1
Universidade Federal do Paraná
UFPR
Estudo de Gráficos de Funções através de
Softwares Gráficos e Geométricos
Amanda Rosa Liria Machado
Ingrid Mariana Rodrigues de Lima
Simone Venturi
Curitiba
2011
2
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 3
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU ....................................................... 4
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 2º GRAU ....................................................... 5
GRÁFICOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................... 6
FUNÇÃO SENO .......................................................................................... 6
FUNÇÃO COSSENO ................................................................................... 6
FUNÇÃO TANGENTE ................................................................................. 7
GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS ................................................. 9
GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ............................................... 10
SOFTWARES GEOMÉTRICOS.................................................................... 11
IGEOM ....................................................................................................... 11
CABRI-GEOMETRE .................................................................................. 11
GEOGEBRA 4.2 ........................................................................................ 12
SOFTWARES GRÁFICOS ............................................................................ 15
WINPLOT .................................................................................................. 15
GRAPH 4.3 ................................................................................................ 15
GRAFEQUATION ...................................................................................... 16
PRIMEIRA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA ........... 21
SEGUNDA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GRAFEQ ................ 33
CONCLUSÃO ................................................................................................... 35
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 36
3
INTRODUÇÃO
Em uma era de tecnologia e comunicação é fundamental que os alunos
se familiarizem com o computador e com programas específicos para
aprofundar mais e melhor sua aprendizagem Matemática. Como, por exemplo,
numa resolução de problemas, onde o aluno pode se concentrar mais nos
métodos, nas estratégias, nas descobertas, no relacionar logicamente idéias
matemáticas e na generalização do problema, deixando os cálculos para que a
máquina execute.
O objetivo a ser alcançado com este material é fazer com que o aluno
visualize os diferentes gráficos das Funções de 1º e 2º Graus, Trigonométricas,
Exponenciais e Logarítmicas, compreendendo o significado dos coeficientes e
do comportamento dessas funções.
Como metodologia abordada tem-se a utilização de Softwares
Geométricos e Gráficos. Primeiramente considerações serão feitas sobre três
Softwares Geométricos, com uma ênfase no Software Geogebra, que será
utilizado em uma primeira atividade, onde os alunos devem investigar o
comportamento dos diversos gráficos das funções propostas, respondendo a
um questionário. Em seguida, tem-se breves abordagens sobre três Softwares
Gráficos, com um aprofundamento no Software GrafEquation, que também
será utilizado em uma segunda atividade, onde os alunos devem construir uma
figura, apresentada inicialmente, utilizando somente gráficos de funções.
4
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU
Diz-se função do 1º grau qualquer função, f de IR em IR, do tipo f(x) = y
= ax + b, com a e b reais, sendo a≠0.
O gráfico da função do 1º grau é representado por uma reta onde a é o
coeficiente angular, responsável pela inclinação da reta com relação ao eixo
Ox, e b é o coeficiente linear da reta, ordenada do ponto onde a reta corta o
eixo Oy. Além disso, o coeficiente a determina se a reta será crescente ou
decrescente a partir do seu sinal:
Quando a> 0 a reta é crescente.
Quando a< 0 a reta é decrescente.
5
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 2º GRAU
A função do segundo grau, também denominada função quadrática, é
definida pela expressão do tipo f(x) = y = ax² + bx +c, com a, b e c ϵ IR e a ≠ 0.
No caso de b e/ou c serem iguais a zero, a função será considerada
incompleta.
O gráfico de uma função do 2º grau é representado por uma parábola:
Quando a> 0 a concavidade da parábola fica voltada para cima e seu
vértice representa o menor ponto da função.
Quando a< 0 a concavidade da parábola fica voltada para baixo e seu
vértice representa o maior ponto da função.
6
GRÁFICOS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO
Chamamos de função seno a função f(x) = sen(x), que associa a cada
número real x, o seu valor correspondente para seno, f: R →R, f(x) = sen(x).
