ESCOLA SECUNDÁRIA DE S. PEDRO DA COVA – 2003/2004
MATEMÁTICA – 12º ANO
FICHA DE TRABALHO INFORMATIVA
Assunto: TRIGONOMETRIA (revisões)
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO
Teorema de Pitágoras
Num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à
soma do quadrado dos catetos:
2
2
AC = AB + BC
2
RADIANO
Um radiano (rad) é a amplitude do ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao
raio da circunferência a que pertence:
1 rad = 57º 17’ 44’’,8
mas, utiliza-se 1 rad =57º
SENO
sen α =
COSENO
cos α
TANGENTE
tg α =
=
comprimento do cateto oposto
comprimento da hipotenusa
π
2
π
3π
2
BC
AC
comprimento do cateto adjacente
comprimento da hipotenusa
comprimento do cateto oposto
comprimento do cateto adjacente
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS
0 ou 2
=
π
2
,π,
=
=
3π
2
AB
AC
BC
AB
, 2π
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
0
1
0
não está definido
1
0
não está definido
0
0
-1
0
não está definido
-1
0
não está definido
0
COTANGENTE
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS
π π π
, ,
6 4 3
SENO
COSENO
TANGENTE
π
1
3
3
6
2
2
3
2
2
4
2
2
3
1
3
2
2
π
π
1
3
3
0
3
3
1
FÓRMULA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
sen 2 x + cos 2 x = 1
OUTRAS FÓRMULAS IMPORTANTES
sen x
tg x =
cos x
cotg x =
1
tg x
=
cos x
1 + tg
sen x
2
x=
1
cos
2
x
1+
1
2
tg x
=
1
sen
2
x
FÓRMULAS QUE PERMITEM A REDUÇÃO DO 2º AO 1º QUADRANTE
π
sen (
cos (
tg (
2
π
π
2
cotg (
2
+ x) = cos x
sen ( π - x) = sen x
+ x) = -sen x
cos ( π - x) = -cos x
+ x) = -cotg x
π
2
+ x) = -tg x
tg ( π - x) = -tg x
cotg ( π - x) = -cotg x
FÓRMULAS QUE PERMITEM A REDUÇÃO DO 3º AO 1º QUADRANTE
3π
sen (
- x) = -cos x
sen ( π + x) =-sen x
2
3π
cos (
- x) = -sen x
cos ( π + x) =-cos x
2
3π
- x) = cotg x
tg ( π + x) = tg x
tg (
2
3π
- x) = tg x
cotg ( π + x) = cotg x
cotg (
2
FÓRMULAS QUE PERMITEM A REDUÇÃO DO 4º AO 1º QUADRANTE
3π
sen (
+ x) = -cos x
sen (2 π - x) = -sen x
2
3π
cos (
+ x) = sen x
cos (2 π - x) = cos x
2
3π
tg (
+ x) = cotg x
tg (2 π - x) = -tg x
2
3π
cotg (
+ x) = -tg x
cotg (2 π - x) = -cotg x
2
OUTRAS FÓRMULAS
π
sen (-x) = -sen x
sen (
cos (-x) = cos x
cos (
tg (-x)=-tg x
tg (
cotg (-x) = -cotg x
cotg (
2
π
π
2
2
- x) = cos x
- x) =sen x
- x) = cotg x
π
2
-x) = tg x
2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO
• Df =
D’f = [ -1, 1 ]
• A função seno é periódica de período 2 : sen (2 + x ) = sen x
• A função seno é uma função ímpar: sen (-x ) = -sen x,
• A função seno é crescente em 0,
• A função seno é decrescente em
π
∧
2
π
2
,
3π
2
x
, 2π
3π
2
• A função seno tem máximo relativo para x =
• A função seno tem mínimo relativo para x =
π
2
3π
2
+ 2k , k
+ 2k , k
• A função seno tem zeros para x = k , k
• A função seno não é injectiva: por exemplo, 0
sen (0) = sen ( )
FUNÇÃO COSENO
• Df =
D’f = [ -1, 1 ]
• A função coseno é periódica de período 2 : cos (2 + x ) = cos x
• A função coseno é uma função par: cos (-x ) = cos x,
x
• A função coseno é crescente em [ , 2 ]
• A função coseno é decrescente em [ 0, ]
• A função coseno tem máximo relativo para x = 2k , k
• A função coseno tem mínimo relativo para x =
• A função seno tem zeros para x =
π
2
+ 2k , k
+k ,k
• A função seno não é injectiva. por exemplo,
π
3π
2
2
cos (
π
2
) = cos (
3π
2
)
FUNÇÃO TANGENTE
\{
π
+k ,k
}
D’f =
2
• A função tangente é periódica de período : tg ( + x ) = tg x
• Df =
• A função tangente é uma função ímpar: tg (-x ) = -tg x,
x
• A função tangente é crescente em todo os intervalos do domínio
• A função tangente tem zeros para x = k , k
0
1º Q
SENO
0
COSENO
1
TANGENTE
0
crescente
positiva
decrescente
positiva
crescente
positiva
π
2
1
0
ND
2º Q
π
3º Q
decrescente
positiva
decrescente
negativa
crescente
negativa
0
decrescente
negativa
crescente
negativa
crescente
positiva
-1
0
3π
2
-1
0
ND
4º Q
crescente
negativa
crescente
positiva
crescente
negativa
3
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen (x) = sen ( )
x = + 2k
cos (x) = cos ( )
tg (x) = tg ( )
x = ( - ) + 2k , k
x = + 2k
x = - + 2k , k
x= +k ,k
NOTAS:
• Dois ângulos dizem-se complementares se a sua soma é um ângulo recto (90º)
• Dois ângulos dizem-se suplementares se a sua soma é um ângulo raso (180º)
• Uma função f de domínio D diz-se periódica de período T quando f (x + T) = f (x),
x
D
• O período positivo mínimo do seno e do coseno é 2 rad (ou 360º)
• O período positivo mínimo da tangente é
rad (ou 180º
As Professoras
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