Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
Potencial Elétrico
O que é diferença de potencial (ddp)?
A diferença de potencial entre dois pontos 1 e 2 num campo elétrico, seja ele uniforme ou não, é,
por definição, o trabalho W por unidade de carga (J/C ou Volts) necessário para mover uma
carga de prova q0 dentro deste campo. Ela é calculada da seguinte maneira: coloca-se a carga de
prova (positiva) num campo, uma força externa (você, por exemplo) desloca esta carga com
velocidade constante (neste caso, a força externa tem que ser igual à força elétrica, porém, com
sentido oposto) entre estes dois pontos. Matematicamente, podemos escrever a diferença de
potencial elétrico como sendo:
V2 − V1 =
W12
.
q0
(1)
No caso da situação mostrada na figura abaixo, um agente externo, que conduz a carga para
próximo de +Q, realiza um trabalho positivo (vamos mostrar isso brevemente) e, neste caso,
dizemos que a diferença de potencial elétrico é positiva, ou seja, o potencial em 2 é maior que o
potencial em 1. Agora, se a carga de prova é deslocada no sentido oposto (digamos, de 2 para 1),
neste caso, o agente externo ainda aplica uma força contrária a força elétrica, porém, o sentido de
deslocamento da carga é oposto ao da força externa.
Campo
Elétrico
1
q0
2
Equipotencial
+Q
Representação de uma carga de prova se deslocando entre dois pontos de um campo elétrico.
Neste caso, como a carga que produz o campo é positiva, um agente externo tem que levar a
carga de prova para junto de Q.
Vimos em Física I que o trabalho realizado por uma força F quando desloca um corpo por um
valor infinitesimal dl é dado pela seguinte equação:
1
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
W12 =
∫
2
1
F . dl
(2)
As conseqüências físicas desta equação estão baseadas nas propriedades de produto interno
vetorial. Lembremos que, se θ for o ângulo entre a força e o deslocamento infinitesimal, então:
F . dl = F dl cos(θ )
a) Se a carga é deslocada no sentido perpendicular a aplicação da força, então nenhum
trabalho é realizado sobre a carga (lembra daquele exemplo do homem levando um balaio
pesado na cabeça?). Isto significa que se a carga é deslocada ao longo do círculo que
denominamos de equipotencial (ver figura acima), então não existe trabalho e,
consequentemente, a ddp é zero;
b) Se a carga se desloca no mesmo sentido da força externa aplicada, então o trabalho é
positivo e a ddp é positiva (cos (0) = 1). O inverso também é válido, ou seja, se a carga se
desloca no sentido contrário à força externa, então o trabalho é negativo ( cos(180º) = -1 )
e a ddp também o é. Deslocar uma carga sobre uma trajetória em que não existe variação
de ddp significa que esta trajetória é uma equipotencial.
c) Uma integral representa o somatório de todas as parcelas infinitesimais do produto
interno entre a força e o deslocamento, sendo assim, o trabalho total é exatamente o
somatório de todas as parcelas por onde a carga foi deslocada.
Considerando que a força externa é oposta a força elétrica (Fele), então podemos reescrever a
equação (2) da seguinte maneira:
2
2
W12 = − ∫ q0 E. dl ⇒ W12 = − q0 ∫ E. dl .
1
(3)
1
Mas, de acordo com a equação (1),
∆V = V2 − V1 =
2
W12
= − ∫ E.dl .
1
q0
(4)
Na forma diferencial, podemos escrever que dW = - q0 E.dl e
dV = - E.dl
(5)
No cálculo da ddp, o que é importante é exatamente a diferença entre dois potenciais. Assim,
normalmente tomamos como zero o potencial daquele ponto que se encontra no infinito. Vamos
recordar Física I quando calculávamos a energia potencial de um corpo. Se colocávamos um
corpo sobre uma mesa, normalmente dizíamos que a energia potencial na mesa era dada por mgh
e que, ao cair o corpo sofria uma variação de energia potencial igual a mgh também, mas isso era
válido porque tomávamos o chão como o local onde a energia potencial era zero.
