SÉRIES DE FOURIER NA MORFOMETRIA GEOMÉTRICA
Trabalho de Conclusão do Curso
Universidade Católica de Brasília
Departamento de Matemática
Autora: Ana Paula Pereira
Orientador: Professor Doutor Jorge Brandão
RESUMO
Este é um artigo voltado para a matemática estudada no ensino superior. Foi desenvolvido um estudo
específico entre espaço vetorial, funções periódicas e Séries de Fourier, para de descrever o contorno
fechado de uma figura específica. A Série de Fourier foi estudada e analisada como uma ferramenta que
auxilia no cálculo dos coeficientes através da análise sistemática na Morfometria Geométrica.
1. Introdução
O estudo das Séries de Fourier e sua aplicação na Morfometria Geométrica (desenho
de formas e figuras biológicas), possibilitam um aprimoramento sobre o estudo de
contorno de formas variadas e das funções seno e co-seno, com uma abordagem
específica sobre a análise da Matemática, utilizando-se de teoremas importantes com o
propósito de descrever uma função em um determinado intervalo, buscando valores
para a convergência das séries.
A pesquisa em particular, desencadeia uma investigação ao redor de todo o conteúdo
estudado na universidade. Busca extrair e despertar a essência da matéria para melhor
contribuir na aprendizagem, fazendo com que no futuro este possa agir de forma
significativa na evolução da matemática que busca á todo momento o aprimoramento
dos conhecimentos matemáticos, onde este poderá estabelecer a interdisciplinaridade
com outras áreas do conhecimento.
Jean Baptiste Joseph Fourier, foi um matemático francês conhecido principalmente
pela sua contribuição à análise matemática do fluxo de calor. Ao longo de sua vida
Fourier demonstrou o seu interesse em matemática e física matemática. Ele ficou
famoso pela sua Theorie analytique de la Chaleur (1822), um tratamento matemático
da teoria de calor. Ele estabeleceu a equação diferencial parcial administrando a
difusão de calor e resolveu isto usando série infinita de funções trigonométricas.
Embora estas séries tivessem sido usadas antes, Fourier as investigou em detalhe
muito maior. A pesquisa dele, inicialmente criticada por sua falta de rigor, foi
mostrada depois para ser válida. Proveu o ímpeto para o mais recente trabalho em
séries trigonométricas e a teoria de funções de uma variável real. Ele nasceu em 21 de
março de 1768, e morreu em 16 de maio de 1830, sendo aqui o seu trabalho
pesquisado para melhor representar o estudo das séries e sua aplicação, onde
identificará a matemática como um instrumento lógico usado nos diversos campos das
Ciências, para descrever situações na qual existe causas ou fenômenos naturais.
2 .Espaço Vetorial
O espaço vetorial definiu-se como:
Seja V um conjunto não–vazio qualquer de objetos na qual estão definidas duas
operações, a adição e a multiplicação por escalares (números). Por adição nós
entendemos uma regra que associa a cada par de objetos u e v em V um objeto u + v,
chamado a soma de u com v; por multiplicação por escalar nós entendemos uma regra
que associa a cada escalar k e cada objeto v em V um objeto kv, chamado o múltiplo
de v por k. Se os seguintes axiomas são satisfeitos por todos os objetos u,v e w em V e
quaisquer escalares k, então dizemos que V é um espaço vetorial e que os objetos de V
são vetores.
Se u e v são objetos em V então u + v é um objeto em V.
u+v= v+u
u +( v + w) = (u + v) + w
Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor zero de V, tal que 0 +
u = u + 0 = u para cada u em V.
(5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um negativo de u, tal que u +(u) + u = 0.
(6) Se k é qualquer escalar e v um objeto em V, então kv é um objeto em V.
(7) k (u + v) = ku + kv
(8) (k + k) v = kv + kv
(9) k(u) = (k)u
(10) ku = u
(1)
(2)
(3)
(4)
3. Conjunto Ortogonal de Funções.
Conceito de um conjunto ortogonal de funções é uma generalização de um conjunto
ortogonal de vetores mutuamente perpendiculares. Com ênfase, uma função pode ser
considerada como um vetor generalizado, de modo que as propriedades fundamentais
do conjunto de funções sejam seguidas pelas propriedades análogas do conjunto de
vetores.