O domínio da função é definido nos reais e sua imagem pertence ao
intervalo [-1,1], uma vez que a circunferência trigonométrica possui raio unitário
 -1 ≤ sen(x) ≤ 1.
Sinal da função: como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do
arco, temos que:
F(x) = sen(x) é positiva no primeiro e segundo quadrante (ordenada
positiva)
F(x) = sen(x) é negativa no terceiro e quarto quadrante (ordenada
negativa)
O gráfico da função seno é representado por uma curva chamada
senóide.
FUNÇÃO COSSENO
Chamamos de função seno a função f(x) =cos(x), que associa a cada
número real x, o seu valor correspondente para seno, f: R → R, f(x) = cos(x).
7
Assim como na função sem(x), o domínio da função é definido nos
reais e sua imagem pertence ao intervalo [-1,1], uma vez que a circunferência
trigonométrica possui raio unitário  -1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Sinal da função:
F(x)=cos(x) é positiva no 1º e 2º quadrantes (abscissa positiva)
F(x)=cos(x) é negativa no 3º e 4º quadrantes (abscissa negativa)
Seu gráfico será definido pela curva denominada co-senóide.
FUNÇÃO TANGENTE
Chamamos de função tangente a função f: E → R que a cada número x
ϵ E, com E ={ x ϵ R / x ≠ (½)π + kπ, k ϵ Z} associa a tangente desse número f:
E → R, f(x) = tg(x). O domínio dessa função é E e sua imagem é R.
Sinal da função:
F(x)= tg(x) é positiva no 1º e 3º quadrantes (produto da ordenada pela
abscissa positiva)
F(x) = tg(x) é negativa no 2º e 4º quadrantes (produto da ordenada pela
abscissa negativa).
O gráfico da função tangente é chamado tangentóide, e se apresenta a
seguir:
8
9
GRÁFICOS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
A função exponencial pode ser definida como a inversa da função
logarítmica natural, y = f(x) = aᵡ, com a > 0 e a ≠1.
No gráfico de uma função exponencial podemos dividir sua construção
em dois casos: a>1 e 0<a<1.
Para a> 1:
Para 0 < a < 1:
10
GRÁFICOS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logᵦx, com ß≠1 e ß > 0,
é denominada função logarítmica de base ß. Neste tipo de função temos que o
domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o
contradomínio, o conjunto dos reais.
Gráfico da função:
Para podermos construir o gráfico da função logarítmica, devemos
analisar dois casos: ß>1 e 0<ß< 1.
Para ß>1:
Para 0<ß<1:
11
SOFTWARES GEOMÉTRICOS
Neste capítulo vamos abordar três softwares Geométricos, dos quais
dois são softwares gratuitos, incluindo uma breve abordagem sobre a utilização
do Software Geogebra, o qual será utilizado na Primeira Atividade proposta
posteriormente.
IGEOM
iGeom é um software para ensino de geometria que utilizam a
interatividade
para
facilitar
o
aprendizado
de
conceitos matemáticos.
Desenvolvido sob supervisão do professor Leônidas de Oliveira Brandão, do
Instituto de Matemática e Estatística (IME) da USP, o iGeom é uma ferramenta
gratuita para ensinar de maneira ativa e interativa, que pode ser usado no
ensino fundamental, médio e superior. Por intermédio do programa é possível,
por exemplo, determinar a localização do ponto médio, estudar as funções de
seno, cosseno, tangente, modelos matemáticos, algoritmos e recorrências (que
é uma única figura repetida várias vezes em pontos específicos).
Este software de Geometria Interativa é livre (gratuito) e ainda é um
programa escrito na linguagem de programação Java, e portanto funciona em
qualquer plataforma.
O
download
do
software
pode
ser
encontrado
no
link
http://www.matematica.br/igeom/instala.html.
