Pseudo-rotações irracionais
do anel fechado
Francisco Javier Tipán Salazar
DISSERTAÇÃO APRESENTADA
AO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
PARA
OBTENÇÃO DO TÍTULO
DE
MESTRE EM CIÊNCIAS
Programa: Matemática Aplicada
Orientador: Prof. Dr. Salvador Addas Zanata
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio …nanceiro da
CNPq
São Paulo, setembro de 2008
Pseudo-rotações irracionais
do anel fechado
Este exemplar corresponde à redação
…nal da dissertação devidamente corrigida
e defendida por Francisco Javier Tipán Salazar
e aprovada pela Comissão Julgadora.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Salvador Addas Zanata - IME-USP.
Prof. Dr. Fabio Armando Tal - IME-USP.
Prof. Dr. Fernando Figueiredo de Oliveira Filho - ICEx-UFMG.
Em memória da minha mãe.
Agradecimentos
Em primeiro lugar, quero agradecer a in…nita ajuda de meu orientador, a
quem considero um grande amigo: Obrigado pelo excelente trabalho e suas
sugestões. Da mesma forma, é impossível esquecer do apoio incondicional da
minha família, e para todos eles, um agradecimento especial: Me sinto muito
orgulhoso por vocês. Similarmente, tenho que agradecer a todos meus amigos
do IME, brasileiros e estrangeiros, e a todas as "muchachas". Na verdade,
é grande o número de pessoas que estiveram por trás deste projeto. Além
da formação matemática que tive no IME, as lições de amizade foram meu
melhor aprendizado. Por isso, para todos eles: Muito obrigado e "muchas
gracias". Ainda, desejo muito agradecer aos professores que foram parte da
minha banca, pois embora o tempo para as correções fosse curto, eles não
tiveram problema e aceitaram o desa…o. Daí que, me sinto em dívida com
eles.
Finalmente, quero agradecer o apoio …nancero da CNPq, o qual foi fundamental para o desenvolvimento deste trabalho.
i
Resumo
O conceito de número de rotação originalmente de…nido para homeomor…smos do círculo S1 que preservam orientação pode ser generalizado para todo
homeomor…smo h do anel fechado S1 [0; 1] isotópico à identidade, onde obtemos o chamado conjunto de rotação. Neste trabalho estudamos o caso em
que o conjunto de rotação de h se reduz somente a um número irracional
(neste caso dizemos que h é uma pseudo-rotação irracional), obtendo que
para qualquer inteiro positivo n, existe um arco simples
que une uma com-
ponente do bordo do anel à outra, de tal modo que
é disjunto de seus
n primeiros iterados por h: Este resultado é um análogo do Teorema de
Kwapisz concernente a difeomor…smos do toro bidimensional [14]. Posteriormente e utilizando o primeiro resultado, provamos que a rotação rígida de
ângulo
pode ser aproximada por um homeomor…smo conjugado a h. Final-
mente, mostramos que ser uma pseudo-rotação irracional é uma propriedade
necessária para que um homeomor…smo tenha a propriedade de interseção
de curvas e não tenha pontos periódicos.
Este trabalho se baseia nos resultados obtidos por Béguin, Crovisier, Le Roux
e Patou [1].
Palavras-chave: número de rotação, anel, isotópico à identidade, conjunto
de rotação, pseudo-rotação irracional, Kwapisz.
ii
Abstract
The concept of rotation number originally de…ned for orientation preserving
homeomorphisms of the circle S1 can be generalized for any homeomorphism
h of closed annulus S1 [0; 1] which is isotopic to the identity. In this setting
we obtain the so called rotation set. In this work we study the case when the
rotation set of h is reduced to a single irrational number
(we say that h is
an irrational pseudo-rotation), and we prove that for any positive integer n,
there exists a simple arc
joining one of the boundary components of annulus
to the other, such that
is disjoint from its n …rst iterates under h: This
result is an analogue of a theorem of Kwapisz dealing with di¤eomorphisms
of the two-torus [14]. Subsequently and applying the …rst result, we prove
that a rigid rotation of angle
can be approximated by a homeomorphism
that is conjugate to h: Finally, we prove that to be an irrational pseudorotation is a necessary property in order that a homeomorphism has the
curves intersection property and no periodic points.
This work is based in the results obtained by Béguin, Crovisier, Le Roux e
Patou [1].
Keywords: rotation number, annulus, isotopic to the identity, rotation set,
irrational pseudo-rotation, Kwapisz.
iii
Sumário
1 Introdução
1
2 Preliminares
6
2.1 Noções básicas de dinâmica topológica . . . . . . . . . . . . .
6
2.2 Homeomor…smos do círculo e número de rotação . . . . . . . .
8
2.3 Homeomor…smos do anel e o conjunto de rotação. . . . . . . . 10
2.4 A ordem cíclica no círculo e no anel . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Intervalos de Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 O Teorema do ’arco de translação’: Prova do Teorema 1.1
23
3.1 Enunciado do Teorema do ’arco de translação’ . . . . . . . . . 23
3.2 Primeira prova do Teorema do ’arco de translação’. . . . . . . 26
4 Uma segunda prova do Teorema do ’arco de translação’
37
4.1 Prova alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Prova da Proposição 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Prova da Proposição 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 O fecho da classe de conjugação de uma pseudo-rotação:
Prova do Corolário 1.1
57
5.1 Prova do Corolário 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iv
5.2 Preliminares: decomposição de homeomor…smos do disco . . . 58
5.3 Prova da Proposição 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.1
Primeira parte da prova . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.2
Segunda parte da prova . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.3
Terceira parte da prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Prova do Corolário 1.2
95
6.1 Resultado de Bonatti-Guillou mais dois lemas técnicos . . . . 96
6.2 Prova do Corolário 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
v
Capítulo 1
Introdução
O conceito de número de rotação foi introduzido por Poincaré [18] para comparar a dinâmica dos homeomor…smos do círculo que preservam orientação
com a dinâmica das rotações rígidas. De fato, para todo homeomor…smo h
do círculo S1 = R=Z que preserva orientação está associado um único número
(h), entre 0 e 1, que de algum modo mede a velocidade média com que
giram as órbitas de h ao redor do círculo (ver Seção 2.2). Assim, se o homeomor…smo h tem número de rotação ; desejamos determinar se existe alguma
semelhança de seu comportamento com o comportamento da rotação rígida
R : Neste caso, os resultados clássicos de Poincaré e Denjoy [7] ajudam a
estabelecer de maneira clara os diferentes casos que podemos ter, os quais
são apresentados nos seguintes itens:
Se
=
p
q
(donde p; q são primos entre si), então h possui ao menos
uma órbita periódica, todas as órbitas periódicas de h possuem período
primo q; e a ordem cíclica dos pontos de qualquer órbita periódica de
h é a mesma que a ordem cíclica de uma órbita da rotação R :
Se
é irracional, então h não possui órbitas periódicas, e a ordem
1
cíclica dos pontos de qualquer órbita de h é a mesma que a ordem
cíclica dos pontos de uma órbita da rotação R :
Se
é irracional, então h é semi-conjugado à rotação R , além disso, h
pertence ao fecho da classe de conjugação da rotação R ; e R pertence
ao fecho da classe de conjugação de h (i.e. h pode ser conjugado a um
homeomor…smo arbitrariamente próximo à rotação R ; e a rotação R
pode ser conjugada a um homeomor…smo arbitrariamente próximo a
h).
Se
é irracional e h é um difeomor…smo C 2 , então h é conjugado à
rotação R :
A noção de número de rotação foi generalizada por Misiurewicz, Ziemian,
e Franks com o objetivo de descrever a dinâmica dos homeomor…smos do
anel fechado A := S1 [0; 1] e do bi-toro T2 (ver e.g. [17]). Assim, dado um
homeomor…smo h do anel fechado A isotópico à identidade, podemos de…nir
o conjunto de rotação de h; o qual é, de certo modo, o conjunto de todas
as possíveis velocidades assintóticas de rotação das órbitas de h ao redor
do anel (ver Seção 2.3). Diferentemente do número de rotação, o conjunto
de rotação é um intervalo fechado de R, de…nido módulo Z. Neste trabalho,
estudaremos o caso em que o conjunto de rotação de h se reduz a um só ponto.
Em particular, chama-se pseudo-rotação irracional a todo homeomor…smo do
anel fechado A, isotópico à identidade, cujo conjunto de rotação se reduz a
um número irracional
(dizemos que
é o ângulo da pseudo-rotação). Neste
caso, nosso objetivo é determinar a relação que existe entre o comportamento
de uma pseudo-rotação irracional de ângulo
rotação rígida de ângulo
com o comportamento da
: Para isto, três resultados importantes, obtidos
por Béguin, Crovisier, Roux e Patou [1], serão demonstrados no presente
trabalho.
2
Antes de apresentar o primeiro resultado, vamos de…nir um arco essencial
simples no anel A como um arco simples em A que une uma das componentes
da fronteira de A com a outra. Assim, provaremos o seguinte teorema (que é
uma variação do resultado de Kwapisz [14], concernente aos difeomor…smos
do toro):
Teorema 1.1 (Teorema do ’arco de translação’) Seja h : A ! A uma
pseudo-rotação irracional de ângulo
existe um arco essencial simples
n
. Então, para todo inteiro positivo n,
em A, tal que os arcos
n
n ; :::; h ( n )
são
dois a dois disjuntos. Além disso, a ordem cíclica destes arcos é a mesma que
a ordem cíclica do segmento vertical f g
[0; 1] e seus primeiros n iterados
pela rotação rígida de ângulo :
O Teorema 1.1 será uma conseqüência imediata de outro teorema mais
técnico; nele vamos mudar a hipótese original e estudar o caso dos homeomor…smos do anel cujo conjunto de rotação seja um intervalo su…cientemente
’pequeno’. Em particular, provaremos que se o conjunto de rotação de um
i 0h
homeomor…smo h : A ! A está contido em um intervalo de Farey pq ; pq0 ;
então a dinâmica de h será similar à de qualquer rotação rígida de ângulo
i 0h
2 pq ; pq0 até os primeiros q + q 0 1 iterados (ver Teorema 3.1).
Note que o Teorema 1.1 pode ser considerado como a versão em duas
dimensões no caso dos homeomor…smos do círculo com número de rotação
irracional, descrito anteriormente. Porém, o caso do anel é bem mais complicado que o caso do círculo. Por exemplo, a existência do arco
n
e da sua
dinâmica descrita no Teorema 1.1 depende do inteiro n, o que não acontece
no caso do círculo.
Vamos apresentar duas provas do Teorema 1.1, as mesmas que serão puramente bidimensionais, e envolvem basicamente a manipulação de certas
operações de…nidas nos arcos essenciais simples.
3
Como segundo resultado importante deste trabalho temos o seguinte
corolário (ver Capítulo 5) do Teorema 1.1.
Corolário 1.1 Seja h : A ! A uma pseudo-rotação irracional de ângulo
: Então, a rotação rígida R de ângulo
pertence ao fecho (na topologia
métrica) da classe de conjugação de h:
Em outras palavras, para qualquer pseudo-rotação irracional de ângulo ;
podemos obter uma conjugação que esteja arbitrariamente perto (na topologia métrica) de uma rotação irracional.
Similar ao caso anterior, o Corolário 1.1 será demonstrado de maneira
imediata utilizando-se uma conseqüência do Teorema 3.1 (ver Seção 5.1). De
fato, com as mesmas hipóteses deste teorema, obteremos uma conjugação
cuja distância a uma rotação irracional é limitada por um fator que depende
inversamente do mínimo dos denominadores do intervalo de Farey. Com
efeito, a dinâmica dos primeiros q + q 0
simples
1 iterados por h do arco essencial
(encontrado no Teorema 3.1) permitirá de…nir uma partição do anel
A e a partir dela, vamos obter uma conjugação que coincide com a rotação
rígida em todo ponto do anel, exceto possivelmente num dos elementos desta
partição. Neste subconjunto, aplicaremos um fato chave relacionado com os
homeomor…smos do disco (ver Seção 5.2), e assim obteremos um conjunto de
homeomor…smos que servirá para de…nir uma nova conjugação cuja distância
à rotação irracional será limitada pelo fator descrito anteriormente.
Por outro lado, as generalizações do Teorema de Poincaré-Birkho¤ obtidas
por Franks [9, 10] ou Bonatti e Guillou [11] também têm relação com o
Teorema 1.1. Em particular, o resultado de Bonatti e Guillou relacionado
a homeomor…smos h do anel fechado A que são isotópicos à identidade, diz
que se h não possui pontos …xos, então existe um arco essencial simples em
A que é disjunto da sua imagem por h, ou existe uma curva fechada simples
4
homotopicamente não trivial em A que é disjunta da sua imagem por h:
Desse modo, juntando este último fato com o Teorema 1.1, conseguimos
provar (ver Capítulo 6) o seguinte corolário, o qual corresponde ao terceiro
resultado importante deste trabalho.
Corolário 1.2 Seja h um homeomor…smo do anel A, isotópico à identidade,
e que não possui pontos periódicos. Então, pelo menos uma das seguintes
propriedades é satisfeita:
(i) Existe uma curva fechada simples homotopicamente não trivial em A que
é disjunta da sua imagem por h:
(ii) O homeomor…smo h é uma pseudo-rotação irracional, e, para todo inteiro positivo n; existe um arco essencial simples
arcos
n
n ; h( n ); :::; h
(
n)
n
em A, tal que os
são dois a dois disjuntos.
Note que todo homeomor…smo do anel que preserva área, orientação e que
não possui pontos periódicos, é uma pseudo-rotação irracional. De fato, se a
primeira propriedade do Corolário 1.2 acontece, temos que o homeomor…smo
não preservará área ou orientação, o que contradiz uma das nossas hipóteses.
Portanto, só acontece a segunda propriedade.
Finalmente, resultados análogos aos do Teorema 1.1, Corolário 1.1 e
Corolário 1.2 são obtidos por Béguin, Crovisier e Le Roux [2] no caso das
pseudo-rotações irracionais do anel aberto S1 ]0; 1[. Porém, as provas destes
resultados são totalmente diferentes e mais complicadas, precisamente pela
perda da compacidade. Por exemplo, a de…nição do conjunto de rotação já
não é tão simples como no caso do anel fechado.
5
Capítulo 2
Preliminares
Neste capítulo recordaremos algumas noções de dinâmica topológica e de…niremos o conceito de conjunto de rotação para homeomor…smos do anel fechado
A; provando algumas de suas propriedades. Similarmente, apresentaremos
as de…nições de ordem cíclica no círculo S1 e no anel A assim como dos intervalos de Farey, mostrando as propriedades elementares que estes intervalos
satisfazem. Adicionalmente, serão descritas as notações utilizadas ao longo
deste trabalho.
Não é objetivo deste capítulo fornecer um tratamento completo dos assuntos aqui abordados. Maiores detalhes podem ser encontrados em [12], [3]
e [6].
2.1
Noções básicas de dinâmica topológica
De…nição 2.1 Um sistema dinâmico topológico é um espaço topológico X
junto com uma aplicação contínua f : X ! X ou um (semi) ‡uxo contínuo f t
em X, ou seja, um (semi) ‡uxo f t (x) tal que a aplicação (t; x) 7! f t (x) seja
contínua. No primeiro caso dizemos que o sistema é discreto e no segundo
6
que é contínuo.
Nosso trabalho estará focado somente nos sistemas dinâmicos discretos.
Assim, denotando por (X; f ) um sistema dinâmico topológico discreto, temos
que para cada n 2 N, o n esimo iterado de f é a composição f n = f
vezes). De…nimos f 0 como a aplicação identidade, denotada Id. Se a
(n
aplicação f é inversível, então f
f
f
m+n
=f
m
n
=f
1
f
1
(n
vezes): Desse modo,
n
f para n; m 2 N (ou n; m 2 Z se f é inversível).
De…nição 2.2 Seja (X; f ) um sistema dinâmico topológico. Se f é uma
aplicação com inversa contínua, então f é chamado de homeomor…smo de X.
Neste caso a órbita de um ponto x 2 X é o conjunto O(x) = ff n (x) : n 2 Zg:
De…nição 2.3 Sejam (X; f ) e (Y; g) dois sistemas dinâmicos topológicos.
Os espaços X e Y são homeomorfos se existe uma aplicação
: X ! Y
contínua, bijetora com inversa contínua. Ainda, uma semi-conjugação de g
a f é uma aplicação sobrejetora
: X ! Y satisfazendo g
=
f: Uma
semi-conjugação inversível é chamada de conjugação. Nesse caso dizemos
que f e g são conjugados. A conjugação é uma relação de equivalência.
De…nição 2.4 Um ponto x 2 X é periódico para (X; f ) se existe um m > 0
tal que f m (x) = x: O menor m com esta propriedade é chamado de período
primo de x: Quando m = 1 dizemos que x é um ponto …xo.
Agora, enunciaremos um resultado importante dentro da teoria de dinâmica
topológica conhecido como o Lema de Brower, fato chave na demonstração
do terceiro resultado deste trabalho. Para mais detalhes, consultar [4].
Seja h : R2 ! R2 um homeomor…smo, então um arco simples
com p0 6= p1 ; é um arco de translação para h se h(p0 ) = p1 e
7
= p0 p1 ;
\ h( ) = fp1 g:
Lema 2.1 (Brouwer) Seja h : R2 ! R2 um homeomor…smo sem pontos
…xos que preserva orientação e seja
hn ( ) \
um arco de translação para h. Então
= ; para cada inteiro n 2
= f 1; 0; 1g:
Corolário 2.1 Seja h : R2 ! R2 um homeomor…smo sem pontos …xos que
preserva orientação e seja K
R2 um conjunto compacto e conexo. Se
K \ h(K) = ;, então K \ hn (K) = ; para todo inteiro n 6= 0:
Corolário 2.2 Seja h : R2 ! R2 um homeomor…smo sem pontos …xos que
preserva orientação, então para qualquer ponto p 2 R2 tem-se que khn (p)k !
1 quando n !
compacto em R2 :
2.2
1; ou seja, a órbita do ponto p escapa de qualquer conjunto
Homeomor…smos do círculo e número de
rotação
Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre homeomor…smos do círculo, especi…camente, no caso em que estes preservam orientação, culminando
com a de…nição de número de rotação.
Para facilitar a notação, o círculo será identi…cado com o intervalo [0; 1).
De…nição 2.5 Seja
aplicação
: R ! S1 de…nida por
(x) = x (mod 1). Então a
é chamada de recobrimento.
Adicionalmente, a orientação natural de R induz uma orientação no círculo S1 : Portanto, para quaisquer x; y 2 S1 ; dizemos que x <0 y se percorrendose do ponto de referência 0, na direção positiva, encontrarmos primeiro x e
depois o ponto y:
8
De…nição 2.6 Seja f : S1 ! S1 um homeomor…smo. Então f preserva
orientação se para quaisquer x; y 2 S1 ; tais que x <0 y; então f (x) <f (0)
f (y):
Nesse caso, temos que existe uma aplicação fe : R ! R contínua estrita-
mente crescente tal que:
(i) fe(x + 1) = fe(x) + 1; 8x 2 R;
(ii)
fe = f
:
Qualquer fe como acima é chamada de levantamento de f:
Note-se que se fe1 e fe2 são levantamentos de f , então fe2 = fe1 + k com
k 2 Z: Ainda, para n 1; fen é monótona e fen (x + k) = fen (x) + k:
Teorema 2.1 Seja f : S1 ! S1 um homeomor…smo que preserva orientação
e fe um levantamento de f . De…nimos
fen (x)
(f; fe) := lim
n!1
n
x
:
Então o limite existe e não depende de x. Ainda, se fe1 e fe2 são levantamentos de f tais que fe1 = fe2 + k com k 2 Z; então (f; fe1 ) = (f; fe2 ) + k:
Desse modo, o número de rotação (f ) de um homeomor…smo f do círculo
que preserva orientação é:
(f ) = (f; fe) (mod 1);
onde fe é qualquer levantamento de f:
9
2.3
Homeomor…smos do anel e o conjunto de
rotação.
Similarmente ao caso do círculo, descreveremos algumas propriedades de
homeomor…smos do anel fechado isotópicos à identidade, assim como conseqüências diretas da de…nição do conjunto de rotação, dada por Misiurewicz
e Ziemian em [17].