2
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
A partir da eq. (5) podemos dizer que o campo elétrico é obtido a partir do gradiente da função
potencial, e é representado da seguinte forma:
E = −∇V ,
ou seja, o campo elétrico é o negativo do gradiente da função escalar potencial elétrico.
Ex = −
∂V ( x, y, z )
∂V ( x, y, z )
∂V ( x, y, z )
, Ey = −
e Ez = −
.
∂x
∂y
∂z
Lembremos que o gradiente de uma função escalar representa o vetor que indica o sentido e a
direção de maior alteração da função escalar.
Para o caso do potencial depender apenas de uma variável, e.g., x, podemos dizer que o campo
elétrico é dado pela seguinte equação:
E=−
dV ( x)
xˆ
dx
As figuras abaixo mostram duas situações distintas para composição do campo elétrico e
equipotenciais. Na primeira, uma carga pontual positiva onde esta produz um campo elétrico
radial (já vimos isso no capítulo de Campo Elétrico) que é representado pelas setas e as
equipotenciais representadas por círculos concêntricos. A segunda figura mostra o campo e as
equipotenciais devido às duas cargas pontuais positivas. As equipotenciais são círculos
concêntricos próximos de carga; perceba que, à medida que se afasta dessas cargas, a
configuração muda.
Campo elétrico e equipotenciais.
http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/equipotentials.shtml
3
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
Energia Potencial Elétrica
A energia potencial elétrica é exatamente igual ao
trabalho necessário para trazer uma carga
Exemplo
-q0E
Qual a ddp de uma carga pontual?
q0
Q
Este problema é simples, mas, é muito importante.
Ao colocarmos uma carga de prova num campo
elétrico, esta será acelerada na direção do campo
(caso soltemos esta carga). À medida que ela ganha
velocidade, ela perde energia potencial, ou, à medida que ela se afasta da carga, seu potencial
elétrico diminui. O caso da carga pontual, a linha de campo é radial, e aponta para fora da carga.
Se queremos calcular a ddp quando a carga é movida de um ponto para outro, temos que ter
conhecimento do campo elétrico da carga Q ( E = (kQ r 2 )rˆ ).
Podemos escrever que
rˆ.dl = 1.dl.cos(θ ) = dr .
Sendo assim, levando na expressão acima na equação (5) e integrando, obtemos:
Vb − Va = − ∫
b
a
1 1
kQ
dr = k Q  − 
2
r
 rb ra  .
Para a energia potencial, temos:
1 1
∆U = k q0 Q −
 rb ra


.
Exemplo
Suponha um campo elétrico uniforme (este, mais simples, impossível). Calcule a ddp quando
uma carga se desloca por uma distância d do ponto 1 para o ponto 2 ao longo de uma reta.
O trabalho realizado pela força
externa F é dado pela equação
(2). Mas, em termos de campo
elétrico, podemos escreve que o
trabalho é determinado por:
2
2
E
2
W12 = − q0 ∫ E.dl = − q0 ∫ E.dl.cos(180 ) = + q0 E ∫ dl
1
1
0
q0
F
2
dl
q0 . E
1
1
W12 = q0 Ed .
4
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
Considerando que a ddp é o trabalho sobre a carga de prova, então:
V2 − V1 = V12 =
W12
= E d.
q0
Exemplo
Considere agora, a mesma figura do exemplo anterior, porém, antes de chegar em 2, a carga de
prova passa pelo ponto (i) que está a uma distância d/2, onde d é a distância entre os pontos 1 e
2. Neste caso, o ângulo entre dl e E é de 135º entre 1 e i e 225º entre i e 2.
O trabalho total que a força externa
realiza para deslocar a carga do ponto 1
para 2, passando por i é:
i
E
dl
W12 = W1i + Wi 2. .
O vetor dl entre 1 e i é dado pela seguinte 2
expressão:
dl = dx xˆ + dy yˆ = dl (−
E
dl
E
q0
F
1
1
xˆ +
yˆ )
2
2
dl
q0 . E
1
Lembrando que:
dx = dl.cos(135º ), dy = dl.sen(135º )
Fazendo o produto interno entre dl e E para o trecho 1i, obtemos:
E ⋅ dl = − E.
dl
2
i
W1i = − ∫ (−)q0 E
1
q Ed
dl
1 d
= q0 E
= 0 .
2
2
2 2
Já o vetor dl para o trecho i e 2 tem a seguinte expressão:
dl = dx xˆ + dy yˆ = dl (−
2
Wi 2 = − ∫ (−)q0 E
i
1
1
xˆ −
yˆ )
2
2
q Ed
dl
1 d
= q0 E
= 0 .
2
2
2 2
5
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
Somando os dois últimos resultados acima, obtemos que W12 = q0 .E.d e, consequentemente, a
ddp entre 1 e 2, passando por i, é:
V2 − V1 = V1i + Vi 2 =
W1i Wi 2
d
d
+
= E + E = E.d
q0
q0
2
2
(6)
Veja que os resultados apresentados nas equações (5) e (6) são os mesmos. Podemos concluir
que o cálculo da diferença de potencial, o importante é apenas o ponto inicial e o ponto final.
Potencial Elétrico – Resumo e exemplos (exercícios)
DDP – Diferença de Potencial Elétrico – Definição
∆V = V2 − V1 =
2
W12
= − ∫ E.dl
1
q0
ou, na forma diferencial,
dV = - E.dl
Se temos um campo elétrico no espaço, associado a ele, existe um potencial elétrico. Se uma
carga se desloca dentro deste campo, então a variação de potencial elétrico sobre esta carga é
dada por:
dU = qdV = −qE ⋅ dl .
Esse potencial é também o trabalho realizado por uma força contrária à força elétrica para
deslocar a carga com velocidade constante.
Se temos no espaço um campo de potencial elétrico, então podemos calcular o campo elétrico
(vetor) a partir do gradiente da função potencial, ou seja:
E = − grad (v( x, y, z ) = −∇ ⋅ V ( x, y, z )
Exemplo: Suponha que um campo elétrico E = 2 x xˆ . Calcule a ddp entre x1 = 2m e x2 = 4m.
Solução:
Temos que dV = - E.dl
4
4
2
2
∆V = V (4) − V (2) = ∫ dV = − ∫ 2 x xˆ ⋅ dx xˆ ~ = −12Volts .
Este resultado é esperado já que o campo elétrico aponta para o valor de menor potencial. Se
sairmos de 2m para 4m então significa que estamos caminhando para o menor potencial mesmo
que o valor de x aumente. Aqui usamos do fato que o vetor deslocamento infinitesimal é escrito
como sendo dl = dx xˆ .
6
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
Neste problema foram dados os pontos para calcular a ddp, porém, caso isso não fosse fornecido,
a ddp seria obtido da seguinte forma:
V ( x) = − ∫ 2 x dx = − x 2 + V0 ,
(7)
onde o valor V0 (potencial de referência) depende de cada problema.
Assim, se queremos voltar para a expressão do campo elétrico, é só aplicar o gradiente na
equação acima, ou seja:
dV ( x)
E = −∇ ⋅ V ( x, y, z ) ⇒ Ex = −
= 2 x.
(8)
dx
Aqui, devido ao fato da expressão do potencial ser apenas dependente de x, o gradiente foi
aplicado apenas na component x. Veja que voltamos para a expressão original do campo elétrico
que tem componente apenas na direção x.
Exemplo: Cálculo da variação de energia potencial
Tendo a expressão da ddp acima, podemos calcular o valor da energia potencial que uma carga
de 1µC sofre ao sair de 2m para 4m.
∆U = q ∆V = 1.10−6.(−12) = −12.10−6 Joules
O que ocorreria com a variação de energia potencial caso esta carga fosse negativa?
Exemplo: Qual o potencial de um dipolo no eixo dos x para x >> d.
