Programa de Pós-Graduação Sticto Sensu
Mestrado em Ensino de Ciências
Campus Nilópolis
Marcelo Alberto Vieira de Macedo Junior
TÓPICOS ATUAIS EM FÍSICA QUÂNTICA:
das ondas de matéria à realidade quântica
Nilópolis - RJ
2012
.
Marcelo Alberto Vieira de Macedo Junior
TÓPICOS ATUAIS EM FÍSICA QUÂNTICA:
das ondas de matéria à realidade quântica
Dissertação apresentada como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de
mestre em Ensino de Ciências.
Orientador: Prof. Dr. João Alberto Mesquita Pereira.
Nilópolis - RJ
2012
Marcelo Alberto Vieira de Macedo Junior
TÓPICOS ATUAIS EM FÍSICA QUÂNTICA:
das ondas de matéria à realidade quântica
Dissertação apresentada como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de
mestre em Ensino de Ciências.
Data de aprovação: 11 de outubro de 2012.
Prof. Dr. João Alberto Mesquita Pereira (Presidente)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ)
Campus Nilópolis
Prof. Dr. Alexandre Lopes de Oliveira
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro (IFRJ)
Campus Nilópolis
Prof.ª Dr.ª Ana Mónica Ferreira da Silva Napole Rodrigues
Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO)
Prof. Dr. Jose Abdalla Helayël Neto (Suplente)
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF)
Nilópolis - RJ
2012
DEDICATÓRIA
Aos meus pais Sandra e Marcelo e ao meu irmão Matheus pelo incentivo recebido
ao longo destes anos. Obrigado pelo amor, carinho e atenção sem reservas.
À Anna Caroline de Almeida Salles pelo amor e carinho libertos de seus braços
e de suas palavras, imprescindíveis nos momentos de incerteza e aflição. Agradeço pela
caminhada conjunta realizada nesses últimos meses, pela paciência e, principalmente, por
compreender a minha ausência em muito momentos.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. João Alberto Mesquita Pereira, orientador desta dissertação, agradeço pelo incentivo, dedicação e, principalmente, pela paciência durante a elaboração
deste trabalho. Agradeço pelas valiosas contribuições dadas não somente ao trabalho em
si, mas à vida. Agradeço, acima de tudo, por estimular o meu interesse pelo conhecimento
e pela vida acadêmica.
Aos docentes do Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências (PROPEC) do IFRJ - Campus Nilópolis que tanto se dedicaram para toná-lo uma referência
em qualidade. A todos, obrigado pela oportunidade de aprender com vocês.
Aos colegas de turma, agradeço pelas palavras de apoio e incentivo durante os
momentos de angústia e aflição, em especial, aos colegas professores de física: Leonardo de
Almeida Prata, Luciano Sebastião de Castro Silva, Ramsés Rufino de Oliveira e Vinícius
Munhoz Fraga.
EPÍGRAFE
“Man’s mind, once stretched by a new idea, never regains its original dimensions.”
(Oliver Wendell Holmes)
MACEDO JUNIOR, M. A. V. Tópicos atuais em física quântica: das ondas de matéria
à realidade quântica. 99 p. Dissertação. Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em
Ensino de Ciências, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro
(IFRJ), Campus Nilópolis, Nilópolis, RJ, 2012.
RESUMO
Apesar de a mecânica quântica (MQ) ser indiscutivelmente uma das teorias fundamentais mais bem sucedidas da física, as dificuldades de compreensão de seus fundamentos
são lendárias. Além da estranheza causada por sua natureza paradoxal, a forma como
a MQ é apresentada aos estudantes, tem por base, a aprendizagem de métodos matemáticos de resolução de casos típicos, com pouca ou nenhuma discussão relacionada às
suas bases filosóficas mais fundamentais. Além do mais, entre as diferentes interpretações
existentes para a teoria quântica, a interpretação de Copenhague é a única que figura
nos livros-textos mais comumente utilizados. A interpretação ortodoxa, como também é
conhecida, demanda sete postulados fundamentais para produzir resultados. Nem todos
estes postulados estão de acordo com as noções de localidade, causalidade e mesmo de
realidade do bom-senso comum. Daí vem o estranhamento do aprendiz e, até mesmo, do
físico experiente em relação à MQ. Outras interpretações para a teoria dos quanta possuem características similares à ortodoxa, porém, em contra partida, oferecem respostas
mais satisfatórias a respeito dos fenômenos quânticos, necessitando de menos postulados
para produzir explicações semelhantes. Neste trabalho, alguns elementos de uma dessas
interpretações são apresentados. É o caso da teoria quântica de David Bohm, onde a
função de onda possui um duplo papel, dinâmico e cinemático, evidenciado quando se
escrevem a equação de Schrödinger na forma hamiltoniana. O objetivo deste trabalho é o
de apresentar questionamentos relevantes à interpretação ortodoxa da mecânica quântica
e contribuir para a quebra deste ciclo vicioso que tem se constituído o ensino desta disciplina com a introdução da interpretação Bohmiana como complemento curricular para
os cursos de mecânica quântica.
Palavras-chave: Mecânica Quântica. Interpretação de Copenhague. Interpretação Bohmiana. Ensino de Física.
MACEDO JUNIOR, M. A. V. Tópicos atuais em física quântica: das ondas de matéria
à realidade quântica. 99 p. Dissertação. Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em
Ensino de Ciências, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro
(IFRJ), Campus Nilópolis, Nilópolis, RJ, 2012.
ABSTRACT
Although quantum mechanics (QM) is unarguably one of the most successful fundamental
theories of physics, difficulties in understanding their fundamentals are legendary. Besides the awkwardness caused by his paradoxical nature, the way how QM is presented to
students, is based on the learning of mathematical methods for solving typical cases, with
little or no discussion related to their most fundamental philosophical bases. Moreover,
between the different interpretations of the quantum theory, the Copenhagen interpretation is the only interpretation that is presented in the textbooks most commonly used.
The orthodox interpretation, as it is also known, demand seven fundamental postulates to
produce results. Not all of these assumptions are consistent with the notions of locality,
causality and even reality of common good sense. Hence the strangeness of the learner
and even the experient physicist in relation to QM. Other interpretations of quantum
theory have similar characteristics to the Orthodox, but in counterpart, offer more satisfactory answers about the quantum phenomena, requiring less postulated to produce
similar explanations. In this work, some elements of these interpretations are presented.
This is the case of quantum theory of David Bohm, where the wave function has a dual
role, dynamic and kinematic, evidenced when the Schrödinger’s equation is writing in
the Hamiltonian form. The objective of this work is to present relevant questions to the
orthodox interpretation of quantum mechanics and to help in break of this vicious cycle that has constituted the teaching of this discipline with the introduction of Bohmian
interpretation as a complement for quantum mechanics courses.
Keywords: Quantum Mechanics. Copenhagen Interpretation. Bohmian Interpretation.
Physics Teaching.
LISTA DE FIGURAS
2.1
Sistema de coordenadas: (a) cartesianas - com coordenadas tridimensionais (x1 , x2 , x3 )
e versores 1̂, 2̂, 3̂ e (b) esféricas - com coordenadas tridimensionais (r, θ, φ) e
n
o
versores r̂, θ̂, φ̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2
2.3
Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas polares. . . . . . . .
3.1
Difração de elétrons. P1 e P2 representam, respectivamente, as distribuições
33
Trajetória descrita por uma partícula livre x = x2 e y = x3 . . . . . . . . . . . . 39
de probabilidade dos elétrons quando se tem somente a fenda 1 ou 2 abertas.
Quando as duas fendas são abertas simultaneamente tem-se a distribuição de
probabilidade representada por P12 . Adaptado de Feynman, Leighton e Sands
(1965). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
46
Representação ondulatória de uma partícula de acordo com o postulado de De
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Superposição de duas ondas harmônicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Broglie para as ondas de matéria.
3.3
3.4
O transporte de energia feito por i) uma onda clássica ii) uma partícula clássica
e iii) uma partícula-onda ou partícula quântica. A energia é emitida a partir do
ponto O em todos os casos. Observadores em pontos diametralmente opostos a
O (pontos A e B) perceberão a chegada da energia em suas respectivas posições
de diferentes maneiras. A onda clássica, cuja frente de onda está representada
em i (círculo de cor preta), será percebida nas duas posições A e B. A partícula
clássica carrega a energia em apenas uma direção. Assim, a energia carregada
por ela só poderá ser percebida em apenas um dos pontos (A não B). No caso
ilustrado em ii, a partícula deixa O em direção a A de forma que não haverá
possibilidade de percebê-la em B. Já a partícula quântica segue uma distribuição
de probabilidades ditada por Ψ (x, t), cuja frente de onda está representada em iii
(círculo de cor cinza). Com isso, ela pode ser percebida em qualquer um dos dois
pontos referidos na figura já que a função de onda é não nula em cada um deles
(A ou B). A mecânica quântica não nos diz como prever onde a partícula será
percebida, ela diz respeito somente à dinâmica seguida pela função de onda. iv)
Se a partícula quântica for percebida em A, a função de onda perde sua extensão
espacial e passa a ficar concentrada em torno de A instantaneamente. . . . . . .
3.5
55
Poço de potencial infinito de largura a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1
4.2
4.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
(a) Evolução de um pacote de ondas (b) medida Bohmiana (c) medida ortodoxa. 73
Conexão entre teoria e realidade. Retirado e adaptado de (BLUMEL, 2010) . . . 76
Princípio da Complementaridade.
9
5.1
(a) Partícula livre movendo-se com velocidade ~vx . (b) Partícula confinada a
mover-se entre as posições x = a e x = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Diagramas ilustrativos da função de onda e do potencial quântico para os estados
estacionários do poço quadrado infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
78
83
Caminho variado. A função y(x) é o caminho que torna o funcional J um extremo. Qualquer função vizinha à função y(x) pode ser escrita na forma genérica
y(x) + αη(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
LISTA DE TABELAS
1.1
1.2
1.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Contribuições para o desenvolvimento da mecanica quântica. . . . . . . . . . . 25
A medida quântica na visão ortodoxa, realista e agnóstica. . . . . . . . . . . . . 26
3.1
3.2
Valores médios para a posição, momento e energia cinética. . . . . . . . . . . .
56
Exemplos de aplicações da equação de continuidade na física. . . . . . . . . . . 58
5.1
5.2
5.3
Teste de continuidade para ψn .
LDB de 1996 e PCN de 2000.
Teste de continuidade para
Teste de continuidade para
ψn0 .
ψn00 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
1.1 O IMPACTO DA MECÂNICA QUÂNTICA NA SOCIEDADE CONTEMPORÂNEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Panorama da física no ensino médio . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Panorama da física no ensino superior . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Contribuição da proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS, FILOSÓFICOS E METODOLÓGICOS DO
DESENVOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA . . . . . . . . . .
1.2.1 Primórdios da teoria quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 "Idade média" da teoria quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 A crise quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 A mecânica quântica moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 O ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Justificativa do projeto de mestrado . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
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14
15
16
17
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18
19
20
23
24
26
29
2 AS BASES DA MECÂNICA CLÁSSICA
2.1 O PARADIGMA DA MECÂNICA CLÁSSICA E AS LEIS DE NEWTON
2.2 COORDENADAS GENERALIZADAS E A EQUAÇAO DE EULERLAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas polares
2.2.2 Mudança de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Tratamento da partícula livre em coordenadas polares . . . . . . . .
2.3 LEIS DE CONSEVAÇÃO NA FORMULAÇÃO LAGRANGEANA DA
MECÂNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA DA MECÂNICA . . . . . . . . . .
31
31
3 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
3.1 RELAÇÕES DE EINSTEIN-DE BROGLIE . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 CONSTRUÇÃO DO PACOTE DE ONDAS . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 A INTERPRETAÇÃO DA FUNÇÃO DE ONDA . . . . . . . . . . . . .
3.5 DENSIDADE DE CORRENTE DE PROBABILIDADE . . . . . . . . .
3.6 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO . .
3.7 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER - O POÇO QUADRADO INFINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
32
33
35
37
40
43
45
. 45
. 48
.
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.
51
54
56
58
. 62
4 DAVID BOHM E A TEORIA QUÂNTICA
4.1 A FORMA POLAR DA FUNÇÃO DE ONDA . . . . . . . . . . .
4.2 A PARTE REAL E O POTENCIAL QUÂNTICO . . . . . . . . .
4.3 A PARTE IMAGINÁRIA E A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE
4.4 ALGUMAS COMPARAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 PARADOXO EPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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65
66
69
71
72
74
5 APLICAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA BOHMIANA
78
5.1 CASO ESTACIONÁRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 ETAPAS DE ELABORAÇÃO DA DISSERTAÇÃO E DO PRODUTO
DIDÁTICO
86
Referências Bibliográficas
91
I
95
O CÁLCULO VARIACIONAL
II PUBLICAÇÕES
99
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 O IMPACTO DA MECÂNICA QUÂNTICA NA SOCIEDADE CONTEMPORÂNEA
O século passado foi um período marcado por grandes inovações científicas e tecnológicas. No campo da tecnologia, não há dúvidas que a invenção do computador, da
Word Wide Web (WWW), do laser, do transistor entre outros, certamente transformaram o cotidiano do planeta em definitivo. A natureza do funcionamento destes aparatos
tecnológicos, que já incorporamos ao nosso dia-a-dia, está ligada a alguns dos conceitos
revolucionários estabelecidos pelas inovações científicas ocorridas na virada do último século. É o caso dos fenômenos que se manifestam em escalas diminutas, denominados
fenômenos quânticos. Estima-se que na última década, cerca de 30% da economia mundial, de algum modo, dependiam da compreensão dos fenômenos quânticos, ou seja, da
mecânica quântica (MQ) (TUDO. . . , 1999). Com o advento de novas tecnologias como
a de objetos nano-estruturados, que seguem a MQ rigorosamente, este número tende a
aumentar.
A MQ está presente no funcionamento de diversos aparelhos, desde os circuitos
integrados encontrados em praticamente todos os dispositivos eletrônicos, até a utilização
da física nuclear nos tratamentos e diagnósticos em medicina. Além da física, pode-se
dizer que a MQ está relacionada com quase todo campo de conhecimento científico atual
como astronomia, química, biologia, medicina e engenharias, e, mais ainda, com campos
de desenvolvimento futuros como a nanotecnologia e a computação quântica.
Como será visto ao longo desse trabalho, esta situação de rápida evolução tecnológica e científica, contrasta com a estagnação do ensino dessa disciplina. Além da
estagnação educacional, uma preocupação adicional com este tema é a de que, em geral,
essa disciplina tem sido tratada pelo ensino de maneira excessivamente pragmática. Isso
acaba causando uma formação conceitual muitas vezes deficitária, para os padrões de
conhecimento atuais, nos profissionais que devem lidar com os fenômenos quânticos. O
desenvolvimento de material didático para o ensino de mecânica quântica foi, portanto
escolhido como principal tarefa deste trabalho. A escolha dos tópicos aqui desenvolvidos
foi pensada de modo a fornecer atualização conceitual e formal de temas relacionados à
mecânica quântica. Enfim, este trabalho se dirige, principalmente, a formação continuada
de professores de física e também aos entusiastas deste assunto. Um diagnóstico panorâmico do ensino de tópicos relacionados à física quântica no ensino médio e superior é
apresentado no restante desta seção.
14
1.1.1
Panorama da física no ensino médio
Apesar de todas as inovações alcançadas no século XX, o ensino praticado nas salas
de aula do ensino médio, hoje em dia, se refere quase que exclusivamente aos conteúdos
da física desenvolvida até o século XIX, neste caso, da física clássica. Em geral, a física
do século XX, dita física moderna, que compreende a física dos fenômenos quânticos e a
relatividade, é tratada como uma curiosidade e apresentada na forma de leituras suplementares. Ainda que um rápido exame dos livros didáticos costumeiramente utilizados
para o ensino de física corrobore esta observação (GASPAR, 2009; MAXIMO; ALVARENGA,
2010), vale a pena observar o que alguns autores dizem sobre o assunto.
Campos e Veiga (2009) consideram que
[...] A não presença da Física Moderna e Contemporânea (FMC) no
Ensino Médio (EM) das escolas públicas é uma falha grave, já que na
sociedade atual é imprescindível que o aluno tenha este conhecimento
para envolver-se com o desenvolvimento tecnológico que está vivenciando
[...]. (CAMPOS; VEIGA, 2009, p. 2)
Em outro artigo, publicado no começo da década de 90, Terrazzan (1992) vai mais
longe afirmando que:
[...] A prática escolar usual exclui tanto o nascimento da ciência, como
a entendemos, a partir da Grécia Antiga, como as grandes mudanças no
pensamento científico ocorridas na virada deste século e as teorias daí
decorrentes. A grande concentração de tópicos se dá na física desenvolvida aproximadamente entre 1600 e 1850 [...]. (TERRAZZAN, 1992, p.
209)
Percebe-se claramente uma imensa defasagem histórica e filosófica entre o desenvolvimento e o ensino das ciências físicas. Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007) também
apontam para esta defasagem, definindo-a como causadora de uma visão retrógada da
física. Enfim, pode-se dizer que o ensino médio atual deixa a impressão que a física
corresponde a algo centrado em roldanas, planos inclinados, circuitos elétricos resistivos,
lentes etc, ou seja, a um conjunto de conhecimentos arcaicos e despossuídos de (ou de
pouca) serventia do ponto de vista tecnológico. O resultado disso é que, no mundo inteiro,
a abordagem dada pelo ensino de física aos seus conteúdos oferece uma visão inadequada
de seu real papel no desenvolvimento científico e tecnológico (CHAVES; SHELLARD, 2007).
Ainda segundo Terrazzan (1992)
[...] A influência crescente dos conteúdos de Física Moderna e Contemporânea para o entendimento do mundo criado pelo homem atual, bem
como a inserção consciente, participativa e modificadora do cidadão neste
mesmo mundo define, por si só, a necessidade de debatermos e estabelecermos as formas de abordar tais conteúdos [...]. (TERRAZZAN, 1992,
p. 210)
15
Nesse sentido, e no caso do ensino médio, Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007, p.
447) afirmam que o ensino de Física “[...] se distancia cada vez mais das necessidades dos
alunos no que diz respeito ao estudo de conhecimentos científicos mais atuais [...]”.
1.1.2
Panorama da física no ensino superior
Durante os dois primeiros anos do ensino superior, também é a física clássica que
domina o conteúdo programático dos cursos, tanto de licenciatura, quanto de bacharelado
em física. Neste período, denominado ciclo básico, as disciplinas de física são compartilhadas por estudantes de várias áreas como engenharias, matemática e química. Grande
parte do conteúdo de física aprendido no ensino médio é revisto com um teor conceitual
aprofundado e o requinte do cálculo diferencial e integral. Isto é necessário para que a
descrição dos fenômenos físicos se aproxime da realidade do mundo. Com a introdução
dessas novas ferramentas matemáticas, pode-se, por exemplo, descrever o movimento de
um projétil sem que a resistência do ar, ignorada no ensino médio, seja desprezada.
É somente a partir do terceiro ano da graduação, etapa que recebe o nome de ciclo
profissional, que tópicos da física moderna, e de MQ, começam a figurar nas ementas dos
cursos de física. Deve-se notar que neste segundo momento do curso superior as disciplinas
da física são cursadas apenas pelos estudantes da física. Em uma publicação organizada
pela Sociedade Brasileira de Física em 20051 , Chaves e Shellard (2007) analisam esta
situação que é apontada como problemática em dois níveis. Os autores afirmam que, num
primeiro momento
[...] o problema é mais grave nas disciplinas de física básicaa – geralmente, as únicas oferecidas aos estudantes de engenharia e de outras
ciências –, o que contribui para o desprestígio da física frente ao público
educado. [...] Tópicos como relatividade e física quântica, que já completam um século, são classificados como física moderna e quase omitidos
nas ementas da física básica [...]. (CHAVES; SHELLARD, 2007, p. 222)
a
Entende-se como física básica o conjunto de disciplinas cursadas no
ciclo básico.
Vê-se que a problemática citada pelos autores é similar à apontada na seção 1.1.1
sobre o ensino médio. Novamente, um exame dos livros-texto tradicionalmente utilizados
no ensino superior (NUSSENZVEIG, 2002; HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2008; MOSCA;
TIPLER, 2009) corrobora estas observações. A segunda conclusão do trabalho é que “[...]
em relação à física contemporânea, tópicos como estrutura da matéria, campos de força,
cosmologia, caos, complexidade, materiais, física computacional e outros, são pouco enfatizados, mesmo no ciclo profissional da graduação em física [...]”. Mais ainda,
2005 foi o ano internacional da física em homenagem aos 100 anos da publicação dos trabalhos de
Einstein sobre a relatividade, o efeito fotoelétrico entre outros.
1
16
Nos cursos de licenciatura em física, a desconsideração da física moderna
e contemporânea é muito grave, já que os professores formados para o
ensino médio não estão preparados para mostrar essa disciplina como
algo interessante e cuja validade de conteúdo é digna de consideração.
(CHAVES; SHELLARD, 2007, p. 223)
Finalmente, o ensino da física moderna, tanto no nível médio, quanto no superior,
não tem se adequado às exigências da legislação (BRASIL, 1996, 2000) conforme se vê na
transcrição da Tabela 1.1 abaixo.
Tabela 1.1: LDB de 1996 e PCN de 2000.
Ensino médio
Ensino superior
Inciso I, do § 1º, do artigo 36 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, no
que se refere ao “domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna”, e nos Parâmetros Curriculares Nacionais, “[...] as novas tecnologias [...] exigem que a escola possibilite aos
alunos integrarem-se ao mundo contemporâneo [através] da aprendizagem de concepções científicas atualizadas do mundo
físico e natural [...]”.
Incisos I e VI, do artigo 43 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional: “estimular [...] o desenvolvimento do espírito
científico e do pensamento reflexivo” e “estimular o conhecimento dos problemas do
mundo presente [...]”.
1.1.3
Contribuição da proposta
Com o intuito de reduzir as lacunas existentes no currículo de física, pelo menos no