CABRI-GEOMETRE
O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras
da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e
de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar
conservando as propriedades que lhes haviam sido atribuídas. Essa
possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos os
casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de fatos
12
geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além da manipulação
dinâmica e imediata das figuras.
O Cabri permite ao professor criar livremente atividades para suas
aulas, ele é assim caracterizado como um software aberto. Ele pode ser
utilizado desde o primário até a Universidade em diversas áreas como
Matemática, Física e Desenho Artístico por exemplo.
O download do software Cabri-Geometre pode ser encontrado no link
http://www.cabri.com/download-cabri.html.
GEOGEBRA 4.2
O Geogebra é um software de matemática dinâmica que pode ser
utilizado em educação matemática nas escolas do ensino fundamental, médio
e superior que reúne geometria, álgebra e cálculo. Este software pode auxiliar
na organização do pensamento do aluno quando ele se depara com objetos
matemáticos.
Este software permite realizar construções com pontos, vetores,
segmentos,
retas,
seções
cônicas
bem
como
funções
e
mudá-los
dinamicamente depois. Do ponto de vista da Álgebra, permite inserir equações
e coordenadas diretamente. Assim, o Geogebra tem a habilidade de tratar das
variáveis como de funções e oferece comandos como Raízes ou Extremos.
Por fim, é um software em português e livre (gratuito) para o ensino e a
aprendizagem da matemática, então é permitido copiar e distribuir o aplicativo
para fins não comerciais.
O download do software Geogebra pode ser encontrado no link
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR.
13
Vamos utilizar este software na versão 4.2 para desenvolver a
atividade 1, onde os alunos devem verificar em cada tipo de função qual a
mudança que ocorre quando os coeficientes são alterados.
Para entender melhor seu funcionamento, vamos explorar um pouco
dos recursos que serão utilizados na atividade 1. A área de trabalho possui um
sistema de eixos cartesianos onde o usuário faz as construções geométricas
com o mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes
são mostradas na janela de álgebra. O campo de entrada de texto é usado
para escrever coordenadas, equações, comandos e funções diretamente e
estes são mostrados na área de trabalho imediatamente após pressionar a
tecla Enter.
No caso da atividade que será desenvolvida, é preciso saber como
digitar corretamente as funções no campo entrada.
Em Funções do Primeiro Grau devem ser escritas da seguinte maneira:
y=ax+b ou f(x)=ax+b ou ax+b, onde a e b são os coeficientes.
Em Funções do Segundo Grau: y=ax^2+bx+c, onde a, b e c são os
coeficientes.
14
Em Funções Trigonométricas: Seno: y=sin(x); Cosseno: y= cos(x);
Tangente: y= tan(x).
Em Funções Exponenciais: y=a^x.
Em Funções Logarítmicas: Logaritmo natural (base e): ln(x ) ou log(x );
Logaritmo (base 2): ld(x ); Logaritmo (base 10): lg(x).
Em Funções Modulares: y=abs(x), tendo abs significando como valor
absoluto.
Para alterar os coeficientes nas funções já plotadas no gráfico, basta
na janela de álgebra (à esquerda) dar dois cliques na função e mudar o valor
desejado.
15
SOFTWARES GRÁFICOS
Neste capítulo tem-se uma breve abordagem sobre três Softwares
Gráficos, onde o Software GrafEquation será utilizado para realizar a Segunda
Atividade proposta posteriormente.
WINPLOT
Como ferramenta didática para o ensino da Geometria Analítica (plana
e espacial), o Winplot é o software mais completo. Além da versão original, em
inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português.
Uma de suas vantagens é a de ser um “programa leve”, ou seja, funciona em
computadores antigos também, sem perder sua eficiência ou rapidez, pode ser
usado em todos os níveis educacionais e possui recursos que variam de uma
simples função de 1º grau, até funções do 3º grau integrais de todos os tipos. O
software plota gráficos e possui uma interface gráfica muito boa que dispensa
que os usuários decorem comandos para utilizá-lo. O Winplot é um freeware, o
que significa que é gratuito, e ainda mais cabe em um disquete.