Como na seção anterior, o círculo será identi…cado com o intervalo [0; 1).
e = R [0; 1] como seu
Denotemos por A = S1 [0; 1] o anel fechado e A
recobrimento universal.
e ! A de…nida como:
De…nição 2.7 A aplicação e : A
e(x; y) := ( (x); y) = (x (mod 1); y)
chama-se de recobrimento.
e !A
e à translação
Agora, dentro de nosso estudo, vamos chamar T : A
e ! R à projeção na primeira
de…nida por T : (x; y) 7! (x + 1; y), por p1 : A
coordenada, e …nalmente, para cada
à rotação rígida de ângulo
2 R; R : (x; y) 7! (x +
(mod 1); y)
no anel A:
De…nição 2.8 Suponhamos que h : A ! A seja um homeomor…smo, então
e !A
e tal que:
existe um homeomor…smo e
h:A
e e
h = h e:
Qualquer homeomor…smo e
h que satisfaz as condições anteriores chama-se
levantamento do homeomor…smo h:
Uma observação importante é que se h é um homeomor…smo do anel A e
e
h é um levantamento de h, então e
h 1 é um levantamento de h 1 :
10
De…nição 2.9 Um homeomor…smo h do anel fechado é isotópico à identidade se existe uma aplicação contínua H : A
[0; 1] ! A que satisfaz:
(i) H(x; 0) = h(x) 8x 2 A;
(ii) H(x; 1) = x 8x 2 A;
(iii) Para cada t 2 [0; 1], a aplicação ht : A ! A de…nida como ht (x) =
H(x; t) é um homeomor…smo.
Como conseqüência desta de…nição temos a seguinte proposição:
Proposição 2.1 Seja h : A ! A um homeomor…smo isotópico à identidade.
Então:
(i) h preserva orientação,
(ii) h preserva as componentes da fronteira, ou seja, h(S1 f0g) = S1 f0g
e h(S1 f1g) = S1 f1g:
e !A
e é um levantamento de h, então e
(iii) Se e
h:A
h comuta com a translação
T.
(iv) Para quaisquer inteiros p; q temos que e
hp T
(v) e
h = Id +
; onde
q
=T
q
e
hp :
e !A
e é uma função periódica com respeito à
: A
primeira coordenada.
Demonstração. A prova é uma conseqüência direta da De…nição 2.9.
e isotópico à identidade
Reciprocamente, qualquer homeomor…smo de A,
e que comuta com T , é um levantamento de um homeomor…smo do anel A
isotópico à identidade. Estamos prontos agora para de…nir o conjunto de
rotação.
11
De…nição 2.10 Seja h um homeomor…smo do anel fechado isotópico à idene que
tidade e e
h um levantamento de h, então o conjunto de rotação de h;
denotaremos por Rot(e
h); é dado por:
e
Rot(e
h) := f! 2 R: existem seqüências (ni )1
xi )1
i=1 em N e (e
i=1 em A
e ni (e
xi ) x
ei )
ni
tais que ni ! 1 e lim p1 (h
i!1
= !g:
h é um intervalo compacto.
Observação 2.1 O conjunto de rotação de e
Demonstração. Inicialmente, note que uma maneira mais compacta de
de…nir Rot(e
h) é:
Rot(e
h) = \ [ Kk (e
h)
(2.1)
n 1k n
onde,
p1 (e
hk (e
x) x
e)
e
: x
e 2 Ag:
Kk (e
h) := f
k
Pelo item (iv) da Proposição 2.1 temos que, para todo ` 2 Z;
Portanto,
p1 (e
hk (e
x + (`; 0))
(e
x + (`; 0)) = p1 (e
hk (e
x)
x
e):
p1 (e
hk (e
x) x
e)
Kk (e
h) = f
: x
e 2 [0; 1] [0; 1]g:
(2.2)
k
Dado que a conexidade e a compacidade são propriedades preservadas
pela continuidade, podemos ver por (2.2) que Kk (e
h) é um intervalo compacto.
Desse modo, vamos mostrar primeiramente que o conjunto Rot(e
h) é um
intervalo. Por absurdo, suponhamos que ele não é um intervalo. Então,
12
existem x; y 2 Rot(e
h), x < y, tal que para algum z, x < z < y; teremos que
z2
= Rot(e
h): Seja agora
An = [ Kk (e
h):
k n
É fácil ver que
An+1
(2.3)
An:
Por (2.1), vemos que x; y 2 An para todo n
1: Assim, pelo absurdo,
existe um n0
todo n
1 tal que z 2
= An0 . Por (2.3) podemos dizer que z 2
= An para
n0 : Agora, …xemos um certo k n0 . Teremos então que z 2
= Kk (e
h):
Denotando por a := inf(Kk (e
h)); podemos supor que z < a: Por outro lado,
seja ! qualquer elemento do conjunto Rot(e
h): Portanto, existem seqüências
xi )1
(ni )1
i=1 em [0; 1]
i=1 em N e (e
[0; 1] tal que ni ! 1 e
xi )
p1 (e
hni (e
i!1
ni
lim
Escrevendo ni = qi k + r; onde 0
Logo,
p1 (e
hni (e
xi )
n
p1 (e
hqi k+r (e
xi ) x
ei )
qi k+r
x
ei )
=
r
=
x
ei )
k
= !:
1; vemos que
p1 (e
hqi k+r (e
xi )
qi k + r
p1 (e
hk (e
h(qi
e
hk (e
h(qi
1)k+r (e
xi ))
qi k+r
e
h(qi
e
h(qi
qi k+r
2)k+r (e
xi ))
x
ei )
:
1)k+r (e
xi )+
2)k+r (e
xi )+:::+
e
hk (e
hr (e
xi )) e
hr (e
xi )+(e
hr (e
xi ) x
ei )
:
qi k+r
Daí que
13
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
ni
qi a k+(e
hr (e
xi ) x
ei )
;
qi k+r
=
a k+
e r (e
(h
xi ) x
ei )
qi
k+ qr
i
:
Pela compacidade do conjunto Kr (e
h); a expressão (e
hr (e
xi )
x
ei ) vai ser
limitada. Portanto, tomando o limite quando i ! 1, obtemos
z<a
!:
Dado que ! é qualquer elemento do conjunto Rot(e
h), tomando ! = x,
chegamos a um absurdo. Isto mostra que o conjunto Rot(e
h) é um intervalo.
Nosso seguinte passo é provar que o conjunto Rot(e
h) é limitado. Para
isso, basta mostrar que o conjunto A1 é limitado. Assim, seja k um inteiro
positivo qualquer. Para x
e 2 [0; 1]
p1 (e
h(e
hk 1 (e
x))
[0; 1]; escrevamos
e
hk 1 (e
x) + e
h(e
hk 2 (e
x))
k
p1 (e
hk (e
x) x
e)
k
da forma
e
hk 2 (e
x) + ::: + e
h(e
x)
x
e)
:
Dado que K1 (e
h) é um intervalo compacto, então existe uma constante
L > 0 tal que K1 (e
h) [ L; L]: Por outra parte, para cada i 2 f0; :::; k 1g;
a expressão p1 (e
h(e
hk i 1 (e
x)) e
hk i 1 (e
x)) pertence ao intervalo [ L; L].
Portanto,
L
p1 (e
hk (e
x) x
e)
k
Conseqüentemente, Kk (e
h)
conjunto A1 é limitado.
L para todo x
e 2 [0; 1]
[0; 1]:
[ L; L] para todo k 2 N: Isto mostra que o
Finalmente, por (2.1) segue imediatamente que Rot(e
h) é um conjunto
fechado. Portanto, Rot(e
h) é um intervalo compacto.
14
Observemos agora que para quaisquer inteiros p; q; a aplicação e
hq T p é
um levantamento de hq : Usando novamente o fato de que e
h e T comutam, o
próximo lema diz:
(e
hq
T
p
)(x; y) = e
hq (x
p; y) = e
hq (x; y)
para todo (x; y) 2 R2 :
(p; 0) = (T
p
e
hq )(x; y);
Lema 2.2 Para quaisquer par (p; q) de inteiros, o conjunto de rotação de
e
hq T p é dado por
Rot(e
hq
T
p
) = q Rot(e
h)
Demonstração. Seja ! 2 Rot(e
hq T
p
p:
); então existem seqüências (ni )1
i=1 e
(e
xi )1
i=1 tais que ni ! 1 e
lim
i!1
p1 ((e
hq
T
p ni
x
ei )
) (e
xi )
ni
Como h e T comutam, tem-se
p1 ((e
hq
T
p ni
) (e
xi )
ni
x
ei )
=
p1 (e
hqni (e
xi ) x
ei )
ni
= !:
ni p
= q(
Tomando o limite quando i ! 1; obtemos que
p1 (e
hqni (e
xi )
i!1
qni
lim
então
!+p
q
x
ei )
=
!+p
;
q
pertence ao conjunto de rotação de h: Logo,
15
p1 (e
hqni (e
xi )
qni
x
ei )
) p:
Rot(hq
T
p
)
q Rot(h)
p:
Por outro lado, dado ! 2 Rot(e
h), existem seqüências (ni )1
xi )1
i=1 e (e
i=1 tal
que ni ! 1 e
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
= !:
i!1
ni
Anteriormente, mostramos que Kk (e
h) [ L; L] para qualquer k
e e 0 r q 1;
implica que, para todo ze 2 A
lim
p1 (hr (z)
onde M = L(q
z)
M;
1):
Escrevendo ni = qki + r; onde 0
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
ni
r
q
p1 (e
hqki (e
xi ) x
ei )
qki
=
e ni
Uma vez que p1 (h n(exi i )
p1 (e
hr (e
hqki (e
xi )) e
hqki (e
xi ))
x
ei )
! !;
r
qki
p1 ((e
hq )ki (e
xi )
i!1
ki
16
1; temos que
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
ni
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
qki
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
qki
p1 (e
hqki (e
xi ) x
ei )
qki
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
ni
r
qki
p1 (e
hr (e
hqki (e
xi ))
M; então
lim
ou seja,
1: Isso
! 0;
x
ei )
1
qki
+
;
+
e
hqki (e
xi )
1
:
qki
! 0 quando i ! 1 e
= q!;
lim
i!1
p1 ((e
hq
T
p ki
x
ei )
) (e
xi )
ki
= lim
i!1
p 2 Rot(e
hq
Daí podemos concluir que q!
q Rot(e
h)
Assim, …nalmente, Rot(e
hq
T
p1 ((e
hq )ki (e
xi )
Rot(e
hq
p
p
T
T
) = q Rot(e
h)
(ki p; 0)
ki
p
p
x
ei )
= q! p:
); o que implica que
):
p:
Em particular, o conjunto de rotação de dois levantamentos diferem por
um inteiro, e portanto, o conjunto de rotação de h está bem de…nido como um
intervalo de R=Z: Assim, como para os homeomor…smos do círculo, de…nimos
Rot(h) = Rot(e
h) (mod 1)
onde e
h é qualquer levantamento de h:
Proposição 2.2 O conjunto de rotação é invariante com respeito à conjugação por homeomor…smo de A que sejam isotópicos à identidade.
Demonstração. Sejam f e g homeomor…smos do anel fechado A; isotópicos
à identidade tais que f =
g
1
; onde
é um homeomor…smo isotópico
à identidade. Detonemos por ge e e levantamentos de g e ; respectivamente.
Note que fe = e ge e 1 também é um levantamento de f:
Agora, seja ! 2 Rot(fe): Portanto, existem seqüências (ni )1 e (e
xi )1 tais
i=1
que ni ! 1 e
p1 (feni (e
xi )
i!1
ni
lim
Como feni = e geni
e 1 ; então
17
x
ei )
= !:
i=1
e 1 (e
xi ) x
ei )
= !:
i!1
ni
A expressão do limite pode ser escrita como
lim
geni
p1 (
p1 (e g
eni e 1 (e
xi ) x
ei )
ni
1
p1 (e g
eni e
=
p1 (e
g ni e
1
(e
xi ) g
eni e
ni
1
(e
xi ) e
ni
(e
xi ))
1
(e
xi ))
+
+
p1 (e
1
(e
xi ) x
ei )
:
ni
Pelo item (v) da Proposição 2.1, temos que
e = Id + ;
ou seja,
e(e
x)
e Mas, como
para todo x
e 2 A:
x
e = (e
x);
é uma função periódica com respeito à
primeira coordenada, teremos que p1 (e
Similarmente, p1 (e
1
Id ) será uma função limitada.
Id) será uma função limitada também. Desse modo,
lim
i!1
lim
p1 (e g
eni e
p1 (e
i!1
1
(e
xi ) g
eni e
ni
1
(e
xi ))
1
(e
xi ) x
ei )
ni
= 0;
= 0;
e portanto,
lim
i!1
p1 (e
g ni e
1
(e
xi ) e
ni
1
(e
xi ))
= !:
Em conseqüência, ! 2 Rot(e
g ); ou seja, Rot(fe)
pode ser demonstrado que Rot(e
g ) Rot(fe):
18
Rot(e
g ): Do mesmo jeito
2.4
A ordem cíclica no círculo e no anel
Nesta seção veremos como a de…nição de ordem cíclica no círculo se estende
para o anel.
De…nição 2.11 Dados três pontos distintos p1 ; p2 ; p3 em S1 , a tripla (p1 ; p2 ; p3 )
chama-se positiva se o ponto p2 pertence ao caminho que vai de p1 a p3 na
direção positiva. Lembre-se que estamos utilizando no círculo a orientação
induzida por R:
De…nição 2.12 Seja
: [0; 1] ! A um arco simples, então
de arco essencial simples se
é chamado
une uma das componentes da fronteira com a
outra e se (]0; 1[) está incluído no interior de A: Do mesmo jeito, de…nimos
e
a noção de arco essencial simples no recobrimento universal A:
Desse modo, sejam
1;
2;
3
arcos essenciais simples dois a dois disjun-
tos e p1 ; p2 ; p3 seus pontos extremos numa das componentes da fronteira,
respectivamente. Então a tripla ( 1 ;
2;
3)
é positiva se e somente se a tripla
(p1 ; p2 ; p3 ) é positiva.
2.5
Intervalos de Farey
Um intervalo de Farey é um intervalo
0
tais que p q
0
i
p p0
;
q q0
h
de R com extremos racionais,
pq = 1: Em nosso trabalho, todos os números racionais
(p 2 Z e q 2 N) serão escritos como frações irredutíveis.
A seguir, vamos mostrar que a ordem cíclica dos primeiros q + q 0
p
q
1
iterados de qualquer órbita de um ponto pela rotação rígida de ângulo 2
i 0h
p p
;
não depende da escolha de :
q q0
i
h
k p k p0
0
Lema 2.3 Para qualquer k 2 f1; :::; q + q 1g ; o intervalo q ; q0 não
contém inteiros.
19
Demonstração. Seja k um inteiro positivo tal que o intervalo
contenha um inteiro `. Então o racional
`
k
i
pertence ao intervalo
Assim,
k p k p0
; q0
q
i
p p0
;
q q0
h
h
.
p0 p
p0
` p
kp0 `q 0
`
`q kp
=
(
)
+
(
)
=
(
):
)+(
0
0
0
q
q
q
k
k q
kq
kq
Dado que ` é um inteiro então `q kp também vai ser um inteiro. Mas,
`q
kp > 0; o que implica que `q
Portanto,
`q kp
kq
1
kq
e
kp0 `q 0
kq 0
1
:
kq 0
kp
1: Similarmente, kp0
Juntando isto com o fato que
`q 0
p0
q0
p
q
1:
=
1
qq 0
temos …nalmente que
1
1
1 q + q0
+ 0 = (
);
kq kq
k qq 0
1
qq 0
ou seja, k
q + q0:
O lema anterior, implica que para qualquer inteiro k 2 f1; :::; q + q 0 1g
i
h
0
existe um único inteiro nk de tal modo que o intervalo k( pq ) nk ; k( pq0 ) nk
está contido em ]0; 1[ : Tomemos um número
que pertença ao intervalo
i 0h
p p
e de…nimos k = k
nk para k 2 f1; :::; q + q 0 1g : Temos assim, o
;
q q0
seguinte resultado:
Proposição 2.3 A ordem dos
1;
2 ; :::;
q+q 0 1
não depende da escolha do
número :
Demonstração. Sejam k1 e k2 inteiros em f1; :::; q + q 0
1g : Tomemos
agora a diferença,
k2
k1
= (k2
k1 )
(nk2
nk1 ):
Suponhamos que k2
k1 ) vai ser um número
k1 = 0; nesse caso, (k2
i 0h
i 0h
inteiro: Se 2 pq ; pq0 ; pelo Lema 2.3 sabemos que o intervalo pq ; pq0 não
20
contém racionais com denominador menor ou igual a q + q 0
k1 ) não pode ser um número inteiro, pois k2
(k2
uma contradição. Assim, a diferença entre
k2
e
k1
k1 < q + q 0
1, ou seja,
1; o que dá
não pode ser nula: Além
disso, esta diferença depende continuamente de ; portanto o sinal dela não
depende do valor de :
Por último, os intervalos de Farey apresentam uma propriedade muito
i 0h
importante para o nosso estudo. É fácil ver que se pq ; pq0 é um intervalo de
i
h i 0 0h
p p+p0
1
Farey, então q ; q+q0; e p+p
; p também o são, com comprimentos q(q+q
0) e
q+q 0 q 0
1
;
q(q+q 0 )
respectivamente. Se continuamos esse processo mais uma vez, obte-
mos os intervalos de Farey
p 2p + p0
2p + p0 p + p0
p + p0 p + 2p0
p + 2p0 p0
;
;
;
;
;
;
;
;
q 2q + q 0
2q + q 0 q + q 0
q + q 0 q + 2q 0
q + 2q 0 q 0
de comprimentos
1
1
1
;
;
q(2q+q 0 ) (q+q 0 )(2q+q 0 ) (q+q 0 )(q+2q 0 )
e
1
;
q 0 (q+2q 0 )
respectivamente.
Podemos ver então que para qualquer número irracional positivo é possível
encontrar um intervalo de Farey que o contém, tão pequeno quanto se queira.
Por exemplo, se
é um número irracional maior do que zero, o primeiro
i
h
b c b c+1
intervalo de Farey poderia ser 1 ; 1
; onde b c representa a função
parte inteira de um número real. Desse modo, pode-se mostrar o seguinte
fato:
Lema 2.4 Seja
um número irracional positivo. Então dado qualquer númei 0h
ro inteiro positivo n; existe um intervalo de Farey pq ; pq0 tal que q; q 0
n
e
p
1
< 2:
q
q
21
Demonstração. Uma prova deste resultado pode ser encontrada em [13].
Nos próximos capítulos veremos a grande utilidade que têm as propriedades
aritméticas dos intervalos de Farey nas demonstrações dos resultados principais deste trabalho.
Isto conclui a apresentação das preliminares.
22
Capítulo 3
O Teorema do ’arco de
translação’: Prova do Teorema
1.1
No capítulo anterior, vimos que para qualquer número irracional existe um
i 0h
intervalo de Farey pq ; pq0 , onde q e q 0 podem ser arbitrariamente grandes.
Fazendo uso deste resultado, mudaremos as hipóteses do Teorema 1.1 que
descreve o conjunto de rotação, e obteremos um novo teorema, de tal maneira
que o Teorema 1.1 é um corolário deste novo resultado, que será denominado
Teorema do ’arco de translação’. Assim, neste capítulo apresentaremos uma
primeira prova do Teorema do ’arco de translação’usando só as propriedades
aritméticas dos intervalos de Farey e algumas operações clássicas dos arcos
e
essenciais simples do recobrimento A:
3.1
Enunciado do Teorema do ’arco de translação’
A a…rmação que provaremos é:
23
Teorema 3.1 (Teorema do ’arco de translação’) Seja h : A ! A um
e !A
e um levantamento
homeomor…smo isotópico à identidade, e seja e
h:A
de h: Suponhamos que o conjunto de rotação de e
h esteja contido num ini 0h
p p
tervalo de Farey q ; q0 : Então, existe um arco essencial simples
(ver
De…nição 2.12) no anel A tal que os arcos
; h( ); :::; hq+q
0
1
( ) são dois
a dois disjuntos. Ainda, a ordem cíclica destes arcos em A será a mesma
que a ordem cíclica dos primeiros q + q 0
1 iterados de um segmento vertii 0h
cal por qualquer rotação rígida de ângulo 2 pq ; pq0 ; isto é, para quaisquer
k1 ; k2 ; k3 2 f0; :::; q + q 0
1g; a tripla (hk1 ( ); hk2 ( ); hk3 ( )) será positiva se
e somente se a tripla (k1 ; k2 ; k3 ) for positiva, onde os números ki
são
considerados elementos do círculo R=Z:
Desse modo, vejamos como o resultado enunciado na introdução (Teorema 1.1) segue diretamente deste novo teorema.
Prova do Teorema 1.1. Suponhamos que o Teorema 3.1 esteja certo.
