NOME:
PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores
ANO: 3º
DATA:
REVISÃO – Lista 10 – Funções III
Algumas definições
Função seno: f ( x)  sen x

Gráfico:

Domínio: IR e Imagem: [1,1]
Função cosseno: f ( x)  cos x
 Gráfico:
 Domínio: IR e Imagem: [1,1]
Função tangente: f ( x)  tg x
 Gráfico:




Domínio: IR  k  ; k  Z  e Imagem: IR
2


Nº:
Relações trigonométricas no triângulo retângulo:
senx 
cateto oposto
cateto adjacente
cateto oposto
, cos x 
e tgx 
hipotenusa
hipotenusa
cateto adjacente
E temos também: sec x 
1
1
1
, cos sec x 
e cot gx 
.
tgx
cos x
senx
Circunferência trigonométrica:
Relações importantes em trigonometria:
 Lei dos cossenos:
a 2  b 2  c 2  2bc cos
 Lei dos senos:
a
b
c


 2R
sen  sen  sen 
 Relação fundamental:
sen 2 x  cos2 x  1
sen x
 tg x 
cos x
 cos(x  y)  cos x cos y  sen x sen y
 cos(x  y)  cos x cos y  sen x sen y
 sen( x  y)  sen x cos y  cos x sen y
 sen( x  y)  sen x cos y  cos x sen y
tg x  tg y
 tg ( x  y ) 
1  tg x tg y








tg x  tg y
1  tg x tg y
sen 2 x  2sen x cos x
tg ( x  y ) 
cos 2 x  cos2 x  sen 2 x
2tg x
tg 2 x 
1  tg 2 x
 a b  a b
cos a  cos b  2 cos
 cos

 2   2 
 a b   a b 
cos a  cosb  2sen
sen

 2   2 
 a b  a b
sen a  sen b  2sen
 cos

 2   2 
 a b  a b
sen a  sen b  2 cos
 sen

 2   2 
Exercícios básicos
1. Se

2
 x   e sen x 
1
, determine cos x , tg x , sec x , cossec x e cot g x .
4
2. Se tg x  4 , determine sen 2 x , cos 2 x e tg 2 x .
3. Calcular sen 75 .
4. Resolver tg 2 x  1 .
5. Resolver sen 2 x cos2 x  sen 2 x  cos2 x  1  0 .
Exercícios de Vestibular
3
6. (FUVEST) Sabe-se que x  1 é raiz da equação (cos2  ) x 2  (4 cos sen ) x  sen   0 , sendo
2
 e  os ângulos agudos de um triângulo retângulos tais que    . Pode-se então afirmar que
 e  são, respectivamente:
a)

3
e
8
8
b)


e
6
3
c)


e
4
4
d)


e
3
6
e)
3

e
8
8
7. (FUVEST) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0,2 ] que satisfazem a
equação cos2 2 x 
1
 sen 2 x .
2
8. (FUVEST) A soma das raízes da equação sen 2 x  2 cos4 x  0 no intervalo [0,2 ] , é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 7
1
 
9. (FUVEST) Se  está no intervalo 0,  e satisfazendo sen 4  cos4   , então o valor da
4
 2
tangente de  é:
a)
3
5
b)
5
3
c)
3
7
d)
7
3
e)
5
7
10. (FUVEST) Determine as soluções da equação (2 cos2 x  3sen x)(cos2 x  sen 2 x)  0 que estão no
intervalo [0,2 ] .
11. (FUVEST) O quadrado ao lado tem O como centro e M como o
ponto médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente
aos lados do quadrado, seja  o ângulo MOˆ X , medido em
radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa
a distância de O a X, em função de  , é:
12. (FUVEST) Se tg  2 , então o valor de
a)  3
b) 
1
3
c)
cos 2
é:
1  sen 2
1
3
d)
2
3
e)
3
4
13. (FUVEST) a) Calcule cos3 em função de sen  e cos .
b) Calcule sen 3 em função de sen  e cos .
c) Para 0   

sen 3 cos 3
1
, resolva a equação sen 2  cos  1 
.

2
2
sen 
cos
14. (FUVEST) O dobro do seno de um ângulo  , 0   

2
é igual ao triplo do quadrado de sua
tangente. Logo, o valor de seu cosseno é:
a)
2
3
b)
3
2
c)
2
2
d)
1
2
e)
3
3
15. (FUVEST) Determine os números reais x e y, com 0  x  y   e 0  y   , tais que
1

sen x sen y   4
.

cos( x  y )  cos( x  y )  3

2
16. (FUVEST) Se  é um ângulo tal que 0   
a)
a
1 a2
b)
a
c)
1 a2
1 a 2
a

2
e sen   a , então tg (   ) é igual a:
d) 
1 a 2
a
e) 
1 a 2
a
17. (FUVEST) Ache todas as soluções da equação sen 3 x cos x  3sen x cos3 x  0 no intervalo
[0,2 ) .
18. (FUVEST) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a)
sen 210  cos 210  tg 210
b) cos 210  sen 210  tg 210
c) tg 210  sen 210  cos 210
d) tg 210  cos 210  sen 210
e)
sen 210  tg 210  cos 210
19. (FUVEST) Sendo sen  
a)
sen   sen

3
9

, com 0    , tem-se:
10
2
 sen 2
b) sen

3
 sen   sen 2
sen   sen 2  sen
c)
d) sen 2  sen

3
3
 sen 
sen 2  sen   sen
e)


3
20. (FUVEST) Os números reais sen

12
, sen a e sen
5
formam, nessa ordem, uma progressão
12
aritmética. Então o valor de sen a é:
a)
1
4
3
6
b)
2
4
c)
6
4
d)
e)
3
2
21. (FUVEST) A figura abaixo mostra parte do gráfico da função:
a) sen x
b) 2sen
x
2
22. (FUVEST) O menor valor de
a)
1
6
b)
1
4
c) 2sen x
d) 2sen 2 x
e) sen 2 x
1
, com x real, é:
3  cos x
c)
1
2
d) 1
e) 3
23. (FUVEST) O valor de (tg 10  cot g 10)sen 20 é:
a)
1
2
b) 1
c) 2
d)
5
2
e) 4
24. (FUVEST) Qual dos números é maior? Justifique.
a)
sen 830 ou sen1195
b) cos(535) ou cos190
25. (FUVEST) Determine os valores de x no intervalo ]0,2 [ para os quais cos x  3sen x  3 .
Respostas
15
15
4 15
, tg x  
, sec x  
, cossec x  4 e cot g x   15
4
15
15
1.
cos x  
2.
sen 2 x 
3.
sen 75 
4.
 k

S  
, k Z
4
2


5.
 k

S   ,k  Z
 2

8
15
8
, cos 2 x  
e tg 2 x  
17
17
15
2 6
4
6. D
7.
 3 5 7  5 7 11 
S  , , ,
, , ,
,

4 4 4 4 6 6 6 6 
8. C
9. B
 3 7 5 7 11 
10. S   , ,
, ,
,

4 4 6 4 4 6 
11. A
12. B
13. a) cos3  cos (1  4sen 2 )
b) sen 3  sen (4 cos2   1
 
c) S   
3
14. B
     5 5 
15. S    , ;  
, 
 6 6   6 6 
16. A
4 3 5 
   2
17. S  0, , ,
, ,
, , 
3 2 3 
 3 2 3
18. B
19. D
20. D
21. B
22. B
23. C
24. a) sen 830
b) cos190
3
11 

25. S   x  IR |
x

2
6 
