada e Mecânica Estatı́stica (FRADKIN,
2013; TSVELIK, 1995). O sucesso destas aplicações é notório; como exemplos consagrados
é suficiente mencionar a supercondutividade BCS e o comportamento crı́tico do modelo
de Ising em três dimensões. Recentemente, vários resultados não menos importantes têm
sido obtidos através de aplicações de métodos de TQC em sistemas de natureza similar,
em particular, nós assim chamamos “sistemas de baixa dimensionalidade”, como os gases
bidimensionais de elétrons que apresentam efeito Hall quântico, efeito Kondo, sistemas
antiferromagnéticos quânticos, supercondutores de alta temperatura critica, nanotubos
de carbono. A TQC é especialmente indicada quando os sistemas de estudo apresentam
correlações fortes e as aproximações habituais de um corpo (por exemplo, “tight-binding”
e as técnicas de Hartree e Hartree-Fock) estão no limite da sua aplicabilidade. Exemplos destes compostos são os já mencionados “cupratos supercondutores”, mas também
os sistemas de férmions pesados como os “rutenatos” entre outros. Podemos citar ainda
elementos como o 3 He e 4 He em condições extremas de temperatura e pressão, os quais
se encontram nesta categoria. A aplicação de técnicas de TQC em sistemas da Matéria
Condensada fornece informação relevante sobre propriedades termodinâmicas e de transporte tanto em equilı́brio quanto fora do equilı́brio termodinâmico. Geralmente, a TQC
é usada para construir modelos que exploram a fı́sica de baixas energias e comprimentos
de correlação grandes. Isto se torna especialmente importante num regime perto de uma
transição de fase, tanto clássica como quântica onde as técnicas perturbativas usuais não
podem ser aplicadas.
Dentro deste contexto esta tese é dedicada ao estudo de alguns aspectos de gases
bosônicos, aplicando a técnica de teoria de campos conhecida como potencial efetivo a
12
temperatura finita. A idéia básica é que a temperaturas muito baixas, tanto as flutuações
quânticas como as térmicas são relevantes, então, elas têm que ser tratadas simultaneamente. A teoria de campos a temperatura e densidade finita formulada em tempo
imaginário é uma técnica que permite lidar com estes dois tipos de flutuações de forma
muito eficiente. Em particular decidimos estudar gases bosônicos interagentes a temperaturas muito baixas. Estes sistemas são muito interessantes devido a riqueza de fases que
apresentam (WILL, 2013). A pesquisa básica nesta área tem crescido muito nos últimos
anos (SOLTAN-PANAHI. et al., 2011).
Devido a capacidade de aprisionamento óptico a temperaturas extremamente baixas, é possı́vel estudar uma grande variedades de fenômenos em sistemas compostos de
misturas bosônicas (ANDREWS. et al., 1997; GADWAY, 2010) como também fermiônicas
(ISKIN, 2011). Importantes efeitos quânticos, como condensação de Bose-Einstein e supercondutividade podem agora ser estudadas de forma controlada em sistema de múltiplos
componentes atômicos. Experiências interessantes com fluı́dos quânticos mistos têm sido
feitas com átomos de 87 Rb em dois estados hiperfinos diferentes (MYATT. et al., 1997;
HALL. et al., 1998; LIN, 2011). Estes estados podem ser induzidos por um feixe de laser
cuja frequência possui uma pequena defasagem em relação à diferença de energia entre
os nı́veis de dois estados hiperfinos. Desse modo é possı́vel a transferência de um estado
hiperfino para o outro produzindo uma interação do tipo Josephson.
Em geral, uma interação do tipo Josephson envolve interações de um grande
número de graus de liberdade bosônicos que podem ocupar dois estados quânticos diferentes. Apesar de ter sido originalmente proposto em sistemas supercondutores ( JOSEPHSON, 1962) onde os bósons são os pares de Cooper, existem muitos outros sistemas,
onde estes efeitos aparecem. Uma análise detalhada de diferentes sistemas fı́sicos que
apresentam interações Josephson pode ser encontradas na referência (BARONE, 2000).
Existem dois tipos de efeito Josephson (LEGGET, 2001): o chamado ”externo”, onde
os dois estados hiperfinos são separados espacialmente, como por exemplo, em um CBE
preso em um poço duplo (ALBIEZ. et al., 2005; PAPP, 2008; GATI, 2007; LEVY. et al.,
2007) e o ”interno”, onde os dois estados quânticos bosônicos se interpenetram sem qualquer distinção geométrica. Um exemplo deste caso são os experimentos com átomos de
rubı́dio citados anteriormente (HALL. et al., 1998). Na presente tese, estamos interessados
principalmente neste último caso.
Propriedades estáticas e dinâmicas de misturas binárias bosônicas em diferentes armadilhas geométricas foram estudadas teoricamente, utilizando essencialmente a equação
de Gross-Pitaeviskii (EGP) (SMERZI, et al., 1997; RAGHAVAN, 1999; SALERNO, 2005).
A EGP, nada mais é que uma equação de campo médio. Porém, para estudar as propriedades de condensados uniformes, especialmente aquelas questões relacionadas com as
flutuações, como restauração de simetria, e reentrâncias de fase, é mais conveniente realizar o estudo através da teoria quântica de campos a densidade e temperatura finita
13
(RAMOS, 2001; PINTO, 2005; PINTO, 2006; CHIEN, 2012). Modelos relacionados com
simetria O(N ) tem sido extensivamente estudados, usando aproximação de N grande e
grupo de renormalização (GR) (MOSHE, 2003; CHIEN, 2012). Estes modelos descrevem
sistemas de várias componentes, que conservam o número de partı́culas de cada uma das
espécies.
Motivados por esses resultados, decidimos abordar o efeito da interação Josephson em misturas bosônicas uniformes, que em geral quebrão a conservação do número
de partı́culas de cada espécies, permanecendo apenas a conservação total de partı́culas
(ZIBOLD, 2010; ZAPATA, 1998). Para fazer isso, será considerado por simplicidade o
modelo O(2), e em seguida será perturbado com uma interação Josephson. Este modelo é
analisado através da aproximação de campo médio, mais flutuações gaussianas. Observase que, num regime de temperatura bem definida, as duas espécies de átomos condensam
a uma mesma temperatura crı́tica Tc sendo que a fase relativa é determinada pela fase
de um parâmetro ν que mede a defasagem de frequências entre o laser e a diferença de
energia entre os estados (”detuning”).
A tese está estruturada da seguinte forma. No capı́tulo 2, fazemos uma introdução
à quantização de campos escalares dando ênfase à técnica de integral funcional e no
potencial efetivo. No seguinte capı́tulo 3, descrevemos a teoria quântica de campos a
temperatura finita, extendendo o estudo do potencial efetivo na presença de temperatura.
O capı́tulo 4 contém a contribuição original da tese (SOUZA, 2014), e trata do estudo
de misturas binárias de bósons na presença de interações tipo Josephson. Neste capı́tulo
são utilizadas as técnicas descritas nos dois capı́tulos anteriores. Finalmente discutimos
nossos resultados nas conclusões
14
1 QUANTIZAÇÃO DE CAMPOS ESCALARES
Iniciaremos este capı́tulo fazendo uma pequena abordagem da mecânica quântica
(MQ) e da teoria quântica de campos (TQC). A teoria quântica de campos foi desenvolvida inicialmente para sistemas quânticos relativı́sticos, porém, nos últimos anos, os
fı́sicos da matéria condensada também sucumbiram aos seus encantos, usando as potentes
ferramentas de cálculo fornecidas por ela. A TQC é o melhor formalismo matemático que
temos em mãos envolvendo processos de criação e destruição de partı́culas (SVAITER,
2009).
Para fornecer um melhor entendimento do desenvolvimento proposto na tese, neste
capı́tulo faremos uma revisão dos métodos de quantização para campos bosônicos e da
construção do formalismo da integral funcional. Apresentaremos também o método do
potencial efetivo, uma maneira sistemática para testar a possı́vel ocorrência de quebra
espontânea de simetrias. Dessa forma, apresentamos as bases para trabalhar, posteriormente, a temperatura finita.
Entre os diferentes métodos de quantização de campos clássicos que foram propostos ao longo dos anos, chamaremos a atenção de dois deles: a quantização canônica (ou
segunda quantização) e, alternativamente, a quantização funcional (ou método de integrais
funcionais). O método de quantização canônica é o mais antigo e tem as vantagens de ser
muito intuitivo e de que somente os modos fı́sicos são quantizados, manifestando-se assim
a unitariedade do sistema. Porém, a quantização funcional parece ser o mais utilizado
pela maioria dos teóricos das partı́culas elementares hoje em dia. Este método funcional
é o mais adequado para a descrição de fenômenos não perturbativos, como tunelamento,
instantons, teorias de gauge na rede, etc. Para teorias de gauge, são particularmente
indispensáveis. É talvez o mais elegante e poderoso de todos os métodos de quantização
disponı́veis, que se baseia em principios simples:
1. estabelece as simetrias da teoria diretamente;
2. explora a topologia do campo;
3. isola variáveis dinâmicas relevantes;
4. e o mais importante, pode facilmente incorporar e descrever os efeitos da temperatura diferente de zero.
De qualquer forma, existe um consenso entre os dois métodos. O método funcional conduz
aos mesmos resultados obtidos através da quântização canônica e ambas formulações da
teoria quântica de campos são equivalentes.
15
1.1 Amplitude de carrelação para campos bosônicos
Iniciaremos esta seção lembrando que em mecânica quântica, trabalha-se no espaço
de posição x(t) e no espaço de momento p = ∂L/∂ ẋ. Em teoria quântica de campos,
trabalhamos com campos φ(x, t) e momentos conjugados π(x, t) = ∂L/∂ φ̇(x, t). Em
teoria quântica de campos, φ(x, t) é uma função que desempenha um papel análogo a
x(t) e descreve um número infinito de graus de liberdade, uma vez que, em cada instante
de tempo, φ tem um valor independente em cada ponto do espaço.
No formalismo canônico, φ(x, t) e π(x, t) transformam-se em operadores. Sendo assim, começaremos determinando o operador de campo na descrição de Heisenberg φ̂(x, 0),
no instante de tempo t = 0, e o operador momento conjugado π̂(x, 0). O autoestado | φi
do operador de campo satisfaz a equação de autovalores φ̂(x, 0) | φi = φ(x) | φi, onde
φ(x) é o autovalor de φ̂, e cumpre também as seguintes condições de completeza e ortogonalidade,
Z
dφ(x) | φihφ | = 1,
hφa | φb i = δ [φa (x) − φb (x)] .
(1)
Analogamente, o autoestado do operador de momento conjugado é representado por | πi e
satisfaz π̂(x, 0) | πi = π(x) | πi, assim como as condições de completeza e ortogonalidade,
Z
dπ(x)
| πihπ | = 1
2π
hπa | πb i = δ [πa (x) − πb (x)] .
(2)
Na mecânica quântica, a superposição entre um autoestado do operador posição e um
autoestado do operador momento é descrito pela expressão hx | pi = exp[i(p.x)]. De
forma análoga, em teoria de campos, temos a superposição
Z
3
hφ | πi = exp i d x (π(x)φ(x)) ,
(3)
como uma generalização natural ao passar de um número finito de graus de liberdade (N)
na mecânica quântica para um número continuamente infinito de graus de liberdade na
R 3
P
teoria quântica de campos, fazendo N
d x (π(x)φ(x)).
i=1 pi xi −→
Um outro conceito importante a ser lembrado são as relações de comutação canônica
entre campos e momentos conjugados, ou seja, as relações fundamentais de comutação,
16
as quais Paul Dirac1 chamou de condições quânticas fundamentais (SAKURAI, 1994).
[φ(x, t), π(x0 , t)] = iδ(x − x0 )
(4)
A quântização canônica é baseada na algebra de operadores e nas equações de
movimento. Nestas condições, é preciso escrever um hamiltoniano como um funcional do
campo e do momento conjugado, pois este carrega toda a informação sobre a situação
dinâmica do sistema
Z
Ĥ = d3 xH(φ̂, π̂).
(5)
Aqui, é importante ressaltar que o nosso principal objetivo nesta seção é obter
a expressão da amplitude de correlação do operador de campo para chegar à integral
funcional. A amplitude de correlação vai nos indicar o grau de semelhança entre dois
estados diferentes do sistema. Vamos supor a partir de agora que um dado sistema está em
um estado inicial | φ0 i no instante de tempo t = 0. A evolução temporal deste estado será
obtida aplicando o operador de evolução temporal Û , também conhecido como operador
de Dyson, que levará o estado inicial | φ0 i para um estado e−iĤ(tf ) | φ0 i, no instante de
tempo tf . Portanto, a expressão da amplitude de correlação, para ir do estado | φ0 i para
um outro estado | φf i depois de um tempo tf , será hφ0 | e−iĤtf | φ0 i.
Para fins estatı́sticos é preciso considerarmos a situação em que o sistema volta
para o estado inicial depois de um tempo tf . Um meio prático para avaliar esta amplitude
consiste em dividirmos o intervalo de tempo [t, tf ] em N subintervalos iguais de duração
4t = t − tf /(N + 1). Em cada intervalo de tempo vamos inserir um conjunto completo
de autoestados do operador de campo e levando em consideração as expressões (1) à (3),
obtemos
#
Z "Y
N
hφ0 | e−iĤtf | φ0 i = lim
dπi dφi /2π
N →∞
i=1
× hφ0 | πN ihπN | e−iĤ4t | φN ihφN | πN −1 i
× hφN −1 | e−iĤ4t | φN −1 i × · · ·
× hφ2 | π1 ihπ1 | e−iĤt | φ1 ihφ1 | π0 i.
1
(6)
Paul Maurice Dirac, é um dos fundadores da mecânica quântica. O formalismo matemático desenvolvido por ele consiste principalmente de uma álgebra não-comutativa para calcular propriedades dos
átomos. Dirac desenvolveu uma teoria relativı́stica para os elétrons, previu a descoberta do pósitron
em 1928, e fez importantes contribuições para a teoria quântica de campos. Ele recebeu o prêmio
Nobel em 1933 (GREINNER, 1998).
17
Das condições de completeza e ortogonalidade, podemos escrever
hφ1 | φ0 i = δ(φ1 − φ0 )
Z
3
hφi+1 | πi i = exp i d x (πi (x)φi+1 (x)) .
(7)
Desde que o limite 4t → 0, podemos expandir até o termo de primeira ordem
hπi | e−iĤ4t | φi i ' hπi | 1 − iĤ4t | φi i
= hπi | φi i 1 − iĤi 4t
Z
3
= 1 − iĤ4t exp −i d x (πi (x)φi (x)) ,
(8)
onde Ĥi =
R
d3 xH (πi (x)φi (x)). Agora, juntando os últimos passos,
hφ0 | e−iĤtf | φ0 i =
lim
Z "Y
N
N →∞
#
dπi dφi /2π δ (φ1 − φ0 )
i=1
(
× exp −i4t
N Z
X
)
3
d x [H(πi , φi ) − πi (φi+1 − φi )/4t] ,
(9)
i=1
com φN +1 = φ0 . A vantagem em alternar a inserção de um conjunto completo de autoestados de φ̂ e π̂ é que, dessa forma, o hamiltoniano é avaliado em um único tempo.
Tomando o limite contı́nuo na Eq. (9) e fazendo 4t → 0, chegamos finalmente
na expressão mais importante desta seção, a expressão da amplitude de correlação para
bósons como uma integral funcional,
−iĤtf
hφ0 | e
Z
| φ0 i =
Z
φ(x,tf )=φ0 (x)
[dπ]
× exp i
[dφ]
φ(x,0)=φ0 (x)
Z tf Z
3
dt
0
∂φ(x, t)
− H (π(x, t), φ(x, t)) . (10)
d x π(x, t)
∂t
Os sı́mbolos [dφ] e [dπ] definem a medida de integração funcional e H é a densidade hamiltoniana do sistema. A primeira integral, ou seja, em π não é restrita, mas a
integração ao longo de φ, é tal que o campo começa em φ0 (x) em um instante de tempo
t = 0 e termina em φ0 (x) no instante de tempo t = tf . Note-se que com este desenvolvimento temos chegado a uma expressão contendo apenas funções definidas no espaço de
fases (campos clássicos) e não mais operadores. Assim, passamos da formulação canônica
à formulação funcional, que usa outra linguagem e diferentes ferramentas matemáticas.