O download do software Winplot pode ser encontrado no link
http://www.winportal.com.br/winplot.
GRAPH 4.3
O software Graph suporta uma ampla variedade de funções já
integradas (seno, co-seno, tangente, logaritmo, raiz quadrada, fatorial, etc.),
que podem ser feitas em diferentes cores e estilos de linha. Assim, elas são
facilmente distinguidas uma das outras. Sombras e pontos também podem ser
colocados em todo o sistema de coordenadas.
As funções podem ser salvas como um arquivo gráfico, impressa ou
exportada para outros softwares. O software Graph permite ainda que se
realizem alguns cálculos baseados na função representada no desenho. E para
16
resolver uma função, é só clicar na aba Função e digitar na caixa inserir
função.
O software além de ser um programa de fácil manipulação, é livre
(gratuito).
O download do software Graph 4.3 pode ser encontrado no link
http://www.padowan.dk/graph/Download.php.
GRAFEQUATION
O GrafEq é um software Educacional intuitivo, flexível e preciso para
produzir gráficos de relações implícitas. Foi projetado para nutrir um
entendimento visual forte da Matemática, fornecendo um criador de gráficos de
equações e inequações de figuras planas.
Este software é somente gratuito para testar, e seu diferencial é sua
capacidade para lidar com equações e outras relações além de funções, algo
alem do pálido para apresentar graficamente calculadoras e sistemas de
álgebra computacional.
O download do software GrafEq pode ser encontrado no link
http://www.peda.com/download/.
Vamos utilizar este software para desenvolver uma atividade na qual o
aluno deve montar uma figura, fornecida pelo professor, utilizando somente
gráficos de funções.
Para entender melhor seu funcionamento, vamos explorar um pouco
dos
recursos
que
serão
utilizados
na
atividade.
A
interface
do GrafEq apresenta duas janelas principais, Relation e Easy Buttons, como na
figura abaixo.
17
18
Abaixo temos um índice com o significado de algumas abas
encontradas nas figuras anteriores.
1) Janela na qual será inserida uma relação entre variavéis x e y: para
inserir uma restrição você pode pressionar Tab ou ; (ponto e vírgula).
2) Janela de restrições, onde podemos estabelecer intervalos para os
valores das variáveis x e y.
3) Easy
Buttons:
janela
que
apresenta
símbolos
matemáticos
necessários para a construção de algumas relações, como por exemplo ≠, ≥, ≤,
π. Se a janela 2 não estiver visível, basta seguir o caminho: Relation - Easy
buttons.
4) Altera as dimensões do gráfico (tamanho),
modificando as
extremidades dos eixos x e y.
5) Altera as dimensões da janela de visualização do gráfico.
6) Para "criar" o gráfico basta clicar em Create.
19
7) Janela do Gráfico.
8) View Tools: ferramentas que alteram o gráfico. Nessa janela, você
pode alterar as cores do gráfico, além da possibilidade de fazer o gráfico
desaparecer ou aparecer, selecionando as relações desejadas. A opção Blend
ativada permite uma fusão das cores de imagens sobrepostas no gráfico.
Exemplo: Para inserir uma equação ou inequação matemática na
janela de Relações Algébricas, basta digitar no campo “please enter a relation”
a relação desejada. Na figura a seguir, temos uma região determinada pela
circunferência
.
Podemos inserir uma restrição, tanto para a variável x quanto para a
variável y. Para isso, com o cursor posicionado na janela de relações
algébricas, utilize a tecla Tab do seu teclado. Se, no exemplo acima, quisermos
restringir os valores da variável y, podemos inserir, por exemplo, a restrição -2
< y < 2, obtendo o gráfico a seguir.