Então, para qualquer inteiro positivo n; se o conjunto de rotação é um número
i 0h
irracional ; pelo Lema 2.4, podemos encontrar um intervalo de Farey pq ; pq0
tal que
q + q0
pertença a ele e n
um arco essencial simples
1 . Portanto, pelo Teorema 3.1, existe
no anel A; tal que os arcos ; h( ); :::; hn ( ) são
dois a dois disjuntos. Mais ainda, a ordem cíclica destes arcos em A será a
mesma que a ordem cíclica dos primeiros n iterados de um segmento vertical
i ;h
pela rotação rígida de qualquer ângulo 2 pq ; pq; :
Desse modo, o primeiro resultado de nosso trabalho está provado.
Antes de iniciarmos a primeira prova do Teorema 3.1, mais uma propriedade básica será descrita.
24
Lema 3.1 Sejam h um homeomor…smo do anel fechado A; isotópico à idene !A
e um levantamento de h. Suponhamos que o conjunto de
tidade, e e
h:A
rotação de e
h esteja contido em ]0; +1[ ; e escolhamos um número real tal
que 0 < < inf(Rot(e
h)): Então, existe um número real s tal que para todo x
e
e e para todo inteiro positivo n;
em A
p1 (e
hn (e
x))
p1 (e
x) + n
(3.1)
s:
Demonstração. Suponhamos que a conclusão seja falsa. Então, para todo
e e um inteiro positivo n tais que
número real s existe um x
e em A
p1 (e
hn (e
x)) < p1 (e
x) + n
s:
Desse modo, tomemos s = i para i 2 N: Obtemos assim seqüências (ni )1
i=1
e (e
xi )1
i=1 tais que
p1 (e
hni (e
xi )) < p1 (e
xi ) + ni
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
ni
i;
i
:
ni
<
No entanto, vimos anteriormente que Kk (e
h) [ L; L] para todo k 2 N;
onde L > 0 tal que K1 ( e
h)
[ L; L]. Portanto, quando i ! +1 temos
e ni (e
xi ) x
ei ) 1
)i=1
ni
que ni ! +1; e a seqüência ( p1 (h
é limitada superiormente, o
que implica que possui uma subseqüencia convergente cujo limite quando
i ! +1 é menor ou igual a : Assim chegamos a um absurdo, pois por
hipótese, 0 < < inf(Rot(e
h)):
Corolário 3.1 Com as mesmas hipóteses do Lema 3.1, temos que para todo
e e todo s0 2 N; existe um n0 2 Z tal que para
subconjunto compacto K de A
todo n n0 ; e
hn (K) [s0 ; +1[ [0; 1]:
25
e Dado que K é um
Demonstração. Seja a = minfp1 (e
x) : x
e 2 K
Ag:
e então a > 1. Pelo Lema 3.1, para todo x
subconjunto compacto de A
e em
K e para todo inteiro positivo n; temos que
p1 (e
hn (e
x))
a + n s:
j
k
Assim, dado s0 um número real, se n0 = s0 +s a + 1, então p1 (e
hn (e
x))
s0 para todo inteiro n n0 : Em outras palavras, e
hn (K) [s0 ; +1[ [0; 1]
para n
3.2
n0 :
Primeira prova do Teorema do ’arco de
translação’
Para esta primeira prova, introduziremos mais algumas notações e propriedades
que serão utilizadas ao longo da mesma e dos próximos capítulos.
e denono recobrimento universal A;
e
taremos por R( ) o fecho da componente conexa de An
que está ’à direita’
Para todo arco essencial simples
do arco :
e e um homeomorDe…nição 3.1 Dado um arco essencial simples em A
e ! A,
e dizemos que o conjunto R( ) é um atrator (resp. um
…smo
: A
atrator estrito) para
se a imagem de R( ) por
está contida em R( )
(resp. no interior de R( )).
Notemos que se
é isotópico à identidade, então R( ( )) =
(lembramos que, pela Proposição 2.1,
preservará a orientação). Portanto,
o conjunto R( ) será um atrator (resp. estrito) para
imagem do arco
por
(R( ))
se e somente se a
estiver contida em R( ) (resp. no interior de R( )).
26
Sejam
se
1
e
Int(R(
2
2
dois arcos essenciais simples, então diremos que
1 ))
e
1
2
Observação 3.1 Sejam
(i) Se
<
1
(resp.
(ii) Se
1
(
2
(resp.
2 ))
2
e
2)
1
R(
2
3
<
2
1 ):
e Então:
arcos essenciais simples em A.
e
2
2 );
então
<
3
(resp.
2
3 );
então
1
<
3
3 ):
1
<
1;
se
1
2
(resp.
1
para todo homeomor…smo
( 1 ) < ( 2 ) (resp.
( 1)
e !A
e isotópico à identidade.
:A
e ! A;
e um homeomor…smo isotópico à identidade e um
: A
e tais que \ ( ) = ;. Então, o conjunto
arco essencial simples em A
(iii) Seja
Rot( )
[0; +1[ ; se e somente se,
< ( ):
e e seja U a
dois arcos essenciais simples em A;
e
e
única componente conexa não limitada do conjunto (AnR(
1 )) \ (AnR( 2 )):
e de U é um arco essencial simples, o qual denotareEntão a fronteira (em A)
W
mos 1
2.
Lema 3.2 Sejam
1
e
2
Demonstração. Para a demonstração deste lema utilizaremos o seguinte
resultado clássico de Kerékjártó: Sejam U1 e U2 dois domínios de Jordan na
esfera S 2 (note que um domínio de Jordan em S2 é um conjunto aberto tal
que sua fronteira é homeomorfa ao círculo). Então cada componente conexa
de U1 \ U2 é também um domínio de Jordan. Para uma prova deste fato, ver
[16].
e será visto como
Para utilizar o fato anterior, o recobrimento universal A
um subconjunto de R2 e a esfera S2 = R2 [f1g como a compacti…cação de
e
e
um ponto: Portanto, é fácil ver que (AnR(
1 )) [ f1g e (AnR( 2 )) [ f1g
são domínios de Jordan em S2 : Assim, pelo resultado de Kerékjártó temos
que U será um domínio de Jordan em S2 cuja fronteira contém o ponto 1 e
27
W
é homeomorfa ao círculo: Dado que 1
2 está contido na fronteira de U;
W
então 1
2 é um arco essencial simples (ver Figura 3.1).
Figura 3.1: Arcos essenciais simples
28
1
e
2;
e construção do arco
1
_
2
Observação 3.2 Sejam 1 e
W
de…nição de 1
2 ; temos que
tos R(
1)
(i) Se
3
3
(ii)
1
2)
e pela
dois arcos essenciais simples em A;
W
1
2
1 [ 2 : Similarmente, os conjun-
estão contidos no conjunto R(
é um arco essencial simples tal que
<
W
(
(iii)
e R(
2
1
_
2
1
2)
3
_
<
2 ):
Então:
e
1
3
<
2;
então
2;
e
1
=
(
1
_
1
W
1)
2;
2
_
(
2 );
e ! A;
e
: A
para todo homeomor…smo
isotópico à identidade.
Imediatamente notamos que a operação que associa a dois arcos essenciais
simples
1;
2
o arco essencial simples
1
_
2
é associativa e comutativa.
Daí, dado qualquer número …nito de arcos essenciais simples
essencial simples
1
_ :::: _
n
1 ; :::;
n
o arco
está bem de…nido.
Para simpli…car a prova do Teorema 3.1, demonstraremos a seguinte
proposição, de forma que, junto com as propriedades aritméticas dos intervalos de Farey, o Teorema 3.1 seguirá diretamente.
Proposição 3.1 Sejam 1 ; :::; p homeomor…smos do recobrimento univere isotópicos à identidade, que comutam dois a dois, e também comutam
sal A
com a translação. Suponhamos que o conjunto de rotação de cada um deles
e tal
está contido em ]0; +1[ : Então existe um arco essencial simples em A;
que o conjunto R( ) é um atrator estrito para cada um dos homeomor…smos
1 ; :::;
p:
Demonstração. Nesta prova, aplicaremos o princípio da indução junto
com as operações dos arcos essenciais simples, isto signi…ca que para todo
k 2 f1; :::; pg; vamos construir um arco essencial simples
R(
k)
seja um atrator estrito para os homeomor…smos
29
k
tal que o conjunto
1 ; :::;
k:
Para k = 1 :
Seja
0
e Dado que
um arco essencial simples em A:
é um conjunto
0
compacto, pelo Corolário 3.1, existe um inteiro N tal que
N
qual implica que
simples
0 ; :::;
1
N 1
N
1
(
(
0)
<
0:
N
1 ( 0 );
<
0
o
Consideremos os seguintes arcos essenciais
tais que
0)
<
N 1
<
N 2
<
<
N 1
(
1
N 1)
1
<
0
=
0;
(ver Figura 3.2) e de…nimos
1
:=
0
_
1(
1)
_
_
Figura 3.2: Arcos essenciais simples
Para i 2 f0; :::; N
Observação 3.2), e
i+1
1 (
i+1 )
<
i+1
1 (
1
Ainda,
1
0
2g; vemos que
e
0
=
<
0
i)
<
i+1
1 (
i+1
1 (
1
i)
(pois
N 1
i+1
i=0
0 ; :::;
i+1 )
<
para i 2 f0; :::; N
N
1 (
tanto,
30
N 1)
(pois
i
1(
= _
i ):
N 1
(pelo item (ii) da
i ).
Logo,
2g:
N
1
(
0)
<
N 1 ).
Por-
N
1 (
<
1
N 1 ):
Finalmente, pelo item (i) e (iii) da Observação 3.2, obtemos
N 1
< _
1
i=0
i+1
1 (
i)
Desta última expressão temos que R(
Para k 2 f1; :::; p
=
(
1 ):
é um atrator estrito para
1)
1g :
Suponhamos que existe um arco essencial simples
conjunto R(
1 ; :::;
k:
k)
1:
k
e tal que o
em A;
é um atrator estrito para cada um dos homeomor…smos
Em outras palavras,
<
k
caso anterior, existe um inteiro N tal que
seguintes arcos essenciais simples
N
k+1 ( k )
<
N 1
para todo j
j ( k)
0 ; :::;
<
N 2
_
_
N
k+1 ( k ):
<
k
N 1
<
k: Como no
Consideremos os
tais que
<
<
1
0
=
k;
e de…nimos
k+1
:=
0
_
k+1 (
1)
N 1
k+1 (
N 1)
Do mesmo jeito que foi mostrado que R(
é possível mostrar que R(
1;
k+1 )
Resta apenas veri…car que R(
se j
k: Dado que
escolher os arcos
1
j
(
k
<
0 ; :::;
N 1 de
k)
N 1
<
i=0
i ):
era um atrator estrito para
k+1 :
também é um atrator estrito para
então
1
j
(
k)
<
k:
j
Assim, podemos
tal modo que, para todo j 2 f1; :::; kg;
<
N 2
<
<
1
<
Fixemos j 2 f1; :::; kg: Por hipótese, sabemos que
então para cada i 2 f0; :::; N
i
k+1 (
é um atrator estrito para
k+1 )
j ( k );
1)
N 1
= _
1g; temos que
31
=
0
j
k:
comuta com
k+1 ;
1
j
1
( i)
j
(
i ))
<
k)
<
i;
e
1
j
i
k+1 (
(
i
k+1 (
i ):
Agora, pelo item (ii) da Observação 3.2, temos que
i
k+1 (
k+1
i );
portanto,
1
j
(
1
k+1 )
j
Dessa forma, para todo i 2 f0; ::::; N
1
j
(
k+1 )
(
i
k+1 (
1g;
i
k+1 (
<
i )):
i ):
Finalmente, pelo item (i) da Observação 3.2,
1
j
(
k+1 )
N 1
< _
i=0
A expressão acima implica que
R(
k+1 )
é um atrator estrito para
i
k+1 (
k+1
<
i)
=
k+1:
j ( k+1 );
em outras palavras,
j.
Estamos prontos para a prova do Teorema 3.1.
Prova do Teorema 3.1. A idéia desta demonstração consiste em aplicar a
Proposição 3.1 a uma família bem escolhida de homeomor…smos, obtida pela
composição de potências de h e de potências de T; e assim conseguir o arco
essencial simples que satisfaz as propriedades desejadas.
Seja
qualquer número contido no intervalo de Farey
i
p p0
;
q q0
h
: As pro-
priedades dos intervalos de Farey, vistas no Lema 2.3 e na Proposição 2.3,
implicam que:
32
Para todo k 2 f1; :::; q + q 0
1g; o número k
permitindo assim de…nir os números
k = nk +
k:
Os números
1 ; :::;
0 < (1)
n
(1)
< (2)
Os inteiros n1 ; :::; nq+q0
escolha do número
2 ]0; 1[ e os inteiros nk tais que
são distintos, o que permite de…nir a permu-
q+q 0 1
no conjunto f1; :::; q + q 0
tação
k
n
(2)
1g; tal que
< ::: < (q+q 0 1)
e a permutação
i 0h
contido em pq ; pq0 :
Então, para todo k 2 f1; :::; q + q 0
Ainda,
:= e
h
0
n
(q+q 0 1)
< 1:
de fato não dependem da
1
k
não é um inteiro,
1g; de…nimos os homeomor…smos
(k)
n
T
(k)
:
:= Id;
q+q 0
:= T:
Similarmente, para todo k 2 f1; :::; q + q 0 g; de…nimos os homeomor…smos
k
=
k
1
k 1:
Aplicando os itens (iii) e (iv) da Proposição 2.1 é fácil ver que os homeomor…smos
1 ; :::;
q+q 0
comutam com a translação T e que comutam dois a
dois.
Seja k 2 f2; :::; q + q 0
k
=e
h
(k)
T
n
(k)
1g: Temos que
Tn
(k 1)
e
h
(k 1)
33
=e
h
(k)
(k 1)
T
n
(k) +n (k 1)
:
Pelo Lema 2.2, o conjunto de rotação do homeomor…smo
Rot(
k)
= f (k)
n
(k)
( (k
1)
i
Como Rot(e
h) está contido no intervalo
implica que Rot(
k)
n
p p0
;
q q0
h
(k 1) )
:
k
é:
2 Rot(e
h)g:
; a de…nição da permutação
está contido em ]0; +1[ :
Analogamente,
Rot(
Rot(
1)
q+q 0 )
= f (1)
= f1
n
(1)
( (q + q 0
:
1)
2 Rot(e
h)g e
n
(q+q 0 1) )
:
2 Rot(e
h):
Estes conjuntos também estão contidos em ]0; +1[ : Em conseqüência, os
homeomor…smos
satisfazem as hipóteses da Proposição 3.1. Pore tal que
tanto, existe um arco essencial simples no recobrimento universal A
1 ; :::;
q+q 0
R( ) é um atrator estrito para cada um dos homeomor…smos
Seja
a projeção do arco
no anel A: Em particular,
1 ; :::;
também é um arco
essencial simples no anel A: Para mostrar isso, é su…ciente que
junto de sua imagem por T , caso contrário,
q+q 0 :
seja dis-
terá auto-interseções. Mas isto
é simples de ver, pois
T =
q+q 0
:::
1;
e portanto R( ) será um atrator estrito para a translação T; ou seja,
T ( ) = ;:
Agora, o ponto seguinte será provar que os arcos ; h( ); :::; hq+q
0
1
\
( ) são
disjuntos dois a dois. Em primeiro lugar, R( ) é um atrator estrito para o
homeomor…smo
1
=
1;
ou seja,
<
1(
): Para todo k 2 f2; :::; q + q 0
sabemos que R( ) é um atrator estrito para o homeomor…smo
palavras,
34
k:
1g
Em outras
<
Dado que
k
e
k 1
k(
):
comutam (ver itens (iii) e (iv) da Proposição 2.1),
k 1(
)<
k 1(
k
)=
k(
):
Similarmente,
q+q 0 1 (
)<
q+q 0 1 (
q+q 0
Desse modo, obtemos que
<
1(
) = T ( ):
) < ::: <
q+q 0 1 (
) < T ( ) (ver
Figura 3.3).
Figura 3.3: Arcos
1(
); :::;
q+q 0 1 (
) e T( )
Podemos então de…nir o conjunto D :=Int(R( ))nR(T ( )): Dado que D
e ! A; as
é um domínio fundamental para a aplicação de recobrimento e : A
projeções dos arcos
<
1(
) < ::: <
q+q 0 1 (
) são disjuntas duas a duas
no anel A: Pela de…nição do levantamento, para cada k 2 f1; ::::; q + q 0
os homeomor…smos
o arco h
(k)
arcos ; h
k
são um levantamento do homeomor…smo h
( ) será a projeção do arco
(1)
( ); :::; h
(q+q 0 1)
k(
, ainda,
): Assim, …ca demostrado que os
( ) são dois a dois disjuntos.
35
(k)
1g
Resta só analisar a ordem cíclica dos arcos ; h( ); :::; hq+q
0
1
( ) no anel
A: Em particular, para quaisquer inteiros k1 ; k2 ; k3 2 f1; :::; q + q 0
1g dis-
tintos dois a dois, temos que a tripla (hk1 ( ); hk2 ( ); hk3 ( )) é positiva se
e somente se as triplas ( ; hk1 ( ); hk2 ( )) e ( ; hk2 ( ); hk3 ( )) são positivas.
Similarmente, a tripla (k1 ; k2 ; k3 ) é positiva se e somente se as triplas
(0; k1 ; k2 ) é (0; k2 ; k3 ) são positivas. Assim, a tripla ( ; hk1 ( ); hk2 ( )) é
positiva se e somente se
que k1
n k1 < k 2
1
(k1 ) <
1
(k2 ): Pela de…nição de , isto implica
nk2 ; o que signi…ca que a tripla (0; k1 ; k2 ) no cír-
culo R=Z é positiva. Daí concluímos que os arcos ; h( ); :::; hq+q
0
1
( ) estão
na mesma ordem cíclica que o segmento vertical e seus primeiros q + q 0
i 0h
iterados por qualquer rotação rígida de um ângulo 2 pq ; pq0 :
1
Isto termina a primeira prova do Teorema do ’arco de translação’. No
próximo capítulo daremos uma segunda prova deste mesmo resultado.
36
Capítulo 4
Uma segunda prova do
Teorema do ’arco de translação’
Neste capítulo apresentamos uma prova alternativa para o Teorema 3.1 (Teorema do ’arco de translação’). Usaremos dois argumentos independentes. O
primeiro aplica principalmente as propriedades aritméticas dos intervalos de
Farey e mostra que é su…ciente encontrar um arco essencial simples cujas
0
0
imagens pelas aplicações 1 = T p e
hq e 2 = T p e
hq são disjuntas. O
segundo argumento, constrói o arco essencial simples da seguinte maneira:
e que
Suponha que temos dois homeomor…smos no recobrimento universal A
comutam e considere sequências obtidas começando em qualquer ponto de
e iterando cada vez por um dos dois homeomor…smos. Provamos que se o
A,
conjunto de rotação desses homeomor…smos são ambos positivos, então todas
as seqüências obtidas desse modo têm um deslocamento esquerdo limitado
universalmente. A seguir demonstraremos que esse fato se mantem caso consideremos pseudo-órbitas em vez de órbitas, isto é, um pequeno erro em cada
iterado é permitido. Finalmente, utilizando a descomposição por tijolos, que
é um tipo de triangularização que produz atratores de uma maneira dire-
37
ita devido ao comportamento controlado das pseudo-órbitas, conseguimos o
arco essencial simples. Esta descomposição foi introduzida por Flucher (ver
[8]). São conhecidas outras aplicações da decomposição por tijolos, que por
exemplo podem ser vistas em [15].
4.1
Prova alternativa
Nesta seção descrevemos os dois resultados que foram apresentados no início
deste capítulo, e que serão demonstrados nas próximas seções.
e!A
e um levantamento de um homeomor…smo h
Proposição 4.1 Seja e
h:A
e um arco essencial simples
do anel A que é isotópico à identidade e seja
A
i
h
e Suponha que existe um intervalo de Farey p ; p00 tal que (usando a
em A:
q q
notação da Seção 3.2)
T
p0
0
e
hq ( ) <
<T
p
e
hq ( ):
Então:
(i) Os arcos T
`
disjuntos.
e
hk ( ); com k 2 f0; :::; q + q 0
1g e ` 2 Z; são dois a dois
e igual aos levantamentos dos primeiros
(ii) Os arcos estão ordenados em A
q + q0
1 iterados de um segmento vertical em A pela rotação R para
i ;h
qualquer 2 pq ; pq; : Mais precisamente: dados dois pares de inteiros
(k; `) e (k 0 ; `0 ) em f0; :::; q + q 0
T
`
e
hk ( ) < T
`0
1g
Z; temos que
0
e
hk ( ) () k
38
` < k0
`0 :
é disjunto do arco T ` ( ) para qualquer ` 2
Em particular, o arco
Z: Portanto,
seus q + q
0
= e( ) é um arco essencial simples em A; disjunto dos
1 primeiros iterados por h: Ainda, a ordem cíclica dos arcos
q+q 0 1
; h( ); :::; h
( ) é a mesma que a dos iterados de um segmento vertical
pela rotação de ângulo ; para qualquer
i 0h
p p
;
:
q q0
Proposição 4.2 Sejam
1;
2
pertencente ao intervalo de Farey
e isotópicos à idendois homeomor…smos de A;
tidade, que comutam entre si e com a translação T; tais que seu conjunto de
rotação está contido em ]0; +1[ : Então, existe um arco essencial simples
que é disjunto de
1(
)e
2(
):
Vejamos agora como o Teorema 3.1 segue destas duas proposições.