18
1.2 Funcional gerador para campos bosônicos
Nosso objetivo nesta seção é a obtenção do funcional gerador das funções de correlação. O funcional gerador se define a partir da amplitude de correlação (Eq. (10))
quando o tempo inicial t → −∞ e o final tf → ∞, i.e., a amplitude de correlação vácuo
a vácuo, em presença de uma fonte externa J. Dessa forma, temos que
Z[J] = h0, +∞ | 0, −∞iJ .
(11)
O termo de fonte J serve para tirar o sistema do vácuo. Sendo assim, pode-se afirmar
que quando não há fontes, o sistema estará sempre no estado de vácuo.
No caso que a densidade hamiltoniana H seja uma função quadrática do momento,
a integral em π na expressão (10) é Gaussiana e pode, consequentemente, ser integrada.
Dessa forma, podemos definir o funcional gerador como sendo (RYDER, 1985),
Z
R 4
Z[J] =
Dφ ei d x[L(φ)+J(x)φ(x)]
(12)
∝ h0, +∞ | 0, −∞iJ ,
onde L é a lagrangeana do sistema. Temos definido assim a integral funcional, ou de
trajetórias, que é o formalismo que vamos usar ao longo da tese. Escrever a teoria em
função de campos clássicos e não mais de operadores permite-nos fazer um tratamento
mais intuitivo, porém, a dificuldade está agora em resolver a integral funcional.
Uma vez definido o funcional gerador, as funções de correlação são calculadas
através das derivadas funcionais de Z[J]. Temos então que
G(x1 , ..., xn ) = h0 | T (φ(x1 )...φ(xn )) | 0i =
δ n Z0 [J]
1 1
.
in Z[0] δJ(x1 )...δJ(xn ) J=0
(13)
Z[0] é a constante de normalização, que resulta de colocar J = 0 na Eq. (10).
Podemos estabelecer portanto, que o valor esperado do vácuo do produto de ordenamento temporal é chamado de função de Green ou função de correlação de n pontos
da teoria, que pode ser calculada a partir do funcional gerador Z[J] usando a expressão
anterior, (Eq. (13)).
Vamos considerar a continuação de uma teoria de campo escalar bosônico relativı́stica que satisfaz a equação de Klein-Gordon, de modo a ilustrar com um exemplo o
formalismo até aqui desenvolvido.
19
1.2.1 Teoria escalar livre
Consideremos a lagrangeana de Klein-Gordon para um campo escalar livre relativı́stico, no espaço de Minkowski,
L=
m2 2
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) −
φ,
2
2
(14)
onde µ = 0, 1, 2, 3 e assumimos o tensor métrico gµ,ν = g µ,ν = 1, −1, −1, −1 (PESKIN,
1995). Substituindo (14) na expressão geral do funcional gerador, Eq. (13), obtemos,
Z
Z0 [J] =
Dφei
R
d4 x[ 21 (∂µ φ)(∂ µ φ)− 12 m2 φ2 +J(x)φ(x)]
.
(15)
Vamos usar a notação Z0 para designar a teoria livre. Desenvolvendo o primeiro termo
na lagrangeana, Eq. (14), temos que,
Z
Z
Z
4
µ
4
µ
d x(∂µ φ)(∂ φ) =
d x∂µ (φ∂ φ) − d4 xφ∂µ ∂ µ φ
Z
Z
µ
=
(φ∂ φ) dS − d4 xφ∂µ ∂ µ φ,
(16)
S
onde ∂µ ∂ µ é o operador de D’Alembert. Na expressão acima, o termo de superfı́cie vai
desaparecer quando o campo φ → 0 no infinito. Portanto, a equação (16) fica estabelecida
da seguinte forma,
Z
4
Z
µ
d x (∂µ φ) (∂ φ) = −
d4 xφ∂µ ∂ µ φ
(17)
e, consequentemente, o funcional gerador é
Z
Z0 [J] =
Dφe−i
R
d4 x[ 21 φ(∂µ ∂ µ +m2 )φ−Jφ]
.
(18)
Uma vez que a lagrangeana é quadrática em φ, a integral funcional é gaussiana
e pode ser resolvida exatamente. Sendo assim, obtemos para o funcional gerador (DAS,
1997; LE BELLAC, 1996),
i
Z0 [J] = N exp −
2
Z
d xd yJ(x)4F (x − y)J(y) ,
4
4
(19)
onde, 4F (x − y) é definido segundo
∂µ ∂ µ + m2 4F (x − y) = −δ 4 (x − y)
(20)
−1/2
e a constante de normalização N = det ((∂µ ∂ µ )2 + m2 )
.
20
Este funcional gerador vai ser utilizado para gerar as funções de Green, ou seja, o
valor esperado do vácuo do produto de ordenamento temporal dos operadores de campos,
na linguagem de quantização canônica, da seguinte forma
hT φ(x)φ(y)i =
δlnZ0 = 4F (x − y).
δJ(x)δJ(y) J=0
(21)
4F (x − y) é conhecido como o propagador de Feynman. Para encontrarmos a sua representação é preciso achar a solução da Eq. (20). Para isso, vamos passar para o espaço de
momento, pois o desenvolvimento é mais fácil. Sendo assim, a transformada de Fourier
4F (k) de 4F (x) é dada por
Z
4F (x) =
d4 ke−ikx 4F (k),
(22)
onde kx = k0 x0 − k.x. Substituindo agora na equação (20) e usando a representação da
função delta no espaço de Fourier, temos
Z
µ
2
∂µ ∂ + m 4F (x) =
d4 k ∂µ ∂ µ + m2 e−ikx 4F (k)
Z
d4 k −ikx
e
= −δ 4 (x).
(23)
= −
(2π)4
Desenvolvemos (∂µ ∂ µ ) e−ikx = (−k02 + k2 ) e−ikx = −k 2 e−ikx , onde k 2 = k02 − k2 , de modo
que
∂µ ∂ µ + m2 e−ikx = − k 2 − m2 e−ikx .
(24)
Igualando agora os integrandos em (23),
1 −ikx
− k 2 − m2 e−ikx 4(k) = −
e
,
(2π)4
(25)
temos que, no espaço de momento, o propagador de Feynman é dado por
4F (k) =
1
1
.
(2π)4 k 2 − m2
(26)
Portanto, voltando para o espaço de configurações, temos que
Z
4F (x) =
d4 k
e−ikx
.
(2π)4 k 2 − m2 + i
(27)
√
Esta integral tem polos em k0 = ± k2 + m2 = ±wk , ( → 0). Note-se que temos
introduzido no denominador o termo i, que determina o caminho de integração em torno
dos polos. Esta maneira de contornar os polos é conhecida como prescrição de Feynman.
21
Uma outra maneira de calcular esta integral é trabalhar no espaço euclideano.
Para isso, é feito um giro no eixo do tempo através de um ângulo δ = π/2. Neste caso,
podemos escrever a variável tempo como sendo t → e−iδ τ = −iτ e tomando τ → ±∞. O
tempo euclideano e o espaço euclideanos ficam então,
x4 = it = ix0 , (tempo euclideano)
ds
2
4
X
= (dx0 ) − (dx1 ) − (dx2 ) − (dx3 ) = −
(dxµ )2E
2
2
2
2
µ=1
4
X
(dxµ )2E = (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 + (dx4 )2
(28)
µ=1
Definimos também
k4 = −ik0 ⇒ k 2 = k02 − k2 → −(k42 + k4 ) = −(k12 + k22 + k32 + k42 ) = −kE2
(29)
e
d4 kE = dk4 d3 k = −id4 k
Finalmente, no espaço euclideano o propagador de Feynman fica
Z 4
1
d kE
.
4F (x) = −i
2
(2π) kE + m2
(30)
(31)
Dessa maneira, não tem nenhuma indeterminação, uma vez que os polos não estão mais
√
no eixo real, mas em k4 = ±i k2 + m2 = ±iwk .
No espaço euclideano, o funcional gerador Z0 [J], Eq. (15), torna-se (utilizando:
d4 x → −id4 xE e (∂ µ φ)2 → −(∂Eµ φ)2 )
Z
R 4
µ
1
2
2 2
(32)
Z0 [J] → Z0E [J] = Dφe− d xE { 2 [(∂E φ) +m φ ]−φJ } .
1.2.2 Teoria escalar interagente
Na subseção anterior foi feito um desenvolvimento para quantizar campos livres e
chegamos à expressão para calcularmos as funções de Green para uma teoria de campo
escalar livre. No entanto, a maioria dos processos fı́sicos reais apresentão interações entre
os seus campos. Iniciaremos esta seção, então, com a proposta de passar de uma teoria
de campo escalar livre (Klein-Gordon) para uma teoria de campos escalares com autointeração. Tais condições são obtidas ao escrever potências superiores de φ descrevendo as
auto-interações ou produtos que envolvam diferentes tipos de campos. Em teoria clássica,
22
isto conduz a uma equação de campo não linear ou sistemas acoplados de equações de
campos que são difı́ceis de solucionar. Por outro lado, em teoria quântica de campos interagentes nos deparamos com problemas ainda maiores. Podemos citar como exemplo, as
flutuações quânticas que induzem misturas complicadas de diferentes tipos de partı́culas.
Vamos começar escrevendo a lagrangeana de uma teoria com interações com duas
componentes, a lagrangeana da teoria livre mais a componente da interação. Vamos usar
como exemplo uma teoria λφ4 ,
LT
= L0 + Li
λ
1
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 − φ4
=
2
2
4!
(33)
onde L0 é a lagrangeana de Klein-Gordon para campos escalares livres, estudada na
seção anterior, e Li = − 4!λ φ4 é a componente de interação, sendo λ uma constante de
acoplamento adimensional.
Nestas condições, o funcional gerador se escreve
Z
Z[J] =
Z
4
Dφ exp i d x [LT (φ) + J(x)φ(x)] .
(34)
Consideraremos que λ é muito pequeno (λ 1). Consequentemente, podemos
fazer uma expansão na equação do funcional gerador, chegando à expressão
Z
Z
Z
4
4
4
exp i d x (LT + Jφ) = exp i d xLi exp i d x (L0 + Jφ)
R
Z
4
4 λ 4
(35)
=
1 − i d x φ + ... ei d x(L0 +Jφ) .
4!
Convenientemente, vamos substituir o campo φ pelo operador
equação (35) como,
1 δ
,
i δJ(x)
e reescrevemos a
#
Z
"
4
Z
Z
λ
1
δ
4
4
4
exp i d x (LT + Jφ) = 1 − i d x
+ ... exp i d x (L0 + Jφ) .
4! i δJ(x)
(36)
Nestas condições, o funcional gerador Z[J] fica,
Z
Z
4
Z[J] =
Dφ exp i d x [LT + Jφ]
#Z
"
4
Z
Z
λ
1
δ
4
4
+ ...
Dφ exp i d x [L0 + Jφ]
= 1−i d x
4! i δJ(x)
"
#
4
Z
λ
1
δ
+ ... Z0 [J].
= 1 − i d4 x
4! i δJ(x)
(37)
23
Re-exponenciando a serie de Taylor,
Z[J] = e−i
R
λ 1
d4 x 4!
(i
4
δ
δJ(x)
) Z [J].
0
(38)
1.3 Ação efetiva
A ação efetiva é uma importante ferramenta na teoria quântica de campos, sendo
um funcional que depende do campo e que constitui um análogo da ação na mecânica
clássica. Na mecânica clássica, as equações de movimento são obtidas a partir da ação
usando o princı́pio variacional. Na TQC, exigindo que a ação efetiva seja estacionária,
podem-se derivar as equações de movimento para os valores esperados do vácuo quântico.
A ação efetiva pode ser tomada como ponto de partida para a discussão de efeitos não
perturbativos como a quebra espontânea de simetria (GREINER, 1996).
Definimos o potencial W [J] da seguinte forma,
Z[J] = exp {iW [J]} −→ W [J] = −i ln Z[J].
(39)
Na linguagem da teoria de perturbações, o funcional W [J] é conhecido como o funcional
gerador das funções de Green conectadas. É simples ver que, analogamente a Eq. (13),
podemos escrever,
n−1
G(n)
c (x1 ...xn ) = h0 | T [φ(x1 )...φ(xn )] | 0ic = (−i)
δ n W [J]
,
δJ(x1 )...δJ(xn ) J=0
(40)
(n)
onde Gc é a função de Green de n pontos conectada (sem os diagramas de vácuo).
Alternativamente, fazendo a expansão funcional em potências de J, temos,
n−1
W [J] = (−i)
Z
∞
X
1
d4 x1 ...d4 xn J(x1 )...J(xn )G(n)
c (x1 ...xn ).
n!
n=0
(41)
Usando a definição da função de correlação, Eq. (13), e as equações anteriores,
podemos obter, agora em termos do funcional W [J] e apenas para um campo φ(x), a
função de um ponto conectada,
δ
δW
(−i ln Z[J]) =
= h0 | φ(x) | 0iJ = φ̄(x),
δJ(x)
δJ(x)
(42)
onde φ̄(x) é o campo clássico e representa o valor esperado do vácuo na presença de
uma fonte J(x). Na equação acima, pode-se determinar o vácuo quântico tomando o
limite J → 0, podendo este ser diferente do vácuo clássico. Na linguagem de mecânica
estatı́sitica, W [J] é conhecida como a energia livre de Helmholtz. O campo φ̄(x) é o
parâmetro de ordem associado à fonte J(x). Se diz que J(x) e φ̄(x) são campos conjugados.
24
Estamos interesados em definir um novo funcional que dependa apenas do parâmetro
de ordem φ̄(x), e não mais da fonte J. Isto é equivalente a definir a energia livre de Gibbs
Γ[φ̄(x)]. Para isso, vamos usar a transformada funcional de Legendre,
Z
Γ[φ̄] = W [J] −
d4 xJ(x)φ̄(x).
(43)
onde a relação,
δΓ[φ̄]
= −J(x).
δ φ̄(x)
(44)
define a equação de estado do sistema. Usando as definições anteriores, é simples ver que
Γ[φ̄] vira uma constante quando J(x) → 0. Sendo assim, temos que φ̄ é uma solução da
equação,
δΓ[φ̄]
= 0.
δ φ̄
(45)
Portanto, o vácuo quântico φ̄(x) é um ponto estacionário de Γ. Na linguagem de teoria
de campos, Γ[φ] é chamada de ação efetiva.
A seguir, vamos ilustrar a aproximação de campo médio (ponto de sela) mais
flutuações gaussianas para calcularmos o funcional gerador e chegar à ação efetiva Γ
usando o modelo de Klein-Gordon. Para isso, avaliaremos W [J] através do método do
ponto de sela (ZINN-JUSTIN, 1996) para integrais de caminho. Começaremos usando a
definição do funcional gerador Z[J],
Z[J] = exp
1
W [J]
h̄
Z
=
Dφ exp
i
(S[φ, J]) ,
h̄
(46)
R
onde, S[φ, J] = d4 x(L[φ] + h̄Jφ) e L[φ] = 21 (∂µ φ)2 − V (φ) é a lagrangeana de KleinGordon mais interações dadas pelo potencial V (φ). O termo de interação V (φ) poderia
ser, em particular, λφ4 .
O ponto de sela φ0 é aquele em que a ação S[φ, J] é estacionária, ou seja,
Z
δS[φ, J] δ
1
4
2
=
d x (∂µ φ) − V (φ) + h̄Jφ = 0
δφ
δφ
2
φ0
φ0
dV = −∂µ ∂ µ φ0 −
(47)
+ h̄J = 0.
dφ φ0
Esta equação define o campo φ0 [J] como um funcional de J.
25
Agora, expandindo S[φ, J] em torno de φ0 , obtemos,
Z
δS[φ, J] S[φ, J] = S[φ0 , J] + d4 x [φ(x) − φ0 (x)]
δφ(x) φ0
Z
1
δ 2 S[φ, J] +
d4 xd4 y [φ(x) − φ0 (x)]
[φ(y) − φ0 (y)] + · · ·
2
δφ(x)δφ(y) φ0
(48)
Fazendo uso da equação (47) é possı́vel escrever a equação (48) da seguinte forma,
1
S[φ, J] = S[φ0 , J] +
2
Z
δ2S
d xd y [φ(x) − φ0 (x)]
[φ(y) − φ0 (x)] + · · ·
δφ(x)δφ(y) φ0
4
4
(49)
Considerando que a ação é dada por,
Z
S[φ, J] = −
1
µ
d x φ∂µ ∂ φ + V (φ) − h̄Jφ ,
2
4
(50)
o operador quadrático é,
ô(x, y) =
δ2S
= − [∂µ ∂ µ + V 00 (φ0 )] δ 4 (x − y).
