ASTRONOMIA DE POSIÇÃO
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO II – TCC II
Edilson Sampaio do Nascimento
Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática
Universidade Católica de Brasília
Orientador: Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito
RESUMO
Neste trabalho foram estudados os diversos tipos de sistemas de coordenadas utilizadas na Astronomia. Foi dado
ênfase nos sistemas de coordenadas locais e equatoriais e como transpor de um para outro. Também foi feito um
pequeno histórico sobre os matemáticos e sua influência na Astronomia.
1. INTRODUÇÃO
O estudo do Universo, das “coisas extraterrenas”, sempre despertou a curiosidade do homem
no decorrer da história. Nenhum outro ramo do conhecimento tem estado, desde a
antiguidade, tão ligado ao desenvolvimento do pensamento humano quanto a Astronomia.
Esses conhecimentos envolvem, alem da Matemática, as habilidades de fazer e interpretar
observações e uma grande dose de imaginação e criatividade. Desta maneira surgiu o
interesse em abordar o tema astronomia e sua ligação com a Matemática.
Assim sendo, serão abordados algumas técnicas de resolução de sistema de coordenadas, em
formas matriciais, e também como se passar de um determinado sistema para outro utilizando
cálculos rápidos e lógicos.
2. HISTÓRICO
Desde os tempos mais antigos, já existiam pessoas que se interessavam pela astronomia.
Pode-se destacar uma grande quantidade de matemáticos que contribuíram com o seu
desenvolvimento. Abaixo, será citado alguns deles e suas contribuições.
2.1.Na Grécia Antiga:
Por volta de 700 a.C. até 300 d.C. podemos notar que a Astronomia na Grécia é um dos
braços da Matemática e só mais tarde se voltaria para a Física.
Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) – Para ele a Terra era um disco plano em uma vasta
extensão de água. Tales pôde prever um eclipse com antecedência. Nesta época, o astrônomo
era um medidor de tempo e um “profeta” da entrada das estações climáticas e das fases da lua.
Pitágoras de Samos – Foi um filósofo grego nascido em Samos entre 592 e 572 a.C. e
falecido entre 510 a 480 a.C. Fundou a escola de filosofia e ciências ao sul da Itália. As
teorias desenvolvidas pelos seus últimos discípulos, freqüentemente, são atribuídas a ele. Foi
1
o primeiro a notar que a terra é esférica e não plana, no centro de um universo esférico, com
rotação diária. Ele estudou o movimento dos planetas. Ensinou ser o número, a essência de
todas as coisas e comparou os períodos celestiais com os intervalos musicais de Samos (572 497 a.C.) Acreditava na esfericidade da Terra, da Lua e dos outros astros. Achava que os
Planetas, o Sol, e a Lua transportados por esferas separadas da que carregava as estrelas e foi
o primeira a chamar o céu de Cosmos.
Aristóteles de Estagira – Filósofo grego de enorme influência durante muitos anos na
Europa. Nasceu em 383 a.C. em Estagira, Macedônia, e morreu em Cálcis, em 322 a.C. Foi
tutor de Alexandre, o Grande, e mais tarde professor em Atenas. Explicou que as fases da Lua
dependem de quanto da parte da Lua iluminada pelo Sol está voltada para a Terra. Explicou
também, os eclipses: um eclipse do sol ocorre quando a Lua entra na sombra da Terra.
Afirmava que o Universo é esférico e finito.
Aristarco – Foi um astrônomo grego nascido na cidade de Samos, que viveu entre 310 e 230
a.C. Foi o primeiro a afirmar que a terra girava em torno do Sol, assim como em torno de seu
eixo, quinze séculos antes de Copérnico, por causa disso foi acusado de perturbar o descanso
dos deuses.
Erastóstenes de Cirênia (276-194 a.C.) – Foi o primeiro a medir o diâmetro da Terra. Ele
notou que na cidade egípcia de Siena, no primeiro dia do verão, ao meio-dia, a luz solar
atingia o fundo de um poço, ou seja, o Sol estava incidindo perpendicularmente a Terra em
Siena. Já em Alexandria, situada ao norte de Siena, isso não ocorria; medindo o tamanho da
sombra de um bastão na vertical, Erastóstenes observou que em Alexandria, no mesmo dia e
hora, o Sol estava aproximadamente sete graus mais ao sul. A distância entre Alexandria e
Siena era conhecida como 5.000 estádios. Um estádio era uma unidade de distância usada na
Grécia antiga. A distância de 5.000 estádios equivale à distância de cinqüenta dias de viagem
de camelo, que viaja a 16km/dia. Como 7 graus corresponde a 1/50 de um circulo (360 graus),
Alexandria deveria estar a 1/50 da circunferência da Terra ao norte de Siena, e a
circunferência da Terra deveria ter 50 vezes 5.000 estádios. Infelizmente, não é possível se ter
certeza do valor usado por Erastóstenes, já que os gregos usavam diferentes tipos de estádios.
Se ele utilizou um estádio equivalente à 1/6 de quilometro, o valor está a 1% do valor correto
de 40.000 Km. O diâmetro da Terra é obtido dividindo-se a circunferência por π.
Hiparco – Foi um dos maiores astrônomos gregos, que viveu em Rodes no século II a.C..
Elaborou o primeiro catálogo estelar, determinou o comprimento do ano trópico, o tamanho e
a distância da Lua e tentou fazer o mesmo com o Sol. Descobriu a precessão dos equinócios
bem como as irregularidades no movimento da Lua. Aperfeiçoou instrumentos astronômicos.
Os resultados de seu trabalho foram preservados no Almagesto de Ptolomeu.
Cláudio Ptolomeu – Foi um astrônomo, geógrafo e matemático alexandrino que viveu entre
90 e 160 d.C. Sua principal obra é o Grande sistema astronômico, em grego, que ficou
conhecido como Almagesto na versão árabe. A contribuição mais importante de Ptolomeu foi
uma representação gráfica do sistema solar. Nele, a Terra ocupava o centro do mundo e tudo o
mais girava em seu redor. Esse sistema foi inferido a partir da observação do movimento
diário aparente dos astros.
2
2.2. No Renascimento
Durante mais de mil anos, durante o período medieval, a ciência européia teve muito pouco
desenvolvimento. A astronomia continuou se desenvolvendo entre os árabes, de tal maneira,
que foram eles que reintroduziram o trabalho de Ptolomeu na Europa. Após 1500, com o
renascimento cultural na Europa, pode-se observar o nascimento do método científico na
Física e na Astronomia
Nicolau Copérnico – Foi um astrônomo polonês nascido em Torum (hoje Thorn) às margens
do Vístula, em 19 de fevereiro de 1473, e falecido em Frauenburg, em 24 de maio de 1543.
Escreveu Sobre a Revolução dos Orbes Celestes, onde o sistema heliocêntrico é proposto de
forma simples com o Sol no centro do sistema. Apesar da idéia não ser totalmente original,
visto que Aristarco e Nicolau de Cusa já a haviam inventado, Copérnico foi o primeiro a dar
uma forma cientifica ao sistema heliocêntrico.
Tycho Brahe – Foi um astrônomo dinamarquês nascido a 14 de dezembro de 1546, em
Knudstemp (Schonen) e falecido a 24 de outubro de 1601 em Praga. De origem nobre, muito
cedo manifestou gosto pela astronomia. A oposição de sua família fez com que se ocupasse
dos astros em segredo. Sua primeira e mais importante observação foi a descoberta de uma
estrela nova em novembro de 1572, na constelação de Cassiopéia, exposta no livro Sobre a
Estrela Nova, de 1576. Nesse mesmo ano, o rei da Dinamarca construiu o Observatório de
Uraniburgo, na ilha de Hvenn (Suécia), onde Tycho observou durante vinte anos. Foi Tycho
quem primeiro corrigiu suas observações de refração e redigiu um catálogo de estrelas. Em
1601, Kepler entrou para a equipe de Brahe, começando nessa época a elaboração das Tabelas
Rodolfinas (1627). As observações do movimento do planeta Marte (dez oposições) efetuadas
por Brahe permitiram o estabelecimento das três leis de Kepler, que reformularam toda a
astronomia.
Johanes Kepler (1571-1630) – Após ler na Universidade os princípios de Copérnico, tornouse um entusiástico defensor do heliocentrismo. Depois de ser expulso de uma escola
secundaria em Graz, na Áustria, do seu posto de professor de Matemática e Astronomia, foi
trabalhar com Tycho Brahe em Praga. Quando Tycho morreu, Kepler herdou seu posto e
dados, a cujo estudo se dedicou pelos vinte anos seguintes. Kepler cogitou que o sol é que
controlaria o movimento de todo o conjunto de planetas, mas não chegou a conseguir explicar
o porquê desse controle.
Galileu Galilei – Foi um físico italiano nascido em Pisa, a 18 de fevereiro de 1564 e falecido
em Arcetri a 8 de janeiro de 1642. Seu pai, o músico Vicenzo Galilei (1533 – 1591), residente
em Florença, decidiu enviá-lo para a Universidade de Pisa com a idade de 17 anos, para
estudar medicina. Em Pisa, o jovem estudante apaixonou-se pelas matemáticas retornando a
Florença, sem diploma, em 1585. Interessado pelos estudos dos escritos de Arquimedes,
inventou uma balança romana hidrostática, assim como elaborou teoremas relativos aos
centros de gravidade dos sólidos. Em 1588, ocupou-se de estudos literários sobre Dante,
Tasso e Ariosto. Seus conhecimentos em matemáticas lhe valeram a indicação, em 1589, para
professor em Pisa, apesar de sua oposição às idéias aristotélicas. Tal oposição lhe causou
grandes dificuldades. Em conseqüência, em 1592 foi obrigado a deixar Pisa, por uma cátedra
em Pádua, onde permaneceu por 18 anos. Depois de uma breve estada em Veneza, em 1609,
Galileu voltou a Florença em 1610, onde ficaria até 1631, quando se transferiu para Arcetri,
3
onde terminaria seus dias. Foi no período vivido em Pisa que Galileu descobriu o isocronismo
das oscilações do pêndulo. Publicou várias obras: “A mensagem das estrelas” (1610), “O
ensaiador” (1623) “Diálogo sobre os maiores sistemas do mundo” (1632).
Isaac Newton – Foi o mais notável cientista inglês, nascido na cidade de Woolsthorp, em 25
de dezembro de 1642 (essa data está de acordo com o calendário juliano, na época em vigor
na Inglaterra. No calendário gregoriano, atualmente adotado, era na verdade o dia 4 de janeiro
de 1643 quando Newton nasceu). Seu pai, um pequeno proprietário que não sabia sequer
assinar o nome, havia morrido três meses antes. Enviado para uma escola de Grantham,
mostrou-se de início um aluno medíocre e pouco atencioso. Após ganhar uma briga com um
outro colega de turma, por acaso um bom aluno, o jovem Newton tomou a decisão de lutar
pelo primeiro lugar em sua turma. Em 1660, entrou para a Universidade de Cambridge, onde
encontrou o matemático Isaac Barrow, que lhe deu ótima formação nas ciências matemáticas.
Sua principal obra foi “Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”, na qual expôs a Lei da
Gravitação e as três leis do movimento. Morreu em 20 de março de 1727 (data do calendário
juliano).
2.3.Astronomia de hoje
Nos últimos 50 anos, os conhecimentos da astronomia cresceram bastante com as novas
tecnologias utilizadas, desde gigantescos radiotelescópios até sondas enviadas aos confins do
sistema solar.
Imaginado nos anos 40, projetado e construído nos anos 70 e 80 e em funcionamento desde
1990, o Telescópio Espacial "Hubble" está revolucionando a Astronomia, representando nos
dias de hoje aquilo que a luneta de Galileu representou no século XVII.
O Observatório Astronômico da
Serra da Piedade vem acompanhando
o trabalho do "Hubble" e nos primeiro
sábados de cada mês, dia em que o
observatório é aberto ao público, vem
sistematicamente apresentando as mais
significativas descobertas do "Hubble"
no mês anterior.
Há inúmeras sondas que já foram
enviadas ao espaço para entendimento
mais detalhado do sistema solar e, por
conseqüência, do universo. Atualmente
há o projeto Cassini que já está em
órbita ao redor de Saturno e em janeiro a sonda menor, a Huygens, vai pousar em Titã, a
maior lua de Saturno, mas desde já, esta sonda Cassini-Huygens, enviam fotos e dados sobre
Saturno e Titã. Acredita-se que as condições em Titã são muito parecidas com as encontradas
nos primórdios da Terra, com temperaturas quase sempre abaixo de -179ºC e uma atmosfera
dominada por compostos de nitrogênio e carbono. Os cientistas da missão acreditam que a lua
possa ajudar a entender as condições necessárias para a origem da vida na Terra.
4
3. SISTEMA DE COORDENADAS
A posição de um astro qualquer na Esfera Celeste pode ser definida, sem ambigüidade através
de dois ângulos em relação ao sistema de coordenadas adotado, que por sua vez é definido a
partir de um ponto central. A escolha precisa de um sistema de coordenadas ligado à Esfera
Celeste vai depender, sobretudo, da análise ou problema que se queira resolver.
Para uma esfera (qualquer uma em princípio), os sistemas de referências utilizados são
definidos por um plano principal ou fundamental que divide a esfera em duas partes iguais,
definindo-se assim um grande círculo. Definimos arbitrariamente um ponto de origem neste
círculo principal, por onde passa o meridiano principal, outro grande círculo perpendicular ao
grande círculo precedente.
Para observação de astros, na astronomia, precisamos de um sistema universal, ou seja, um
sistema o qual todos os astrônomos podem utilizar sem dúvidas, e para isso utilizaremos o
chamado Coordenadas Astronômicas ou Coordenada Celeste.
Coordenada Astronômica nada mais é do que um arco de círculo, horizontal ou vertical que
traçamos na esfera celeste onde definimos a posição de um astro qualquer no céu. Isso,
tomando como referência a Terra como ponto central.
As Coordenadas Esféricas são definidas por três coordenadas que definem um ponto sobre a
superfície de uma esfera que é o raio da esfera (r) e dois ângulos θ e φ, sendo que, o raio, por
estarmos considerando sempre que todos os astros estão na superfície da esfera celeste e que o
centro é a Terra, sempre tem a mesma distância, logo, basta definirmos as coordenadas
angulares.
Existem vários tipos de sistema de
coordenadas. Todas elas têm como ponto
central a Terra e projeções na esfera celeste,
projeções essas chamadas de Grandes
Círculos. Exemplos de grandes círculos são o
equador, um meridiano, a eclíptica1. O que
define e diferencia um sistema de coordenadas
também são os grandes círculos que são
chamados de plano fundamental de referência.
Por exemplo, o que usa o equador são
chamados de coordenadas equatoriais.
As coordenadas em uma esfera são Figura 1: Esfera cortada com os devidos planos.
definidas através de um plano fundamental
que corta a esfera em duas metades, passando pelo centro (definindo um circulo principal ou
equador) e um ponto arbitrário no equador como mostra a Figura 1. Através deste ponto traçase um outro grande círculo, perpendicular ao “equador”, definindo-se assim o meridiano
principal. Planos que cortam a esfera, mas não passam pelo centro definem os pequenos
círculos
1
A eclíptica é definida como a circunferência imaginária correspondente à trajetória aparente do Sol na esfera
celeste.
5
As distâncias medidas a partir do plano fundamental são calculadas ao longo de arcos de
círculos perpendiculares a ele, dependendo do sistema utilizado. Cada uma delas é lida em
ângulos que variam de +90º e -90º, até onde os pólos se situam, pois os pólos dos sistemas
podem ser pólos celestes norte e sul, pólos da eclíptica, zênite2 e nadir3 ou então pólos da
nossa Galáxia, chamado de pólos galácticos.
Os pequenos círculos da esfera celeste paralelos ao círculo principal definem a latitude. Já os
grandes círculos perpendiculares ao principal definem a longitude. Essas definições são bem
semelhantes às usadas por nós para localização de algum ponto na superfície terrestre.
A posição de um ponto qualquer na esfera pode ser escrita de uma forma matricial:
 cos(δ ) ⋅ cos(λ ) 


I =  cos(δ ) ⋅ sen(λ ) 


sen(δ )


onde δ e λ são a latitude e a longitude em um dado sistema de coordenadas e ignorando-se a
coordenada radial r.
Figura 2: Retirada das Notas de Aula, Astronomia de Posição de Gastão Bierrenbach Lima Neto
Coordenadas esféricas polares, λ e δ de um ponto (sistema dextrogiro). r é o raio vetor e R é a sua projeção no
plano x–y.
Existem sistemas de coordenadas diferentes, sendo que dependendo do problema dado,
podemos utilizar um ou outro, no qual trará melhor a resolução. São eles:
2
O zênite é o ponto superior da esfera celeste, segundo a perspectiva de um observador na superfície do astro
onde se encontra ou a interseção da vertical superior do lugar com a esfera celeste. É o marco referencial de
localização de posições de objetos celestes.
3
O nadir é o ponto inferior da esfera celeste, segundo a perspectiva de um observador na superfície da do
planeta é a projeção do alinhamento vertical que esta sob os pés do observador à esfera celeste superior,
localizada do outro lado da planeta e é o oposto ao zênite.
6
•
•
•
•
•
Coordenadas Eclípticas;
Coordenadas Galácticas;
Coordenadas Horizontais;
Coordenadas Equatoriais;
Coordenadas Horárias.
3.1.Sistema de Coordenadas Eclípticas
O plano principal desse sistema é o plano orbital
da Terra em torno do Sol. Esse sistema é bem
útil nos estudos de corpos do Sistema Solar,
como na observação de planetas, asteróides, já
que a maioria desses corpos está em órbita
praticamente coplanares.
As coordenadas utilizadas nesse sistema são a
longitude da eclíptica, λ, e a latitude eclíptica, β.
O ponto de origem é o ponto vernal4. A latitude
β é medida a partir da eclíptica, sendo positiva
em direção do pólo Norte da eclíptica e negativa
em direção ao pólo Sul. A longitude λ, assim
como a ascensão reta5 é medida a partir do
ponto vernal em direção Leste.
Como mostra a Figura 3, o astro M tem Figura 3: Sistema de coordenadas eclípticas.
coordenadas longitude eclíptica (λ) e latitude
(β). A inclinação da eclíptica em relação ao equador celeste é ε que vale aproximadamente
23º26’21”.
3.2.Sistema de Coordenadas Galácticas
O plano principal é definido pelo plano do disco da Via Láctea6, ou seja, o Equador Galáctico.
A origem é dada pela direção do centro galáctico, localizado na constelação de Sagitário. Esse
sistema é útil nos estudos extragalácticos ou em problemas envolvendo nossa galáxia.
Na Figura 4, o astro M tem coordenadas longitude galáctica (l) e latitude (b). O ponto N é a
intersecção do plano galáctico com o equador celeste (o nodo), C.G. é a direção do centro da
4
O Ponto Vernal é a posição do Sol ao cruzar o equador celeste em 21 de março, ou seja, no equinócio de
primavera (para o hemisfério norte). Também é chamado de Primeiro Ponto de Áries (quando foi definido,
estava nesta constelação; hoje, devido à precessão, encontra-se em Peixes). O Ponto Vernal é a origem da
contagem da ascensão reta.
5
Ascensão Reta é o ângulo medido sobre o equador, com origem no meridiano que passa pelo ponto Áries e fim
no meridiano do astro. A ascensão reta varia entre 0h e 24h (ou entre 0o e 360o), aumentando para leste.
6
A Via Láctea é a galáxia onde está localizado o Sistema Solar da Terra. É uma estrutura constituída por cerca
de duzentos bilhões de estrelas (algumas estimativas colocam esse número no dobro, em torno de quatrocentos
bilhões) e tem uma massa de cerca de um trilhão e 750 bilhões de massas solares. Sua idade está calculada entre
treze e vinte bilhões de anos, embora alguns autores afirmem estar na faixa de quatorze bilhões de anos.
7
Galáxia (que fica na constelação de Sagitário) e i é a inclinação do plano galáctico em relação
ao equador celeste.
Figura 4: Sistema de coordenadas galácticas.
3.3.Sistema de Coordenadas Horizontais
O plano principal é definido como plano que contém o horizonte do observador. Os dois
ângulos que definem a posição de um astro qualquer dado são a altura, h, e o azimute7, A.
Figura 5: Sistema de coordenadas horizontal.
7
O Azimute é a direção medida em graus que se encontra um astro ao redor de um observador. O azimute é
medido no plano horizontal e tem como referencia 0 o Norte verdadeiro. Para uma estrela ou algum ponto
terrestre.
8
Nesse caso, o horizonte do observador deve ser definido corretamente, pois o horizonte
visível ou aparente é sujeito a irregularidades topográficas, assim, não definindo
necessariamente desta forma um grande círculo e, desta forma, não servindo como base para
definir um bom estudo e, conseqüentemente, um sistema de coordenadas.
Assim sendo, definimos o horizonte astronômico como sendo o grande círculo centrado no
observador, perpendicular à sua vertical, desconsiderando os acidentes topográficos, sendo
que a intersecção desta vertical com a esfera celeste dá origem ao zênite e ao nadir. A altura
de um astro qualquer dado é medida a partir do horizonte astronômico, sendo positivo quando
o astro estiver acima e negativo quando estiver a baixo. Desse modo, o zênite tem uma altura
de +90º e o nadir de -90º. O azimute é, por definição, medido a partir do meridiano Norte (0º)
do observador e os ângulos são contados no sentido Leste (90º) Sul (180º) Oeste
(270º).
Como mostra a Figura 5, o astro M tem coordenadas h (altura) e A (azimute). Os “pólos”
deste sistema são o zênite e o nadir. O azimute é medido a partir do Sul em direção ao Oeste,
ao longo do horizonte (o círculo principal neste sistema). A altura é positiva em direção ao
zênite e negativa em direção ao nadir. Também são mostrados na figura os eixos cartesianos
x, y e z.
Em forma matricial, temos:
 cos(h) ⋅ cos( A) 


I =  − cos(h) ⋅ sen( A) 


sen(h)


Nesse sistema as coordenadas mudam com o tempo decorrido, sobretudo com o movimento
diário da Terra. Com isso, o azimute de um astro sempre aumenta no decorrer do dia.
3.4.Sistema de Coordenadas Equatoriais
O plano principal desse sistema é a projeção da linha do equador terrestre na esfera celeste,
chamando-se assim de equador celeste. Também as projeções dos pólos terrestres na esfera
celeste definem os pólos Norte e Sul. A origem desse sistema é a intersecção do equador
celeste com a eclíptica. Este ponto é definido como equinócio vernal. A declinação8, que
adotaremos como δ, de um ponto M é a distância angular medida sobre o meridiano ao qual
passa por este ponto a partir do equador celeste. Na direção do pólo norte celeste, δ > 0, caso
contrário a declinação é negativa. A ascensão reta, que chamaremos de α, é o ângulo entre o
ponto vernal e o meridiano do ponto M, que é medido na direção Leste. Neste caso, a
8
A declinação (δ) de um astro é o arco do meridiano do astro compreendido entre o plano do equador celeste e
o astro. Mede-se de 0º a 90º para Norte ou para Sul, sendo por vezes representado com um valor entre + 90º e −
90º (positivo representando o Norte e negativo o Sul). É um dos valores angulares utilizadas para definir a
posição de um astro num sistema de coordenadas equatoriais, o outro sendo o ângulo horário ou a ascensão reta.
9
ascensão reta cresce de maneira oposta ao azimute das coordenadas horizontais e aumenta no
sentido do movimento anual do Sol.
Em forma matricial, temos:
 cos(δ ) ⋅ cos(α ) 


I =  cos(δ ) ⋅ sen(α ) 


sen(δ )


Na Figura 6, o astro M tem
coordenadas ascensão reta (α) e
declinação (δ). Atualmente, a
inclinação do equador celeste em
relação à eclíptica é ε que vale
aproximadamente 23º26’21”.
Neste caso, a ascensão reta e a
declinação de uma estrela não
mudam devido ao movimento
Figura 6: Sistema de coordenadas equatorial.
diurno da Terra, não significando
que neste sistema de coordenadas
não exista uma pequena variação com o tempo, mas que é bem mais lenta do que no sistema
de coordenadas horizontais.
3.5.Sistema de Coordenadas Horárias
Esse sistema de coordenadas é bem semelhante ao sistema de coordenadas equatoriais. Nele,
o círculo principal também é a
projeção do equador terrestre na esfera
celeste e as declinações são medidas
também da mesma maneira. A única
diferença é que nesse sistema a origem
é centrada no meridiano local do
observador,
como
no
sistema
horizontal, e este ângulo é chamado de
ângulo horário, definido como H.
Nesse sistema é como se fosse uma
mistura do sistema de coordenadas
horizontais com o sistema de
coordenadas equatoriais.
Enquanto a ascensão reta não varia
devido ao movimento diurno, o ângulo
horário varia. No caso, a relação entre
as duas coordenadas está ligada ao
movimento diurno da origem do
Figura 7: Sistema de coordenadas horário.
10
sistema de coordenadas equatoriais, o ponto vernal. A soma dos dois ângulos, a ascensão reta
com o ângulo horário é:
Ts = H + α
onde Ts é o tempo sideral local ou, em outra interpretação, Ts também pode ser o ângulo
horário do ponto vernal.
Em forma matricial, temos:
 cos(δ ) ⋅ cos( H ) 


I =  − cos(δ ) ⋅ sen( H ) 


sen(δ )


Na Figura 7, o astro M tem coordenadas do ângulo horário (H) e declinação (δ).
4. RELAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS DE COORDENADAS
Os vários sistemas de coordenadas podem ser descritos em forma vetorial em coordenadas
cartesianas. Isso facilita muito, pois as transformações entre dois sistemas quaisquer podem
ser decompostos em rotações, onde podemos representar em forma de matrizes.
Contudo, no caso de rotação em torno dos eixos cartesianos, podemos considerar uma rotação
em duas dimensões, como mostra a figura, onde a rotação se dá em torno do eixo z:
Figura 7: Rotação no plano de um ângulo θ.
As coordenadas do ponto P (Figura 7) se escrevem como:
 x = cos(ϕ )  x' = cos(ϕ − θ ) = cos(ϕ ) ⋅ cos(θ ) + sen(ϕ ) ⋅ sen(θ )
e

 y = sen(ϕ )  y' = sen(ϕ − θ ) = sen(ϕ ) ⋅ cos(θ ) − cos(ϕ ) ⋅ sen(θ )
onde ϕ é o ângulo do raio vetor de P. Eliminando-se ϕ obtêm-se as relações entre os dois
sistemas de coordenadas.
As rotações básicas ao redor dos eixos x, y e z, cada uma com valor angular αx, αy e αz são
dadas pelas matrizes dos cossenos diretores:
11
0
1

R x =  0 cos α x
 0 − senα
x

 cos α y

Ry =  0
 senα
y

 cos α z

R z =  − senα z
 0



senα x 
cos α x 
0 − senα y 

1
0

0 cos α y 
senα z
cos α z
0
0
0

0
1 
Dado um par de coordenadas em um sistema qualquer, devemos encontrar a ou as rotações
necessárias para transformá-las em um outro sistema de coordenadas, e nessas formas, fica
bem fácil achar essas rotações. De um modo genérico, temos:
I (α , δ ) = R x ⋅ R y ⋅ R z ⋅ I (l , b)
,
onde devemos utilizar as matrizes de rotação relevantes.
4.1.Transformação de Sistema de Coordenadas Equatoriais para Horizontais
Essa passagem é um pouco delicada, já que o Sistema de Coordenadas Horizontais possuem
um movimento diário. É mais conveniente utilizar o Sistema de Coordenadas Horárias do que
as coordenadas equatoriais diretamente. Observando-se as figuras 5 e 7, tem-se que a
passagem de um sistema para o outro pode ser obtida por uma rotação em torno do eixo
cartesiano y. Esta rotação é igual ao complemento da latitude, ou seja, 90º - φ. Assim, temos:
I ( H , δ ) = R y (−(90º −ϕ )) ⋅ I ( A, h)
,
o que resulta no seguinte sistema de equações:
cos( H ) ⋅ cos(δ ) = cos( A) ⋅ cos(h) ⋅ sen(ϕ ) + sen(h) ⋅ cos(ϕ )
sen( H ) ⋅ cos(δ ) = sen( A) ⋅ cos(h)
sen(δ ) = − cos( A) ⋅ cos(h) ⋅ cos(ϕ ) + sen(h) ⋅ sen(ϕ )
,
A transformação inversa, ou seja, do Sistema de Coordenadas Horizontais para o Sistema de
Coordenadas Equatoriais se faz pela rotação no sentido contrário:
I ( A, h) = R y (90º −ϕ ) ⋅ I ( H , δ )
12
4.2.Exemplo de Aplicação
Será calculado a altura e o azimute da estrela Aldebaran, alfa9 da constelação de Touro, dado
a sua ascensão reta e declinação. Para tal, é necessário a latitude e longitude local, o dia e
horário do ano.
Coordenadas equatorias de Aldebaran, retiradas do livro Uranografia (MOURÃO, 1989)
α = 4 horas, 35 minutos e 55,2 segundos = 4,599 horas (ascensão reta)
δ = 16º30’33”. = 16,509o (declinação)
Estes valores são razoavelmente constantes durante uns 50 anos. As mudanças são devido ao
movimento de precessão da Terra (um movimento cíclico do eixo de rotação da Terra em
torno de um eixo perpendicular ao plano da órbita da Terra e leva aproximadamente 26.000
anos)
Latitude e longitude da UCB.
Longitude: -48º 02´ = - 48,03 o (negativo quer dizer a leste de Greenwich)
Latitude: -15o 52´ = -15,867 o (negativo quer dizer ao sul do equador)
O tempo sideral, TS, é a posição do ponto vernal. O ponto vernal será igual a 0o ao meio dia
local do dia 21 de março (Instante em que a trajetória do Sol cruza o plano equatorial). Então
para calcular no dia 01 de dezembro (256 dias após dia 21 de março) às 21h do horário de
verão (ou seja 1 horas a menos que o horário normal) temos que TS é dado por
Longitude local menos
Meridiano de referência
6
447448
hora local normal
6
4
7
4
8
− 48.03º −(−45o )
 255 
Ts = 
⋅
24
h
−
12
h
+
21
h
−
1
h
+
⋅ 24h = 24.55h = 0.55h = 33 min

o
365
.
25
360
1

44424443 144444424444443
Posição do Ponto Vernal
ao meio dia em Greenwich
Variação na UCB às 20h
Usando a fórmula:
Ts = H + α
temos que:
H = Ts − α = 24.55h − 4.599h = 19.95h = 19h57 min = 299.25o
Este é o ângulo horário de Aldebaran visto da UCB no dia 1o de dezembro de 2007 às
21horas.
Agora para passar para o sistema de coordenas locais, usamos a relação
I ( A, h) = R y (90º −ϕ ) ⋅ I ( H , δ )
9
Estrela Alfa é a estrela que tem o brilho mais intenso na constelação.
13
o
o
o
o
 cos(h) cos( A)   cos(90 + 15.967 ) 0 − sen(90 + 15.967 )   cos(δ ) cos( H ) 
 

 

0
1
0
 ⋅  − cos(δ ) sen( H ) 
 − cos(h) sen( A)  = 

  sen(90o + 15.967 o ) 0 cos(90o + 15.967 o )  

sen(h)
sen(δ )

 

 
 cos(h) cos( A)   − 0,275 0 − 0.961   0,4685   − 0,402 

 
 
 

1
0  ⋅  0,8365  =  0,8365 
 − cos(h) sen( A)  =  0
  0.961 0 − 0,275   0,2842   0,372 

sen(h)

 
 
 

sen(h) = 0,372 ⇒ h = 21.8o
 0,8365 
tan( A) = −
 = 2,08 ⇒ A = 64.3o
 − 0,402 
Desta maneira, nas coordenadas locais ou horizontais, a posição de Aldebaran às 21h do dia
1o de dezembro na UCB será 64,3o de azimute e 21,8o de altura.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Foi visto, através das pesquisas feitas, que muito antes da Astronomia fazer parte da Física, já
haviam matemáticos que faziam observações astronômicas, utilizando-se assim de cálculos
complicados, mas mesmo assim suas observações eram com muita precisão e com taxas de
erro mínimas, já que naquela época não existiam instrumentos tecnológicos tão avançados
como hoje.
Foi visto também que o Sistema de Coordenadas é um estudo simples de aplicação
matemática de grande importância para a Astronomia. Com o uso da nossa tecnologia e
alguns softwares matemáticos disponíveis, como o caso do software Maple, fica simples a
geração de um programa que, ao ter os valores da longitude e latitude local, o azimute e a
ascensão reta da estrela a qual quer fazer a observação em um determinado dia, coloca-se no
programa e ele fará os devidos cálculos para a transformação em Coordenadas Locais ou
Horizontais fazendo-se os mesmos cálculos e procedimentos a qual foi feito.
A aplicação dessa transformação facilita bastante a observação, visto que nas Cartas Celestes,
o sistema de coordenadas utilizado é o Equatorial, onde um observador teria que fazer muitos
ajustes no telescópio no decorrer da observação. Essa transformação, para o Sistema de
Coordenadas Horizontais, visto que nesse sistema, ao ajusta o telescópio, basta saber a
latitude do observador.
Com o estudo dos sistemas e a aplicação prática, conclui-se que é válido a análise feita e que é
de grande proveito para a Astronomia.
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