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MATEMÁTICA E MÚSICA: RELAÇÕES E SUAS
IMPLICAÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Luciana Gastaldi Sardinha Souza1
Dari Toginho2
Fernando Hiroki Kozu3
Karina Tiemi de Melo4
Thais Marcelle de Andrade5
Daiane Gomes6
Ercolle Martelli7
Victor Martins Pedrassoni8
Resumo
Este trabalho visa divulgar modos como as relações entre a Matemática e a Música se mostram,
com ênfase na produção do som, nas suas relações com as Funções Trigonométricas e na
construção das escalas Pitagórica e Temperada.
Palavras - chave: Matemática. Música. Som.
Introdução e Justificativa
Há muito tempo matemáticos se interessam por música e músicos se interessam por
matemática. Pitágoras e Bach podem ser tomados como exemplo desse interesse: Pitágoras criou
uma escala musical por meio de divisões sucessivas de uma corda; Bach escreveu obras repletas
de simetria.
Este mini-curso visa apontar novas práticas pedagógicas para auxiliar a exploração da
música no processo de ensino-aprendizagem.
[email protected] UEL
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Gardner foi o primeiro pesquisador a propor uma visão pluralista da mente, pois defendia
a idéia que as manifestações de inteligência compõem um amplo espectro de competências,
incluindo, além das dimensões lingüística e lógico-matemática, a musical, a corporal-cinestésica,
a espacial, a intrapessoal e a interpessoal.
Com referência à relação música/matemática, Gardner (1994) coloca que esta esteve
presente na época medieval e volta à tona no século XX:
Na época medieval, o estudo cuidadoso da música partilhou muitas
características com a prática da matemática, tais como um interesse em
proporções, padrões recorrentes e outras séries detectáveis. ... Novamente no
século XX _ primeiramente na esteira da música dodecafônica, e mais
recentemente, devido ao amplamente difundido uso de computadores _ o
relacionamento entre as competências musical e matemática foi amplamente
ponderado. A meu ver, há elementos claramente musicais, quando não de “alta
matemática” na música: estes não deveriam ser minimizados. (GARDNER, p.
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Machado (1995), complementa o espectro de competências de Gardner (1994)
acrescentando uma oitava componente, a componente pictórica. Incluindo esta componente, a
inteligência pictórica, Machado propôs um novo espectro de competências ampliado, o qual se
encontra representado a seguir.
Figura 1 - Espectro de Competências Ampliado – Machado (1995)
Este minicurso abordará a ligação Musical-Lógico-Matemática enfatizando os seguintes
tópicos:
•
A produção do som e sua relação com as funções trigonométricas;
•
A construção das escalas Pitagórica e Temperada.
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A produção do Som e as Funções Trigonométricas
O som é o resultado de uma vibração, que se transmite ao meio de propagação,
provocando zonas de maior compressão de partícula e zonas de menor compressão (zonas de
rarefação) de partículas, originando uma onda sonora.
Se quisermos ouvir o som de uma corda, deveremos pinçá-la para que esta saia de sua
posição de equilíbrio e realize movimentos vibratórios, em um certo intervalo de tempo.
Figura 2 - Corda Vibrante.
A amplitude do deslocamento desta corda ao ser pinçada é comparável ao da ordenada de
um ponto P ao percorrer uma circunferência no sentido anti-horário.
Figura 3 - Representação de um ponto P percorrendo uma circunferência.
Este movimento é descrito pela função seno.
sen rad x = ordenada de P
Figura 4 - Função Seno.
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No entanto, a função que buscamos deve representar uma relação entre o deslocamento e
o tempo. Desse modo, se um ponto P percorrer uma circunferência f vezes em um segundo,
teremos que a função y = sen x poderá ser representada por:
y = sen 2πft
Como exemplo, vejamos o gráfico de um som de frequência 15hz:
Figura 5 - Representação gráfica de
y = sen 30πt
A construção das escalas Pitagórica e Temperada
A escala Pitagórica tem esse nome por conta de seu criador, Pitágoras ( VI a. C.).
Esta escala foi construída a partir da divisão de uma corda em duas, três e quatro partes iguais.
Provavelmente a escolha destas divisões deve-se à influência dos números 1,2,3 e 4 (Tetractys),
números estes que, de acordo com a crença dos Pitagóricos, poderiam construir o universo.