Como tal é necessário definir o produto interno de vetores para que a definição de
conjunto ortogonal de funções seja compreendida.
3.1 Produto Interno.
Um produto em um espaço vetorial real V é uma função que associa um número real
(u, v) a cada par de vetores u e v em V, de tal maneira que os seguintes axiomas são
satisfeitos por quaisquer vetores u,v e w de V e qualquer escalar k.
(1)
(2)
(3)
(4)
(u,v) = (v,u)
(axioma da simetría)
(u+v).w = (u,w) + (v,w)
(axioma da aditividade)
(ku,v) = k.(u,v)
(axioma da homogeneidade)
(v,v) ≥ 0
(axioma da positividade)
Só existirá um número real (v,v) = 0, se e somente se v = 0.
Logo:
Um espaço vetorial real com um produto interno é chamado espaço com produto
interno real.
Os axiomas de produtos internos são baseados nas propriedades do produto interno
euclidiano que automaticamente satisfazem estes axiomas.
O produto interno vetorial é utilizado para introduzir as noções de norma
(comprimento) e distância em espaços vetoriais. No espaço euclidiano n-dimensional o
comprimento de um vetor u = (u1, u2,... un) pode ser expresso em termos de produto
interno euclidiano, tal que:
u = (u.u)1/2
u =
u.u
e a distância euclidiana entre dois pontos arbitrários, u = (u1, u2,...un) e v = (v1,v2,...
vn) pode ser expresso como:
d(u, v) = u − v
d(u, v) =
1/2
(u − v).(u − v)
Conseqüentemente a definição será:
Se V é um espaço com produto interno, então a norma de um vetor u de V é denotado
por u e é definido por
u =
(u.u )
e a distância entre dois pontos (vetores) u e v é denotada por d(u, v) e definida como
d(u, v) = u − v
É imprescindível não esquecer que a norma e a distância dependem do produto interno
que está sendo usado. Se o produto interno for mudado, então as normas e as
distâncias entre vetores também mudaram. Por exemplo, para os vetores u = (1,0) e v
= (0,1), do R2
com o produto interno, temos:
u =
(1) 2 + (0) 2
e
d(u, v) = u − v = (1, -1) =
(1) 2 + (−1) 2 =
2
O produto interno é usado para caracterizar a noção de perpendicularismo ou
ortogonalidade de vetores, formalmente:
4. Ortogonalidade.
Se dois vetores u e v de um espaço com produto interno serão chamados vetores
ortogonais se u ⋅v = 0 ,ou seja, se o ângulo entre eles é θ = π/2.
Exemplo:
Seja u = x e v = x2,
então o u.v =
1
−1
f (u ). f (v).dx , é
1/ 2
1
u = u.u
v = v.v
1/ 2
=
1/ 2
1
=
=
x.x.dx
=
2
x .x .dx
= u.v =
x.x .dx
−1
= 2/3
1
1/ 2
4
x .dx
= 2/5
−1
1/ 2
2
x .dx
−1
−1
1
2
−1
1/ 2
2
1/ 2
1
=
1
1/ 2
3
x .dx
=0
−1
Como u.v = o , os vetores u = x e v = x2 , são ortogonais relativamente, ao produto
interno dado.
Com ênfase se o Conjunto Ortogonal de Vetores é representado por vetores não-nulos,
então o Conjunto de Funções pode ser descrito pelas propriedades análogas ao
conjunto de Vetores.
5. Conjunto de Ortogonal de vetores.
Um conjunto de vetores em um espaço com produto interno é chamado de conjunto
ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto são ortogonais (se o produto
interno for zero).
Exemplo:
Um conjunto ortogonal de vetores em R3.
Sejam v1(0,1,0), v2(1,0,1) e v3(1,0,-1) e suponha que R3 tem o produto interno. Então
o conjunto de vetores S = {v1 , v 2 , v }é ortogonal, pois v1 , v 2 = v1 , v3 = v 2 , v3 = 0
O conjunto ortogonal de vetores será usado com freqüência em problemas ou situações
que envolvam aplicações, conseqüentemente em funções periódicas como ferramenta
para descrever os coeficientes da Série de Fourier, utilizando-se de funções simples
como a função seno e a função co-seno.
6. Funções periódicas. Séries Trigonométricas.
Uma função f(x) é dita periódica quando ela é definida para qualquer x real e existe
um numero positivo T tal que
(1)
f(x + T) = f(x),
para qualquer x.
O numero T é então chamado o período de f(x) (o menor período positivo de T de uma
função f(x) não constante, é muitas vezes chamado o período primitivo der f(x).
Assim, os períodos primitivos de sen(x) e sen (2x) são 2π e respectivamente). O
gráfico de tal função é obtido pela repetição periódica de seu gráfico em qualquer
intervalo de comprimento T de modo que qualquer múltiplo inteiro nT(n ≠ 0)de T é
também um período.
As funções seno e co-seno constituem exemplos familiares de funções periódicas;
notamos que a função f = c = constante é também periódica no sentido da definição,
porque ela satisfaz f(x + T) = f(x) para qualquer T positivo.
Considere o período 2π, em termos das funções simples:
(2)
cos(x), sen(x)
cos (2x), sen(2x),...
cos(nx),sen(nx),...
Á série que decorre deste problema será da forma
f(x) = a0 + a1cos(x) + b1sen(x) + a2cos(x) + b2sen(x) + ...,
onde ao,a1,a2,...,b1,b2,b3,..., são constantes reais. Tal série é chamada uma série
trigonométrica, e an e bn são os coeficientes da mesma. Vemos que cada termo da série
possui período 2π. Assim se a série convergir, sua soma será uma função de período
2π.
Particularmente a função periódica do tempo, é de grande importância das em
variadas aplicações por determinar os coeficientes. Coeficientes estes que representam
um produto de fatores numéricos.
Seja uma função periódica, com o período 2l, e representada pela equação:
f(x + 2l) = f(x),
é verdadeira para qualquer valor de x, onde a variável independente x representa um
ponto da circunferência de um determinado circulo, em lugar do ponto usual sobre a
reta. Se a função f(x) tiver o período 2π, digamos, se a equação:
f(x + 2π) = f(x),
se verificar para todos os valores de x, chamando-se x o ângulo central de raio unitário,
compreendido entre um raio qualquer e o correspondente ao ponto viável da
circunferência, a periodicidade da função f(x) é expressa simplesmente pelo fato de
que o cada ponto da circunferência, corresponde somente um valor da função.
As funções periódicas mais simples, das quais partiremos para construir, mais tarde,
outras mais gerais, são [ asenβx e acosβx ] ou, de modo mais geral, [ asenβ(x - ε) e
acosβ(x - ε) ] , onde a( ≥ 0 ) , b(>) e ε são constantes. Esta formula tomadas
isoladamente (para todos os valores de a e ε) representam a classe de todas as
vibrações senóides. As duas fórmulas são equivalentes, visto que asenβ(x - ε) =
acosβ[x – (ε + π/2β)].
Graficamente estas curvas podem ser obtidas, desenhando-se a curva senoidal na razão
de 1/β sobre o eixo de x, e a: 1 sobre o eixo dos y, transladando-se depois a curva para
a distancia ε no sentido positivo do eixo.
Utilizando os conceitos sobre espaço vetorial e ortogonalidade de funções,
verificamos a periodicidade das funções trigonométricas(seno e co-seno),calculando o
produto interno através da integral definida no intervalo [− π , π ] , então:
Seja f ( x) = cos( x) e g ( x) = sen( x) uma função periódica definida entre o
intervalo [− π , π ] ,então o produto interno pode ser descrito pela integral,onde:
u ⋅v =
π
f ( x) ⋅ g ( x).dx
−π
e escrevendo u = sen(x) e v = cos(x), calculamos o produto interno em função de u e v
sendo que:
u ⋅v =
π
−π
π
(u ) ⋅ (v).dx = sen( x) ⋅ cos( x).dx = 1 − 1 ⋅ 0 = 0
−π
7. Séries de Fourier. Fórmula de Euler.
As Séries de Fourier que se conduziram á representação em termos de funções
periódicas simples, são séries cujos termos isolados são funções trigonométricas,
representando suas somas funções periódicas.Conseqüentemente:
Se uma série infinita (ou simplesmente uma série) é uma expressão da forma
a1 + a2 + a3 + ...+ an + ...;
ou, então em notação de somatório,
∞
n =1
a n , ou
an ,
a série será uma particularidade pois representa a soma infinita de números.
