ISBN 978-85-8015-054-4
Cadernos PDE
VOLUME I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
ALGUNS CONCEITOS MATEMÁTICOS ENVOLVIDOS NO
CORTE DA CANA-DE-AÇÚCAR
Professora PDE: Fernanda da Silva Vieira
1
Orientador IES: Prof. Dr. Osvaldo Germano do Rocio
2
RESUMO
O presente artigo é o relato de um trabalho desenvolvido com a turma de 5ª série
(6° ano) do Colégio Estadual Almirante Tamandaré de Cruzeiro do Oeste, Estado
do Paraná. O objetivo do trabalho foi despertar o interesse do aluno da Educação
Fundamental para o estudo, promovendo o desenvolvimento do raciocínio lógico
e a criatividade através da resolução de problemas envolvendo o cálculo de áreas
e identificando a presença de conteúdos matemáticos em algumas profissões,
com ênfase no corte da cana-de-açúcar. O trabalho desenvolvido favorece a
exploração e a aplicação da Matemática no cotidiano de modo a possibilitar que a
aprendizagem seja significativa e agradável. A principal contribuição do trabalho
foi calcular a medida da área de um sitio com contornos irregulares destinado a
plantação de cana de açúcar.
PALAVRAS-CHAVE: medidas; unidade padrão; metro quadrado.
ABSTRACT
This article is a report about the activities developed with the group of the 5th
grade (6th year) from the State Grade School Almirante Tamandaré in Cruzeiro do
Oeste, Paraná State. The activities’ aim was arousing the student's Basic
Education interest to study, promoting the development of logical reasoning and
the creativity through the problem solving activities with the calculation of areas,
identifying the presence of mathematical content in some occupations with
emphasis on cutting sugar cane. The activities developed promote the
investigation and application of mathematics in everyday life to enable that
mathematical learning could be meaningful and enjoyable. There were some
difficulties to the decimal numbering system required for the metric system. As a
result, was gathered the students' opinions about the activities carried out in order
to awaken the critical spirit in them.
KEY-WORDS: measures, standard unit of measure, square meter.
1
Pós-graduação lato sensu em Matemática pela Universidade Paranaense, Graduação em Ciências Exatas pela
Universidade Paranaense, Professora de Matemática da rede estadual de ensino do Estado do Paraná, no Colégio
Estadual Almirante Tamandaré em Cruzeiro do Oeste/PR. Integrante do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE
da Secretaria de Estado da Educação do Estado do Paraná.
2
Doutor em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas – Unicamp. Professor da Universidade Estadual de
Maringá.
2
1 INTRODUÇÃO
O desinteresse dos alunos pelos conteúdos matemáticos abordados em
sala de aula é um dos aspectos que se soma à discussão acerca de melhores
métodos de ensino da matemática. A escolha do título, “Alguns conceitos
matemáticos envolvidos no corte da cana-de-açúcar”, teve o objetivo de relacionar
a principal atividade econômica do município de Cruzeiro do Oeste com os
conceitos de área e sistema decimal que fazem parte Diretrizes Curriculares de
Matemática e permeia todas as séries dos ensinos Fundamental e Médio. Isto
contribuiu sobremaneira para que uma parte da matemática fosse assimilada de
uma maneira mais interessante, relacionando os conteúdos estudados com a
realidade do aluno.
A preferência pelo tema “Sistema decimal de medidas” contribuiu para que
uma parte da matemática fosse assimilada de uma maneira mais interessante,
relacionando os conteúdos estudados com a realidade do aluno, desempenhando
papel importante nas Diretrizes Curriculares de Matemática e permeia todas as
séries dos ensinos Fundamental e Médio.
Na busca pela construção do conhecimento matemático de forma
significativa, constituído em um processo de interação entre professor e aluno, em
que ambos possam problematizar, refletir e construir conhecimentos matemáticos,
as Diretrizes Curriculares do Paraná do ano de 2007 apontam a modelagem
matemática como metodologia alternativa que relaciona os conhecimentos
práticos dos alunos com os conhecimentos sistematizados.
Pela modelagem matemática relaciona-se conteúdos matemáticos da
Educação Fundamental à convivência da cultura local, mediando assim a
matemática da escola e da vida, contribuindo com a formação pessoal do
educando, sua interação na sociedade, a valorização cultural e a visão
transformadora de sua própria realidade, acreditando-se que a diversificação de
estratégias e a motivação dos alunos para uma nova aprendizagem gera o
sucesso educativo.
Para Bassanezi (2002, p. 16), a modelagem matemática “[...] consiste na
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvelos interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
3
A modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar
o interesse pelo conteúdo matemático bem como oportunizar o estudo de
situações-problemas por meio de pesquisa, desenvolvendo o interesse e
estimulando o senso crítico dos estudantes.
Para trabalhar o conteúdo matemático com os alunos, escolheu-se o tema
da produção e corte da cana-de-açúcar devido a dois motivos principais: em
primeiro lugar, porque a maioria dos alunos envolvidos provêm da zona rural e,
mesmo os que residem na cidade, possuem contato com essa realidade
econômica do município de Cruzeiro do Oeste; em segundo lugar, porque a
produção e o corte de cana-de-açúcar cresce rapidamente no município de
Cruzeiro do Oeste, tomando parte do cotidiano dos alunos e demais cidadãos. O
rápido crescimento da produção de cana-de-açúcar, principalmente para a
produção de etanol, foi devidamente estudada por RIBEIRO e ENDLICH (2010, p.
80) sobre a região noroeste do Estado do Paraná, região em que está localizado
o município de Cruzeiro do Oeste:
Em 2000, segundo o IBGE, a Mesorregião Noroeste produziu 7.476.160
toneladas de cana-de-açúcar. Em 2006, conforme o mesmo, a produção já
subiu para 14.548.306 toneladas, um aumento de aproximadamente 95%.
Outro dado a ser levado em consideração é o da área plantada. Em 2000,
a cana-de-açúcar era cultivada numa área de 111.716 hectares. Em 2006,
a área destinada ao cultivo da cana é de 190.068 hectares. Portanto,
esses dados já demonstram a expansão canavieira na mesorregião de
forma expressiva.
Para se ter uma idéia mais aproximada, a área total do município de
Cruzeiro do Oeste é de 77.922,20 m2, sendo que, destes, 9.739 m2 está
destinados ao plantio da cana-de-açúcar, o que equivale a 12,5% da área total do
município. (RIBEIRO, ENDLICH, 2010, p. 83)
Por estes dados, pode-se ter uma idéia sobre a importância da cana-deaçúcar na realidade em que os alunos da rede pública de ensino do município de
Cruzeiro do Oeste estão inseridos, o que por si só justificou a temática da canade-açúcar para permear o trabalho de ensino do cálculo de áreas junto com os
alunos.
4
2 UNIDADE DE MEDIDA – UM POUCO DE HISTÓRIA
O tema base do projeto de implementação objeto do presente artigo diz
respeito ao cálculo de áreas, uma das primeiras noções geométricas a despertar
o interesse do ser humano. Tanto os egípcios como os babilônios já conheciam o
cálculo de áreas de figuras geométricas simples. Esses conhecimentos foram
motivados por questões práticas de agrimensura. Isto significa o fato de que a
palavra geometria significa literalmente “medida de terra”.
A necessidade de calcular áreas de terrenos levou várias civilizações a
desenvolver técnicas para fazê-lo. Há evidências de que os egípcios sabiam
calcular apenas aproximadamente a área de terras. Os papiros egípcios mais
antigos com conteúdos matemáticos contêm problemas referentes à área de
terrenos, envolvendo triângulos, retângulos e outros quadriláteros. Alguns autores
são da opinião de que os egípcios conheciam a regra para o cálculo da área de
triângulos, mas que a dificuldade de, no terreno, determinarem a sua altura
relativamente a uma base levava-os a utilizarem, apenas, uma estratégia para o
seu cálculo. (LAGARTO, 2007, on-line)
Esse sistema precisava ter uma unidade exata e que pudesse ser usada
em qualquer país, com múltiplos e submúltiplos para medidas grandes e
pequenas que facilitassem os cálculos. (GIOVANNI, 2000, p. 267)
Assim, devido ao desenvolvimento das ciências, do comércio e das
relações entre cidades e países, sentiu-se a necessidade de medidas mais
precisas e uniformes. Diante desta necessidade, um grupo de cientistas reuniu-se
na França para escolher uma medida padrão. Assim surgiu o metro, que foi
reconhecido internacionalmente em 1875. (GIOVANNI, 2000, p. 267) Só a partir
desta data é que passou a existir instrumento com a medida do metro
(padronizada) em quase todo o mundo.
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia-a-dia e respondem a
nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano. A superfície é uma grandeza
com duas dimensões, enquanto a área é a medida dessa grandeza, portanto, um
número, sendo a unidade fundamental de superfície o metro quadrado.
Calcular a área de uma figura plana é medir a região ou a porção do plano
ocupada por essa figura. Isso é feito comparando-se a figura plana com uma
5
medida de área. O resultado é um número que exprime quantas vezes a figura
plana contém a unidade de área.
A medida de superfície chama-se área, conteúdo este em que os alunos
mostraram muito interesse, em razão de que alguns pais de alunos trabalhavam
como pedreiros ou pintores e outras profissões que exigem o cálculo de áreas.