Devido a essas divisões, os primeiros intervalos obtidos, a partir do som fundamental
(consideremos o dó3, por exemplo), foram, nesta ordem: a oitava (metade da corda), a quinta
(dois terços da corda) e a quarta (três quartos da corda), que estão representadas a seguir pelas
notas dó4, sol e fá, respectivamente, na notação atual:
As outras notas da escala podem ser obtidas a partir de uma progressão de quintas.
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A freqüência do som produzido para cada nota é proporcional ao inverso do comprimento
da corda, a partir da freqüência da nota fundamental. Para as notas obtidas anteriormente, e
considerando a freqüência do som fundamental igual a 1, as freqüências serão:
Se continuarmos com a progressão de quintas, obteremos a escala cromática Pitagórica,
reduzindo-se sempre os intervalos compostos a intervalos simples. Um intervalo composto é
aquele que ultrapassa o limite de uma oitava9.
DÓ3
f = 1;
SOL3
3 3
= ;
2 2
3 3
9
f = × ÷2= ;
2 2
8
9 3 27
f = × =
;
8 2 16
27 3
81
f =
× ÷2 =
;
16 2
64
81 3 243
f = × =
;
64 2 128
243 3
729
f =
× ÷2=
;
128 2
512
RÉ 3
LÁ 3
MI3
SI3
FÁ 3#
9
f = 1×
Uma oitava é o intervalo entre oito notas sucessivas de uma escala.
6
729 3
2187
× ÷2 =
;
512 2
2048
2187 3 6561
f =
× =
;
2048 2 4096
6561 3
19683
f =
× ÷2=
;
4096 2
16384
19683 3 59049
f =
× =
;
16384 2 32768
59049 3
177147
f =
× ÷2 =
;
32768 2
131072
177147 3 531441
f =
× =
;
131072 2 262144
DÓ3#
f =
SOL3#
RÉ3#
LÁ3#
MI3#
SI3#
A freqüência de Si3# deveria ser equivalente à de Dó4, posto que existe meio
tom entre a nota si e a nota dó, ou seja, si# deveria ser equivalente à dó. No entanto,
Si3#→ f =
531441
≅ 2,027286
262144
Dó4→ f = 2
A diferença entre elas, que equivale à relação
2,027286
= 1,013643 ,
2
dá-se o nome de coma pitagórico.
Dessa forma, podemos concluir que a escala pitagórica, baseada nos intervalos de quintas e
quartas, não "fecha" seus valores em algumas notas, como pode-se ver claramente no caso da
oitava, onde o valor da freqüência do som está 1,36 % acima do valor desejado. Tal limitação
foi percebida pelos músicos e estudiosos da antiguidade, e algumas alternativas foram
propostas. Uma alternativa encontrada foi construir uma escala igualmente distribuída em 12
partes no intervalo de oitava, a qual foi denominada de escala temperada. Para obter as suas
freqüências, foram inseridos 12 termos geométricos entre o som fundamental e a sua oitava,
equivalentes às 12 notas da escala. Para obter a razão, toma-se as freqüências da primeira
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(nota dó1, frequência=1) e da última nota da escala (nota dó2, freqüência=2). Pela fórmula
do termo geral de uma PG, temos que:
Para se obter a freqüência dos sons sucessivos da escala, portanto, multiplica-se a
freqüência, a partir do som fundamental, por
12
2.
A tabela a seguir mostra a freqüência de algumas notas nas escalas pitagórica e
temperada.
Notas Pitagórica Temperada
DÓ
1
1
RÉ
1,125
1,122
MI
1,265
1,259
FÁ
1,333
1,334
SOL
1,5
1,489
LÁ
1,687
1,681
SI
1,898
1,887
DÓ
2
2
As músicas ocidentais são, em sua maioria, escritas na escala temperada. Esta utilização foi
necessária para unificar a afinação dos instrumentos.
Esperamos que este minicurso estimule os estudantes a buscarem uma maior compreensão
das relações entre a matemática e a música.
Referências Bibliográficas
GARDNER, H. Estruturas da Mente: a Teoria das Inteligências Múltiplas. Trad.Sandra Costa.
Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1994.
MACHADO, N.J. Epistemologia e Didática: as concepções de conhecimento e inteligência e a
prática docente Cortez Editora. São Paulo, 1995.