Em correspondência com a definição de série, vamos partir de uma suposição para
concluirmos a definição das Séries de Fourier que necessitará das definições anteriores
para sua conclusão.
Suponhamos que f(x) seja uma função periódica com período 2π que pode ser
representada por uma série trigonométrica, então:
(1)
f(x) = a0 +
+∞
an cos( x) + bn sen( x)
n =1
Dada tal função f(x) desejamos determinar os coeficientes an e bn na série
correspondente (1). Em primeiro lugar determinamos a0, integrando ambos os
membros de (1) de -π a + π. Se a integração termo a termo da série for permitida, isto
é, justificado no caso de convergência, o primeiro termo no segundo é igual a 2πa0,
enquanto todas as integrais são nulas.
Em seguida determinamos os coeficientes a1, a2, a3,... e b1, b2, b3,... por um processo
semelhante. Se multiplicarmos respectivamente (1) por cos (mx) e sen (mx), onde m é
um inteiro positivo fixo, e em seguida integramos de -π a + π, obtemos:
+π
(2)
f ( x) sen⋅ (mx)dx =
−π
+π
(3)
−π
+π
a0 +
−π
f ( x) sen⋅ (mx)dx =
+π
−π
a0 +
∞
n =1
∞
n =1
(a n cos(nx) + bn sen(nx) cos(mx).dx
(a n cos(nx) + bn sen(nx) sen(mx)dx
Na (2) equação a primeira integral é nula. A segunda é do tipo considerado
anteriormente, e sabemos que é nula para qualquer n = 1, 2,3,...,o último termo é nulo.
O primeiro termo á direita é nulo quando somente n ≠ m, e vale π. Assim, o segundo
membro de (2) é igual à amπ. Já na (3) equação que é do mesmo tipo considerado
anteriormente, o primeiro termo á direita é nulo quando n ≠ m, e vale π quando n = m,
sendo este termo multiplicado por bn, se o segundo membro de (3) vale bnπ, então os
últimos resultados serão:
Escrevendo n em lugar de m nesta fórmula, obtemos a chamada fórmula de Euler:
(a) a 0 = 1 / 2π
(4)
(b) a n = 1 / π
(c) bn = 1 / π
+π
−π
+π
−π
+π
−π
f ( x)dx
f ( x) cos(nx)dx
n = 1,2,3,...
f ( x) sen(nx)dx .
Logo, se dada uma função periódica f(x) de período 2π podemos calcular os
coeficientes an e bn por meio de (4) e formar a série trigonométrica.
a0 + a1cos(x) + b1sen(x) + …+ ancos(x) + bnsen(x) +...
Está série é chamada Série de Fourier que corresponde a f(x) e seus coeficientes
calculados por meio da equação (4), são chamados de coeficientes de Fourier.
8. Aplicação na Morfometria Geométrica.
A morfometria Geométrica (desenho de formas e figuras biológicas) é capaz de
mensurar e identificar fenômenos e também corresponde a um conteúdo extremamente
importante em análise de contorno.
Os contornos fechados apresentam o último ponto em posição igual ao primeiro ponto,
pois estes são mais bem expressos através de coordenadas polares. As coordenadas
polares é uma maneira alternativa de se representar numericamente à posição de um
ponto no plano.
São utilizados os comprimentos de um segmento de reta ligando o ponto á origem do
sistema e o ângulo que este seguimento forma com o eixo x, como descrito nos
teoremas mensurados anteriormente. Estes contornos fechados são representados pelas
funções periódicas, descrevendo o raio(r) em função do ângulo(θ), assim os contornos,
são aqueles em que para cada θ, existe apenas um valor para o raio(r).