20
Podemos utilizar estes recursos do software e as equações e
inequações matemáticas para fazer desenhos, como na atividade 2 proposta.
21
PRIMEIRA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Resolva as questões do 1 ao 5 utilizando o Software Geogebra como
auxílio na construção e observação dos gráficos.
1) Faça as atividades a seguir, as quais envolvem Funções do 1º grau.
a) Construa o gráfico da função f(x) = x
b) Construa o gráfico da função g(x) = x + 1
22
c) O que ocorre quando adicionamos uma unidade à função f(x) = x?
Resposta: A reta que representa a função é deslocada uma unidade
para cima, com relação ao eixo das ordenadas.
d) E se subtraíssemos uma unidade da função f(x) = x o que ocorreria?
Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico.
Resposta: A reta que representa a função seria deslocada uma
unidade para baixo, com relação ao eixo das ordenadas.
e) Construa o gráfico da função h(x) = 2x
f) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável x da função f(x) = x?
Resposta: A reta que representa a função aumenta sua inclinação com
relação ao eixo das abscissas.
g) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: A inclinação da reta aumentaria ainda mais, tendo como
referência a função f(x)=2x.
23
h) Seja a função f(x) = ax + b. Como as constantes “a” e “b” interferem
no gráfico dessa função?
Resposta: A constante “a” interfere na inclinação da reta com relação
ao eixo das abscissas e a constante “b” interfere no deslocamento da reta com
relação ao eixo das ordenadas e na ordenada do ponto com relação a Y.
2) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções do 2º Grau.
a) Construa o gráfico da função f(x) = x² + x - 6
b) Construa o gráfico da função g(x) = x² + x +2
24
c) O que ocorre quando adicionamos oito unidades à função f(x) =
x²+x-6?
Resposta: O termo livre (ou coeficiente constante) resultante é 2, o
que altera a altura da parábola de -6 para 2 (ordenada no ponto em Y).
d) E se subtraíssemos uma unidade da função f(x) = x² + x - 6 o que
ocorreria? Tente responder intuitivamente, sem a construção do gráfico.
Resposta: O termo constante resultante seria -7 e, conseqüentemente,
seria a altura onde a parábola cortaria o eixo Y (ordenada no ponto do eixo das
abscissas).
e) Construa o gráfico da função h(x) = x² + 3x - 6
f) O que ocorre ao multiplicar-se a variável x da função f(x) = x² + x - 6?
Resposta: A parábola “declina” com relação ao eixo das ordenadas,
para a esquerda.
25
g) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: A parábola “declinaria” para a direita, com relação ao eixo
Y.
h) Construa o gráfico da função h(x) = 2x² + x - 6
i) O que ocorre ao multiplicarmos por 2 a variável x² na função f(x) = x²
+ x - 6?
Resposta: A abertura da parábola fica mais “estreita” decorrente do
aumento da velocidade das imagens de x.
j) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem esboçar o gráfico.
Resposta: A abertura da parábola focaria ainda mais “estreita”.
k) Construa o gráfico da função i(x) = -2x² + x – 6
26
l) O que ocorre ao multiplicarmos por -2 a variável x² da função f(x) = x²
+ x - 6?
Resposta: A parábola passa a apresentar a concavidade voltada para
baixo e sua abertura mais “estreita”.
m) E se multiplicássemos por -4, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: A concavidade da parábola continuaria voltada para baixo e
sua abertura diminuiria (ficaria ainda mais estreita).
n) Seja a função f(x) = ax² + bx +c. O que as constantes “a”, “b” e “c”
interferem no gráfico dessa função?
Resposta: A constante “a” interfere na velocidade de aumento (ou
decréscimo) da função quadrática a partir do vértice, a constante “b” interfere
na declividade da parábola de acordo com o eixo Y, e a constante “c” interfere
27
na altura da parábola com relação ao eixo Y, uma vez que determina onde a
parábola corta o eixo das ordenadas.
3) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções
Exponenciais.
a) Construa o gráfico da função f(x) = 2ᵡ
b) Construa o gráfico da função g(x) = 3.2ᵡ
28
c) O que ocorre quando multiplicamos por 3 a função f(x) = 2ᵡ?
Resposta: A gráfico da função corta o eixo y na altura 3.
d) E se multiplicássemos por 4, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: O gráfico da função cortaria o eixo das ordenadas na altura
4, por se tratar da ordenada do ponto no eixo Y.
e) Construa o gráfico da função h(x) = 5ᵡ.
f) O que ocorre ao trocarmos por 5 a base da exponencial?
Resposta: O gráfico “cresce” mais rapidamente, com relação ao eixo y.
g) E se trocássemos por 7, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: O gráfico cresceria ainda mais rápido, com relação ao eixo
Y.
29
h) Seja a função f(x) = a.bᵡ. O que as constantes “a” e “b” interferem no
gráfico dessa função?
Resposta: A constante “a” interfere na velocidade com que há o
crescimento (ou decrescimento) do gráfico com relação ao eixo das ordenadas
e a constante “b” determina se a função é crescente ou decrescente.
4) Faça as questões a seguir, as quais envolvem Funções Logarítmicas
.
a) Construa o gráfico da função f(x) = log(x)
b) Construa o gráfico da função g(x) = 4log(x)
30
c) O que ocorre quando multiplicamos por 4 a função f(x) = log(x)?
Resposta: O gráfico apresenta um afastamento do eixo X, significando
que há uma diminuição da “velocidade” de crescimento do gráfico com relação
ao eixo X.
d) E se multiplicássemos por 8, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: O gráfico que representa a função se afastaria ainda mais
do eixo das abscissas, representando uma diminuição maior da “velocidade” de
crescimento do gráfico.
e) Construa o gráfico da função h(x) = log (2x)
f) O que ocorre ao multiplicarmos o x por 2?
Resposta: A posição onde o gráfico corta o eixo x é alterado, no caso
é deslocado mais para a esquerda, se aproximando de zero.
31
g) E se trocássemos por -3, o que ocorreria com o gráfico? Tente
responder sem construir o gráfico.
Resposta: O gráfico da função seria invertido, com relação ao eixo x, e
a posição onde o gráfico cortaria x seria mais próxima à zero, sendo a
aproximação feita pela esquerda.
h) Seja a função f(x) = a.log(bx). O que as constantes “a” e “b”
interferem no gráfico dessa função?
Resposta: A constante “a” interfere na velocidade de crescimento (ou
decrescimento) da função e a constante “b” interfere na posição onde o gráfico
corta o eixo das abscissas além de determinar é crescente ou decrescente.
5) Agora, utilizando os métodos que utilizamos para as demais
funções, chegou sua vez de descobrir o que as constantes “a”, “b” e “c”
interferem no gráfico das seguintes funções trigonométricas:
a) f(x) = a.sen(bx+c)
Resposta: A constante “a” causa mudança na inclinação do gráfico da
função sendo que, quando a>1 a inclinação aumenta e quando 0<a<1 a
inclinação diminui. Se a é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação
ao eixo das abscissas, quando comparado ao gráfico da função oposta. A
constante “b” muda o período da função alterando assim a abertura de cada
“onda” da senóide, estreitando o gráfico à medida que o valor de b aumenta. A
constante “c” causa uma transladação do gráfico com relação ao eixo das
abscissas de -c unidades.
b) g(x) = a.cos(bx+c)
Resposta: Da mesma forma que na função seno, a constante “a” irá
causar uma mudança na inclinação do gráfico da função visto que, quando a>1
32
a inclinação aumenta e quando 0<a<1 a inclinação diminui. Se a é negativo, o
gráfico sofre uma reflexão com relação ao eixo das abscissas, quando
comparado ao gráfico da função oposta. A constante “b” muda o período da
função alterando assim a abertura de cada “onda” da cossenóide, estreitando o
gráfico à medida que o valor de b aumenta. A constante “c” irá interferir no
deslocamento do gráfico com relação ao eixo das abscissas de -c unidades.