A história dos padrões de medidas iniciada há muitos anos provavelmente
ainda não terminou, pois novas descobertas e novas necessidades certamente
alterarão as definições dos padrões.
3 DESENVOLVIMENTO
O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, considerado um
programa inovador de qualificação docente, permite ao professor da escola
pública um retorno às atividades acadêmicas, proporcionando-lhe atualização e
reflexão pedagógica. Durante o primeiro semestre foram ministrados vários
cursos com conteúdos de Metodologia de Pesquisa e Fundamentos TeóricoMetodológicos da Ação Docente, além de cursos específicos da área de
Matemática.
Na elaboração do Projeto de Intervenção Pedagógica foi selecionado o
tema que contempla o conteúdo “Pesquisa em Educação Matemática e Escola” o
qual aborda as contribuições da investigação matemática na sala de aula e os
encaminhamentos pedagógicos possíveis. Para além do cenário educativo, o
desenvolvimento da proposta contribui com o avanço expressivo na qualidade de
ensino, na formação pessoal do educando, sua interação na sociedade, sua
valorização cultural e a visão transformadora de sua própria realidade.
O material didático produzido permitiu que os alunos relacionassem
atividades de seu cotidiano e do cotidiano de seus familiares com os conceitos de
área e o sistema decimal de medidas. Desta forma uma parte da matemática foi
assimilada de uma maneira mais natural e interessante, relacionando os
conceitos estudados com a realidade do aluno. O material didático que
desenvolvemos na segunda etapa do programa foi um Caderno Pedagógico
formado por quatro Unidades Didáticas, direcionadas à 5ª série (6° ano) do
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Ensino Fundamental, com assuntos relacionados ao conteúdo estruturante
“Sistema Decimal de Medidas”, destacando-se a medida de superfície (área).
A terceira etapa do programa foi desenvolvida no 2° semestre de 2010
onde foi feita a implementação do material didático produzido. Antes de
apresentar aos alunos o material didático produzido o mesmo foi apresentado à
direção e equipe pedagógica da escola. Depois de elaborado o cronograma da
implementação do projeto o material didático foi submetido aos professores da
área de matemática e das outras áreas do colégio os quais contribuíram com
sugestões e criticas para o aprimoramento do material.
O projeto foi implementado em uma turma de 5ª série (6º ano) do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Almirante Tamandaré, na cidade de Cruzeiro
do Oeste/PR, no período vespertino, formada por 34 alunos os quais
demonstraram interesse pela disciplina iniciando nesse momento uma conversa
entre eles sobre o título. Por intermédio da participação dos alunos, iniciou-se a
investigação matemática com os pais, familiares e amigos, através de uma
entrevista sobre o relacionamento entre a cana-de-açúcar e o conteúdo a ser
estudado, possibilitando ao aluno um comportamento crítico e criativo,
participando em todas as etapas das atividades.
Na primeira unidade, por meio das sugestões dos alunos e dados das
investigações, apareceram questionamentos, dúvidas, perguntas importantes
relacionados com o conceito de medir, que traz em si uma idéia de comparação
de coisas que possuem a mesma natureza, de modo que possa ser objeto de
comparação entre elas: comprimento, área, perímetro. Sendo a maioria dos
alunos da turma alvo da implementação do projeto provenientes da área rural do
Município de Cruzeiro do Oeste e outros que residem na zona urbana do
município, os mesmos mantêm contato direto ou indireto com a cultura da canade-açúcar, na medida em que sua produção domina a paisagem rural do
Município. Assim nesta primeira etapa, os alunos foram convidados a responder,
oralmente, diversos questionamentos sobre a produção da cana-de-açúcar, de
modo a iniciar as atividades e interá-los ativamente no processo de
aprendizagem.
Dentre os diversos questionamentos que serviram como fundamentos para
o
desenvolvimento
das
atividades
posteriores,
foram
realizados,
7
exemplificativamente,
os
seguintes
questionamentos:
“como
é
feito
o
arrendamento da propriedade rural?”, “o que é tonelada de cana?”, “como ela é
pesada?”, “o que é hectare?”, “quantos metros tem um hectare?”, “como é pago o
cortador de cana-de-açúcar?”, “o que é metro linear?”, “como encontrar a área do
terreno arrendado para o plantio de cana?”, “quantas toneladas seriam colhidas
na área arrendada?”, etc.