Segunda Prova do Teorema 3.1. Seja e
h como no Teorema 3.1. Conside0
0
remos as aplicações 1 := T p e
hq e 2 := T p e
h q : Dado que o conjunto
i 0h
Rot(e
h) está contido no intervalo de Farey pq ; pq0 ; pelo Lema 2.2, segue que
o conjunto de rotação de ambos homeomor…smos estão contidos em ]0; +1[ :
Utilizando a Proposição 4.2, obtemos um arco essencial simples
intersecta
1(
)e
2(
que não
): Como o conjunto de rotação é positivo para os dois
1
homeomor…smos, então
2
( )<
<
1(
) (ver item (iii) da Observação
3.1). Podemos aplicar agora a Proposição 4.1.
Assim, seja
o arco
= e( ) : Pelo primeiro ponto da Proposição 4.1, temos que
é disjunto do arco T ` ( ) para todo ` 2 Z; daí
q+q 0 1
simples em A: Por outro lado, os arcos ; h( ); :::; h
k1
k2
é arco essencial
( ) são dois a dois
disjuntos. De fato, se h ( ) \ h ( ) 6= ; para k1 ; k2 2 f0; :::; q + q 0 1g;
então existem inteiros `1 ; `2 tais que T `1 e
hk1 ( ) \ T `2 e
hk2 ( ) 6= ;; o qual
contradiz a Proposição 4.1.
39
Finalmente, dados k; k 0 2 f0; :::; q + q 0
1g; suponhamos que a tripla
k0
( ; hk ( ); h ( )) seja positiva. Portanto,
`
<T
e
hk ( ) < T
`0
0
e
hk ( ) < T ( )
para `; `0 2 Z: Pelo segundo ponto da Proposição 4.1, isto é equivalente a
` < k0
0<k
`0 < 1:
Resulta então que a ordem cíclica dos arcos
; h( ); :::; hq+q
0
1
( ) é a
mesma que a ordem cíclica dos iterados de um segmento vertical pela rotação
i 0h
de ângulo ; para qualquer 2 pq ; pq0 :
Isto termina a segunda prova do Teorema 3.1.
No resto deste capítulo vamos demonstrar as Proposições 4.1 e 4.2 .
4.2
Prova da Proposição 4.1
Nesta seção vamos demonstrar a Proposição 4.1. Para isso, utilizaremos
as propriedades aritméticas dos intervalos de Farey e suas aproximações
racionais, assim como o fato de que T e e
h comutam. Além disso, duas
a…rmações serão demonstradas para simpli…car a prova desta proposição.
Comecemos de…nindo as aproximações racionais dos intervalos de Farey.
De…nição 4.1 Seja I =
i
p p0
;
q q0
h
qualquer intervalo de Farey. Então, uma
seqüência …nita de números racionais
pn
qn
1 n n0
, onde pn e qn são primos
entre si, está associada a este intervalo se satisfaz as seguintes propriedades:
p1
q1
e
p2
q2
Para 2
=
p1
q1
n
+ 1 são dois inteiros consecutivos.
n0
1; existe an+1 2 Nnf0g tal que
40
pn+1 = an+1 pn + pn
pn0
qn0
1
1
pn0
qn0
e
1
e
(4.1)
qn+1 = an+1 qn + qn 1 :
são os extremos do intervalo de Farey I; ou seja,
pn0
p p0
; 0 =
q q
qn0
1
1
Os números racionais
;
pn0
qn0
p
p1
; :::; qnn0
q1
0
p p0
pn0 pn0
; 0 =
;
q q
qn0 qn0
ou
1
:
1
chamam-se aproximações comuns de Farey
dos elementos do intervalo I:
Se queremos que (4.1) esteja de…nida também para n = 1, escrevemos
(p0 ; q0 ) = (1; 0) e a2 = 1:
Por outro lado, com as mesmas hipóteses da Proposição 4.1, vamos introduzir a seguinte notação:
`
Para todo (`; k) 2 Z2 ; denotamos por (`; k) a curva T
Para 0
n
n0 ; denotamos por e
hn a aplicação T
Dados três arcos essenciais simples
000
e
00
0
;
00
;
; se eles forem disjuntos e satis…zerem
000
pn
e
h
qn
; diremos que
00
<
0
<
000
e
hk ( ):
ou
:
0
00
separa
000
<
0
<
:
Estamos prontos para demonstrar as duas a…rmações mencionadas acima.
A…rmação 4.1 Para qualquer n 2 f0; :::; n0
(pn ; qn ) e
1g; o arco
(pn+1 ; qn+1 ): Ainda, se n 6= 0; então
separa os arcos
(pn+1 ; qn+1 ) separa
e
(pn 1 ; qn 1 ):
Demonstração. Esta prova será feita por indução decrescente com respeito
a n.
41
Para n = n0
1:
Pela hipótese da Proposição 4.1, temos que (p0 ; q 0 ) <
tanto,
< (p; q): Por-
separa os arcos (pn0 1 ; qn0 1 ) e (pn0 ; qn0 ):
Para n < n0 :
Suponhamos que o arco
separa os arcos (pn ; qn ) e (pn+1 ; qn+1 ): Sem
perda de generalidade, assumamos
e
hn ( ) <
<e
hn+1 ( ):
(4.2)
Se e
hn ( ) < ; pela Observação 3.1, temos que < e
hn an+1 : Dado que
e
hn+1 e e
hn comutam (pois T e e
h comutam), usando novamente o item (ii) da
Observação 3.1, temos
e
hn+1 ( ) < e
hn an+1
e
hn+1 ( ):
(4.3)
Agora, e
hn an+1 e
hn+1 = T an+1 pn pn+1 e
h an+1 qn +qn+1 : Por (4.1), vemos
que e
hn an+1 e
hn+1 = e
hn 1 : Portanto, juntando as desigualdades (4.2) e (4.3)
obtemos …nalmente
(pn ; qn ) = e
hn ( ) <
<e
hn+1 ( ) = (pn+1 ; qn+1 ) < e
hn 1 ( ) = (pn 1 ; qn 1 ):
Similarmente, no caso
obtemos a desigualdade,
e
hn+1 ( ) <
<e
hn ( );
e
hn 1 ( ) < e
hn+1 ( ) <
<e
hn ( ):
Com isto, é fácil ver que a segunda conclusão desta a…rmação também é
verdadeira.
42
Corolário 4.1 A ordem de toda a família dos arcos referentes à a…rmação
anterior é a seguinte (sem perda de generalidade, podemos supor que n0 é
par):
T
1
( ) = (p0 ; q0 ) < (p2 ; q2 ) < ::: < (pn0 ; qn0 ) < ;
< (pn0 1 ; qn0 1 ) < ::: < (p1 ; q1 ) < T ( ):
Demonstração. Se n0 é par e (pn0 ; qn0 ) < < (pn0 1 ; qn0 1 ); pela A…rmação 4.1, temos
(pn0 2 ; qn0 2 ) < (pn0 ; qn0 ) <
< (pn0 1 ; qn0 1 ) < (pn0 3 ; qn0 3 ):
Desse modo, o resto das ’desigualdades’segue automaticamente aplicando
uma e outra vez a A…rmação 4.1. A única desigualdade que não está contida
nesta a…rmação é a última, (p1 ; q1 ) < T ( ): Mas, (p2 ; q2 ) < implica que
T ( (p2 ; q2 )) < T ( ): Dado T T p2 e
hq2 = T p1 e
hq1 (lembre-se que pq11 e
p2
q2
=
p1
q1
+ 1 são dois inteiros consecutivos) então (p1 ; q1 ) < T ( ):
A…rmação 4.2 Para todo inteiro n 2 f0; :::; n0
(`; k) 6= (0; 0) com ` 2 Z e k 2 f0; :::; qn + qn+1
1g; e todo par de inteiros
1g; os arcos
e (`; k) são
disjuntos.
Demonstração. Para mostrar esta a…rmação, provaremos primeiro o seguinte
fato: para qualquer n; `; k como os descritos nesta a…rmação, o arco (`; k)
e é (pn ; qn ) [
não intercepta o disco topológico aberto cujo bordo em A
(pn+1 ; qn+1 ): Isto, junto com a A…rmação 4.1, implicam de maneira au-
tomática esta a…rmação. Nossa prova do fato anterior seguirá por indução.
Para n = 0 :
43
Nesse caso, temos k = 0; pois q0 + q1
1
T
Portanto, (`; 0)
Para (n
1)
( )<
1
T
1
< (p1 ; q1 ) < T ( ):
( ) e (p1 ; q1 ) < ( `0 ; 0) para todo `; `0 2 N:
0:
(`0 ; k 0 ) com (`0 ; k 0 ) 6= (0; 0); `0 2 Z e k 0 2
Suponhamos que todo arco
f0; :::; qn
1g satisfaz (`0 ; k 0 )
+ qn
1 = 0: Pelo Corolário 4.1, sabemos
(pn ; qn ) ou (pn 1 ; qn 1 )
Observemos que, pela A…rmação 4.1, o arco
(`0 ; k 0 ):
separa (pn ; qn ) e (pn 1 ; qn 1 ).
Sem perda de generalidade, assumamos
(pn ; qn ) <
Consideremos qualquer arco
f0; :::; qn + qn+1
(4.4)
< (pn 1 ; qn 1 ):
(`; k) com (`; k) 6= (0; 0); ` 2 Z e k 2
1g: Da ’desigualdade’ (4.4) junto com a A…rmação 4.1,
obtém-se
(pn ; qn ) <
< (pn+1 ; qn+1 ) < (pn 1 ; qn 1 ):
Então, nosso objetivo será mostrar que (`; k)
(pn ; qn ) ou (pn+1 ; qn+1 )
(`; k): Se combinamos a ’desigualdade’(4.4) junto com a hipótese de indução, temos que o caso está feito para k
Agora, suponhamos k
an+1 qn + (qn
1
+ qn
e k 0 2 f0; :::; qn
1
qn
1
qn
1
+ qn
1:
+ qn : Dado qn
1
+ qn
k
qn + qn+1
1=
1); podemos escrever k = sqn + k 0 com s 2 f1; :::; an+1 g
+ qn
1g: Similarmente, podemos escrever ` = spn + `0 :
Pela hipótese da indução, um dos seguintes três casos acontece:
(`0 ; k 0 ) = (0; 0) : Neste caso, teremos (`; k) = (spn ; sqn ) = e
hsn ( )
e
hn ( ) = (pn ; qn ): Isto segue pela aplicação da Observação 3.1 na desigualdade e
hn ( ) < :
44
: Neste caso, (`; k) = e
hsn ( (`0 ; k 0 )) < e
hsn ( ): Pelo caso
anterior, concluímos que e
hsn ( (`0 ; k 0 ) < e
hn ( ) = (pn ; qn ):
(`0 ; k 0 ) <
< (`0 ; k 0 ) : Neste caso, pela desigualdade (4.4) e pela hipótese de
indução, (pn 1 ; qn 1 )
(`0 ; k 0 ): Da desigualdade e
hn ( ) < e s
an+1 decorre
e
hn
(pn+1 ; qn+1 ) = e
hn 1 ( ) e
hann+1 ( )
Finalmente, pela desigualdade acima,
e
hsn ( (pn 1 ; qn 1 )
e
hsn ( ) = e
hsn ( (pn 1 ; qn 1 ):
1
e
hsn ( (`0 ; k 0 ) = (`; k);
o que completa a prova desta a…rmação.
Prova da Proposição 4.1. Para mostrar o primeiro item, note que
(`; k) \ (`0 ; k 0 ) = T
`0
e
h
k0
( (`
Além disso, se (`; k) 6= (`0 ; k 0 ); então (`
forma, se k; k 0 2 f0; :::; q + q 0
supor que k
vemos que (`
1g; então k
0
`0 ; k
`0 ; k
k 0 ) \ ):
k 0 ) 6= (0; 0): Da mesma
k 0 2 f0; :::; q + q 0
1g (podemos
k ): Portanto, aplicando a a…rmação anterior para n = n0
`0 ; k
k0) \
= ;: Isto encerra a prova do item (i).
Mostremos agora o segundo item. Primeiramente, é fácil ver
(`; k) < (`0 ; k 0 ) () (` `0 ; k k 0 ) < :
i 0h
Por outro lado, se k 0 e 2 pq ; pq0 ; é imediato que
0
k pq0
`
k pq
`
0)k
0)k
45
` < 0;
` > 0:
1;
Então, combinando isto, pode-se provar que, para qualquer k 2 f0; :::; q +
q0
1g e qualquer `;
T
p
q
0
e
hk ( ) < ) k pq0
<T ` e
hk ( ) ) k pq
`
`
0;
`
0:
Mostremos só o primeiro caso, pois para o segundo o raciocínio é similar.
Suponhamos que T ` e
hk < : Dado < T p e
h q , podemos dizer que
6= kl : Ainda, pelo item (iii) da Observação 3.1, temos
Rot(T
p
e
h q)
[0; +1[ :
h
h
p
Portanto, usando o Lema 2.2, Rot(e
h)
;
+1
:
q
Analogamente, pelo fato de T ` e
hk < ; o conjunto de rotação de e
h
1; k` : Isto implica que k` pq 0; ou seja, kqp ` 0:
i
h
kp
k p0
Mas, pelo Lema 2.3, o intervalo q
`; q0
` não contém inteiros, de
estará contido em
modo que
k p0
q0
`
0:
Assim, para qualquer k 2 f0; :::; q + q 0
i 0h
2 pq ; pq0 ;
T
1g; qualquer ` 2 Z , e qualquer
e
hk ( ) < ) k
<T ` e
hk ( ) ) k
`
` < 0;
` > 0:
As contrapositivas destas duas implicações escrevem-se como,
k
k
`>0)
<T
`<0)T
`
`
e
hk ( );
e
hk ( ) < :
Note que o caso k
` = 0 não pode acontecer pois, pelo Lema 2.3, o
i
h
0
intervalo kqp ; kqp0 não contém nenhum inteiro; isto é, k
` nunca pode ser
nulo. Por outro lado, se k
` > 0; por exemplo, então T ` e
hk ( ) \ 6= ;
ou
<T
`
e
hk ( ): Mas, anteriormente foi mostrado que T
46
`
e
hk ( )\ = ;:
Daí, juntando estas quatro implicações, obtemos …nalmente,
T
e
hk ( ) < () k
<T ` e
hk ( ) () k
`
` < 0;
` > 0:
Isto completa a prova da proposição.
4.3
Prova da Proposição 4.2
Nesta seção começamos descrevendo o conceito das pseudo-órbitas, assim
como várias conseqüências da sua de…nição. Posteriormente, daremos início
à prova da Proposição 4.2 de…nindo a decomposição por tijolos e demonstrando algumas observações. Estes últimos fatos servirão de ajuda para
poder simpli…car a prova da proposição. Em toda esta seção, trabalharemos
com as mesmas hipóteses da Proposição 4.2, isto é, dois homeomor…smos
e
1 ; 2 de A que comutam entre si e com a translação T; tais que seus conjuntos de rotação estão contidos em ]0; +1[ :
De…nição 4.2 Uma seqüência (xn )n
0
e chama-se uma (
de pontos em A
órbita se para todo n, temos que xn+1 =
1 (xn )
ou
1;
2 )-
2 (xn ):
Denotemos por d e k k a distância e norma Euclidianas, respectivamente,
e = R [0; 1] e um número real positivo.
em A
De…nição 4.3 Uma
( 1 ; 2 )-pseudo-órbita é uma seqüência (xn )n
e tal que, para todo n, temos que
pontos em A
d(
1 (xn ); xn+1 )
<
ou d(
47
2 (xn ); xn+1 )
< :
0
de
Além de sua de…nição ser simples, uma pseudo-órbita tem uma principal motivação, que é a seguinte: podemos escolher um
que, para qualquer
(
1;
2 )-pseudo-órbita,
> 0 de tal modo
seu deslocamento esquerdo é
universalmente limitado. Isto segue do seguinte resultado:
Proposição 4.3 Existem > 0 e M > 0 tais que para qualquer
pseudo-órbita (xn )n
0
e para qualquer n
p1 (xn )
(
1;
2 )-
0;
p1 (x0 )
M:
A prova central desta proposição segue das próximas duas a…rmações,
principalmente da segunda. Nesta segunda a…rmação, limita-se o deslocamento esquerdo da
(
1;
2 )-pseudo-órbita
para períodos grandes. Na
primeira a…rmação, este último fato é provado para (
1;
2 )-órbitas.
A…rmação 4.3 Existe um inteiro N > 0 com a seguinte propriedade. Para
cada par de inteiros não negativos (N1 ; N2 ) tais que N1 + N2
e
todo ponto x em A;
p1 (
Em particular, se (xn )n
N1
1 (
1
N2
2 (x0 ));
e
2
N1
1 (
0
N2
2 (x)))
é uma (
N; e para
p1 (x) + 2:
1;
2)
órbita, o termo xN é igual a
onde N1 + N2 = N: Note que estamos usando o fato de que
comutam.
Demonstração. Aplicando o Lema 3.1, temos que existem números
>
0; s 2 R tais que a desigualdade (3.1) se cumpre para os homeomor…smos
1;
2:
Com efeito,
p1 (
n
1 (x))
p1 (x) + n
s
e
48
p1 (
n
2 (x))
p1 (x) + n
s;
e e para todo inteiro positivo n:
para todo x em A
Tomemos um par de inteiros não negativos (N1 ; N2 ): Assim, podemos
escrever p1 (
N1
1 (
p1 (
N2
2 (x)))
N1
1 (
N2
2 (x)))
p1 (
N1
1 (
p1 (x) como a soma,
p1 (
N2
2 (x))
+ p1 (
N2
2 (x))
p1 (x) :
Logo,
N2
2 (x)))
p1 (x)
(N1 + N2 )
2s:
Com isto, para qualquer inteiro positivo N tal que N 2s
2 a conclusão
do lema será verdadeira.
Vejamos agora o caso para as
(
1;
2 )-pseudo-órbitas.
A…rmação 4.4 Existe um inteiro N > 0 e uma constante
seguinte propriedade. Para toda
(
1;
2 )-pseudo-órbita
> 0 com a
(x0 ; :::; xN ) de
tamanho N,
p1 (xN )
p1 (x0 ) + 1:
Demonstração. A idéia desta prova segue basicamente da ’continuidade’
das (
1;
2)
órbitas. Em particular, seja N o inteiro dado pela A…rmação
4.3. Dizemos que uma
mento N é de tipo
temos d(xn+1 ;
n+1
(
; onde
1;
pseudo-órbita (x0 ; :::; xN ) de compri-
2)
2 f1; 2gN ; se para todo n 2 f0; :::; N
1g
(xn )) < : Dado que o conjunto f1; 2gN é …nito, vemos
que é su…ciente fazer a prova para cada tipo :
Fixemos o tipo
e e uma
da pseudo-órbita. Dados um ponto x0 em A
seqüência de vetores do plano
x1 :=
1
!
= ( 1 ; :::;
!
!
N );
(x0 ) + v1 ; :::; xN :=
49
de…nimos recursivamente
N
(xN
1)
!
+ vN :
e com o plano R2 ; e os vetores v!i
Identi…caremos o espaço tangente Tx A
serão escolhidos na bola unitária D do R2 :
Agora, de…nimos a aplicação
e
=:A
DN
(x0 ; )
! R2 ;
! xN :
É claro ver que = é contínua, pois
xN =
onde,
i
de que
N
(
N
1
(:::(
1
!
!
(x0 ) + v1 ):::) + vN
1)
!
+ vN ;
e a soma de vetores são aplicações contínuas. Além disso, pelo fato
i
comuta com a translação T; podemos notar que =(T (x0 ); ) =
T (=(x0 ; )): Desse modo, trabalharemos só no conjunto [0; 1] [0; 1] : Devido
a compacidade deste último conjunto, podemos dizer que = é uniformemente
e e para
contínua. Portanto, existe um 2 ]0; 1[ tal que para todo x0 em A
!
toda seqüência de vetores do plano
= ( 1 ; :::;
!