δφ(x)δφ(y) φ0
(51)
Fazendo a mudança φ0 = φ − φ0 na expansão (49), obtemos,
1
S[φ, J] = S[φ0 , J] −
2
Z
d4 xφ0 (x) [∂µ ∂ µ + V 00 (φ0 )] φ0 (x) + · · ·
(52)
Substituindo essa expressão no funcional gerador Z[J], Eq. (46) e descartando os termos
de ordem superior, iremos obter,
e
i
W [J]
h̄
=e
i
S[φ0 ,J]
h̄
Z
−i
Dφ0 e 2h̄
R
d4 x φ0 [∂µ ∂ µ +V 00 (φ0 )]φ0
(53)
Aqui, é conveniente reescalonar2 o campo φ0 em φ0 → h̄1/2 φ e passar para o espaço
euclideano, d4 x = −id4 xE . Então, poderemos reescrever a equação anterior da seguinte
forma,
e
i
W [J]
h̄
=e
i
S[φ0 ,J]
h̄
Z
1
Dφe− 2
R
d4 xE φ[−(∂µ ∂ µ )E +V 00 (φ0 )]φ
.
(54)
Vamos lembrar a expressão da integração funcional gaussiana,
Z
2
1
Dφe− 2
R
φôφ
1
= [det ô(x, y)]− 2 ,
(55)
Note-se que depois de ser feito esse reescalonamento, o desenvolvimento em h̄ será equivalente a uma
expansão em laços da ação efetiva.
26
pois, usando-la, é possı́vel escrever a equação (54) como segue,
i
i
−1/2
e h̄ W [J] = e h̄ S[φ0 ,J] [det (−(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φ0 ))]
= Z[J].
(56)
Dessa maneira, reescrevemos o funcional gerador das funções de Green conectadas, Eq. (46),
como,
h̄
W [J] = −ih̄ ln Z[J] = S[φ0 , J] + i ln [det (−(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φ0 ))] ,
2
(57)
e usando a identidade3 , ln [det ô(x, y)] = tr ln[ô(x, y)], a expressão (57) fica,
h̄
W [J] = S[φ0 , J] + i tr ln [−(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φ0 )] .
2
(58)
Este resultado é o funcional gerador de funções conectadas, ou a energia livre de Helmholtz,
para um campo de Klein-Gordon com interções dadas por V (φ) na aproximação de ponto
de sela mais flutuações gaussianas. Note que W [J] é um funcional de J de forma explicita, através de S[J] e também de forma implı́cita a través de φ0 [J] dada pela solução da
equação de movimento.
Finalmente, realizando a transformada funcional de Legendre indicada em (43),
obtemos a expressão seguinte para a ação efetiva, em termos do parâmetro de ordem φ̄,
h̄
Γ[φ̄] = S[φ̄] + i tr ln −(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φ̄) .
2
(59)
No limite em que h̄ → 0 a ação efetiva Γ[φ̄] transforma-se na ação clássica. Como
foi visto, na aproximação gaussiana, Γ contém a ação clássica S[φ] mais as correções
quânticas dadas pelo segundo termo da equação (59). Em geral, no caso de uma teoria
de campos interagente, a influência das flutuações quânticas transformará Γ[φ̄] em um
funcional altamente não local, caracterizado por uma expressão que depende dos valores
simultâneos de φ̄(x) em muitos pontos diferentes de x, como será visto mais à frente.
1.3.1 O potencial efetivo
Uma vez obtida a ação efetiva, Eq. (43), na presente seção vamos desenvolver um
método para calcularmos correções quânticas para algumas quantidades fı́sicas. Isto é
muito relevante, pois vai nos permitir o estudo da quebra de simetrias e a análise de
como estas correções quânticas atingem, por exemplo, o valor esperado do vácuo e da sua
3
Se αi ≡ autovalores de ô(x, y), então det[ô(x, y)] =
Q
i
αi e ln det[ô(x, y)] =
P
i
ln αi = tr ln ô(x, y)
27
importância na transição de fase em teoria quântica de campos.
Em teoria quântica de campos, o potencial clássico possui um papel fundamental para estudar questões envolvendo quebra de simetria. Porém, as vezes as correções
quânticas podem mudar o comportamento do potencial clássico, desestabilizando o mı́nimo
desse potencial. Assim sendo, uma quantidade mais indicada para este estudo é o potencial efetivo (Vef f ), que contém as correções quânticas. Infelizmente, o potencial efetivo
não pode ser calculado de forma fechada. Devido a isso temos que fazer uma análise
ordem a ordem em teoria de perturbações. Este desenvolvimento perturbativo que caracteriza o Vef f é organizada em forma de quantidades de laços (ou loops) dos diagramas de
Feynman (DE CALAN, 1998).
Podemos, então, definir o potencial efetivo como sendo a principal ferramenta
utilizada para estudarmos a transição de fase e a quebra espontânea de simetria, através
do conhecimento de algumas quantidades termodinâmicas (PINTO, 2005; PINTO, 2006)
e, com isso, obter a energia do estado fundamental de um sistema quântico, isto é, do
vácuo quântico.
Faremos uma demonstração detalhada de como chegar à expressão do potencial efetivo através de métodos funcionais, fazendo uso do formalismo das integrais de trajetória
de Feynman4 (FEYNMAN, 2010).
A aproximação do potencial efetivo é obtida a partir da ação efetiva (Eq. (43)),
considerando constante o campo ou parâmetro de ordem φ̄. Para chegarmos a esta aproximação, supomos que o parâmetro de ordem varia suavemente e iremos escrever a ação
efetiva Γ[φ̄] como uma expansão em derivadas do campo clássico como segue,
Z
Γ[φ̄] =
1
µ
d x −Vef f (φ̄) + Z(φ̄)∂µ φ̄∂ φ̄ + · · · ,
2
4
(60)
onde Z(φ̄) é uma função arbitrária do campo e Vef f não contém termos em derivadas.
Considerando φ̄ constante na expressão de Γ[φ̄], para ordem h̄, e usando a notação
φ̄ = φc por uma questão de conveniência, a equação (59) fica,
h̄
Γ[φc ] = S[φc ] + i tr ln [−(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φc )]
2
Z
h̄
=
d4 x [−V (φc )] + i tr ln [−(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φc )] ,
2
4
(61)
Em relação aos formalismos de Heisenberg e Schrodinger, anteriormente desenvolvidos, o formalismo
introduzido por Feynman em 1948, seguindo idéias de Dirac (BARONE, 2003), é considerado a forma
mais elegante e com certeza a mais completa quando queremos descrever uma teoria quântica de
campos. Por muitos anos Richard Feynman, lecionou mecânica quântica no Califonia Technology
Institute - Caltech (FEYNMAN, 2010), usando o formalismo de integrais de trajetória. Feynman
propiciou um grande salto na mecânica quântica, na fı́sica estatı́stica e na teoria quântica de campos
ao introduzir esse formalismo.
28
de onde extraimos a expressão do potencial efetivo,
Vef f (φc ) = V (φc ) − i
h̄
tr ln [−(∂µ ∂ µ )E + V 00 (φc )] .
2Ω
Devido a que V 00 (φc ) é constante, podemos calcular explicitamente o potencial utilizando
o espaço de Fourier. Passando para o espaço dos momento e lembrando que o traço de um
operador é a soma dos seus autovalores, podemos escrever o potencial efetivo da seguinte
forma,
Vef f (φc ) = V (φc ) − i
h̄ X 2
ln kE + V 00 (φc ) .
2Ω k
(62)
Agora, tomando o limite funcional,
X
Z
−→ Ω
k
1 4
d k = Ωi
(2π)4
Z
1 4
d kE
(2π)4
(63)
R
onde Ω = d4 x é o volume do espaço-tempo, podemos, finalmente, escrever a expressão
do potencial efetivo como sendo,
h̄
Vef f (φc ) = V (φc ) +
2
Z
d4 kE 2
00
ln
k
+
V
(φ
)
.
c
E
(2π)4
(64)
O potencial efetivo transforma-se no potencial clássico V (φ) no limite clássico
h̄ → 0. No entanto, a expressão (64) é uma quantidade divergente. Portanto, é importante
definir um processo de regularização adequado.
1.3.2 O potencial efetivo a um laço para teoria escalar interagente
A seguir, vamos exemplificar o desenvolvimento da técnica do potencial efetivo no
modelo de um campo escalar com a seguinte densidade Lagrangeana quadri-dimensional (DAS,
1997):
1
m2 2 λ 4
L[φ] = (∂µ φ)2 −
φ − φ
2
2
4!
(65)
onde, ∂µ é a derivada covariante.
O potencial clássico (potencial “tree level”) fica identificado como sendo
V (φ) =
m2 2 λ 4
φ + φ
2
4!
(66)
29
e a sua derivada segunda é
λ
V 00 (φ) = m2 + φ2 .
2
(67)
Usando a definição feita do potencial efetivo em uma aproximação gaussiana,
Eq. (64), temos, para este exemplo,
λ
1
1
Vef f (φc ) = m2 φ2c + φ4 +
2
4!
2
Z
d4 kE
λ 2
2
2
ln kE + m + φc .
(2π)4
2
(68)
Esta expressão representa o potencial efetivo do modelo de um campo escalar com interação quártica na aproximação a um laço ou flutuações gaussianas. O primeiro termo
desta expressão representa o potencial clássico, enquanto que o último termo contém
as flutuações quânticas gaussianas. Nesta seção, o potencial efetivo é calculado a T = 0.
Porém, para o estudo de transições de fase é preciso calculá-lo a temperatura finita, T 6= 0.
O próximo capı́tulo é dedicado a essa teoria.
Convenientemente, vamos destacar o termo logarı́tmico para escrevê-lo da seguinte
forma
Z
Z
2
λ 2
d4 k
d4 k
2
2
2
ln
k
+
m
+
φ
ln
k
+
m
=
c
E
E
(2π)4
2
(2π)4
Z
λ φ2c
d4 k
+
ln 1 −
,
(69)
(2π)4
2 kE2 + m2
de modo que ao substitui-lo novamente em (68) e descartando os termos indepedentes de
φc , obtemos
λ
1
1
Vef f (φc ) = m2 φ2c + φ4c +
2
4!
2
Z
λ φ2c
d4 kE
ln 1 +
.
(2π)4
2 kE2 + m2
(70)
P∞
n+1 −1 n
n x , é
Usando a expansão em série do logaritmo, ln(1 + x) =
n=1 (−1)
possı́vel escrever a Eq. (70) como uma série perturbativa em λ,
!n
∞ Z
λ 2
φ
d4 kE (−1)n+1
1 2 2 λ 4 1X
c
2
Vef f (φc ) =
m φc + φc +
2
4!
2 n=1 (2π)4
n
kE2 + m2
Z 4
1 2 2 λ 4 λ 2
d kE
1
=
m φc + φc + φc
2
4
2
4!
4
(2π) kE + m2
2 Z 4
d kE
1
1 λ 4
φc
+ ...
(71)
−
2
4
4 4
(2π) (kE + m2 )
Alternativamente, é possı́vel escrever a Eq. (71) como uma expansão a um laço em diagramas de Feynman.
O potencial efetivo representado pela Eq. (71) possui integrais de momentos que
divergem na região ultravioleta, isto é, a medida que k → ∞ a integral torna-se infi-
30
nita. O primeiro passo é tornar a teoria finita, i.e., temos que regularizar. Isto é tı́pico
de cálculos em teoria quântica de campos onde sempre encontramos infinitos ao tentar
calcular correções quânticas.
Essas divergências afetam diretamente a massa e a constante de acoplamento.
Devido a isso são introduzidos contratermos de renormalização. Com a introdução desses
contratermos é possı́vel escrever a densidade lagrangeana da seguinte forma,
1
1
1
1
1
1
L[φ] = (∂τ φ)2 + (∇φ)2 + m2 φ2 + δm2 φ2 + λφ4 + δλφ4
2
2
2
2
4!
4!
(72)
onde,
V (φ) =
1
1
m2 + δm2 φ2 + (λ + δλ) φ4
2
4!
(73)
Para definirmos esses contratermos é necessário escolher um método de regularização que
satisfaça a teoria. Na literatura, é possı́vel encontrar vários métodos de regularização
(SVAITER, 2009; COLLINS, 1994), mas, para a análise do problema em questão, utilizaremos a regularização por cut-off. Este método foi desenvolvido pelo fı́sico holandês
Hendrik Casimir e sistematizado por Fierz, Boyer (FIERZ, 1960) e seus colaboradores.
Lembrando que a contribuição equivalente à temperatura igual a zero do potencial
efetivo a um laço pode ser escrita como segue,
1
V1−laço (φc ) =
2
Z
d4 kE
λφ2c
2
2
ln kE + m +
(2π)4
2
(74)
Como foi citado anteriormente, esta integral diverge de forma logarı́tmica no regime ultravioleta. Para calculá-la teremos que fazer um corte na integral dos momentos, i.e.,
introduziremos um cut-off, em que kE2 = Λ2 . A introdução desse cut-off ultravioleta é o
mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias (KAPUSTA, 1989). Com essa
alteração a integral torna-se convergente.
Considerando a invariância rotacional, definindo η =| h |2 , podemos escrever
1
π2
V1−laço (φc ) =
2 (2π)4 Γ(2)
Z
0
Λ2
λ 2
2
dη η ln η + m + φc
2
(75)
Essa integral poderá ser solucionada com a ajuda5 da Ref. (GRADSHTEYN, 1965). Te-
5
Utilizando:
R
2
σ ln(b + σ)dσ = 12 (σ 2 − b2 ) ln(b + σ) − 21 ( b2 − bσ)
31
mos então,
4
2
1 4
1
Λ
4
2
2
2
V1−laço (φc ) =
Λ − m φc ln Λ + m φc −
− m φc Λ
64π 2
64π 2 2
1
m4 φc
4
2
+
m
φ
ln(m
φ
)
−
ln Λ2
c
c
2
2
64π
64π 4
4
4
Λ
m φc
m2 φc
Λ
2
ln Λ −
−
ln 1 +
=
64π 2
128π 2
64π 2
Λ2
Λ4
m4 φc
m2 φc Λ2
m2 φc
m2 φc
+
+
+
ln
1
+
ln
.
64π 2
Λ2
64π 2
Λ2
64π 2
Note-se que, para Λ muito grande,
1
1
m2 φc
1
1
4
2
2
4
−→
Λ
ln
1
+
(m
φ
)Λ
−
m
φ
+
O
c
c
64π 2
Λ2
64π 2
128π 2
Λ2
(76)
(77)
e
1
m2 φc
1
4
−
m φc ln 1 +
−→ O
.
2
2
64π
Λ
Λ
Portanto, para Λ → ∞ é possı́vel reescrever a expressão simplificada,
2
2
1
m (φc )
1
2
V1−laço (φc ) =
m (φc ) ln
+
m2 (φc ) Λ2
2
2
64π
Λ
32π
1
m4 (φc ).
−
128π 2
(78)
(79)
Usando as equações (73) e (79), a expressão do potencial efetivo a um laço ficará da
seguinte forma
Vef1−laço
(φc ) =
f
1 2
1
1
(m + δm2 )φ2c + (λ + δλ)φ2c +
m2 (φc ) Λ2
2
2
4!
32π
2
1
m
(φ
)
1
c
m4 (φc ) ln
+
−
64π 2
Λ2
2
(80)
Uma vez que chegamos à expressão anterior, temos interesse em obter as quantidades
renormalizadas da teoria, ou seja, as quantidades finitas. Para conseguirmos essas quantidades finitas, escolhemos os contratermos de tal modo que o potencial independa do
cut-off, ou seja, vamos escolher
2
λ 2 λm2
m
2
δm = −
Λ
−
ln
,
32π 2
32π 2
Λ2
2
3λ2
m
3λ2
δλ = −
ln
−
.
(81)
32π 2
Λ2
32π 2
Substituindo agora esses valores na equação (80), obtemos a expressão do potencial efetivo
32
renormalizado a um laço
(φc ) =
Vef1−laço
f
m2 2 λ 4
3 λ2 4
λm2 2
φc + φc −
φ
−
φ
2
4!
16 32π 2 c 128π 2 c!
2
m2 + λ2 φ2c
λ 2
1
2
m
+
φ
.