Com estes e outros questionamentos, introduziu-se gradativamente o aluno
no contexto a ser trabalhado, interando-os acerca do enlaçamento existente entre
a atividade da produção e corte da cana-de-açúcar com o conteúdo matemático
que seria desenvolvido, os alunos reconhecem as diferentes formas de medir,
envolvido na produção da cana-de-açúcar. Em seguida, foram feitos exercícios
que exigiam a utilização do “metro” como unidade de medida e suas divisões,
comprando as dimensões das unidades menores e maiores, organizando tabelas
em que se inseria o metro, como unidade base do sistema, apondo-se, em
seguida, suas subdivisões, seus múltiplos e seus submúltiplos.
Os prefixos deci, centi e mili obtidos pelas divisões sucessivas do metro
tiveram um importante significado para os alunos. As conversões entre as
unidades mostraram-se concretas uma vez que os educandos comprovavam as
conversões por meio de cálculo mental e atividades elaboradas e passadas aos
alunos através de atividades escritas, apenas para realizarem as conversões.
Encerrado o estudo do metro, seus múltiplos e submúltiplos, passou-se em
seguida ao estudo do perímetro, entendido este como a medida do comprimento
de um contorno. Para o estudo deste conteúdo, foram realizadas várias atividades
propostas pelo docente que envolviam situações cotidianas como, por exemplo, o
cálculos necessário para a contratação de mão-de-obra e compra de tela ou
arame para cercar terrenos o terreno objeto do exercício.
Na segunda unidade trabalhou-se mais especificamente com o cálculo de
áreas. Por intermédio das sugestões dos alunos e dados das investigações
realizadas, foram feitas as atividades propostas.
Dentre as diversas atividades apresentadas, os alunos resolveram um
problema prático do cotidiano que envolvia o cálculo da quantidade de
remuneração que um proprietário de um imóvel rural recebe da usina de produção
8
de etanol ao arrendar sua propriedade a esta, a fim de que seja produzida a canade-açúcar necessária para a produção daquele combustível.
Para a resolução do exercício, foi necessário calcular a área do imóvel rural
em questão. Entretanto, a cálculo da área de uma propriedade rural não é um
exercício simples, pois em geral as propriedades rurais não se constituem em
figuras geometrias regulares (quadrados, retângulos etc.). Na prática, as
propriedades rurais são irregulares e não correspondem a uma figura geométrica
simples.
Para a resolução do exercício, utilizou-se o mapa de uma propriedade rural
real, existente na zona rural da região, fornecido pela Usina Santa Terezinha,
localizada no Município de Tapejara/PR, município vizinho ao de Cruzeiro do
Oeste/PR. Este é o mapa utilizado para a resolução do exercício proposto, o qual
foi feito com a utilização de um aparelho GPS (Global Positioning System).
9
Inicialmente, realizou-se o cálculo de área da propriedade rural pelo
método simples, tradicional, por meio do qual se calcula a média dos
comprimentos e a média das larguras do terreno, finalizando o cálculo com a
multiplicação das médias encontradas. Sendo realizado da seguinte maneira:
- Somam-se as medidas do comprimento dos dois lados e divide-se por 2;
- Somam-se as medidas da largura da cabeceira e do fundo e divide-se por
2;
- Multiplicam-se os resultados.
- Encontra-se a área total da terra.
a) Comprimento = 2000m + 1100m + 100m + 900m = 4100m: 2 = 2050m
b) Largura = 446m + 336m =782m: 2 = 391m
c) 2050m X 391m = 801550 m²
d) 801550 m²: 24200 m² aproximadamente 33,12 ha
Por meio desta técnica, somente é possível encontrar o resultado
aproximado da área do terreno, tendo em vista seu caráter irregular.
Após a resolução do exercício através do método tradicional, debateu-se
acerca da necessidade de medidas mais precisas. Para tanto, verificamos que o
cálculo de área do terreno deveria ser feito a partir de figuras geométricas
regulares, sendo esta a forma mais adequada para a obtenção de um resultado
que reflita a realidade da medida do terreno. Assim, estudou-se as figuras
geométricas regulares, principalmente a forma de elaboração do cálculo de área
destas figuras.
Após o estudo do cálculo de área das figuras geométricas regulares,
retornamos ao mapa da propriedade rural acima. O mapa do terreno, que é uma
figura geométrica irregular, foi subdividido em diversas figuras geométricas
regulares.
Para facilitar a visualização da divisão do terreno pelos alunos, realizou-se
a divisão do mapa da propriedade rural com cores diferentes, de modo a realçar a
configuração das figuras geométricas regulares provenientes da divisão efetuada,
de forma que a área do terreno é a soma de áreas de figuras geométricas
regulares. Notamos juntamente com os alunos que a maneira de subdividir a
figura geométrica irregular não é única, mas que a área total independe da forma
10
da subdivisão, com isto poderíamos optar pela subdivisão mais apropriada dentro
de nossos propósitos.
Neste sentido optamos em conjunto com os alunos pela subdivisão descrita
na figura abaixo.
Figura 2: Mapa dividido em figuras geométricas
Fonte: Própria autora
11
Área das figuras:
Figura A: A figura representa um triângulo irregular com lados 0,1 cm, 3,0cm e
3,05cm. Não sendo um triângulo retângulo calculamos a área usando a fórmula
de Heron.
0,1cm + 3,0cm + 3,05cm
2
S = 3,075cm
S=
A = 3,075(3,075 − 0,1)(3,075 − 3,0)(3,075 − 3,05)
A = 3,075 x 2,975 x0,075 x0,025
A = 0,017
A = 0,13cm² aproximado
Figura B: A figura representa um retângulo com 3cm de largura e 2,4cm de
comprimento.
Multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura e obtivemos a
área.
A = 3,0cm x 2,4cm = 7,2 cm²
Figura C: A figura representa um retângulo com 3cm de largura e 2,4cm de
comprimento.
Multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura e obtivemos a
área.
A = 3 cm x 2,4 cm = 7,2 cm²
Figura D: A figura representa um retângulo com 3cm de largura e 2,2cm de
comprimento.
Multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura e obtivemos a
área
A = 3 cm x 2,2 cm = 6,6 cm²
Figura E: A figura representa um retângulo com 2,8cm de largura e 0,2cm de
comprimento. Multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura e
obtivemos a área.
12
A = 2,8 cm x 0,2 cm = 0,56 cm²
Figura F: A figura representa um triângulo retângulo com base de 0,2cm e altura
0,2cm. Multiplicamos a medida da base pela medida da altura e o resultado
divide-se por 2 e obtivemos assim a área.
A=
0,2cm x 0,2cm
2
A = 0,02cm²
Figura G: A figura representa um retângulo com 2,2cm de largura por 2cm de
comprimento. Multiplicamos a medida da largura pela medida do comprimento e
obtivemos a área.
A = 2,2cm x 2cm = 4,4cm²
Figura H: A figura representa um retângulo com 1,1cm de largura por 1,5cm de
comprimento. Multiplicamos a medida da largura pela medida do comprimento e
obtivemos a área.
A = 1,1cm x 1,5cm = 1,65cm²
Figura I: A figura representa um triângulo irregular com lados 0,2cm, 0,3cm e
0,4cm. Não sendo um triângulo retângulo calculamos pela fórmula de Heron.
0,2cm + 0,3cm + 0,4cm
2
S = 0,45cm
S=
A = 0,45(0,45 − 0,2)(0,45 − 0,3)(0,45 − 0,4)
A = 0,45 x0,25 x0,15 x0,05
A = 0,008
A = 0,03cm² aproximado
Figura J: A figura representa um triângulo irregular com lados 1,1cm, 0,5cm e
1,2cm. Não sendo um triângulo retângulo calculamos pela fórmula de Heron.
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1,1cm + 0,5cm + 1,2cm
2
S = 1,4cm
S=
A = 1,4(1,4 − 1,1)(1,4 − 0,5)(1,4 − 1,1)
A = 1,4 x0,3 x0,9 x0,2
A = 0,0756
A = 0,275 cm² aproximado
Figura K: A figura representa um triângulo irregular com lados 0,2cm, 0,3cm e
0,2cm. Não sendo um triângulo retângulo calculamos pela fórmula de Heron.
0,2cm + 0,3cm + 0,2cm
2
S = 035cm
S=
A = 0,35(0,35 − 0,2)(0,35 − 0,3)(0,35 − 0,2)
A = 0,35 x0,15 x0,05 x0,15
A = 0,0004
A = 0,02 cm² aproximado
Figura L: A figura representa um triângulo com lados 1,0cm, 0,6cm e 1,1cm.
Calculamos a área pela fórmula de Heron.
1,0cm + 0,6cm + 1,1cm
2
S = 1,35cm
S=
A = 1,35(1,35 − 1,0)(1,35 − 0,6)(1,35 − 1,1)
A = 1,35 x0,35 x0,75 x0,25
A = 0,0885
S = 1,0cm + 0,6cm + 1,1cm
2
A = 0,30cm² aproximado
Figura M: A figura representa um retângulo com 2,2cm de largura e 1,5cm de
comprimento. Multiplicamos a medida da largura pela medida do comprimento e
obtivemos a área.
14
A = 2,2cm x 1,5cm = 3,3cm²
Figura N: A figura representa um triângulo com lados 2,2cm, 1,3cm e 2,6cm.
Calculamos a área pela fórmula de Heron.