A aplicação das Séries de Fourier na Morfometria Geométrica envolve a análise dos
raios igualmente espaçados. A análise de Fourier é utilizada quando o contorno pode
ser descrito pelo comprimento dos raios emanando de um ponto central da
configuração de pontos.
Este contorno e mais bem representado por coordenadas polares que expressam a
posição de cada ponto em relação à origem do sistema, sendo importante definir qual
ponto será utilizado como origem.
As coordenadas polares representam o comprimento de um seguimento de reta ligando
o ponto à origem do sistema e o ângulo que este seguimento forma com o eixo das
abscissas.
Sejam (x, y) as coordenadas retangulares e (θ,r) as coordenadas polares;
x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ),
Logo:
r=
(x
2
)
+ y 2 e o θ = sen −1 ( y / r ) e θ ∈ Ζ
Sendo assim a variação do comprimento do raio(r) em relação ao ângulo (θ) pode ser
descrita pelo polinômio trigonométrico;
(5)
r = a0 +
K
I =1
a n cos(iθ ) + bn sen(iθ ) ,
onde o ângulo θ varia de zero a 2π, e a1 e b1 são os coeficientes de Fourier (amplitude)
para o harmônico i, e k é o número máximo computado (k>p/2). Harmônicas são
curvas senódais com freqüência crescente e amplitude decrescente (no caso da Serie de
Fourier) que vão sendo usadas para descrever a forma de contorno. Figura que
descreve o contorno, inserida num sistema de coordenadas, mostrando os distintos
pontos ao longo do contorno. Sendo assim a aplicação será valida para qualquer figura
desde que se verifique para uma figura qualquer no plano.
9. Aplicação.
Seja o quadrado que representa uma figura de raio igual á cinco, com centro na origem
do plano e pertencente a R2, o contorno da figura será dado por pontos devidamente
enumerados em seqüência crescente, para que seja calculado o coeficiente através da
Série de Fourier.
A primeira figura está inscrita no plano, com o centro na origem, onde os valores para
os raios são respectivamente 5, 5 2 e 5 5 / 2 .
O primeiro gráfico está no inserido no plano com o centro na origem, mostrando os
pontos devidamente enumerados em seqüência crescente. Veja que é muito importante
enumerar os pontos nas extremidades, pois, são estes pontos que conduzem a análise
matemática utilizando o método Séries de Fourier por funções trigonométricas onde se
calculam os coeficientes, analisando sempre o ponto da extremidade com o ângulo que
este forma.
Figura 1. Contorno descrito com numeração e centro na origem.
Figura 2. Representação dos raios e dos 16 pontos partindo da origem até a extremidade.
9.1 Cálculo dos coeficientes por Séries de Fourier.
A variação no comprimento dos raios (r) em relação ao ângulo (θ) pode ser descrita
pelo polinômio trigonométrico (5), que nos fornece a solução dos coeficientes a0 , an e
bn .Para calcular os coeficientes, usaremos o software Maple, pois dispõem de
aplicativos que facilitam os cálculos dos coeficientes e mostra o contorno obtido
através dos pontos.
Estas funções serão então definidas pelo contorno da figura. Como o quadrado possui
quatro lados, conseqüentemente teremos quatros funções definidas paralelamente aos
lados e aos ângulos. Chamaremos de a o eixo x e de b o eixo y, para tal transformação.
Logo:
r = a / cos(θ ),
quando
-π/4 < θ < π/4
r = a / sen(θ ),
quando
π/4 < θ < 3π/4
r = − a / cos(θ ),
quando
3π/4 < θ < 5π/4
r = − a / sen(θ ),
quando
5π/4 < θ < 7π/4
e a função r = a / cos(θ ), para θ > 7π/4.