+
ln
64π 2
2 c
m2
(82)
Dessa forma, terminamos todo esse desenvolvimento para a expressão do potencial
efetivo a um laço renormalizado aplicando um cut-off ultravioleta, para uma teoria λφ4 .
O mesmo procedimento pode ser utilizado para férmions.
No entanto, em uma teoria de gauge6 (KAPUSTA, 1989; COLLINS, 1994), a
regularização aqui proposta, quebra explicitamente a invariância de calibre7 , ou seja,
a invariância da ação sob algumas simetrias internas da teoria (GREINER, 1996), o
procedimento para esse caso é utilizar um outro método de regularização (COLLINS,
1994) para tornar a teoria livre de divergências.
6
Essa teoria também é chamada muitas vezes de teoria de Yang-Mills. Ela pode ser abeliana ou nãoabeliana (SAKURAI, 1994), isso vai depender do seu grupo de simetria, que pode ser comutativo ou
não-comutativo. Resumidamente, as teorias de Yang-Mills aparecem para descreverem certas interações
fundamentais da natureza, i.e., as forças nucleares e o eletromagnetismo (caso abeliano limite) (SOBREIRO, 2007). Como resultado da renormalizabilidade, as teorias de Yang-Mills obedecem também
ao grupo de renormalização (SOBREIRO, 2007; YANG, 1954; WILSON, 1974).
7
Em 1971, G. ’t Hooft et al., acabou com a dificuldade da renormalização das teorias de gauge.
33
2 TEORIA QUÂNTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA
Ao longo dos anos, pode ser percebido um grande interesse na pesquisa de vários
fenômenos usando teoria quântica de campos a temperatura finita. Em teoria quântica de
campos a temperatura finita, as partı́culas interagem com o reservatório térmico (banho
térmico) e os efeitos termodinâmicos tornam-se essencialmente importantes, ao contrário
do que ocorre em teorias de campos à temperatura zero, na qual os efeitos da temperatura são negligênciados. Podemos definir esses reservatórios térmicos como sendo campos
elétricos ou magnéticos, ou seja, são os campos externos e caracterizam o meio. O desenvolvimento desta teoria só foi possı́vel graças a união da mecânica estatı́stica e a teoria
de campos. A teoria de campos a temperatura e densidade finitas nasceu em 1950 (LE
BELLAC, 1996) e é conhecida também como teoria de campos térmica. Matsubara foi o
primeiro a estudá-la em uma aproximação não relativı́stica, com a qual podem-se descrever fenômenos da matéria condensada e da matéria nuclear não relativı́stica.
No ano 1965, Fradkin foi o primeiro a estudar teoria de campos a temperatura
finita relativisticamente (LE BELLAC, 1996). No inicio dos anos 0 70, surge o interesse no
problema da restauração de simetrias em altas temperaturas, com isso, novos desenvolvimentos foram possı́veis. Kirzhnits e Linde (1972), Dolan e Jackiw (1974) e Weinberg
(1974), foram os primeiros a discutir a restauração da simetria espontâneamente quebrada
em altas temperaturas (KAPUSTA, 1989).
Podemos perceber portanto, que a teoria de campos a temperatura finita é uma teoria bastante abrangente, na qual é de extrema importância a presença de efeitos térmicos.
Esta teoria possui diversos desenvolvimentos formais e fenomenológicos, podendo ser estabelecida por duas vias: através do formalismo do tempo imaginário ou pelo formalismo
de tempo real. O formalismo de tempo real é mais amplo e pode ser usado para pesquisar
fenômenos em equilı́brio e fora do equilı́brio. Este formalismo é dividido em outros dois.
O primeiro, introduzido por Schwinger e Keldysh, é desenvolvido através de integrais de
trajetória, também denominado de trajetória temporal fechada (SCHWINGER, 1961). O
outro é mais atual, foi desenvolvido por Takahashi e Umezawa (MATSUMOTO, 1984) e
utiliza o método de quantização canônica via operadores. Neste caso também é possı́vel
utilizar integrais de trajetória e é conhecido como dinâmica de campos térmicos (DCT).
A base para determinar qual formalismo utilizar depende do cenário fı́sico que
é descrito. Por exemplo, em sistemas quânticos que apresentam quebra espontânea de
simetria, a análise da transição de fase para uma fase simétrica pode ser feita examinando
o comportamento do sistema em equilı́brio, para uma gama de valores crescentes de
temperatura. Nesta situação, o formalismo de tempo imaginário é o mais indicado.
Nosso interesse é aplicar o formalismo de tempo imaginário para a descrição de
bósons não relativistas. Portanto começaremos fazendo uma breve introdução do método
34
de tempo imaginário para bósons.
2.1 Formalismo de tempo imaginário
A partir de agora, discutiremos sobre um dos mais importantes tratamentos usados para estudar sistemas em equilı́brio, o formalismo de tempo imaginário proposto por
Matsubara. Neste formalismo, a variável temporal é imaginária pura e compacta. Isto é o
tempo imaginário pode variar entre zero e o valor inverso da temperatura β = T −1 , onde
T é a temperatura de equilı́brio. De esta forma, a temperatura zero, o formalismo coincide
com uma teoria de campos formulada no espaço euclideano. A dependência temporal pode
ser incluida nas funções de Green através de uma continuação analı́tica que será discutida posteriormente (RIVERS, 1987). Dessa forma, o formalismo de Matsubara apresenta
somente desenvolvimentos temporais de sistemas quânticos em equilı́brio térmico e, portanto, não é adequado utilizá-lo para estudar fenômenos fora do equilı́brio. Sendo assim
é o mais utilizado na determinação de quantidades em equilı́brio termodinâmico.
Começaremos por rever alguns conceitos gerais sobre o comportamento estatı́stico
de um sistema quântico em equilı́brio térmico, após determinar um ensemble apropriado.
Sendo assim, define-se o operador matriz densidade para o sistema
ρ̂(β) = e−β Ĥ ,
(83)
onde Ĥ é o hamiltoniano do sistema. O operador matriz densidade contém toda a informação de um sistema quântico, pois, além de descrever misturas estatı́sticas, também
descreve estados puros.
Por conveniência, vamos usar o ensemble grande canônico
Ĥ = Ĥ − µN̂ ,
(84)
com Ĥ o operador hamiltoniano e N̂ o operador número de partı́culas. Aqui é interessante
mencionar que o ensemble canônico é utilizado para descrever um sistema em contato com
um reservatório térmico a uma temperatura T . O sistema pode trocar livremente energia
com o reservatório. Dessa forma, T, N e o volume V são mantidos fixos. Por outro
lado, no ensemble grande canônico o sistema pode trocar partı́culas, bem como energia,
com o reservatório. Neste ensemble, T, V e o potencial quı́mico µ são mantidos fixos.
Podemos considerar em ambos ensembles, β = T −1 como um multiplicador de Lagrange,
que determina a energia média do sistema. Analogamente, µ também pode ser identificado
como um multiplicador de Lagrange, mas que determina o número médio de partı́culas do
sistema. Portanto, ao considerar um sistema quântico, onde partı́culas podem ser criadas
(por colisões ou por alguma fonte), interagem e são destruidas, é mais conveniente calcular
35
observáveis no ensemble grande canônico.
Agora generalizemos os resultados que obtivemos na quântização de campos escalares a temperatura zero. Será estabelecida a quântização da integral de trajetória de um
campo escalar no formalismo de tempo imaginário.
Consideraremos a densidade lagrangiana no espaço de Minkowski
L=
1
λ
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 − φ4 .
2
2
4!
Como já é conhecido, em teoria quântica de campos temos o funcional gerador
Z
R 4
Z[J] = N Dφei d x[L+Jφ] .
(85)
(86)
Se consideramos que este sistema está em equilibrio termodinâmico com um banho térmico
a temperatura T , a função de partição do sistema pode ser escrita de forma semelhante
ao funcional gerador. A diferença é essencialmente que a teoria deve ser escrita em tempo
imaginario e com condições de contorno apropriadas. Escrevemos então,
Z
Rβ
R 3
Z[β, J] = Nβ
Dφ e−SE + 0 dτ d xJφ .
(87)
φ(x,τ )=φ(x,τ +β)
onde SE é a ação euclideana que pode ser escrita da seguinte forma
" #
Z β Z
Z β Z
2
1
1 ∂φ
1 2 2 λ 4
3
2
3
+ (∇φ) + m φ + φ
dτ d x
dτ d xLE =
SE =
2 ∂τ
2
2
4!
0
0
Z β Z
∂2
1
λ
=
dτ d3 x φ − 2 − ∇2 + m2 φ + φ4 .
2
∂τ
4!
0
(88)
Note que as integrações sobre o tempo imaginário são feitas no intervalo [0, β]. Ainda, a
integração funcional é realizada com as condições de periodicidade
φ(x, τ ) = φ(x, τ + β)
(89)
De forma análoga ao caso de temperatura zero, o termo de interação pode ser
escrito em termos de um operador agindo sobre a função de partição livre. Dessa forma,
pode-se reescrever Z[β, J] como
Z
λ β 4 4
2
Z[β, J] = Nβ Dφ 1 −
d zφ (z) + O(λ ) Z0 [β, J]
4! 0
"
#
4
Z
λ β 4
δ
= Nβ 1 −
dz
+ O(λ2 ) Z0 [β, J]
4! 0
δJ(z)
(
4 )
Z
λ β 4
δ
= Nβ exp −
dz
Z0 (β, J) .
4! 0
δJ(z)
Z
(90)
36
Onde Z0 (β) é a função de partição para campos escalares não interagentes,
Z
Z0 (β) =
Z
Dφ exp −
β
0
∂2
1
2
2
d x φ(x) − 2 − ∇ + m φ(x)
.
2
∂τ
4
(91)
Sendo esta integral funcional gaussiana pode ser integrada exatamente obtendo
Z β
1
4
4
Z0 [β, J] = Z0 (β) exp
d xd yJ(x)4β (x − y)J(y) .
(92)
2 0
∂2
− ∂τ
2
2
2
−1
onde 4β (x − y) =
−∇ +m
é o propagador de Matsubara, que satisfaz a
seguinte equação diferencial
∂2
2
2
(93)
− 2 − ∇ + m 4β (x − y) = δ(τx − τy )δ 3 (x − y).
∂τ
Portanto, no formalismo de tempo imaginário, o propagador de Matsubara é a função de
Green térmica de dois pontos
4β (x − y) = hT [φ(x)φ(y)]iβ =
Z0−1 (β)
δ 2 Z0 [β, J] .
δJ(x)δJ(y) J=0
(94)
Convenientemente, pode-se escrever o propagador de Matsubara em termos de κ> e κ<
4β (x − y, τx − τy ) = κ> (x, τx ; y, τy )θ(τx − τy ) + κ< (x, τx ; y, τy )θ(τy − τx ),
(95)
onde
κ> (x, τx ; y, τy ) = hφ(x, τx )φ(y, τy )iβ ,
κ< (x, τx ; y, τy ) = hφ(y, τy )φ(x, τx )iβ .
(96)
Devido à periodicidade dos campos temos que
κ> (x, τx ; y, τy ) = κ< (x, τx − β; y, τy ).
(97)
chamada também relação Kubo-Martin-Schwinger (KMS).
Para ter uma intuição fı́sica do significado deste propagador, é conveniente passar
ao espaço de momento. Para isso escrevemos o propagador como
Z
d3 k ik(x−y)
4β (x − y) =
e
4β (k, τx − τy ),
(98)
(2π)3
e dessa forma, temos
Z
Z
d3 k ik(x−y)
∂2
d3 k ik(x−y)
2
2
e
−
+
k
+
m
4
(k,
τ
−
τ
)
=
δ(τ
−
τ
)
e
.
β
x
y
x
y
(2π)3
∂τ 2
(2π)3
(99)
37
Portanto, 4β (k, τx − τy ) satisfaz a equação diferencial
∂2
2
2
− 2 + k + m 4β (k, τx − τy ) = δ(τx − τy ),
∂τ
(100)
com w2 = wk2 = k2 + m2 . Podemos estabelecer a solução da Eq. (100), que satisfaz a
relação Kubo-Martin-Schwinger, Eq. (97),
<
4β (k, τx − τy ) = κ>
k (τx − τy )θ(τx − τy ) + κk (τx − τy )θ(τx − τy ),
(101)
com
1 [1 + n(wk )] e−wk (τx −τy ) + n(wk )ewk (τx −τy ) ,
2wk
<
κk (τx , τy ) = κ>
k (τy , τx ),
κ>
k (τx , τy ) =
(102)
onde n(wk ) é a distribuição de Bose-Einstein
n(wk ) =
1
eβ|wk | − 1
.
(103)
Note que a distribuição de Bose-Einstein aparece como uma consequência de impor
condições de periodicidade no tempo imaginario com perı́odo β. Se tivessemos imposto
condições de anti-periodicidade, a distribuição seria a de Fermi-Dirac.
Então, para τ [0, β], temos que 4β (k, τ ) = κ>
k (τ ) e 4β (k, τ ) = 4β (k, τ − β). Isto
implica que a transformada de Fourier de 4β (k, τ ) no tempo imaginário é definida por
+∞
X
4β (k, τ ) = T
e−iwn τ 4β (k, wn )
(104)
n=−∞
onde ωn = 2πnβ são conhecidas como frequências de Matsubara para campos bosônicos.
A inversa da equação (104) é
β
Z
dτ eiwn τ 4β (k, τ ).
4β (k, wn ) =
(105)
0
Temos então que o propagador de Matsubara pode ser escrito como
4β (x, τ ) = T
+∞ Z
X
n=−∞
d3 k −i(wn τ −kx)
e
4β (k, wn ).
(2π)3
(106)
Vemos então que o efeito da temperatura finita é produzir um espectro discreto para as
frequências, enquanto que a parte espacial dos momentos permanece contı́nua. Portanto,
a transformada de Fourier do propagador de Matsubara é dada por
4β (k, wn ) =
1
.
wn2 + wk2
(107)
38
Um exercı́cio interessante e instrutivo é o cálculo da energia livre para um campo
escalar não interagente
F = −T ln Z0 (β).
(108)
A função de partição é dada por
Z
Z0 (β) =
Dφe
−
Rβ
0
d4 x
h
1
φ(x)
2
−
∂2
−∇2 +m2
∂τ 2
i
φ(x)
∂2
= det − 2 − ∇2 + m2
∂τ
−1/2
.
(109)
Usando a identidade ln det ≡ tr ln temos que
−1/2
∂2
∂2
2
2
2
2
= 2 T tr ln − 2 − ∇ + m
F = −T ln det − 2 − ∇ + m
∂τ
∂τ
(110)
e, passando para o espaço de momento,
+∞ Z
X
F = 2V T
n=−∞
d3 k
ln wn2 + wk2 .
3
(2π)
(111)
O somatório em n pode ser desenvolvido com a ajuda da seguinte expressão,
+∞
X
v(w) =
ln wn2 + wk2 .
(112)
n=−∞
Diferenciando esta expressão
+∞
X
∂v(wk )
1
2wk 2
=
,
2
∂wk
w
+
w
n
k
n=−∞
(113)
e utilizando
4β (0) = T
+∞
X
w2
n=−∞ n
1
1
=
[1 + 2n(w)] ,
2
+w
2w
(114)
obtemos
1
∂v(wk )
=2
∂wk
T
1
1
+ βw
2 e k −1
(115)
e
v(wk ) = 2
i
1 h wk
+ T ln 1 − e−βwk + termos indepedentes de wk .
T 2
Descartando agora os termos constantes, temos
Z
i
d3 k h w k
−βwk
.
F =V
+
T
ln
1
−
e
(2π)3 2
(116)
(117)
39
Na equação acima, o termo indepedente da temperatura é divergente. Porém, este termo
é a energia do ponto zero, que pode ser retirada da integral uma vez que é um termo
constante. Assim, fica
Z
d3 k
F = VT
ln 1 − e−βwk
3
(2π)
Z ∞
VT
2
−β(k2 +m2 )1/2
=
dkk
ln
1
−
e
.
(118)
2π 2 0
Ao fazer m = 0 a integral dos momentos pode ser realizada analiticamente, de modo que,
finalmente,
Z
−πV T 4
VT ∞
dkk 2 ln 1 − e−βk =
.
(119)
F = 2
2π 0
90
Consequentemente, é possı́vel calcular todas as quantidades termodinâmicas, podese citar como exemplo
P =
π2T 4
−∂F
=
,
∂V
90
(120)
que é a pressão de um gás ideal ultra-relativı́stico (metade da radiação de um corpo
negro).