Vimos no capítulo de campo elétrico que, neste
caso, o campo é dado pela seguinte equação:
E=
-d
4 k qd
xˆ
x3
-q
y
d
x
+
q
Assim, a ddp pode ser calculada da seguinte maneira:
V ( x) = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ E x dx = − ∫
4kqd
2kqd
dx = 2 + V0
3
x
x
Aqui fizemos dl = dx xˆ .
Podemos tomar o potencial V0 como sendo igual a zero.
Exemplo: Suponha que esta carga, cuja massa é igual a 6x10-6kg, é solta em x1. Calcule a
velocidade com que esta carga chega em x2 = 4m.
7
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
Solução: A carga sofreu uma variação de energia potencial ()U) que será totalmente transforma
em energia cinética ()K).
∆K =
1
m (v 2f − vi2 ) = −∆U = −(−12.10−6 ) ⇒ v f = 2m/s .
2
Neste problema usamos do fato que, para forças conservativas, ∆K + ∆U = 0
Exemplo: Um canhão de elétrons dispara elétrons através de uma região de 30000V. Qual a
velocidade que esses elétrons colidem no tubo supondo que eles partem do repouso?
Vi = 0
30000V
Vf = ?
∆K + ∆U = 0 , então, de modo semelhante ao exemplo anterior, obtemos que a velocidade dos
elétrons no tudo é de 1,03.108m/s.
Exemplo: próton e elétron
A distância entre um próton e um elétrons é de 0,529Å. Calcule a energia potencial eletrostática
do sistema próton-elétron, ou seja, o trabalho realizado para trazer, por exemplo, o elétron do
infinito, até uma determinada distância do próton.
Considerando que um próton é uma carga pontual, então a ddp devido um próton é:
V=
kq 9.109.1, 6.10−19
=
= 27, 2Volts
r
0,529.10−10
Sendo assim, a energia potencial deste sistema é: U = eV = −1, 6.1019.27, 2 = −43, 6.10 −19 J .
Podemos apresentar este resultado em electron-Volts, ou seja: U = - 27,2 eV (um elétron-volt é a
quantidade de energia cinética ganha por um único elétron quando acelerado por uma ddp de
um volt, no vácuo – Wikipedia). O fato da energia potencial do sistema ser negativa significa que
as cargas estão se atraindo.
Energia potencial de um sistema é igual ao trabalho total realizado para montar uma determinada
configuração de cargas. No caso acima, este trabalho é exatamente igual a variação de energia
potencial do sistema próton-elétron.
Exemplo: Calcule o potencial elétrico no ponto P devido à 2 prótons. Considere d = 1 Å.
A ddp no ponto P é determinada a partir do somatório dos potenciais de cada próton
separadamente:
8
Fundamentos de Física Clássica – UFCG – Prof. Ricardo
V=
kq kq
kq
9.109.1, 6.10−19
+
=2 =2
= 28,8 V
d
d
d
1.10−10
P
d
Calcule, agora, a variação de potencial sobre um elétron
caso este fosse trazido do infinito até o ponto P.
∆U = V .e = 28,8.(−1, 6.10 −19 ) = −46,1.10 −19 J
q 1= q
d
q2=q
Façamos a seguinte pergunta: qual a energia (ou trabalho) necessária(o) para reunir estas três
cargas?
Vamos inicialmente considerar que uma carga já estava no lugar, sendo assim, para a segunda
carga (q2) tomar a sua posição, a energia necessária para trazê-la do infinito é:
U12 =
k q1 q2
.
r12
Agora temos que realizar outro trabalho para trazer o elétron do infinito até a posição P (3);
neste caso, lembremos que o potencial no ponto P agora é devido às duas cargas:
kq
kq 
U123 =  1 + 2  q3 .
r23 
 r13
Logo, a energia do sistema de cargas é o somatório de todas as energias, ou seja:
U total = U12 + U123 .
No caso do problema acima, a energia do sistema de cargas envolvendo 2 prótons e um elétron é
dado pela seguinte expressão:
O valor total da energia deste sistema (2 prótons + 1 elétron) é -23,04.10-16 J .
9