N)
!
cujas normas Euclidianas
sejam menores que ; temos d(=(x0 ; ); =(x0 ; ( 0))) < 1:
Neste ponto, pode-se notar o seguinte:
Para toda
(
1;
pseudo-órbita (x0 ; :::; xN ) do comprimento N
2)
de tipo ; xN pode ser escrita como =(x0 ; ) para alguma seqüência
!
= ( 1 ; :::;
!
N)
com k
!
i
k< :
!
A igualdade =(x0 ; ( 0)) =
De modo que, para toda
primento N e tipo
1
N
(
1;
2)
(x0 ):
pseudo-órbita (x0 ; :::; xN ) de com-
, obtém-se
p1 (xN )
p1 (
1
N
50
(x0 ))
1:
Aplicando a A…rmação 4.3 a (
1
(x0 )) e usando o fato de que
p1 (
1
N
N1
1
(x0 )) = p1 (
1
1;
2)
e
2
órbita (x0 ;
1
(x0 ); :::;
N
comutam, tem-se
N2
2 (x0 ))
onde N1 +N2 = N:
p1 (x0 )+2;
Somando estas duas desigualdades, concluímos …nalmente que
p1 (xN )
p1 (x0 ) + 1:
Agora provaremos a Proposição 4.3.
Prova da Proposição 4.3. Sejam N e
> 0 o inteiro e a constante
dados pela A…rmação 4.4. Então, para qualquer
(
1;
2)
pseudo-órbita
(x0 ; :::; x` ) de comprimento ` < N; temos
p1 (x` )
p1 ( i (x` 1 ))
;
onde i = 1 ou 2:
Pelo Lema 3.1, obtém-se
p1 ( i (x` 1 ))
pois
p1 (x` 1 ) +
s
p1 (x` 1 )
s;
é positivo, e s é a cota dado pelo Lema 3.1. Somando estas duas
desigualdades, chegamos a
p1 (x` )
p1 (x` 1 )
s
:
Aplicando novamente o Lema 3.1, temos
p1 (x` 1 )
p1 (x` 2 )
portanto,
51
s
;
p1 (x` )
p1 (x` 2 )
2s
2:
Assim, aplicando repetidamente o Lema 3.1, teremos
p1 (x` )
p1 (x0 )
`(s + )
p1 (x0 )
(4.5)
N (s + ):
Consideremos agora qualquer inteiro n e qualquer
(
1;
2)
pseudo-
órbita (x0 ; :::; xn ) de comprimento n: Escrevamos n como kN + ` onde k
e ` 2 f0; :::; N
(
1;
2)
0
1g: Por um lado, da aplicação da A…rmação 4.4 na
pseudo-órbita x(k
1)N ; :::; xkN
p1 (xkN )
de comprimento N , resulta
p1 (x(k
1)N )
+ 1;
ou seja,
p1 (xN )
p1 (x0 ) + 1
p1 (x2N )
p1 (xN ) + 1
..
.
p1 (xkN )
p1 (x(k
1)N )
+ 1;
de modo que,
p1 (xkN )
p1 (x0 ) + k:
Por outra parte, pela desigualdade (4.5) aplicada na
(
órbita (xkN ; :::; xkN +` ) de comprimento `; segue que
p1 (xn )
p1 (xkN )
N (s + ):
Daí, juntando as dois últimas desigualdades obtemos
p1 (xn )
p1 (x0 )
k
N (s + )
52
N (s + ):
1;
2)
pseudo-
Portanto, tomando M = N (s+ ) chegamos a desigualdade da Proposição
4.3.
Com este resultado pronto, voltamos …nalmente a prova da Proposição
4.2.
Prova da Proposição 4.2. Primeiramente, construiremos o arco essencial
simples. Para isto, consideremos uma decomposição por tijolos de A; como
mostra a Figura 4.1.
Figura 4.1: Decomposição por tijolos de A
Basicamente, o que estamos fazendo é obter um grá…co triádico imerso,
e (triádico signi…ca que cada vértice pertence
que denotaremos por F; em A
exatamente a três arcos), tal que F contenha as componentes da fronteira de
e Um tijolo é o fecho de um domínio complementar de F de A; isto é, um
A:
disco topológico fechado. Um requerimento importante para F é o seguinte:
todo tijolo tem que ter um diâmetro menor do que o número > 0 dado pela
Proposição 4.3 (a métrica usada em A = S1
[0; 1] será a Euclidiana).
Observação 4.1
(i) Dado que F é triádico, a fronteira topológica da união de qualquer família
e cuja fronteira está entre as comde tijolos é uma 1-subvariedade em A;
e
ponentes da fronteira de A:
53
e está incluído no interior da união dos ti(ii) Qualquer subconjunto de A
jolos que ele intersecta (lembre-se que os tijolos são discos topológicos
fechados).
De…nição 4.4 Uma cadeia de tijolos (do tijolo D0 até o tijolo Di ) é uma
e tal que 1 (D0 ) [ 2 (D0 ) intersecta
seqüência (D0 ; :::; Di ) de tijolos em A
D1 ; :::;
1 (Di 1 )
[
Consideremos
2 (Di 1 )
intersecta Di :
[0; 1]; podemos supor que 0 está incluído em
e da seguinte forma:
F (ver Figura 4.2). De…nimos um subconjunto A de A
0
= f0g
(a) Para qualquer tijolo D0 ; denotemos por D(D0 ) a união de todos os tijolos
D da decomposição tal que existe uma cadeia de tijolos de D0 até D:
(b) O conjunto A é a união de todos os conjuntos D(D0 ); onde D0 é tomado
do conjunto sobre todos os tijolos que estão à direita do arco
tijolo D0 poderia intersectar
0
0 ):
Figura 4.2: Arco
0
incluído em F
Observação 4.2
(i) Todos os tijolos que estão à direita de
0
pertence ao conjunto A.
(ii) Existe uma constante M > 0 tal que A está incluído em [ M; +1[
[0; 1] :
54
(o
(iii) O conjunto A é um atrator estrito para
Int(A) e
2 (A)
1
e
2;
ou seja,
1 (A)
Int(A):
Demonstração.
(i) Basta considerar cadeias de um único tijolo.
(ii) Utilizando a Proposição 4.3, vemos que:
Sejam (Do ; :::; D1 ) uma cadeia de tijolos e x qualquer ponto em Di : Então,
podemos construir facilmente uma
(
1;
2)
pseudo-órbita (x0 ; :::; xi ) tal
que x0 está em D0 e xi = x: Em particular, seja yi
pertence a (
tal que yi
1
1 (Di 1 )[
=
1 (xi 1 )
2 (Di 1 ))\Di :
ou
2 (xi 1 )
1
qualquer ponto que
Isto implica que existe um xi
e d(
1 (xi 1 ); xi )
< ou d(
: Analogamente, para xi 1 , conseguimos achar o elemento xi
assim até encontrar o elemento x0 em D0 da
Agora, lembremos que o
(
1;
2)
em Di
1
2 (xi 1 ); xi )
<
2
1
em Di 2 ; e
pseudo-órbita.
> 0 foi dado pela Proposição 4.3, portanto,
existe uma constante M > 0, dada pela mesma proposição, tal que p1 (xi )
p1 (x0 )
M: Como D0 está à direita de
0,
seqüência, Di está contido em [ M; +1[
incluído em [ M; +1[
resulta que p1 (x0 )
[0; 1]: Disto segue que A está
[0; 1] (ver Figura 4.3):
Figura 4.3: Conjunto A
55
0; em con-
(iii) Seja D qualquer tijolo contido em A: Pela de…nição do conjunto A,
existe uma cadeia de tijolos (D0 ; :::; D) onde D0 está à direita de
para qualquer tijolo D0 que intersecte
1 (D);
0:
Então,
temos que (D0 ; :::; D; D0 ) vai
ser também uma cadeia de tijolos. Portanto, D0 pertence a A: Pelo item (ii)
da Observação 4.1, sabemos que
1 (D)
tijolos que ele intersecta, de modo que
serve para
2:
está incluído no interior da união dos
1 (D)
int(A). Similar argumento
Note a importância de haver de…nido os tijolos como conjuntos
fechados para poder obter um atrator estrito.
Desse modo, de…nimos ao arco como a fronteira da componente conexa
e
de AnA
que contém ] 1; M [ [0; 1] (ver Figura 4.4): Pelo item (ii) da
Observação 4.2,
está bem de…nido. Ainda, pelo item (i) da Observação
4.1, temos que
será um arco essencial simples. Portanto, se
Int(A) e
tal que
2 (A)
<
1(
Int(A); então
)e
<
2(
é disjunto de suas imagens
).
Figura 4.4: Arco essencial simples
Isto termina a prova da Proposição 4.2.
56
1(
1 (A)
)e
2(
);
Capítulo 5
O fecho da classe de conjugação
de uma pseudo-rotação: Prova
do Corolário 1.1
Na introdução do Capítulo 1 apresentamos o seguinte resultado clássico dos
homeomor…smos do círculo: Para qualquer homeomor…smo h do círculo que
preserva orientação e tem número de rotação ; a rotação rígida de ângulo
está no fecho da classe de conjugação de h. Neste capítulo, faremos uma
extensão deste resultado às pseudo-rotações irracionais do anel fechado, como
o descreve o Corolário 1.1. De forma análoga ao caso do Teorema 1.1, este
corolário será uma conseqüência imediata de outro resultado, no qual faremos
uso, mais uma vez, da hipótese de que o conjunto de rotação está contido em
um intervalo de Farey.
5.1
Prova do Corolário 1.1
Nesta seção provaremos o Corolário 1.1 fazendo uso da próxima proposição.
57
Proposição 5.1 Seja h : A ! A um homeomor…smo que é isotópico à idene !A
e um levantamento de h: Suponhamos que o conjunto de
tidade e e
h:A
i 0h
e
rotação Rot(h) está contido em algum intervalo de Farey pq ; pq0
R: Eni 0h
tão, para qualquer número (racional ou irracional) 2 pq ; pq0 ; existe um
homeomor…smo
de A; isotópico à identidade, tal que
40
:
min(q; q 0 )
Para provar o corolário, assumiremos a Proposição 5.1.
d(
h
1
;R ) <
Prova do Corolário 1.2. Consideremos uma pseudo-rotação irracional h
i 0h
de ângulo : Pelo Lema 2.4, pertence a um intervalo de Farey pq ; pq0 com
q e q 0 arbitrariamente grandes. Portanto, pela Proposição 5.1, h é conjugado
a algum homeomor…smo
h
1
arbitrariamente perto da rotação rígida
R :
Isto termina a prova do Corolário 1.1
O resto deste capítulo terá como objetivo mostrar a Proposição 5.1.
5.2
Preliminares: decomposição de homeomor…smos do disco
Nesta seção começamos mostrando que todo homeomor…smo h que coincide
com a identidade na fronteira do disco unitário fechado, pode ser decomposto
como o produto de vários homeomor…smos, os quais estão arbitrariamente
perto da identidade. Com isto, veremos que o mesmo resultado se realiza
também quando o homeomor…smo é isotópico à identidade e coincide com
ela só em dois arcos fechados disjuntos contidos na fronteira do disco. Este
58
último fato, como veremos na próxima seção, ajudará a obter um resultado
chave na demonstração da Proposição 5.1.
Antes de apresentar os dois resultados desta seção, é conveniente introduzir algumas notações e uma pequena de…nição. Usando-se a métrica
Euclidiana de R2 , denotemos por D ao disco unitário fechado. Denotemos
também por Homeo+ (D) o conjunto dos homeomor…smos do disco D isotópicos à identidade (a de…nição de isotopia para o disco D é a mesma que foi
de…nida no caso do anel A na Seção 2.3), e por Homeo(D; @D) o conjunto de
homeomor…smos que coincidem com a identidade na fronteira do D: Nestos
conjuntos, trabalharemos com a métrica usual d(h; h0 ) = supfd(h(x); h0 (x)) :
x 2 Dg: Assim, dois homeomor…smos h; h0 serão chamados de
próximos se
0
d(h; h ) < :
Observação 5.1 Seja h um homeomor…smo do disco D: Então h é isotópico
à identidade se e somente se
(i) h preserva orientação, e
(ii) h preserva a fronteira, ou seja, h(@D) = @D:
Observação 5.2 Sejam h; h0 dois elementos do conjunto Homeo(D; @D): Se
h; h0 são
próximos, então o homeomor…smo h h0
tidade. Em particular, se h é
…smo h
1
é também
1
é
próximo da iden-
próximo da identidade, então o homeomor-
próximo da identidade.
Demonstração. De fato, se d(h; h0 ) < , então
d(h(x); h0 (x)) <
Observemos que h 1 ; h0
1
8x 2 D:
pertencem também ao conjunto Homeo(D; @D):
Logo, para todo x 2 D; existe um único ponto y 2 D; tal que x = h0 1 (y).
Isso implica que
59
d(h h0 1 (y); y) <
8y 2 D:
Com o mesmo argumento mostra-se a segunda conclusão desta observação.
O primeiro resultado desta seção é,
Lema 5.1 Para todo
> 0; existe um N 2 N tal que todo homeomor…smo
h 2 Homeo(D; @D) pode ser escrito como a composta h = hN
homeomor…smos em Homeo(D; @D) os quais são
4
Ainda, podemos escolher N menor do que
Por outro lado, sejam
+
1;
Denotemos por Homeo (D;
2
1[
h1 de N
próximos da identidade.
+4:
dois arcos fechados contidos na fronteira @D:
2)
o conjunto dos homeomor…smos do disco
D; isotópicos à identidade, que coincidem com a identidade em
que quaisquer destes dois arcos poderia ser um só ponto.
1[
2:
Note
Assim, um corolário importante do Lema 5.1 é o seguinte:
Corolário 5.1 Para todo
…smo h 2 Homeo+ (D;
> 0; existe um N 2 N tal que todo homeomor-
1 [ 2)
pode ser escrito como o produto h = hN
de N homeomor…smos em Homeo+ (D;
1
[
2)
os quais são
h1
próximos da
identidade. Ainda, podemos escolher N menor do que ( 4+2 ) +5:
Passemos então a mostrar o Lema 5.1.
Prova do Lema 5.1. Comecemos …xando 0 <
<
1
;
2
consideremos um
homeomor…smo h 2 Homeo(D; @D):
Inicialmente, usando o lema de isotopia de Alexander, provaremos que h
pode ser escrito como o produto h = h0
h0 onde h0 ; h0 são homeomor…s-
mos que pertencem ao conjunto Homeo(D; @D), tais que h0 é
0
próximo da
identidade e h coincide com a identidade em uma vizinhança de @D:
60
Comecemos por estender h a todo o plano R2 ; fazendo simplesmente com
que ele coincida com a identidade em R2 nD: Note que esta extensão está bem
de…nida, pois h coincide com a identidade na fronteira do disco D: Agora,
para t 2 ]0; 1] ; consideremos o homeomor…smo
At : D ! D
x 7! t h( xt ):
Claramente, At 2 Homeo(D; @D); pois para qualquer x 2 D; se jjxjj
temos que
h( xt )
x
t
1; então At (x) = t
x
t
t;
= x: Similarmente, se jjxjj < t então
< 1; o que implica que jjAt (x)jj = t
h( xt )
< t: Isto mostra que
At coincide com a identidade fora da bola Euclidiana B(0; t) de centro 0 e
raio t: Ainda, pela de…nição do homeomor…smo At ; a aplicação inversa dele
é dada por At 1 (x) = t h 1 ( xt ) para todo x 2 D:
De…nimos então h0 := At0 e h0 := At01
h: É fácil ver que h0 ; h0 2
Homeo(D; @D): Por outro lado, h0 coincide com a identidade na vizinhança
V = fx 2 D: jjxjj > t0 g: Ainda, se t0 está su…cientemente perto de 1; mostra-
se que h0 satisfaz a propriedade requerida. Em particular, pela compacidade
do disco unitário fechado D; o homeomor…smo At01 é uniformemente contínuo.
Portanto, para o
…xado, temos que existe um
> 0; tal que
=) d(At01 (x); At01 (y)) < :
2
Para qualquer x 2 D, a distância Euclidiana d(x; t0 x) = j1
d(x; y) <
j1
t0 j : Assim, para j1
t0 j < min( ; 2 ); obtemos
t0 j jjxjj
d(x; t0 x) < ;
o que implica que d(At01 (x); At01 (t0 x)) < 2 : Usando o fato de que h é um
homeomor…smo do disco D, segue que existe um único y 2 D tal que x = h(y):
Resulta então,
61
d(At01 (x); At01 (t0 x)) = d(t0 h 1 ( tx0 ); t0 h 1 ( tt0ox )
); t0 y):
= d(t0 h 1 ( h(y)
t0
Ou seja,
h(y)
); t0 y) < :
t0
2
Analogamente, para o ponto y obtido anteriormente,
d(t0 h 1 (
d(t0 y; y) = j1
t0 j < :
2
Somando estas duas últimas desigualdades, obtemos …nalmente,
h(y)
); y) <
8y 2 D:
t0
Resta só provar que o homeomor…smo h0 pode ser escrito como o produto
d(t0 h 1 (
de n elementos do conjunto Homeo(D; @D) os quais sejam
identidade, com n <
4
próximos da
+ 3:
Tomemos o número
=1
t0 ; onde 0 <
< 12 : Pela de…nição do homeo-
mor…smo At0 ; temos que h0 coincide com a identidade fora da bola Euclidiana
B(0; 1
) de centro 0 e raio 1
: De…nimos o seguinte homeomor…smo '
do intervalo [0; 1] como (ver Figura 5.1)
8
t
>
se 0
>
< 2;
':t7 !
se
t 2;
>
>
: (1 + )t
; se 1
2
2
62
t< ;
t<1
;
t
1:
Figura 5.1: Homeomor…smo '
Desse modo, consideremos agora o homeomor…smo radial g
;
no disco D
de…nido por
g
;
:x7 !
(
'(jjxjj)
0;
A dinâmica do homeomor…smo g
x
;
jjxjj
se x 6= 0;
se x = 0:
é tomar qualquer ponto x do disco D
;
e projetá-lo radialmente na bola Euclidiana B(0; '(jjxjj): Daí, o fato de ' ser
um homeomor…smo no intervalo [0; 1]; implica que g
é um homeomor…smo
;
do disco D que coincide com a identidade na fronteira do disco D. Portanto,
g
;
2 Homeo(D; @D); de modo que o homeomor…smo g
1
;
também pertence
ao conjunto Homeo(D; @D).
Agora, veri…caremos que g
;
é
próximo da identidade. Observemos
que para qualquer x 2 D;
d(g ; (x); x) =
'(jjxjj)
= j '(jjxjj)
Por outro lado,
63
x
jjxjj
x
jjxjj j :
j'(t)
onde j'(t)
tj
2
tj =
8
t
>
>
< 2;
>
>
:
2
2
;
se 0
t< ;
se
t<1
;
t
1;
t); se 1
(1
< ; para qualquer t 2 [0; 1]: Isto implica que d(g ; ;id) <
: Note que, pela Observação 5.2, o homeomor…smo g
1
;
também será
próxi-
mo da identidade.
Em seguida, estudemos a dinâmica do homeomor…smo ' no ponto 1
'(1
sempre que
) = (1
)
2
;
'2 (1
) = (1
..
.
)
2
2
;
'n (1
) = (1
)
n
2
;
'n 1 (1
:
; para qualquer inteiro positivo n:
) < 1
Assim, sem perda de generalidade, seja n o primeiro inteiro positivo tal que
'n 1 (1
) < : Nesse caso, pela de…nição do homeomor…smo ';
'('n 1 (1
ou seja, 'n (1
)) =
'n 1 (1
2
)
< ;
2
) < 2:
Mas,
'n 1 (1
) = (1
o qual implica que n > 2 (1
< ;
2
): Logo, seja m o inteiro em
2
)
(n
1)
n e por conseguinte 'm (1
pelo resultado anterior, segue que m
Analisemos agora a dinâmica do homeomor…smo g
;
x
jjxjj
64
e
; +1 ;
) < 2:
: Inicialmente, note-
mos que
g m; (x) = 'm (jjxjj)
2 2
g m; (0) = 0:
Então, para todo x 2 B(0; 1
);
g m; (x) = 'm (jjxjj) = 'm (1
Em outras palavras, o homeomor…smo g m;
)< :
2
leva a bola B(0; 1
) dentro
da bola B(0; 2 ): É imediato que para todo x que está fora da bola B(0; 2 ), o
homeomor…smo g
m
;
leva o ponto x fora da bola B(0; 1
); região do disco
D onde o homeomor…smo h0 coincide com a identidade. Neste caso,
h0 g
m
; (x)
=g
m
; (x):
De…nimos assim o homeomor…smo
hb := g m;
h0 g
m
; :
Pela observação anterior, o homeomor…smo hb coincide com a identidade
fora da bola B(0; 2 ): Isto implica que, para qualquer ponto x que está dentro
da bola B(0; 2 ); sua imagem por hb tem que cair dentro da bola B(0; 2 ) (caso
contrário teríamos uma contradição) e portanto d(x; hb (x)) < : Podemos
dizer então que o homeomor…smo hb é
próximo da identidade.