2,2cm + 1,3cm + 2,6cm
2
S = 3,05cm
S=
A = 3,05(3,05 − 2,2)(3,05 − 1,3)(3,05 − 2,6)
A = 3,05 x0,85 x1,75 x0,45
A = 2,04
A = 1,43cm² aproximado
Figura O: A figura representa um triângulo irregular com lados 2,6cm, 0,4cm e
2,3cm. Não sendo um triângulo retângulo calculamos pela fórmula de Heron.
2,6cm + 0,4cm + 2,3cm
2
S = 2,65cm
S=
A = 2,65(2,65 − 2,6)(2,65 − 0,4)(2,65 − 2,3)
A = 2,65 x0,05 x 2,25 x0,35
A = 1,104
A = 0,32cm² aproximado
Somamos a área das figuras geométricas:
Área total: 0,13cm² + 7,2cm² + 7,2cm² + 6,60cm² + 0,56cm² + 0,02cm² +
4,4cm² + 1,65cm² + 0,03cm² + 0,275cm² + 0,02cm² + 0,30cm² + 3,3cm² + 1,43cm²
+ 0,32cm² = 33,43cm² aproximado
Desta forma, vimos que a divisão do terreno cuja área deva ser calculada
em figuras geométricas regulares propicia a obtenção de um resultado mais
aproximado à área real do que pela utilização do método tradicional, em que se
promove apenas a multiplicação entre as médias da largura e do comprimento.
Durante a realização das atividades propostas, permitiu-se que os alunos
trabalhassem em grupos, a fim de que se propiciasse a troca de idéias,
sugestões, havendo um grande interesse de todos.
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No início da terceira unidade, surgiram algumas dificuldades em relação ao
cálculo de área de um triângulo irregular, não retângulo. Verificamos que, nestes
casos, faz-se necessário, para o cálculo da área do triângulo irregular, da
utilização da chamada Fórmula de Heron de Alexandria.
A fórmula de Heron tem a vantagem de fornecer a área de um triângulo
qualquer em função de seus lados, sem precisar conhecer uma de suas alturas e
o lado relativo a essa altura.
Esta fórmula permite obter rapidamente a área de um terreno de forma
quadrangular, quando se conhece os seus lados e uma de suas diagonais. Outros
terrenos em forma de polígono qualquer, poderão ser divididos em triângulos.
A Fórmula de Heron é a seguinte: Dado um triângulo qualquer no qual se
conheça as medidas a, b, c, de seus lados, onde p é o semiperímetro do
triângulo.
p=
a+b+c
2
A medida de sua área é expressa como:
A=
p( p − a)( p − b)( p − c)
Isto facilita e normalmente o trabalho, ao deparamos com mapas que
representam figuras irregulares.
Trabalhado o conceito de área através de vários métodos diferentes,
realizamos atividades propostas com a necessidade do uso da fórmula de Heron,
pela qual foi possível a resolução de atividades que até então para eles não era
possível.
Discutimos sobre a necessidade de se reproduzir figuras que são muito
grandes ou muito pequenas no tamanho original, razão pela qual se fez uso de
técnicas de redução ou ampliação da figura sem que se alterasse a forma original.
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Em um ou outro caso recorremos à ajuda de uma escala que é a razão entre as
medidas da representação de alguma coisa e as medidas do seu tamanho real.
escala =
comprimento do desenho
comprimento real
As escalas são expressas sempre na relação 1 para algum número ou
algum número para 1. Exemplo:
E = 1/5
ou
E = 5/1
Isto significa que uma medida gráfica (no papel) do objeto é cinco vezes
menor a medida real.
As escalas podem ser escritas também da seguinte forma:
E=d:D
ou
E=D:d
Assim pode-se ter:
E=1:5
ou
E=5:1
Nas escalas numéricas, o número 1 indica (um metro). Assim, pode-se
dizer que um desenho representado na escala 1:5 teve a medida de um metro
reduzido cinco vezes, isto é, o valor da unidade de medida gráfica corresponde a
1/5 = 0,20m ou 20cm.
Como visto, feito o cálculo da área do sítio pelo método antigo, pela
decomposição de figuras geométricas regulares e irregulares, faz-se também o
cálculo através de escala.
Demonstrou-se que, pelo uso da escala, é possível encontrar a razão
entre as medidas da representação de alguma coisa e as medidas do seu
tamanho real. (GIOVANNI JUNIOR, 2009, p. 240)
Feito o cálculo de área pelo método tradicional (multiplicação das médias
da
largura
e
comprimento
nas
figuras
geométricas
irregulares),
pela
decomposição de figuras geométricas irregulares em regulares, inclusive com a
utilização da Fórmula de Heron, demonstrou-se uma terceira forma de se calcular
a área de uma figura: a utilização de escala, pela qual se subdividiu o mesmo
mapa da propriedade rural dos exercícios anteriores em diversas figuras
geométricas regulares e menores, utilizando-se da escala 1:148,66m aproximado,
para que, deste modo, fosse encontrada a aproximação da área mais aproximada
17
da figura. Assim, subdividiu-se o mapa em áreas de 0,4cm e 0,2cm
transformando-as em figuras geométricas regulares como retângulos e triângulos.