2.2 Potencial efetivo a temperatura finita
Na seção anterior, foi introduzido um desenvolvimento para o estudo em temperatura finita no formalismo do tempo imaginário ou formalismo de Matsubara. Agora
iremos exemplificar esse formalismo com o estudo do potencial efetivo a um laço em temperatura finita. Para isso, retornamos na Eq. (74), que é o potencial efetivo no espaço
euclideano a temperatura zero
Z 4
d kE
λ 2
1 2 2 λ 2 1
2
2
ln kE + m + φc .
(121)
Vef f (φc ) = m φc + φc +
2
4!
2
(2π)4
2
É simples achar a expressão a temperatura finita substituindo a expressão discreta
para a frequência
kE2 −→ wn2 + k 2
onde wn =
Z
2nπ
,
β
(122)
e
Z
d4 kE
1X
d3 k
−→
(2π)4
β n
(2π)3
(123)
40
Dessa forma, pode-se escrever o termo a um laço da Eq.(121) a uma temperatura finita
Vβ
(φc )
1−laço
∞ Z
d3 k
1 X
1 2
2
2
2
=
ln wn + k + m + λφc .
2β n=−∞ (2π)3
2
(124)
Por simplicidade é conveniente definir a variável w como
1
w2 = k 2 + m2 + λφ2c
2
(125)
O cálculo do somatório das frequências de Matsubara wn na equação (124), se faz usando
a identidade (116):
∞
X
ln(wn2
n=−∞
w 1
−βw
+ ln 1 − e
+ termos independentes de w
+ w ) = 2β
2
β
2
(126)
resultando em
Vβ
(φc )
1−laço
Z
=
d3 k w 1
−βw
+ ln 1 − e
.
(2π)3 2
β
A equação acima é composta de duas
T = 0, é fácil checar que
Z 4
Z
1
d kE
d3 k w
=
ln kE2 + m2 +
(2π)3 2
2
(2π)4
(127)
integrais. O primeiro termo é a contribuição de
λ 2
φ
2 c
(128)
onde a segunda integral coincide com a equação (74) que é a contribuição a um laço do
potencial efetivo a T = 0. Esta contribuição, como vimos no capı́tulo anterior, tem uma
divergência ultravioleta que deve ser regularizada e absorvida nas constantes renormalizadas do modelo.
A segunda integral, é a parte dependente da temperatura. Esta integral, embora
seja complexa de se resolver analiticamente, é perfeitamente definida já que ela é finita.
Esta é uma caracterı́stica geral das teorias de campo a temperatura finita. As divergências
ultravioletas sempre se encontram no setor de T = 0, sendo que a contribuição em T 6= 0
é sempre finita.
Dessa forma, ela pode ser resolvida numericamente, ou podem ser realizados diferentes tipos de aproximações. É útil escrever esta integral em forma adimensional, em
2
termos de m(φc )β com m2 (φc ) = m2 + λφ2 c . Temos então que
1
β
Z
d3 k
1
−βw
ln
1
−
e
=
JB [m(φc )β]
(2π)3
2π 2 β 4
onde a função adimensional JB [y] foi definida como,
Z ∞
h
i
√
2
2
JB [y] =
dxx2 ln 1 − e− x +y
0
(129)
(130)
41
Esta expressão pode ser útil para realizar diferentes tipos de expansões. Por exemplo para
altas temperaturas y << 1, obtendo-se a expressão (KAPUSTA, 1989; DOLAN, 1974)
π 4 π 2 2 π 2 3/2
1
y2
+ y − (y ) − y 4 ln
45 12
6
32
ab
2 l+2
∞
X
1
y
ζ(2l + 1)
Γ l+
− 2π 7/2
(−1)l
(l + 1)!
2
4π 2
l=1
JB [y] = −
(131)
onde, ab = 16π 2 exp(3/2 − 2γ)(ln ab = 5.4076) e ζ é a função ζ de Rieman.
2.3 Transição de fase e restauração de simetria
Uma transição de fase de segunda ordem é caracterizada por uma quebra espontânea de alguma simetria. Isto é, sendo a lagrangeana simétrica, o estado fundamental do sistema quebra essa simetria. A transição esta caracterizada por uma temperatura crı́tica Tc embaixo da qual a simetria é quebrada. Para temperaturas maiores
que a crı́tica, a simetria é re-estabelecida, fenômeno que é conhecido como restauração da
simetria em altas tempertaturas SU (3). O objetivo desta seção é mostrar como podemos
entender esta fı́sica a partir do potencial efetivo a temperatura finita, e como calcular a
temperatura crı́tica Tc .
Para isso, vamos considerar como exemplo uma teoria com interação λφ4 que se
encontra na fase com simetria quebrada a temperatura zero. Isto é, devemos escolher
m2 < 0. A pergunta é para que temperatura a simetria é restaurada. Para isto usaremos
a expressão do potencial efetivo
T 6=0
Vef f (φc ) = VefT =0
f (φc ) + Vef f (φc )
(132)
O ponto primordial para essa análise, é que o valor de equilı́brio do valor esperado
(parâmetro de ordem) do campo escalar φ, ou seja, φc = θ(T ) 8 não corresponde ao
mı́nimo do potencial efetivo VefT =0
f (φc ), mas sim ao mı́nimo do potencial efetivo Vef f (φc )
dado pela equação (132). Dessa maneira, mesmo que o mı́nimo de VefT =0
f (φc ) aconteça em
φc = θ0 6= 0 (T < Tc ), muitas das vezes, em altas temperaturas, o mı́nimo do Vef f (φc )
ocorre em φc = 0 (T > Tc ).
O valor do parâmetro de ordem φc é definido como sendo um mı́nimo de Vef f da
8
Onde, θ é a configuração do campo associado ao vácuo.
42
seguinte forma
∂Vef f (φc ) =0
∂φc
φc =θ(T )
(133)
Por outro lado, a temperatura crı́tica para restauração de simetria, Tc será definida
através da condição θ(Tc ) = 0, isto é
∂Vef f (φc ) =0
∂φc
φc =0,T =Tc
(134)
Calcularemos agora a temperatura crı́tica usando o petencial effectivo a um laço
calculado na seção anterior. Para T = 0, o potencial apropriadamente regularizado é
#
2 "
λ 2
2
φ
m
+
m 2 λ 4
1
λ
3
2 c
=
φc + φc +
m2 + φ2c
ln
−
2
2
2
4!
64π
2
µ
2
2
VefT =0
f
(135)
Para a contribuição a temperatura finita, usamos a expansão em altas temperaturas desenvolvida na equação (131) obtendo
0
VefT 6=
f (φc )
2
m2 (φc ) m3 (φc ) m4 (φc )
m (φc )β 2
−π 2
+
−
−
ln
+ O(m6 (φc )β 2 )
=
90β 4
24β 2
12πβ
64π 2
ab
(136)
Para proseguir com o cálculo é necessario ter cautela. Se fizermos o limite φc → 0
nas expressões acima, aparecerão termos imaginários devido ao fato que m2 < 0. Porém,
estes termos são proporcionais a λ2 e serão cancelados em um cálculo a dois laços. Por
este motivo o limite φc → 0 , T → Tc deve ser feito a ordem λ, desprezando qualquer
termo de ordem superior. Fazendo este procedimento obtemos
Vef f (φc ) = −
| m2 | 2 λ 4 T 2 λ 2
φc + φc +
φ
2
4!
24 2 c
(137)
Dessa forma, ao utilizar a expressão (133), conseguiremos obter o valor esperado do vácuo
para o campo escalar à temperatura finita como sendo,
1
θ (T ) =
4
2
24 | m2 |
− T2
λ
(138)
Com a expressão acima, podemos obter a temperatura crı́tica da transição de fase,
λTc2 = 24 | m2 |
(139)
43
Figura 1 - Potencial efetivo.
Legenda: Comportamento do potencial efetivo abaixo e
acima da temperatura crı́tica.
Fonte: MILLA, 2006, f. 30.
2.4 Condensação de Bose-Einstein
O fenômeno chamado de condensação de Bose-Einstein, é uma transição de fase
muito peculiar. A ideia é que num gás de bósons, embaixo de uma certa temperatura
crı́tica, um número macroscópico de partı́culas passam a ocupar o estado de mı́nima energia correspondendo a um momento zero. O estudo da condensação de Bose-Einstein é um
fenômeno comum que ocorre na fı́sica em todas as escalas, a partir da matéria condensada a nuclear, das partı́culas elementares a astrofı́sica. Com isso, encontra-se aplicações
em vários sistemas. Podemos citar como exemplo os gases de átomos alcalinos (ou gases
fracamente interagentes), hidrogênio de spin polarizado, os metais supercondutores, os
supercondutores de alta temperatura, e os superfluidos
Os gases de átomos alcalinos fornecem oportunidade única para explorar fenômenos
quânticos em escalas macroscópicas. São extremamente conveniente de serem utilizados,
pois torna possı́vel obter amostras densas e frias. Consequentemente, o sistema continua
no estado de gás. Portanto são excelentes candidatos para obter gases no regime quântico.
Já os metais supercondutores são caracterizados por férmions que podem se agrupar formando pares em baixa temperaturas (os pares de Cooper) que deixam de lado suas
caracterı́sticas individuais para se comportarem como bósons, obtendo assim, a capaciadade de se condensarem. A condensação de Bose-Einstein de pares de férmions também
é observado experimentalmente em núcleos atômicos, onde os efeitos do nêutron-nêutron,
44
próton-próton, nêutron-proton emparelhados pode ser visto no expectro de excitação, bem
com na redução do momento de inércia. Teoricamente, a condensação de Bose-Einstein
de pares de núcleos deverá desempenhar um papel importante nos interiores das estrelas
de nêutrons. A possibilidade de mésons ou pions ou kaons, formando um condensado de
Bose-Einstein nos núcleos de estrelas de nêutrons tem sido amplamente discutido, uma
vez que esta teria consequências de longo alcance para teorias de supernova e a evolução
de estrelas de nêutrons (GRIFFIN, 1996).
Portanto, nos últimos anos, o estudo da condensação de Bose-Einstein, tornou-se
uma área cada vez mais ativa de pesquisa, seja do ponto de vista experimental, como
no contexto teórico, exercendo um papel de destaque, e mostra que a compreensão deste
fenômeno é de grande importância em muitos ramos da fı́sica.
Mostraremos agora como ocorre o fenômeno de condensação de Bose-Einstein em
um sistema muito simples usando as ferramentas descritas nesta tese. Consideraremos,
por simplicidade, a teoria de um campo escalar carregado relativista. Neste caso, o campo
Φ é complexo e descreve bósons com cargas positivas e negativas. Para isso escrevemos a
seguinte densidade lagrangeana
L = ∂µ Φ∗ ∂ µ Φ − m2 Φ∗ Φ − λ(Φ∗ Φ)2
(140)
Nota-se claramente que esta lagrangeana possui uma simetria global U (1). Pode-se dizer
que uma simetria é global, quando as equações de movimento, são invariantes em todos
os pontos do espaço-tempo. Podemos verificar isso, através da transformação de fase,
Φ −→ Φ0 = Φe−iα
Φ∗ −→ Φ∗0 = Φ∗ eiα
(141)
onde, α é uma constante real que é independente das coordenadas espaciais. A invariância da densidade lagrangeana produz quantidades conservadas. Em teoria quântica
de campos, a relação entre simetrias e quantidades conservadas é descrita pelo teorema
de Noether. Este teorema impõe que as transformações de simetria contı́nua que deixa
a densidade lagrangeana invariante, acarreta no surgimento de uma corrente de Noether
conservada (PESKIN, 1995). No nosso caso, a densidade de corrente pode ser escrita da
seguinte maneira,
jµ = i (Φ∗ ∂µ Φ − Φ∂µ Φ∗ ) ,
∂ µ jµ = 0
sendo que a corrente e a carga total conservada são,
Z
Z
3
Jµ = d xjµ (x)
e
N = d3 xj0 (x).
(142)
(143)
45
Em teoria quântica de campos é comum decompormos o campo Φ em suas partes real e
imaginária,
Φ=
φ1 + iφ2
φ1 − iφ2
√
−→ Φ∗ = √
2
2
(144)
Agora, para escrever a densidade hamiltoniana, introduziremos os momentos conjugados
π1 = ∂φ1 /∂t = φ̇1 e π2 = ∂φ2 /∂t = φ̇2 . Dessa forma, por meio de uma transformação
de Legendre, pode-se escrever a seguinte densidade hamiltoniana canônica,
1
1
1
1
1
1
H = π12 + π22 + (∇φ1 )2 + (∇φ2 )2 + m2 (φ21 + φ22 ) + λ(φ21 + φ22 )2
2
2
2
2
2
4
A expressão para a carga conservada é,
Z
N = d3 x(φ2 π1 − φ1 π2 )
(145)
(146)
A função de partição no ensamble grande canônico pode-se escrever como ,
Z
Z=
Z
Z
[dπ1 ][dπ2 ]
Z
dτ
[dφ1 ][dφ2 ] exp
P
β
0
∂φ1
∂φ2
d x iπ1
+ iπ2
− H + µ(φ2 π1 − φ1 π2 )
∂τ
∂τ
(147)
3
onde o ı́ndice P indica que a integração nos campos tem que ser realizada com condições
periódicas de contorno em um intervalo temporal de 0 à β. Agora, faremos a integração
sobre os momentos conjugados,
"
2
2 #
Z
Z β Z
1
∂φ
1
∂φ
1
2
− iµφ2 −
− iµφ1
Z = (N 0 )2 [dφ1 ][dφ2 ] exp
dτ d3 x −
2
∂τ
2
∂τ
p
0
1
1
1 2
1
2
2
2 2
+ − (∇φ1 ) − (∇φ2 ) − (m φ1 + m φ2 ) − λ(φ21 + φ22 )2
(148)
2
2
2
4
onde N 0 é uma constante de normalização.
Ao analizar a Eq. (148), pode-se observar que essa equação só poderá ser calculada de fato se a constante de acoplamento for λ 6= 0, dessa forma a integração tornará
gaussiana.
A coordenada τ é periódica e a coordenada x é restrita no volume finito do sistema.
Dessa forma, é conveniente expandir as componentes reais do campo Φ em uma série de
Fourier
r
√
β X X i(p.x+wn τ )
φ1 (x, τ ) =
2ϕ cos θ +
e
φ1 (n, p).
V n p
r
√
β X X i(p.x+wn τ )
φ2 (x, τ ) =
2ϕ sin θ +
e
φ2 (n, p).
(149)
V n p
46
Onde foram destacados os termos constantes do campo p = 0. Os parâmetros ϕ e
θ não dependem de (x, τ ), e portanto definem o campo no regime infravermelho, ou seja,
φ1 (n = 0, p = 0) = φ2 (n = 0, p = 0) = 0. Enquanto o valor de ϕ determina a densidade
de particulas no estado p = 0, θ é a fase do condensado. Podemos definir portanto, como
condensação no limite V → ∞, para temperaturas menores que uma certa temperatura
crı́tica Tc , uma quantidade finita das partı́culas de um gás de bósons ocupando o mesmo
estado quântico, isto é, a maior parte das partı́culas se encontra-se no estado em que
p = 0, conhecido como condensado de Bose-Einstein (CBE).
Retornando na Eq. (148), para substituir as expansões, Eqs. (149), e depois de
uma integração por partes, pode-se escrever a expressão da função de partição
"
#
YYZ
Z=
dφ1 (n, p)dφ2 (n, p) exp(S)
(150)
n
p
onde
S = βV (µ2 − m2 )ϕ2 −
XX
n
(φ1 (n, p)φ2 (n, p))M
p
com
M = β2
φ1 (n, p)
φ2 (n, p)
wn2 + w2 − µ2
−2µn w
−2µwn
wn2 + w2 − µ2
!
!
onde, M é uma matriz 2 × 2. Realizando as integrações obtemos,
ln Z = βV (µ2 − m2 )ϕ2 + ln(detM )−1/2
(151)
O segundo termo da equação acima pode ser escrito como sendo,
(
)
YY
ln detM = ln
β 4 (wn2 + w − µ2 )2 + 4µ2 wn2
n
= ln
n
+ ln
p
(
YY
β 2 (wn2 + (w − µ)2 )
p
(
YY
n
)
)
β 2 (wn2 + (w + µ)2 )
(152)
p
Substituindo, a Eq. (152) em (151) obtemos,
ln Z = βV (µ2 − m2 )ϕ2 −
−
1 XX 2 2
ln β [wn + (w − µ)2 ]
2 n p
1 XX 2 2
ln β [wn + (w + µ)2 ]
2 n p
(153)
47
Somando sobre as frequências de Matsubara obtemos a função de partição,
ln Z = βV (µ2 − m2 )ϕ2
Z
d3 k −β(w−µ)
−β(w+µ)
− V
βw
+
ln(1
−
e
)
+
ln(1
−
e
)
(2π)3
(154)
A partir da função de partição podemos obter as quantidades termodinâmicas do sistema,
isto é, os observáveis da teoria. Então com a equação anterior, pode-se escrever a expressão
para a energia livre como sendo,
F =−
ln Z
β
= V (m2 − µ2 )ϕ2
Z
d3 k
1
1
−β(w+µ)
−β(w−µ)
− V
w + ln(1 − e
) + ln(1 − e
)
(2π)3
β
β
(155)
Com a expressão da energia livre, é possı́vel, analisar a possı́vel transição de fase do sistema. Neste ponto é interessante fazer algumas considerações. A integral dos momentos,
só fará sentido, ou seja, só irá convergir se | µ |≤ m. Como é esperado, por causa da
simetria U (1), a energia livre depende do parâmetro ϕ, porém, esta independe da fase θ.
Como o parámetro ϕ não é predeterminado, ele deve ser considerado como sendo variacional. Portanto, fixando µ e β, o valor de ϕ pode ser obtido extremizando ln Z, sendo
assim,
∂ ln Z
= 2βV (µ2 − m2 )ϕ = 0
∂ϕ
(156)
Para |µ| < m a única solução possı́vel é ϕ = 0. Quando | µ |= m, ϕ fica ainda indeterminado.
Para obter o valor do parâmetro ϕ, quando | µ |= m, usamos a definição de
densidade de carga ρ = N /V , que deve ser constante devido a simetria U (1), temos então
que
1
ρ=
βV
∂ ln Z
∂µ
= 2mϕ2 + ρ∗ (µ = m)
(157)
µ=m
onde,
∗
ρ (µ = m) =
Z
d3 k
(2π)3
1
eβ(w−m) − 1
−
1
e(w+m) − 1
(158)
Diante da Eq. (157), percebemos que existe claramente uma separação entre o condensado de partı́culas, ou seja, o estado em que o momento é nulo e as excitações térmicas,
(flutuações) que são os modos de momento finito. Com a densidade ρ constante, enquanto
a temperatura diminui, o potencial quı́mico µ dos bósons aumentará, podendo alcançar,
para uma determinada temperatura, um valor máximo µ = m. A este ponto especı́fico,
48
chamamos de temperatura crı́tica (Tc ). Ao reduzir ainda mais a temperatura, há um
crescimento macroscópico do número de partı́culas que constitui o estado fundamental,
enquanto que a quantidade de partı́culas existente no estado excitado (fração não condensada) diminui proporcionalmente. Essa ocupação macroscópica faz com que a contribuição
estatı́stica desse primeiro estado quântico degenerado seja maior se compararmos com a
parte não condensada, ou seja, ρ∗ se tornará inferior a ρ0 . Nesta situação, o condensado
vem dado por
ϕ2 =
ρ − ρ∗ (β, µ = m)
2m
(159)
A partir desta equação, é facil deduzir uma expresão para a temperatura critica, já que
nesta temperatura ϕ = 0. Portanto, a temperatura crı́tica Tc é determinada implicitamente pela equação
ρ = ρ∗ (βc , µ = m)
(160)
onde, βc é o inverso da temperatura crı́tica de equilı́brio. Esta equação pode ser resolvida
em dois limites. No limite não relativı́stico a temperatura crı́tica é dada por
2π
Tc =
m
ρ
ζ(3/2)
2/3
, ρ << m3
(161)
No limite oposto, no limite ultrarelativı́stico, obtemos
Tc =
3ρ
m
1/2
,
(ρ >> m3 )
(162)
Tem que ser levado em conta que estas equaçòes foram deduzidas usando um
modelo sem interação. A presença de interações, mesmo em gases diluidos, pode alterar
muitos aspectos discutidos nesta sesão. No proximo capı́tulo discutiremos em detalhe a
condensação de Bose-Einstein de dois gases na presença de diferentes tipos de interações.
49
3 POTENCIAL EFETIVO PARA MISTURAS BINÁRIAS
No capı́tulo anterior, foram abordadas propriedades de equilibrio de condensados
de Bose-Einstein com um único estado quântico macroscópiamente ocupado. No presente
capı́tulo, trataremos múltiplos componentes de gases quânticos. A motivação essencial é
o estudo de misturas binárias de gáses quânticos, os quais são criados em laboratório a
temperaturas extremamente baixas, pode-se estudar de forma experimental tanto propriedades estáticas quanto dinâmicas. O foco principal é estudar interações entre diferentes
especies de bósons as quais são formadas por um mesmo elemento quı́mico em dois estados
diferentes na sua estrutura hiperfina. Este capı́tulo contem a contribuição original desta
tese cujo conteúdo pode se encontrar na referência (SOUZA, 2014).
3.1 Teoria quântica de campos para misturas binárias bosônicas com
acoplamento Josephson
Consideramos duas espécies bosônicas representadas por dois campos escalares
complexos φ(x, t) e ψ(x, t). O modelo é definido pela ação,
Z
S = d3 xdt {Lψ + Lφ + LI }
(163)
onde Lψ e Lφ , são densidades lagrangeanas não relativı́sticas para cada uma das espécies,
∇2
∗
+ µψ ψ
(164)
Lψ = ψ i∂t −
2m
∇2
∗
+ µφ φ
Lφ = φ i∂t −
(165)
2m
sendo, µφ = µ+h̄ΩR e µψ = µ−h̄ΩR , os potenciais quı́micos. µ controla a densidade total
de partı́culas enquanto que a frequência de Rabi ΩR controla a densidade relativa de cada
espécie. Escolhemos a mesma massa para cada espécie, uma vez que estamos interessados
em misturas composta por um único tipo de átomo em dois estados hiperfinos diferentes.
A densidade lagrangeana de interação pode ser dividida da seguinte maneira,
LI = Lc + LJ
(166)
Na equação acima, o primeiro termo, Lc , contém tanto as interações (ou acoplamentos) entre os dois campos gψφ , como também as auto-interações (ou auto-acoplamentos) gψ
e gφ , que preservam o número de partı́culas em cada espécie individualmente. Escrevemos
50
então,
Lc = −
gψ ∗ 2 gφ ∗ 2
(ψ ψ) −
(φ φ) − gφψ ψ ∗ ψφ∗ φ
2
2
(167)
onde as constantes de acoplamentos são, gψ = 4πaψ /m, gφ = 4πaφ /m e gφψ = 8πaφψ /m,
são escritas em termos de comprimento de espalhamento da onda s, ou seja, aψ , aφ de cada
espécie, e o comprimento de espalhamento entre as duas espécies, aφψ . Esta interação é
invariante sob transformações do grupo Uφ (1) ⊗ Uψ (1).
O segundo termo da Eq. (166), LJ , não conserva o número de partı́culas de cada
espécies individualmente, no entanto, conserva o número total de partı́culas. Este termo
quebra explicitamente a simetria da densidade lagrangeana, Eq. (167), tornando Uφ (1) ⊗
Uψ (1) → Uφ+ψ (1). Dessa forma, podemos descrever um gás em dois estados quânticos
diferentes, permitindo a transferência de partı́culas entre cada estado. Habitualmente,
chamamos este segundo termo de interação Josephson já que a interação deve acoplar as
fases dos dois campos complexos. Sendo assim, a forma mais simples para LJ pode ser
escrita como,
LJ = νψ ∗ φ + ν ∗ φ∗ ψ −
gJ ∗ ∗
(ψ ψ φφ + φ∗ φ∗ ψψ)
2
(168)
Na equação acima o termo quadrático (interação de um corpo) é proporcional a ν,
e o termo quártico é a interação de dois corpos. No geral, esses dois termos têm origens
diferentes. O primeiro termo na Eq. (168), pode ser obtido por meio de dois feixes de
laser de propagação oposta que acopla dois estados hiperfinos internos do mesmo átomo
bosônico. O laser é sintonizado a uma frequência levemende diferente da separação entre
os dos estados hiperfinos. Esta diferença, ou desintonia (”detunning”) é parametrizada por
ν. Considerando os dois estados hiperfinos como sendo um espaço de iso-spin, este termo
aparece como uma interação efetiva spin-órbita (EISBERG, 1979). O segundo termo na
Eq. (168), representa o espalhamento da onda s, onde o estado interno hiperfino dos
átomos não é conservado. Na ausência de ν, este tipo de processo é improvável, pois
ambos os estados hiperfinos são energéticamente bem separados. No entanto, na presença
de um laser com uma pequena desintonia entre as diferenças de frequências, uma pequena
constante de acoplamento poderia produzir resultados qualitativamente diferentes.
Aspectos do diagrama de fase do modelo das densidades lagrangianas não relativı́sticas Lψ , Lφ e Eq. (168), que não possuem o acoplamento Josephson (LJ = 0),
foram anteriormente estudadas na Ref. (PINTO, 2005). A análise de campo médio, em
temperatura zero, conduz a algumas restrições sobre as constantes de acoplamento. Por
exemplo, para que os dois campos possam condensar simultaneamente deve se cumplir
que
2
gφ gψ − gψφ
>0
(169)
51
Nestas condições, em T = 0, pode-se escrever as densidades dos condensados em
termos dos potenciais quı́micos (PINTO, 2005),
ρΦ
c =
gΨ µΦ − gµΨ
,
2
gΨ gΦ − gψφ
ρΨ
c =
gΦ µΨ − gµΦ
2
gΦ gΨ − gψφ
(170)
Se a condição, Eq. (169) for violada, os dois condensados não coexistem e tendem a
separar espacialmente.
Flutuações térmicas bem como quânticas, não altera este comportamento geral.
No entanto, a presença de acoplamento Josephson altera qualitativamente o diagrama de
fase do modelo. Por esta razão, abordamos os efeitos dos termos de interação como na
Eq. (168) no diagrama de fase.
3.2 Modelo O(2) com anisotropia Josephson
Aqui o principal interesse é estudar os efeitos do acoplamento Josephson Eq. (168)
sobre o diagrama de fase de uma mistura binária descrita pelo modelo da seção anterior.
Este modelo tem um diagrama de fase muito abrangente, dependendo dos valores relativos
das constantes de acoplamento e temperatura. No entanto, existe um ponto de máxima
simetria onde a análise fica mais simples. Por uma questão de simplicidade, vamos analisar
o modelo (163)-(168), neste ponto, dado por, gφψ = gφ = gψ = g e ΩR = 0, ν = 0 e gJ = 0.
Com isso, na Eq. (167), o termo de interação entre os campos tem forma simples,
g
Lc = − (ψ ∗ ψ + φ∗ φ)2
2
(171)
Neste ponto de máxima simetria, o sistema tem além de uma simetria de fase
Uφ (1) ⊗ Uψ (1), também tem uma simetria O(2) correspondendo as rotações no espaço
de isospin (φ, ψ). Por esta razão, este modelo é chamado de modelo O(2) complexo não
relativı́stico. Sendo assim, por um lado, o número de partı́culas de cada uma das espécies
é conservado indepedentemente. Além disso, as duas espécies são indistinguiveis neste
ponto, uma vez que, qualquer rotação das misturas das duas espécies tem exatamente a
mesma ação.
Em seguida, quebra-se a simetria O(2), considerando um termo proporcional a ΩR
e um termo de Josephson, da forma,
Lν = νψ ∗ φ + ν ∗ φ∗ ψ
∝ ΩR
(172)
Para simplificar, na Eq. (168), ignora-se o termo de interação entre as duas espécies
de condensados, já que em princı́pio é de ordem mais elevada do que o termo de autoacoplamento.
52
A estrutura deste modelo é claramente visualizada através da definição de novos
campos (ϕ1 , ϕ2 ), obtidos a partir de uma rotação dos campos originais dada por,
!
!
ϕ1
φ
=M
(173)
ϕ2
ψ
onde a matriz de rotação pode ser escrita como,
!
Ωef f −ΩR
ν
−
D
D
M=
Ωef f −ΩR
ν∗
D
(174)
D
com
q
D = (Ωef f − ΩR )2 + | ν |2
(175)
É fácil comprovar que det(M ) = 1.
Com esta transformação, a densidade lagrangeana toma seguinte forma,
g
∇2
∇2
∗
∗
+ µ+ ϕ1 + ϕ2 i∂t −
+ µ− ϕ2 − (ϕ∗1 ϕ1 + ϕ∗2 ϕ2 )2
(176)
L = ϕ1 i∂t −
2m
2m
2
p
onde, µ± = µ ± Ω2R + | ν |2 .
Embora os termos proporcionais a ν e ΩR na Eq.(172) quebra a simetria O(2) e
Uφ (1) ⊗ Uψ (1), o sistema ainda possui uma simetria Uϕ1 (1) ⊗ Uϕ2 (1), nas novas variáveis.
Isto significa que o número de partı́culas associadas com cada uma das espécies entrelaçadas ϕ1 e ϕ2 são conservadas independentemente. Este comportamento é consequência da simetria O(2), do termo de interação entre os dois campos (171). Não é
dı́ficil de perceber, que no caso de desequilibrio da interação quártica, gψφ 6= g, mediante
a rotação de iso-spin, um termo proporcional a ϕ1 ϕ1 ϕ∗2 ϕ∗2 , será gerado, quebrando desta
forma a simetria Uϕ1 (1) ⊗ Uϕ2 (1) → U (1).
Curiosamente, a Eq. (176), não depende de ΩR e ν independentemente, mas
p
somente da frequência efetiva de Rabi, Ωef f = Ω2R + | ν |2 .
É interessante, saber a forma da matriz de rotação (174) em dois diferentes limites.
Se o parámetro ν é muito menor do que a frequência de Rabi ΩR , | ν | ΩR temos que
!
|ν|
iαν
−e
2ΩR
M=
(177)
|ν|
e−iαν 2Ω
R
onde definimos, ν =| ν | exp(iαν ). É evidente que a mistura é proporcional a 2ΩνR +
O ((| ν | /2ΩR ))2 . No limite extremo de ν → 0 as duas espécies estão desacopladas como
é esperado.
53
Por outro lado, no limite | ν | ΩR


iαν
ΩR
e iα √1
−
1
−
√
e ν
2|ν|
2
2 1+ 2|ν| 
M =  −iα ΩR
ΩR
e√ ν
√1
1 + 2|ν|
1 − 2|ν|
2
2
(178)
No limite extremo, ΩR → 0, os campos são simetricamente entrelaçados, dependendo
apenas da fase de ν, αν :
1
ϕ1 = √ φ − eiαν ψ
2
1
ϕ2 = √ e−iαν φ + ψ
2
(179)
Neste ponto especial ΩR = 0, os dois campos estão entrelaçados indepedentemente dos
valores de | ν |. Pequenos valores de ΩR , produzem correções da ordem ΩR / | ν |.
3.3 Teoria de campo médio
Analisaremos o modelo da seção anterior em uma aproximação de campo médio.
Agora é escrito as equações de Gross-Pitaeviskii para cada campo,
∇2
∗
∗
i∂t −
+ µ+ − g (ϕ1 ϕ1 + ϕ2 ϕ2 ) ϕ1 = 0
2m
∇2
∗
∗
+ µ− − g (ϕ1 ϕ1 + ϕ2 ϕ2 ) ϕ2 = 0
i∂t −
(180)
2m
Buscando soluções estáticas e uniformes para ϕ1,2 (x, t) ≡ ϕ01,2 , achamos as seguintes
equações algébricas,
µ+ − g | ϕ01 |2 + | ϕ02
µ− − g | ϕ01 |2 + | ϕ02
|2
ϕ01 = 0
|2
ϕ02 = 0
(181)
Evidentemente que os dois campos ϕ1 e ϕ2 não podem condensar simultaneamente,
uma vez que uma solução ϕ01,2 6= 0 não existe para ν 6= 0, ΩR 6= 0. Em vez disso, temos
duas soluções,
ϕ01 = 0 ←→ | ϕ02 |2 = µ− /g ou
ϕ02 = 0 ←→ | ϕ01 |2 = µ+ /g
(182)
Portanto, neste modelo a uma temperatura T = 0, apenas um condensado uniforme
pode existir. Se admitimos uma solução, ϕ02 = 0, e utilizando M −1 , dada pela inversa da
54
Eq. (174), fica simples retornar aos campos originais, obtendo,
φ0 = q
Ωef f − ΩR
2
ϕ01
(Ωef f − ΩR ) + | ν |2
ν∗
ϕ01
ψ0 = − q
2
(Ωef f − ΩR ) + | ν |2
(183)
onde φ0 e ψ0 são as amplitudes dos condensados dos campos φ(x) e ψ(x) respectivamente.
