Capítulo 4: Derivada
Capítulo4:Derivada
Parte1
¾ Aretatangente;
A reta tangente
¾Aderivadadeumafunçãonumponto;
ç
p
¾ Aderivadadeumafunção;
¾ Exemploseexercícios.
Aretatangente(contextogeométrico):
Exemplos:
Aderivadadeumafunçãonumponto:
ç
p
Aderivadadeumafunção:
Uma outra notação utilizada para representar a derivada é:
Umaoutranotaçãoutilizadapararepresentaraderivadaé:
Exemplos:
Continuidadedefunçõesderiváveis:
Teorema:Todafunçãoderivávelnumpontox1 écontínua
nesteponto.
MAS,f(x)sercontínuaemx1 nãoimplicaaexistênciade
f’(x1).
Capítulo4:Derivada
Parte2
¾ Regrasdederivação;
¾ Derivadadafunçãocomposta
Regrasdederivação:
1. Função constante:
2 Regra
2.
R
d Potência:
da
P tê i
3. Derivada de uma constante por uma função:
4. Derivada da soma de funções:
5. Derivada do produto de funções:
5. Derivada do quociente de funções:
a)
b)
Exercícios...
DerivadadeFunçãocomposta:
6. Regra da Cadeia
Exemplos:
a)
b)
Exemplos:
c)
Podemosresumirasproposiçõesanterioresnaseguintetabeladederivadas:
Capítulo4:Derivada
Parte3
¾Derivadasdefunçõeselementares;
¾ Derivadassucessivas.
Derivadasdasfunçõeselementares:
Exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
1.Derivada da função exponencial:
2.Derivada da função logaritmica:
3.Derivada da função exponencialcomposta:
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Derivadas das funções trigonométricas:
seno e cosseno
Função Seno:
Função Cosseno:
Derivadasdasdemaisfunçõestrigonométricas:
E
Exemplos:
l
Determinar a derivada das seguintes funções:
a)
b)
c))
d)
e)
f)
DerivadasSucessivas
Seja fuma função definidanumcertointervalo.Asuaderivadaf´ é
umafunção,definidanomesmointervalo.Podemos,portanto,pensarna
derivadadafunçãof´ derivável.
Definição:Sejafumafunçãoderivável.Sef´ tambémforderivável,então
asuaderivadaéchamadadederivadasegundadefeérepresentadapor
d i d é h
d d d i d
d d f é
t d
f´´ .
S f ´´ éumafunçãoderivável,suaderivada,representadaporf´´´,
Sef´´
é
f ã d i á l
d i d
d
f ´´´
échamadadederivadaterceiradavariáveldafunçãoinicial.
Aderivada deordem nou nͲésima derivada def,representada por
f(n) ,éobtida derivandoͲseaderivada deordem nͲ1def.
Exemplos:
(i) Sef(x)=3x2 +8x+1,então
f ´(x)
f
(x)=6x+8e
= 6x + 8 e
f´´(x)=6
(ii) Se
Sef(x)
f(x) =tg(x),então
tg(x) então
f´(x)=sec2(x)e
f´´(x)=2sec(x).sec(x).tg(x)
=2sec2(x).tg(x)
Maisexemplos: