Eletrônica – Circuitos
Complexos
Módulo II
CEDAC EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA
CIRCUITOS COMPLEXOS
1. Introdução
Qualquer circuito elétrico ou eletrônico consiste de três grandezas relacionadas:
voltagem, corrente e resistência.
Voltagem é a energia potencial de uma carga elétrica e quanto mais alta a
voltagem maior é sua habilidade de produzir uma corrente elétrica que flui pelo circuito.
Sabemos que a energia é a habilidade de produzir trabalho e a energia potencial
elétrica pode ser definida como o trabalho necessário em joules para movimentar a
corrente elétrica pelo circuito de um ponto para outro. Por isso a diferença de voltagem
entre dois pontos leva o nome de diferença de potencial ou DP. Este potencial leva
também o nome de força eletromotriz abreviado para FEM e é medida em volts cujo
símbolo é V, mas algumas vezes se usa também E.
A corrente elétrica é o movimento da carga elétrica e é medida em ampères cujo
símbolo usual é I de intensidade. Este é o fluxo contínuo de elétrons que é produzido
pela fonte da voltagem, que pode ser uma pilha, uma bateria, um gerador ou outra
fonte.
A outra grandeza é a resistência do circuito. A resistência é a capacidade de
resistir ou impedir a passagem da corrente de elétrons através do circuito. A resistência
é medida em ohms a o símbolo usado é a letra grega Ω (ômega).
Estas unidades foram estudadas com detalhe nas apostilas sobre corrente
contínua, corrente alternada, resistores e capacitores. Se você tiver dificuldades poderá
voltar para aquelas apostilas para recordação sobre o assunto.
1.1 Objetivos
Após completar o estudo desta apostila o aluno deverá estar apto a
 Reconhecer e calcular os circuitos ôhmicos
 Calcular a potência e energia dos circuitos
 Reconhecer as unidades de medida
 Reconhecer as leis de Kirchoff
 Fazer a análise de circuitos pelo método de Kirchoff
 Conhecer o teorema de Thevenin
 Conhecer o teorema de Norton
 Conhecer o teorema da máxima transferência de potência
 Fazer o casamento das impedâncias
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2. Lei de Ohm revisitada
A relação entre a voltagem, corrente e resistência em um circuito elétrico ou
eletrônico é dada pela lei de Ohm, nome dado em homenagem do físico alemão Georg
Ohm que a descobriu.
Essa lei diz que a corrente elétrica que flui em um condutor com temperatura
constante encontra uma resistência linear fixa que é diretamente proporcional à
voltagem aplicada. Essa relação é dada pela fórmula:
Corrente, ( I )
Voltagem, (V )
, em ampères
Re sistência , ( R)
Esta expressão é muitas vezes para fins de memorização apresentada como um
triângulo ao qual se dá o nome de triângulo de Ohm que vemos na figura 2.1 abaixo.
E
Figura 2.1
R I
Note que para fins de facilitar a memorização trocamos a notação da voltagem
de V para E formando a palavra REI. Assim podemos descrever em palavras: a
resistência de um circuito é igual ao quociente da voltagem dividida pela intensidade;
R
E
(F1)
I
Podemos escrever as demais relações assim:
E
(F3)
R
Vemos que a voltagem de 1V aplicada em um resistor de 1Ω produz uma
intensidade de corrente de 1 A.
E
RI ; (F2) e
I
Vemos que esta regra mnemônica ajuda bastante na compreensão e
memorização desta lei.
A potência de um circuito elétrico cujo símbolo normal é P é a energia que é
produzida ou absorvida nesse circuito. A potência P é dada pelo produto da voltagem
pela corrente sendo sua unidade o watt cujo símbolo é W. Então a fórmula para achar a
potência elétrica é:
P
IV ; ou usando E no lugar de V : P
IE ( F 4)
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Com essa fórmula podemos também desenhar um triângulo das potências
usando a palavra IPE como mnemônico como vemos na Figura 2.2.
P
I E
Figura 2.2
Podemos deduzir as fórmulas para a intensidade e voltagem que aparecem
assim:
I
P
; (F5) e
E
E
P
(F6)
I
Com essas equações podemos formar a pizza da lei de Ohm como vemos na
figura 2.3.
Figura 2.3
2.1 Energia nos circuitos elétricos
Na figura 2.3 I é dado em ampères, E (ou V) em volts, P em watts e R em ohms.
Uma última unidade para conhecermos é a energia do circuito. Energia é a
potência absorvida ou produzida na unidade de tempo e é dada em watts por segundo
ou joules e seu símbolo é J.
Então podemos escrever a fórmula:
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Energia elétrica= Potência (W) vezes tempo (s) ou J
Ws .(F7)
Nos circuitos eletrônicos a corrente é normalmente muito pequena da ordem de
décimos, centésimos ou milésimos de watt. Por exemplo, os resistores são fabricados
em potências de 1/8, ¼, ½, 1 e 2 watts. Para estes circuitos empregamos os
submúltiplos do watt.
3. Unidades de medidas elétricas
O Sistema Internacional de Unidades usa para as medidas de voltagem,
intensidade, corrente e resistência e outras grandezas elétricas os símbolos que damos
na tabela abaixo. Na parte inferior são dados os multiplicadores usuais para os
múltiplos e submúltiplos dessas unidades.
Nome
Voltagem
Corrente
Resistência
Capacitância
Indutância
Freqüência
Potência
Impedância
Giga
Mega
Quilo
Mili
Micro
Nano
Pico
Símbolo
V
I
Ω
F
H
Hz
W
Z
G
M
K
m
μ
n
p
Multiplicador
1
1
1
1
1
1
1
1
1.000.000.000.
1.000.000
1.000
1/1.000
1/1.000.000
1/1.000.000.000
1/1.000.000.000.000
Potências de 10
100
100
100
100
100
100
100
100
109
106
103
10-3
10-6
10-9
10-12
Podemos ainda citar como unidades padrão utilizadas na técnica elétrica e
eletrônica as seguintes unidades e suas definições:
Wh
Watt-hora: é a quantidade de energia elétrica consumida por uma carga em um circuito
que consome 1 watt em uma hora. Uma lâmpada que consome 300 watts em uma hora
consumirá 300 Wh.
dB
Decibel: é um décimo de um bel, cujo símbolo é B, sendo uma unidade
logarítmica. É estudada na apostila sobre filtros ativos e passivos.
Letra grega theta,que indica o ângulo de fase entre a voltagem e a
corrente em um circuito de corrente alternada.
Letra grega ômega, que indica a freqüência angular, calculada nos
circuitos de corrente alternada.
Constante de tempo- usada em circuitos onde existe impedância ou
sistemas lineares de primeira ordem (filtros,por exemplo)
Θ
Ω
T
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Exemplo
1. Calcular para o circuito dado abaixo a corrente e a potência, sendo R=100Ω.
Pela fórmula F3 temos: I
E
R
12
100
0,12 A
Para a potência usamos a fórmula 4: P
IE
0,12 12 1,44W
Exercícios
1, Qual a potência de um circuito que tem uma pilha de 12V e um resistor de
200Ω?
a. 0,02W
b. 0,27W
c. 0,72W
d. 0,36W
2,Qual deve ser o valor da corrente no circuito que tem uma pilha de 9V e dois
resistores em série iguais de 120Ω?
a. 0,04A
b. 0,0375A
c. 0,375A
d, 3,75A
3.Qual deve ser a tensão de uma pilha para fornecer 0,5 A em um circuito com
três resistores de 120Ω em paralelo?
a. 9V
b. 12V
c. 20V
d. 2,6V
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4. Leis de Kirchoff
O nome destas leis é dado em homenagem ao físico alemão Gustav Kirchoff que
desenvolveu as duas leis que tratam da conservação da corrente e da energia nos
circuitos elétricos. Estas duas leis são: Lei de Kirchoff das correntes ou Primeira Lei de
Kirchoff e Lei de Kirchoff das voltagens ou Segunda lei de Kirchoff.
4.1. Primeira lei de Kirchof
A Primeira Lei de Kirchoff é a lei das correntes que podemos enunciar assim: “A
corrente ou carga total que entra em uma junção, união ou nó é exatamente igual à
corrente que sai da junção, união ou nó do circuito e nenhuma carga é ganha ou
perdida no nó”. Também podemos dizer que as cargas elétricas ou correntes elétricas
não podem ser criadas ou destruídas.
Podemos dizer também que a soma algébrica de todas as correntes que entram
e saem de um nó é igual a 0 (zero). Esta lei é também conhecida como lei da
conservação das cargas.
Vamos agora ver isto em mais detalhe usando a Figura 4.1:
I1
Nó
I2
Figura 4.1
I3
I6
I5
I4
As correntes que entram no nó são: I3, I4 e I6 e as que saem do nó são: I1, I2 e I5.
Escrevemos então a seguinte equação:
I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 = 0
Ou considerando as correntes em direção ao nó como positivas e as que saem
como negativas podemos escrever:
I1
I2
I3
I4
I5
I6
0 ou ainda : I1
I2
I5
I3
I4
I6
A soma acima é uma soma algébrica, pois entram nela valores positivos e
negativos.
Vamos examinar um circuito simples mostrado na Figura 4.2.
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Figura 4.2
Analisando essa figura vemos que temos 2 possibilidades de passagem da
corrente: I1 e I2.
Na passagem I1 a corrente passa pelos resistores R1 e R2. Na passagem I2 a
corrente passa pelos resistores R1, R3 e R4.
Vamos supor que uma intensidade de 5A flui pelo resistor R1 e que pelo resistor
R3 flui 2A. Pelo resistor R2 fluirá: 5-3=2A. Note que como R3 e R4 estão em série a
mesma corrente fluirá por eles: 2A.
Você vê assim que esta Lei é muito simples.
4.2. Segunda Lei de Kirchoff
A Segunda Lei de Kirchoff que é conhecida como a lei das voltagens pode ser
assim enunciada: “a voltagem total ao redor de um laço de um circuito é igual à soma
de todas as quedas de voltagem dentro do mesmo laço e é igual e zero”.
De outra forma podemos dizer que a soma algébrica de todas as voltagens em
um laço que deve ser igual a zero. Ela é também chamada de lei da conservação da
energia.
Vamos a um exemplo conforme a Figura 4.3 abaixo:
D
R1
A
C
G2
G1
Figura 4.3
R3
B
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Sendo nesta figura a tensão entre A e B = Vab, entre B e C igual a Vbc, entre C
e D igual a Vcd e entre C e D igual a Vcd temos:
Vab
Vbc
Vcd V da 0
Note com atenção que G1 e G2 são geradores ou pilhas.
Vemos que iniciando em um nó e continuando na mesma direção e anotando
cada queda de tensão nos resistores ou fontes de tensão do circuito com seus sinais
seja negativo se resistor ou positivo se gerador ou pilha, a soma total é zero. Se fizer a
soma na direção oposta a soma devera ser também zero.
Como exemplo vejamos o circuito da Figura 4.4.
Figura 4.4
Vemos dois resistores em série. Pela Lei de Ohm a tensão entre os bornes de
R1 é IR1 e pelos bornes de R2 é IR2, pois estão em série e a intensidade de corrente
deverá ser igual para as duas. Se a voltagem da pilha for V e a considerarmos como
positiva, as tensões nos resistores serão negativas e teremos: V-R1-R2=0 ou
V=R1+R2.
Fácil não?
Vamos estudar a aplicação destas leis por meio de um circuito complexo que
vemos no exemplo a seguir.
Exemplo
Vamos utilizar esta lei para achar a corrente que flui através de uma rede de 3
resistores como vemos na Figura 4.5 abaixo.
Figura 4.5
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Seja: R1= 40, R2= 70, R3= 35 e G1 = 12V. Vamos calcular as correntes usando a
segunda lei de Kirchoff.
Temos:
12
I1 40 I1 35
12
I 2 40
I 2 70
75 I1 ; portanto : I1
110 I 2 ; portanto I 2
12
75
0,16 A
12
110
0,11A
A corrente total que passa pelo resistor R1 ou na saída de R3 e R2 é de:
I3= 0,16+0,11=0,27A
5. Análise de circuito
Vimos acima que podemos resolver os circuitos complexos por meio das leis de
Kirchoff. Mas podemos usar outros métodos que melhoram o método básico de Kirchoff
que são a análise de corrente de malha ou a análise de voltagem dos nós que podem
facilitar a análise matemática das malhas dos circuitos.
Existem outros métodos de análise de circuito: o de análise de circuito de malha
e o de análise de nós ou nodal.
O método de solução de análise de malha ou de laço é muito útil para circuitos
complexos e é conhecido também como Análise de Laço ou Método da Circulação de
Corrente de Maxwell. No lugar das correntes dos ramais ele usa as correntes dos laços
que compõem o circuito e a segunda lei de Kirchoff como vimos acima para resolver o
circuito.
Essas informações são colocadas em uma matriz. Por essa razão não vamos
estudá-la nesta apostila, pois necessita o conhecimento do cálculo com matrizes. Seu
estudo é feito no curso para tecnólogo.
Existe ainda o método de análise nodal. Este método de análise complementa o
método de malha e é igualmente muito útil para circuitos muito complicados, mas se
baseia também no cálculo matricial. Neste caso se usa a primeira lei de Kirchoff
conhecida também pelo nome de equação dos nós.
Geralmente este método de análise é aplicável para grandes circuitos com
diversas fontes de corrente formando uma matriz da rede chamada de matriz de
admitâncias. Por necessitar o conhecimento de matrizes este método é tratado nos
cursos para tecnólogos.
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Exercícios
4. Calcular as intensidades no circuito da figura.
Nessa figura R1= 15Ω, R2= 20Ω e R3= 40Ω. A tensão na pilha é de 9V.
a. I1= 0,23A, I2= 0,16A, I3= 0,39A
b. I1= 0,16A, I2= 0,16A, I3= 0,32A
c. I1= 0,16A, I2= 0,23A, I3= 0,39A
d. I1= 0,26A, I2= 0,16A, I3= 0,42A
5. Determinar a tensão da pilha se R1= 10Ω, R2= 20Ω e R3= 42Ω e I1=023.
a. 9V
b. 12V
c. 6V
d.15V
6. Teorema de Thevenin
O teorema de Thevenin diz que: Qualquer circuito linear que contém diversas
voltagens e resistências pode ser substituído por uma só voltagem e um só resistor”.
Isto significa que qualquer circuito pode ser simplificado para um circuito
equivalente com somente uma fonte de voltagem em série com uma resistência com
uma carga como vemos na Figura 6.1 abaixo.
Rth
A
Vs
+
Ve
R2
R3
R1
+
Figura 6.1
e
B
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Vemos à esquerda o circuito normal e à direita o circuito Thévenin equivalente.
Mas antes de prosseguir vamos falar sobre dois assuntos: as fontes de voltagem
e corrente o os divisores de tensão. Este último já vimos na apostila sobre resistores.
As fontes de tensão real têm uma resistência interna e podemos então
representar uma fonte de tensão real por meio de uma fonte de tensão ideal cuja
resistência interna é zero e uma resistência externa como vemos na Figura 6.2 abaixo.
i
r
e=ir
+
e
Figura 6.2
Uma fonte de corrente ideal é aquela que tem uma resistência interna
infinitamente grande de maneira que uma resistência externa não causa modificações
na corrente fornecida como vemos na mesma figura.
Uma fonte de energia elétrica pode ser representada seja por uma fonte de
corrente ou uma fonte de tensão e as duas são relacionadas de acordo como mostrado
na figura.
Agora vamos falar sobre os divisores de tensão. Se você necessitar pode
estudar de novo a lição sobre resistores.
Os divisores de voltagem são usados para fornecer uma voltagem diferente da
voltagem disponível na fonte original do circuito. Vemos isto na Figura 6.3 abaixo à
esquerda. Neste caso a voltagem de saída é dada pela equação:
Vs
Ve
IR2
I R1 R2
Ve R2
R1 R2
Figura 6.3
Nessa figura à direita vemos o divisor de voltagem com uma carga na sua saída.
Neste caso a voltagem de saída é dada como vemos na fórmula abaixo:
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R1 Rl
R1 Rl
V1
Vs
R1
R2 Rl
R1 Rl
Voltando agora para o teorema de Thévenin, a voltagem e é uma fonte de
voltagem ideal e um único resistor Rth como vimos na Figura 6.1. Agora a voltagem e é
dada pela fórmula:
Ve R3
R1 R3
e
A resistência de Thévenin Rth é a resistência nos terminais com todas as fontes
de tensão em curto circuito (cuidado: não é curto circuito real que poderia ser
explosivo!) e todas as resistências em circuito aberto. Ela pode ser também calculada
como um divisor de voltagem e é dada pela fórmula:
r
R2
R1 R3
R1 R3
Podemos experimentalmente achar a resistência de Thévenin carregando
progressivamente o circuito até que a voltagem caia á metade da voltagem do circuito
aberto e neste ponto a resistência da carga é igual à resistência de Thévenin.
Exemplo:
Usando a fórmula para e dada acima, calcular a tensão de Thévenin quando
R1=5Ω, R2=4Ω, R3=8Ω e V=12V
A tensão de Thévenin é e=7,3845V. Faça os cálculos para praticar.
7. Teorema de Norton
O teorema de Norton pode ser considerado como um teorema oposto ao de
Thévenin. Como vimos o teorema de Thévenin reduz o circuito a um só resistor em
série com uma só fonte de voltagem já o teorema de Norton reduz o circuito em um só
resistor em paralelo com uma fonte de corrente constante.
Podemos citar o teorema de Norton assim: Qualquer circuito linear que contém
diversas fontes de energia e diversas resistências pode ser substituído por uma só
fonte constante de corrente e um único resistor.
Vemos na Figura 9.1 abaixo que este circuito é idêntico ao de Thévenin onde
substituímos a fonte de tensão por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor.
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Figura 9.1
A resistência r é dada pela fórmula:
r
R2
R1 R3
R1 R2
A voltagem nos terminais de saída é dada por:
Vs
Ve R3
Ve
e a corrente de Norton : i
R1 R3
r
Exemplo:
Seja calcular a voltagem Vs sendo R1=3Ω, R2=8Ω, R3=5Ω e Ve=12V.
A tensão de saída Vs é de 7,5V. Faça o cálculo para conferir como prática.
8. Teorema da máxima transferência de potência
Acabamos de estudar os teoremas de Thévenin e de Norton que nos permitem
substituir uma única fonte de energia por uma única resistência.
O teorema da Máxima Transferência de Potência é outro método que pode não
ser considerado um meio de análise, porém é muito útil no projeto de circuitos. Ele diz
simplesmente que a máxima potência será dissipada pela resistência de uma carga
quando a resistência dessa carga for igual à resistência de Thévenin ou Norton do
circuito.
No caso que a resistência for maior ou menor do que a resistência de Norton ou
Thévenin, a potência dissipada será menor que a máxima possível.
No curso para tecnólogo este teorema é tratado com mais profundidade.
9.Casamento da impedância
O casamento de impedâncias é uma aplicação muito útil do teorema de máxima
transferência de potência.
Quando tivermos que fazer a instalação de um alto-falante com um amplificador,
por exemplo, devemos tornar a impedância de saída do amplificador igual à
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impedância de entrada do alto-falante para se conseguir a máxima transferência da
potência.
Consegue-se isto usando um transformador de acoplamento entre o amplificador
e o alto-falante como vemos na Figura 9.1 abaixo, pois o transformador tem uma
relação entre entrada e saída que corresponde á relação da impedância da saída e da
carga.
Figura 9.1
Vamos usar a seguinte notação para nosso cálculo do casamento das
impedâncias:
Np= espiras do primário do transformador
Ns= espiras do secundário do transformador
Zs= Impedância de saída do amplificador
Zc= Impedância do alto-falante
A equação para a máxima transferência e potência é:
2
Zs
Np
Zc
Ns
Exemplo: temos um alto-falante com 8Ω de impedância e um amplificador que
tem uma impedância de saída de 800Ω. Calcular a relação do transformador de
casamento para produzir o máximo de transferência da potência de som do
amplificador para ao alto-falante.
Da equação acima tiramos:
Zs
Zc
N2 e N
Zs
Zc
Como Zs= 800Ω e Zc= 80Ω temos:
N
800
80
10
3,16 / 1
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Respostas dos exercícios
1. c
2. b
3. c
4. d
5. b.
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