UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
EA614 ANÁLISE DE SINAIS
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
2º Semestre, 2015
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Convolução de Sinais de Tempo Discreto
Exercício 1. Sejam 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2𝛿 𝑛 − 1 − 𝛿 𝑛 − 3 e ℎ 𝑛 = 2𝛿 𝑛 + 1 +
2𝛿 𝑛 − 1 . Calcule e represente graficamente cada uma das convoluções a
seguir:
a) 𝑦! 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛
b) 𝑦! 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 2 ∗ ℎ 𝑛
c) 𝑦! 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 + 2
(A.V. OppenheiM; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.1 pag. 83)
Exercício 2. Calcule a convolução 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ ℎ[𝑛] para os seguintes pares
de sinais:
a) 𝑥 𝑛 = 𝛼 ! 𝑢 𝑛 , ℎ 𝑛 = 𝛽 ! 𝑢 𝑛 . 𝛼 ≠ 𝛽
b) 𝑥 𝑛 = ℎ 𝑛 = 𝛼 ! 𝑢 𝑛
! !
c) 𝑥 𝑛 = − ! 𝑢 𝑛 , ℎ 𝑛 = 4! 𝑢 2 − 𝑛
d) x[n] e h[n] como representados na Figura 1.
Figura 1
(A.V. Oppenheim; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.21 pag. 85)
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Convolução de Sinais de Tempo Contínuo
Exercício 3. Determine e trace a convolução dos dois sinais a seguir:
𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
𝑥 𝑡 = 2 − 𝑡, 1 < 𝑡 ≤ 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
ℎ 𝑛 = 𝛿 𝑡 + 2 + 2𝛿(𝑡 + 1)
(A.V. Oppenheim; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.8 pag. 84)
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Exercício 4. Suponha que,
𝑥 𝑡 =
!
1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
0,
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
e que ℎ 𝑡 = 𝑥 ! , 0 < 𝛼 ≤ 1.
a)
Determine e esboce 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 .
!" !
b)
Se !" contém somente três descontinuidades, qual o valor de 𝛼.
(A.V. Oppenheim; A.S.Wiillsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.10 pag. 84)
Exercício 5. Sejam,
𝑥 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 3 − 𝑢 𝑡 − 5 𝑒 ℎ 𝑡 = 𝑒 !!! 𝑢 𝑡 .
a)
Calcule 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 .
!" !
b)
Calcule 𝑔 𝑡 = !" ∗ ℎ(𝑡)
c)
Como g(t) está relacionado com y(t)?
(A.V. Oppenheim; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.11 pag. 84)
!
Exercício 6. Rascunhe as funções 𝑥 𝑡 = ! ! !! e 𝑢 𝑡 . Determine, agora,
𝑥 𝑡 ∗ 𝑢 𝑡 e racunhe o resultado.
(B.P. Lathi - Sinais e Sistemas lineares 2.ed, Bookman, 2006- Exercícios 2.4-15 216)
Exercício 7.
c(t)=x(t)*g(t).
A Figura 2 mostra x(t) e g(t). Determine e rascunhe
(B.P. Lathi - Sinais e Sistemas lineares 2.ed, Bookman, 2006- Exercícios 2.4-16 216)
Figura 2
-
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo
Exercício 8. Qual(is) das respostas ao impulso a seguir corresponde(m) a
sistemas LIT estável(eis)?
a)
ℎ! 𝑡 = 𝑒 ! !!!! 𝑢 𝑡
b)
ℎ! 𝑡 = 𝑒 !! 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑢(𝑡)
(A.V. Oppenheim; A.S.Wiilsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.14 pag. 84)
Exercício 9. Para cada um dos pares de funções a seguir, usa a integral de
convolução para encontrar a resposta y(t) do sistema LIT com resposta ao
impulso h(t) para a entrada x(t). Esboce seus resultados.