A subdivisão do mapa para utilização da técnica da escala foi feita desta
maneira:
Figura 3: Mapa do sítio dividido em escala
Fonte: A própria autora
Depois de encontrada a área de cada subdivisão, somou-se a área de
cada uma das figuras e encontrou-se a aproximação da área aproximada do sítio
a ser utilizada no plantio.
Realizamos da seguinte maneira:
0,1 cm x 3 cm : 2 = 0,15 cm²
0,4 cm x 3 cm x 18 = 21,6 cm²
0,4 cm x 2,2 cm x 5 = 4,4 cm²
18
0,4 cm x 1,1 cm x 3 = 1,32 cm²
0,4 cm x 0,1 cm : 2 = 0,2 cm²
0,4 cm x 0,6 cm² ; 2 = 0,12 cm²
0,4 cm x 2,2 cm x 4 = 3,52 cm²
0,2 cm x 2,2 cm = 0,44 cm²
0,4 cm x 2 cm = 0,8 cm²
0,4 cm x 1,3 cm = 0,52 cm²
0,4 cm x 0,4 cm = 0,16 cm²
0,4 cm x 0,2 cm : 2 = 0,04 cm²
0,4 cm x 0,7 cm : 2 = 0,14 cm²
0,4 cm x 0,9 cm : 2 = 0,18 cm²
0,4 cm x 0,2 cm : 2 = 0,04 cm²
Área: 0,15 cm² + 21,6 cm² + 4,4 cm² + 1,32 cm² +0,2cm² + 0,12 cm² + 3,52 cm² +
0,44 cm² + 0,8 cm² + 0,52 cm² + 0,16 cm + 0,04 cm² + 0,14 cm² + 0,18 cm² +0,04 cm² =
33,63 cm²
Sabe-se que:
1 cm x 1 cm = 1 cm² e 148,66 m x 148,66 m = 22099,80 m²
33,63 cm² x 22099,80 m² = 743216,1 m²
743216,1 m² : 24200 m² = 30,71 ha
Observamos que o cálculo da área do sítio pôde ser calculada pelo método
antigo, pela decomposição de figuras geométricas regulares ou através de escala,
alcançando assim valores aproximados.
Ressalte-se que, em todos os exercícios envolvendo esta figura,
promoveu-se apenas o cálculo de sua área destinada ao plantio da cana-deaçúcar, excluindo-se a área da sede da propriedade e da mata ciliar.
Até então, para a resolução dos exercícios, inclusive mediante a utilização
das três formas de cálculo de área (figuras irregulares, figuras regulares e escala),
passou-se à realização de atividades propostas em que se utilizava de medidas
agrárias de grande extensão, como o hectare e o alqueire.
Estas medidas agrárias são utilizadas no cotidiano para o cálculo de
grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.), principalmente pela
utilização da unidade agrária chamada hectare (ha), que corresponde a dez mil
19
metros quadrados, e que um hectare corresponde à medida de superfície de um
quadrado de 100m de lado..
Trabalhamos ainda com uma medida agrária não-legal, utilizadas em vários
Estados do Brasil, chamada de alqueire paulista (GIOVANNI JUNIOR, 2009, p.
274) que corresponde a vinte e quatro mil e duzentos metros quadrados, o
equivalente a 2,4 hectares.
Na quarta unidade foram realizadas atividades propostas referentes às
formas de medir e às diferentes formas de cálculo de área. Nesta unidade, foi
elaborada uma lista de exercícios diversos, envolvendo o cálculo de áreas de
figuras geométricas regulares e irregulares, mediante a aplicação das três formas
de cálculo de áreas anteriormente expostas.
Solicitou-se ainda que cada aluno calculasse a área do terreno da casa
onde residia, de modo a estabelecer um vínculo mais forte entre o conteúdo
ensinado e a realidade de suas vidas.
Por fim, apresentou-se aos alunos a forma mais moderna de se calcular a
área de um terreno: pela utilização de um aparelho de GPS (Global Positioning
System).
Para demonstrar a forma de utilização deste aparelho, a docente propôs
uma atividade extraclasse, na qual acompanhou os alunos em um trajeto em volta
do Colégio Estadual Almirante Tamandaré, a fim de que promovam a medição da
área do terreno da escola.