Sendo, portanto esta a transformação das funções, para cada lado da figura, como
mencionado anteriormente.
r: = 5*piecewise(theta<Pi/4,1/cos(theta),theta<3*Pi/4,1/sin(theta),theta<5*Pi/4,1/cos(theta),theta<7*Pi/4,-1/sin(theta),1/cos(theta));
r := 5
n: = 16;T: =2*Pi;
1
cos ( θ )
1
sin( θ )
1
−
cos ( θ )
1
−
sin( θ )
1
cos ( θ )
1
π
4
3
θ< π
4
5
θ< π
4
7
θ< π
4
θ<
otherwise
n := 16
T := 2 π
Calculo do somatório de a0
a[0]: = evalf((1/T)*int(r,theta=0..2*Pi));
a 0 := 5.610998525
for i from 1 to 16 do
Esta são as funções transformadas para calcular os coeficientes an e bn.
a[i]: = evalf((2/T)*int(r*cos(theta*i),theta=0..2*Pi));
b[i]: = evalf((2/T)*int(r*sin(theta*i),theta=0..2*Pi));
end do;
a 1 := 0.
b 1 := 0.
a 2 := 0.
b 2 := 0.
a 3 := 0.
b 3 := 0.
a 4 := -.7822204946
b 4 := 0.
a 5 := 0.
b 5 := 0.
a 6 := 0.
b 6 := 0.
a 7 := 0.
b 7 := 0.
a 8 := .2467124402
b 8 := 0.
a 9 := 0.
b 9 := 0.
a 10 := 0.
b 10 := 0.
a 11 := 0.
b 11 := 0.
a 12 := -.1170517284
b 12 := 0.
a 13 := 0.
b 13 := 0.
a 14 := 0.
b 14 := 0.
a 15 := 0.
b 15 := 0.
a 16 := .06762854175
b 16 := 0.
Cálculo do somatório de an e bn.
rsol: = a[0]+sum(a[k]*cos(k*theta)+b[k]*sin(k*theta),k=1..n);
rsol := 5.610998525 − .7822204946 cos ( 4 θ ) + .2467124402 cos ( 8 θ )
− .1170517284 cos ( 12 θ ) + .06762854175 cos ( 16 θ )
Gráfico de contorno do quadrado descrito através dos coeficientes (resultado).
> plot([r,rsol],theta = 0..2*Pi,coords=polar,color=[black,red]);
O estudo das Séries de Fourier mostrou sua eficácia na análise dos coeficientes, para
tal basta definir corretamente os pontos ou os lados, a serem calculados de acordo com
a periodicidade que a função descreve. Nos estudos dos coeficientes de Fourier existira
aproximação paras as funções co-seno, seno e para os coeficientes de a0.
10. Considerações Finais
Este artigo foi escrito com o intuito de fazer um estudo sistemático nos conteúdos
matemáticos ensinados na universidade. Estes conteúdos são analisados como
ferramentas que auxilia nos cálculos de problemas, não só na matemática mas também
em outra área do conhecimento. O objetivo foi estudar a aplicação das Séries de
Fourier como um dos métodos matemáticos para descrever contornos de figuras,
ligando ponto a ponto pela aproximação das funções trigonométricas.O estudo do
artigo se concretizou por meses de pesquisa e descobertas analisando todas as
particularidades do método para ao final aplicá-la com total êxito.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente Deus por me conduzir durante toda esta jornada, agradeço
também meu orientador pelo incentivo e apoio na criação do artigo, aos meus pais e
irmãos que são a razão do meu existir, ao meu namorado que tanto admiro e a todos
que indiretamente me conduziram a formação acadêmica.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
CHURCHIL. Séries de Fourier e problemas de valores de Contorno.
2.ed.(traduzido):Ed. Guanabara,1978
KREYSZIG, Herwin. Livros Técnicos e Científicos. 4.ed: Ed. Matemática Superior
RABELO, Leandro Monteiro; FURTADO Sergio dos Reis. Principio de Morfometria
Geométrica: Ed. Hollos, 1997
R.Courani. Calculo Diferencial. 1.ed: Ed. Globo,1963
ANTON; RORRES. Álgebra Linear com aplicação. 8.ed : Ed. Bookman, 2002
BOLDRINI; COSTA, Figueiredo; WETZER. Álgebra Linear. 3.ed: Ed. Harbra ltda.
Ana Paula Pereira([email protected])
Departamento de Matemática, Universidade Católica de Brasília