que se refere à abordagem de tópicos de física moderna e contemporânea, tanto no nível
universitário quanto no ensino médio, o número de publicações na área tem crescido nos
últimos anos, como relatam Mcdermott e Redish (1999) e ainda Pereira e Osterman (2009).
Outros trabalhos se traduzem na confecção de material didático sobre tópicos de física
moderna e contemporânea voltado para o ensino médio (BARRETO, 2009; BALTHAZAR;
OLIVEIRA, 2010).
De acordo com Campos e Veiga (2009), a atualização do currículo de física é um
esforço necessário, mas não suficiente. Para que possamos contemplar um ensino de física atento aos problemas do mundo presente, as mudanças não devem se restringir ao
currículo. Em outras palavras, não basta acrescentar mais capítulos nos livros didáticos. É preciso criar um corpo docente preparado e motivado para o entendimento da
física de forma plena. Um professor bem formado e atualizado torna-se peça fundamental
na aproximação do corpo discente com as pesquisas científicas que são feitas hoje, podendo, inclusive, despertar vocações em muitos estudantes para a carreira científica. Tal
sentimento, também é compartilhado por Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007):
17
Não basta introduzir novos assuntos que proporcionem análise e estudos
de problemas mais atuais se não houver uma preparação adequada dos
alunos das licenciaturas para esta mudança e se o profissional em exercício não tiver a oportunidade de se atualizar. Os professores precisam ser
os atores principais no processo de mudança curricular, pois serão eles
que as implementarão na sua prática pedagógica. (OLIVEIRA; VIANNA;
GERBASSI, 2007, p. 448)
No que se refere à mecânica, por exemplo, Campos e Veiga (2009) afirmam que a
cinemática galileana e a mecânica newtoniana são mantidas como temáticas principais nas
aulas de física, apesar do impacto estrondoso da teoria quântica e da mecânica relativística
no campo científico mundial e na tecnologia moderna. Entretanto, devemos observar que
o mundo percebido pela espécie humana é predominantemente clássico, o que justifica
plenamente o ensino da física clássica em todos os níveis do ensino.
Apesar do exposto acima, o domínio da física clássica como física aprendida não é
errado ou prejudicial. No entanto, o claro descompasso entre a física ensinada e a física
praticada atualmente, leva a uma estagnação do ensino. Oliveira, Vianna e Gerbassi
(2007, p. 447) e Campos e Veiga (2009) apontam para a falta de capacitação adequada
dos professores como um dos motivos que ocasionam a ausência de discussões de tópicos
atuais nas salas de aula. Evidentemente, não desejamos algo assim, já que a dinâmica
atual da sociedade solicita de seus cidadãos um grau de informação cada vez maior além
da capacidade de adaptação aos novos conhecimentos.
Em suma, não se deve deixar de dar atenção à física clássica, porém o tratamento
de conteúdos atuais da física no ensino, de forma generalizada (nível médio, licenciaturas
e bacharelados), é importante, se não vital, para que se possa estabelecer o progresso do
conhecimento científico e desfrutar das novas tecnologias que ainda estão por vir. É importante que se ressalte, mais uma vez, a importância da atualização, da não-estagnação
e da formalização conceitual dos profissionais que atuam no ensino de física. Nesse contexto, espera-se que a produção de um módulo didático, contendo atualizações históricas
sobre a mecânica quântica e trazendo questionamentos atuais sobre esta disciplina, possa
contribuir para o avanço no ensino de física praticado na atualidade.
1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS, FILOSÓFICOS E METODOLÓGICOS DO DESENVOLVIMENTO DA MECÂNICA QUÂNTICA
Nesta seção pretende-se esclarecer alguns conceitos-chaves relativos ao desenvolvimento histórico da mecânica quântica enquanto disciplina em quatro momentos. Neste
sentido, tal abordagem visa complementar e aprofundar os conhecimentos adquiridos na
graduação necessários para que desenvolvimentos futuros possam ser mais bem compreendidos.
18
1.2.1
Primórdios da teoria quântica
A mecânica quântica consiste no estudo de sistemas físicos cujas dimensões são
equivalentes, ou menores, à da escala atômica, como é o caso dos sistemas envolvendo
átomos e suas partículas constituintes, moléculas e fótons. Na grande maioria dos livrostexto sobre mecânica quântica e, portanto, dos respectivos cursos, a teoria é apresentada
aos estudantes dentro de uma perspectiva histórico-cultural, começando com a hipótese
dos quanta. Tal hipótese foi formulada no ano de 1900, quando o físico alemão Max
Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), estudava a chamada radiação de corpo negro2 (ou
radiação térmica). A motivação desse estudo era relacionada ao problema da iluminação
pública. Havia um debate sobre a adoção da luz elétrica em detrimento do uso de lâmpadas a gás naquela época. Assim, houve um esforço de vários laboratórios destinado a
encontrar um padrão universal que pudesse ser usado para comparar esses dois tipos de
iluminação. Este padrão era exatamente o do corpo negro e, conseqüentemente, esse tipo
de radiação foi muito bem estudado do ponto de vista experimental (ZEILINGER, 2005).
Não obstante, o modelo clássico de emissão de radiação térmica é incapaz de explicar uma
das características mais marcantes dessa radiação: a denominada catástrofe do ultravioleta. A teoria clássica prevê que uma grande quantidade de raios UV seria emitida por
um corpo negro enquanto a observação experimental era exatamente a oposta. Em seu
artigo “Sobre a Teoria da Lei de Distribuição de Energia do Espectro Normal ”, Planck
propôs que, na natureza, a energia assume valores discretos, ou seja, não é gerada ou
absorvida de forma contínua, mas sim em pequenos “pacotes” denominados quanta 3 . A
adoção do modelo dos quanta para a luz era contra-intuitiva do ponto de vista da física
clássica, entre outras coisas por que na teoria clássica a energia luminosa não depende da
freqüência da luz, enquanto na suposição do quantum de Planck a energia e a freqüência
da luz são proporcionais. No entanto, o quantum explicava com extrema precisão matemática a catástrofe do ultravioleta. O próprio Planck resumiu seu trabalho como um
“ato de desespero” para possibilitar uma explicação, ainda que puramente numérica, desse
fenômeno natural (EISBERG; RESNICK, 1994) como pode ser visto no trecho de sua leitura
ao receber o Prêmio Nobel.
Quando uma radiação incide em um corpo opaco, parte é refletida e parte é absorvida. Os corpos
de cor clara refletem a maior parte da radiação visível incidente, enquanto os corpos escuros são bons
absorvedores. A radiação absorvida pelo corpo causa o aumento da energia cinética dos átomos que o
constituem, fazendo-os oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. Como a temperatura de um corpo
é determinada pela energia cinética média de seus átomos, a absorção de radiação faz a temperatura
do corpo aumentar. Os átomos ao oscilarem, põem seus elétrons também em oscilação. De acordo com
a teoria eletromagnética, partículas carregadas aceleradas emitem radiação. Neste caso, a emissão de
radiação pelos átomos causa a redução de sua energia cinética e, conseqüentemente, da temperatura do
corpo. Um corpo que absorve toda a radiação incidente é chamado de corpo negro ideal. Assim, um corpo
que é um bom absorvedor de radiação também é um bom emissor.
3
A palavra quanta tem origem latina e representa o plural de quantum.
2
19
[...] Se a fórmula da radiação [de corpo negro] fosse provada como sendo
absolutamente acurada, ela ainda seria uma feliz escolha para uma interpolação de valor limitado [...] ou o quantum da ação seria uma quantidade ficcional, e então toda a dedução da lei de radiação seria ilusória,
e não seria nada além de uma manipulação de fórmulas vazias e sem
significado, ou a derivação desta lei era baseada em sólidas bases físicas
[...] neste caso, o quantum de ação deveria ter um papel fundamental na
física [...]. (PLANCK, 1918, tradução nossa)a
a
O texto em língua inglesa é: “ [. . . ] If the [thermal] radiation formula
should prove itself to be absolutely accurate, it would still only have, within
the significance of a happily chosen interpolation formula, a strictly limited
value [...] either the quantum of action was a fictional quantity, then the whole
deduction of the radiation law was in the main illusory and represented nothing
more than an empty non-significant play on formulae, or the derivation of the
radiation law was based on a sound physical conception [...] in this case the
quantum of action must play a fundamental role in physics [. . . ].”
Outros momentos históricos importantes no desenvolvimento inicial da teoria quântica, como a explicação de Einstein para o efeito fotoelétrico, a hipótese de De Broglie
sobre o dualismo partícula-onda e o modelo do átomo de hidrogênio formulado por Bohr,
são devidamente discutidos num curso superior sobre física quântica. Até este momento, o
ensino da mecânica quântica é baseado na apresentação de modelos semi-empíricos para a
explicação de fenômenos associados à luz e a partículas diminutas como elétrons e átomos.
Enfim, trata-se de uma descrição de fatos históricos, que pode ser classificada como uma
aprendizagem mecânica segundo Ausubel4 . O objetivo é o de embasar uma nova estrutura
conceitual necessária para o entendimento de estudos mais avançados. A fenomenologia
quântica, por assim dizer, é dessa forma utilizada para incutir nos estudantes a noção do
quantum ou, em linguagem mais moderna, do dualismo partícula-onda. Costuma-se usar
também o termo onda de matéria para designar uma partícula-onda. Deve-se mencionar
nesse momento que o conceito de partícula-onda, além de contra-intuitivo, é uma contradição lógica (PESSOA-JUNIOR, 2004) já que, entre outras coisas, partículas e ondas
possuem muitas propriedades que são mutuamente excludentes.
1.2.2
"Idade média" da teoria quântica
O passo seguinte de um curso superior de mecânica quântica é formalizar matematicamente uma equação que possa descrever os fenômenos associados ao comportamento
dinâmico de um quantum. Para tanto, introduz-se a noção matemática do pacote de
ondas, mais comumente chamado de função de onda, e, finalmente apresenta-se a equaQuando o conteúdo escolar a ser aprendido não consegue ligar-se a algo já conhecido, ocorre o que
Ausubel chama de aprendizagem mecânica, ou seja, quando as novas informações são aprendidas sem
interagir com conceitos relevantes pré-existentes na estrutura cognitiva. Assim, o indivíduo passa a
memorizar fórmulas e leis passivamente até acostumar-se com os novos conceitos e aprender a manipulálos (PELIZZARI et al., 2001-2002).
4
20
ção de Schrödinger5 . Além disso, é necessário dar uma interpretação para a função de
onda 6 . Os estudantes são então apresentados à interpretação probabilística da função
de onda, definida por Max Born, e ao princípio da incerteza de Heisenberg, inerente ao
uso do pacote de ondas como descrição do movimento. Entretanto, o pioneiro na elaboração de um arcabouço conceitual lógico e consistente para a mecânica quântica foi
o físico dinamarquês Niels Henrik David Bohr (1885-1962) que, no início do século XX,
ocupava o cargo de diretor do Instituto de Física Teórica da Universidade de Copenhague, Dinamarca. Por esse motivo, sua teoria quântica ficou conhecida como Interpretação
de Copenhague 7 . Além da contribuição para a descrição do átomo de hidrogênio, Bohr
formulou o princípio da complementaridade segundo o qual os aspectos, corpuscular e
ondulatório, de uma partícula-onda não podem ser observados simultaneamente sendo,
portanto, complementares. Isso resolvia a contradição lógica embutida no conceito do
quantum e dava um sentido concreto à interpretação probabilística de Born. Mais ainda,
este princípio era o elemento que faltava para dar sentido à teoria quântica.
A idéia, por traz do que se chama o princípio da complementaridade, é a de que
o aspecto ondulatório da partícula-onda define sua propagação, exibindo interferência e
difração, de maneira análoga à de uma onda clássica que se distribui no espaço. É claro que
uma partícula não pode estar distribuída pelo espaço, pela própria definição de partícula,
que é a de um objeto bem localizado. A conciliação entre onda e a partícula é feita dandose um caráter puramente probabilístico à onda. Assim a propagação da onda define regiões
onde a partícula poderá ser encontrada. Já quando a partícula-onda interage com algum
objeto, ou quando ocorre uma medição, é o aspecto corpuscular que domina. A interação
provoca uma mudança súbita na onda de probabilidade, já que, com a medição realizada,
tem-se a certeza de se ter encontrado a partícula-onda, antes incógnita, numa posição
bem definida. Com isso, a partícula-onda é percebida numa medição como uma partícula
apenas, pois a onda de probabilidade acaba por se concentrar na posição da partícula.
Esta é uma descrição sucinta do chamado colapso da função de onda, que pode ser visto
De acordo com Bloch (1976), a motivação que levou à elaboração de uma equação que fosse capaz de
representar as ondas de matéria de De Broglie surgiu de um questionamento que Debye fez a Schrödinger
ao final de um colóquio em 1926. Debye comentou que quando era estudante de Sommerfeld ele tinha
aprendido que, para lidar adequadamente com ondas, tinha que existir uma equação de onda. Schrödinger,
evidentemente, pensou um pouco mais sobre a idéia e, depois de poucas semanas, apresentou-se em um
novo colóquio iniciando com as seguintes palavras: “Meu colega Debye sugeriu que deve-se ter uma
equação de onda; bem, eu encontrei uma!”
6
A operacionalização da função de onda Ψ (x, t) tem sido a base dos cursos de mecânica quântica.
Entretanto, o mistério acerca do real significado de tal função perdura até os dias de hoje. Até mesmo
Schrödinger viu-se atormentado por seus resultados como mostra o poema escrito por Erich Hückel, Felix
Bloch e outros durante um passeio de barco no verão de 1926 (BLOCH, 1976):
5
Erwin with his psi can do
Calculations quite a few.
But one thing has not been seen:
Just what does psi really mean?
7
Erwin com sua [função de onda] psi pode fazer
Cálculos muito poucos.
Mas uma coisa não tem sido vista:
Apenas o que psi realmente significa?
Alguns livros-textos se referem à Interpretação de Copenhague como Interpretação Ortodoxa.
21
como uma das conseqüências do princípio da complementaridade e, constitui, um dos sete
postulados fundamentais da teoria quântica. O exemplo padrão de complementaridade,
abordado em muitos livros-texto, é o do experimento de difração com fenda dupla para
um feixe de elétrons onde os aspectos apresentados acima são exaustivamente discutidos
(COHEN-TANNOUDJI; DIU; LALOë, 1977; EISBERG; RESNICK, 1994; TIPLER; LLEWELLYN,
2006).
Nesse ponto, a compatibilidade experimental e a estrutura lógica alcançadas pela
teoria quântica eram suficientemente concisas para esta merecer um status tão alto quanto
o das leis de Newton. Isto pode ser percebido na fala de Heisenberg em um curso por ele
ministrado na universidade de Chicago em 1930:
[...] Nenhuma mudança essencial nos princípios da mecânica quântica
aconteceu desde os estudos conclusivos de Bohr em 1927, e muitos novos experimentos têm confirmado importantes conseqüências da teoria.
A proposta desse livro me parecerá alcançada se ele contribuir para a
difusão do espírito copenhaguense da teoria quântica [...]. (HEISENBERG; ECKART; HOYT, 1930, tradução nossa, grifo nosso)a .
O texto em língua inglesa é: “[. . . ] Since the conclusive studies of Bohr
in 1927 there have been no essential changes in these [quantum mechanical]
principles, and many new experiments have confirmed important consequences
of the theory. The purpose of this book seems to me to be fulfilled if it contributes
to the diffusion of that Kopenhagener Geist der Quantentheorie [. . . ].”
a
Percebe-se no texto de Heisenberg um sentido de que a interpretação ortodoxa da
teoria quântica (a interpretação de Copenhague) estaria pronta para ser difundida como
sendo o paradigma essencial para explicar os fenômenos quânticos em sua plenitude. Este
momento é inclusive celebrado numa peça de teatro “Copenhague” onde o autor M. Frayn
recria um dialogo entre Heisenberg e Bohr durante um encontro em 1941 (FRAYN, 2000).
De fato, muito do que se seguiu corroborou esta observação inicial de Heisenberg e a partir
daí, a física conheceu novos rumos como o desenvolvimento da física atômica, da física do
estado sólido etc. que são ramos da física contemporânea calcados na teoria quântica de
Bohr.
É nesse ponto, também, que a fundamentação teórico-conceitual praticada no ensino de mecânica quântica de hoje atinge seu ápice, e, a partir daí, os cursos de mecânica
quântica passam a ser excessivamente pragmáticos, tratando apenas de aplicações da
equação de Schrödinger em diversas situações. Pouca (ou nenhuma) atenção é dada no
ensino da mecânica quântica ao debate entre Bohr e Einstein que seguiu a formulação
do princípio da complementaridade. Este debate, ausente na quase totalidade dos livrostextos dirigidos aos alunos de graduação8 , trata de um questionamento fulminante de
Einstein sobre a coerência entre a interpretação de Copenhague e as noções de localidade, causalidade e mesmo de realidade, tão caras ao autor da teoria da relatividade e ao
bom-senso comum.
8
Exceções podem ser encontradas em Hey e Walters (2003), Whitaker (2006), Oliveira (2010).
22
1.2.3
A crise quântica
Segundo Einstein, uma teoria sobre o mundo físico deve possuir elementos, ou
variáveis, que possam ser definidos com precisão e associados à realidade física independentemente da medição9 . A natureza probabilística e o colapso da função de onda não
permitem que isso aconteça. Mais ainda, a própria noção do princípio da incerteza
contradiz (ou melhor, proíbe) este entendimento de realidade (denominado realidade objetiva) e a conclusão de Einstein era a de que a mecânica quântica ortodoxa era uma teoria
incompleta. Deve-se notar que na concepção de Einstein a teoria quântica não estava
errada, porém deveriam existir outros elementos de realidade, desconhecidos dos físicos
até aquele momento, que trariam um maior esclarecimento sobre os fenômenos quânticos,
tornando o princípio da incerteza algo desnecessário para a descrição da natureza. Estes
elementos receberam a denominação de variáveis ocultas.
Em 1935, Einstein publicou, juntamente com o russo Boris Podolski e o norteamericano Nathan Rosen, um artigo sobre o assunto (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935).
O artigo, que ficou conhecido como EPR, continha uma situação que levava a interpretação de Bohr a um paradoxo onde a questão da localidade10 era violada. O argumento
EPR envolvia duas partículas, em um estado dito emaranhado, que possuíam correlações
instantaneamente transmitidas através do espaço. Tratava-se de uma violação dos princípios da relatividade. A reação de Bohr aos argumentos EPR foi a de abandonar outros
trabalhos e se concentrar em dar uma resposta que veio um pouco mais tarde (BOHR,
1935). A estrutura lógica montada por Bohr para a teoria quântica acabou por prevalecer
e Einstein recuou passando a se ocupar da teoria do campo unificado (WHITAKER, 2006).
Assim, a interpretação de Copenhague ficou cristalizada ainda que tivesse que se abrir
mão da noção de realidade que temos cotidianamente como apontado por Max Born em
seu discurso durante a cerimônia do prêmio Nobel de 1954 “[...] não só o determinismo
clássico deve ser abandonado, mas também o ingênuo conceito de realidade que encara
as partículas da física atômica como se elas fossem pequenos grãos de areia [...].” (BORN,
1954, tradução nossa)11 .
Alguns autores apontam que esse recuo de Einstein se deu por causa de impossibilidades ligadas a física experimental da época (RAE, 2004). No entanto, o questionamento
de Einstein é tão natural que é difícil não querer aceita-lo. Afinal, o que está em jogo
Ao observamos um objeto, por exemplo, uma bola de futebol, podemos querer descrever alguma
característica material desse objeto através de um número. Poderia ser seu volume ou sua cor. Neste
caso, o número obtido estaria associado ao espaço ocupado por este corpo, no caso do volume, ou ao
comprimento de onda da luz que ela reflete, no caso da cor.
10
Eventos medidos em pontos diferentes do espaço não podem influenciar um ao outro instantaneamente.
11
O texto em língua inglesa é: “[...] not only the determinism of classical physics must be abandonded,
but also the naive concept of reality which looked upon the particles of atomic physics as if they were very
small grains of sand [...].”
9
23
é a própria idéia do que é realidade. Assim, alguns autores continuaram seus ataques a
interpretação ortodoxa. Um desses autores foi o próprio Schrödinger que, também em
1935, montou o seguinte gedankenexperiment 12 . Na situação imaginada, um gato era colocado dentro de uma caixa juntamente com um mecanismo que poderia liberar um gás
venenoso, matando o animal. Trata-se do famoso gato de Schrödinger. O mecanismo
seria controlado por uma fonte radioativa, que é então naturalmente governado por eventos quânticos. O sinal de um detector de partículas radioativas seria responsável pelo
acionamento da válvula que libera o gás após o eventual decaimento radioativo. Na interpretação ortodoxa, a função de onda deve possuir toda a informação possível sobre o
sistema quântico. Assim, a função de onda deve conter as possibilidades de uma fonte
decair somada as da fonte não decair. Enquanto a caixa não for aberta, ou seja, enquanto
não for feita uma medida, o fato de o gato estar vivo ou morto está relacionado ao fato da
fonte ter decaído ou não decaído. Seguindo a interpretação ortodoxa somos obrigados a
concluir que o gato está vivo, e simultaneamente, morto. A situação de vida ou morte do
gato só seria definida quando a caixa fosse aberta. Nem mesmo essa situação paradoxal
abalou a comunidade da época sobre a teoria quântica desenvolvida até aquele momento.
1.2.4
A mecânica quântica moderna
Anos mais tarde, o físico irlandês J. S. Bell (BELL, 1964) percebeu uma maneira
de definir um experimento capaz de colocar a prova a interpretação de Copenhague em
contraposição a uma teoria de variáveis ocultas local, como sugeria o artigo EPR, de
maneira conclusiva. As idéias de Bell sobre a mecânica quântica eram similares as de
Einstein e se traduziam na forma de desigualdades matemáticas (as desigualdades de
Bell) que seriam obedecidas caso uma teoria de variáveis ocultas local fosse correta.
O experimento só foi realizado na década de 80 por Alain Aspect e colaboradores
e o resultado era uma violação da desigualdade de Bell (ASPECT; GRANGIER; ROGER,
1982). O que ficou experimentalmente demonstrado é que a natureza segue a interpretação
de Copenhague, ou seja, não se pode atribuir localidade, causalidade ou realidade, nos
termos usuais, aos fenômenos quânticos. O emaranhamento quântico é algo fundamental
na natureza.
Isso levou alguns autores a escrever artigos com títulos como “A lua está lá quando
ninguém olha? Realidade e a teoria quântica” de David Mermin (MERMIN, 1985, tradução
nossa)13 . Ora, esse título é um contra-senso e certamente causa uma impressão de que
algo está errado com a teoria quântica, ou seja, é muito difícil aceitar a interpretação
ortodoxa sem resistência, ou mesmo indignação. Como disse Bohr certa vez, “Se você
Gedankenexperiment é uma expressão alemã utilizada para designar um experimento ou experiência
mental.
13
O texto na língua inglesa é: “Is the moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory.”
12
24
não se surpreendeu com a física quântica é por que você não a entendeu” (BOHR, apud
PINTO-NETO, 2010). Essa persistente dificuldade de aceitação da interpretação ortodoxa
faz com que os pesquisadores de fundamentos da física procurem uma alternativa que
concilie o realismo de Einstein com a complementaridade de Bohr. Esta alternativa não
pode ter o caráter de localidade como definido pela violação da desigualdade de Bell, ou
seja, ela deve ser não-local. Ocorre que esta alternativa existe e corresponde exatamente
à mecânica quântica de Bohm (BOHM, 1952a, 1952b), que é um dos assuntos ligados a
este trabalho. A tabela 1.2 resume este panorama histórico.
Tabela 1.2: Contribuições para o desenvolvimento da mecanica quântica.
Max Planck (1858-1947)
Albert Einstein (1879-1955)
Louis de Broglie (1892-1987)
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Max Born (1882-1970)
Werner Heisenberg (1901-1980)
Niels Bohr (1885-1962)
Albert Einstein (1879-1955)
David J. Bohm (1917-1992)
John S. Bell (1928 - 1990)
Alain Aspect (1947- )
hipótese dos quanta (em 1900)
explicação do efeito fotoelétrico (em
1905)
dualismo onda-partícula (em 1923)
equação de onda (em 1926)
densidade de probabilidade (em 1927)
princípio da incerteza (em 1927)
Complementaridade (em 1927)
artigo EPR (em 1935)
Potencial quântico (em 1952)
Desigualdades de Bell (em 1964)
Comprovação experimental da violação
da desigualdade de Bell (1982)
Com isso, têm-se hoje três posicionamentos em relação à teoria quântica como
aponta Griffiths (2004) em seu livro de introdução à mecânica quântica: Ortodoxo, Realista e Agnóstico. A Tabela 1.3 faz uma breve descrição de cada uma no que diz respeito
ao problema da medida quântica. Essa impressão é corroborada por pesquisa realizada
por Baily e Finkelstein (2010) com dezenove estudantes de graduação de quatro cursos
introdutórios de física moderna ministrados na Universidade do Colorado entrevistados
sobre suas preferências em relação às interpretações da mecânica quântica.
25
Tabela 1.3: A medida quântica na visão ortodoxa, realista e agnóstica.
Interpretação Ortodoxa
Interpretação Realista
Interpretação Agnóstica
Antes da medida, a partícula
não estava em lugar nenhum.
Foi o ato de medir que forçou
a partícula a “tomar uma decisão”.
A indeterminação não é um
fato da natureza, mas um reflexo de nossa ignorância. A
posição da partícula nunca foi
indeterminada, mas, sim, meramente desconhecida pelo experimentador. Nesse sentido,
a mecânica quântica seria uma
teoria incompleta.
Não faz sentido em querer saber o estado de uma partícula
antes de uma medida, sendo
esta, a única maneira de se
ter certeza sobre alguma coisa.
Os adeptos da posição agnóstica se recusam a responder
sobre os aspectos filosóficos da
mecânica quântica.
1.3 O ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA
Apesar de a mecânica quântica ser indiscutivelmente uma das teorias fundamentais
mais bem sucedidas da física, as dificuldades de compreensão de seus fundamentos são
lendárias. Isto fica evidente nas palavras do físico americano Richard Feynman:
Como o comportamento atômico é tão diferente da experiência ordinária,
é muito difícil se acostumar com o mesmo, ele parece peculiar e misterioso
para todos – tanto para o novato quanto para o físico experiente. Mesmo
os especialistas não a entendem do modo como gostariam de entendê-la,
e é perfeitamente razoável que isso aconteça porque toda a experiência,
ou a intuição, humana direta se aplica a objetos em grande escala. Sabemos como os objetos em grande escala se comportam diferentemente dos
objetos em pequena escala que não agem do mesmo modo. Então, temos
de aprender sobre eles de maneira resumidamente abstrata ou imaginativa e não pela conexão com a nossa experiência direta. (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 1965, p. 1, tradução nossa)a .
O texto em língua inglesa é: “ Because atomic behavior is so unlike
ordinary experience, it is very difficult to get used to, and it appears peculiar and
mysterious to everyone – both to the novice and to the experienced physicist.
Even the experts do not understand it the way they would like to, and it is
perfectly reasonable that they should not, because all of direct, human experience
and of human intuition applies to large objects. We know how large objects will
act, but things on a small scale just do not act that way. So we have to learn
about them in a sort of abstract or imaginative fashion and not by connection
with our direct experience.”
a
Além da estranheza causada por sua natureza paradoxal, conforme visto anteriormente, a forma de apresentação desta disciplina, nos cursos de graduação e mesmo de
pós-graduação, contribui pouco para o seu entendimento mais fundamental.
De acordo com Greca e Freire-Junior (2010), “[...] os cursos de MQ são centrados
na aprendizagem de métodos matemáticos de resolução de casos típicos, com pouca ou
26
nenhuma discussão conceitual ou interpretacional [...]”. A adoção desta postura no ensino
da MQ, classificada por Greca e Freire-Junior (2010) como uma “maquinaria de cálculo”,
privilegia o conhecimento de como aplicar os algoritmos necessários na solução de problemas envolvendo a mecânica quântica em detrimento da compreensão conceitual dos
fenômenos quânticos. Esse tipo de abordagem é necessário, afinal faz parte da competência didática e científica saber manipular a teoria, mas não suficiente. O hábito de ensinar
privilegiando estratégias de caráter operacional, sem o debate da fenomenologia da natureza das ciências, mascara a importância da evidência experimental e sua contribuição
para a compreensão da cultura e construção dos conceitos científicos.
Outro fator relevante no que se refere à visão instrumentalista que se tem do ensino
de MQ está relacionado aos livros didáticos. Segundo Kaiser (2007), o aumento do número
de estudantes de graduação e pós-graduação em física nos Estados Unidos no contexto
da Guerra Fria, exigiu que os departamentos de física reformulassem o conteúdo de suas
disciplinas para um enfoque mais prático. Tais mudanças afetaram, principalmente, o
ensino de MQ que, a partir de então, ficaram registradas nos livros didáticos utilizados
até os dias de hoje.
Com o crescimento do tamanho das turmas, contudo, os aspectos filosóficos da mecânica quântica foram afastados das salas de aula. O
objetivo da física era treinar ‘mecânicos quânticos’: os estudantes deveriam ser mais como engenheiros ou mecânicos do domínio atômico, que
filósofos. [...] Face ao crescimento das matrículas, a maioria dos físicos nos Estados Unidos reorganizou o conteúdo da mecânica quântica
acentuando aqueles elementos que permitiam o tema ser ensinado tão
rápido quanto possível, abandonando silenciosamente, ao mesmo tempo,
os últimos vestígios de reflexões conceituais ou interpretativas que tanto
tinham ocupado o tempo das aulas antes da guerra.(KAISER, 2007 apud
GRECA; FREIRE-JUNIOR, 2010, p. 361)
Com relação à problemática apresentada cima, uma rápida visão dos cursos universitarios de MQ nos mostra que, na maioria deles, a teoria quântica continua a ser
ensinada da mesma maneira que no período inicial de sua elaboração, como já apontava
Fletcher e Johnston em seu trabalho de 1999 (FLETCHER; JOHNSTON, 1999).
A situação que vem se perpetuando, principalmente em relação ao ensino, é então a
de uma atitude negligente em relação à discussão acerca do significado da teoria quântica
e de seus pressupostos. Aprende-se como obter resultados, mas discute-se pouco (ou não
se discute) as premissas que levam a teoria a produzi-los. Ocorre que essas premissas
não estão de acordo com conceitos muito arraigados da experiência humana. Como visto
anteriormente, o próprio conceito de realidade objetiva é algo questionável na teoria dos
quanta. Talvez seja essa natureza bizarra da MQ que leve a crença generalizada de que a
melhor discussão da MQ seja a não-discussão (postura agnóstica, conforme Griffiths (2004)
- ver Tabela 1.3). Este é o ponto principal levantado por Einstein no seu questionamento
da teoria quântica e que é raramente mencionado nas salas de aula de hoje.
27
Retomando a discussão acerca dos primórdios da MQ, vale ressaltar, mais uma vez,
que o seu caráter paradoxal nem sempre foi consenso entre os membros da comunidade
científica da época, como se torna evidente nas palavras do físico alemão Albert Einstein: “Se [a teoria quântica] está correta, isso significa o fim da física como uma ciência”
(EINSTEIN, apud PINTO-NETO, 2010, p. IX)14 . Nesse ambiente de intensas discussões,
interpretações alternativas àquela fornecida por Bohr, surgiram em meio ao debate acerca
da construção da teoria quântica. Este é o caso da interpretação do físico americano David Joseph Bohm (D. Bohm). Em 1952, enquanto esteve exilado no Brasil refugiando-se
do regime Macartista, ele publicou pela Universidade de São Paulo (USP), dois artigos
intitulados “Uma interpretação sugerida da teoria quântica em termos de variáveis ‘escondidas’ I e II” (BOHM, 1952a, 1952b)15 , onde é sugerida a partir da introdução de um
termo denominado potencial quântico, uma clara conexão entre a Mecânica Clássica e a
Mecânica Quântica. Entretanto, provavelmente devido à sua condição de exilado político,
sua teoria quântica não teve a aceitação imediata da comunidade científica da época e
não figura em nenhum livro-texto sobre teoria quântica escrito nas últimas décadas.
Somente agora, após 60 anos de sua proposição, a MQ Bohmiana, como é conhecida, está voltando a ser discutida. Acredita-se que nela pode estar contida a chave para
a compreensão de alguns aspectos fundamentais da teoria quântica. Esse entusiasmo da
comunidade científica pela MQ Bohmiana surge, pois ela responde de forma diferenciada ao debate Mecânica Clássica versus Mecânica Quântica, fornecendo respostas mais
satisfatórias do que aquelas dadas pela Interpretação de Copenhague.
De acordo com Pinto-Neto (2010), não há razão alguma em preferir uma interpretação à outra, até mesmo pelo fato de não existir, ainda, um experimento capaz de
distingui-las. Cada interpretação, de forma particular, possui seus pontos positivos e negativos. Entretanto, o conteúdo de MQ abordado nos cursos de graduação e pós-graduação
em Física, seja nos cursos de bacharelado ou licenciatura, assim como, nos livros-textos
básicos utilizados como referência bibliografia, não há qualquer citação em relação à teoria Bohmiana, ou a qualquer outra que não seja a ortodoxa. Os estudantes que utilizam
estes livros como referencia, serão futuros físicos e professores de física que, muito provavelmente, em algum momento de suas vidas, lecionarão em um dos diferentes níveis
de ensino. Desse modo, não podemos esperar que tais estudantes se tornem professores
de física que ensinem de uma forma que não seja a instrumental. Em suma, um curso
de MQ típico é voltado, principalmente, para a operacionalização da teoria quântica e
não para a discussão de suas bases filosóficas. Para um estudante que passe por todas as
disciplinas relacionadas à MQ, fica a impressão de que a Interpretação de Copenhague é
a única teoria existente capaz de descrever fenômenos em escalas diminutas.
O texto em língua inglesa é: “If [quantum mechanics] is correct, it signifies the end of Physics as a
science”.
15
O texto em língua inglesa é: “A suggested interpretation of the quantum theory in terms of ‘hidden’
variables I e II.”
14
28
1.3.1
Justificativa do projeto de mestrado
Com o intuito de operacionalizar a legislação referente ao inciso I, do § 1º, do artigo
36 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, no que se refere ao “domínio dos
princípios científicos e tecnológicos que presidem a produção moderna”, e nos Parâmetros
Curriculares Nacionais, “[...] as novas tecnologias [...], exigem que a escola possibilite aos
alunos integrarem-se ao mundo contemporâneo [através] da aprendizagem de concepções
científicas atualizadas do mundo físico e natural. [...]”, é justificável a mudança dos
conteúdos do currículo de física do ensino médio no que diz respeito à introdução de
tópicos de física moderna e contemporânea. Entretanto, como citado anteriormente por
Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007), para que o quadro atual do ensino de física mude de
forma efetiva, não basta que apenas o currículo de física do ensino médio mude.
É necessário que a mudança comece nos currículos dos cursos de graduação, tanto
das licenciaturas, responsável pelos profissionais que atuam diretamente no ensino médio,
quanto dos bacharelados, uma vez que estes são, em geral, os profissionais que lecionam
nos cursos superiores de licenciatura.
Uma das razões que motivou a escolha do tema desenvolvido neste trabalho referese ao número reduzido de publicações e de material didático que aborde a mecânica
quântica Bohmiana num nível acessível a estudantes de graduação. Em geral, a literatura
especializada é dirigida para profissionais que atuam em linhas de pesquisa relacionadas
aos fundamentos da física (HOLLAND, 1995; DURR, 2009; CUSHING; FINE; GOLDSTEIN,
2010).
O objetivo deste trabalho consiste, exatamente, na quebra desse ciclo vicioso que
é o ensino instrumentalizado da MQ, com a introdução da interpretação Bohmiana da
MQ nas salas de aula dos cursos de graduação em física. Parte deste trabalho consistirá
na busca por razões, sejam elas históricas ou científicas, que justifiquem a ausência da
teoria quântica de D. Bohm dos cursos de graduação em física, já que, atualmente, sabemos que não há nada de especial que torne a escolha de uma interpretação privilegiada
em relação à outra (PINTO-NETO, 2010). Nos capítulos subseqüentes, será apresentado o
desenvolvimento do formalismo bohmiano, bem como, sua aplicação à problemas tradicionalmente presentes em cursos de mecânica quântica. Espera-se com isso contribuir para
a disseminação da teoria quântica de Bohm no ensino superior.
Como produto didático desta dissertação, foi elaborado um módulo didático composto por quatro capítulos, a saber:
• capítulo 1 (As Bases da Mecânica Clássica) - apresenta todo o formalismo lagrangiano e hamiltoniano necessários para a compreensão da MQ bohmiana
• capítulo 2 (A Equação de Schrödinger) - apresenta as idéias principais da MQ de
Copenhague
29
• capítulo 3 (David Bohm e a Teoria Quântica) - apresenta o formalismo da MQ de
D. Bohm e, por fim,
• capítulo 4 (Aplicações da Mecânica Quântica Bohmiana) - que trata do problema
do poço de potencial quadrado infinito considerando o arcabouço Bohmiano.
30
CAPÍTULO 2
AS BASES DA MECÂNICA CLÁSSICA
Apesar do material deste trabalho se referir à mecânica quântica, o ponto de partida
escolhido aqui é o de apresentar a formulação Lagrangeana e Hamiltoniana da mecânica
clássica. Isto se faz para que a teoria quântica de Bohm, que será apresentada no capítulo
4, possa ser mais bem apreciada sem o auxílio de uma bibliografia auxiliar. O tratamento
oferecido aqui é o mais simples possível para que o âmago da teoria seja revelado rapidamente. Isso significa que alguns desenvolvimentos importantes serão apenas indicados
na bibliografia, mencionados em notas de pé de página ou, no caso de deduções mais significativas, como o tratamento do cálculo de variações, por exemplo, em apêndices deste
trabalho.
2.1 O PARADIGMA DA MECÂNICA CLÁSSICA E AS LEIS DE NEWTON
O programa da Mecânica Clássica consiste na descrição da dinâmica de uma partícula, ou de um sistema de partículas, através de leis físicas que descrevam matematicamente o movimento de corpos ou agregados de corpos. A descrição do estado de
movimento de uma partícula, num sistema de coordenadas cartesianas em três dimensões, fica bem definida através das coordenadas de posição (x1 , x2 , x3 ) para cada instante
de tempo t (ver Figura 2.1a). As coordenadas dessa partícula podem ser representadas
de forma genérica por xi , com i = 1, 2, 3. Como se deseja considerar a mudança dessa
localização conforme o tempo passa, esses três números devem poder variar no tempo.
Com isso, o que se deseja determinar é o chamado vetor posição como função do tempo
~r (t) = x1 1̂ + x2 2̂ + x3 3̂ =
3
X
xi î
(2.1)
i=1
P3
r
=
a partir do qual se podem calcular a velocidade, ~v (t) = d~
i=1 ẋi î, e a aceleraçao,
dt
P3
d~v
~a (t) = dt = i=1 ẍi î, da partícula por derivação direta em relação ao tempo1 .
Os versores 1̂, 2̂ e 3̂, bem como, os seus respectivos eixos coordenados x1 , x2 e x3 , são utilizados em
substituição aos versores î, ĵ e k̂ e aos eixos coordenados x, y e z, representantes do espaço cartesiano
tridimensional Oxyz comumente encontrado nos livros que tratam do assunto. Cada ponto acima da
coordenada xi tem o significado de uma derivada em relação ao tempo.
1
31
Figura 2.1: Sistema de
(a) cartesianas - com coordenadas tridimensionais
coordenadas:
(x1 , x2 , x3 ) e versores 1̂, 2̂, 3̂ e (b) esféricasn- com o
coordenadas tridimensionais (r, θ, φ) e
versores r̂, θ̂, φ̂ .
As leis de Newton são aquelas que regem o movimento das partículas. Se as forças
atuantes numa partícula forem conhecidas, pode-se, em princípio, calcular o vetor posição
e com isso determinar toda a história do movimento dessa partícula (futuro, presente e
passado). A relação entre força e movimento é dada em termos da segunda lei de Newton
2
que em sua forma vetorial se escreve como: F~ = m ddt2~r onde m é a massa inercial da
partícula. A força F~ é a chamada força resultante, ou seja, a soma de todas as forças
que atuam na partícula. Ela é proporcional não ao vetor posição, mas sim a sua segunda
derivada no tempo, ou seja, à aceleração. Com isso, o problema a ser resolvido é o
da resolução de 3 equações diferenciais de segunda ordem (uma para cada dimensão):
2
2
2
F1 = m ddtx21 = mẍ1 , F2 = m ddtx22 = mẍ2 e F3 = m ddtx23 = mẍ3 . Segundo a notação adotada
essas equações podem ser resumidas como:
Fi = mẍi
(2.2)
i = 1, 2, 3
onde cada Fi corresponde à componente da força resultante que atua na direção i.
2.2 COORDENADAS
LAGRANGE
GENERALIZADAS
E
A
EQUAÇAO
DE
EULER-
Nem sempre as coordenadas cartesianas oferecem a melhor possibilidade de descrição do movimento. Muitas vezes é mais conveniente a escolha do sistema de coordenadas
esféricas (ver Figura 2.1b). Uma diferença importante entre estes dois sistemas é que os
versores 1̂, 2̂ e 3̂, que especificam as coordenadas cartesianas, não dependem do tempo
enquanto r̂, θ̂ e φ̂ dependem da localização da partícula e, portanto variam no tempo
quando a partícula se move. Isso se traduz matematicamente em termos adicionais na
32
equação (2.2) o que, em princípio, dificulta sua solução. Entretanto, essa complicação na
descrição matemática é aparente, pois muitas vezes o problema a ser resolvido torna-se
trivial quando expresso nessas outras coordenadas. Nesse ponto vale o questionamento
sobre a existência de um sistema de coordenadas, não necessariamente o esférico, mais
vantajoso possível para a descrição de uma dada situação. Denominam-se coordenadas
generalizadas, qj , (com j = 1, 2, 3) as varáveis associadas a este sistema. A localização da
partícula pode ser feita em qualquer sistema de coordenadas e isso significa que existem
relações funcionais entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas generalizadas, ou
seja, pode-se escrever:
xi = xi (qj )
2.2.1
(2.3)
Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas polares
Uma partícula de massa m descreve uma trajetória circular restrita a mover-se no
plano x2 x3 da (figura 2.2), pode ser localizada através dos valores
x2 = r cos θ
e
x3 = r sin θ
(2.4)
No entanto, em se tratando de uma partícula que descreve uma trajetória circular,
a escolha do sistema de coordenadas cartesianas (x2 , x3 ) não é das mais adequadas, já que
x2 e x3 são funções do tempo. Uma escolha sensata e prática para este problema seria a
utilização do sistema de coordenadas polares (r, θ) para a descrição do movimento.
Figura 2.2: Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas polares.
Em relação à transformação inversa, de coordenadas cartesianas para coordenadas
33
polares, as equações de correspondência assumem a forma:
q
r = (x22 + x23 ) e
θ = arctan
x3
x2
(2.5)
Como para um círculo tem-se
(2.6)
r = cte
o problema fica reduzido à determinação da função θ, simplificando a resolução.
A equação (2.6) restringe o movimento da partícula a uma determinada trajetória, neste caso, uma circunferência. Por esta razão, equações desse tipo são chamadas
de equações de “vínculo” ou “restrição” 2 . A equação de restrição é importante na determinação do chamado número de graus de liberdade de um dado sistema. Pode ser dito
que o número de graus de liberdade de um sistema corresponde ao número mínimo de
coordenadas generalizadas necessário para a descrição do movimento. Por exemplo, para
um sistema com k coordenadas, n partículas e m equações de restrição, o número de graus
de liberdade s é dado por:
(2.7)
s = kn − m
No caso, temos uma partícula de massa m descrita, inicialmente, por um sistema
de coordenadas cartesianas em duas dimensões. Neste caso, temos n = 1 e k = 2. Como
a equação (2.6) é a única equação de restrição relacionada ao problema, podemos fazer
m = 1. Com isso, s = 2 · 1 − 1 = 1 para o exemplo citado.
Este resultado nos diz que em se tratando das variáveis r e θ relacionadas ao
sistema de coordenadas polares, apenas uma, varia com o tempo, neste caso, a variável θ.
Em termos das coordenadas generalizadas qj podemos escrever:
qj = qj (xn,k , t)
⇒
q1 = θ = arctan
x3
x2
(2.8)
onde j = 1, 2, . . . , s.
2
Equações de “vínculo” ou “restrição” são limitações às possíveis posições e velocidades das partículas
de um dado sistema mecânico, restringindo, desse modo, o seu movimento. O vínculo representado pela
equação (2.7) pode ser escrito na forma f = x22 + x23 − r2 de onde se observa a não dependência explícita
de f em relação ao tempo. Equações de restrição desse tipo são consideradas fixas ou escleronômicas.
Existem casos, entretanto, em que as equações de vínculo dependem explicitamente do tempo. Para estes
casos, os vínculos são chamados de reonômicos. Por simplicidade, trabalharemos somente com equações
de vínculo fixas. Maiores detalhes podem ser encontrados em Thornton e Marion (2003), Lemos (2007).
34
2.2.2
Mudança de variáveis
O planejamento do que se segue é o de fazer uma mudança de variáveis na (2.2)
para descrever o problema de Newton em termos das coordenadas generalizadas. Além
disso, será feita a suposição de que a força pode ser descrita por uma função energia
potencial U = U (xi ). Antes de iniciar a mudança de variáveis, vale deduzir algumas
relações importantes que são consequência da (2.3).
Uma vez que os xi e os qj são variáveis independentes, a derivada total da equação
(2.3) fica:
dxi =
X ∂xi
j
∂qj
(2.9)
dqj
Derivando em função do tempo, temos:
X ∂xi ∂qj
X ∂xi
dxi
=
ou ẋi =
dq̇j
dt
∂qj |{z}
∂t
∂qj
|{z}
j
j
ẋi
(2.10)
q̇j
Além disso, pode-se derivar a (2.10) em relação à q̇k :
∂ ẋi X ∂xi ∂ q̇j
∂xi
=
=
∂ q̇k
∂qj ∂ q̇k
∂qk
j
|{z}
ou
∂ ẋl
∂xi
=
∂ q̇k
∂qk
(2.11)
δ̇jk
Pode-se reescrever a segunda lei de Newton (2.2) em termos das novas variáveis, qj ,
e mais ainda, podemos proceder da seguinte maneira para o cálculo do trabalho usando
a (2.9):
dW =
X
i
"
#
X X ∂xi
X X ∂xi
Fi dxi =
Fi
dqj =
Fi
dqj
∂q
∂q
j
j
i
j
i
j
(2.12)
Pode-se agora introduzir a função energia potencial U que é uma função das coordenadas xi , ou seja, U = U (xi ). A força pode ser escrita como o gradiente da energia
~ = P − ∂U î. Assim tem-se
potencial de forma que F~ = ∇U
∂xi
i
Fi = −
∂U
∂xi
(2.13)
Com isso, o trabalho fica
35





X X ∂U ∂xi 

 dqj

dW =
−


∂x
∂q
i
j


j
| i
{z
}
(2.14)
∂U
− ∂q
j
onde foi usada a regra da cadeia e finalmente:
X ∂U X
dqj =
Qj dqj
dW =
−
∂qj
j
j
(2.15)
∂U
onde Qj = − ∂q
é chamada de força generalizada.
j
Retomando a equação do trabalho e considerando a (2.2) novamente vem:
"
#
X X ∂ ẋi X
X
X ∂xi
dqj =
dqj
m ẍi
dW =
Fi dxi =
mẍi
∂q
∂
q̇
j
j
j
i
i
i
j
(2.16)
onde a (2.11) foi usada no último passo.
O termo entre colchetes na equação (2.16) pode ser re-escrito em termos de uma
derivada no tempo observando a regra do produto:
d ∂
1 2
d 1
∂ ẋi
∂ ẋi
d ∂ ẋi
ẋ
2ẋi
+ ẋi
=
= ẍi
dt ∂ q̇j 2 i
dt 2
∂ q̇j
∂ q̇j
dt ∂ q̇j
(2.17)
que pode ser resolvida para o termo que contém a segunda derivada da coordenada xi .
Fazendo uso da (2.11) novamente o termo entre parênteses na (2.17) pode ser escrito
como:
d ∂
1 2
d ∂xi
∂ ẋi
=
ẋ
− ẋi
ẍi
∂ q̇j
dt ∂ q̇j 2 i
dt ∂qj
(2.18)
Observando que a ordem das derivadas no último termo pode ser trocada tem-se:
∂ ẋi
d ∂
1 2
∂ dxi
d ∂
1 2
∂ ẋi
=
ẋi
− ẋi
=
ẋi
− ẋi
ẍi
∂ q̇j
dt ∂ q̇j 2
∂qj dt
dt ∂ q̇j 2
∂qj
(2.19)
que é então escrita como:
∂ ẋi
d ∂
1 2
∂
1 2
ẍi
=
ẋ
−
ẋ
∂ q̇j
dt ∂ q̇j 2 i
∂qj 2 i
(2.20)
Com a substituição da (2.20) na equação (2.16) vem:
36
 



X d 
 ∂
dW =

 dt  ∂ q̇j
j 









X 1

X
∂
1





2
2
mẋi  −
mẋi  dqj


 ∂qj  i 2

 i 2


| {z }
| {z } 



T
(2.21)
T
onde T =
mẋ2i é identificada com a energia cinética da partícula.
2
Lembrando da equação da força generalizada (2.15) tem-se:
P1
X
X d ∂T ∂T −
dqj =
dW =
Qj dqj
dt ∂ q̇j
∂qj
j
j
Logo
d
dt
∂T
∂ q̇j
−
∂T
∂qj
(2.22)
∂U
= Qj e como Qj = − ∂q
, podemos escrever:
j



d 
 ∂T

dt  ∂ q̇j
 |{z}
∂
∂ q̇j


∂

(T − U ) = 0
−
 ∂qj

(2.23)
(T −U )
Vale lembrar que a energia potencial, nesse caso, depende somente da posição.
= 0 de forma que U pode ser adicionado a T no termo que envolve a derivada
Assim, ∂∂U
q̇j
temporal sem nenhum problema.
A equação (2.23) acima se torna
d
∂L
−
∂qj
dt
∂L
∂ q̇j
= 0,
j = 1, 2, 3
(2.24)
onde a diferença entre as energias cinética e potencial é definida como a função Lagrangiana do sistema, L = T − U . A (2.24) é conhecida como Equação de Euler-Lagrange. A
função Lagrangeana depende explicitamente das coordenadas generalizadas, qj , e das velocidades generalizadas, q̇j . Em problemas mais gerais, em especial no caso de problemas
não conservativos, ela pode depender explicitamente do tempo, ou seja, L = L (qj , q̇j , t).
No caso conservativo, a dependência de L com o tempo aparece implicitamente (por causa
da variação dos qj com o tempo).
2.2.3
Tratamento da partícula livre em coordenadas polares
Voltando ao caso ilustrado na figura 2.2, mas deixando de lado o vínculo r = cte,
o que se tem é uma partícula livre de massa m que se move livremente no plano x2 x3 .
Neste caso, as coordenadas r e θ são ambas, funções do tempo, e a energia potencial é
nula em todo o espaço.
A Lagrangeana deve conter então somente o termo referente à sua energia cinética:
37
1
1
L = mv 2 = m ẋ22 + ẋ23
2
2
Considerando as equações (2.4) tem-se
ẋ2 = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ
e ẋ3 = ṙ sin θ − rθ̇ cos θ
(2.25)
(2.26)
que quando substituídas na (2.25) retornam
1 (2.27)
L = m ṙ2 + r2 θ̇2
2
Como o raio r e o ângulo θ são dependentes do tempo temos duas equações de
Euler-Lagrange para resolver: uma para r e outra para θ:
∂L
d
−
∂r
dt
∂L
d
−
∂θ
dt
∂L
∂ ṙ
∂L
∂ θ̇
=0
(2.28)
=0
(2.29)
d
(mṙ) = 0
dt
(2.30)
d 2 mr θ̇ = 0
dt
(2.31)
que se traduzem em:
mrθ̇2 −
0−
A (2.31) indica que a combinação mr2 θ̇ não varia no tempo, ou seja, ela é uma
constante do movimento. Trata-se do momento angular L. Com isso:
mrθ̇2 − mr̈ = 0
(2.32)
mr2 θ̇ = L
(2.33)
As equações (2.32) e (2.33) formam um sistema de equações diferenciais nãolineares. A solução deste sistema nos fornece duas equações dependentes do tempo: uma
para r(t) e outra para θ (t) que revelam nada mais do que uma linha reta, conforme
ilustrado na figura 2.3.
38
Figura 2.3: Trajetória descrita por uma partícula livre x = x2 e y = x3 .
Como L é constante, a equação (2.33) permite escrever
L
mr2
e a lagrangeana pode ser re-escrita em termos de r e ṙ apenas:
θ̇ =
(2.34)
1 2 L2 /2m
L = mṙ +
(2.35)
2
r2
Esta outra maneira de escrever a lagrangeana deixa algo importante evidente.
Apesar dos dois termos que constituem a (2.35) serem provenientes da energia cinética da
partícula livre, se movimentando em duas dimensões, esta lagrangeana pode ser interpretada como sendo à de uma partícula se movendo em uma dimensão sob a ação de uma
energia potencial proporcional ao inverso do quadrado da distância. No que concerne à
coordenada r, tudo se passa como se a partícula possuísse energia cinética T = 12 mṙ2 e
2
energia potencial "efetiva" V = − L r/2m
. A importância desta observação está relacionada
2
com a relatividade geral conforme será visto mais abaixo.
Deve-se notar que, conforme a demonstração acima, a equação de Euler-Lagrange
descende diretamente da lei de Newton e assim as equações (2.2) e (2.24) são perfeitamente
equivalentes. Outra observação importante sobre a equação de Euler-Lagrange é a de que
ela é comumente encontrada em problemas não relacionados com a mecânica ou mesmo
com as leis de Newton. Ela é na verdade a solução do chamado problema do cálculo das
variações que é o assunto do apêndice I. Assim, a mecânica Newtoniana pode ser entendida
como um caso particular de um problema variacional onde a Lagrangeana ocupa um lugar
39
de destaque. Ela é a função que aparece na chamada integral da ação.
ˆ
t2
L (qj , q̇j , t) dt
S=
(2.36)
t1
Um enunciado perfeitamente equivalente à segunda lei de Newton é o chamado
princípio de Hamilton segundo o qual a trajetória seguida por uma partícula, entre os
instantes t1 e t2 , é aquela que minimiza a integral da ação, ou seja, a integral da lagrangeana no tempo. Em termos da notação variacional isso se traduz em δS = 0.
Assim, a formulação Lagrangeana da mecânica é mais abrangente do que a Newtoniana. Como exemplo, e também última observação desta seção, pode-se mencionar que
as coordenadas generalizadas podem ser definidas para um espaço curvo, ou seja, para
um espaço não Euclidiano. Nesse caso, termos devido à curvatura do espaço aparecem
nas equações de Lagrange para a partícula livre e podem ser interpretados como se fossem
oriundos de uma energia potencial. É como se, no caso do movimento representado na
figura 2.3, houvesse uma força atuando na partícula apontando para a origem. No caso
da relatividade geral a energia potencial efetiva provém da métrica (a métrica, ou tensor
métrico, é o que define a geometria do espaço-tempo). O movimento em duas dimensões pode ser representado por uma lagrangeana em uma dimensão com a adição de um
potencial efetivo que vem por conta da conservação do momento angular. Similarmente,
o movimento em quatro dimensões pode ser representado por uma lagrangeana em três
dimensões com a adição de um potencial efetivo que define o que nós entendemos como
atração gravitacional. Em outras palavras, a partícula acompanha a curvatura do espaçotempo descrevendo uma trajetória retilínea (geodésica). Este é um possível caminho para
o entendimento de relatividade geral de Einstein, onde o potencial gravitacional é interpretado como resultado da curvatura do espaço-tempo provocada pela massa. É graças
à generalização dada pela formulação Lagrangeana da mecânica que essa interpretação
pode ser entendida com relativa facilidade (WALECKA, 2007).
2.3 LEIS DE CONSEVAÇÃO NA FORMULAÇÃO LAGRANGEANA DA MECÂNICA
Fazer a descrição física do movimento de um objeto ou sistema qualquer requer
a determinação de como as grandezas, tais como posição, energia ou momento linear
etc., associadas a este sistema, variam em função do tempo. Ocorre que em muitas
situações alguma das grandezas utilizadas na descrição do movimento do objeto não possui
evolução temporal. Estas são ditas grandezas físicas conservadas, também conhecidas
como constantes do movimento. Elas assumem importância destacada por permitirem a
extração de informações fisicamente significativas de um dado sistema sem a necessidade
40
de se conhecer a solução completa das equações do movimento3 . Para tanto, a praticidade
de tal método é devida à estreita relação entre as leis de conservação e a invariância dos
sistemas físicos sob operações de simetria4 , como veremos a seguir.
Na formulação Lagrangeana as leis de conservação podem ser percebidas com relativa facilidade e geralmente estão associadas com simetrias do sistema em consideração.
Digamos que a Lagrangeana seja independente de uma das coordenadas generalizadas, ou
∂L
= 0. Se, além disso, definirmos pj = ∂∂L
a equação (2.24) ficará:
seja, ∂q
q̇j
j



∂L
d 
 ∂L 
− 
=0
∂qj
dt  ∂ q̇j 
|{z}
|{z}
0
dpj
=0
dt
⇒
(2.37)
pj
ou seja, a variável pj , denominada momento canonicamente conjugado, é constante no
tempo. Nesse caso a coordenada associada, qj , é dita coordenada cíclica, ou ignorável e
diz-se que pj é conservado. Uma observação deve ser feita sobre pj : se qj tiver dimensão
de comprimento, pj representa o momento linear e o sistema descrito pela Lagrangena
possui simetria de translação; se qj tiver dimensão de ângulo, pj representa o momento
angular e o sistema descrito pela Lagrangena possui simetria de rotação.
Para se chegar ao Princípio da Conservação de Energia, pode-se, inicialmente,
derivar uma importante relação sobre a energia cinética. Partindo da expressão cartesiana
T =
X1
i
2
(2.38)
mẋ2i
deve-se fazer a mudança de variáveis. Se xi = xi (qj ), e usando (2.10) podemos escrever

ẋ2i





X ∂xi  X ∂xi 



q̇j  
q̇k 
=

∂q
∂q
j
k
 j
 k

| {z }
| {z }
(2.39)
ẋl
ẋl
Retornando à energia cinética (2.38), teremos:



XX
XX 
 1 X ∂xi ∂xi 
 q̇j q̇k =
 m
akj q̇j q̇k
T =

2
∂q
∂q
j
k


j
i
j
k
k
|
{z
}
(2.40)
akj
Derivando a energia cinética em relação à q̇l vem:
3
Como exemplo, temos as leis de conservação da energia, momento linear e momento angular normalmente abordadas nos cursos de física básica I.
4
Quando uma dada operação é aplicada em um determinado objeto ou sistema e, este, não se altera,
dizemos que o objeto é simétrico em relação a esta operação.
41


XX 
XX
∂ q̇k 
∂T
 XX
 ∂ q̇j
=
q̇k +
q̇j  =
akj 
ajk q̇j δkl
ajk q̇k δjl +
∂ q̇l
∂ q̇l 
 ∂ q̇l
j
j
j
k
k
k
|{z}
|{z}
} | P{z
}
| P{z
δjl
δkl
alk q̇k
=
alk q̇k +
X
ajl q̇j
j
k
X
(2.41)
ajl q̇j
j
k
e, finalmente, multiplicando a equação anterior por q̇l , e somando para todo l:
X ∂T
XX
XX
=
q̇l
alk q̇k q̇l +
ajl q̇j q̇l
∂
q̇
l
l
| l k{z
} | l j{z
}
(2.42)
X ∂T
q̇l
= 2T
∂ q̇l
l
(2.43)
T
T
ou seja
onde foi usada a (2.40). Esta equação será importante no desenvolvimento que se segue.
Consideraremos que a Lagrangeana possa depender do tempo nessa dedução, ou
seja, teremos L (qj , q̇j , t). Derivando a lagrangeana em relação ao tempo tem-se que:
∂L
∂L
∂L
q̇j +
q̈j +
∂qj
∂ q̇j
∂t
d
∂L
∂L
−
= 0, podemos escrever:
Da equação de Euler-Lagrange ∂q
dt ∂ q̇j
j
dL X
=
dt
j

(2.44)




 X
 d ∂L
dL
∂L 
∂L X d
∂L
∂L


=
q̇j +
q̈j  +
=
q̇j
+

dt
dt ∂ q̇j
∂ q̇
∂t
dt
∂ q̇j
∂t
j |
j
{z j }


d
dt
(2.45)
q̇j ∂∂L
q̇
j
onde a soma entre colchetes foi reconhecida como a derivada de um produto.
Pode-se ainda trocar a derivada no tempo com o somatório e então vem:
"
#
d X
∂L
∂L
dL
q̇j
=
+
dt
dt j
∂ q̇j
∂t
(2.46)
"
"
#
#
X ∂L dL
d X
∂L
d
∂L
−
q̇j
=
L−
q̇j
=
dt
dt j
∂ q̇j
dt
∂ q̇j
∂t
j
(2.47)
ou ainda
42
Como por definição L = T − U e usando a (2.43),
P
j
se torna
q̇j ∂∂L
q̇l
= 2T a equação acima
d
d
d
dH
dL
(T − U − 2T ) =
(−T − U ) = − (T + U ) = −
=
dt
dt
dt
dt
dt
onde H = T + U é chamada de hamiltoniana. Assim, podemos escrever
dH
dL
=−
dt
dt
(2.48)
(2.49)
e a hamiltoniana como

H=


X
X
 ∂L 
q̇j
 − L = q̇j pj − L
 ∂ q̇j 
j
j
|{z}
(2.50)
pj
onde foi usada a definição do momento canonicamente conjugado pj = ∂∂L
. Se a Lagrangeq̇j
ana do problema não depender explicitamente do tempo, ou seja, dL
= 0, H não varia no
dt
tempo e pode ser identificada como a energia mecânica do sistema. Assim a conservação
da energia mecânica fica estabelecida para este caso.
2.4 A FORMULAÇÃO HAMILTONIANA DA MECÂNICA
Podemos usar a função Hamiltoniana para escrever as equações do movimento de
maneira similar a do uso da Lagrangeana. Sendo H (qj , q̇j , t) e L (qj , q̇j , t) a derivada total
de H fica:
dH =
X ∂H
∂H
dqj +
dpj
∂qj
∂pj
j
Da definição H =
P
+
∂H
dt
∂t
(2.51)
q̇j pj − L, podemos escrever esta mesma diferencial dH na
j
forma:
X
∂L
∂L
∂L
dH =
q̇j dpj + pj dq̇j −
dqj −
dq̇j −
dt
∂qj
∂ q̇j
∂t
j
dH =
X
j
X
∂L
∂L
dq̇j +
q̇j dpj −
dqj −
dt
∂qj
∂t
j
∂L
∂ q̇j
e, pela equação de Lagrange, ṗj =
∂L
pj −
∂ q̇j
Como, por definição, pj =
acima se torna:
(2.52)
(2.53)
∂L
,
∂qj
a equação
43




 ∂L
X
X
∂L 
∂L




dH =
dqj  −
dt
q̇j dpj −
pj − ∂ q̇j  dq̇j +
∂qj
 ∂t

j
j
| {z }
|{z}
0
(2.54)
ṗj
ou seja,
dH =
X
(−ṗj dqj + q̇j dpj ) −
j
∂L
dt
∂t
(2.55)
Comparando as equações (2.51) e (2.55) chegamos ao seguinte resultado:
q̇j =
∂H
∂pj
−ṗj =
∂H
∂qj
(2.56)
(2.57)
As equações acima são conhecidas como equações canônicas de Hamilton-Jacobi.
De certa maneira, estas duas equações de primeira ordem substituem a equação de EulerLagrange, que é de segunda ordem. Elas determinam a chamada formulação hamiltoniana
da mecânica e possuem algumas virtudes que são exploradas em várias obras científicas.
Para os objetivos deste trabalho basta que se apreenda o formato dessas equações, pois
elas serão reencontradas no contexto da mecânica Bohmiana no capítulo 4, e reforçar que
por trás delas está o princípio da conservação da energia mecânica.
44
CAPÍTULO 3
A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
Como visto no capítulo 1, existem diferentes posicionamentos em relação à teoria
quântica (ver seção 1.2.4). Independentemente da escolha que se faça, todas as interpretações possuem embutidas em seu formalismo básico a função de onda Ψ (x, t) e, conseqüentemente, a equação de Schrödinger que governa a sua evolução temporal. Vimos também
que a Interpretação de Copenhague é predominante em relação às outras interpretações
quando observamos o conteúdo abordado nas salas de aula dos cursos de MQ. Com o
intuito de melhor preparar o leitor para os capítulos que tratam da mecânica quântica
Bohmiana, optamos por apresentar, neste capítulo, os sete postulados que constituem a
Interpretação de Copenhague partindo das relações de Einstein-De Broglie, que discutem
a dualidade partícula-onda, chegando até a aplicação da equação de Schrödinger no poço
de potencial infinito, que será retomado no capítulo 5.
3.1 RELAÇÕES DE EINSTEIN-DE BROGLIE
De maneira geral, os fenômenos estudados pela física apresentam propriedades que
os permitem serem classificados em dois grandes grupos: fenômenos corpusculares e fenômenos ondulatórios. Estamos acostumados a associar as grandezas físicas como a energia
(E) e o momento linear (p) a fenômenos corpusculares1 , ao passo que, grandezas como a
freqüência angular (w) e o número de onda (k) associamos a fenômenos puramente ondulatórios. Para a física clássica, fenômenos corpusculares e ondulatórios são mutuamente
excludentes.
No entanto, conforme visto na seção 1.2, existe a necessidade de harmonizar a
descrição corpuscular com a ondulatória para se lidar com os fenômenos quânticos por
causa da dualidade partícula-onda. Com o intuito de melhor esclarecer o leitor sobre
o significado do dualismo partícula-onda, segue abaixo uma discussão sucinta sobre o
experimento mental proposto por Richard Feynman no que se refere à difração de elétrons.
Considere a figura 3.1. Nela, podemos observar um canhão de elétrons, que pode
ser constituído por um filamento de tungstênio aquecido por uma corrente elétrica envolto
em uma caixa metálica, localizado na região I e, à sua frente, uma fina placa metálica
contendo duas pequenas fendas separando as regiões I e II. Mais a frente, encontramos
um anteparo contendo um detector móvel responsável por registrar a chegada dos elétrons
que passaram pelas fendas. O detector pode ser movimentado verticalmente ao longo do
1
Partículas carregam energia e momento concentrados em si mesmas. Já as ondas transportam energia
e momento distribuídas por todo o espaço.
45
anteparo a fim de que se possa registrar a chegada dos elétrons no anteparo em função da
altura y. Durante a execução do experimento, duas situações podem ocorrer: a primeira
se refere ao registro do detector da chegada de um elétron e, a segunda, do seu estado
inalterado caso nenhum elétron o atinja. Em outras palavras, não se pode detectar partes
de um elétron. Ou detectamos um elétron inteiro ou nada acontece.
Como o detector é capaz de registrar somente a chegada de elétrons inteiros, é
natural pensar que para atingir o detector cada um dos elétrons deve ter passado por
uma das fendas. Neste caso, se todos os elétrons detectados passaram obrigatoriamente
por uma das aberturas, não é nenhum absurdo pensar que a curva P12 representa a soma
dos elétrons que passaram pelas fendas 1 e 2, ou seja, P12 = P1 + P2 . Uma forma de
verificar se a curva P12 realmente é dada pela soma dos elétrons que passaram pelas duas
fendas é bloquear a fenda 1 e repetir o experimento com a fenda 2 aberta. O resultado
obtido é dado pela curva P2 . De modo análogo, bloqueando-se a fenda 2 e repetindo o
experimento com a fenda 1 aberta, obtemos a curva P2 . Contrariando as expectativas,
a curva P12 não é dada pela soma das curvas P1 e P2 , mas sim, conforme a indicação
da figura. A justificativa para o fenômeno observado pode ser encontrada nos efeitos de
interferência, como observado nas ondas luminosas, por exemplo. Assim, os elétrons são
detectados como partículas, já que só podemos registrar a chegada de um elétron por
inteiro, e se propagam como ondas. Esta última frase sintetiza o que viria a ser conhecido
como Princípio da Complementaridade de Bohr que discutiremos mais a frente, ainda
neste capítulo.
Como último comentário relacionado a este experimento, sua comprovação experimentalmente foi realizada por Davisson e Germer em 1925, não nos moldes formulados por
Feynman, mas sim, através da difração de elétrons em cristal de níquel detectados em uma
câmara de ionização desenvolvidos no Bell Telephone Laboratories (TIPLER; LLEWELLYN,
2006)
Figura 3.1: Difração de elétrons. P1 e P2 representam, respectivamente, as distribuições de
probabilidade dos elétrons quando se tem somente a fenda 1 ou 2 abertas. Quando as duas
fendas são abertas simultaneamente tem-se a distribuição de probabilidade representada por
P12 . Adaptado de Feynman, Leighton e Sands (1965).
46
Uma conciliação entre partícula e onda reside no reconhecimento das relações de
Einstein e De Broglie:
E = ~ω
(3.1)
p = ~k
(3.2)
as quais definem uma correspondência entre variáveis puramente ondulatórias (k, ω) e
aquelas associadas às partículas (E, p). Em seguida é preciso definir uma onda que, de
alguma maneira, possa representar o movimento da partícula associada.
A tentativa mais simples é a de se pensar numa onda plana
Ψ (x, t) = A cos (kx − ωt)
(3.3)
como representativa de uma partícula de massa m que se move no espaço unidimensional
com velocidade constante vp (Figura 3.2). Alguns resultados interessantes podem ser
obtidos a partir de desdobramentos da equação (3.3).
Figura 3.2: Representação ondulatória de uma partícula de acordo com o postulado de De
Broglie para as ondas de matéria.
Colocando o número de onda k em evidência na equação (3.3) chegamos a
h ω i
(3.4)
Ψ (x, t) = A cos k x − t
k
O termo ωk na equação (3.4) representa a velocidade de propagação da onda vφ .
Assim, podemos escrever
ω
(3.5)
k
Substituindo a equação (3.1) na equação (3.5) e ainda usando a (3.2) vem:
vφ =
47
vφ =
E
p
(3.6)
2
p
Como a energia cinética E pode ser escrita como 2m
, e p = mvp , a equação (3.6)
define que a velocidade de fase corresponde à metade da velocidade da partícula, ou seja:
mvp
vp
p
=
=
(3.7)
2m
2m
2
Em outras palavras, a partícula seria mais rápida que a onda, o que não é, evidentemente, algo satisfatório. A solução deste impasse será tratada na próxima seção quando
falaremos sobre a construção do pacote de ondas.
vφ =
3.2 CONSTRUÇÃO DO PACOTE DE ONDAS
Uma possibilidade um pouco mais complicada para uma partícula é a de considerar duas ondas planas de mesma amplitude e freqüências muito próximas Ψ1 (x, t) =
A cos (k1 x − ω1 t) e Ψ2 (x, t) = A cos (k2 x − ω2 t). A representação gráfica dessas ondas
pode ser vista na figura 3.3 (a) e (b), respectivamente.
A soma ou superposição (figura 3.3 (c)), como também é conhecida, de duas ondas
com freqüências próximas produz o fenômeno de batimento (figura 3.3 (d)). A superposição de tais ondas é dada pela equação
(3.8)
Ψ (x, t) = Ψ1 (x, t) + Ψ2 (x, t) = A [cos (k1 x − ω1 t) + cos (k2 x − ω2 t)]
Considerando as definições ∆k = k2 − k1 , ∆ω = ω2 − ω1 , k̄ =
(3.8) pode ser re-escrita como
k1 +k2
2
e ω̄ =
ω1 +ω2
,
2
4k
4ω
4k
4ω
Ψ (x, t) = A cos k̄x − ω̄t −
x+
t + cos k̄x − ω̄t +
x−
t
2
2
2
2
a
(3.9)
que ainda pode ser reduzida para:
Ψ (x, t) = 2A cos k̄x − ω̄t cos
4k
4ω
x−
t
2
2
(3.10)
representada na figura 3.3 (d) pela linha vermelha. Ainda na figura 3.3 (d), a linha em
azul é denominada envoltória e é representada pelo termo
2A cos
4k
4ω
x−
t
2
2
(3.11)
48
Figura 3.3: Superposição de duas ondas harmônicas.
Da mesma maneira que fizemos na equação (3.4), colocando k̄ e
na (3.10), temos:
4k
2
em evidência
h ω̄ i
4k
4ω
x−
t
(3.12)
Ψ (x, t) = 2A cos k̄ x − t cos
2
4k
k̄
h i
4ω
Comparando os termos cos k̄ x − ω̄k̄ t e cos 4k
x
−
t
com a função gené2
4k
rica y(x, t) = f (x − vt) representante de um pulso de onda que se propaga com velocidade
constante v para a direita, chegamos a
ω̄
k̄
(3.13)
4ω
4k
(3.14)
vφ =
vg =
onde vφ representa a velocidade de fase e vg a velocidade de grupo da onda, como mostra
a figura 3.3 (d). Se tomarmos o limite infinitesimal 4ω → dω e 4k → dk, as freqüências
angulares, assim como, seus números de onda, podem ser aproximados para ω1 ∼ ω2 ∼ ω
e k1 ∼ k2 ∼ k e, como conseqüência, as velocidades de fase e de grupo podem ser definidas
como
vφ =
ω
k
(3.15)
vg =
dω
dk
(3.16)
2
p
Considerando as relações p = ~k, E = ~ω, E = 2m
e p = mvp verifica-se que a
vp
(3.15) continua fornecendo vφ = 2 mas a (3.16) dá um resultado satisfatório vg = vp .
49
Neste caso, vemos claramente que, ao contrário da velocidade de fase, a velocidade
de grupo é coincidente com a velocidade da partícula. Desse modo, a onda associada a
uma partícula é construída a partir da superposição de ondas individuais para diferentes
valores de k.
Este resultado, obtido de maneira bastante simples, pode ser generalizado para a
superposição (soma) de um maior número de ondas planas. Afinal, escolher duas ondas
apenas é algo muito particular. Não é necessário que todas elas sejam de mesma amplitude
de forma que podemos escrever:
Ψ (x, t) =
X
Ak cos [kx − ω (k) t]
(3.17)
k
para conseguir um resultado similar, ou seja, um pacote de ondas Ψ (x, t) que se propaga
com a velocidade vp . Pode-se dar mais liberdade ainda para a construção do pacote
deixando as amplitudes Ak mudarem conforme o número de onda da onda plana. Mais
ainda, como k é uma variável contínua, pode-se substituir o somatório por uma integral
e definir uma amplitude que varia continuamente com k, A(k).
Escrevendo a equação (3.17) na forma complexa e substituindo o somatório pela
integral em k, temos:
ˆ
Ψ (x, t) =
A (k) ei[kx−ω(k)t] dk
(3.18)
A forma apresentada na equação (3.18) é denominada pacote de onda. Ela é a
forma mais geral possível para a função Ψ (x, t) e consiste de uma média sobre ondas
planas de diferentes números de onda ponderada pela função A(k). Esta função definirá
o formato espacial do pacote Ψ (x, t) e, dentro de certos limites2 , ela é arbitrária.
Outra propriedade matemática relevante da função A(k) é que ela é a transformada
2
de Fourier de Ψ (x, 0). Se assumirmos A(k) como e−α(k−k0 ) /2 , que é uma função do tipo
gaussiana, o pacote de ondas representado pela (3.18) é dito pacote gaussiano. Na próxima
seção a equação de Schrödinger será obtida a partir da formulação do pacote de ondas
tratado nesta seção.
Com isso, tem-se a possibilidade de associar uma onda, ou melhor, uma função
de onda Ψ (x, t) ao movimento de uma partícula. A função de onda será responsável
por efeitos ondulatórios observados nas partículas. Vale ressaltar que de acordo com
Bohr (1935) “os fenômenos ondulatórios e corpusculares apresentados pela luz, e pelas
partículas quânticas em geral, são aspectos complementares, no sentido de descreverem
características de igual importância para os fenômenos luminosos”. Ainda na visão de
Bohr, as características da complementaridade, como ficaram conhecidas, “nunca devem
ser colocadas em contradição direta umas com as outras, já que sua análise mais minuci2
As funções A(k) e Ψ (x, t) devem ser nulas no infinito, contínuas e diferenciáveis.
50
osa, em termos mecânicos, requer arranjos experimentais mutuamente excludentes”. Em
outras palavras, não se dispõe de um aparato experimental que seja capaz de produzir características de fenômenos ondulatórios e corpusculares simultaneamente. Neste caso, ou
preparamos o experimento com dispositivos que produzem características de fenômenos
puramente ondulatórios ou utilizamos uma montagem experimental diferenciada aplicada
exclusivamente para fenômenos corpusculares. A natureza dual da luz e da matéria pode
ser comparada aos dois lados de uma mesma moeda que pode exibir qualquer uma de
suas faces, mas não, ambas, simultaneamente.
Aqui também vale enunciar o primeiro dos sete postulados da mecânica quântica:
Postulado I (Função de Onda): Associada ao movimento corpuscular, existe uma
função de onda Ψ (x, t) que contém toda a informação sobre um dado sistema físico.
3.3 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA
ENERGIA MECÂNICA
O pacote de ondas representado pela equação (3.18) pode ser escrito de maneira
diferente quando k e ω são substituídos, respectivamente, pelos termos p/~ e E/~ como
sugeridos pelas (3.1) e (3.2). Assim, o pacote de ondas genérico se torna
ˆ
i
(3.19)
φ (p) e ~ (px−Et) dp
Ψ (x, t) =
onde φ (p) é relacionada à A(k) (φ (p) = A (p/~) /~). Com a intenção de buscar uma
equação de ondas para Ψ (x, t), podemos realizar certas operações matemáticas com a
(3.19).
Em primeiro lugar pode-se derivá-la em relação ao tempo t,
ˆ
ˆ
ˆ
E
φ (p) e
dp =
φ (p) e
−i
dp
~
(3.20)
a qual pode ser reduzida multiplicando-se ambos os lados da equação (3.20) por i~. Assim,
temos:
∂
∂
Ψ (x, t) =
∂t
∂t
i
(px−Et)
~
∂ i
φ (p) e ~ (px−Et) dp =
∂t
∂
i~ Ψ (x, t) =
∂t
ˆ
i
Eφ (p) e ~ (px−Et) dp
i
(px−Et)
~
(3.21)
A energia E não pode ser retirada da integral, pois ela é uma função de p. No
entanto, pode-se utilizar os métodos da transformada de Fourier (para t = 0) de modo
a isolar a energia em termos de uma integral envolvendo a derivada temporal do pacote
Ψ (x, t). Em síntese o que a equação (3.21) revela é que a energia está relacionada com a
aplicação de uma derivada temporal ∂/∂t ao pacote.
51
Derivando-se novamente a equação (3.19), ao passo que, agora, em relação à posição
x, chegamos à equação
ˆ
ˆ
ˆ
p
i
φ (p) e ~ (px−Et) i
dp
~
(3.22)
Multiplicando-se ambos os lados da equação (3.22) por ~/i, temos
∂
∂
Ψ (x, t) =
∂x
∂x
φ (p) e
i
(px−Et)
~
dp =
∂ i
φ (p) e ~ (px−Et) dp =
∂x
∂
−i~ Ψ (x, t) =
∂x
ˆ
i
pφ (p) e ~ (px−Et) dp
(3.23)
i
(3.24)
A segunda derivada fica:
∂2
Ψ (x, t) =
−~
∂x2
ˆ
2
p2 φ (p) e ~ (px−Et) dp
Uma observação rápida sobre a equação (3.24) sugere que esta pode ser reescrita
na forma
∂2
−~
∂x2
ˆ
i
p2 φ (p) e ~ (px−Et) dp
(3.25)
2
ˆ
i
∂
−i~
Ψ (x, t) = p2 φ (p) e ~ (px−Et) dp
∂x
(3.26)
2
Ψ (x, t) =
ou ainda
Observe que o lado esquerdo da equação (3.26), quando comparada à equação
∂ 2
original (3.19), possui um termo adicional, −i~ ∂x
, atuando sobre a função de onda
Ψ (x, t). Tal procedimento faz com que o termo p2 apareça dentro da integral do lado
∂
em questão é conhecido como o operador momento
direito da igualdade. O termo −i~ ∂x
e representado pelo símbolo p̂. De maneira simples, um operador pode ser entendido
como um conjunto de procedimentos que devem ser realizados com a função de onda que
o segue. Assim, quando aplicamos o operador momento na função de onda, p̂Ψ (x, t),
estamos indicando que ela deve ser diferenciada em relação a x e multiplicada por −i~.
Esta é em geral a maneira de se trabalhar com os pacotes de onda. A informação contida
na função de onda é obtida através de operações matemáticas feitas sobre ela. Estas
informações são comumente denominadas observáveis e aqui vale a menção sobre outro
dos postulados da mecânica quântica.
Postulado II (Operadores): Toda grandeza física é representada por um operador a .
a
Operadores que representam grandezas físicas devem ser hermitianos.
De certa maneira os operadores também figuram na física clássica. Para se obter
a velocidade de um ponto pertencente a uma corda vibrante, o que se deve fazer é aplicar
uma derivada temporal à função que descreve a corda por exemplo. A diferença é que
52
na mecânica quântica, por ela tratar com números complexos (a função de onda é um
número complexo) deve-se ter a preocupação de que a aplicação do operador retorne um
número real.
Outra operação pertinente ao pacote de ondas é a multiplicação da (3.19) por uma
potência de x
ˆ
n
i
(3.27)
φ (p) e ~ (px−Et) xn dp
x Ψ (x, t) =
já que x e p são variáveis independentes, x pode ser colocado dentro da integral em p.
P
Dessa maneira, se um operador energia potencial, V (x) = an xn , passar a atuar
sobre a função de onda, a equação (3.27) assumirá a forma
ˆ
V (x) Ψ (x, t) =
n
i
φ (p) e ~ (px−Et) V (x) dp
(3.28)
Multiplicando-se a equação (3.24) por 1/2m e somando o resultado à equação
(3.28) − (3.21) obtemos:
∂
~2 ∂ 2
Ψ (x, t) + V (x) Ψ (x, t) − i~ Ψ (x, t) =
−
2
2m ∂x
∂t
ˆ i
p2
+ V (x) − E φ (p) e ~ (px−Et) dp
2m
(3.29)
2
Na equação (3.29) os termos entre parênteses no lado direito da igualdade p /2m,
V (x) e E representam, respectivamente, a energia cinética, a energia potencial e a energia
total de uma partícula clássica. De acordo com Princípio da Conservação da Energia
Mecânica, a energia total é dada pela soma das energias cinética e potencial. Se for
imposto que
E=
p2
+ V (x)
2m
(3.30)
2
p
+ V (x) − E torna-se nulo juntamente com todo o lado direito da equação
o termo 2m
(3.29). Neste caso, podemos reescrevê-la na forma
−
~2 ∂ 2
∂
Ψ (x, t) + V (x) Ψ (x, t) = i~ Ψ (x, t)
2
2m ∂x
∂t
(3.31)
que é a tão famosa equação de Schrödinger dependente do tempo, a qual descreve o comportamento ondulatório da matéria.
Esta equação reúne dois dos princípios mais caros da física: a dualidade partículaonda, que origina toda a discussão sobre a teoria dos quanta, e a conservação da energia
mecânica, que dispensa comentários. Nessas condições, pode-se apresentar o terceiro
postulado da mecânica quântica que trata do que se chama determinismo quântico:
53
Postulado III (Operadores): A evolução temporal da função de onda Ψ (x, t) é
governada pela equação de Schrödinger
−
~2 ∂ 2
∂
Ψ (x, t) + V (x) Ψ (x, t) = i~ Ψ (x, t)
2
2m ∂x
∂t
Como vimos no capítulo 2, para uma dada partícula de massa m compelida a se
mover sobre o eixo x e sujeita a uma dada força F , o programa principal da mecânica
clássica consiste em determinar a posição x da partícula em qualquer instante t. Isto
define o que se chama de determinismo clássico. Há uma diferença importante entre os
determinismos clássico e quântico. Ela está ligada à interpretação dada para a função de
onda e ao chamado princípio da incerteza, inerente a descrição ondulatória. Aqui vale
retomar o que foi dito na seção 1.2.2 sobre as propriedades de ondas e partículas no que
diz respeito a como se dá o transporte de energia em cada caso (figura 3.4).
3.4 A INTERPRETAÇÃO DA FUNÇÃO DE ONDA
Uma das características do movimento ondulatório é sua distribuição espacial.
Uma onda tende a espalhar-se em várias direções distribuindo a energia nela armazenada
em todo o espaço. Ela pode, inclusive, existir simultaneamente em lugares distintos sem
que isso represente algo bizarro ou surreal. Esta situação é representada na figura 3.4i. A
distribuição da energia também ocorre no movimento corpuscular só que de maneira bem
diferente. Neste caso, a partícula carrega a energia de um ponto até o outro ao longo de
uma trajetória com uma direção bem definida e não distribuída no espaço como no caso
anterior. Com isso, torna-se impossível perceber uma partícula em dois pontos distintos
simultaneamente (figura 3.4ii). Não há compatibilidade nessas duas descrições, pois no
primeiro caso, A e B sempre perceberão a chegada da energia proveniente de O, enquanto
no segundo, os resultados serão sempre distintos. O que provoca essa diferença é o caráter
unitário da partícula. Diferentemente da onda, uma partícula não pode se movimentar
em duas ou mais direções simultaneamente.
Como foi visto anteriormente, na seção 3.1, a descrição quântica do movimento de
uma partícula, que possui características tratadas na figura 3.4ii, deve-se associar uma
onda, a qual se comporta conforme a figura 3.4i. A questão que se põe nesta altura é
a de como conciliar os casos, i e ii descritos acima, ou seja, como respeitar a unidade
existencial da partícula e ao mesmo tempo a distribuição espacial da onda. Neste ponto,
vale enunciar mais um dos postulados da mecânica quântica que é devido à Max Born.
Em sua versão unidimensional
54
Postulado IV (Interpretação probabilística): A probabilidade de encontrar a partícula entre os pontos x = a e x = b, no instante t, é dada por
ˆ
b
|Ψ (x, t)|2 dx
Pab =
a
O termo ρ (x, t) = |Ψ (x, t)|2 = Ψ∗ (x, t) Ψ (x, t) é denominado densidade de probabilidade.
Figura 3.4: O transporte de energia feito por i) uma onda clássica ii) uma partícula clássica e
iii) uma partícula-onda ou partícula quântica. A energia é emitida a partir do ponto O em
todos os casos. Observadores em pontos diametralmente opostos a O (pontos A e B)
perceberão a chegada da energia em suas respectivas posições de diferentes maneiras. A onda
clássica, cuja frente de onda está representada em i (círculo de cor preta), será percebida nas
duas posições A e B. A partícula clássica carrega a energia em apenas uma direção. Assim, a
energia carregada por ela só poderá ser percebida em apenas um dos pontos (A não B). No
caso ilustrado em ii, a partícula deixa O em direção a A de forma que não haverá possibilidade
de percebê-la em B. Já a partícula quântica segue uma distribuição de probabilidades ditada
por Ψ (x, t), cuja frente de onda está representada em iii (círculo de cor cinza). Com isso, ela
pode ser percebida em qualquer um dos dois pontos referidos na figura já que a função de onda
é não nula em cada um deles (A ou B). A mecânica quântica não nos diz como prever onde a
partícula será percebida, ela diz respeito somente à dinâmica seguida pela função de onda. iv)
Se a partícula quântica for percebida em A, a função de onda perde sua extensão espacial e
passa a ficar concentrada em torno de A instantaneamente.
A forma matemática da função densidade de probabilidade, ρ (x, t), está relacionada com a equação da continuidade como será visto na próxima seção. A onda que
aparece na equação de Schrödinger Ψ (x, t) é então relacionada a uma distribuição de probabilidades. Com isso, uma partícula quântica que deixa o ponto O será descrita por uma
onda, cuja evolução temporal segue a equação de Schrödinger (determinismo quântico),
a qual define, a cada instante, uma probabilidade de que ela seja encontrada em uma
determinada região do espaço. Como a onda se distribui em todo o espaço, a partícula
quântica pode ser encontrada tanto em A como em B (figura 3.4iii). Dessa maneira, é
possível conciliar a visão de uma onda presente no espaço, a qual define um campo de
probabilidades, com a localização da partícula associada.
55
Uma vez definida a interpretação probabilística na mecânica quântica, pode-se usar
a equação acima para calcular valores médios. Os valores médios do momento e da energia
cinética são desdobramentos do valor médio da posição.
Tabela 3.1: Valores médios para a posição, momento e energia cinética.
posição
momento
energia cinética
´b
x̄ (t) = a Ψ∗ (x, t) [x] Ψ (x, t) dx
∂
´b
p̄ (t) = a Ψ∗ (x, t) ~i ∂x
Ψ (x, t) dx
h 2i
´
2
b
∂
~
Ψ∗ (x, t) ∂x
Ψ (x, t) dx
T̄ (t) = − 2m
2
a
Outra questão que vem à tona é sobre o que ocorre com a função de onda após a
partícula ser percebida em A ou em B. Seja qual for o ponto onde a partícula quântica é
percebida, a medida transforma em certeza algo que era meramente probabilístico. Assim,
a função de onda deve acompanhar este fato e se concentrar, instantaneamente, no ponto
onde a partícula quântica foi percebida (figura 3.4iv). Não existe nenhuma forma de
descrever este "encolhimento", ou redução, da função de onda. Ele simplesmente reflete
o fato de que, após a medida, passa-se a conhecer algo, no caso da figura 3.4 a posição da
partícula, antes ignorado. Assim, tem-se a necessidade de mais um postulado:
Postulado V (Colapso da função de onda): O processo de medida de uma partícula
quântica provoca a redução do pacote de ondas.
Assim, entre duas medidas consecutivas a função de onda obedece ao determinismo
quântico (Equação de Schrödinger) e, no exato instante em que ocorre uma medida, a
função de onda fica colapsada. Esse colapso sempre acontece dentro de uma das várias
possibilidades ditadas pela equação de Schrödinger e se dá sempre de forma completamente aleatória.
3.5 DENSIDADE DE CORRENTE DE PROBABILIDADE
O fundamento da forma matemática da densidade de probabilidade definida no
postulado IV acima (ρ (x, t) = Ψ∗ (x, t) Ψ (x, t)) é proveniente da chamada equação da
continuidade. Nesta seção, faremos uma rápida discussão sobre este tópico, que é necessário para um melhor entendimento desta característica da mecânica quântica. Além
disso, a equação da continuidade é uma das equações da mecânica quântica Bohmiana,
que será apresentada no próximo capítulo.
Tomando o complexo conjugado da equação (3.31) e multiplicando o resultado por
Ψ (x, t) temos
56
−
~2 ∂ 2 Ψ∗ (x, t)
∂Ψ∗ (x, t)
∗
Ψ (x, t)
Ψ
(x,
t)
+
V
(x)
Ψ
(x,
t)
Ψ
(x,
t)
=
−i~
2m
∂x2
∂t
(3.32)
ao passo que a (3.31) multiplicada por Ψ∗ (x, t) resulta em:
−
~2 ∂ 2 Ψ (x, t) ∗
∂Ψ (x, t) ∗
Ψ (x, t)
Ψ (x, t) + V (x) Ψ (x, t) Ψ∗ (x, t) = i~
2
2m ∂x
∂t
(3.33)
As equações (3.32) e (3.33) possuem um termo em comum que é aquele que contém
a energia potencial. A subtração de uma equação da outra resultará numa terceira equação
que não depende de V (x), ou seja, ela é válida para qualquer potencial:
∂ 2 Ψ∗ (x, t)
~
∂ 2 Ψ (x, t)
∂Ψ (x, t) ∂Ψ∗ (x, t)
∗
∗
Ψ (x, t)
− Ψ (x, t)
= Ψ (x, t)
+
Ψ (x, t)
−
2mi
∂x2
∂x2
∂t
∂t
(3.34)
O lado direito da (3.34) pode ser escrito como
~
∂ 2 Ψ (x, t)
∂ 2 Ψ∗ (x, t)
∗
−
Ψ (x, t)
− Ψ (x, t)
=
2mi
∂x2
∂x2
∂Ψ∗ (x, t)
∂Ψ (x, t)
~ ∂
∗
− Ψ (x, t)
Ψ (x, t)
=
−
2mi ∂x
∂x
∂x
∂
∂Ψ∗ (x, t)
~
∂Ψ (x, t)
∗
−
− Ψ (x, t)
Ψ (x, t)
=
∂x 2mi
∂x
∂x
∂j
−
∂x
(3.35)
onde fica definido que
~
j (x, t) =
2mi
∂Ψ (x, t)
∂Ψ∗ (x, t)
Ψ (x, t)
− Ψ (x, t)
∂x
∂x
∗
(3.36)
Já o lado esquerdo pode ser escrito como
Ψ∗ (x, t)
∂Ψ (x, t) ∂Ψ∗ (x, t)
∂
∂
∂ρ
+
Ψ (x, t) =
[Ψ∗ (x, t) Ψ (x, t)] =
|Ψ (x, t)|2 =
(3.37)
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
onde, como mencionado anteriormente
ρ (x, t) = Ψ∗ (x, t) Ψ (x, t)
(3.38)
Com as definições de ρ (x, t) e j(x, t) a equação (3.34) assume uma forma mais
simples
57
∂ρ (x, t) ∂j (x, t)
+
=0
∂t
∂x
(3.39)
Esta é a versão unidimensional da equação da continuidade. Ela representa uma lei
de conservação e ocorre em várias áreas da física, como em hidrodinâmica (conservação de
massa), em eletromagnetismo (teorema de Poynting) e outras. Ela expressa uma relação
entre o fluxo, simbolizado por j(x, t), e a densidade, simbolizada por ρ (x, t). No caso da
mecânica quântica ρ (x, t) está relacionada com a densidade de probabilidade referida no
postulado IV e j(x, t) representa uma densidade de corrente de probabilidade. Apesar da
energia potencial não aparecer explicitamente na equação da continuidade, a função de
onda depende de V (x). Assim, existe uma dependência implícita da (3.39) com V (x). A
segunda é que as interpretações para ρ (x, t) e j(x, t) podem variar dependendo do ramo
de física com que se esteja lidando (Tabela abaixo).
Tabela 3.2: Exemplos de aplicações da equação de continuidade na física.
Ramo
ρ (x, t)
j(x, t)
Hidrodinâmica
Eletromagnetismo
Mecânica quântica
Termodinâmica
Densidade de massa
Densidade de carga elétrica
Densidade de probabilidade
Densidade de energia
Fluxo de massa
Fluxo de corrente elétrica
Fluxo de probabilidade
Fluxo de energia
3.6 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO
Voltamos a discutir agora a equação de Schrödinger (3.31). Do ponto de vista
matemático, esta é uma equação diferencial linear, parcial, de segunda ordem na posição
e em primeira ordem no tempo. Devemos então resolver a equação de Schrödinger em
busca da função de onda Ψ (x, t) da partícula. Se o potencial V for independente do
tempo, como de fato é para a maioria dos problemas abordados nos livros básicos que
tratam do assunto, podemos resolvê-la aplicando o método de separação de variáveis.
Para isso, buscamos soluções para Ψ (x, t) que possam ser escritas na forma
Ψ (x, t) = ψ (x) ϕ (t)
(3.40)
A substituição da forma (3.40) na (3.31) transforma as derivadas parciais em derivadas totais e resulta na seguinte equação
−
~2
d2 ψ (x)
dϕ (t)
ϕ (t)
+ V (x) ψ (x) ϕ (t) = i~ψ (x)
2
2m
dx
dx
(3.41)
58
que pode ser reduzida para
−
~2 1 d2 ψ (x)
1 dϕ (t)
+ V (x) = i~
2
2m ψ (x) dx
ϕ (t) dx
(3.42)
1
se a (3.41) for multiplicada por ψ(x)ϕ(t)
.
O lado esquerdo da equação (3.42) é uma função apenas de x e o lado direito é
uma função apenas de t. Isso só pode ser verdade se os dois lados forem efetivamente
independentes de x e de t. Caso contrário, pela variação de x, poderíamos modificar o
lado esquerdo sem que o lado direito mudasse. Neste caso, os dois lados passariam a ser
diferentes invalidando a equação. Tendo esta conclusão em mente, os lados esquerdo e
direito da (3.42) devem ser iguais a um mesmo valor independente de x ou de t. A este
valor dá-se o nome de constante de separação. Chamando de E a constante de separação
da (3.42) tem-se:
−
~2 1 d2 ψ (x)
+ V (x) = E
2m ψ (x) dx2
(3.43)
1 dϕ (t)
=E
ϕ (t) dx
(3.44)
i~
A (3.43) pode ser re-escrita como
−
~2 d2 ψ (x)
+ V (x) ψ (x) = Eψ (x)
2m dx2
(3.45)
e é chamada de equação de Schrödinger independente do tempo que, diferentemente da
equação de Schrödinger dependente do tempo, representa uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem. Só podemos resolvê-la a partir do momento em que o
potencial V (x) é especificado.
A equação (3.44) é imediatamente resolvida por integração direta:
ˆ
E
dϕ (t)
= −i
ϕ (t)
~
ˆ
(3.46)
dt
que resulta em
E
(3.47)
ϕ (t) = Ce−i ~ t
Desse modo, retomando a (3.40), podemos escrevê-la como
E
Ψ (x, t) = ψ (x) ϕ (t) = ψ (x) Ce−i ~ t
(3.48)
onda a constante C pode ser incluída em ψ (x). A função de onda (3.48) descreve um estado particular do sistema quântico. Trata-se de um estado estacionário do problema.
Uma característica desses estados é que a densidade de probabilidade a eles associada não
59
depende do tempo. Isso não significa que a partícula quântica esteja em repouso.
E
(3.49)
Ψ (x, t) = ψ (x) ϕ (t) = ψ (x) e−i ~ t
Sendo uma equação diferencial linear, a (3.45) admite um conjunto de soluções que
podem ser combinadas matematicamente através de um somatório.
ψ (x) =
X
(3.50)
cn ψn (x)
n
onde os cn são constantes e os ψn (x) dependem da forma do potencial V (x). O índice n
do somatório está relacionado com a quantização e, geralmente, aparece como definidor
das energias possíveis, En , para o sistema (ver seção 3.7). Assim, a solução da equação de
Schrödinger independente do tempo mais geral possível consiste na seguinte expressão:
Ψ (x, t) =
X
cn ψn (x) e−i
En
t
~
(3.51)
n
a qual generaliza a (3.49) e inclui estados não estacionários.
É de se notar a semelhança entre a (3.51) com a (2.2) para definição do vetor ~r (t).
Fazendo a correspondência sugerida na tabela abaixo, vemos que a (3.51) possui uma
estrutura matemática similar a de um vetor com um número de dimensões caracterizado
pelos possíveis valores de n.
Equação (2.2)
3
P
~r (t) = xi (t) î
Equação (3.51)
P
En
Ψ (x, t) = cn ψn (x) e−i ~ t
n
i=1
~r (t) → Ψ (x, t)
i→n
En
xi (t) → cn e−i ~ t
î → ψn (x)
O conjunto dos ψn (x) define o chamado espaço de Hilbert o qual preenche os
requisitos de um espaço vetorial. Daí vem a denominação vetor de estado para se referir à
função de onda Ψ (x, t). No caso geral a dimensão do espaço de Hilbert é infinita. Como
última observação desta seção pode-se destacar que a (3.45) pode ser escrita como:
~2 d2
−
+ V (x) ψn (x) = En ψn (x)
2m dx2
(3.52)
ou, reconhecendo o operador hamiltoniano no termo entre colchetes:
b n (x) = En ψn (x)
Hψ
(3.53)
que é uma equação conhecida da álgebra linear.
60
Trata-se do problema dos auto-valores e auto-vetores. Visto dessa maneira, a
resolução da equação de Schrödinger independente do tempo (3.45) consiste em encontrar
a solução de um problema de álgebra em um espaço de dimensão infinita. Assim como os
versores, î, formam uma base para o espaço tridimensional regular, os auto-vetores, ψn (x),
fazem o papel de base para o espaço de Hilbert. A denominação auto-função é também
comumente utilizada para se referir aos ψn (x). A cada auto-vetor (ou auto-função) existe
um valor bem definido de energia, que corresponde ao auto-valor do problema algébrico.
Os operadores aparecem nesse esquema como uma transformação linear que atua sobre um
vetor do espaço de Hilbert definido pelo potencial V(x). Se o vetor resultante da aplicação
da transformação linear for proporcional ao original, diz-se que o vetor em questão é
um auto-vetor daquela transformação. A constante de proporcionalidade corresponde
ao auto-valor. O conjunto dos auto-valores possíveis para um operador é denominado
espectro e convém nesse momento citar mais um dos postulados da mecânica quântica na
interpretação de Copenhague:
Postulado VI (Decomposição espectral): Os resultados possíveis de um observável
consistem do espectro de auto-valores do operador correspondente.
Existe ainda mais um postulado, relativo à indistinguibilidade das partículas quânticas, que se torna importante quando se considera um sistema com mais de uma partícula.
Nesse caso, a teoria quântica diz que o conjunto que compõe o sistema possui uma única
função de onda que dependerá, evidentemente, das variáveis relevantes de cada partícula
do sistema. A questão da indistinguibilidade define que, pelo quarto postulado, o módulo
ao quadrado da função de onda do sistema deve ser independente da troca entre duas
partículas. Isso pode ser conseguido de duas maneiras e está relacionado com a simetria
da função de onda do sistema. Existem duas formas de simetria que dão origem a dois
tipos de partículas quânticas, a saber, bósons e férmions. Nesse ponto vale o seguinte
enunciado:
Postulado VII (Partículas idênticas): Um sistema quântico composto por bósons
idênticos possui função de onda simétrica. Caso ele seja composto por férmions, a
função de onda do sistema será antissimétrica.
A existência de uma variável que não possui análogo na física clássica também
contribui para desdobramentos importantes do sétimo postulado. Trata-se do número de
spin. O spin é algo que define as duas grandes famílias de partículas quânticas (bósons
e férmions) e molda o comportamento geral dos sistemas quânticos. Partículas com spin
inteiro são denominadas bósons enquanto aquelas com spin semi-inteiro são chamadas de
férmions. É a combinação entre o sétimo postulado e a existência do spin que dá origem
ao famoso princípio de exclusão de Pauli, ensinado nas aulas de química de hoje em dia.
Ocorre que a função de onda antissimétrica se anula quando os números quânticos de
duas das partículas que compõe o sistema são iguais. Como a nulidade da função de
61
onda significa a inexistência da probabilidade associada, isso equivale a dizer que dois
férmions não podem ocupar o mesmo estado que é o princípio de exclusão supracitado. É
este postulado que dá origem à organização da tabela periódica e às diferenças entre as
propriedades de condução elétrica e de calor dos diferentes tipos de materiais. A discussão
e um melhor esclarecimento desse ponto pode se estender em demasia. Assim, dentro do
escopo desse trabalho, nos contentaremos o enunciado do postulado o com esta discussão
resumida.
3.7 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER - O POÇO QUADRADO INFINITO
Por ser empregado em várias áreas (física Nuclear e física do estado sólido são dois
exemplos) e ser simples do ponto de vista matemático, o problema do poço quadrado infinito foi escolhido para servir de exemplo de aplicação. Além disso, ele exibe caracteríticas
essenciais da mecânica quântica que podem ser devidamente exploradas. Nesta seção, ele
será tratado de acordo com o formato padrão encontrado nos livros de uso corrente. No
capítulo 5, voltaremos à discussão dele dentro da concepção Bohmiana.
O poço quadrado infinito corresponde ao caso limite em que a altura do poço tende
a um valor infinito. Seu perfil de potencial é mostrado na figura 3.5.
Figura 3.5: Poço de potencial infinito de largura a.
Podemos definir um poço de potencial infinito da seguinte forma:


x<0
 +∞,
V (x) =
0, 0 ≤ x ≤ a


+∞,
x>a
(3.54)
62
Uma partícula localizada na região II está completamente livre, exceto nos extremos x = 0 e x = a, em que uma força infinita impede que escape3 . Nas regiões I e III a
energia potencial V é infinita. Em última instância, isso impõe uma condição de contorno
sobre a função de onda da partícula que deve ser nula em I e em III. Como a continuidade
da função de onda deve ser exigida tem-se que ψ (0) = 0 e ψ (a) = 0.
Na região II, com x compreendido entre 0 e a, a energia potencial vale zero, e a
equação de Schrödinger (3.45) pode ser escrita como
−
~2 d2 ψ
= Eψ
2m dx2
(3.55)
que com um pouco de manipulação fornece:
d2 ψ
+ k2ψ = 0
com
k 2 = 2mE/~2
(3.56)
dx2
A (3.56) possui a mesma consistência matemática da equação clássica do oscilador
harmônico simples. A solução pode ser escrita como:
ψ (x) = C1 cos kx + C2 sin kx
(3.57)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que, tipicamente, são fixadas pelas condições de
contorno do problema. Sendo assim, para x = 0 e x = a, a função de onda ψ deve ser
nula, como já verificamos anteriormente. Esta imposição, oriunda do potencial, define
que
C1 = 0
(3.58)
ka = 0, ±π, ±2π, ±3π, . . .
(3.59)
O valor de C2 deve ser definido pela condição de normalização
ˆ
a
|ψ (x)|2 dx = 1
(3.60)
0
que define
r
|C2 | =
2
a
(3.61)
A (3.59) pode ser generalizada e determina que k não pode assumir qualquer
valor. Somente os que forem consistentes com ka = nπ onde n é um número inteiro,
determinaram possíveis auto-funções para o problema. Isso equivale a:
3
Lembre-se de que F = −dU ⁄dx, sendo U , a energia potencial V utilizada na equação de Schrödinger.
63
kn =
nπ
,
a
n = 1, 2, 3, . . .
(3.62)
o que define
r
nπ 2
sin
x
(3.63)
a
a
como a base do espaço de Hilbert do poço de potencial infinito. A função de onda do
problema deve ser construída com combinações lineares das funções (3.63).
Outra característica imposta pela (3.62) corresponde ao cálculo dos auto-valores
de energia, uma vez que k e E estão relacionados na (3.56)
ψn (x) =
n2 π 2 ~2
(3.64)
2ma2
O que a equação (3.64) nos diz são os possíveis valores que uma medida da energia
da partícula pode assumir. Desse modo, dizemos que a energia está quantizada. O índice
n, é denominado número quântico e determina o somatório mencionado no final da seção
anterior (equação 3.50).
Com isso a solução final mais geral possível para o problema do poço quadrado
infinito pode ser escrita como a combinação linear das auto-funções:
En =
Ψ (x, t) =
X
n
r
cn
nπ En
2
sin
x e−i ~ t
a
a
(3.65)
com En dado pela (3.64).
Os cn são constantes determinadas pela forma da função de onda em t = 0 e devem
ser tais que a condição de normalização seja satisfeita.
Um sistema quântico pode, em princípio, existir num estado não estacionário como
i
E1
E2
1 h
Ψ (x, t) = √ ψ1 (x) e−i ~ t + ψ2 (x) e−i ~ t
2
(3.66)
Nesse caso o valor da energia média varia no tempo. No entanto, caso uma medida
seja realizada os valores possíveis corresponderão à E1 , caso o vetor de estado colapse
para ψ1 , ou E2 , caso o vetor de estado colapse para ψ2 .
64
CAPÍTULO 4
DAVID BOHM E A TEORIA QUÂNTICA
Conforme anunciado no primeiro capítulo, a mecânica Bohmiana tem o chamado
potencial quântico como característica fundamental. Além disso, ela é uma teoria de
variáveis ocultas, nos moldes formulados por Einstein, e ainda passa no teste da desigualdade de Bell , por causa de sua natureza não local. Estas questões são trabalhadas
neste capítulo.
Vimos no capítulo anterior que, de acordo com a interpretação de Copenhague
da teoria quântica, o estado físico de um sistema individual pode ser completamente
especificado pela função de onda Y e, que esta, define a probabilidade de ocorrência de um
dado resultado. Como já discutido no capítulo 1, no que se refere ao período de elaboração
dos fundamentos da mecânica quântica, o seu caráter paradoxal nem sempre foi consenso
entre os membros da comunidade científica da época. Questões relativas à realidade
física e à localidade, que não estavam automaticamente embutidas ao formalismo básico
desenvolvido pela Escola de Copenhague, foram discutidas por Einstein, Podolsky e Rosen
em 1935 (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935). Segundo Einstein, mesmo para o nível
quântico, deveriam existir elementos ou variáveis dinâmicas que pudessem determinar,
de forma precisa, o comportamento de cada sistema individual, e não meramente o seu
comportamento provável1 . Pela ausência destes elementos ou variáveis na interpretação
Ortodoxa, Einstein considerava esta interpretação como sendo incompleta.
Em oposição às idéias oriundas da Escola de Copenhague, a interpretação sugerida
por David Bohm para a teoria quântica, também conhecida como interpretação Bohmiana ou interpretação causal, concebe que cada sistema individual encontra-se em um
estado precisamente definido, porém desconhecido. A evolução temporal desse estado é
determinada por leis bem definidas, análogas, mas não idênticas, às equações clássicas do
movimento, como aquelas estudadas no capítulo 2 (BOHM, 1952a). Os elementos ou variáveis dinâmicas sugeridas por Einstein, na interpretação Bohmiana, assumem o papel de
condição inicial permitindo que a trajetória e, conseqüentemente, a posição e o momento
de uma partícula, se tornem bem definidos. Como nada sabemos sobre a condição inicial,
que na verdade, é a posição inicial da partícula (x0 ), tais variáveis dinâmicas são ditas
variáveis ocultas. Na interpretação formulada por D. Bohm, a função de onda assume um
papel duplo, pois não só define a probabilidade de ocorrência de um determinado resultado, que é o único desempenhado por Ψ na interpretação de Copenhague, mas também
influencia a dinâmica da partícula através do termo conhecido como potencial quântico
1
O comportamento provável a que nos referimos está relacionado com os valores esperados discutidos
no capítulo anterior.
65
que discutiremos na próxima seção. Vale ressaltar que além das variáveis ocultas automaticamente embutidas na interpretação de Bohm, ela possui uma natureza não-local, como
verificado no teste da desigualdade de Bell.
O ponto de partida aqui adotado para introduzir a mecânica Bohmiana é a equação
de Schrödinger, apresentada no capítulo anterior. Isso significa que os princípios físicos
básicos contidos naquela equação, por exemplo, a dualidade partícula-onda e a conservação
da energia mecânica, estão automaticamente incorporados à teoria Bohmiana.
4.1 A FORMA POLAR DA FUNÇÃO DE ONDA
No capítulo anterior, a equação de Schrödinger foi trabalhada utilizando o método
da separação de variáveis, ou seja, buscaram-se soluções da equação diferencial na forma
de um produto Ψ (x, t) = ϕ (x) θ (t). Um tratamento diferente pode ser dado à equação
diferencial se a função de onda Ψ for escrita na forma polar
(4.1)
Ψ = Ψ (x, t) = ReiS/~
onde R = R (x, t) representa a amplitude e S = S (x, t) a fase da onda. Para aplicar a
2
~2 ∂ 2 Ψ
+ V Ψ = i~ ∂Ψ
, precisamos das derivadas ∂∂xΨ2 e
(4.1) na equação de Schrödinger, − 2m
∂x2
∂t
∂Ψ
. Elas podem ser obtidas da seguinte maneira: primeiro calculamos a derivada primeira
∂t
de Ψ em relação à posição x:
∂Ψ ∂R ∂Ψ ∂S
∂Ψ
=
+
∂x
∂R ∂x
∂S ∂x
(4.2)
As derivadas ∂Ψ
e ∂Ψ
encontradas na (4.2) são iguais a eiS/~ e ReiS/~ ~i , respectiva∂R
∂S
mente. Desse modo a equação se torna:
∂Ψ ∂R ∂Ψ ∂S
∂R
i ∂S
∂Ψ
=
+
= eiS/~
+ ReiS/~
(4.3)
∂x
∂R ∂x
∂S ∂x
∂x
~ ∂x
De posse da equação (4.3), podemos, agora, calcular a derivada segunda de Ψ em
relação à x:
∂ 2Ψ
∂
=
2
∂x
∂x
∂Ψ
∂x
∂
=
∂x
iS/~ ∂R
iS/~ i ∂S
e
+ Re
∂x
~ ∂x
(4.4)
A equação (4.4) pode ser expandida para
∂ 2Ψ
∂
=
∂x2
∂x
∂
iS/~ ∂R
iS/~ i ∂S
e
+
Re
∂x
∂x
~ ∂x
Aplicando a regra da derivada do produto, os termos
se tornam:
∂
∂x
eiS/~ ∂R
e
∂x
(4.5)
∂
∂x
ReiS/~ ~i ∂S
∂x
66
∂
∂x
iS/~ ∂R
e
∂R
∂
∂
=
eiS/~
+ eiS/~
∂x
∂x
∂x
∂x
∂R
∂x
(4.6)
e
i ∂R iS/~ ∂S
∂
∂S
iS/~ i ∂S
iS/~ ∂S
iS/~ ∂
Re
=
e
+R
e
+ Re
~ ∂x
~ ∂x
∂x
∂x
∂x
∂x ∂x
∂
∂x
(4.7)
Como S é função da posição x e do tempo t, devemos aplicar a regra da cadeia ao
∂
termo ∂x
eiS/~ encontrado nas equações (4.6) e (4.7) se tornam:
∂
∂x
∂
∂x
iS/~ ∂R
e
∂x
=e
iS/~
i ∂S ∂R
∂
+ eiS/~
~ ∂x ∂x
∂x
∂R
∂x
i ∂R iS/~ ∂S
∂S
iS/~ i ∂S
iS/~ i ∂S ∂S
iS/~ ∂
Re
=
e
+ Re
+ Re
~ ∂x
~ ∂x
∂x
~ ∂x ∂x
∂x ∂x
(4.8)
(4.9)
Substituindo as equações (4.8) e (4.9) na equaçao (4.5):
∂ 2Ψ
i ∂S ∂R
∂
= eiS/~
+ eiS/~
2
∂x
~ ∂x ∂x
∂x
∂R
i ∂S ∂S
i ∂R iS/~ ∂S
e
+ ReiS/~
+
∂x
~ ∂x
∂x
~ ∂x ∂x
∂ ∂S
+ReiS/~
∂x ∂x
(4.10)
Expandindo a equaçao (4.10), temos:
∂R
i ∂R ∂S
i2 ∂S ∂S
+ eiS/~
+ eiS/~ R 2
∂x
~ ∂x ∂x
~ ∂x ∂x
i ∂ ∂S
+eiS/~ R
~ ∂x ∂x
∂ 2Ψ
i ∂S ∂R
∂
= eiS/~
+ eiS/~
2
∂x
~ ∂x ∂x
∂x
(4.11)
Somando os termos comuns, substituindo i2 por −1 e colocando o termo eiS/~ em
evidência:
∂ 2Ψ
i ∂R ∂S
∂ ∂R
R ∂S ∂S
= 2
+
− 2
2
∂x
~ ∂x ∂x ∂x ∂x
~ ∂x ∂x
i ∂ ∂S
+R
eiS/~
~ ∂x ∂x
(4.12)
A equação (4.12) representa a derivada segunda da função de onda em relação à
x. Agora, precisamos calcular a derivada primeira de Ψ em relação ao tempo:
67
∂Ψ
∂Ψ ∂R ∂Ψ ∂S
=
+
∂t
∂R ∂t
∂S ∂t
(4.13)
2
De modo análogo ao desenvolvimento feito para o cálculo de ∂∂xΨ2 , as derivadas ∂Ψ
∂R
∂Ψ
iS/~
iS/~ i
e ∂S encontradas na equação anterior são iguais a e
e Re
, respectivamente. Desse
~
modo, a equação (4.13) se torna:
∂R
i ∂S
∂Ψ
= eiS/~
+ ReiS/~
∂t
∂t
~ ∂t
(4.14)
Colocando o termo eiS/~ em evidência:
∂Ψ
=
∂t
∂R
i ∂S
+R
∂t
~ ∂t
(4.15)
eiS/~
Substituindo as equações (4.1), (4.12) e (4.15) na equação de Schrödinger dependente do tempo vem:
i ∂R ∂S
∂ ∂R
R ∂S ∂S
i ∂ ∂S
~2
2
+
− 2
+R
eiS/~ + V ReiS/~
−
2m ~ ∂x ∂x ∂x ∂x
~ ∂x ∂x
~ ∂x ∂x
∂R
i ∂S
= i~
+R
eiS/~
(4.16)
∂t
~ ∂t
Dividindo a equação (4.16) por eiS/~ :
∂ ∂R
i ∂ ∂S
i ∂R ∂S
R ∂S ∂S
~2
+
+R
2
− 2
+VR
−
2m ~ ∂x ∂x ∂x ∂x
~ ∂x ∂x
~ ∂x ∂x
∂R
i ∂S
= i~
+R
∂t
~ ∂t
(4.17)
Expandindo a equação (4.17) e substituindo o termo i2 por −1, temos:
~ ∂R ∂S
~2 ∂
−
− i
m ∂x ∂x 2m ∂x
∂R
∂x
R ∂S ∂S
~
∂
+
−
Ri
2m ∂x ∂x 2m ∂x
∂R
∂S
= i~
−R
∂t
∂t
∂S
∂x
+VR
(4.18)
Podemos arrumar os dois lados da igualdade representada pela equação (4.18) na
forma de número complexo y = a + bi:
68
~2 ∂
−
2m ∂x
∂R
∂x
R ∂S ∂S
~ ∂R ∂S
~
∂ ∂S
+
+VR + −
−
R
i
2m ∂x ∂x
m ∂x ∂x 2m ∂x ∂x
∂R
∂S
+ ~
i
(4.19)
= −R
∂t
∂t
4.2 A PARTE REAL E O POTENCIAL QUÂNTICO
Primeiramente, vamos comparar a parte real de ambos os lados da equação (4.19):
~2 ∂
−
2m ∂x
∂R
∂x
+
R ∂S ∂S
∂S
+ V R = −R
2m ∂x ∂x
∂t
(4.20)
Multiplicando a equação (4.20) por 1/R:
~2 1 ∂
−
2m R ∂x
∂R
∂x
+
∂S
1 ∂S ∂S
+V =−
2m ∂x ∂x
∂t
(4.21)
Passando todos os termos para o lado esquerdo da igualdade chegamos à seguinte
equação:
1 ∂S ∂S
~2 1 ∂
∂S
+
+V −
∂t
2m ∂x ∂x
2m R ∂x
∂R
∂x
=0
(4.22)
ou ainda:
~2 (∂ 2 R/∂x2 )
∂S (∂S/∂x)2
+
+V −
=0
(4.23)
∂t
2m
2m
R
A equação (4.23) é formada por uma soma de quatro energias. A energia potencial
V (x) aparece explicitamente e a discussão é a trivial. O segundo termo corresponde a
uma energia cinética se identificarmos o momento linear com a derivada da fase em relação
a x, ou seja, p = ∂S/∂x. Pode-se ver isso considerando que, para uma onda plana, tem-se
S (x, t) = ~ (kx − ωt) = px − Et
(4.24)
∂S
=p
∂x
(4.25)
∂S
= −E
∂t
(4.26)
temos que
pela relação de De Broglie e
pela relação de Einstein.
Ao último termo do lado esquerdo da (4.23) dá-se o nome de potencial quântico,
69
Q:
Q=−
~2 (∂ 2 R/∂x2 )
2m
R
Com isso, a (4.23) assume a forma: −E +
p2
2m
(4.27)
+ V + Q = 0 ou
p2
+V +Q=E
(4.28)
2m
Dessa maneira a conservação da energia mecânica é recuperada. Isso não representa nenhuma surpresa já que o ponto de partida da dedução da (4.28) é a equação de
Schrödinger. Como discutido no capítulo 3, esta equação contém a conservação da energia
em sua formulação e, além disso, tem embutido o dualismo partícula-onda. Esse segundo
princípio é apontado como responsável pelo aparecimento do potencial quântico na (4.28).
Lembrando que a energia mecânica total pode ser identificada com a hamiltoniana
do problema tem-se a identificação
∂S
∂t
Derivando a (4.29) em relação à posição vem:
H=−
∂ ∂S
∂
=
∂x ∂t
∂t
∂S
∂x
=
∂H
∂p
= ṗ = −
∂t
∂x
(4.29)
(4.30)
que pode ser re-escrita como
−ṗ =
∂H
∂x
(4.31)
Por outro lado, temos que se
p2
+V +Q
2m
com V e Q independentes de p, podemos diferenciar a (4.32) em relação a p:
H=
(4.32)
∂H
p
=
∂p
m
(4.33)
∂H
∂p
(4.34)
ou
ẋ =
Pode-se comparar as equações (4.31) e (4.34) com as equações de Hamilton-Jacobi
(2.56) e (2.57) do capítulo sobre mecânica clássica. Vê-se uma semelhança inequívoca o
que significa a possibilidade de se voltar a falar no conceito de trajetórias mesmo dentro do
arcabouço da mecânica quântica. Uma importante diferença é que as trajetórias quânticas,
ou trajetórias Bohmianas, sofrem a ação da função de onda através da influência do
70
potencial quântico. Em resumo, os métodos de resolução do problema do movimento
clássico, ou seja, dar o tratamento adequado para as equações (4.31) e (4.34) podem ser
valiosos para o problema do movimento quântico desde que o potencial quântico seja
incluído (4.32).
4.3 A PARTE IMAGINÁRIA E A EQUAÇÃO DE CONTINUIDADE
Um procedimento análago ao realizado para a parte real da equação (4.19) deve
ser feito para a parte imaginária. Comparando as partes imaginárias de ambos os lados
da igualdade, temos:
~
∂
~ ∂R ∂S
−
R
−
m ∂x ∂x 2m ∂x
∂S
∂x
=~
∂R
∂t
(4.35)
Multiplicando a equação acima por 1/~ e colocando o termo −1/2m em evidência:
∂R
1
∂ ∂S
∂R ∂S
=−
+R
2
∂t
2m ∂x ∂x
∂x ∂x
(4.36)
Se multiplicarmos a equação (4.36) por 2R:
1
∂R ∂S
∂S
∂R
2 ∂
=−
+R
2R
2R
∂t
m
∂x ∂x
∂x ∂x
Como a derivada de R2 em relação ao tempo é igual a 2R ∂R
, ou seja,
∂t
podemos escrever a equação (4.37) como:
(4.37)
∂R2
∂t
= 2R ∂R
,
∂t
1
∂R2
∂R ∂S
∂S
2 ∂
=−
+R
2R
(4.38)
∂t
m
∂x ∂x
∂x ∂x
∂S
∂S
2 ∂
Na equação anterior, a soma 2R ∂R
+R
pode ser escrita como a derivada
∂x ∂x
∂x ∂x
2 ∂S
de R ∂x em relação à variável x:
∂
∂x
∂R2 ∂S
∂S
∂R ∂S
∂S
2 ∂S
2 ∂
2 ∂
R
=
+R
= 2R
+R
∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
(4.39)
Substituindo a equação (4.39) na equação (4.38):
∂R2
1 ∂
2 ∂S
=−
R
∂t
m ∂x
∂x
(4.40)
Se fizermos R2 = ρ, sendo ρ a densidade de probabilidade, a equação (4.40) pode
ser escrita como:
∂ρ
1 ∂
∂S
=−
ρ
∂t
m ∂x
∂x
(4.41)
71
Passando todos os termos para o lado esquerdo da igualdade a equação (4.41) se
torna
∂ρ
∂
+
∂t ∂x
∂S/∂x
ρ
=0
m
(4.42)
ou
∂ρ
∂
+
(ρv) = 0
∂t ∂x
(4.43)
Se repararmos, a equação (4.43) é semelhante à equação de continuidade 3.39
encontrada no capítulo 3 com as identificações j = ρv e v = ẋ = p/m.
4.4 ALGUMAS COMPARAÇÕES
Apresentamos abaixo algumas diferenças entre a interpretação Bohmiana e a interpretação de Copenhague.
Na interpretação de Copenhague, o estado de um sistema quântico individual só
se torna conhecido no momento em que uma medida é realizada. Como exemplo, pode-se
observar a função densidade de probabilidade ρ (x), que se encontra inicialmente distribuída por todo o espaço, colapsar para um único ponto após a realização da medida (ver
figura 4.1). Enquanto a medida não for realizada, o máximo que se pode afirmar sobre o
estado de tal sistema está contido na função de onda já que este se encontra no estado
de superposição (gato de Schrödinger). A distribuição de probabilidade e seu colapso,
mostrados na figura 4.1, representam, respectivamente, os aspectos ondulatórios e corpusculares da matéria, constituintes do Princípio da Complementaridade. A função de
onda depende das condições de contorno do problema através da função potencial V . O
conceito de trajetórias perde sentido, pois não se podem definir a posição nem o momento
da partícula quântica em função do tempo, mas apenas calcular seus valores médios. O
princípio da incerteza, intrínseco a qualquer teoria que se utilize da função de onda, opera
definindo para um dado instante de tempo a dispersão do pacote de ondas do sistema no
espaço de fases.
72
Figura 4.1: Princípio da Complementaridade.
Na interpretação Bohmiana, o pacote de onda tem uma dupla função, pois não
só define a densidade de probabilidade, que é o único papel desempenhado por Ψ na
interpretação de Copenhague, mas também influencia a dinâmica da partícula, através o
potencial quântico. As condições de contorno, que podem incluir os aparelhos de medida
no problema, são então definidas não apenas pela função potencial V , mas também através
do potencial quântico Q. Dessa forma, a função de onda atua como um campo que guia
a partícula quântica através de trajetórias definidas pelas equações de Hamilton (4.31) e
(4.34). Com isso, os valores do x e de p podem ser calculados para qualquer instante de
tempo, ou seja, trajetórias podem ser computadas e não somente valores médios. Estas
são as chamadas trajetórias Bohmianas. No entanto, não se pode conhecer qual das
possíveis trajetórias foi ou será seguida por causa da variável oculta x0 . O princípio de
incerteza também opera nessa interpretação, mas toma um sentido diferente, pois passa a
ser visto como conseqüência do desconhecimento da variável oculta e não mais algo com
conotação proibitiva. A figura 4.2 ilustra essa característica onde a evolução no tempo de
um pacote genérico é esquematizada.
Figura 4.2: (a) Evolução de um pacote de ondas (b) medida Bohmiana (c) medida ortodoxa.
73
As condições de contorno associadas ao problema definem o campo Ψ e as equações de Hamilton são resolvidas para identificação das trajetórias Bohmianas. A variável
oculta, x0 , não é conhecida, mas pode ser caracterizada por uma distribuição de probabilidades com largura dada por um 4x0 . A cada ponto inicial existe um momento inicial
que, por sua vez, possui uma distribuição com largura 4p0 relacionada com 4x0 através
do princípio da incerteza. Com o passar do tempo a partícula segue uma trajetória bem
definida, porém desconhecida, o que causa uma mudança na largura da distribuição inicial
do pacote (figura 4.2a). Esta evolução termina com a eventual deteção da partícula. Não
há mudança nas condições de contorno no momento da deteção, já que o aparelho de
medida faz parte delas, com isso não há o colapso da função de onda. O que é revelado
pela medida é, em última instância, a condição inicial (x0 no caso da figura 4.2b). No caso
da medida ortodoxa, existe o colapso da função de onda como mencionado anteriormente
e a posição da partícula nunca pode ser conhecida (figura 4.2c).
O mesmo princípio pode ser pensado para a realidade objetiva. O que nos impediria, portanto, de ter acesso à realidade objetiva é a nossa ignorância em relação às variáveis
ocultas, ou seja, a nossa falta de conhecimento em relação à posição inicial, ou mais genericamente, às condições iniciais do sistema. Neste caso, na interpretação formulada
por Bohm, a figura do observador como catalisador do processo de medida, é eliminada,
ou seja, o quinto postulado da interpretação de Copenhague pode ser desconsiderado.
Em outras palavras, a realidade objetiva existe independentemente do observador. Como
conseqüência, o Princípio da Complementaridade perde o sentido na interpretação causal.
Uma última observação a esse respeito concerne ao significado da dualidade partícula onda. Na interpretação ortodoxa, a função de onda e a partícula se confundem
dentro do princípio da complementaridade, ou seja, um único objeto, no caso, a onda de
matéria, assume o papel de dupla funcionalidade. Já na interpretação Bohmiana existem
dois objetos, a chamada onda piloto juntamente com a partícula, para suprir o dualismo
observado no comportamento quântico. De certa forma o problema da dualidade partícula
onda fica "dissolvido" na interpretação causal.
4.5 PARADOXO EPR
Em 1935, Albert Einstein, juntamente com dois colegas do Institute for advanced
Study em Princeton, o russo Boris Podolsky e o norte-americano Nathan Rosen, publicaram um trabalho intitulado “Can quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete? ” que, sem dúvida, foi decisivo para intensificar o tão famoso debate entre Einstein e Bohr sobre a realidade física (EINSTEIN; PODOLSKY; ROSEN, 1935).
Este trabalho ficou conhecido como EPR, que representa, respectivamente, as iniciais dos
nomes de seus autores: Einstein, Podolsky e Rosen.
74
De acordo com EPR, qualquer teoria física dever levar em consideração a distinção
entre “realidade objetiva”, que é independente de qualquer teoria, e os conceitos físicos
que a teoria opera. Em outras palavras, realidade objetiva é a forma como a natureza
se apresenta e, que, não pode, de modo algum, ser influenciada pela maneira como a
enxergamos. Não podemos, por exemplo, criar uma teoria que faça com que as coisas
subam, ao invés de caírem, e exigirmos que a natureza se comporte de tal maneira2 . Desse
modo, não faz sentido falarmos em “método científico” já que entre as etapas exigidas
a fim de que se possa produzir conhecimento dito científico, consiste, primeiramente,
na observação do fenômeno em questão (realidade objetiva) para posterior descrição e
realização de previsões, e não o oposto.
Como discutido na seção 1.2.3 e rapidamente citado na introdução deste capítulo,
segundo Einstein, uma teoria sobre o mundo físico deve possuir elementos, ou variáveis
dinâmicas, que possam ser definidas com precisão e associadas à realidade física independentemente da medida. A ausência de tais elementos ou variáveis dinâmicas na interpretação de Copenhague fez com que Einstein a considerasse como sendo incompleta. A
incompletude de uma teoria física será discutida no restante desta seção.
Considere a figura 4.3. Ela descreve de forma artística uma possível relação entre
teoria e realidade. Na figura 4.3 (a) temos, à esquerda, o espaço da teoria T contendo
elementos da teoria representados por símbolos pintados. À direita, temos o espaço da
realidade objetiva R contendo elementos da realidade representados por símbolos vazios.
Os elementos da teoria são conceitos, usualmente matemáticos, descritos e manipulados
pela linguagem e procedimentos da matemática. Já os elementos da realidade se referem
à forma como a natureza se apresenta. Os elementos de realidade e a interação entre eles
são propriedades do mundo a nossa volta e, que, se tornam acessíveis, somente através
dos experimentos.
O papel da física teórica pode ser resumido como sendo a responsável por estabelecer relações entre os espaços da teoria e da realidade objetiva. Sendo assim, existem
diversos modos de estabelecer relações entre T e R. No caso (a) da figura 4.3 podemos
observar que os dois elementos da teoria se relacionam, cada um, com dois, dos três, elementos de realidade existentes em R. Entretanto, como existe um elemento de R que não
possui correspondente em T, dizemos que tal mapeamento é incompleto.
Na tentativa de completar o espaço da teoria, como mostra a figura 4.3 (b), podemos adicionar conceitos a T e mapear os novos elementos de realidade de R. É verdade
que, agora, cada elemento de realidade em R corresponde a pelo menos um elemento
em T. Entretanto, temos dois elementos de T correspondendo a um único elemento de R.
Neste caso, tal relação é denominada redundante. Podemos transformar o mapeamento da
figura 4.3 (b) em uma relação não-redundante. Basta que para isso, o elemento da teoria
Obviamente, todos os corpos envolvidos neste exemplo possuem massa e estão sujeitos a um campo
gravitacional.
2
75
representado por uma estrela seja eliminado. Desse modo, temos, agora, cada elemento
de T correspondendo unicamente a um único elemento de realidade em R, e vice-versa.
Este tipo de mapeamento corresponde a uma teoria completa (caso (c) da figura 4.3).
Figura 4.3: Conexão entre teoria e realidade. Retirado e adaptado de (BLUMEL, 2010)
Como visto na seção anterior, o estado de um dado sistema quântico, na interpretação Bohmiana, é bem determinado para qualquer instante de tempo. É a nossa ignorância
em relação às variáveis ocultas que nos impede de ter acesso à realidade objetiva. Esta
situação pode ser representada pelo caso (a) da figura 4.3 em que existe um elemento de realidade sem correspondente no espaço da teoria. Para que possamos resolver este impasse
e ter acesso ao elemento de realidade em questão é necessário lançar mão das variáveis
ocultas, no que se refere ao espaço da teoria, transformando a teoria física, até então,
incompleta, em uma teoria completa (caso (d) da figura 4.3). Além disso, a comprovação
da desigualdade de Bell pelo experimento de Aspect é um ponto a favor da completude
da mecânica quântica, contrariando EPR. Outra conseqüência da comprovação feita por
Aspect é a não-localidade como característica fundamental da natureza.
Esta não-localidade é vista dentro da mecânica quântica através da função de onda.
Na interpretação Bohmiana isso se dá através do potencial quântico, que é não local,
exatamente pelo fato de ser dependente da função de onda. No caso de duas partículas
tem-se que a função de onda total varia nas regiões onde as partículas estão presentes. Isso
significa que a segunda derivada e, conseqüentemente, o potencial quântico, é apreciável
nas regiões próximas à posição das partículas independentemente da distância entre elas,
diferentemente do que acontece com o potencial Coulombiano, por exemplo, que diminui
conforme a distância entre as partículas aumenta. Uma observação importante é que o
teorema de Bell elimina todas as teorias de variáveis ocultas locais. Como a teoria de
Bohm é não-local, assim como a interpretação de Copenhague, o teste da desigualdade de
76
Bell pode ser considerado como uma validação da interpretação de Copenhague e também
da teoria Bohmiana.
77
CAPÍTULO 5
APLICAÇÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA BOHMIANA
Retomamos o problema do poço quadrado infinito da seção 3.8 com a perspectiva
inicialmente do problema clássico e em seguida do tratamento Bohmiano.
Uma partícula de massa m move-se livremente com velocidade constante vx sobre
o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas da figura 5.1(a). Se impusermos limitações
à movimentação da partícula através da implantação de paredes de altura y nas posições
x = a e x = b, esta, estará confinada a mover-se entre essas duas posições. Chamamos
esta configuração de poço de potencial finito. Para que a partícula seja capaz de extrapolar
os limites das paredes e possa movimentar-se nas regiões x < a e x > b é necessário que
2
sua energia cinética T = mv2 x seja maior que a energia potencial gravitacional U = mgy.
Caso contrário, a partícula continuará confinada à região a ≤ x ≤ b (figura 5.1(b)).
Deve-se notar que a partícula oscila dentro do poço porque colide com as paredes que o
compõem. A interação da partícula com as paredes resulta no surgimento de um impulso
I~ = ∆~p = −2m~vx , referenta à parede localizada em x = b, e I~ = ∆~p = 2m~vx , referente à
parede localizada em x = a. Do ponto de vista clássico, essas colisões invertem o sentido
da velocidade da partícula e pressupõem uma localização bem definida da partícula nas
posições x = a e x = b, ou seja, para que haja a inversão de velocidade a partícula tem
que ocupar uma das duas posições x = a e x = b.
Figura 5.1: (a) Partícula livre movendo-se com velocidade ~vx . (b) Partícula confinada a
mover-se entre as posições x = a e x = b.
5.1 CASO ESTACIONÁRIO
O perfil da energia potencial
78



∞, x ≤ 0


V (x) = 0, 0 < x < a



∞, x ≥ a
(5.1)
que define o poço de potencial
2 2infinito, quando substituído na equação de Schrödinger
~ d ψ(x)
independente do tempo, − 2m
+ V (x) ψ (x) = Eψ (x) , exige que a função de onda
dx2
ψn (x) assuma a forma
ψn (x) =



0,

q
x≤0
2
a
sin



0,
nπ
x
a
, 0<x<a
(5.2)
x≥a
como visto na seção 3.8.
Deve-se observar que o potencial clássico V (x) é o responsável pelo confinamento
da partícula e por fazer a função de onda ψn (x) ser igual a zero nos intervalos x ≤ 0 e
x ≥ a quando este tende ao infinito em x = 0 e x = a. Para que a partícula possa existir
fora da região compreendida entre x = 0 e x = a ela deveria ter uma energia cinética
infinita1 . Dessa forma, a função de onda tem que se anular já que a partícula associada
à onda não pode existir nessa região.
Deseja-se determinar o potencial quântico para as autofunções do problema. Para
isso é preciso examinar o comportamento das derivadas dos ψn (x) dados pela (5.2).
As funções de onda ψn (x) são contínuas no intervalo −∞ < x < +∞ e diferenciáveis em todos os pontos (ver figura 5.2(a) para o caso específico de n = 1), entretanto,
estamos interessados em estudar o comportamento desta função nas proximidades de
x = 0 e x = a:
Tabela 5.1: Teste de continuidade para ψn .
Para x = 0
(
lim ψn (x) = 0
x→0+
lim ψn (x) =
lim− ψn (x) = 0
x→0
Para x = a
(
lim ψn (x) = 0
x→a+
lim ψn (x) =
lim− ψn (x) = 0
x→a
∃ψn (0) = 0
∃ψn (a) = 0
x→0
x→a
A tabela 5.1 demonstra a continuidade de ψn (x) nos pontos x = 0 e x = a.
Diferenciando a equação (5.2) em relação à x, temos:
O mesmo princípio valeria para o caso clássico descrito no início deste capítulo quando as alturas das
paredes que constituem o poço fossem infinitas.
1
79
ψn0 (x) =



0,

 q
nπ
a



0,
x<0
2
a
cos
nπ
x
a
(5.3)
, 0<x<a
x>a
Realizando procedimento análogo ao aplicado à equação (5.2) no que se refere à
verificação de sua continuidade, observamos que ψn0 (x) é descontínua nos pontos x = 0 e
x = a (ver figura 5.2(c) para o caso específico de n = 1):
Tabela 5.2: Teste de continuidade para ψn0 .
Para x = 0

lim ψn0 (x) = 0

x→0−
0
q
lim ψn (x) =
2
x→0
 lim ψn0 (x) = nπ
a
a
+
Para x = a

lim ψn0 (x) = 0

x→a+
0
q
lim ψn (x) =
2
x→a
 lim ψn0 (x) = − nπ
a
a
−
x→0
x→a
@ψn0
@ψn0 (0)
(a)
ou seja, as funções ψn0 (x) possuem uma descontinuidade do tipo degrau nos pontos x = 0
e x = a. Diferenciando a equação (5.3) em relação à x, temos:



0,


ψn00 (x) = −



0,
x<0
q2
nπ 2
a
a
sin
nπ
x
a
, 0<x<a
(5.4)
x>a
Como ψn0 (x) tem uma descontinuidade finita nos pontos x = 0 e x = a, a sua
derivada sofre um salto pontual do tipo delta de Dirac nesses dois pontos (ver figura
5.2(e) para o caso específico de n = 1). O teste de continuidade pode ser visto na tabela
abaixo:
Tabela 5.3: Teste de continuidade para ψn00 .
Para x = 0
(
lim ψn00 (x) = 0
00
x→0+
lim ψn (x) =
lim− ψn00 (x) = 0
x→0
Para x = a
(
lim ψn00 (x) = 0
00
x→a+
lim ψn (x) =
lim− ψn00 (x) = 0
x→a
ψ 00 (0) = +∞
ψ 00 (a) = +∞
x→0
x→a
Por outro lado, a função de onda total na forma polar se apresenta na forma
Ψ(x, t) = R(x, t)eiS(x,t)/~ onde R(x, t) e S(x, t) representam, respectivamente, a amplitude
80
e a fase da onda (aqui R e S são funções reais). Multiplicando Ψ(x, t) pelo seu complexo
conjugado Ψ∗ (x, t) = R(x, t)e−iS(x,t)/~ , temos:
Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) = R(x, t)eiS(x,t)/~ R(x, t)e−iS(x,t)/~ = R2
(5.5)
Escrevendo a amplitude R em função de Ψ, temos:
√
R=
Ψ∗ Ψ
(5.6)
Para o presente caso em que a função de onda ψn (x) é real, temos que ψn (x) =
ψn∗ (x). Desse modo, a amplitude R assume a forma
R=
p
p
ψn∗ ψn = ψn2 = ψn (x)
(5.7)
Como estamos interessados em estudar a influência do potencial quântico (Q) no
comportamento da partícula no poço de potencial infinito, precisamos calcular
~2 1 ∂ 2 R
Q=−
2m R ∂x2
Diferenciando R duas vezes em relação à x, temos:
(5.8)
∂ 2R
∂ 2 ψn
=
= ψn00 (x)
(5.9)
∂x2
∂x2
Percebe-se que neste caso o potencial quântico poderá ser escrito na forma
Q=−
~2 ψn00
2m ψn (x)
(5.10)
Vale ressaltar que as funções ψn (x) e ψn00 (x) já foram calculadas anteriormente.
00 (x)
Neste caso, podemos escrever ψψnn (x)
na forma que se segue (ver figura 5.2(g)):


 00 (indeterminado), x < 0

00
2
ψn (x) 
= − nπ
,
0<x<a
a

ψn (x)


 0 (indeterminado), x > a
0
(5.11)
e, conseqüentemente, o potencial quântico se torna (ver figura 5.2(h)):
Q (x) =

0



0
(indeterminado), x < 0
2 2 2
n π ~
,
0<x<a
2ma2



 0 (indeterminado), x > a
0
(5.12)
O potencial quântico acima nos mostra que a partícula, dentro do poço, não sofre
a ação de uma força de origem quântica (Fq = −∇Q(x) = − dQ(x)
= 0) já que Q(x)
dx
é constante nesta região. Neste ponto, a verificação do Princípio da Conservação da
81
Energia é fundamental para que se tenha um panorama relacionado ao balanço energético
do
em questão. A função de onda total do poço de potencial infinito
q
sistema quântico
−iE t/~
x
e n
quando comparada à função de onda total na forma
Ψn (x, t) = a2 sin nπ
a
q
iSn /~
identifica a amplitude Rn como sendo igual a a2 sin nπ
polar Ψn (x, t) = Rn e
x
e
a
a fase Sn igual a −En t.
82
Figura 5.2: Diagramas ilustrativos da função de onda e do potencial quântico para os estados
estacionários do poço quadrado infinito.
Em outras palavras, temos:
r
Rn =
nπ 2
sin
x
a
a
(5.13)
83
Sn = −En t
(5.14)
O Princípio da Conservação da Energia pode ser validado se a igualdade (4.23)
∂S (∂S/∂x)2
~2 (∂ 2 R/∂x2 )
+
+V −
=0
∂t
2m
2m
R
de fato, ocorrer. Em termos das equações (5.13) e (5.14) pode-se escrever:
−En + 0 + 0 +
n2 π 2 ~ 2
=0
2ma2
(5.15)
(5.16)
ou mais simplesmente
En =
n2 π 2 ~2
2ma2
(5.17)
Aqui, cabe discutir a forma como o potencial clássico V atua nas diferentes regiões
do poço tanto para a interpretação de Copenhague quanto para a Bohmiana.
Na interpretação Ortodoxa, o potencial clássico interage com a função de onda
e não com a partícula (V → Ψ). Um exemplo é o problema do poço quadrado infinito
desenvolvido na seção 3.7.1. Nele, o potencial clássico impõe que a função de onda deve
ser nula nas paredes do poço. Em outras palavras, a função de onda é modelada por V . A
componente corpuscular da onda de matéria, ou seja, a partícula, não sente diretamente
a força causada pelo potencial V devido ao princípio da incerteza. Neste caso, torna-se
impossível precisar simultaneamente a posição e o momento da partícula.
Na interpretação Bohmiana, a função de onda não só interage com o potencial V ,
mas também determina o potencial quântico Q(x) (V → Ψ → Q). A função de onda Ψ
atua como um campo com o qual a partícula interage diretamente através do potencial
quântico que define, portanto, uma força de origem quântica (Fq = −∇Q (x)). É esta
força que surge nas paredes que delimitam o poço (em x = 0 e x = a) impedindo que a
partícula o extrapole. Na região compreendida entre as paredes a força quântica é nula,
visto que, Q (x), nesta região, é uma constante.
Deve-se lembrar que, na equação (5.16), o potencial clássico é nulo como já comentado no início desta seção. A fenomenologia por trás da equação (5.17) é bastante
simples: a energia total da partícula (En ), para qualquer estado estacionário, encontra-se
totalmente sob a forma de energia potencial quântica. Deste modo, o termo “estacionário”
é justificado, visto que, a energia cinética, para qualquer valor de n, é nula, o que significa
que as trajetórias definidas para a partícula não se movem.
Na verdade esta é uma propriedade geral dos estados estacionários de qualquer
problema. Para esses casos, a função de onda pode ser escrita como
Ψn (x, t) = ψn (x) e−iEn t/~ = Rn (x) eiS/~
(5.18)
84
De onde se vê que
ψn (x) = Rn (x)
(5.19)
S = −En t
(5.20)
A substituição na (4.23) resulta em:
∂S (∂S/∂x)2
~2 (∂ 2 R/∂x2 )
+
+ V (x) −
=0
∂t
2m
2m
R
−En +
(0)2
~2 (∂ 2 Rn /∂x2 )
+ V (x) −
=0
2m
2m
Rn
(5.21)
(5.22)
ou ainda, multiplicando por Rn temos
−
~2 d2 Rn
+ V (x) Rn = En Rn (x)
2m dx2
(5.23)
que é a equação de Schrödinger independente do tempo. É importante ressaltar que o
termo do potencial quântico possui nesse caso uma interpretação do tipo energia cinética.
É a isto que se refere a equação (5.17).
85
CAPÍTULO 6
ETAPAS DE ELABORAÇÃO DA DISSERTAÇÃO E DO PRODUTO DIDÁTICO
A seguir, encontra-se a descrição detalhada dos procedimentos adotados para a
elaboração deste trabalho de pesquisa:
(1) Levantamento de artigos, bem como, livros relacionados à temática abordada.
Em relação aos artigos que fazem referencia ao Ensino de MQ, preferiu-se a utilização de
periódicos classificados como estrato A1, A2 e B1 de acordo com o portal WebQualis da
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior (CAPES) de qualquer
período. Como resultado, foram selecionados os seguintes periódicos: A1 – Physics Education, A2 – Investigações em Ensino de Ciências e B1 – American Journal of Physics,
Caderno Catarinense de Ensino de Física e Revista Brasileira de Ensino de Física;
(2) Construção da introdução iniciando por uma discussão acerca do estado atual
do ensino de física, no que se refere à MQ, passando pelas suas origens, e, finalizando
com apontamentos em relação à necessidade de introdução de tópicos de fronteira, como
a MQ bohmiana, nos cursos de física de nível superior;
(3) Elaboração do corpo da dissertação com a introdução dos seguintes capítulos:
capítulo 2 – As Bases da Mecânica Quântica, capítulo 3 – A Equação de Schrödinger,
capítulo 4 – David Bohm e a Teoria Quântica e capítulo 5 – Aplicação da Mecânica
Quântica Bohmiana;
(4) Construção de um módulo de ensino de MQ, usando como tema central, a MQ
de David Bohm. A elaboração deste produto educacional se refere à versão expandida
dos quatro capítulos da dissertação citados anteriormente;
(5) Aplicação do produto em uma turma composta por alunos do curso superior
de Licenciatura em Física e do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências (PROPEC)
do IFRJ – Campus Nilópolis selecionados especialmente para esta finalidade. Faz-se necessário ressaltar que os alunos do PROPEC selecionados foram aqueles que possuem a
Física como área de atuação, uma vez que, as linhas de pesquisa do PROPEC cobrem
áreas muito diversas. Os alunos integrantes desta turma foram selecionados a partir dos
seguintes critérios: no caso dos alunos do curso superior de Licenciatura em Física, eles
deveriam estar cursando, ou já ter cursado, as disciplinas de Física Moderna II e III e,
no caso dos alunos do PROPEC, estes, deveriam estar cursando, ou já terem cursado,
as disciplinas Tópicos em Física Clássica e Tópicos em Física Quântica oferecidas como
disciplinas obrigatórias alternativas. A exigência dessas disciplinas se faz necessária, uma
vez que, o conteúdo mínimo necessário para o entendimento da MQ bohmiana se refere
ao formalismo lagrangiano e hamiltoniano, encontrado na disciplina Tópicos em Física
86
Clássica, e, aos postulados da MQ à luz da interpretação de Copenhague, encontrados
nas disciplinas Física Moderna II e Tópicos em Física Quântica. A disciplina responsável
por apresentar o formalismo lagrangiano e hamiltoniano para os alunos do curso de Licenciatura em Física seria a disciplina intitulada Física Clássica, conforme fluxograma do
curso. A aplicação do produto será feita na forma de aulas expositivas, utilizando quadro
e giz, divididas da seguinte maneira:
Primeira aula - apresentação do capítulo 2 como forma de transmitir ao público
conhecimentos relativos ao formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano;
Segunda aula - apresentação do capítulo 3 como forma de revisão do conteúdo
visto nas disciplinas Física Moderna II e Tópicos em Física Quântica;
Terceira aula - apresentação do capítulo 4 partindo da equação de HamiltonJacobi, já estudada no capitulo 1, chegando até as equações de D. Bohm da MQ.
Quarta aula - apresentação do capítulo 5 sobre aplicações do arcabouço Bohmiano
ao problema do poço de potencial quadrado infinito.
Cada aula teve a duração de 1h 30min.
87
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A análise realizada no capítulo 1, no que se refere ao conteúdo de mecânica quântica
abordado nos cursos de graduação e pós-graduação em física, seja nos cursos de bacharelado ou licenciatura, assim como, nos livros-textos básicos utilizados como referência
bibliográfica, mostrou que a interpretação de Copenhague é apresentada aos estudantes
como sendo a única capaz de descrever os fenômenos atômicos. Não há qualquer citação
em relação à teoria Bohmiana, ou a qualquer outra que não seja a ortodoxa. Neste sentido,
se os livros-textos de MQ não consideram a inclusão de tópicos de discussões acerca de
seus fundamentos e interpretações, parece pouco provável que os estudantes formados por
estes livros tenham qualquer contato com interpretações alternativas da MQ. Em outras
palavras, se tais conteúdos são negligenciados nos livros didáticos, é de se esperar que a
propagação desse conteúdo específico, ou melhor, dessa herança cultural, para os dias de
hoje e para tempos futuros torne-se impossível, dificultando qualquer mudança paradigmática (KUHN, 2011). Em suma, um curso de MQ típico é voltado, principalmente, para
a operacionalização da teoria quântica e não para a discussão de suas bases filosóficas.
Com o intuito de romper este ciclo vicioso que tem se constituído o ensino desta disciplina, a interpretação Bohmiana é apresentada, entre as várias interpretações existentes,
para servir de complemento curricular nos cursos de física quântica. Tal escolha deve-se
ao fato da rapidez com que o âmago da teoria é revelado, necessitando, entretanto, dos
conhecimentos básicos relativos à formulação Lagrangeana e Hamiltoniana da mecânica
clássica, mais especificamente das equações canônicas de Hamilton-Jacobi. Justifica-se
assim a elaboração do capítulo 2. Isso se fez necessário para que a teoria quântica de
Bohm pudesse ser mais bem apreciada pelos leitores sem a necessidade da utilização de
uma bibliografia auxiliar. Além do mais, esta é uma teoria que foi publicada enquanto
seu autor esteve no Brasil, mais especificamente, na Universidade de São Paulo, e que
poucos têm conhecimento sobre o assunto.
Para que os aspectos quânticos da teoria Bohmiana pudessem ser percebidos de
forma clara e prática, assim como fizemos para o capítulo 2, fez-se necessário a elaboração
de um capítulo 3. Este tem como tarefa principal, a revisão do conteúdo estudado nas
disciplinas de Física Moderna II e Tópicos em Física Quântica oferecidas, respectivamente,
pelos cursos de Licenciatura em Física e pelo PROPEC do IFRJ - Campus Nilópolis.
Neste capítulo, os sete postulados que constituem a interpretação de Copenhague foram
apresentados no decorrer do texto, partindo das relações de Einstein-De Broglie, que
discutem o dualismo partícula-onda, finalizando na aplicação da equação de Schrödinger
no poço de potencial infinito. Tópicos como o Princípio da Complementaridade de Bohr,
a formulação da equação de Schrödinger e o princípio da incerteza nela embutido, foram
discutidos com maior profundidade.
88
A interpretação Bohmiana apresentada no capítulo 4, quando comparada à interpretação de Copenhague, apresenta o mesmo nível de complexidade relativo à operacionalização da teoria. Entretanto, questões relativas aos fundamentos da teoria quântica
são respondidas de forma mais clara pela interpretação formulada por D. Bohm do que
pela interpretação Ortodoxa. O poço de potencial infinito apresentado no capítulo 3 e
novamente discutido no capítulo 5, sob o ponto de vista da interpretação Causal, é um
exemplo.
Na interpretação de Copenhague, é a função de onda que interage com o potencial
V e não a partícula. De outra maneira, partícula e onda se confundem, ou melhor, ficam
mescladas numa onda de matéria que obedece a uma dinâmica imposta por V . O sentido
lógico dessa mescla, contraditória do ponto de vista clássico, é recuperado pela operação
do princípio da complementaridade. A componente corpuscular da onda de matéria,
ou seja, a partícula, não enxerga V diretamente e assim não sente a força causada por
ele. O princípio de incerteza age de forma fundamental, reforçando essa característica e
impedindo o conhecimento preciso e simultâneo da posição e do momento da partícula.
Sem o conhecimento preciso dessas variáveis dinâmicas não há que se falar em realidade
objetiva (Einsteiniana), ou seja, a noção de realidade deve ser colocada em outro patamar
ao qual se denomina de realidade quântica.
Na Interpretação Bohmiana a função de onda não só interage com o potencial V ,
mas também determina o potencial quântico, Q. Por sua vez, a soma (V + Q)define
as possíveis trajetórias que a partícula pode possuir. O que existe então é o campo Ψ,
definido a partir de V , com o qual a partícula interage diretamente através de Q. Assim,
não há a uma onda de matéria, como no caso da interpretação de Copenhague, e sim
uma onda, personificada pelo campo Ψ, e uma partícula com existência independente
da onda. O que é desconhecido é qual das possíveis trajetórias será seguida, pois a
variável oculta (condições iniciais) é inacessível. O princípio de incerteza também age
nesse caso, porém num sentido mais parecido com o do teorema de Liouville do que como
característica fundamental da teoria quântica. Seu sentido é dado pelo desconhecimento
do valor da variável oculta, que é descrita por uma distribuição de probabilidades. Assim,
as incertezas na posição e no momento dizem respeito a um conjunto de trajetórias e não
a uma indefinição intrínseca nos valores das variáveis x e p. Uma conseqüência importante
é que a realidade objetiva (Einsteiniana) volta a ter sentido, mesmo dentro do arcabouço
da teoria quântica, já que existem as trajetórias Bohmianas. Apenas, esta realidade
permanece latente por causa da variável oculta. Assim, a realidade quântica seria, dentro
da visão Bohmiana, uma realidade Einsteniana porém latente.
Apesar das diferenças existentes entre as duas interpretações, ainda não se tem
um experimento capaz de diferenciá-las. Entretanto, de acordo com o dicionário Aurélio
de língua portuguesa, um postulado pode ser entendido como “1. Filos. Proposição não
evidente nem demonstrável, que se admite como princípio de um sistema dedutível, de uma
89
operação lógica ou de um sistema de normas práticas. 2. Fato ou preceito reconhecido
sem prévia demonstração” (HOLANDA, 2010). Se considerarmos que a consistência de
uma teoria está relacionada ao menor número possível de postulados, a interpretação
Bohmiana pode ser assumida como uma teoria de maior consistência quando compara à
interpretação de Copenhague. Tal fato justifica-se pela ausência do quinto postulado da
teoria quântica (colapso da função de onda) na interpretação de Bohm.
A elaboração desta dissertação aproximou-se daquilo que, segundo Humboldt (2003),
seria o papel que toda Instituição de Ensino Superior deveria assumir perante a sociedade:
promoção do desenvolvimento máximo da ciência (ciência objetiva) e produção do conteúdo responsável pela formação intelectual e moral (formação subjetiva). Em outras
palavras, a universidade deve colocar seus estudantes, cada vez mais cedo, a par do estado atual da Ciência Contemporânea, permitindo aos mesmos, alcançar o que podemos
chamar de fronteira do conhecimento. Sendo assim, a MQ não deve ser vista como um
conhecimento fechado e resolvido, mas sim como uma disciplina que, apesar de ter ultrapassado seus cem anos de existência, constitui um tema de discussão atual, intrigante e
longe de ser encerrado. Somente assim, poderemos esperar que problemas até agora sem
solução possam, algum dia, ser resolvidos.
90
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94
APÊNDICE I
O CÁLCULO VARIACIONAL
O cálculo de variações consiste na determinação de uma função y (x), de modo
que, a quantidade J denominada funcional e representada pela equação (I.1), se torne
um extremo: ponto de máximo, mínimo ou ponto de sela. Em geral, na maioria dos
problemas de interesse para a Física, o valor estacionário de J será um mínimo.
ˆx2
f {y (x) , y 0 (x) ; x} dx
J=
(I.1)
x1
Na equação (I.1), f é uma função da variável dependente y (x), de sua derivada
dy
y (x) = dx
e da variável independente x. A dependência de y de x é desconhecida. Isso
significa que, mesmo conhecendo-se os limites de integração, no caso, de x1 a x2 , o caminho
de integração exato não é conhecido. Tal caminho deve satisfazer duas condições: 1 –
passar pelos pontos (x1 , x2 ) e (y1 , y2 ) e 2 - minimizar J. Encontrar um caminho, ou seja,
uma função, que torne J um mínimo, é bastante diferente de se encontrar o mínimo de
uma função. No cálculo diferencial, ao determinarmos o mínimo de uma função, estamos
determinando o ponto para o qual aquela função tem valor estacionário. No cálculo
variacional, admitimos a existência de um caminho ótimo, ou seja, uma sucessão de pontos
formando uma curva, para o qual J é estacionário e sua vizinhança é constituída por uma
função. A Figura I.1 mostra dois dos infinitos caminhos possíveis que passam pelos pontos
1 e 2. A diferença entre os dois caminhos para um dado x é denominada variação de y,
δy e é convenientemente descrita pela introdução de uma nova função η(x) denominada
função deformação. Além da função deformação, torna-se necessária a introdução de um
fator de escala α, independente de x e responsável por fornecer a magnitude da variação,
ou deformação, entre os caminhos. O valor α = 0 define o caminho que minimiza J.
Desse modo, qualquer caminho que seja vizinho ao caminho considerado mínimo, pode
ser escrito na forma genérica
0
y (α, x) = y (0, x) + αη (x)
95
(I.2)
Figura I.1: Caminho variado. A função y(x) é o caminho que torna o funcional J um extremo.
Qualquer função vizinha à função y(x) pode ser escrita na forma genérica y(x) + αη(x).
As condições de contorno exigem que η (x1 ) = η (x2 ) = 0. Neste caso, o funcional
J pode ser escrito somente como função do fator de escala de deformação α, e a integral
da equação (I.1) se torna
ˆx2
(I.3)
f {y (α, x) , y 0 (α, x) ; x} dx
J (α) =
x1
A condição para que a integral da equação (I.3) tenha um valor estacionário é
∂J =0
∂α α=0
(I.4)
Aplicando a condição expressa na equação (I.4) na integral da equação (I.3):
∂J
∂
=
∂α
∂α
ˆx2
(I.5)
f {y, y 0 ; x} dx
x1
Como x e α são variáveis independentes a derivação pode ser feita antes da integral:
∂J
=
∂α
ˆx2
∂
f {y, y 0 ; x} dx
∂α
(I.6)
x1
Como
torna:
∂
f
∂α
{y, y 0 ; x} =
∂f ∂y
∂y ∂α
+
∂f ∂y 0
∂y 0 ∂α
+
∂f
∂x
∂x
=
∂α
|{z}
∂f ∂y
∂y ∂α
+
∂f ∂y 0
,
∂y 0 ∂α
a equação (I.6) se
0
96
∂J
=
∂α
ˆx2 ∂f ∂y
∂f ∂y 0
+ 0
∂y ∂α ∂y ∂α
(I.7)
dx
x1
Da equação (I.2), temos
(
∂y
= η (α)
∂α
∂y 0
∂ dy
d ∂y dη
= ∂α dx = dx
∂α
∂α dx
(I.8)
e com isso a (I.7) se torna
∂J
=
∂α
ˆx2 ∂f
∂f dη
η (x) + 0
∂y
∂y dx
(I.9)
dx
x1
ou de forma expandida
∂J
=
∂α
ˆx2
∂f
η (x) dx +
∂y
x1
ˆx2
∂f dη
dx
∂y 0 dx
x1
|
{z
}
(I.10)
I
Integrando por partes o termo I da equação acima:
ˆx2
I=
x1
x2 ˆx2
∂f
∂f dη
− η (x) d ∂f dx
dx
=
η
(x)
0
0
∂y dx
∂y
dx ∂y 0
| {z x}1 x1
(I.11)
II
onde II é nula já que η (x1 ) = η (x2 ) = 0.
Assim, a (I.10) pode ser escrita como:
∂J
=
∂α
ˆx2
x1
∂f
η (x) dx −
∂y
ˆx2
d ∂f
η (x)
dx =
dx ∂y 0
x1
ˆx2 ∂f
d
−
∂y dx
∂f
∂y 0
η (x) dx
(I.12)
x1
Na equação (I.12), somente as funções y e y 0 dependem de α. A função deformação,
que na verdade é uma função arbitrária, depende somente da variável x. Para que a
condição de extremo seja satisfeita, é necessário, então, que o próprio argumento da
integral acima seja igual a zero para α = 0:
d
∂f
−
∂y dx
∂f
∂y 0
=0
(I.13)
A equação acima é conhecida como equação de Euler-Lagrange, que é a condição necessária para que o funcional J tenha um valor extremo. As funções y e y 0 , neste
momento, são independentes de α, uma vez que, não mais representam um caminho vi-
97
zinho, mas sim, o caminho que tornará J um extremo. O problema da integral da ação
pode ser identificado com o tratado nesse apêndice fazendo as seguintes substituições:
J →S
f →L
y → qj
x→t
Para reforçar o que foi dito no capítulo 2, note que nada do que este apêndice
trata é relacionado com as leis de Newton. O problema proposto no início do apêndice é
puramente matemático.
98
APÊNDICE II
PUBLICAÇÕES
RESUMOS PUBLICADOS EM ANAIS DE CONGRESSO
MACEDO JUNIOR, M. A. V.; PEREIRA, J. A. M. A bohmian quantum mechanics
approach in undergraduate physics courses. In: ENCONTRO DE FÍSICOS DO NORTE
E NORDESTE, 29., 2011, Mossoró. Anais... Mossoró, 2011.
99