Durante o trajeto em volta do terreno da escola, utilizamos o aparelho de
GPS, gerando o mapa do terreno do colégio e identificando a área demarcada
através de vários pontos demarcados durante o trajeto que formavam figuras
geométricas regulares e irregulares no visor do aparelho.
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Figura 4: Foto do GPS com o mapa do terreno do colégio.
Fonte: A própria autora
Assim, com a utilização do aparelho de GPS, calculamos a área exata do
terreno onde está situado o colégio em que os alunos estudam, reforçando ainda
mais o vínculo entre o conteúdo matemático e o cotidiano dos alunos.
Entretanto, para verificar a veracidade dos resultados alcançados pela
utilização do aparelho de GPS, propôs-se ainda uma última atividade: que os
estudantes realizassem manualmente o cálculo da área do terreno do colégio,
mediante utilização das técnicas anteriormente utilizadas, comparando-as com o
resultado obtido pelo aparelho de GPS.
4 CONCLUSÃO
O homem no decorrer da história se depara com noções de maior e menor,
de antes e depois, e com isso passa a realizar comparações entre espaços e
entre períodos de tempo, necessitando estabelecer valores qualitativos e
quantitativos, ou seja, para que possa ter uma visão de realidade, o ser humano
precisa medir e criar instrumentos de medida.
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O desenvolvimento deste projeto contribuiu com o avanço na qualidade de
ensino, proporcionando ao educando uma melhor interação na sociedade, uma
valorização cultural e uma visão transformadora da sua própria realidade.
A aplicabilidade do tema “Sistema Decimal de Medidas” vem ao encontro
com várias situações do cotidiano do aluno, principalmente levando-se em
consideração a realidade sócio-econômica em que está inserido o Município de
Cruzeiro do Oeste, no qual a grande maioria dos alunos que frequentam o
período vespertino estão direta ou indiretamente ligados à produção e ao corte da
cana-de-açúcar, atividade que requer a utilização do cálculo de área de terrenos e
outras atividades que demandam a utilização do sistema decimal de medidas.
Assim, o projeto visou à promoção da interação entre a Matemática e a
realidade do aluno, razão pela qual a escolha da produção e corte da cana-deaçúcar como pano de fundo para o ensino do conteúdo matemático.
Através deste projeto detectaram-se algumas dificuldades apresentadas
pelos educandos quanto ao domínio do cálculo de áreas, principalmente no que
diz respeito à realização de atividades que demandam a utilização Fórmula de
Heron e da técnica da escala. Em razão da dificuldade encontrada pelos alunos
no uso da Fórmula de Heron e da técnica da escala, sugere-se que estes
conteúdos específicos sejam aplicados apenas a partir na 8ª série do Ensino
Fundamental e não na 5ª série.
Os objetivos propostos foram atingidos, pois houve investigações,
comparações entre as medidas e diferentes cálculos de áreas, levando-os a
tomarem decisões relacionadas no seu dia-a-dia.
A participação dos alunos ocorreu de forma dinâmica e criativa. Alunos que
inicialmente pareceram inseguros na resolução de tarefas começaram a
demonstrar interesse e até iniciativa no trabalho em grupo. O importante foi que
os alunos começaram a se interessar pelo porquê dos fatos, emitindo opiniões
com fundamento e espírito crítico.
Como sugestão aos professores: retomar o conceito de medidas em vários
momentos durante os anos do ensino fundamental.
Acredita-se que a diversificação de estratégias e a motivação dos alunos
para nova aprendizagem conduzam ao sucesso educativo.
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REFERÊNCIAS
BASSANEZI. Rodney Carlos. Modelagem matemática. Blumenau: Dynamis,
1994. v. 7..
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI Jr., José Ruy. Matemática: pensar e descobrir:
5ª série. São Paulo: FTD, 2000.
GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. A Conquista da
Matemática: 6º ano. São Paulo: FTD, 2009.
LAGARTO, Maria João. História da Matemática: cálculo de áreas. Disponível em:
http://www.malhatlantica.pt/mathis/regras/Geometria/%C3%81reas.htm. Acesso
em 19.03.2011.
MATSUBARA, Roberto; ZANIRATTO, Ariovaldo Antonio. BIG MAT – Matemática:
História : Evolução; 5ª série. São Paulo: IBEP, 2002.
RIBEIRO, Vitor Hugo; Endlich, Ângela Maria. O avanço da agroindústria
canavieira na mesorregião noroeste paranaense. In: Revista Percurso.
Maringá: Núcleo de Estudos de Mobilidade e Mobilização da Universidade
Estadual de Maringá, v. 2, n. 1, p. 73-92, 2010
SEED – SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PARANÁ.
Diretrizes Curriculares de Matemática para Ensino Básico, Curitiba, 2007.