a)
b)
𝑥 𝑡 = 𝑒 !!" 𝑢 𝑡 , ℎ 𝑡 = 𝑒 !!" 𝑢 𝑡 .Calcule para 𝛼 = 𝛽 𝑒 𝛼 ≠ 𝛽
𝑥 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 2𝑢 𝑡 − 2 + 𝑢 𝑡 − 5 , ℎ 𝑡 = 𝑒 !! 𝑢 1 − 𝑡
c), d), e) conforme itens a), b) e c) da Figura 3
(A.V. Oppenheim; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.22 pag. 85)
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Figura 3
Exercício 10. Considere a interconexão em cascata dos três sistemas LIT,
ilustrada na Figura 4 a). A resposta ao impulso
ℎ! 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢[𝑛 − 2]
E a resposta ao impulso global é mostrada na Figura 4b).
a)
Encontre a resposta ao impulso ℎ! [𝑛].
b)
Encontre a resposta do sistema global para a entrada
𝑥 𝑛 =𝛿 𝑛 −𝛿 𝑛−1
(A.V. Oppenheim; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.24 pag. 86)
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Figura 4
Exercício 11. Seja um determinado sistema linear invariante no tempo com
resposta ao impulso ℎ! 𝑡 . Temos a informação de que quando a entrada é
𝑥! 𝑡 , a saída é 𝑦! 𝑡 , esboçada na Figura 5. É dado o seguinte conjunto de
sistemas lineares invariantes no tempo com respostas ao impulso indicadas:
Entrada
Resposta ao impulso h(t)
a) 𝑥 𝑡 = 2 𝑥! (𝑡)
ℎ 𝑡 = ℎ! (𝑡)
b) 𝑥 𝑡 = 𝑥! 𝑡 − 𝑥! (𝑡 − 2)
ℎ 𝑡 = ℎ! (𝑡)
c) 𝑥 𝑡 = 𝑥! (𝑡 − 2)
ℎ 𝑡 = ℎ! (𝑡 + 1)
d) 𝑥 𝑡 = 𝑥! (−𝑡)
ℎ 𝑡 = ℎ! (𝑡)
e) 𝑥 𝑡 = 𝑥! (−𝑡)
ℎ 𝑡 = ℎ! (−𝑡)
f) 𝑥 𝑡 = 𝑥′! (𝑡)
ℎ 𝑡 = ℎ′! (𝑡)
Em cada um desses casos, defina se temos ou não informação suficiente
para determinar a saída y(t) quando a entrada x(t) e o sistema tem resposta
ao impulso h(t). Se for possível determinar y(t), apresente uma representação
gráfica precisa dela com valores numéricos claramente indicados no gráfico.
(A.V. Oppenheim; A.S.Willsky; H. Nawab - Sinais e Sistemas 2.ed, Pearson, São Paulo, 2010 -Exercício 2.47 pag. 90)
Figura 5
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Exercício 12. Os sinais da Figura 6a) e 6b) são a entrada x(t) e a saída
y(t), respectivamente, de um sistema LIT em tempo contínuo. Rascunhe a
saída para as seguintes entradas.
a) 𝑥(𝑡 − 2)
!
b) ! 𝑥 𝑡
(Hwei P. Hsu- Sinais e Sistemas 2.ed, Bookman, - Exercício 2.9 pag. 77)
Figura 6
Exercício 13. Considere um sistema LIT em tempo contínuo cuja resposta
ao degrau seja dada por,
𝑠 𝑡 = 𝑒 !! 𝑢(𝑡)
Determine e esboce a saída desse sistema ao sinal de entrada x(t) da Figura
7.
(Hwei P. Hsu- Sinais e Sistemas 2.ed, Bookman, - Exercício 2.10 pag. 77)
Figura 7
Exercício 14. Determine a resposta y[n] do sistema LDIT se a entrada
!
𝑥 𝑛 = 3!!! 𝑢[𝑛 + 2] e ℎ 𝑛 = ! 𝛿 𝑛 − 2 − −2 !!! 𝑢 𝑛 − 3
(B.P. Lathi - Sinais e Sistemas lineares 2.ed, Bookman, 2006- Exercícios 3.8-2 299)
Exercício 15. Para um sistema especificado pela equação
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 2𝑥[𝑛 − 1]
Determine a resposta do sistema a entrada x[n]=u[n]. Qual é a ordem deste
sistema? Qual o topo do sistema (recursivo ou não recursivo)? O
conhecimento das condições iniciais é necessário para determinar a resposta
do sistema? Explique.
(B.P. Lathi - Sinais e Sistemas lineares 2.ed, Bookman, 2006- Exercícios 3.8-12 299)
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