Finalmente, escrevamos o homeomor…smo h0 da seguinte forma,
h0 = g
m
;
hb g m; :
Daí, concluímos que h0 é o produto de n = 2m + 1 elementos do conjunto
Homeo(D; @D); onde todos são
que o inteiro m satisfaz
2
m<
próximos da identidade. Além disso, dado
2
+ 1; teremos n <
4
+ 3:
Isto termina a prova do Lema 5.1.
Prova do Corolário 5.1. Antes de começar com a prova do Corolário 5.1,
vamos descrever e mostrar algumas observações.
65
Observação 5.3 Todo homeomor…smo crescente do intervalo [0; 1] pode ser
escrito como o produto de N homeomor…smos que são
tidade, com N <
1
próximos da iden-
+ 1:
Demonstração. Seja h um homeomor…smo crescente de [0; 1]: Se d(h;Id) <
, o corolário será trivialmente certo com N = 1: Assumiremos então que
d(h;Id)
: Portanto, existe um inteiro positivo N > 1 tal que
(N
1)
d(h; Id) < N
Consideremos o homeomor…smo
8
>
>
< x + ; se h(x) > x + ;
h1 : x 7 !
(5.1)
:
h(x); se x
h(x)
>
>
: x
; se h(x) < x
:
x+ ;
Logo, d(h1 ;Id) = : Por outro lado, usando a de…nição de h1 ;
8
>
; se h(x) x > ;
>
< (h(x) x)
h(x) h1 (x) =
0;
se
h(x) x
;
>
>
: (x h(x))
; se < x h(x):
Isto implica que
d(h(x); h1 (x)) =
(
d(h(x); x)
; se d(h(x); x) > ;
se d(h(x); x)
0
:
Tomando o supremo das distâncias, obtemos que d(h; h1 ) = d(h;Id)
:
Ainda, seguindo a mesma idéia feita na Observação 5.2, temos que d(h; h1 ) =
d(h h1 1 ;Id), ou seja,
d(h h1 1 ; Id) = d(h; Id)
A partir de (5.1), vale
66
:
(N
d(h h1 1 ; Id) < (N
2)
1)
:
Agora, o mesmo raciocínio aplicado ao homeomor…smo h h1 1 conduz à
seguinte desigualdade,
(N
d(h h1 1 h2 1 ; Id) < (N
3)
2)
;
onde
8
>
se (h h1 1 )(x) > x + ;
>
< x+ ;
h2 : x 7 !
(h h1 1 )(x); se x
(h h1 1 )(x)
>
>
: x
;
se (h h1 1 )(x) < x
:
x+ ;
Continuando do mesmo jeito chegamos ao homeomor…smo h h1 1 h2 1
hN1 1 , tal que
hN1 1 ; Id) < :
d(h h1 1 h2 1
0
Assim, o homeomor…smo g = h h1 1
h2 1
hN1 1 é
próximo da
identidade. Escrevendo,
h = g hN
h2 h1 ;
1
temos que h é o produto de N homeomor…smos
Note que N
d(h;Id)
próximos da identidade.
+ 1: Dado d(h;Id) < 1; então N <
1
+ 1; como
procurávamos.
Denotemos por Homeo+ (@D;
1
[
2)
o espaço dos homeomor…smos do
círculo @D que preservam a orientação e que coincidem com a identidade
nos arcos fechados
1
e
2.
O círculo @D será visto como a fronteira do
disco unitário no plano Euclidiano; em lugar da métrica usual do círculo @D,
67
utilizaremos a métrica intrínseca do plano, isto é, a distância entre dois pontos
x; y 2 @D não será o comprimento do arco entre x e y senão o comprimento do
segmento [xy]: Esta métrica induz uma métrica no espaço Homeo+ (@D;
2 );
1
a qual denotaremos por d@D :
Observação 5.4 Todo elemento do conjunto Homeo+ (@D;
escrito como o produto de N elementos em Homeo+ (@D;
da identidade, com N <
2
+ 1:
Demonstração. Primeiramente, seja
pontos extremais são (cos 2
1 ; sin 2
1
1[
[
2)
[
pode ser
próximos
2)
qualquer arco fechado em @D cujos
e (cos 2
1)
2 ; sin 2
2 ):
Usando a
mesma notação da Seção 2.2, suponhamos
(cos 2
1 ; sin 2
1)
<0 (cos 2
2 ; sin 2
2 ):
Assim, consideremos o homeomor…smo
: [0; 1] !
t
7! (cos(2 (1
t)
1
+2 t
2 ); sin(2
(1
t)
+2 t
1
2 )))
Para qualquer t e s no intervalo [0; 1] temos
d( (t); (s))2 = [cos(2 (1
t)
+[sin(2 (1
= 2
2
1
t)
+2 t
1
2[cos((2 (1
2[1
(2 (1 t)
2)
+2 t
t)
1
1 +2
t
2)
+2 t
2)
cos(2 (1
s)
sin(2 (1
2)
(2 (1 s)
2
s)
(2 (1
1 +2
s
2)
1
2j
1; então
68
+2 s
1
s)
2
Nesta última desigualdade, utilizamos o fato de que cos x
Assim, dado j
1
+2 s
1
2
2 )] ;
+2 s
]:
1
2
2 )]
x2
:
2
2 )];
d( (t); (s))
ou seja, o homeomor…smo
(5.2)
2 d(t; s);
tem constante de Lipschitz igual a 2 :
Seja então f qualquer elemento do conjunto Homeo+ (@D;
notemos por
3
e
4
1
[
De-
2 ):
os dois arcos restantes do círculo @D: Dado que f é
um homeomor…smo onde f j
1[ 2
=id , temos que f (
Adicionalmente, podemos tomar os arcos
3
e
4
3)
=
3
e f(
4)
=
4:
como arcos fechados, pois
f coincide com a identidade nos pontos extremais dos mesmos.
1
Consideremos assim o homeomor…smo
: [0; 1:] !
que
1
fj
3:
fj
do intervalo [0; 1]; onde
3
Pelo fato de f preservar a orientação do círculo @D; temos
é um homeomor…smo crescente: Logo, a Observação 5.3
3
garante que podemos escrever o homeomor…smo
de N homeomor…smos que são
2
1
fj
3
como produto
-próximos da identidade, com N <
2
+ 1:
Em outras palavras,
1
fj
=
3
(5.3)
1;
N
onde
i
: [0; 1] ! [0; 1]
e
d( i ; id) <
;
2
De (5.3) segue que o homeomor…smo f j
1
3
i
N:
pode ser escrito como produto
de N homeomor…smos. Em particular:
fj
3
=(
1
N
)
onde
69
(
1
1
);
1
i
:
3
!
3;
1
i
N:
Agora, fazendo uso da propriedade do homeomor…smo
Lipschitz igual a 2 vamos mostrar que d@D (
1
i
i
ter constante de
1
;id) < ; para todo
1
(x) 2 [0; 1]: Logo,
N:
De fato, seja x qualquer ponto do arco
1
d( i (
1
(x));
3:
Então
(x)) <
1 i N:
2
Utilizando (5.2) junto com esta última desigualdade, obtemos …nalmente
que, para todo 1
i
N;
d( ( i (
1
(x))); (
d( ( i (
1
1
2 d( i (
(x))); x) <
Daí, o homeomor…smo f j
omor…smos
(x)))
3
1
1
(x));
(x))
:
pode ser escrito como o produto de N home-
próximos da identidade, com N <
2
+ 1:
Do mesmo jeito, pode-se chegar à mesma conclusão no caso do homeomor…smo f j
4
:
fj
d@D (
0
i
4
1
= (
) <
1
0
N
1
i
)
(
0
1
1
);
N:
Portanto,
f = fN
onde, para 1
i
f1 :
N; o homeomor…smo fi do círculo @D está de…nido
como,
70
fi (x) =
Dado que
e
4,
1
i
8
>
>
<
1
i
>
>
: x
e
1
0
i
(x) se x 2
(x) se x 2
se x 2
1
0
i
3;
4;
[
1
2:
coincidem com a identidade nos arcos
respectivamente, então fi está bem de…nido. Ainda, o homeomor…smo
fi é um elemento de Homeo+ (@D;
1
[
2)
eé
próximo da identidade.
Voltemos agora à prova do Corolário 5.1. Fixemos um número
consideremos um homeomor…smo h 2 Homeo+ (D;
1
[
>0e
2 ):
Dado que h preserva a orientação, então hj@D 2 Homeo+ (@D;
1
De acordo com a Observação 5.4, temos
hj@D = HN1
onde Hi 2 Homeo+ (@D;
2
3
1
+ 1.
[
2)
2 ):
(5.4)
H1 ;
e são
[
próximos da identidade, com N1 <
Agora, consideremos a seguinte ’aplicação de extensão circular’ (usando
números complexos):
(
:
(Homeo(@D); d@D ) !
(Homeo(D); d);
7! (h : rei 7! rH(ei ):
H
Seja h0 := ( hj@D ): De (5.4) segue que h0 = (HN1
H1 ):
É fácil veri…car que
(H1 ); ou seja
(HN1
H1 ) = (HN1 )
h0 = (HN1 )
Em particular, para 1
implica que
i
(Hi ) 2 Homeo+ (D;
h0 2 Homeo+ (D;
1
[
2 );
N1 ; o fato de Hi 2 Homeo+ (@D;
1
[
(5.5)
(H1 ):
2)
1
[
2 );
(ver Observação 5.1); e portanto,
assim como sua inversa também pertence. Além
71
disso, como d@D (Hi ;id) <
então d( (Hi );id) <
(lembre-se que em @D
usamos a métrica extrínseca). Mais precisamente:
Seja x = rei qualquer ponto do disco D: Então, para 1
i
N1 ;
d(( (Hi ))(rei ); rei ) = d(rHi (ei ); rei )
= rd(Hi (ei ); ei )
d(Hi (ei ); ei )
<
:
Por outro lado, aplicando a de…nição de h0 , obtemos que o homeomor…smo
h0
1
h é um elemento em Homeo(D; @D); sendo ele isotópico à identidade.
Podemos então aplicar o Lema 5.1 ao homeomor…smo h0
h0
onde hi 2 Homeo+ (D;
4
+ 4.
1
[
1
2)
h = hN2
e são
1
h, e obter
(5.6)
h1;
próximos da identidade, com N2 <
Dessa maneira, juntando (5.5) e (5.6) …nalizamos a prova do Corolário
5.1 escrevendo
h = (HN1 )
(H1 ) (hN2
h1 ):
Nesta fórmula, h é igual a produto de (N1 +N2 ) elementos de Homeo+ (D;
2 );
que são
5.3
próximos da identidade, com (N1 + N2 ) < ( 2
+4
) + 5:
Prova da Proposição 5.1
Nesta seção apresentamos a prova da Proposição 5.1 , que para maior facilidade será dividida em três partes. Porém, antes de começar cada uma
delas, vamos descrever uma certa família de subconjuntos do anel A; assim
72
1[
como dois resultados chaves que eles satisfazem. O primeiro resultado está
relacionado com esta família, e o segundo com um par de elementos dela.
i 0h
Comecemos …xando um número no intervalo pq ; pq0 : Consideremos os
e e 0 = e( 0 ) em A. Similararcos essenciais simples 0 = f0g [0; 1] em A;
mente, consideremos os discos topológicos fechados (ver Figura 5.2)
e := R(
D
0 )nInt(R(T
p
T q(
0 )))
e
e 0 := R(T
D
p0
e com
e eD
e 0 em A
Figura 5.2: Dinâmica dos discos D
0
Tq (
0 ))nInt(R( 0 )):
i
h
p p0
;
q q0
=
3 2
;
5 3
e e D0 = e(D
e 0 ): Assim, fazendo uso da rotação R ,
Chamemos D = e(D)
consideremos a família de discos topológicos fechados (ver Figura 5.3)
D = fRk (D) : k = 0; :::; q 0
0
1g [ fRk (D0 ) : k 0 = 0; :::; q
73
1g:
0
Figura 5.3: Dinâmica dos discos D e D em A com
i
p p0
;
q q0
h
=
3 2
;
5 3
O seguinte lema, que descreve duas propriedades desta família, é o primeiro
de dois resultados importantes que serão demonstrados antes da Proposição
5.1.
Lema 5.2 Seja D a família de discos descrita anteriormente. Então,
(i) os discos na família D cobrem o anel A; e
(ii) seus interiores são dois a dois disjuntos.
Demonstração. Para mostrar a segunda propriedade é su…ciente veri…car
que nenhum arco Rk ( 0 ); com k = f0; :::; q + q 0
1g; intersecta o interior
de D ou D0 : Por exemplo, suponhamos que para um certo k 2 f0; :::; q 0
e k 0 2 f0; :::; q
1g temos que Int(Rk (D) \ R (D0 )) 6= ;: Sem perda de
k 0 : Então, Int(Rk
generalidade, podemos supor que k
onde k
Rq+k
k0
1g
k0
k 0 2 f0; :::; q 0
k0
(D) \ D0 ) 6= ;,
1g: Conseqüentemente, um dos arcos, Rk
k0
( 0 ) ou
( 0 ); intersectam o interior de D0 : Analogamente, pode-se veri…car
que a intersecção entre dois discos da família D implica que algum arco
Rk ( 0 ); com k = f0; :::; q + q 0
1g; intersecta o interior de D ou D0 :
74
Assim, no caso k = 0; é óbvio que não é verdade, pois
0
pertence à
fronteira dos dois discos. Agora, suponhamos, por absurdo, que existe algum
arco Rk ( 0 ); com k 2 f1; :::; q + q 0
1g; que intersecta o interior de D ou D0 :
Por simplicidade, assumamos que ele intersecta D0 : Resulta então que existe
um inteiro nk tal que
q0
p0 < k
nk < 0 < q
(5.7)
p:
Logo,
<
Como
2
i
p p0
;
q q0
h
;
p0
q0
< nkk <
nk
:
k
0
< pq0
ou
p0
nk
:
k
O primeiro caso não pode
0
acontecer. De fato, se < nkk < q0 ; então k < nk < kqp0 : Mas, pelo Lema
i
h
0
2.3, o intervalo kqp ; kqp0 não pode conter nenhum inteiro. Desse modo,
p
<
q
Agora, pelo fato de
p0
q0
p
q
=
<
1
;
qq 0
p0
q0
nk
:
k
temos que
p0
q0
1
p0 j =
0
q ( pq0
jq 0
(5.8)
p
)
q
(5.9)
:
Similarmente,
jk
nk j =
nk
k
p
)
q
k
( nkk
Pela desigualdade (5.8), segue que
nk
k
(
p
q
nk
k
=
p
):
q
nk q kp
kq
(5.10)
> 0: Como nk q
kp
é um inteiro, isto implica
nk
k
p
q
75
1
:
kq
(5.11)
Desse modo, juntando (5.10) com (5.11), obtemos
jk
1
q ( nkk
nk j
Por (5.7), temos que jq 0
p0 j > jk
0
( pq0
p
)
q
j
>
n
( kk
n
( kk
n
( kk
=
Assim, se
nk
k
p0
q0
(5.12)
nk j : Usando (5.9) e (5.12) nesta
desigualdade, obtemos …nalmente
p0
q0
nk
k
p :
)
q
nk
k
p
)
q
0
p0
)+( pq0
q0
0
p0
)+( pq0
q0
j
)
p
)
q
:
= 0 chegamos ao absurdo
0
Por outro lado, se
nk
k
( pq0
)
0
( pq0
p
)
q
p0
q0
0
>
( pq0
)
0
( pq0
p
)
q
:
6= 0 obtemos
p0
p0
)
>
(
q0
q0
o que também não pode acontecer.
(
p
);
q
O raciocínio é análogo quando o arco Rk ( 0 ) intersecta o disco D:
Passemos agora a mostrar a primeira propriedade. Pelo Teorema 3.1,
sabemos que os arcos Rk ( 0 ); com k 2 f0; :::; q + q 0
1g; são dois a dois
disjuntos. Portanto, se mostramos que cada um destes arcos está contido na
fronteira de exatamente dois elementos da família D, os quais pela segunda
propriedade têm interiores disjuntos, então a família D cobrirá o anel A:
Desse modo, sem perda de generalidade, suponhamos que q 0
q: Pela
de…nição do disco D; vemos que os arcos que pertencem à fronteira dele,
são
0
e Rq ( 0 ): Então, os arcos que pertencem à fronteira do disco R` (D);
com ` 2 f0; :::; q 0
1g; são R` ( 0 ) e Rq+` ( 0 ): Similarmente, os arcos que
76
0
0
pertencem à fronteira do disco R` (D0 ); com `0 2 f0; :::; q
0
1g; são R` ( 0 ) e
0
Rq +` ( 0 ):
Por outro lado, …xemos um inteiro k 2 f0; :::; q + q 0
1g: Então, depen-
dendo dos possíveis valores que pode tomar o inteiro k; o arco Rk ( 0 ) vai
pertencer exatamente aos seguintes elementos da família D :
1g ) Rk ( 0 ) 2 Rk (D) e Rk (D0 ):
Se k 2 f0; :::; q 0
1g ) Rk ( 0 ) 2 Rk (D) e Rk
Se k 2 fq 0 ; :::; q
q0
(D0 ):
1g ) Rk ( 0 ) 2 Rk q (D) e Rk
Se k 2 fq; :::; q + q 0
q0
(D0 ):
Isto termina a prova do Lema 5.2.
Desta maneira, denotemos por O o disco topológico fechado D0 [ D:
A seguinte observação descreve algumas propriedades do disco O, que são
conseqüências direitas da de…nição dos discos D e D0 :
Observação 5.5
0
(i) O disco O é igual a Rq (D) [ Rq (D0 ):
(ii) A menos que q = q 0 = 1; O é um disco topológico fechado.
(iii) O interior de O é disjunto de seus primeiros (min(q; q 0 )
1) iterados
por R 1 :
(iv) A fronteira do disco O (como uma variedade topológica) é uma curva
simples fechada C; tal que
0
C = Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 ) [ C + [ C ;
onde C = e([q 0
p0 ; q
p]
f0g) e C + = e([q 0
77
p0 ; q
p]
f1g):
Note que pelo fato de usar a métrica Euclideina no anel A; o disco O é
isométrico ao retângulo Euclidiano em R2 , centrado em (0,0), com largura
a = (q
q0)
(p
p0 )
1 e altura b = 1:
0
Assim, denotemos por Homeo+ (O; Rq ( 0 )[Rq ( 0 )) o espaço métrico dos
homeomor…smos que preservam a orientação de O os quais coincidem com a
0
identidade em Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 ): Apresentamos então o segundo utilizado na
prova da Proposição 5.1.
Observação 5.6 Para todo
> 0; existe um N 2 N tal que todo homeo0
mor…smo h 2 Homeo+ (O; Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 )) pode ser escrito como o produto
h = hN
quais são
0
h1 de N homeomor…smos em Homeo+ (O; Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 )) os
próximos da identidade. Ainda, podemos escolher N menor do
que 2( 4+2 ) +5:
Demonstração. De fato, a observação acima é uma conseqüência direta do
Corolário 5.1. Para isso, introduzimos em primeiro lugar o homeomor…smo
: D ! O de…nido por
: (x; y) 7 !