c) h(x) = a.tg(bx+c)
Resposta: A constante “a” causa uma mudança na inclinação do
gráfico da função. Quando a>1 a inclinação aumenta e quando 0<a<1 a
inclinação diminui. Para a é negativo, o gráfico sofre uma reflexão com relação
ao eixo horizontal, considerando-se o gráfico da função oposta. A constante “b”
provoca uma mudança no período da função. A constante “c” provoca uma
translação do gráfico com relação ao eixo horizontal de -c unidades do gráfico
da função f(x)=a.tg(bx+c).
33
SEGUNDA ATIVIDADE: UTILIZANDO O SOFTWARE GRAFEQ
Utilizando o conhecimento adquirido até aqui sobre funções e a
influência que suas respectivas constantes causam na construção de seus
gráficos (como pode ser analisado na atividade anterior) construa a imagem
abaixo, no software GrafEq, utilizando as funções que julgar necessário. E vale
lembrar que é necessário delimitar as funções para criar o desenho desejado.
(desenho CASA)
Resolução para a construção da casa:
Para a construção da grama foi utilizado o gráfico da Função
Trigonométrica Seno com a seguinte forma
.
Para a construção da árvore foram utilizados os gráficos de
Exponencial na forma
com
e
(tronco esquerdo) e
34
com
e
(tronco direito), e ainda o gráfico de
Circunferência na forma
para a cúpula.
Para a montanha foi utilizado o gráfico de Função de Segundo Grau
na forma
com
.
E para terminar, na construção da casa foram utilizados gráficos de
Função do Primeiro Grau onde
com
e
com
.
35
CONCLUSÃO
A linguagem gráfica permite uma melhor visualização e compreensão
de conteúdos Matemáticos, levando em consideração as dificuldades de alunos
com tal manipulação e interpretação. A Geometria permite ligar a Matemática e
a Arte, como visto na elaboração da atividade no Software GrafEquation,
tratando do tema funções chamando a atenção para a importância da
linguagem gráfica, levando em consideração a possibilidade de compreender a
manipulação dos gráficos fazendo desse uso aulas mais dinâmicas e
concretas, utilizando como objeto de aprendizagem os softwares gráficos e
geométricos sugeridos.
A concretização desta apostila nos permitiu perceber o quanto a
formação matemática dos alunos no Ensino Médio é insuficiente, pelo menos
em relação aos aspectos relacionados ao estudo de gráficos de funções e
utilização de softwares. Normalmente este estudo é feito somente na questão
algébrica, onde os gráficos são apresentados apenas como uma possibilidade
de representação da lei algébrica, quase sempre feito a partir de tabelas
numéricas com pontos magicamente sugeridos pelo professor. Porém com este
material e sugestão de atividades, o aluno pode concretizar as idéias que já
conhece sobre funções utilizando os softwares sugeridos, podendo não
somente criar diversos desenhos com gráficos, mas também interpretar os
gráficos, sendo muito importante para a compreensão do conteúdo de gráfico
de funções.
36
BIBLIOGRAFIA
http://ftp.multimeios.ufc.br/~geomeios/geogebra/manual.htm
http://www.peda.com/
http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midias_digitais_II/modulo_III/recursos3
3.html
http://mandrake.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/tche/grapheq.htm
http://www2.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/tais_aline/atividades.htm
http://www.gregosetroianos.mat.br/
http://www.geogebra.org/cms/pt_BR
http://celcoluiz.wordpress.com/prd-tutoriais/
http://www.nre.seed.pr.gov.br/cascavel/modules/conteudo/conteudo.php?conte
udo=36
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABP1MAJ/tutorial-geogebra