A primeira observação é que as duas espécies φ e ψ condensam simultaneamente,
e a fase relativa entre estes condensados ∆α é fixada pela fase do parâmetro ν,
∆α = αν + π
(184)
Além disso, a fração do condensado de ambas as espécies é muito diferente, dependendo
da relação entre ΩR e | ν |.
É interessante parametrizar ΩR e | ν | da seguinte maneira,
∆µ
sin θ
2
∆µ
|ν| =
cos θ
2
ΩR =
(185)
(186)
com 0 ≤ θ ≤ π/2. Usando esta parametrização, a relação entre os dois condensados toma
a seguinte forma,
Uma questão importante é como as flutuações térmicas afetam a estrutura geral
do modelo, isto é, do campo médio. Para isso, é considerado o potencial efetivo
Uef f (ϕ01 , ϕ02 ) = U0 (ϕ01 , ϕ02 ) + ∆µ(ϕ01 , ϕ02 , T )
(187)
onde U0 é o potencial despido, isto é, potencial clássico e ∆U contém os efeitos das
flutuações. Duas simetrias importantes restringem a forma geral deste potencial. De um
lado, a simetria U (1) ⊗ U (1), implica que o potencial efetivo é uma função de | ϕ01 |2
e | ϕ02 |2 . Por outro lado, uma vez que a simetria O(2) é quebrada pelos parâmetros ν
e ΩR , ou ∆µ = µ+ − µ− , o potencial deve ser uma função de, χs =| ϕ01 |2 + | ϕ22 |2
e χa =| ϕ01 |2 − | ϕ01 |2 , independentemente. O subı́ndice s e a define, simétrica e
antisimétrica, respectivamente. Temos então o potencial efetivo,
Uef f = U0 (χs , χa ) + ∆U (χs , χa , T )
(188)
Minimizando a Eq.(188) e assumindo que os dois condensados ϕ01 6= 0 e ϕ02 6= 0,
55
Figura 2 - Relação entre as duas espécies de condensados.
Legenda: Para θ → φ/2 ou | ν |→ 0, com ΩR 6=, somente um
condensado sobrevive.
Fonte: A autora, 2014.
encontramos imediatamente
∂∆U
− g | ϕ01 |2 + | ϕ02
∂χs
∂∆U
µ− +
− g | ϕ01 |2 + | ϕ02
∂χs
µ+ +
∂∆U
|2 +
∂χa
∂∆U
|2 −
∂χa
= 0
(189)
= 0
(190)
Estas equações tem como consequência,
1
∆U (T ) = − ∆µ(T )χa + F(χs , T )
2
(191)
onde, F é uma função arbitrária. Como não há nenhuma razão para esperar uma função
linear ∆U ∼ χa , conclui-se que neste modelo, os dois campos ϕ1 e ϕ2 não podem condensar
simultaneamete, desde que ∆µ(T ) 6= 0.
Veremos na próxima seção que, estudando em detalhe as flutuações térmicas, poderia haver uma reentrância da simetria O(2), na qual ∆µ(T ) = 0, em temperaturas
extremamente baixas Tr Tc , mudando desta forma a estrutura da solução do campo
médio.
56
3.4 Efeitos de flutuações
Para estudar flutuações térmicas bem como quânticas, começamos por considerar
a teoria de campo a temperatura finita do modelo Eq. (176)
β
Z
SE =
Z
dτ
3
dx
0
ϕ∗1
∇2
∇2
∗
∂τ −
− µ+ ϕ1 + ϕ2 ∂τ −
− µ− ϕ2
2m
2m
g ∗
(ϕ ϕ1 + ϕ∗2 ϕ2 )2 .
2 1
−
(192)
A função de partição do modelo,
Z
R 3
~
Z(β) =
Dϕ1 Dϕ∗1 Dϕ2 ϕ∗2 e−SE + d xdτ J.~ϕ
= e−βV W [β,J]
(193)
~ a fim de calcular funções de correlação. A medida de
onde foi introduzida uma fonte J,
integração funcional contém a condição de contorno bosônica implı́cita no tempo eucli~ = 1 ln Z é a chamada energia livre de Helmholtz do
deano ϕ(0, x) = ϕ(β, x). W [β, J]
βV
sistema.
O principal objetivo desta seção é calcular W [β, J], na aproximação a um laço ou
em campo médio mais flutuações gaussianas. Como discutido na última seção, esperamos
que pelo menos em uma certa região de temperaturas, as flutuações não modifiquem a
estrutura geral do campo médio. Com isto em mente, a fim de calcular W [β, J], substituimos na Eq.(193) a seguinte decomposição,
ϕ1 (x, t) = ϕ01 + ϕ̃1 (x, τ )
(194)
ϕ2 (x, t) = ϕ̃2 (x, τ )
(195)
em que
R
d3 xϕ̃1,2 = 0 e ϕ01 (J) é uma solução de
δSE =J
δϕ1 ϕ1 =ϕ01 ,ϕ2 =0
δSE =0
δϕ2 ϕ1 =ϕ01 ,ϕ2 =0
~
onde escolhemos J=cte
na direção ϕ1 .
Conservando os termos de segunda ordem nas flutuações, obtemos,
Z
R
P
3
∗ (2)
−βV U0 (ϕ01 )
[Dδϕ] e− dτ d x ij δϕi Sij δϕj
Z(β) = e
(196)
57
onde, o potencial clássico é escrito como segue,
g
U0 = −µ+ | ϕ01 |2 + | ϕ01 |4
2
(197)
A medida de integração é dada por
[Dδ ϕ̃] = Dδ ϕ̃1 Dδ ϕ̃∗1 Dδ ϕ̃2 Dδ ϕ̃∗2
(198)
e o kernel quadrático,
δ 2 SE δϕ∗j δϕi ϕ1 =ϕ01 ,ϕ2 =0
(2)
Sij =
(199)
Integrando as flutuações quadráticas, encontramos a expressão para a energia livre,
W [J, β] = U0 + ∆W
(200)
com,
∆W [J, β] =
1
ln det Ŝ (2)
2
(201)
6 0, ϕ02 = 0), a matriz Ŝ na base
Devido a estrutura particular do condensado, (ϕ01 =
(Re(δϕ1 ), Im(δϕ1 ), Re(δϕ2 ), Im(δϕ2 )) é separada em dois blocos de 2 × 2,
#
" (2)
Ŝ
0
a
(202)
Ŝ (2) =
(2)
0 Ŝb
com,
Sˆa
(2)
"
=
2
∇
− 2m
− µ+ + 3g | ϕ01 |2
i∂τ
2
∇
−i∂τ
− 2m
− µ− + g | ϕ01 |2
#
(203)
e
Ŝb
(2)
"
=
2
∇
− 2m
− µ+ + g | ϕ01 |2
i∂τ
2
∇
−i∂τ
− 2m
− µ− + g | ϕ01 |2
#
(204)
Agora é possı́vel ir para o espaço dos momentos, para dessa forma calcular o determinante
da matriz. Com isso é possı́vel obter o seguinte resultado,
1
ln detŜ (2)
2
∞ Z
2
2
1 X
d3 q
2
2
=
w
+
E
w
+
E
ln
n
1
n
2
2β n=−∞ (2π)3
∆W =
(205)
58
onde, wn = 2nπ/β, são as frequências de Matsubara. Com,
s
2
q
q2
0 2
0 2
E1 =
− µ− + 3g | ϕ1 |
− µ+ + g | ϕ1 |
2m
2m
(206)
e
E2 =
q2
− µ− + g | ϕ01 |2
2m
(207)
Para calcular o somatório das frequências de Matsubara, é preciso fazer uso da seguinte
expressão,
1X
2
ln wn2 + Ei2 = Ei + ln 1 − e−βEi
β n
β
(208)
obtemos,
1
∆W =
2
Z
d3 q X
2
−βEi
Ei + ln 1 − e
,
(2π)3 i
β
(209)
É interessante notar que, se substituimos o valor de campo médio para ϕ01 dado, pela
Eq.(182) nas Eqs. (206) e (207), obtemos imediatamente,
s
2
q
q2
+ 2g | ϕ01 |2
(210)
Ẽ1 =
2m
2m
e
Ẽ2 =
q2
+ Ω2R + | ν |2
2m
(211)
As equações, (210) e (211), são as energias de excitações habituais, calculadas na aproximação de Bogoliubov. A Eq. (210) é o modo de Goldstone associado com a quebra de
simetria Uϕ1 (1), enquanto que a Eq. (211) é o modo correspondente às flutuações fora do
condensado.
É útil expressar a energia livre em termos do parâmetro de ordem,
#
"
(2)
0
1
δ
Ŝ
1
δϕ
δW
1
= ϕ01 + T r
(212)
ϕ̃ =
δJ
2
Ŝ (2) δϕ01 δJ
A nı́vel de campo médio, o parâmetro de ordem é exatamente a solução do campo médio
ϕ01 . No entanto, quando as flutuações são levadas em conta, o resultado é diferente, dado
por Eq. (212).
Definimos a energia livre de Gibbs como um funcional do parâmetro de ordem ϕ̄,
fazendo uma transformação de Legendre,
Γ[β, ϕ̄] = ϕ̄J − W
(213)
59
onde, δΓ/δ ϕ̃ = J. Em Eq. (213), J é uma função do parâmetro de ordem ϕ̄, obtido
invertendo a Eq. (212). Fazendo explicitamente a transformada de Legendre a ordem
dominante nas flutuações, obtemos
g
Γ[β, ϕ̄] = µ+ | ϕ̄ |2 − | ϕ̄ |4
2 Z
3
X
1
dq
2
−βEi
−
Ei + ln 1 − e
2
(2π)3 i
β
(214)
A Eq. (214) é a energia livre de Gibbs, calculada em campo médio mais flutuações
gaussianas, ou na linguagem de teoria quântica de campos, a ação efetiva a um laço.
A amplitude do condensado ϕ̄m é calculada minimizando a energia livre,
∂Γ[β, ϕ̄] = 0.
∂ ϕ̄ ϕ̄=ϕ̄m
(215)
Usando a eq. (214) e definindo o potencial quı́mico efetivo µ̄+ = g|ϕ̄m |2 achamos uma
expressão µ̄+ em função do potencial quı́mico original µ+ e a temperatura:
Z
d3 q
1
×
µ̄+ = µ+ −
2
(2π)3


2


q




2 2m
+ µ̄+ (1 + 2n(E1 ))
r (216)
×


2
2


q
q

+ 2µ̄+ + 1 + 2n(E2 ) 
2m
2m
onde, n(Ei ) é a distribuição de Bose para a energia Ei com i = 1, 2.
A densidade total de partı́culas de cada uma das espécies ϕ1 e ϕ2 , é dada por,
Z
∂Γ
µ+
1
d3 q q 2 /2m
ρϕ1 =
=
−
(1 + 2n(E1 ))
∂µ+
g
2
(2π)3 E1
Z
1
d3 q
−
(1 + 2n(E2 ))
(217)
2
(2π)3
ρϕ2
1
∂Γ
=
=
∂µ−
2
Z
d3 q
(1 + 2n(E2 ))
(2π)3
(218)
Usando a relação entre µ+ e µ̄− , dada pela equação (216), finalmente chegamos,
ρϕ1
µ̄+ 1
=
+
g
2
ρϕ2
1
=
2
Z
Z
d3 q
(2π)3
q2
2m
+ µ̄+
coth (βE+ /2)
E+
d3 q
coth (βE− /2)
(2π)3
(219)
(220)
60
com
s
E+ =
E− =
q2
2m
q2
+ 2µ̄+
2m
(221)
q2
+ µ̄+ − µ̄−
2m
(222)
A partir da Eq. (221) fica evidente que o modo de Goldstone é preservado a uma temperatura finita, como deve acontecer. Desde que ρϕ1 e ρϕ2 são constantes, as Eqs. (219),
(220), (221) e (222), são equações acopladas para as variáveis µ̄+ e µ̄− , como uma função
da temperatura.
As expressões, (219) e (220) possuem as divergências ultravioletas usuais de uma
teoria de campos em T = 0. Como é bem conhecido, as flutuações termicas são sempre
convergentes. A maneira usual de lidar com essas divergências é regularizar a integral e
depois renormalizar as constantes despidas, µ+ , µ− , g a fim de obter resultados finitos.
Um procedimento conveniente, no caso escalar não relativistico, é o método de cutoff. Este método limita as integrais de momento fazendo uso de um cut-off ultravioleta,
0 ≤| ~q |≤ Λ. Os resultados são obviamente dependentes de Λ. No entanto, se começarmos
os cálculos com constantes renormalizadas µR
± = µ± + δµ± (Λ), pode-se ajustar δµ± (Λ)
para conseguir um resultado independente de Λ. No final pode-se realizar com segurança o
limite Λ → ∞. Após este procedimento, as expressões renormalizadas podem ser escritas
como segue,
ρϕ1
µ̄+ (mµ̄+ )3/2
+
+
=
g
3π 2
Z
ρϕ2 =
d3 q
1
3
βE
−
(2π) e
−1
Z
2
q
+ µ̄+
d3 q
2m
(2π)3 E+ (eβE+ − 1)
(223)
(224)
A Eq.(223), define implicitamente a densidade do condensado ϕ̄m (T ), ou equivalentemente, o potencial quı́mico efetivo, µ̄+ (T ). Esta equação coincide com a densidade obtida
a partir de uma potencial efetivo a um laço de um único campo auto-interagente(PINTO,
2006). A Eq. (224) determina a frequência efetiva de Rabi, Ωef f (T ) = (µ̄+ − µ̄− ) /2 =
∆µ̄/2.
A temperatura crı́tica Tc , é facilmente calculada fixando µ̄+ = 0 na Eq. (223),
obtendo portanto a expressão habitual para um gás ideal não relativista,
2π
Tc =
m
ρϕ1
ζ(3/2)
2/3
(225)
onde, ζ(3/2) ∼ 2.612. Esperamos correções de Tc somente na aproximação de dois laços.
61
A Eq. (224) da origem a correções de temperatura das interações Josephson. Uma
vez que, E− representa as excitações com gap Ω2ef f = Ω2R + | ν |2 6= 0, a integral em Eq.
(224) pode ser feita de maneira segura no limite clássico, obtendo,
∆µ
1
ρϕ2 ∼ √ (mT )3/2 e T
4 2π
(226)
Em termos de densidades constantes ρϕ1 e ρϕ2 e temperatura crı́tica Tc , dada pela
Eq. (225), obtemos a partir de Eq. (226)
"
3/2 #
ρϕ1
T
∆µ = T ln
(227)
ρϕ2
Tc
Esta expressão nos mostra as interações efetivas ΩR e ν na presença de flutuações de
temperaturas. Os parâmetros são fixados pelas densidades relativas ρϕ1 /ρϕ2 . Uma vez
que, ∆µ > 0, este cálculo é válido apenas para,
T
>
Tc
ρϕ2
ρϕ1
2/3
(228)
Surpreendentemente, existe uma temperatura mı́nima TR = (ρϕ1 /ρϕ2 )2/3 Tc , onde, ∆µ(TR ) =
0 e a simetria O(2) é restaurada. Portanto, a nossa análise de campo médio não é válida
para temperaturas T ≤ TR . A fim de ter a estrutura do condensado dada por (183), precisamos fixar ρϕ2 /ρϕ1 < 1 e TR < T < Tc . Esta interessante reentrância de fase não é um
artifı́cio da aproximação clássica usada para calcular a integral na Eq. (224). Na verdade,
resolvendo a integral usando métodos numéricos, encontramos o mesmo comportamento
geral.
Na próxima seção, seram calculados numericamente as frações condensadas como
funções de temperatura para diferentes valores dos parâmetros.
3.5 Avaliação numérica das densidades dos condensados
Para calcular o perfil da densidade do condensado, reescrevemos a Eq. (223) na
forma adimensional. Para isso, vamos definir a fração do condensado ρc = µ̄+ /(gρϕ1 ). A
temperatura adimensional é definida como, T̄ = T /Tc . Introduzimos também o parâmetro
de diluição nϕ1 = ρϕ1 a3 , onde a é o comprimento de espalhamento da onda-s. Usando
62
essas definições, podemos escrever a Eq. (223) da seguinte forma,
8
4
3/2
1 = ρc + 1/2 n1/2
+ 1/2
T̄ 3/2
ϕ1 ρc
3π
π ζ(3/2)
−1
q
1/3
y y 2 +4ζ(3/2)2/3 nϕ1 ρc T̄ −1
−1
×
e
Z
0
∞
1/3
y 2 + 2ζ(3/2)2/3 nϕ1 ρc T̄ −1
dyy q
1/3
y 2 + 4ζ(3/2)2/3 nϕ1 ρc T̄ −1
(229)
É simples de verificar se o limite nϕ1 → 0 conduz a um resultado de gás ideal,
ρc = 1 − T̄ 3/2 . O segundo termo de r.h.s. da Eq. (229) produz a depleção quântica de um
condensado, enquanto que o terceiro termo representa a dependência da temperatura.
Resolvendo numericamente a Eq. (229), podemos obter a fração do condensado
ρc (T̄ ) para diferentes valores do parâmetro nϕ1 . A partir deste resultado, é razoavelmente
simples calcular as frações dos condensados para os campos φ e ψ, usando as Eqs. (183).
Definimos as frações do condensado para os campos φ e ψ com ρcφ =| φ0 |2
/ (ρϕ1 + ρϕ2 ) e ρcψ =| ψ0 |2 / (ρϕ1 + ρϕ2 ), onde escolhemos a densidade total de partı́culas,
ρφ + ρψ = ρϕ1 + ρϕ2 , para normalizar as frações. Em seguida, usamos as Eqs. (183).
Existem dois regimes interessantes para se concentrar. Para | ν | /ΩR 1, a fração do
condensado torna-se,
ρcφ
ρcψ
∼
ρϕ
1− 2
ρϕ1
∼
ρϕ
1− 2
ρϕ1
|ν|
2ΩR
2
ρc
(230)
ρc
(231)
O primeiro fator compensa as normalizações de ρcφ,ψ e ρc . Para obtê-lo, é considerado
ρϕ2 /ρϕ1 < 1 e desprezamos os termos proporcionais a (ρϕ2 /ρϕ1 )2 . A fração do condensado
é determinada pelo fator (| ν | /2ΩR )2 e as próximas correções para as Eqs. (230) e (231),
são termos proporcionais a (| ν | /2ΩR )4 .
Na figura 3, mostramos o perfil tı́pico de ambos os condensados, onde fixamos
nϕ1 = 10−5 e | ν | /2ΩR = 0.24. Observe que ρcφ é fortemente diminuido pelo fator ν/ΩR
e tende a desaparecer no limite | ν |→ 0. Uma observação interessante é que o fator
| ν | /ΩR não é corrigido por variações de temperatura. Esta é uma consequência direta
da simetria O(2) da interação de dois corpos.
Por outro lado, no regime oposto figura 4, ΩR / | ν | 1, as densidades dos
condensados de ambas as espécies são essencialmente iguais, com pequenas correções
dadas por,
ρϕ2
ΩR
1
c
1−
1−
ρc
(232)
ρ φ0 ∼
2
ρϕ1
|ν|
63
Figura 3 - Fração condensada ρφ e ρψ como uma função da
temperatura adimensional T̄ no limite | ν | /ΩR < 1.
Legenda: A linha sólida representa ρcψ , dada pela Eq.(231),
enquanto a linha tracejada é representada por ρcφ , é
dada por Eq.(230). Fixamos, nϕ1 = 10−5 ,
ρϕ2 /ρϕ1 = 10−1 e | ν | /2ΩR = 0.24.
Fonte: A autora, 2014.
64
Figura 4 - Fração condensada ρφ e ρψ como uma função da
temperatura adimensional T̄ no limite ΩR / | ν |< 1.
Legenda: A linha sólida representa ρcψ , dada pela Eq.(231),
enquanto a linha tracejada é representada por ρcφ , é
dada por Eq.(230). Fixamos, nϕ1 = 10−5 ,
ρϕ2 /ρϕ1 = 10−1 e | ν | /2ΩR = 0.24.
Fonte: A autora, 2014.
65
ρcψ0
1
∼
2
ρϕ2
ΩR
1−
1+
ρc
ρϕ1
|ν|
(233)
onde descartamos correções de ordem, (ΩR / | ν |)2 . Mostramos as curvas, na Figura 4,
para nϕ1 = 10−5 , ρϕ2 /ρϕ1 = 10−1 e ΩR / | ν |= 0.02.
66
CONCLUSÃO
Nesta tese apresentamos uma aplicação de técnicas de teoria quântica de campos
para estudar sistemas da matéria condensada. Estudamos sistemas de dois campos escalares complexos a temperatura e densidade finita. Para isto, usamos o potencial efetivo a
um laço, calculado no formalismo de tempo imaginário.
Motivados por experimentos em misturas bosônicas compostas de um único elemento quı́mico em dois estados hiperfinos diferentes, abordamos o problema de propriedades de equilı́brio de uma mistura uniforme de dois campos bosônicos em presença de
interações do tipo Josephson as quais acoplam as fases dos campos.
Consideramos uma teoria quântica de campos, formada por dois campos complexos bosônicos não relativı́sticos com interações quárticas locais. Este sistema tem um
diagrama de fases muito rico e difı́cil de ser abordado na sua totalidade. Por este motivo
decidimos estudar um sistema simplificado. Observamos que existe um ponto especial nas
constantes de acoplamento onde, além da simetria de fase U (1) ⊗ U (1), surge uma outra
simetria O(2), relacionada com as rotações no espaço de isospin (φ, ψ). Esta simetria
faz com que a análise das flutuações fique mais simplificado. Na ausência da interação
de Josephson, este modelo apresenta geralmente uma separação de fases. No entanto,
as interações que quebram explicitamente a simetria U (1) ⊗ U (1) ⊗ O(2) modificam este
comportamento.
Portanto, estudamos um modelo com simetria O(2), perturbado minimamente
através do acoplamento Josephson, que desequilibra a população de cada espécie transferindo carga entre ambas espécies. Estas interações são parametrizadas pela frequência de
Rabi ΩR e o parâmetro ν que mede a dessintonia do lase aplicado em relação à separação
de frequências das duas espécies.
Fazendo uma rotação no espaço de isospin (φ, ψ) → (ϕ1 , ϕ2 ), mostramos que existe
uma direção para a qual a simetria de fase U (1) ⊗ U (1) é recuperada, e somente uma das
espécies bosônicas (por exemplo, ϕ1 ) poderia eventualmente condensar. Desse modo, a
densidade de pertı́culas de cada espécie bosônica ρϕ1 e ρϕ2 é conservada indepedentemente.
Naturalmente, a simetria O(2) é ainda quebrada, desde que a diferença entre os potênciais
quı́micos seja ∆µ = µ+ − µ− = 2Ωef f 6= 0. Nesta nova base, calculamos a ação efetiva
a um laço (a energia livre de Gibbs) como uma função de um parâmetro de ordem do
condensado e a temperatura. Desta forma, ao minimizar a energia livre, obtivemos a
fração do condensado. Para obter os perfis dos condensados dos campos originais, fazemos
uma rotação para retornarmos à base original (φ, ψ). Esta rotação depende somente
da razão ΩR / | ν |. É interessante notar que devido a simetria O(2) da interação de
dois corpos, as flutuações apenas renormalizam a frequência efetiva de Rabi, Ωef f =
p
Ω2R + | ν |2 , enquanto que a razão ΩR / | ν |, permanece inalterada. Assim os coeficientes
67
da rotação de isospin são indepedentes da temperatura. Nas figuras 3 e 4 mostramos os
perfis dos condensados ψ e φ como função da temperatura para diferentes valores do
parâmetro ΩR / | ν |. Verifica-se claramente que para | ν | /ΩR → 0, existe apenas
a presença de um condensado, enquanto que no limite oposto, ΩR / | ν |→ 0, ambos
condensados são essencialmente iguais, com pequenas correções de ordem Ω/ | ν |. Um
resultado interesante é que, independendtemente dos valores da fração condensada, os
dois condensados tem suas fases determinadas pela fase do parâmetro de dessintonia ν.
Ou seja que, ajustando a fase do laser aplicado é possivel conseguir dois condensados com
sua diferença de fase perfeitamente determinada.
É importante estabelecer em que região dos parâmetros os cálculos realizados são
consistentes. O cálculo realizado não é válido para qualquer valor da temperatura. De
fato, verificou-se que existe uma reentrância de simetria O(2) em uma temperatura especı́fica Tr , para qual, Ωef f (Tr ) = 0. Esta temperatura, depende essencialmente do
número de partı́culas que desequilibram as duas espécies ρϕ1 /ρϕ2 . Abaixo desta temperatura, a solução de campo médio utilizada é instável sob as flutuações térmicas. Assim
nossa abordagem é válida para Tr < T < Tc . Por outro lado, os resultados apresentados
nesta tese são válidos desde que, a interação de dois corpos seja invariante sob rotação
de isospin. Considere por exemplo um pequeno desvio do modelo O(2), gψ = gψ = g,
mas gψφ = g + ∆g. Neste caso, na base (ϕ1 , ϕ2 ) será gerado um termo proporcional a
∆g(ϕ∗1 ϕ∗1 ϕ2 ϕ2 ). Portanto, embora tenhamos ignorado este tipo de termos no modelo original, eles vão ser gerados no caso de uma interação de dois corpos mais geral. Assim, para
∆g 6= 0, não existe nenhuma direção no espaço de isospin em que a simetria U (1) ⊗ U (1)
seja recuperada. Esta fato, torna o estudo das flutuações quânticas e térmicas mais difı́cil.
Esta tese incentiva duas linhas naturais de pesquisa. Por um lado, é interessante
estudar a energia livre de Gibbs, ou o potencial effectivo, para o caso mais geral em
que a interação de dois corpos não tem simetria O(2). O cálculo das flutuações neste
caso é mais difı́cil já que podem existir dois condensados com fases acopladas. Também,
é importante ter presente que, nos experimentos, o condensado nunca é homogêneo, já
que as armadilhas usadas para conter o gás, provocam inomogeneidades. Uma extensão
natural no cálculo das frações do condensado é levar em conta as armadilhas no modelo
original proposto.
68
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APÊNDICE A – Regularização dimensional do potencial efetivo a um laço
Após a introdução da regularização por cut-off estabelecida por Casimir, outros
métodos surgiram como forma alternativa de renormalizar uma teoria de campos. A
princı́pio, podemos encontrar os seguintes métodos que encontram-se divididos em duas
partes, a saber: o método local e os métodos globais (SVAITER, 2009). Primeiramente,
podemos destacar, o método das funções de Green (BROWN, 1969); este método é essencialmente local. Os métodos globais são: o método da extensão analı́tica da função zeta
de Riemman (RUGGIERO, 1980) e a regularização dimensional (BOLLINI, 1964). Há,
também os métodos introduzidos por Dowker e Critchtey (DOWKER, 1976) e também
por Hawking (HAWKING, 1977), que estão relacionados à regularização de determinantes, que não será abordado.
A regularização dimensional 9 , que é o método que será abordado nas próximas
linhas, está baseada nos estudos de Bollini e Giambiagi (BOLLINI, 1964), ’t Hooft, Veltman e outros (COLLINS, 1994), onde o parâmetro regulador é neste caso a dimensão do
espaço-tempo. Este método consiste em formular a teoria em um número arbitrário de
dimensões, e fazer uma extensão analı́tica onde o número de dimensões é tratado como
uma variável complexa. Desta forma, podemos tratar as integrais em laço dos momentos
na expressão do potencial efetivo, tomando o limite d → 4. As divergências da integral
1
e tem que ser eliminados
originam-se em forma de singularidades com pólos da forma d−4
por meio de um procedimento de renormalização adequado.
O método consiste essencialmente em trocar as integrais 4-dimensionais pela integral em dimensão d como segue,
Z
d
d4 k
−→ (µ2 )2− 2
4
(2π)
Z
dd k
(2π)d
(234)
d
onde o fator (µ2 )2− 2 é introduzido para equilibrar a dimensão da medida de integração e
µ é uma escala arbitrária com dimensão de massa. Nosso objetivo, a partir de agora é,
calcular o potencial efetivo usando regularização dimensional. Nesse caso, a expressão do
potencial efetivo a um laço poderá ser reescrita da seguinte maneira,
d
1
V1−laço = (µ2 )2− 2
2
Z
dd k
ln k 2 + m2 (φc )
d
(2π)
(235)
onde, m2 (φc ) = m2 + λ2 φ2c .
9
A regularização dimensional é a técnica mais conveniente para estudar cálculos perturbativos (ZINNJUSTIN, 1996)
74
É conveniente fazer a derivada do potencial efetivo a um laço em relação a m2 (φc ),
0
V1−
laço
∂V1−laço
d
1
= (µ2 )2− 2
=
2
∂m (φc )
2
Z
dd k
1
d
2
(2π) k + m2 (φc )
(236)
Desta forma, a integral pode ser realizada utilizando a fórmula
Z
dd k
d
d
d
(k 2 )α
2 d +α−β Γ(α + 2 )Γ(β − α − 2 )
2 (M ) 2
=
π
(k 2 + M 2 )β
Γ( d2 )Γ(β)
(237)
onde Γ(z) são as funções gamma. Com a expressão (237), é possı́vel reescrever a equação
(236) como sendo,
0
V1−
laço
d
d2 −1
1 2 2− d π 2 2
d
2
= (µ )
m (φc )
Γ 1−
2
(2π)d
2
(238)
d
d −2
d
1 2 2− d π 2 [m2 (φc )] 2
d
m4 (φc ) m2 (φc ) 2 Γ 2 − d2
= (µ ) 2
Γ 1−
=
d
d
d
2
2
2
(2π)d
2
32π
4πµ
1
−
2
2
2
(239)
ou
0
V1−
laço
Integrando esta equação em relação a m2 (φ), escrevemos o potencial efetivo como,
m4 (φc ) m2 (φc )
Γ()
V1−laço =
2
2
32π
4πµ
(2 − )( − 1)
(240)
onde definimos d = 4 − 2. A função Γ() tem um pólo em = 0, esta é a divergência ultravioleta que queremos tratar. Para isto, se considerarmos como um número complexo,
podemos fazer um desenvolvimento em série de Laurent da função Gamma da seguinte
forma,
Γ(z) =
1
− γE + O(z),
z
z→0
(241)
onde γE ' 0.5772 · · · é a constante de Euler-Mascheroni. Dessa forma a equação (240) é
escrita como uma expressão contendo pólos em , tornando-se,
m4 (φc )
V1−laço =
64π 2
1
m2 (φc ) 3
−
− γE + ln(4π) + ln
− + O()
µ2
2
(242)
Desta forma, a divergência ultravioleta do potencial efetivo fica isolada no polo na
variável .
A idéia agora é, da mesma forma que na regularização por cut-off usada na tese,
definiremos contratermos de modo de absorver as divergências nos parâmetros de massa
75
e da constante de acoplamento. Usando os contratermos,
λm2 1
− γE + ln(4π)
δm =
32π 2 (243)
3λ2 1
δλ =
− γE + ln(4π)
32π 2 (244)
2
A expressão final para o potencial a um laço, escrita em termos dos parâmetros
renormalizados,
1
m2 (φc ) 3
4
V1−laço =
m (φc ) ln
−
64π 2
µ2
2
(245)
Finalmente, podemos escrever a expressão do potencial efetivo a um laço renormalizado através da regularização dimensional como sendo,
1
m2 2 λ 4
1−laço
Vef f
φc + φc +
=
2
4!
64π 2
#
2 "
λ 2
2
m
+
φ
3
λ
2 c
−
m2 + φ2c
ln
2
2
µ
2
(246)
É interessante notar que o procedimento para determinar os contratermos não é
único. Nos cálculos anteriores usamos o método chamado de ”substração mı́nima modificada”. A razão disto é que ao subtrair constantes infinitas, sempre pode se somar
uma quantidade finita arbitrária. Na literatura existem vários métodos para realizar esta
subtração. A diferença entre eles é a definição da escala de energias µ. Um estudo mais
aprofundado sobre a determinação desta escala, pasa pelo estudo do grupo de renormalização (ZINN-JUSTIN, 1996).