8 p2 2
x +y
>
>
< max(jxj;jyj)
>
>
:
ax by
; 2
2
; se (x; y) 6= (0; 0);
se (x; y) = (0; 0):
(0; 0);
Denotando por dO e dD a métrica Euclidiana no disco O e D, respectivamente, obtemos a seguinte estimativa:
Sejam z = (x; y) e z 0 = (x0 ; y 0 ) dois pontos do disco D; então
dO ( (z); (z 0 ))
2dD (z; z 0 ):
Em particular, chamemos
p
x2 + y 2
c=
max(jxj ; jyj)
p
x02 + y 02
e c =
:
max(jx0 j ; jy 0 j)
0
78
(5.13)
Como
p
2 max(jxj ; jyj) para todo (x; y) no R2 ; vemos que
x2 + y 2
a c a c0
;
2
2
b c b c0
;
2
2
1 e
(5.14)
1:
Agora,
4d2D (z; z 0 )
d2O ( (z); (z 0 )) = 4(x
x0 )2
( a 2c x
4(y
y 0 )2
( a 2b y
a c0 x0 2
)+
2
a b0 y 0 2
):
2
Por outro lado,
x0 )2
4(x
a c 0 x0 2
)
2
( a 2c x
= [2(x
[2(x
= [(2 +
a c 0 x0
)]
2
0
0
x0 ) ( a 2c x a c2 x )];
0
ac
)x (2 + a2c )x0 )]
2
0
ac
)x (2 a2c )x0 )];
2
0
+ a2c )(2 a2c )x
[(2
q
= [ (2
q
(2 +
x0 ) + ( a 2c x
ac
)(2
2
a c0
)x0 ]2 ;
2
0:
Observemos que pelas desigualdades (5.14), as raízes quadradas obtidas
maior ou igual a zero. De maneira similar pode-se obter 4(y
a c 0 x0 2
) seja
2
0 2
y)
( a 2b y
a b0 y 0 2
)
2
0: Em outras
x0 )2
acima são sempre reais, o que assegura que 4(x
0: Isto implica que 4d2D (z; z 0 )
palavras, dO ( (z); (z 0 ))
( a 2c x
d2O ( (z); (z 0 ))
2 dD (z; z 0 ):
0
Consideremos um homeomor…smo h 2 Homeo+ (O; Rq ( 0 )[Rq ( 0 ). Por-
tanto,
1
2 Homeo+ (D;
h
temos
1
onde, para 1
i
h
1
0
(Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 ))): Pelo Corolário 5.1,
= hN
N;
79
h1 ;
1
hi 2 Homeo+ (D;
0
(Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 )));
e dD (hi ;id) < 2 : Ainda, podemos escolher N < 2( 4+2 ) + 5:
Desse modo, h pode ser escrito como
h=(
onde (
hi
1
1
hN
)
(
1
h1
);
0
) 2 Homeo+ (O; Rq ( 0 ) [ Rq ( 0 ))):
Finalmente, seja w qualquer ponto do disco O: Então, para 1
dD (hi (
1
1
(w));
i
N;
(w)) < :
2
Pela estimativa (5.13), obtemos
dO ( (hi (
1
(w))); w)
2dD (hi (
1
1
(w));
(w)) < ;
ou seja,
dO (
1
hi
; id) < :
Isto conclui a prova da Observação 5.6.
Cabe notar que esta observação também é verdadeira se mudamos o disco
O pelo disco O0 = R 1 (O); pois R
1
é uma isometria.
Estamos prontos para demonstrar a Proposição 5.1.
5.3.1
Primeira parte da prova
Considerando o homeomor…smo h da hipótese da Proposição 5.1, construiremos nesta primeira parte, um homeomor…smo
identidade, tal que o homeomor…smo ha =
a
h
tação R em cada arco Rk ( 0 ) com k 2 f0; :::; q + q 0
80
a
: A ! A; isotópico à
a
1
coincida com a ro-
2g:
Aplicando o Teorema 3.1 (Teorema do ’arco de translação’) ao homeomor…smo h, temos que existe um arco essencial simples
q+q 0
arcos ; :::; h
1
( ) são dois a dois disjuntos.
Denotando por
0
o arco f0g [0; 1] em A; consideremos o homeomor…smo
a
que leva o ponto extremo de
ponto extremo de
0
a
!
:
0;
que está em S1 f1g (resp. em S1 f0g) no
que está em S1 f1g (resp. em S1 f0g). Pelo fato de
que os arcos ; :::; hq+q
homeomor…smo
em A tal que os
0
1
( ) são dois a dois disjuntos, podemos extender o
à união destes arcos. Em particular, seja o homeomor-
…smo
a
:
q+q 0 1
[ hk ( )
!
k=0
x 2 hk ( )
Note que o homeomor…smo
q+q 0 1
7 ! (Rk
a
[ Rk ( 0 );
k=0
aj
h k )(x):
não só leva o arco hk ( ) ao arco Rk ( 0 );
como também leva o ponto extremo de hk ( ) que está em S1 f1g (resp.
em S1 f0g) ao ponto extremo de Rk ( 0 ) que está em S1 f1g (resp. em
S1 f0g).
O próximo passo será estender o homeomor…smo
a
ao anel A: Tal ex-
tensão usa fortemente o seguinte resultado conhecido como o Teorema de
Jordan-Schoen‡ies:
Teorema 5.3.1 Uma curva fechada simples
regiões. Ainda, existe um homeomor…smo
no círculo unitário preservando a orientação.
Mais ainda, o homeomor…smo
no plano R2 o separa em duas
: R2 ! R2 que leva a curva
leva a região não limitada (resp. limi-
tada), ou seja, a região exterior (resp. interior) da curva
81
; na região não
limitada (resp. limitada) do círculo unitário. É claro que o Teorema 5.3.1
continua sendo válido se trocamos o plano R2 pelo anel A: Para uma prova
elementar deste teorema pode-se ver [5].
Desse modo, a idéia da extensão segue da seguinte forma:
Observe que os arcos ; :::; hq+q
0
1
( ) dividem ao anel A em q + q 0 dis-
cos topológicos fechados, nos quais o arco hk ( ) pertence à fronteira de exatamente dois deles. Similarmente acontece com os arcos
0 ; :::; R
q+q 0 1
( 0 );
como foi demonstrado no Lema 5.2. Então, usando repetidamente o Teorema
de Jordan - Schoen‡ies entre cada um dos discos formados pelos iterados do
arco
por h e os iterados correspondentes do arco
0
por R , vamos con-
seguir um homeomor…smo do anel A isotópico à identidade que leve o arco
hk ( ) ao arco Rk ( 0 ):
Assim, denominemos por e
h qualquer levantamento do homeomor…smo h:
e tal que =
Analogamente, denominemos por o arco essencial simples em A
0
e( ): Comecemos a extensão nos discos formados pela tripla (hq ( ); ; hq ( )):
Denominemos
e := R( )nInt(R(T p e
E
hq ( )));
0
e 0 := R(T p0 e
E
hq ( ))nInt(R( )):
e e E 0 :=
Portanto, os discos formados pela tripla anterior serão E := e(E)
e 0 ): Logo, a tripla correspondente será (Rq0 ( 0 ); 0 ; Rq ( 0 )), e portanto
e(E
os discos correspondentes serão D e D0 , os quais já foram de…nidos na
primeira parte desta seção. Aplicando o Teorema 5.3.1, temos que existe um
homeomor…smo
do anel A que leva o interior disco E no interior do disco D,
0
além de preservar a orientação. Similarmente, existe um homeomor…smo
do anel A que leva o interior do disco E 0 no interior do disco D0 preservando
a orientação. Então, o homeomor…smo
a
estende-se para o interior dos
discos topológicos fechados E e E 0 por meio dos homeomor…smos
respectivamente.
82
e
0
;
O mesmo argumento utilizado nos discos E e E 0 repete-se nos seguintes
discos topológicos fechados do anel A: Agora, um fato importante que justi…ca que a extensão do homeomor…smo
a
está bem de…nida é que de acordo
com a Proposição 4.1, a ordem cíclica dos iterados de
para os iterados de
0
por h é a mesma
por R : Além disso, cada um dos homeomor…smos
utilizados na extensão preserva a orientação. Podemos dizer então que o
homeomor…smo
a;
agora estendido a todo o anel A; é isotópico à identi-
dade.
De…nimos portanto o homeomor…smo
ha :=
1
h
a
a
:
Claramente ha é conjugado a h e isotópico à identidade. Veri…quemos
que de fato ha coincide com a rotação R em cada arco Rk ( 0 ) com k 2
f0; :::; q + q 0
2g:
Comecemos …xando um número inteiro k 2 f0; :::; q + q 0
2g: Seja agora
x qualquer ponto que pertence ao arco Rk ( 0 ): O objetivo é mostrar que
(
a
h
1
a
)(x) = R (x):
Primeiramente, pela de…nição de
a
1
:
q+q 0 1
[ Rk ( 0 )
Portanto,
a
1
temos
q+q 0 1
[ hk ( );
!
k=0
x 2 Rk ( 0 )
a
k=0
7 ! (hk
(x) 2 hk ( ); daí que (h
onde (k + 1) 2 f0; :::; q + q 0
a
a
1
1
j
R k )(x):
)(x) pertence ao arco hk+1 ( );
1g:
Mais uma vez, pela de…nição de
a
83
e
a
1
, obtém-se …nalmente
(
a
h
a
1
)(x) = ((Rk+1
aj
= ((Rk+1
(
a
h
a
1
aj
)(x) = R (x):
h
(k+1)
) (h
h
(k+1)
) h (hk
a
1
))(x);
a
1
j
R k ))(x);
Isto termina a primeira parte da prova da Proposição 5.1.
Antes de começar a segunda parte da prova, note que
d(
h
a
1
a
;R )
p
2:
Assim, a Proposição 5.1 …caria demonstrada nesta primeira parte se o
min(q; q 0 )
28: Denotando por
s = min(q; q 0 );
suponhamos a partir de agora que s > 28:
5.3.2
Segunda parte da prova
Nesta segunda parte construiremos um homeomor…smo
A, isotópico à identidade, tal que o conjugado hb :=
b
ha
b
de…nido no anel
1
b
coincide com
a rotação R em qualquer ponto, exceto possivelmente no disco topológico
O0 := R 1 (O) = Rq
0
1
(D) [ Rq 1 (D0 ).
Comecemos descrevendo uma conseqüência da primeira parte.
Observação 5.7 O homeomor…smo hka coincide com a rotação Rk no arco
0
com k 2 f0; :::; q + q 0
1g:
Demonstração. Em particular, no caso em que k = 0 a observação é
obvia, e se k = 1 ela está justi…cada pela primeira parte. Por outro lado,
suponhamos que nossa observação é verdadeira para k 2 f1; :::; q + q 0
Seja x qualquer ponto que pertence ao arco
84
0:
Temos
1g:
k
k
hk+1
a (x) = ha (ha (x)) = ha (R (x)):
Como Rk (x) 2 Rk ( 0 ); temos pela primeira parte que ha (Rk (x)) =
R (Rk (x)): Desse modo,
k+1
hk+1
(x):
a (x) = R
Esta observação permite dizer que
hka ( 0 ) = Rk ( 0 );
para todo k 2 f0; :::; q + q 0
(5.15)
1g: Ainda, junto com o fato de ha e R serem
homeomor…smos isotópicos à identidade, podemos estender (5.15) aos discos
D e D0 ; tal como descreve a seguinte observação:
Observação 5.8 Sejam D e D0 os discos topológicos fechados de…nidos na
primeira parte da Seção 5.3. Então temos
hka (D) = Rk (D);
k0
k0
ha (D0 ) = R (D0 );
k = f0; :::; q 0
k 0 = f0; :::; q
1g;
1g:
Demonstração. Vamos demonstrar só a primeira expressão, pois a segunda
segue por analogia.
Denotemos por C1 a fronteira do disco D. Note que, como variedade
topológica, C1 vai ser uma curva fechada simples, tal que
C1 =
onde C1+ = e([0; q
p]
0
[ Rq ( 0 ) [ C1+ [ C1 ;
f1g) e C1 = e([0; q
Fixando um inteiro k 2 f0; :::; q 0
homeomor…smos
hka
p]
f0g):
1g; a imagem da fronteira C1 pelos
k
e a rotação R é
85
hka (C1 ) = hka ( 0 ) [ hka (Rq ( 0 )) [ hka (C1+ ) [ hka (C1 );
Rak (C1 ) = Rk ( 0 ) [ Rk (Rq ( 0 )) [ Rk (C1+ ) [ Rk (C1 ):
Suponhamos por instante que hka (C1 ) = Rk (C1 ): Como hka e Rk são homeomor…smos que preservam a orientação do anel A; então
hka (int D) = int (hka (D)),
Rk (int D) = int (Rk (D)).
Mas, hka (D) (resp. Rk (D)) possui como fronteira a curva hka (C1 ) (resp.
Rk (C1 )). Logo segue da nossa suposição que hka (D) = Rk (D):
Mostremos então que hka (C1 ) = Rk (C1 ): Por (5.15) é fácil ver que
hka ( 0 ) = Rk ( 0 ):
Similarmente,
hka (Rq ( 0 )) = Rk (Rq ( 0 )):
Falto só veri…car que hka (C1+ ) = Rk (C1+ ) e hka (C1 ) = Rk (C1 ): Para isto,
note que os pontos extremos da curva fechada C1+ são os pontos (0; 1) e
(q
p; 1) = Rq ((0; 1)); onde (0; 1) 2
0:
Pela Observação 5.7, temos
hka (0; 1) = Rk (0; 1):
De igual forma,
hka (q
p; 1) = Rk (q
p; 1):
Portanto, hka e Rk coincidem nos pontos extremos da curva fechada C1+ :
Por outro lado, os homeomor…smos ha e Rk preservam as componentes da
fronteira (ver item (ii) da Proposição 2.1), ou seja,
86
hka (C1+ ) 2 S1
R
k
(C1+ )
1
2S
f1g;
f1g:
Daí, junto com o fato de preservarem a orientação do anel A; concluímos
que hka (C1+ ) = Rk (C1+ ): Do mesmo jeito pode-se mostrar que hka (C1 ) =
Rk (C1 ):
Vamos construir então o homeomor…smo
Para cada k 2 f0; :::; q 0
b:
1g; de…nimos a aplicação
b
no disco Rk (D)
como
b
:= Rk
Similarmente, para cada k 0 2 f0; :::; q
ha k :
1g; a mesma fórmula será usada
k0
no disco R (D0 ): Agora, pela Observação 5.8, temos D = ha k
implica que
b (R
k
(D)) = Rk (D): Analogamente,
b (R
k0
Rk (D): Isto
0
(D0 )) = Rk (D0 ): Por
0
outro lado, no Lema 5.2, vimos que a interseção dos discos Rk (D) e Rk (D0 )
ou era vazia ou era um dos arcos R` ( 0 ) com ` 2 f0; :::; q + q 0
pela Observação 5.7, R
k
k
1g: Mas,
ha é igual à identidade nesses arcos. Portanto,
k
está bem de…nido. Adicionalmente, pelo fato de que R e
à identidade, a aplicação
b
hka
b
são isotópicos
será também um homeomor…smo do anel A
isotópico à identidade.
Dessa maneira, é fácil mostrar que o conjugado hb ; de…nido no início
desta subseção, coincide com a rotação R em cada disco Rk (D) com k 2
0
f0; :::; q 0 2g e Rk (D0 ) com k 0 2 f0; :::; q 2g: Por exemplo, …xemos um inteiro
k 2 f0; :::; q 0
2g: Seja x qualquer ponto que pertence ao disco Rk (D): Pela
de…nição de hb temos
hb (x) = (
b
ha
Agora, se x 2 Rk (D); então
87
1
b
)(x):
1
b
tal que
1
b
(x) = (hka R k )(x);
(x) 2 Rk (D):
A Observação 5.8 implica que
ha (Rk (D)) = R (Rk (D));
k0
0
k0
0
ha (R (D )) = R (R (D ));
1
Daí, (ha
b
k = f0; :::; q 0
0
k = f0; :::; q
2g;
2g:
)(x) pertence ao disco Rk+1 (D): Logo, usando a de…nição
do homeomor…smo
(
b
ha
b
(
b
ha
b
b
obtemos …nalmente
1
)(x) = ((Rk+1 ha
1
)(x) = R (x):
(k+1)
) ha (hka R k ));
0
De modo análogo mostra-se o caso no disco Rk (D0 ) com k 0 2 f0; :::; q 2g:
Utilizando o Lema 5.2, vemos que a união de todos estes discos cobrem
o anel todo menos o conjunto O0 = Rq
0
1
(D) [ Rq 1 (D0 ):
Isto termina a segunda parte da prova da Proposição 5.1.
5.3.3
Terceira parte da prova
Nesta última parte da prova de…niremos o homeomor…smo g := R
1
hb
no conjunto O0 ; para assim poder aplicar nele o resultado da decomposição
dos homeomor…smos do disco. Com isso, construiremos um homeomor…smo
c
c
de…nido no anel A, isotópico à identidade, tal que o conjugado hc :=
hb
c
1
seja
próximo da identidade, com
40=s (lembre-se que
s = min(q; q 0 )):
Consideremos então o homeomor…smo g do disco topológico O0 de…nido
como g = R
1
Rq 1 ( 0 ) e Rq
0
hb : Note que os arcos que pertencem à fronteira do disco O0 são
1
( 0 ): É fácil veri…car que hb coincide com a rotação R nestes
88
arcos; temos assim que g é igual à identidade nos arcos Rq 1 ( 0 ) e Rq
Além disso, pelo fato de R
1
0
1
( 0 ).
e hb serem isotópicos à identidade, é claro que
o homeomor…smo g vai ser isotópico à identidade também. Portanto, g 2
Homeo+ (O0 ; Rq 1 ( 0 ) [ Rq
0
1
( 0 )):
Seja > 0; onde
2(4 + 2 )
:
s 7
De acordo com a Observação 5.6, g pode ser escrito como
=
g = gN
g1 ;
tal que
N < 2(
4+2
)+5=s
2;
e onde cada gi é um homeomor…smos do disco O0 que é igual à identidade
em Rq 1 ( 0 ) [ Rq
0
1
( 0 ); e ainda é
próximo da identidade.
Uma vez que assumimos s = min(q; q 0 ) maior do que 28, vemos que
40
s
=
=
2(4+2 )
40
;
s 8
s
320 (32 4 )s
;
s(s 8)
0:
Daí,
40
:
s
(5.16)
Agora, para cada k 2 f1; :::; N g, de…nimos
c
no disco Rk (O0 ) pela fór-
mula
c
:= Rk
g1 hb k :
gk
89
No resto do anel A,
c
será igual à identidade.
Vamos então veri…car que
de…nido como
hb
c
c
1
é
c
está bem de…nido, e que o homeomor…smo hc
próximo da identidade. Para isto, comecemos
descrevendo uma conseqüência da segunda parte da prova.
Observação 5.9 Para cada k 2 f1; :::; sg;
hkb (O0 ) = Rk (O0 ):
Demonstração. Pela de…nição do homeomor…smo g temos que (R
1
hb )(O0 ) = O0 : Portanto,
hb (O0 ) = R (O0 ):
Agora, suponhamos que a a…rmação seja verdadeira para k 2 f1; :::; s 1g:
Assim,
hk+1
(O0 ) = hb (hkb (O0 )) = hb (Rk (O0 )):
b
Como O0 = R 1 (D) [ R 1 (D0 ); então Rk (O0 ) = Rk 1 (D) [ Rk 1 (D0 );
tal que (k
1) 2 f0; :::; s
2g: O homeomor…smo hb coincide com R em
cada disco Ri (D) com i 2 f0; :::; q 0
(k
1) 2 f0; :::; q 0
2g \ f0; :::; q
2g e Rj (D) com j 2 f0; :::; q
2g; e
2g ( pois s = min(q; q 0 )): Disso,
hb (Rk (O0 )) = R (Rk (O0 )) = Rk+1 (O0 ):
Sendo N < s
2; para cada k 2 f1; :::; N g; a observação anterior garante
que no disco Rk (O0 ); vale: hb k (Rk (O0 )) = O0 : Por outro lado, da de…nição
dos homeomor…smos gi0 s podemos dizer que (gk
dois fatos implicam que
90
g1 )(O0 ) = O0 : Estes
c (R
k
(O0 )) = (Rk
gk
g1 hb k )(Rk (O0 ));
= (Rk
gk
g1 )(O0 );
= Rk (O0 ):
Resta só veri…car se
c
coincide com a identidade nos arcos que per-
tencem à fronteira do disco Rk (O0 ). Para garantir isso, descrevemos mais
uma conseqüência da segunda parte da prova.
Observação 5.10 Para cada k 2 f1; :::; sg; o homeomor…smo hkb coincide
com Rk nos arcos que pertencem à fronteira do disco O0 : Neste caso, Rq 1 ( 0 )
e Rq
0
1
( 0 ):
Demonstração. Seja x qualquer ponto do arco Rq 1 ( 0 ): Pela de…nição
do homeomor…smo g, temos que hb (x) = R (x): Suponhamos agora que a
a…rmação seja verdadeira para k 2 f1; :::; s
1g: Assim,
hk+1
(x) = hb (hkb (x)) = hb (Rk (x)):
b
Pela segunda parte da prova, hb coincide com R no arco Ri+q ( 0 ) com
i 2 f0; :::; q 0
Rk (x) 2 R
2g (Rq ( 0 ) pertence à fronteira do disco D). Por outro lado,
(k 1)+q
f0; :::; q 0 2g: Portanto,
( 0 ); tal que (k 1) 2 f0; :::; s 2g
hb (Rk (x)) = R (Rk (x)) = Rk+1 (x)):
No caso em que x 2 Rq
0
1
( 0 ) a demonstração é similar.
Desse modo, …xando um inteiro k 2 f1; :::; N g; os arcos que pertencem
à fronteira do disco Rk (O0 ) são R
qualquer ponto do arco R
Rq 1 ( 0 ): Como N < s
k+(q 1)
k+(q 1)
( 0) e R
k+(q 0 1)
( 0 ): Seja então x
( 0 ): É claro que x = Rk (y); onde y 2
2; a observação anterior garante x = hkb (y): Daí
hb k (x) = hb k (hkb (y)) = y:
91
Ou seja, hb k (x) pertence ao arco Rq 1 ( 0 ): Por outro lado, o homeomor…smo gi coincide com a identidade em Rq 1 ( 0 ) [ Rq
0
1
( 0 ): Destes dois fatos
decorre facilmente que
c (x)
= (Rk
gk
g1 hb k )(x);
= (Rk
gk
g1 )(y);
= Rk (y);
= x:
Analagomamente, o raciocínio é o mesmo se x 2 R
veri…car então que
c
k+(q 0 1)
( 0 ): Podemos
é igual à identidade nos arcos R` ( 0 ) que pertencem à
fronteira destes discos. Isto prova que
c
está bem de…nido no anel A: Ainda,
pelas características dos homeomor…smos hkb ; Rk e gi ; é claro que
c
vai ser
isotópico à identidade.
Antes de veri…car que o homeomor…smo hc é
note primeiro que
c
é igual a RN g hb
N
próximo da identidade,
no disco RN (O0 ): Por outro lado,
pela segunda parte da prova é fácil mostrar que para cada k 2 f0; :::; s
o homeomor…smo
hkb
k
0
1g
0
coincide com R no disco R (O ) = D [ D (utilizando
seguir a mesma idéia da Observação 5.7). Então, dado que N < s
N
hN
b = Rb
1; temos
g;
no disco O0 : De fato, seja x qualquer ponto do disco O0 : Como g(x) 2 O0
então (R
g)(x) 2 R (O0 ): Utilizando a a…rmação anterior junto com a
de…nição de g temos
(RN
g)(x) = RN
=
=
Podemos dizer então que
c
1
((R
1
hN
((R
b
hN
b (x):
g)(x));
R
1
hb )(x));
é igual à identidade no disco RN (O0 ):
92
Desse modo, para veri…car que o homeomor…smo hc é
próximo da
identidade, vamos mostrar primeiramente o seguinte resultado:
Observação 5.11 Para cada k 2 f0; :::; N
aR
1g; o homeomor…smo hc é igual
gk+1 R k ) no disco Rk (O0 ):
(Rk
Demonstração. Para k = 0; vemos que para qualquer ponto x do disco O0
temos que
c
1
(x) = x 2 O0 pois
coincide com a identidade neste disco:
c
Como hb (O0 ) = R (O0 ); vemos que hb (
Aplicando a de…nição de
c
1
obtemos
c
hc (x) = (
c
hb
c
(x)) 2 R (O0 ):
1
)(x);
= (R
g1 hb 1 )(hb (
= (R
g1 hb 1 )(hb (x));
= (R
g1 )(x):
Suponhamos então que k 2 f1; :::; N
c
1
(x)));
1g: Seja x qualquer ponto do disco
Rk (O0 ): Então
1
c
o que implica que
c
(x) = (hkb
1
gk 1 R k )(x);
g1 1
(x) 2 Rk (O0 ): Agora, dado que N < s
segunda parte da prova segue que hb (
c
1
(x)) = R (
(k + 1) 2 f2; :::; N g: Aplicando a de…nição de
hc (x) = (
c
hb
1
c
= (Rk+1 gk+1
= ((Rk+1 gk+1
(Rk
1
(x) 2 Rk+1 (O0 ); onde
obtemos …nalmente
)(x);
g1 hb
(k+1)
g1 hb
)(hb (
(k+1)
= (Rk+1 gk+1 R k )(x);
= (R
c
c
2; pela
gk+1 R k ))(x):
93
c
1
(x)));
) hb (hkb
g1 1
gk 1 R k ))(x);
Dessa forma, seja y qualquer ponto do disco Rk (O0 ) com k 2 f0; :::; N 1g:
Então existe um único ponto x 2 O0 tal que x = R k (y): Assim,
d(gk+1 (x); x) = d(gk+1 (R k (y)); R k (y)):
Mas gk+1 é
próximo da identidade no disco O0 ; portanto
d(gk+1 (R k (y)); R k (y)) <
:
Dado que R é uma isometria, segue que
d((Rk+1 gk+1 R k )(y); R (y)) = d(gk+1 (R k (y)); R k (y)) <
:
Pela Observação anterior, resulta então
d(hc (y); R (y)) = d((Rk+1 gk+1 R k )(y)); R (y)) <
onde y 2 Rk (O0 ):
Podemos dizer assim que hc é
N 1
k
próximo à rotação R
0
[ R (O ): Além disso, por de…nição, o homeomor…smo
k=0
c
no conjunto
coincide com a
N 1
identidade no conjunto E := An [ Rk (O0 ); (lembre-se que
k=0
;
c
= id também
no disco RN (O0 )): Logo, hc vai coincidir com hb no conjunto E por de…nição:
De acordo com a segunda parte da prova, sabemos que hb é igual à rotação
R no conjunto E; portanto hc vai coincidir com a rotação R neste conjunto.
Concluímos então que a conjugação hc é
próximo à rotação R no anel A:
Ainda hc vai ser isotópico à identidade pelo fato dos homeomor…smo
c
e hb
serem isotópicos à identidade também.
Finalmente, denotemos por
:=
c
b
a
o homeomor…smo do anel A;
isotópico à identidade. De nossa última a…rmação e (5.16) obtemos
d(
h
1
; R ) = d(
c
hb
c
Isto termina a prova da Proposição 5.1.
94
1
;R ) <
40
:
min(q;q 0 )
Capítulo 6
Prova do Corolário 1.2
O Teorema 1.1, demonstrado mediante duas formas diferentes nos Capítulos
2 e 3, vai reduzir o Corolário 1.2 ao seguinte fato: o homeomor…smo que
possui a propriedade de interseção de curvas (qualquer curva fechada simples homotopicamente não-trivial intersecta sua imagem) e nenhum ponto
periódico é uma pseudo-rotação irracional. Para simpli…car a prova deste
fato utilizaremos o resultado de Bonatti-Guillou [11] junto com dois lemas
que serão mostrados na seguinte seção. Em particular, no primeiro lema
mudaremos a hipótese do homeomor…smo não possuir pontos periódicos pelo
fato de não possuir pontos …xos, e construiremos uma curva fechada simples
homotopicamente não-trivial que não intersecta sua imagem. De maneira
análoga, no segundo lema vamos conseguir mostrar que para qualquer levantamento do homeomor…smo seu conjunto de rotação é disjunto do conjunto
dos inteiros.
95
6.1
Resultado de Bonatti-Guillou mais dois
lemas técnicos
Nesta seção começamos descrevendo o resultado de Bonatti-Guillou cuja
prova pode ser vista em [11]. Daí passaremos a descrever e mostrar o primeiro
lema, no qual a construção da curva desejada segue as mesmas idéias da
demonstração da Proposição 3.1. Finalmente, apresentaremos o segundo
lema, em cuja prova faremos uma extensão do levantamento do homeomor…smo do anel ao todo o plano. Esta extensão terá a mesma dinâmica do
levantamento. Isto permitirá utilizar o Corolário 2.2 da Teoria de Brower
acerca dos homeomor…smos do plano para mostrar que nenhum inteiro está
contido em seu conjunto de rotação.
Teorema 6.1 ([11]) Seja h um homeomor…smo do anel A o qual é isotópico
à identidade. Suponhamos que h não possui nenhum ponto …xo. Então, pelo
menos uma das seguintes propriedades é satisfeita:
(i) Existe uma curva fechada simples homotopicamente não trivial em A que
é disjunta da sua imagem por h:
(ii) Existe um arco essencial simples em A que é disjunto da sua imagem
por h:
Antes de apresentar o primeiro lema técnico, vamos descrever algumas notações e propriedades que serão utilizadas na demonstração do mesmo. Para
cada curva fechada simples homotopicamente não trivial
em A; denotemos
por B( ) o fecho da componente conexa de An que está ’abaixo’de ; ou
seja, que contém S1 f0g: Seja agora e := e 1 ( ): Similarmente, denotaree que está ’abaixo’de e;
mos por B(e) o fecho da componente conexa de Ane
ou seja, que contém R
f0g:
96
Observação 6.1 Sejam
e
1
2
duas curvas fechadas simples homotopi-
camente não triviais em A: Então a fronteira da componente conexa de
(AnB( 1 )) \ (AnB( 2 )) que contém S1 f1g é uma curva fechada simples
homotopicamente não trivial, a qual denotaremos por
1
_
2:
Demonstração. A prova é similar à do Lema 3.2.
Sejam
1
e
2
duas curvas fechadas simples homotopicamente não triviais
em A; então diremos que
<
1
2
(resp.
2)
1
se
2
Int(B( 1 )) (resp.
B( 1 )): Desta notação e da Observação 6.1, obtemos de maneira similar
2
as mesmas propriedades obtidas no início da Seção 3.2 para os arcos essenciais
simples, as quais são apresentadas na seguinte observação.
Observação 6.2 Sejam
1;
e
2
curvas fechadas simples homotopica-
3
mente não triviais em A: Então:
(i) Se
1
(ii) Se
<
1
2
<
e
2;
2
<
3;
então
1
<
3:
então h( 1 ) < h( 2 ) para todo homeomor…smo h : A ! A
isotópico à identidade.
(iii) Se
(iv)
1
(v) h(
3
_
<
2
1 _ 2)
1
e
1
3
e
<
1
_
2;
então
2
2:
3
<
1
_
2:
= h( 1 )_h( 2 ) para todo homeomor…smo h : A ! A; isotópico
à identidade.
Finalmente, a operação que associa duas curvas fechadas simples homotopicamente não-triviais
1;
2
à curva
1
_
2;
é associativa e comutativa.
Daí, dado qualquer número …nito de curvas fechadas simples homotopicamente não triviais
1 ; :::;
n,
a curva
1
97
_ :::: _
n
está bem de…nida.
Lema 6.1 Seja h um homeomor…smo do anel A, que é isotópico à identidade. Suponhamos existe um inteiro positivo p; e uma curva curva fechada
simples homotopicamente não trivial
em A que é disjunta da sua imagem
p
por h : Então, existe uma curva fechada simples homotopicamente não trivial
b em A que é disjunta da sua imagem por h:
Demonstração. Consideremos o inteiro p e a curva
do Lema 6.1. Dado que
p
dadas pela hipótese
< hp ( ) ou hp ( ) < :
\ h ( ) = ;; então ou
Sem perda de generalidade, suponhamos que
< hp ( ):
Pelo item (ii) da Observação 6.2, temos
h p( ) < :
Consideremos assim as curvas fechadas simples homotopicamente não
triviais
0 ; :::;
p 1
tais que (ver Figura 6.1)
h p( ) <
p 1
<
<
1
<
0
= ;
e de…nimos a curva
b :=
0
_ h( 1 ) _
98
_ hp 1 (
p 1 ):
Figura 6.1: Curvas homotopicamente não-triviais
0 ; :::;
p 1
Agora, seguindo o mesmo raciocínio feito no início da prova da Proposição
3.1, obtemos facilmente que
b < h(b):
Em outras palavras, conseguimos uma curva fechada simples homotopicamente não trivial b que é disjunta da sua imagem por h:
Lema 6.2 Seja h um homeomor…smo do anel A; que é isotópico à identidade. Suponhamos que h não tem pontos …xos. Suponhamos, ainda, que
existe um arco essencial simples
em A que é disjunto de sua imagem por
h: Então, para qualquer levantamento e
h de h; o conjunto de rotação de e
hé
disjunto de Z:
Demonstração. Consideremos o levantamento e
h de h e o levantamento
e Antes de iniciar com a demonstração, note que qualquer
de em A.
99
levantamento de h é da forma T k e
h para todo k 2 Z: Em particular, pelo
Lema 2.2, sabemos que Rot(T k e
h) = Rot(e
h) + k: Daí, é su…ciente mostrar
que 0 não pertence ao conjunto de rotação de e
h; pois nesse caso, o conjunto
de rotação de qualquer levantamento de h será disjunto de Z:
Comecemos notando que pela hipótese sobre o arco ,
\e
h( ) = ;: Sem
perda de generalidade, e utilizando a mesma notação introduzida na Seção
3.2, podemos supor que < e
h( ); ou seja, \ R( e
h( )) = ;: Portanto, R( )
será um atrator estrito para e
h: Analogamente, como e
h e T comutam, temos
que acontece o mesmo para R(T 2 ( )):
Para o próximo passo vamos aplicar um dos resultados da Teoria de
Brower sobre homeomor…smos do plano descritos na Seção 2.1. Para isso,
e = R [0; 1]: Desse modo,
lembremos que e
h está de…nido sobre a faixa A
faremos uma extensão de e
h a todo o plano. Em particular, consideremos a
simetria
:
R2
! R2 ;
(x; y) 7 ! (x; y):
De…nimos assim o homeomor…smo e
h0 : R2
e en2Z:
(x; y) 2 A
! R2 tal que para todo
e
h0 (x; y) = ( e
h(x; y));
e
h0 (x; y + 2n) = e
h0 (x; y) + (0; 2n):
Agora, como o homeomor…smo h não tem pontos …xos, o levantamento
e
h e o homeomor…smo e
h0 não têm pontos …xos. Similarmente, a extensão do
homeomor…smo e
h não altera a preservação da orientação no caso do home-
omor…smo e
h0 . Portanto, pelo Corolário 2.2, a…rmamos que qualquer órbita
de e
h0 vai para o in…nito.
100
Consideremos agora qualquer ponto z 2 R( ): Primeiramente, note que
a segunda coordenada da órbita de z por e
h permanece em [0; 1]: Além disso,
a órbita de z é a mesma por e
h e e
h0 : Daí, a conclusão do parágrafo ante-
rior permite dizer que o módulo da primeira coordenada ao longo da órbita
positiva de z por e
h; pode tomar valores arbitrariamente grandes. Usando
o fato de que R( ) é um atrator estrito, temos que a primeira coordenada
da órbita positiva de z por e
h está limitada inferiormente e não está limi-
tada superiormente. Resulta então que existe um inteiro n(z)
0 tal que
e
hn(z) (z) 2 R(T 2 ( )): Ainda, como R(T 2 ( )) é um atrator estrito, segue que
para todo n n(z) temos que e
hn (z) 2 R(T 2 ( )):
Analogamente, denotemos por Vn(z) uma vizinhança o su…cientemente pequena do ponto z: Pela continuidade de e
h podemos a…rmar que para qualquer
ponto z 0 que pertence a Vn(z) e qualquer n > n(z); o iterado e
hn (z 0 ) pertence
a R(T 2 ( )):
Seja assim o quadrado Q = R( )nInt(R(T ( ))): Repetindo o argumento
anterior em cada ponto de Q; segue que
Q
[ Vn(z) ;
z2Q
onde para todo ponto z 0 que pertence a Vn(z) existe um inteiro n(z)
1
(lembre-se que < e
h ( ) < T ( )) tal que para qualquer n > n(z); o iterado
e
hn (z 0 ) pertence a R(T 2 ( )): Pela compacidade de Q; existe um número …nito
destas vizinhanças que cobrem o quadrado Q: Ou seja,
Q
N
[ Vn(zi ) :
i=1
Denotando por n0 := max fni g; tem-se que para qualquer ponto z 2 Q
1 i N
e qualquer n
n0
1; o iterado e
hn (z) pertence a R(T 2 ( )):
101
Agora, utilizando o conjunto R( )nR(T ( ))
Q como domínio fundae seja então ! um elemento do conmental para o recobrimento universal A;
junto de rotação de e
h: Assim, existem seqüências (ni )1 em N e (e
xi )1 em
i=1
i=1
R( )nR(T ( )) tais que ni ! 1 e
e ni (e
xi ) x
ei )
ni
lim p1 (h
i!1
= !:
(6.1)
Nosso objetivo é mostrar que ! > 0:
Primeiramente, ni pode ser escrito como qi n0 + r; onde 0
r < n0
1;
tal que se i ! 1 então qi ! 1: Logo,
p1 (e
hni (e
xi ) x
ei )
ni
=
p1 (e
hqi n0 +r (e
xi ) x
ei )
;
qi n0 +r
além disso,
p1 (e
hqi n0 +r (e
xi ) x
ei )
qi n0 +r
=
p1 (e
hqi n0 +r (e
xi ) e
h(qi
qi n0 +r
e (qi
+ p1 (h
1)n0 +r (e
xi ))
e
h(qi
qi n0 +r
1)n0 +r (e
xi )
e n0 +r (e
xi ) e
hr (e
xi ))
qi n0 +r
+ p1 (h
+
2)n0 +r (e
xi ))
+ :::
p1 (e
hr (e
xi ) x
ei )
:
qi n0 +r
Para cada k 2 f1; :::; qi g; consideremos os pontos yek := e
h(qi
k)n0 +r
Usando esta notação, a expressão anterior pode-se escrever como
p1 (e
hqi n0 +r (e
xi ) x
ei )
qi n0 +r
qi
X
p1 (e
hn0 (e
yk )
= (
qi n0 +r
k=1
yek )
)+
p1 (e
hr (e
xi ) x
ei )
:
qi n0 +r
Pelo resultado anterior, e sabendo que e
h e T comutam, vemos que
Logo,
p1 (e
hn0 (e
yj )
102
yej )
1:
(e
xi ):
p1 (e
hqi n0 +r (e
xi ) x
ei )
qi n0 +r
=
qi
qi n0 +r
+
1
n0 + qr
+
i
p1 (e
hr (e
xi ) x
ei )
;
qi n0 +r
p1 (e
hr (e
xi ) x
ei )
:
qi n0 +r
Tomando o limite quando i ! 1, obtemos …nalmente
!
1
no
> 0:
Isto termina a demonstração do Lema 6.2.
6.2
Prova do Corolário 1.2
Nesta seção apresentamos a prova do terceiro resultado importante de nosso
trabalho. Para isso faremos uso dos Lemas 6.1 e 6.2, e dividiremos a prova
em dois casos.
Seja então h um homeomor…smo do anel A; isotópico à identidade, e que
não têm pontos periódicos. O Corolário 1.2 apresenta duas propriedades das
quais pelo menos uma tem que acontecer.
Suponhamos, como primeiro caso, que a primeira propriedade do Corolário
1.2 acontece, ou seja, existe uma curva fechada simples homotopicamente não
trivial
em A; que é disjunta da sua imagem por h: Nesse caso, o Corolário1.3
estaria pronto.
Agora, suponhamos que não existe nenhuma curva fechada simples homotopicamente não trivial em A; que é disjunta da sua imagem por h: Vejamos
como isto implica a segunda propriedade do Corolário 1.2.
Primeiramente, se h não têm pontos periódicos, então para qualquer inteiro p 6= 0 vemos que hp não pode ter pontos …xos.
103
Apliquemos então o Teorema 6.1 para o homeomor…smo hp : Este resultado descreve duas propriedades das quais pelo menos uma têm que acontecer. Suponhamos que acontece a primeira, ou seja, existe um curva fechada
simples homotopicamente não trivial em A; disjunta da sua imagem por hp :
Porém, pelo Lema 6.1, isto implica que existe uma curva fechada simples
homotopicamente não trivial em A; disjunta da sua imagem pelo homeomor…smo h; o que contradiz nossa hipótese. Portanto, a segunda propriedade
do Teorema 6.1 é a que acontece. Esta propriedade diz que existe um arco
essencial simples em A; disjunto de sua imagem por hp :
Desse modo, aplicando o Lema 6.3 ao homeomor…smo hp ; temos que o
conjunto de rotação para qualquer levantamento e
hp de hp é disjunto de Z:
Logo, utilizando o Lema 2.2, resulta que o conjunto de rotação de e
h é disjunto
de (1=p) Z: Mas, p é arbitrário. Daí, o conjunto de rotação de e
h vai ser
disjunto de Q: Dado que o conjunto de rotação de e
h é um intervalo compacto,
segue que o conjunto de rotação têm que ser só um número irracional, em
outras palavras, h é uma pseudo-rotação irracional. Portanto, pelo Teorema
1.1, para todo inteiro positivo n; existe um arco essencial simples
tal que os arcos
n ; h( 1 ); :::; h( n )
são dois a dois disjuntos.
Isto termina a prova do Corolário 1.3.
104
n
em A;
Referências Bibliográ…cas
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closed annulus: variation on a theorem of J Kwapisz, Nonlinearity 17
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